I denne artikkelen vil vi finne svar på spørsmål om hvordan man lager en projeksjon av et punkt på et plan og hvordan man bestemmer koordinatene til denne projeksjonen. I den teoretiske delen vil vi støtte oss på begrepet projeksjon. Vi vil definere begrepene og gi informasjon med illustrasjoner. La oss konsolidere den ervervede kunnskapen ved å løse eksempler.
Projeksjon, typer projeksjon
For å gjøre det enklere å se romlige figurer, brukes tegninger som viser disse figurene.
Definisjon 1
Projeksjon av en figur på et fly– tegning av en romlig figur.
Det er åpenbart en rekke regler som brukes for å konstruere en projeksjon.
Definisjon 2
Projeksjon– prosessen med å konstruere en tegning av en romlig figur på et plan ved å bruke konstruksjonsregler.
Projeksjonsplan- dette er planet som bildet er konstruert i.
Bruken av visse regler bestemmer typen projeksjon: sentral eller parallell.
Et spesielt tilfelle av parallell projeksjon er vinkelrett projeksjon eller ortogonal: i geometri brukes den hovedsakelig. Av denne grunn blir selve adjektivet "vinkelrett" ofte utelatt i tale: i geometri sier de ganske enkelt "projeksjon av en figur", og med dette mener de å konstruere en projeksjon ved å bruke metoden for vinkelrett projeksjon. I spesielle tilfeller kan det selvsagt avtales noe annet.
La oss merke oss det faktum at projeksjonen av en figur på et plan i hovedsak er en projeksjon av alle punktene i denne figuren. Derfor, for å kunne studere en romlig figur i en tegning, er det nødvendig å tilegne seg den grunnleggende ferdigheten til å projisere et punkt på et plan. Hva vi skal snakke om nedenfor.
La oss huske at oftest i geometri, når vi snakker om projeksjon på et plan, betyr de bruken av en vinkelrett projeksjon.
La oss lage konstruksjoner som vil gi oss muligheten til å få en definisjon av projeksjonen av et punkt på et plan.
La oss si at det er gitt et tredimensjonalt rom, og i det er det et plan α og et punkt M 1 som ikke tilhører planet α. Tegn en rett linje gjennom det gitte punktet M EN vinkelrett på et gitt plan α. Vi betegner skjæringspunktet mellom rett linje a og plan α som H 1 ved konstruksjon, vil det tjene som basis for en perpendikulær som faller fra punkt M 1 til plan α.
Hvis et punkt M 2 er gitt, som tilhører et gitt plan α, vil M 2 tjene som en projeksjon av seg selv på planet α.
Definisjon 3
- dette er enten selve punktet (hvis det tilhører et gitt plan), eller bunnen av en perpendikulær som faller fra et gitt punkt til et gitt plan.
Finne koordinatene til projeksjonen av et punkt på et plan, eksempler
La følgende gis i tredimensjonalt rom: et rektangulært koordinatsystem O x y z, et plan α, et punkt M 1 (x 1, y 1, z 1). Det er nødvendig å finne koordinatene til projeksjonen av punktet M 1 på et gitt plan.
Løsningen følger åpenbart av definisjonen gitt ovenfor av projeksjon av et punkt på et plan.
La oss betegne projeksjonen av punktet M 1 på planet α som H 1 . I følge definisjonen er H 1 skjæringspunktet til et gitt plan α og en rett linje a trukket gjennom punktet M 1 (vinkelrett på planet). De. Koordinatene til projeksjonen av punktet M1 som vi trenger er koordinatene til skjæringspunktet mellom rett linje a og plan α.
For å finne koordinatene til projeksjonen av et punkt på et plan er det derfor nødvendig:
Få likningen til planet α (hvis den ikke er spesifisert). En artikkel om typene planligninger vil hjelpe deg her;
Bestem ligningen til en linje a som går gjennom punkt M 1 og vinkelrett på planet α (studer emnet om likningen til en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på et gitt plan);
Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom den rette linjen a og planet α (artikkel - finne koordinatene til skjæringspunktet mellom planet og linjen). Dataene som oppnås vil være koordinatene vi trenger for projeksjonen av punktet M 1 på planet α.
La oss se på teorien med praktiske eksempler.
Eksempel 1
Bestem koordinatene til projeksjonen av punktet M 1 (- 2, 4, 4) på planet 2 x – 3 y + z - 2 = 0.
Løsning
Som vi ser er flyets ligning gitt til oss, dvs. det er ikke nødvendig å kompilere det.
La oss skrive ned de kanoniske ligningene til en rett linje a som går gjennom punktet M 1 og vinkelrett på det gitte planet. For disse formålene bestemmer vi koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen a. Siden linje a er vinkelrett på et gitt plan, er retningsvektoren til linje a normalvektoren til planet 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Dermed, a → = (2, - 3, 1) – retningsvektor for rett linje a.
La oss nå komponere de kanoniske ligningene til en linje i rommet som går gjennom punktet M 1 (- 2, 4, 4) og har en retningsvektor a → = (2 , - 3 , 1):
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
For å finne de nødvendige koordinatene, er neste trinn å bestemme koordinatene til skjæringspunktet til den rette linjen x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 og planet 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . For disse formålene går vi fra de kanoniske ligningene til ligningene til to kryssende plan:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
La oss lage et ligningssystem:
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
Og la oss løse det ved å bruke Cramers metode:
∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 32 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ - z . 140 - 28 = 5
Dermed vil de nødvendige koordinatene til et gitt punkt M 1 på et gitt plan α være: (0, 1, 5).
Svar: (0 , 1 , 5) .
Eksempel 2
I et rektangulært koordinatsystem O x y z av tredimensjonalt rom er punktene A (0, 0, 2) gitt; B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) og M 1 (-1, -2, 5). Det er nødvendig å finne koordinatene til projeksjonen M 1 på planet A B C
Løsning
Først av alt skriver vi ned ligningen til et plan som går gjennom tre gitte punkter:
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0
La oss skrive ned de parametriske ligningene til linjen a, som vil gå gjennom punktet M 1 vinkelrett på planet A B C. Planet x – 2 y + 2 z – 4 = 0 har en normalvektor med koordinater (1, - 2, 2), dvs. vektor a → = (1, - 2, 2) – retningsvektor for rett linje a.
Nå, med koordinatene til punktet til linjen M 1 og koordinatene til retningsvektoren til denne linjen, skriver vi de parametriske ligningene til linjen i rommet:
Deretter bestemmer vi koordinatene til skjæringspunktet til planet x – 2 y + 2 z – 4 = 0 og den rette linjen
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ
For å gjøre dette, erstatter vi i ligningen til planet:
x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ
Nå, ved å bruke de parametriske ligningene x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, finner vi verdiene til variablene x, y og z for λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
Dermed vil projeksjonen av punktet M 1 på planet A B C ha koordinater (- 2, 0, 3).
Svar: (- 2 , 0 , 3) .
La oss dvele separat ved spørsmålet om å finne koordinatene for projeksjonen av et punkt på koordinatplan og plan som er parallelle med koordinatplan.
La punktene M 1 (x 1, y 1, z 1) og koordinatplanene O x y, O x z og O y z gis. Koordinatene for projeksjonen av dette punktet på disse planene vil være henholdsvis: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) og (0, y 1, z 1). La oss også vurdere fly parallelt med de gitte koordinatplanene:
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
Og projeksjonene av et gitt punkt M 1 på disse planene vil være punkter med koordinater x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 og - D A, y 1, z 1.
La oss demonstrere hvordan dette resultatet ble oppnådd.
Som et eksempel, la oss definere projeksjonen av punktet M 1 (x 1, y 1, z 1) på planet A x + D = 0. De resterende tilfellene er like.
Det gitte planet er parallelt med koordinatplanet O y z og i → = (1, 0, 0) er normalvektoren. Den samme vektoren fungerer som retningsvektor for linjen vinkelrett på O y z-planet. Da vil de parametriske ligningene til en rett linje trukket gjennom punktet M 1 og vinkelrett på et gitt plan ha formen:
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
La oss finne koordinatene til skjæringspunktet til denne linjen og det gitte planet. La oss først erstatte likhetene i ligningen A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 og få: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1
Deretter beregner vi de nødvendige koordinatene ved å bruke de parametriske ligningene til den rette linjen med λ = - D A - x 1:
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
Det vil si at projeksjonen av punktet M 1 (x 1, y 1, z 1) på planet vil være et punkt med koordinater - D A, y 1, z 1.
Eksempel 2
Det er nødvendig å bestemme koordinatene for projeksjonen av punktet M 1 (- 6, 0, 1 2) på koordinatplanet O x y og på planet 2 y - 3 = 0.
Løsning
Koordinatplanet O x y vil tilsvare den ufullstendige generelle ligningen til planet z = 0. Projeksjonen av punktet M 1 på planet z = 0 vil ha koordinater (- 6, 0, 0).
Planligningen 2 y - 3 = 0 kan skrives som y = 3 2 2. Skriv nå ned koordinatene til projeksjonen av punktet M 1 (- 6, 0, 1 2) på planet y = 3 2 2:
6 , 3 2 2 , 1 2
Svar:(- 6 , 0 , 0) og - 6 , 3 2 2 , 1 2
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Teorem om delvis projeksjon av rette vinkler
Hvis planet til en rett vinkel ikke er vinkelrett og ikke parallelt med projeksjonsplanet og minst en side av det er parallell med dette planet, projiseres den rette vinkelen på det uten forvrengning.
La hjørnet ABC– rett (fig. 65) og side Sol|| N derfor projeksjonen f.Kr|| B.C.. side AB fortsett til den krysser flyet N og gjennom poenget TIL vi gjennomfører en direkte KN|| f.Kr. Derfor, KN || B.C..
Det følger at vinkelen BKN- rett. I følge tre perpendikulære teoremet, vinkelen bKN– rett, derfor vinkel Kbc= 90°.
Ris. 65. Romlig modell av rettvinklet projeksjon
Merk. Denne teoremet om projeksjon av en rett vinkel tilsvarer to omvendte teoremer (bevis er ikke gitt).
1. Hvis projeksjonen av en plan vinkel er en rett vinkel, vil den projiserte vinkelen bare være rett hvis minst en av sidene av denne vinkelen er parallell med projeksjonene.
2. Hvis projeksjonen av en viss vinkel, hvis ene side er parallell med projeksjonsplanet, representerer en rett vinkel, så er den projiserte vinkelen også en rett vinkel.
Basert på disse teoremene kan det fastslås at vinklene vist i fig. 66, i rommet - rette linjer.
|
|
Ris. 66. Projisere en rett vinkel på et Monge-diagram:
EN– en av sidene av vinkelen er horisontal; b– en av sidene av hjørnet – foran
Vurder vinkelen I(Fig. 66 EN).
Vinkel i rommet I rett, fordi diagrammet viser at den rette linjen AB er horisontal ( h′|| X) og ∠ en= 90° (ifølge den første omvendte teoremet).
Vurder vinkelen I(Fig. 66 b).
Vinkel i rommet I rett, fordi en av sidene er fronten ( AB|| V;ab|| X) og frontal projeksjon ∠ b′ = 90°.
En enkel konklusjon følger av denne teoremet - en perpendikulær kan trekkes til en rett linje der den rette linjen projiseres i naturlig størrelse.
Når du løser posisjonelle og metriske problemer med beskrivende geometri, basert på disse teoremene, er det mulig å konstruere to gjensidig vinkelrette rette linjer, som til slutt gjør det mulig å bestemme avstander og konstruere gjensidig vinkelrette plan.
La oss vurdere flere problemer om emnet for dette materialet.
Oppgave 1. Gjennom poenget EN tegne en linje vinkelrett på linjen M(Fig. 67).
Ved å analysere den grafiske tilstanden til problemet, merker vi det m|| X, som betyr at den rette linjen M er fronten ( M|| V).
Derfor må konstruksjonen av den ønskede rette linjen begynne med frontprojeksjonen, og tegne den vinkelrett på projeksjonen m', fordi det er en rett linje på frontplanet av projeksjoner M projiseres uten forvrengning og på frontalplanet av projeksjoner V den rette vinkelen mellom de gitte og nykonstruerte rette linjene vil bli projisert uten forvrengning.
1. Konstruer en frontal projeksjon av ønsket segment a′b′⊥ m′.
2. Bestem posisjonen til punktet b' på projeksjon m' og ved projeksjonsforbindelse bestemmer vi den horisontale projeksjonen b på projeksjon m.
3. Konstruer en horisontal projeksjon av ønsket segment ab.
Ris. 67. Konstruksjon av en vinkelrett på en linje M Ris. 68. Byggehøyde i ∆ ABC
Oppgave 2. Gjennom toppen MED tegne høyden på trekanten ABC(Fig. 68).
Løsning. Vi analyserer diagrammet og merker at siden av trekanten AB|| H, mens den horisontale projeksjonen vises i naturlig størrelse.
Derfor må konstruksjonen av høyden begynne med en horisontal projeksjon.
Rekkefølgen for utførelse av den grafiske delen av oppgaven:
1. Fra et punkt Med tegne et segment vinkelrett på siden ab.
2. Pek d– base høyde, CD– horisontal projeksjon av høyde.
3. Projisere et poeng d til frontprojeksjonen av siden a′b′ og vi får frontprojeksjonen av punktet d′ og bygge en frontal høydeprojeksjon c′d′.
Oppgave 3. Bestem avstanden fra et punkt TIL til en rett linje N(Fig. 69).
Løsning. Det skal bemerkes at når du løser problemer med å bestemme avstander, er det nødvendig å konstruere ikke bare projeksjoner av avstanden, men også bestemme dens naturlige verdi.
Den korteste avstanden fra et punkt til en linje er verdien av vinkelrett trukket fra dette punktet til linjen. Ved å analysere diagrammene merker vi at den rette linjen N er frontal og vises på frontalprojeksjonen uten forvrengning.
Derfor må konstruksjonen av en vinkelrett projeksjon begynne med frontprojeksjonen.
Rekkefølgen for utførelse av den grafiske delen av oppgaven:
1. Fra et punkt k′ senk vinkelrett på projeksjonen av linjen n′, vi skjønner poenget e′. Frontal projeksjon av perpendikulæren – k′ e′.
2. Projiser det resulterende punktet på den horisontale projeksjonen av linjen n, vi får et poeng e og horisontal projeksjon av perpendikulæren ke.
3. Etter anslagene å dømme, rett KE generell stilling. Ved å bruke den rette trekantmetoden bestemmer vi dens naturlige størrelse | KE|.
Avstand fra punkt TIL til en rett linje N lik lengden på segmentet - TIL O e′.
KE, N = K o e′= 30 mm.
3.5. Spesielle flylinjer
Rette linjer som inntar en spesiell posisjon i flyet:
1. Plane nivålinjer.
2. Linjer med største helning av planet til projeksjonsplanene.
Plane nivålinjer
Plane nivålinjer– rette linjer som ligger i et gitt plan og parallelt med projeksjonene: horisontale, frontale, profilrettede linjer.
Horisontalt plan - en rett linje som ligger i et gitt plan og parallelt med projeksjonsplanet N. Det bør huskes at alle horisontale linjer i samme plan er parallelle med hverandre.
Den horisontale projeksjonen av det horisontale er parallelt med det horisontale sporet til planet, det horisontale sporet til planet er null horisontalt av planet. Å konstruere en horisontal linje i et plan R, gitt av sporene, må være på frontalprojeksjonen P V markere et punkt d" - frontal projeksjon av det horisontale sporet (fig. 67 EN). Gjennom den tegner vi en frontal projeksjon av den horisontale parallelt med aksen X. På aksen X finn den horisontale projeksjonen d. En rett linje trukket fra et punkt d parallelt med stien R N planet, representerer den horisontale projeksjonen av horisontalen.
I fig. 70 b horisontale projeksjoner tegnes gjennom projeksjonene av punktet D og prikker 1 rett EU plan definert av en trekant CDE. Konstruksjonen av horisontalen begynner alltid med en frontal projeksjon d"1", som er parallell med aksen X. Bruk egenskapen til medlemskap, finn den horisontale projeksjonen av et punkt 1 og utføre en horisontal projeksjon av horisontalen.
|
|
Ris. 70. Horisontalplan:
EN- i flyet R, gitt av spor; b– i planet spesifisert av ∆ СDE
Frontplan– en rett linje som ligger i et plan og parallelt med projeksjonene V(Fig. 71).
Konstruksjonen av front- og profillinjene utføres på samme måte som konstruksjonen av den horisontale, basert på de kjente egenskapene til projeksjoner av nivålinjer og egenskapen til tilhørighet, og de begynner med projeksjonen som er parallell med den tilsvarende projeksjonsaksen. Alle frontaler av samme plan er parallelle med hverandre. Det samme kan sies om profilens rette linjer på plannivået.
Profil rett linje av plan nivå er en rett linje som ligger i et gitt plan og parallelt med profilplanet for projeksjoner (fig. 72).
|
|
Ris. 71. Frontplan:
EN- i flyet R, gitt av spor; b– i planet spesifisert av ∆ СDE
Ris. 72. Nivåprofillinje VÆRE plan ∆ ABC
Direkte projeksjoner.
Reversibilitet for tegning
Reversibilitet for tegning. Ved å projisere på ett projeksjonsplan oppnås et bilde som ikke lar en entydig bestemme formen og dimensjonene til det avbildede objektet. Projeksjon A 1 (se fig. 1.4.) bestemmer ikke posisjonen til selve punktet i rommet, siden det er ukjent hvor langt det er fjernet fra projeksjonsplanet P 1. I slike tilfeller snakker vi om irreversibilitet tegning , siden det er umulig å reprodusere originalen ved hjelp av en slik tegning. For å eliminere usikkerhet, er bilder supplert med nødvendige data. I praksis brukes ulike metoder for å supplere en enkeltprojeksjonstegning.
KAPITTEL 2
En rett linje kan betraktes som et resultat av skjæringspunktet mellom to plan (Figur 2.1, 2.2.).
Den rette linjen i rommet er ubegrenset. Den begrensede delen av en linje kalles et segment.
Å projisere en linje kommer ned til å konstruere projeksjoner av to vilkårlige punkter av den, siden to punkter helt bestemmer posisjonen til linjen i rommet. Ved å senke perpendikulærene fra punktene A og B (Fig. 2.2.) til skjæringspunktet med planet P 1, bestemmes deres horisontale projeksjoner A 1 og B 1. Segment A 1 B 1 – horisontal projeksjon av rett linje AB. Et lignende resultat oppnås ved å tegne perpendikulære til P 1 fra vilkårlige punkter på linjen AB. Kombinasjonen av disse perpendikulære (utstikkende stråler) danner et horisontalt projisert plan a, som skjærer med planet P 1 langs rett linje A 1 B 1 - den horisontale projeksjonen av rette AB. Basert på de samme betraktningene oppnås en frontalprojeksjon A 2 B 2 av rett AB (Figur 2.2).
Én projeksjon av en rett linje bestemmer ikke dens posisjon i rommet. Segmentet A 1 B 1 (Fig. 2.1.) kan faktisk være en projeksjon av et vilkårlig segment som ligger i det projiserte planet a. Posisjonen til en linje i rommet er unikt bestemt av kombinasjonen av de to projeksjonene. Ved å rekonstruere fra det horisontale punktet A 1 B 1 og frontal P 1 og P 2, får vi to utstående plan a og b, som skjærer langs en enkelt rett linje AB.
Den komplekse tegningen (Figur 2.3) viser et rett linjesegment AB i generell posisjon, hvor A 1 B 1 er horisontal, A 2 B 2 er frontal og A 3 B 3 er en profilprojeksjon av segmentet. For å konstruere den tredje projeksjonen av segmentet. For å konstruere den tredje projeksjonen av et rett linjesegment ved hjelp av to data, kan du bruke de samme metodene som for å konstruere den tredje projeksjonen av et punkt: projeksjon (fig. 2.4.), koordinat (fig. 2.5.) og bruk av en konstant rettlinje linje av tegningen (fig. 2.6.).
2.2. Posisjonen til linjen i forhold til projeksjonsplanet.
I fig. 1.5. viser et parallellepiped med en avskåret topp og en vilkårlig trekantet pyramide. Kantene på et parallellepiped og en pyramide opptar forskjellige posisjoner i rommet i forhold til projeksjonsplanene. For å bygge og lese tegninger må du kunne analysere posisjonene til en rett linje. I henhold til deres plassering i rommet er linjer delt inn i private linjer og generelle linjer.
Direkte private forsyninger kan være projektivt og direkte nivå.
Projiserte linjer er de som er vinkelrett på et av projeksjonsplanene, dvs. parallelt med to andre plan P 1, kalles en horisontalt projisert rett linje; dens horisontale projeksjon A 1 B 1 er et punkt, og dens front- og profilprojeksjoner er rette linjer parallelle med Oz-aksen. Rett linje CD (Fig. 2.7.) vinkelrett på projeksjonsplanet P 2 kalles den frontalt projiserte rette linjen; dens frontale projeksjon C 2 D 2 er et punkt, og dens horisontale projeksjoner og profilprojeksjoner er rette linjer parallelt med Oy-aksen. Den rette linjen MN (Fig. 2.8.) vinkelrett på projeksjonsplanet P 3 kalles en profil som rager rett linje; dens profilprojeksjon M 3 N 3 er et punkt, og dens horisontale og frontale projeksjoner er rette linjer parallelt med Ox-aksen.
Følgelig, på et av projeksjonsplanene er den utstikkende rette linjen avbildet som et punkt, og på de to andre - i form av segmenter som inntar en horisontal eller vertikal posisjon, hvis størrelse er horisontal eller vertikal, hvis størrelse er lik naturverdien til selve det rette segmentet.
Nivålinjer er linjer parallelle med et av projeksjonsplanene. Rett AB (fig. 2.9.), parallelt med horisontalplanet av projeksjoner P 1, kalles en horisontal rett linje, eller kort sagt en horisontal. Dens frontale projeksjon A 2 B 2 er parallell med projeksjonens akse Ox, og den horisontale projeksjonen A 1 B 1 er lik den naturlige verdien av det rette linjesegmentet (A 1 B 1 = AB). Vinkelen b mellom den horisontale projeksjonen A 1 B 1 og Ox-aksen er lik den naturlige verdien av helningsvinkelen til den rette linjen AB til projeksjonsplanet P 2.
Den rette linjen CD (Fig. 2.10.) parallelt med frontalplanet av projeksjoner P 2 kalles den frontale rette linjen, eller kort sagt den frontale. Dens horisontale projeksjon C 1 D 1 er parallell med Ox-aksen, og dens frontale projeksjon C 2 D 2 er lik den naturlige verdien av det rette linjesegmentet (C 2 D 2 = CD). Vinkelen a mellom frontprojeksjonen C 2 D 2 og Ox-aksen er lik den faktiske helningsvinkelen til den rette linjen til projeksjonsplanet P 1.
Den rette linjen MN (Fig. 2.11.) parallelt med profilplanet til fremspringene P 3 kalles profilens rette linje. Dens frontale M 2 N 2 og horisontale M 1 N 1-fremspring er vinkelrett på Ox-aksen, og profilprojeksjonen er lik den naturlige størrelsen på segmentet (M 3 N 3 = MN). Vinklene a og b mellom profilprojeksjonen og Oy 3- og Oz-aksene er lik den faktiske verdien av helningsvinklene til den rette linjen til planet til projeksjonene P 1 og P 2.
Følgelig projiseres de rette linjene på nivået på et av projeksjonsplanene i naturlig størrelse, og på de to andre - i form av segmenter med redusert størrelse, som opptar en vertikal eller horisontal posisjon på tegningen. Fra tegningen kan du bestemme helningsvinklene til disse rette linjene til projeksjonsplanene.
Hvis en rett linje ligger i projeksjonsplanet, faller en av dens projeksjoner (med samme navn) sammen med selve den rette linjen, og de to andre sammenfaller med projeksjonenes akser. For eksempel ligger rett linje AB (Fig. 2.12) i planet P 1. Dens horisontale projeksjon A 1 B 1 smelter sammen med den rette linjen AB, og den frontale projeksjonen A 2 B 2 smelter sammen med Ox-aksen. En slik rett linje kalles den horisontale nulllinjen, siden høyden på punktene (z-koordinaten) er null.
Direkte linje i generell stilling kalt en rett linje skråstilt til alle projeksjonsplaner. Dens fremspring danner spisse eller stumpe vinkler med Ox-, Oy- og Oz-aksene, dvs. ingen av projeksjonene er parallelle eller vinkelrette på aksene. Størrelsen på projeksjonene til en linje i generell posisjon er alltid mindre enn den naturlige størrelsen på selve segmentet. Direkte fra tegningen, uten tilleggskonstruksjoner, er det umulig å bestemme den faktiske størrelsen på den rette linjen og dens helningsvinkel til projeksjonsplanene.
Hvis et punkt ligger på en linje, er projeksjonene av punktet på de samme projeksjonene av linjen og på en felles forbindelseslinje.
I fig. 2.13. punkt C ligger på rett linje AB, siden dets projeksjoner C 1 og C 2 er henholdsvis på den horisontale A 1 B 1 og på de frontale A 2 B 2 projeksjonene av den rette linjen. Punktene M og N tilhører ikke linjen, siden en av projeksjonene til hvert punkt ikke er på projeksjonen av linjen med samme navn.
Projeksjonene av et punkt deler projeksjonene til en linje i samme forhold som punktet selv deler et linjestykke, dvs. Bruk denne regelen, del et gitt rett linjesegment i det nødvendige forholdet. For eksempel, i fig. 2.14. rett linje EF er delt med punktet K i forholdet 3:5. Inndelingen gjøres på en måte kjent fra geometrisk tegning.