5. Parallelle linjer
To rette linjer kalles parallell, hvis de er i samme plan og ikke krysser hverandre.
Parallellitet av linjer er indikert med tegnet || (for eksempel AB||CD).
Teorem. To perpendikulærer til samme linje er parallelle.
Bevis: Hvis perpendikulærene krysset hverandre på et tidspunkt, ville to perpendikulære bli trukket fra dette punktet til en rett linje, noe som er umulig.
Navn på vinkler oppnådd når to rette linjer krysser en tredje
Tegn på parallellisme.
Hvis, når to rette linjer krysser en tredje rett linje:
alle tilsvarende vinkler er like,
eller noen kryssvinkler er like,
eller summen av to interne eller to ytre ensidige vinkler er lik 180 grader,
da er de to linjene parallelle.
Aksiomet for parallelle linjer.
Gjennom samme punkt er det umulig å trekke to forskjellige linjer parallelt med samme linje.Konsekvens 1. Hvis en linje skjærer en av de parallelle linjene, så skjærer den også den andre.
Konsekvens 2. To linjer parallelle med en tredje er parallelle.
Vinkler med henholdsvis parallelle eller vinkelrette sider.
Teorem. Hvis sidene av en vinkel er henholdsvis parallelle med sidene til en annen vinkel, så er slike vinkler enten like eller summerer til to rette vinkler.
Teorem. Hvis sidene av en vinkel er henholdsvis vinkelrett på sidene til en annen vinkel, så er slike vinkler enten like eller summerer opp til to rette vinkler.
Summen av vinklene til en trekant og en polygon.
Teorem. Summen av vinklene i en trekant er lik to rette vinkler.
Konsekvenser
:1. Hver ytre vinkel i en trekant er lik summen av to indre vinkler.
2. Hvis to vinkler i en trekant er lik to vinkler i en annen trekant, så er de tredje vinklene også like.
3. Summen av to spisse vinkler i en rettvinklet trekant er lik en rett vinkel.
Teorem. Summen av vinkler
n-gon er 180*(n-2) grader.Teorem. Summen av de ytre vinklene til en polygon er lik fire rette vinkler.
2. Gitt to linjer som skjærer i punkt C. Ligger en tredje linje med dem i samme plan, og har et felles punkt med hver av disse linjene?
3.
4. Avstanden mellom to parallelle plan er 8 cm Et rett segment, hvis lengde er 17 cm, er plassert mellom dem slik at endene tilhører planene. Finn projeksjonen av dette segmentet på hvert av planene.
5. Fullfør setningen for å lage riktig påstand:
D) Jeg vet ikke
6. Linjene a og b er vinkelrette. Punktene A og B tilhører rett linje a, punktene C og D tilhører rett linje b. Ligger rette linjer AC og BD i samme plan?
7. I kuben ABCDA1B1C1D1 er diagonalene til flatene AC og B1D1 tegnet. hva er deres relative posisjon?
8. Kanten på kuben ABCDA1B1C1D1 er lik m. Finn avstanden mellom rette linjer AB og CC1.
A) 2m B) 1/2m C) m D) Jeg vet ikke
9. Finn ut om påstanden er sann:
A) ja B) nei C) ikke alltid D) vet ikke
10. I kuben ABCDA1B1C1D1, finn vinkelen mellom planene BCD og ВСС1В1.
A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°
11. Finnes det et prisme med bare en sideflate vinkelrett på basen?
A) ja B) nei C) Jeg vet ikke
12. Kan diagonalen til et rektangulært parallellepiped være mindre enn sidekanten?
A) ja B) nei C) Jeg vet ikke
13. Hva er sideoverflatearealet til en kube med kant 10?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Hva er det totale overflatearealet til en terning hvis diagonalen er d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Hvor mange symmetriplan har en vanlig firkantet pyramide?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Hva er aksialsnittet til en vanlig pyramide?
A) likesidet trekant
B) rektangel
B) trapes
D) likebenet trekant
vennligst hjelp meg med å løse testen1. Hvor mange felles linjer kan to forskjellige ikke-sammenfallende plan ha?
A) 1 B) 2 C) et uendelig antall D) ingen E) Jeg vet ikke
2. Gitt to linjer som skjærer i punkt C. Ligger en tredje linje med dem i samme plan, og har et felles punkt med hver av disse linjene?
A) alltid ja B) alltid nei C) løgn, men ikke alltid D) Jeg vet ikke
3. Finn ut om påstanden er sann:
To plan er parallelle hvis de er parallelle med samme linje.
A) ja B) nei C) vet ikke D) ikke alltid
4. Avstanden mellom to parallelle plan er 8 cm Et rett segment, hvis lengde er 17 cm, er plassert mellom dem slik at endene tilhører planene. Finn projeksjonen av dette segmentet på hvert av planene.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Jeg vet ikke
5. Fullfør setningen for å lage den riktige setningen:
Hvis en rett linje som ligger i ett av to vinkelrette plan er vinkelrett på skjæringslinjen deres, så...
A) parallelt med et annet plan
B) skjærer med et annet plan
B) vinkelrett på et annet plan
D) Jeg vet ikke
6. Linjene a og b er vinkelrette. Punktene A og B tilhører rett linje a, punktene C og D tilhører rett linje b. Ligger rette linjer AC og BD i samme plan?
A) ja B) nei C) ikke alltid D) Jeg vet ikke
7. I kuben ABCDA1B1C1D1 er diagonalene til flatene AC og B1D1 tegnet. hva er deres relative posisjon?
A) skjære B) skjære C) parallelt D) vet ikke
8. Kanten på kuben ABCDA1B1C1D1 er lik m. Finn avstanden mellom rette linjer AB og CC1.
A) 2m B) B) m D) Jeg vet ikke
9. Finn ut om påstanden er sann:
Hvis to rette linjer danner like vinkler med samme plan, så er de parallelle.
A) ja B) nei C) ikke alltid D) Jeg vet ikke
10. I kuben ABCDA1B1C1D1, finn vinkelen mellom planene BCD og ВСС1В1.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Er det et prisme med bare en sideflate vinkelrett på basen?
A) ja B) nei C) Jeg vet ikke
12. Kan diagonalen til et rektangulært parallellepiped være mindre enn sidekanten?
A) ja B) nei C) Jeg vet ikke
13. Hva er arealet av sideflaten til en kube med kant 10?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Hva er det totale overflatearealet til en terning hvis diagonalen er d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Hvor mange symmetriplan har en vanlig firkantet pyramide?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Hva er aksialsnittet til en vanlig pyramide?
A) likesidet trekant
B) rektangel
B) trapes
D) likebenet trekant
punkter som ikke ligger på samme linje?
2. Kan to forskjellige plan bare ha to felles punkter?
Direkte a ogb skjære i et punkt M. En rett linje c som ikke går gjennom punktet M, skjærer linjene EN Og b. Ligger alle disse tre linjene i samme plan? Hva er den relative plasseringen av linjene: 1) EN 1 D Og MN; 2) EN 1 D Og V1C; 3) MN Og A 1B1(Figur 1). Direkte EN Og b krysset med en rett linje Med. Kan rett EN Og b være parallell? To linjer er parallelle med samme plan. Kan vi si at disse linjene er parallelle med hverandre? Hvis ikke, hva er deres relative stilling? I figur 2 er det rette linjer type parallell. Poeng EN Og I henholdsvis tilhører den direkte typen; b ligger i et fly α, a\\b. Hva er den relative plasseringen av linjene b og c? Gitt en firkant ABCD og fly α. Dens diagonaler AC Og BD parallelt med flyet α. Hva er den gjensidige posisjonen AB og fly α? Fly α og β er parallelle. Kryss på et punkt M rett EN Og b krysse flyet α henholdsvis på punkter I Og EN, og planet β - på poeng E Og F Finn en holdning
10. Flathet α går gjennom diagonalen til bunnen av parallellepipedet og midten av en av sidene av den øvre bunnen. Bestem typen seksjon.
La et fly og et punkt som ikke ligger på det gis:
En perpendikulær som slippes fra et gitt punkt til et gitt plan er et segment som forbinder et gitt punkt med et punkt på planet og som ligger på en rett linje vinkelrett på planet;
- enden av dette segmentet som ligger i planet kalles basen til perpendikulæren;
- avstanden fra et punkt til et plan er lengden av en vinkelrett trukket fra dette punktet til planet;
En skrå linje trukket fra et gitt punkt til et gitt plan er ethvert segment som forbinder et gitt punkt med et punkt på planet som ikke er vinkelrett på planet;
- enden av segmentet som ligger i planet kalles den skråstilte basen;
Et segment som forbinder basene til en perpendikulær og en skrå trukket fra samme punkt kalles en skrå projeksjon.
På figuren, fra punkt A, er vinkelrett AB og skrå AC trukket til planet. Punkt B er bunnen av perpendikulæren, punkt C er bunnen av den skråstilte, BC er projeksjonen av den skrånende AC på planet.
Tre perpendikulære teorem:
Hvis en rett linje tegnet på et plan gjennom skrånende base, vinkelrett på den projeksjoner, så er den vinkelrett tilbøyelig. Og omvendt: Hvis en rett linje i et plan er vinkelrett på en skrånende, så er den vinkelrett og skrå projeksjon.
To kryssende plan kalles vinkelrett hvis det tredje planet, vinkelrett på skjæringslinjen til disse planene, skjærer dem langs vinkelrette linjer.
Eksempel nr. 1
En rett linje trekkes gjennom midten av en sirkel innskrevet i en trekant, vinkelrett på trekantens plan. Bevis at hvert punkt på denne linjen er like langt fra sidene av trekanten.
La A, B, C være kontaktpunktene til sidene av trekanten med sirkelen, O være sentrum av sirkelen og S være punktet på perpendikulæren. Siden radius OA er vinkelrett på siden av trekanten, er segmentet SA vinkelrett på denne siden, i henhold til teoremet om tre perpendikulære, og lengden er avstanden fra punktet S til siden av trekanten. I følge Pythagoras teorem, SA=, hvor r er radiusen til den innskrevne sirkelen. På samme måte finner vi: 
, dvs. alle avstander fra punkt S til sidene av trekanten er like.
Kontrollspørsmål:
- Hva er en perpendikulær som slippes fra et gitt punkt til et plan?
- Hva er skråprojeksjon?
Praktisk del:
1. Gitt en rett linje a og et plan. Tegn gjennom en linje a et plan vinkelrett på planet.
2. Bevis at hvis en linje er parallell med et plan, så er alle punktene i samme avstand fra planet.
3. To skråstilte tegnes fra et punkt til et plan, hvorav den ene er 20 cm større enn den andre. De skrå fremspringene er 10 cm og 30 cm. Finn de skrånende.
4. Siden av en firkant er 4 cm. Punktet like langt fra alle hjørnene på firkanten er i en avstand på 6 cm fra skjæringspunktet mellom dens diagonaler. Finn avstanden fra dette punktet til hjørnene på kvadratet.
5. To skrånende skråninger tegnes fra en spiss til et plan, lik 10 cm og 17 cm. Forskjellen i projeksjonene til disse skrånende er 9 cm.
6. To skrånende skråninger tegnes fra et punkt til et plan, lik 23 cm og 33 cm Finn avstanden fra dette punktet til planet hvis projeksjonene til de skrånende er i forholdet 2:3.
8. Linje a er vinkelrett på plan ABC. MD = 13. AC = 15, BC = 20. AC BC, MD AB. Finn MC.
9. Bena til rettvinklet ABC (C = 90°) er lik 4 cm og 3 cm Punkt M er plassert i en avstand på √6 cm fra trekantens ABC-plan og i samme avstand fra alle dets topper. Finn avstanden fra punkt M til toppunktene i trekanten.
Litteratur:
1. Matematikk: lærebok for institusjoner som begynner. og onsdag prof. utdanning / M.I. Bashmakov. –M.: Forlagssenter "Academy", 2010.
Selvstendig arbeid nr. 5.
Løse problemer som involverer telling av antall plasseringer og permutasjoner.
Hensikt med leksjonen: å mestre metoder for å løse problemer som involverer beregning av antall prøver
Teoretisk del:
Kombinatorikk er en del av matematikken som er viet til å løse problemer med å velge og ordne elementer i et bestemt begrenset sett i samsvar med gitte regler, dvs. kombinatorikk løser problemet med å velge elementer fra et begrenset sett og ordne disse elementene i en eller annen rekkefølge.
Arrangementer av n - elementer etter m - elementer () er kombinasjoner bygd opp av gitte n - elementer ved m - elementer som skiller seg fra hverandre enten i selve elementene eller i elementenes rekkefølge.
N(n-1)(n-2)...(n-m+1)
Eksempel nr. 1. Hvor mange tresifrede tall kan lages av tallene 1...9?
Permutasjoner av n - elementer er antall plasseringer av disse n - elementene med n - elementer.
N(n-1)(n-2)...1=n!
Eksempel nr. 2. På hvor mange måter kan 5 bøker ordnes på en hylle?
Kombinasjoner av n - elementer med m - elementer er kombinasjoner bygd opp av gitte n - elementer ved m - elementer som skiller seg fra hverandre med minst ett element.
Eksempel nr. 3. Det er 30 elever i en gruppe. For å bestå prøven må de deles inn i tre grupper. På hvor mange måter kan dette gjøres?
Kontrollspørsmål:
1. Skissere målene for kombinatorikk.
2. Hva kalles antall kombinasjoner av n elementer av m?
3. Hva kalles antall plasseringer av n elementer i m?
4. Hva kalles en permutasjon av n elementer?
Praktisk del:
1. På hvor mange måter kan en gruppe på 25 personer sende 4 studenter til en vitenskapelig og praktisk konferanse?
2. Ti elever håndhilste. Hvor mange håndtrykk var det?
3. På hvor mange måter kan et stripete flagg i tre farger lages av syv stykker materiale i forskjellige farger?
4. Hvor mange ordbøker må publiseres for å kunne oversette fra noen av de fem språkene til noen av dem?
5. Regn ut:
6. Regn ut:
7. Regn ut: 5! + 6!
8. Finn antall arrangementer av 10 elementer av 4.
9. Regn ut:
10. Tretti studenter utvekslet bilder. Hvor mange bilder ble det totalt?
11. På hvor mange måter kan tre personer velges ut fra åtte kandidater til tre stillinger?
12. Løs ligningen:
13. Regn ut verdien av uttrykket:
14. Regn ut verdien av uttrykket.