Lineære differensialligninger av første orden Bernoullis metode

Differensialligninger av formen kalles lineære. Det er flere metoder for å løse dem: Bernoullis metode, Lagranges metode, integrerende faktor metode.
Bernoulli metode
Løse ligningen søkes i skjemaet . Med denne erstatningen får vi: Funksjonen velges fra betingelsen .Den resulterende funksjonen erstattes i ligningen (vi tar i betraktning ), løse hvilke finner funksjonen .

Homogene ligninger av første orden.

Første ordens differensialligning

kalt homogen, hvis høyre side tilfredsstiller relasjonen

for alle verdier t. Med andre ord må høyresiden være en homogen funksjon av null orden med hensyn til variablene x Og y:

Den homogene differensialligningen kan også skrives som

eller gjennom differensialer:

Hvor P(x,y) Og Q(x,y) er homogene funksjoner av samme rekkefølge.

Definisjon av en homogen funksjon

Funksjon P(x,y) er kalt homogen funksjon rekkefølge n, hvis for alle t> 0 gjelder følgende relasjon:

32.Lineær avhengighet og uavhengighet av et funksjonssystem på et intervall. Funksjoner y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x), definert på intervallet [ a ; b ] kalles lineært avhengig på en; b ] hvis det er konstanter α 1 , α 2 , ..., α n, ikke lik null på samme tid og slik at α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) + ... + α n y n(x) = 0 for alle x fra segmentet [ a ; b]. Ellers kalles funksjonene y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x) lineært uavhengige.

Lineær avhengighet og lineær uavhengighet av funksjoner er også definert på (a; b), (a; b], [a; b), på uendelige intervaller.

Følgende utsagn er sann.

Funksjoner y 1 (x), y 2 (x), ..., y n(xen;b] hvis og bare hvis minst en av dem er en lineær kombinasjon av de andre på dette segmentet.

Følgende utsagn er åpenbare.

Hvis blant funksjonene y 1 (x), y 2 (x), ..., y n(x) er en nullfunksjon, så er funksjonene lineært avhengige.

Hvis funksjonene y 1 (x), y 2 (x), ..., y k(x) lineært avhengig, deretter for noen y k + 1 (x), y k + 2 (x), ..., y n (x) funksjoner y 1 (x), y 2 (x), ..., y k(x), y k + 1 (x), ..., y n(x) er også lineært avhengige.

Hvis funksjonene y 1 (x), y 2 (x), ..., y n(x) er lineært avhengig av intervallet [ en;b] , så er de lineært avhengige av ethvert segment som ligger inne i [ en;b] .

Hvis funksjonene y 1 (x), y 2 (x), ..., y n(x) er lineært uavhengige av [ en;b], så er de lineært uavhengige av ethvert segment som inneholder segmentet [a; b] (hvis de er definert på dette segmentet).

Vronskys determinant. Generelle teoremer

La oss gi lineær uavhengighetstest n partielle løsninger av en homogen lineær ligning n-te orden. For dette formålet tar vi i betraktning en determinant som består av disse spesielle løsningene og deres derivater opp til rekkefølgen n– 1 inkludert:

W(x) =

Denne determinanten kalles Wronski-determinanten for løsninger y 1 , y 2 , …, y n.

Teorem. For at løsningene skal være lineært uavhengige i ( en, b), dvs. i kontinuitetsintervallet til koeffisientene til ligningen L(y) = 0, det er nødvendig og tilstrekkelig at W(x) forsvant ikke på noe tidspunkt fra ( en, b).

Verdien av Vronskys determinant n løsninger til en homogen lineær ligning L(y) = 0 er nært beslektet med selve ligningen, nemlig: følgende Ostrogradsky-Liouville-formel gjelder:

W(x) = W(x 0) .

Fra formelen er det klart at Wronski-determinanten n løsninger på ligningen L(y) = 0 har to bemerkelsesverdige egenskaper:

1. Hvis W(x) forsvinner på ett tidspunkt i intervallet ( en, b), så er den lik null på alle punktene i dette intervallet.
2. Hvis W(x) er ikke lik null på ett punkt fra intervallet ( en, b), så er den forskjellig fra null på alle punkter i dette intervallet.

Altså for å n løsninger utgjorde et grunnleggende system av løsninger til ligningen L(y) = 0 i intervallet ( en, b), er det tilstrekkelig at deres Wronski-determinant er forskjellig fra null på ett punkt x 0 ∈ (en, b).

Wronski-determinanten for funksjoner er introdusert som en determinant hvis kolonner er deriverte av disse funksjonene fra null (selve funksjonene) til n-1. orden.

.

Teorem. Hvis funksjonene er altså lineært avhengige

Bevis. Siden funksjonene er lineært avhengige, så uttrykkes noen av dem lineært gjennom de andre, for eksempel,

Identiteten kan differensieres, så

Deretter blir den første kolonnen av Wronski-determinanten lineært uttrykt gjennom de resterende kolonnene, slik at Wronski-determinanten er identisk lik null.

Teorem.For at løsningene av en lineær homogen differensialligning av n-te orden skal være lineært avhengig, er det nødvendig og tilstrekkelig at.

Bevis. Nødvendighet følger av forrige teorem.

Tilstrekkelighet. La oss fikse et punkt. Siden er kolonnene til determinanten beregnet på dette punktet lineært avhengige vektorer.

, at relasjonene er tilfredsstilt

Siden en lineær kombinasjon av løsninger til en lineær homogen ligning er løsningen, kan vi introdusere en løsning av formen

En lineær kombinasjon av løsninger med samme koeffisienter.

Legg merke til at denne løsningen tilfredsstiller null startbetingelser dette følger av ligningssystemet skrevet ovenfor. Men den trivielle løsningen av en lineær homogen ligning tilfredsstiller også de samme nullstartbetingelsene. Derfor, fra Cauchys teorem følger det at den introduserte løsningen er identisk lik den trivielle, derfor,

derfor er løsningene lineært avhengige.

Konsekvens.Hvis Wronski-determinanten, bygget på løsninger av en lineær homogen ligning, forsvinner i det minste på ett punkt, er den identisk lik null.

Bevis. Hvis , så er løsningene lineært avhengige, derfor .

Teorem.1. For lineær avhengighet av løsninger er det nødvendig og tilstrekkelig(eller ).

2. For lineær uavhengighet av løsninger er det nødvendig og tilstrekkelig.

Bevis. Det første utsagnet følger av teoremet og konsekvensen bevist ovenfor. Det andre utsagnet kan lett bevises ved selvmotsigelse.

La løsningene være lineært uavhengige. Hvis , så er løsningene lineært avhengige. Motsigelse. Derfor, .

La . Hvis løsningene er lineært avhengige, da , dermed en selvmotsigelse. Derfor er løsningene lineært uavhengige.

Konsekvens.Forsvinningen av Wronski-determinanten i det minste på ett punkt er et kriterium for den lineære avhengigheten av løsninger til en lineær homogen ligning.

Forskjellen mellom Wronski-determinanten og null er et kriterium for den lineære uavhengigheten av løsninger til en lineær homogen ligning.

Teorem.Dimensjonen til løsningsrommet til en lineær homogen ligning av n-te orden er lik n.

Bevis.

a) La oss vise at det finnes n lineært uavhengige løsninger på en lineær homogen differensialligning av n-te orden. La oss vurdere løsninger , som tilfredsstiller følgende startbetingelser:

...........................................................

Slike løsninger finnes. Faktisk, ifølge Cauchys teorem, gjennom punktet går gjennom en enkelt integrert kurve - løsningen. Gjennom poenget løsningen går gjennom punktet

- løsning, gjennom et punkt - løsning .

Disse løsningene er lineært uavhengige, siden .

b) La oss vise at enhver løsning til en lineær homogen ligning er lineært uttrykt gjennom disse løsningene (er deres lineære kombinasjon).

La oss vurdere to løsninger. En - en vilkårlig løsning med startbetingelser . Greit forhold

Forelesninger 13. Lineære differensialligningern-te orden med variable koeffisienter.

Lineær homogen

Lineær heterogen n. ordens differensialligning med variable koeffisienter kan skrives som

Hvis koeffisientene og høyre side er kontinuerlige funksjoner og , er betingelsene for Cauchys teorem oppfylt, løsninger på homogene og inhomogene ligninger finnes og er unike.

La oss introdusere den lineære differensialoperatoren

Her betegner differensieringsoperatoren.

Deretter lineær homogen ligningen kan skrives på formen, og lineær inhomogen – i formen.

Siden den er lineær, altså

Ved å bruke lineariteten til operatøren er det lett å bevise teoremer om egenskapene til løsninger av homogene og inhomogene ligninger(angitt nedenfor - løsningen av en homogen ligning, - løsningen av en ikke-homogen ligning).

Teoremer om egenskaper til løsninger.

1) summen eller forskjellen av løsninger av en homogen likning er løsningen av en homogen likning,

2) forskjellen mellom løsninger av en inhomogen ligning er en løsning av en homogen ligning,

3) summen av løsninger av homogene og inhomogene likninger er løsningen av den inhomogene likningen.

La oss bevise disse teoremene.

Teorem.Løsninger av en lineær homogen ligning med variable koeffisienter danner et lineært rom.

Bevis. Siden summen av alle to løsninger av en homogen ligning og produktet av en løsning med et tall igjen er løsninger av en homogen ligning, er operasjonene med addisjon og multiplikasjon med et tall på settet med løsninger definert riktig (de er ikke tatt ut av settet med løsninger).

Løsningene danner en additivgruppe under addisjon (Abelian-modul). Faktisk er assosiativiteten ved addisjon åpenbar (triviell løsning) er en løsning på en homogen ligning for hver løsning, den motsatte løsningen er også en løsning. Derfor er løsninger til en homogen ligning en addisjonsgruppe. Additiviteten til løsninger er åpenbar, så denne gruppen er additiv. Gyldigheten til fire av de åtte aksiomene er vist. Det er et tall "1" slik at det er en løsning, og assosiativitet med hensyn til multiplikasjon med tallet er sann . Dette er to aksiomer angående driften av multiplikasjon med et tall. Til slutt er to distributivitetsaksiomer gyldige, som forbinder operasjonene addisjon og multiplikasjon med et tall.

Så det er et komplett sett med åtte aksiomer. Tenk på dem igjen i mer detalj hjemme.

Lineær avhengighet og uavhengighet.

Funksjoner er kalt lineært uavhengig, Hvis

(bare en triviell lineær kombinasjon av funksjoner som er identisk lik null er tillatt). I motsetning til den lineære uavhengigheten til vektorer, er den lineære kombinasjonen her identisk med null, og ikke likhet. Dette er forståelig, siden likheten til en lineær kombinasjon til null må være tilfredsstilt for enhver verdi av argumentet.

Funksjoner er kalt lineært avhengig, hvis det er et sett med konstanter som ikke er null (ikke alle konstanter er lik null) slik at (det er en ikke-triviell lineær kombinasjon av funksjoner som er identisk lik null).

Teorem.For at funksjoner skal være lineært avhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig at noen av dem er lineært uttrykt gjennom de andre (representert som deres lineære kombinasjon).

Bevis dette teoremet selv; det er bevist på samme måte som et lignende teorem om vektorers lineære avhengighet.

Vronskys determinant.

Wronski-determinanten for funksjoner er introdusert som en determinant hvis kolonner er deriverte av disse funksjonene fra null (selve funksjonene) til n-1. orden.

.

Teorem. Hvis funksjonene er altså lineært avhengige

Bevis. Siden funksjonene er lineært avhengige, så uttrykkes noen av dem lineært gjennom de andre, for eksempel,

Identiteten kan differensieres, så

Deretter blir den første kolonnen av Wronski-determinanten lineært uttrykt gjennom de resterende kolonnene, slik at Wronski-determinanten er identisk lik null.

Teorem.For å løse en lineær homogen differensialligningnrekkefølgen er lineært avhengig, er det nødvendig og tilstrekkelig at.

Bevis. Nødvendighet følger av forrige teorem.

Tilstrekkelighet. La oss fikse et punkt. Siden er kolonnene til determinanten beregnet på dette punktet lineært avhengige vektorer.

, at relasjonene er tilfredsstilt

Siden en lineær kombinasjon av løsninger til en lineær homogen ligning er løsningen, kan vi introdusere en løsning av formen

En lineær kombinasjon av løsninger med samme koeffisienter.

Legg merke til at denne løsningen tilfredsstiller null startbetingelser dette følger av ligningssystemet skrevet ovenfor. Men den trivielle løsningen av en lineær homogen ligning tilfredsstiller også de samme nullstartbetingelsene. Derfor, fra Cauchys teorem følger det at den introduserte løsningen er identisk lik den trivielle, derfor,

derfor er løsningene lineært avhengige.

Konsekvens.Hvis Wronski-determinanten, bygget på løsninger av en lineær homogen ligning, forsvinner i det minste på ett punkt, er den identisk lik null.

Bevis. Hvis , så er løsningene lineært avhengige, derfor .

Teorem.1. For lineær avhengighet av løsninger er det nødvendig og tilstrekkelig(eller ).

2. For lineær uavhengighet av løsninger er det nødvendig og tilstrekkelig.

Bevis. Det første utsagnet følger av teoremet og konsekvensen bevist ovenfor. Det andre utsagnet kan lett bevises ved selvmotsigelse.

La løsningene være lineært uavhengige. Hvis , så er løsningene lineært avhengige. Motsigelse. Derfor, .

La . Hvis løsningene er lineært avhengige, da , dermed en selvmotsigelse. Derfor er løsningene lineært uavhengige.

Konsekvens.Forsvinningen av Wronski-determinanten i det minste på ett punkt er et kriterium for den lineære avhengigheten av løsninger til en lineær homogen ligning.

Forskjellen mellom Wronski-determinanten og null er et kriterium for den lineære uavhengigheten av løsninger til en lineær homogen ligning.

Teorem.Dimensjon av løsningsrommet til en lineær homogen ligningnav th orden er likn.

Bevis.

1. La oss vise at det finnes n lineært uavhengige løsninger til en lineær homogen differensialligning av n-te orden. La oss vurdere løsninger , som tilfredsstiller følgende startbetingelser:

...........................................................

Slike løsninger finnes. Faktisk, ifølge Cauchys teorem, gjennom punktet går gjennom en enkelt integrert kurve - løsningen. Gjennom poenget løsningen går gjennom punktet

- løsning, gjennom et punkt - løsning .

Disse løsningene er lineært uavhengige, siden .

2. La oss vise at enhver løsning til en lineær homogen ligning er lineært uttrykt gjennom disse løsningene (er deres lineære kombinasjon).

La oss vurdere to løsninger. En - en vilkårlig løsning med startbetingelser . Greit forhold

..........................................................................

Den andre løsningen er en lineær kombinasjon av løsninger med samme koeffisienter.

Ved å beregne startbetingelsene ved punktet for løsningen, sørger vi for at de sammenfaller med startbetingelsene for løsningen. Følgelig, i henhold til Cauchys teorem, er en vilkårlig løsning representert som en lineær kombinasjon av lineært uavhengige løsninger.

Det er altså n lineært uavhengige løsninger til en lineær homogen differensialligning av n-te orden, og en vilkårlig løsning uttrykkes lineært i form av disse løsningene. Derfor er dimensjonen til løsningsrommet til en lineær homogen differensialligning av n-te orden lik n. .

Enhver n lineært uavhengige løsninger av en lineær homogen differensialligning av n-te orden er basis løsningsrom eller grunnleggende system av løsninger.

Teorem om strukturen til den generelle løsningen av en homogen ligning.

Den generelle løsningen av en lineær homogen ligning er en lineær kombinasjon av løsninger av det grunnleggende systemet.

Bevis. La oss vise at den lineære kombinasjonen

Er en generell løsning (tilfredsstiller poengene i definisjonen av en generell løsning)

1. - løsning av en lineær homogen ligning som en lineær kombinasjon av løsninger.

2. La oss sette vilkårlige startbetingelser , vil vi vise at det er mulig å velge konstanter slik at de tilfredsstiller disse startbetingelsene.

.........................................................................

Dette er et system med lineære algebraiske ligninger for konstanter. Determinanten for dette systemet er Vronsky-determinanten. Det er ikke lik null, siden løsningene er lineært uavhengige. Derfor bestemmes konstantene fra dette systemet av startbetingelsene - høyresiden av systemet - på en unik måte.

Derfor er dette en generell løsning.

Kommentar. Wronski-determinanten (som enhver determinant) er et orientert n-dimensjonalt volum strukket over løsningsvektorene til det grunnleggende løsningssystemet.

Ostrogradsky-Liouville formel.

Tenk på den lineære homogene ligningen

Wronski-determinanten kan beregnes fra Ostrogradsky-Liouville formel

.

Avledning av Ostrogradsky-Liouville-formelen.

Det er en velkjent formel for derivatet av determinanten

.

La oss beregne ...+

0+...+0+ .

, .

Kommentar. Ostrogradsky – Liouville-formelen involverer bare koeffisientene til de to høyeste derivatene.

La oss se på et spesielt tilfelle av andreordensligningen.

Her kan Ostrogradsky-Liouville-formelen utledes enklere. La oss vurdere to spesielle løsninger

La oss multiplisere den første ligningen med og den andre med og trekke den første ligningen fra den andre.

Fordi , så = .

Nå kan ligningen skrives om som . Ved å løse denne ligningen med separerbare variabler får vi Ostrogradsky-Liouville-formelen

Formel for å konstruere den andre spesielle løsningen fra en kjent

(bygge et grunnleggende system).

.

La oss dele begge sider av ligningen med

.

Herfra. Vi må finne en bestemt løsning, så vi velger C = 1, C 1 = 0, får vi .

Teorem om strukturen til den generelle løsningen av en inhomogen ligning.

Den generelle løsningen av en lineær inhomogen ligning er summen av en spesiell løsning av en lineær inhomogen ligning og en generell løsning av en homogen ligning.

Bevis. La oss vise at det er den generelle løsningen av den inhomogene ligningen.

1. - løsning av en inhomogen ligning som summen av løsninger av homogene og inhomogene ligninger (setninger om egenskaper til løsninger).

Def. 14.5.3.1. Funksjonssystem y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) er kalt lineært avhengig på intervallet ( en , b ), hvis det er et sett med konstante koeffisienter som ikke er lik null på samme tid, slik at den lineære kombinasjonen av disse funksjonene er identisk lik null på ( en , b ): For
.

Hvis likestilling for
kun mulig med , funksjonssystem y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) er kalt lineært uavhengig på intervallet ( en , b ).

Med andre ord, funksjonene y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) lineært avhengig på intervallet ( en , b ), hvis det er lik null på ( en , b ) deres ikke-trivielle lineære kombinasjon. Funksjoner y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) lineært uavhengig på intervallet ( en , b ), hvis bare deres trivielle lineære kombinasjon er identisk lik null på ( en , b ).

Eksempler: 1. Funksjoner 1, x , x 2 , x 3 er lineært uavhengige av ethvert intervall ( en , b ). Deres lineære kombinasjon
- gradspolynom
- kan ikke ha på ( en , b ) er mer enn tre røtter, så likheten for
kun mulig med.

3. Funksjoner
lineært uavhengig av ethvert intervall ( en , b ), Hvis
. Faktisk, hvis f.eks.
, deretter likestilling
finner sted på et enkelt punkt
.

4. Funksjonssystem
er også lineært uavhengig hvis tallene k Jeg (Jeg = 1, 2, …, n ) er parvis forskjellige, men direkte bevis på dette er ganske tungvint.

Som eksemplene ovenfor viser, er i noen tilfeller den lineære avhengigheten eller uavhengigheten av funksjoner bevist enkelt, i andre tilfeller er dette beviset mer komplisert. Derfor er det nødvendig med et enkelt universelt verktøy som vil svare på spørsmålet om den lineære avhengigheten av funksjoner. Et slikt verktøy - Vronskys determinant.

Def. 14.5.3.2. Wronskys determinant (Wronskian) systemer n - 1 gang differensierbare funksjoner y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) kalles determinanten

. (2 6 )

14.5.3.3. Teorem om Wronskian for et lineært avhengig system av funksjoner. Hvis systemet av funksjoner y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) lineært avhengig på intervallet ( en , b ), så er Wronskian for dette systemet identisk lik null på dette intervallet.

Dokument. Hvis funksjonene y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) er lineært avhengig av intervallet ( en , b ), så er det tall
, hvorav minst én er ikke-null, slik at

Til
. (27)

La oss skille ved x likestilling (27) n - 1 gang og lag et likningssystem

Vi vil betrakte dette systemet som et homogent lineært system av algebraiske ligninger mht
. Determinanten for dette systemet er Wronski-determinanten (26). På hvert punkt
dette systemet har en ikke-triviell løsning
derfor på hvert punkt
dens determinant er null. Så, W (x ) = 0 at
, dvs.
på ( en , b ).

14.5.4. Egenskaper til løsninger til lineær homogen differensialligning (25).

14.5.4.1. Teorem om lineariteten til rommet til partielle løsninger av en lineær homogen differensialligning. Settet med partielle løsninger av en lineær homogen differensialligning danner et lineært rom.

Dokument. Det kreves å bevise at settet med partielle løsninger av den lineære homogene differensialligningen (25) (eller, som er den samme, (21)), dvs. ikke mindre n ganger differensierbare funksjoner y (x ) for hvilket L n (y ) = 0, er et lineært rom. For å gjøre dette, er det nok å bevise at hvis funksjonene y , y 1 (x ), y 2 (x ) er spesielle løsninger (25), deretter funksjonene Cy , y 1 (x ) + y 2 (x ) er også delløsninger (25). Faktisk ved å bruke egenskapene til elementet 14.5.2. Lineær differensialoperator og dens egenskaper, vi får

Hvis L n (y ) = 0, da L n (Cy ) = C.L. n (y ) = 0;

Hvis L n (y 1) = 0 og L n (y 2) = 0, da L n (y 1 + y 2) = L n (y 1) + L n (y 2) = 0.

Konsekvens. Hvis y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) er partielle løsninger av ligning (25), deretter deres lineære kombinasjon C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) er også en spesiell løsning på denne ligningen.

Nå skal vi jobbe med å bestemme dimensjonen til dette rommet og finne dets grunnlag. La oss først formulere og bevise flere egenskaper til Wronski-determinanten til løsningssystemet til likning (25).

Teorem 14.5.4.2. La y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - partielle løsninger av en lineær homogen differensialligning. Hvis Wronski-determinanten for dette funksjonssystemet er lik null på et tidspunkt
, deretter funksjonssystemet y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) er lineært avhengig, og dens Wronski-determinant er identisk lik null på ( en , b ).

Dokument. La . Deretter et homogent system av lineære algebraiske ligninger for hvilke W (x 0) er en determinant,

har en ikke-triviell løsning mht C 1 , C 2 , …, C n . Tenk på en lineær kombinasjon av funksjoner y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) med disse koeffisientene C 1 , C 2 , …, C n : y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ + C n y n (x ). Denne funksjonen tilfredsstiller ligning (25) og har, som følger av systemet ovenfor, null startbetingelser ved punktet x 0, dvs. er en løsning på Cauchy-problemet

Det samme Cauchy-problemet tilfredsstilles også av funksjonen y (x ) = 0, identisk lik null på intervallet ( en , b ). På grunn av det unike med løsningen på Cauchy-problemet y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) = 0 for enhver
. Dermed systemet av funksjoner y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) er lineært avhengig av ( en , b ), og av Teorem 14.5.4 om Wronskian til et lineært avhengig system dens Wronski-determinant er identisk lik null på ( en , b ).

Teorem 14.5.4.3. Hvis Wronski-determinanten W (x ) systemer y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) partielle løsninger av en lineær homogen differensialligning er forskjellig fra null på et tidspunkt
, Det W (x ) er forskjellig fra null når som helst i dette intervallet.

Dokument lett utført ved selvmotsigelse. Hvis vi antar det på et tidspunkt
Wronski-determinanten er lik null, så ved forrige teorem er den identisk lik null på ( en , b ), som motsier betingelsen
.

Teorem 14.5.4.4. Hvis W (x ) - determinant for Wronski-systemet y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) partielle løsninger av en lineær homogen differensialligning, da enten
på intervallet ( en , b ) (som betyr den lineære avhengigheten av disse løsningene på ( en , b )), eller
når som helst i dette intervallet (som betyr den lineære uavhengigheten til disse løsningene på ( en , b )).

14.5.5. Grunnleggende system av løsninger til en lineær homogen differensialligning. Et teorem om strukturen til den generelle løsningen av løsninger til en lineær homogen differensialligning. I denne delen skal vi bevise at grunnlaget for det lineære rommet til partielle løsninger av en homogen ligning kan være et hvilket som helst sett av n sine lineært uavhengige løsninger.

Def. 14.5.5.1. grunnleggende system av løsninger. Grunnleggende system av løsninger lineær homogen differensialligning n -te orden er ethvert lineært uavhengig system y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) hans n private løsninger.

Teorem 14.5.5.1.1 om strukturen til den generelle løsningen av en lineær homogen differensialligning. Felles vedtak y (x ) av en lineær homogen differensialligning er en lineær kombinasjon av funksjoner fra det grunnleggende løsningssystemet til denne ligningen:

y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).

Dokument. La y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) er et grunnleggende system av løsninger til en lineær homogen differensialligning. Det er nødvendig å bevise at en bestemt løsning y hva ( x ) av denne ligningen av denne ligningen er inneholdt i formelen y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x C 1 , C 2 , …, C n . La oss ta ethvert poeng
, regn ut tallene på dette punktet og finn konstantene C 1 , C 2 , …, C n som en løsning på et lineært inhomogent system av algebraiske ligninger

En slik løsning finnes og er unik, siden determinanten til dette systemet er lik
. Tenk på den lineære kombinasjonen y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) fungerer fra det grunnleggende løsningssystemet med disse verdiene til konstantene C 1 , C 2 , …, C n og sammenligne det med funksjonen y hva ( x ). Funksjoner y (x ) Og y hva ( x ) tilfredsstiller den samme ligningen og de samme startbetingelsene på punktet x 0, på grunn av det unike med løsningen på Cauchy-problemet, faller de sammen: y hva ( x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Teoremet er bevist.

Fra denne teoremet følger det at dimensjonen til det lineære rommet til partielle løsninger av en homogen ligning med kontinuerlige koeffisienter ikke overstiger n . Det gjenstår å bevise at denne dimensjonen ikke er mindre enn n .

Teorem 14.5.5.1.2 om eksistensen av et fundamentalt system av løsninger til en lineær homogen differensialligning. Enhver lineær homogen differensialligning n orden med kontinuerlige koeffisienter har et grunnleggende system av løsninger, dvs. system fra n lineært uavhengige løsninger.

Dokument. La oss ta en hvilken som helst numerisk determinant n -te orden, ikke lik null

.	La oss ta ethvert poeng og formuler for ligning (21) n Cauchy problemer, og de første forholdene på punktet x 0 for Jeg la oss ta det -te problemet fra Jeg kolonne i denne determinanten:
L n (y 1) = 0;		L n (y 2) = 0;		L n (y n ) = 0;

La y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - løsninger på disse problemene. Dette systemet er lineært uavhengig av ( en , b ), siden dens Wronski-determinant på punktet x 0 er lik den gitte numeriske determinanten og er forskjellig fra null, derfor er dette et grunnleggende system av løsninger. Teoremet er bevist.

Så vi har bevist at dimensjonen til det lineære rommet til partielle løsninger av en homogen ligning med kontinuerlige koeffisienter er lik n , og grunnlaget i dette rommet er ethvert grunnleggende system av løsninger. Den generelle løsningen til en slik ligning er lik en lineær kombinasjon av funksjoner fra det grunnleggende løsningssystemet. Spørsmålet gjenstår - hvordan finne et grunnleggende system av løsninger; det viser seg at i det generelle tilfellet er dette bare mulig i tilfelle av en ligning med konstante koeffisienter. Vi kommer inn på det neste; La oss først vurdere en rekke egenskaper ved løsninger til en homogen ligning.

14.5.6. Liouville formel.

Teorem 14.5.6.1. Determinant for Wronski-systemet y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) løsninger til en homogen ligning tilfredsstiller ligningen , hvor s 1 (x ) - koeffisient kl n - 1 derivat.

Dokument. La oss bevise dette teoremet for en andreordens ligning. La y 1 (x ), y 2 (x ) er partielle løsninger av denne ligningen, da , .

Fordi y 1 (x ), y 2 (x ) er løsninger på ligningen, da

Den første av de firkantede parentesene inneholder W (x ), i den andre -
derfor hva som måtte bevises.

For å bevise dette teoremet i det generelle tilfellet, må du kjenne regelen for å differensiere funksjonelle determinanter: derivert av determinanten n -te orden er lik summen n determinanter som er hentet fra den opprinnelige determinanten ved rad-for-rad-differensiering. For Wronski-determinanten

siden den første n - 1 determinant inneholder like strenger og er lik null. Hver av funksjonene y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) tilfredsstiller ligningen ; derfor, ved å sette disse uttrykkene i den siste linjen og bruke egenskapene til determinanter, får vi

La oss løse denne ligningen for W (x ). Funksjon W (x ) = 0 er en løsning på denne ligningen; Hvis
, Det
Vi integrerer det siste uttrykket i området fra x 0 til x :

(Vi forkastet modultegnet for brøken, siden W (x ) er en kontinuerlig funksjon som ikke forsvinner, så verdiene W (x ) Og W (x 0) alltid ha samme tegn). Endelig

. (28)

Formel (28) kalles Liouville-formelen. Resultatene fra de foregående avsnittene følger også av den: if W (x 0) = 0, da
; Hvis
, Det
ikke på noe tidspunkt i intervallet ( en , b ).

14.5.7. Rekonstruksjon av en lineær homogen ligning fra et fundamentalt system av løsninger. La et system av funksjoner gis y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) med ikke-null på segmentet ( en , b ) Wronskian W (x ). Det kreves å konstruere en lineær homogen ligning hvis grunnleggende system av løsninger består av funksjonene y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ).

Dette problemet kan løses enkelt. Siden den generelle løsningen til denne ligningen må være lik

y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ), funksjonssystem y (x ), y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) er lineært avhengig, så dens Wronski-determinant (i rekkefølge n + 1) må være null:

Ved å utvide denne determinanten i den første kolonnen får vi den nødvendige ligningen. Eksempel: lag en lineær ligning hvis fundamentale system av løsninger er lik y 1 (x ) = cos x , y 2 (x )= x 3. Løsning:

Merk at koeffisienten til den høyeste deriverte viser seg å være lik Wronskian til det grunnleggende løsningssystemet:
Ytterligere transformasjoner gir , eller . Dette er den nødvendige ligningen. Dens koeffisienter er kontinuerlige på ethvert intervall som
.

14.5.8. Redusere rekkefølgen til en lineær homogen ligning hvis en av dens spesielle løsninger er kjent. La for den lineære ligningen

en spesiell løsning er kjent y 1 (x ). Erstatning y (x ) = z (x ) y 1 (x ), kan denne ligningen transformeres til en ligning som kan reduseres i rekkefølge. La oss demonstrere denne ideen ved å bruke et eksempel på en andreordens ligning. La y 1 (x ) er en spesiell løsning av denne ligningen, dvs. . La oss gå videre til variabelen z (x ) assosiert med y (x ) forhold y (x )=z (x )y 1 (x ). Deretter ; Vi erstatter disse uttrykkene i ligningen:

Den siste ligningen inneholder ikke en eksplisitt ukjent funksjon z (x ), gir derfor rom for en reduksjon i rekkefølge. I tilfelle av en andreordens ligning under vurdering, får vi en førsteordens lineær ligning, som kan løses:

Det kan bevises at Wronskian av systemet av funksjoner
er lik
, dvs. er forskjellig fra null og derfor funksjonen y 1 (x ), y 2 (x ) danner et grunnleggende system av løsninger. Det er imidlertid mulig tvert imot å få et uttrykk for y 2 (x ) basert på denne verdien av Wronskian etter deres Liouville-formel. La oss skrive Liouville-formelen som følger:

Å dele dette uttrykket med y 1 (x ), (y 1 (x )) 2 , vi får
. Uttrykket til venstre er den deriverte av brøken
, Derfor
. La oss integrere:
,
, og siden vi ser etter en løsning y 2 (x ), lineært uavhengig med y 1 (x ), så tar vi
.

Løsning: Dette er en lineær homogen ligning, å finne dens generelle løsning betyr å finne det grunnleggende løsningssystemet. Som allerede nevnt, i det generelle tilfellet, er det å finne et grunnleggende system av løsninger bare mulig for en ligning med konstante koeffisienter, men i noen tilfeller er det mulig å finne spesielle løsninger basert på strukturen til ligningen. I det aktuelle tilfellet inkluderer koeffisientene til ligningen potenser x og ln x , slik at du kan prøve å se etter en bestemt løsning i skjemaet y = x k eller y = logg x . La oss anta at ligningen har en spesiell løsning av formen y 1 = x k . Deretter ; etter å ha erstattet disse uttrykkene i ligningen får vi,
. Ligningen er oppfylt hvis
dette skjer kun når k = 1. Så funksjonen y 1 (x ) = x er en spesiell løsning på denne ligningen. For å finne den andre partielle løsningen, lineært uavhengig av den første, reduserer vi ligningen til formen med en koeffisient for den høyeste deriverte lik enhet: ,

og bruk formelen
:

Så det grunnleggende systemet med løsninger til denne ligningen er: y 1 (x ) = x , y 2 (x ) = logg x , dens generelle løsning y (x ) = C 1 x + C 2 ln x .

14.5.9. Teorem om strukturen til den generelle løsningen av en lineær inhomogen differensialligning. Teorem om pålegging av løsninger. Vi har slått fast at for å løse en lineær homogen ligning, er det nødvendig å finne det grunnleggende løsningssystemet. I denne delen vil vi vise at løsningen av en inhomogen ligning reduseres til løsningen av en homogen hvis det er mulig å finne en spesiell løsning på denne inhomogene ligningen. Rettferdig

Tema 14.5.9.1 om strukturen til den generelle løsningen av en lineær inhomogen differensialligning. Generell løsning av en lineær inhomogen differensialligning med kontinuerlige funksjoner på intervallet ( en , b ) koeffisienter og høyre side

(2 0 )

er lik summen av den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen

(2 1 )

og en spesiell løsning på den inhomogene ligningen (20):

y han ( x ) = y oo ( x ) + y chn ( x ) = (C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x )) + y chn ( x ).

Dokument. Vi må bevise at hvis en bestemt løsning er kjent y chn ( x ) av den inhomogene ligningen (20), deretter en hvilken som helst annen spesiell løsning av den
kan oppnås ved formelen for et bestemt sett med konstanter C 1 , C 2 , …, C n . Siden y chn ( x ), Og
- løsninger på den inhomogene ligningen (20), da L n (y chn ( x ))=f (x ) Og
, derfor av lineariteten til operatøren L n (y ), . Funksjon
tilfredsstiller den homogene ligningen, derfor er den inneholdt i formelen C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) for et bestemt sett med konstanter C 1 , C 2 , …, C n : . Så det var det som måtte bevises.

Fra forrige teorem følger det at for å finne en generell løsning til en lineær inhomogen differensialligning, er det nødvendig å kjenne dens spesielle løsning. Her skal vi formulere og bevise et teorem som lar oss redusere funnet av en bestemt løsning til en inhomogen ligning med høyre side av formen (
- konstanter) til det muligens enklere problemet med å finne delløsninger av denne ligningen med høyre side av formen f (x ) = f 1 (x ), f (x )=f 2 (x ):

Teorem 14.5.9.2 om pålegging av løsninger. Hvis y 1, chn ( x L n (y ) = f 1 (x ), y 2, chn ( x ) er en spesiell løsning på den inhomogene ligningen L n (y ) = f 2 (x ), så er funksjonen en spesiell løsning av den inhomogene ligningen.

Dokument basert på operatørlinearitet L n (y ): , som er det som måtte bevises.

14.5.10. Lagrange-metode (metode for variasjon av vilkårlige konstanter) for å løse en inhomogen ligning. Nå vet vi hvordan de generelle løsningene av både en inhomogen lineær ligning (summen av dens spesielle løsning og den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen) og en homogen lineær ligning (en lineær kombinasjon av funksjoner fra det grunnleggende løsningssystemet) er strukturert . Spørsmålet gjenstår: hvordan finne et grunnleggende system av løsninger og en bestemt løsning? Det viser seg at i det generelle tilfellet kan et grunnleggende system av løsninger bare finnes for ligninger med konstante koeffisienter (og ligninger som reduserer til ligninger med konstante koeffisienter). Vi skal behandle slike ligninger nedenfor, og i denne delen vil vi vurdere metoden for å variere vilkårlige konstanter for å løse en inhomogen ligning. Det viktige er at denne metoden fungerer hvis det grunnleggende løsningssystemet til den lineære ligningen er kjent. Vi vil presentere hovedideen til denne metoden for det enkleste tilfellet av en annenordens inhomogen ligning

. (29 )

La y 1 (x ), y 2 (x ) - grunnleggende system av løsninger av den tilsvarende homogene ligningen

y oo ( x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) er den generelle løsningen av den homogene ligningen (30). Ideen til Lagrange-metoden er som følger. Vi ser etter en generell løsning på den inhomogene ligningen (29) i samme form y (x )=C 1 (x )y 1 (x ) + C 2 (x )y 2 (x ), forutsatt at konstanter C 1 , C 2 - ikke konstanter, men fungerer avhengig av x : C 1 = C 1 (x ), C 2 = C 2 (x ). Vi må finne disse funksjonene. Å finne den deriverte
: . Deretter må vi beregne den andre deriverte. La oss dra nytte av det faktum at i stedet for én funksjon y (x ) ser vi etter to funksjoner C 1 (x ) Og C 2 (x ), og som en konsekvens kan vi pålegge disse funksjonene en vilkårlig forbindelse. For uttrykket for den andre deriverte
andrederiverte av funksjoner var ikke involvert C 1 (x ) Og C 2 (x ), som denne forbindelsen legger vi til

. (3 1 )

Vi erstatter uttrykk for y (x ) og dens derivater inn i ligning (29):

La oss transformere:

Uttrykk i hakeparenteser er null fordi funksjoner y 1 (x ), y 2 (x ) - løsninger til homogen ligning (30), derfor til slutt

Ligninger (31), (32) gir et lukket system for funksjonene
Og
:

(33)

determinanten for dette systemet faller sammen med Wronskian av funksjonene y 1 (x ), y 2 (x ) og er derfor ikke null, derfor har systemet en unik løsning
,
. Finne disse løsningene og integrere de deriverte uttrykkene for
Og
, vi får C 1 (x ) Og C 2 (x y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ).

Eksempel: finn den generelle løsningen til ligningen.

Vi begynte å løse dette problemet i avsnitt 14.5.8. Redusere rekkefølgen til en lineær homogen ligning. Det grunnleggende løsningssystemet for den tilsvarende homogene ligningen og dens generelle løsning ble funnet y oo ( x ) = C 1 x + C 2 ln x . I samsvar med variasjonsmetoden ser vi etter en løsning på den inhomogene ligningen med koeffisienten til den høyeste deriverte redusert til enhet i formen y (x ) = C 1 (x ) x + C 2 (x )ln x . System (33) for deriverte koeffisienter
Og
blir slik:

Svar: generell løsning på ligningen y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = (- x ln x + C 1 0)x +

(i det endelige svaret er indeksen "0" for konstanter utelatt).

I det generelle tilfellet med den inhomogene ligningen n -te orden,

hvis det grunnleggende løsningssystemet er kjent y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) av den tilsvarende homogene ligningen, søkes løsningen til den inhomogene ligningen i formen

y (x ) = C 1 (x ) y 1 (x ) + C 2 (x ) y 2 (x ) + …+ C n (x ) y n (x ). Deretter

Vi krever at summen av ledd som inneholder deriverte av funksjoner C Jeg (x ), dvs. slik at summen i hakeparentes er lik null:

La oss sette osv. igjen. Til n -den deriverte vi får

Substituere uttrykk for derivater i den inhomogene ligningen og ta hensyn til at funksjonene y Jeg (x ) tilfredsstiller den tilsvarende homogene ligningen, får vi .

Sammen med tidligere aksepterte relasjoner for derivater
vi får et ligningssystem

Determinanten for dette systemet, som med n = 2, sammenfaller med Wronskian til det grunnleggende løsningssystemet, derfor har systemet en unik løsning
. Å finne denne løsningen og integrere, finner vi C Jeg (x) (Jeg = 1, 2, …, n ), og derav den generelle løsningen av den inhomogene ligningen (29) y (x ) = C 1 (x ) y 1 (x ) + C 2 (x ) y 2 (x ) + …+ C n (x ) y n (x ).

14.5.11. Lineære ligninger med konstante koeffisienter. Det ble gjentatte ganger bemerket ovenfor at i tilfellet når koeffisientene til en lineær ligning er konstante ( s Jeg (x ) = en Jeg = konst, Jeg = 1, 2, …, n ), klarer vi å finne et grunnleggende system av løsninger til en homogen ligning. La oss vurdere denne saken.

14.5.11.1. Lineære homogene ligninger med konstante koeffisienter. La koeffisientene til ligningen

(3 4 )

er konstante over det betraktede intervallet ( en , b ) (en Jeg = konst kl Jeg = 1, 2, …, n ). For å finne det fundamentale løsningssystemet (FSS) til ligning (34), antar vi at løsningene til denne ligningen har formen y = e kx . Deretter . Å erstatte disse uttrykkene med derivater med (34) og redusere det til e kx , får vi den algebraiske ligningen n grad

k n + en 1 k n -1 + en 2 k n -2 + en 3 k n -3 + …. + en n = 0 . (35)

Ligning (35) kalles karakteristisk ligning ligning (34). Denne ligningen har n (muligens komplekse røtter) k 1 , k 2 , …, k n , hvorav noen kan være like med hverandre. Hver av disse røttene tilsvarer en funksjon fra FSR. Regelen som FSR dannes etter er som følger:

Hvis k j - enkel reell rot av den karakteristiske ligningen (dvs. roten til multiplisiteten r = 1), så tilsvarer det funksjonen
i FSR;

Hvis k j - reell rot av den karakteristiske ligningen av multiplisitet r > 1 (dvs. k j = k j +1 = k j +2 = …= k j + r -1), så tilsvarer dette settet med røtter et sett med funksjoner i FSR;

Hvis
- enkel kompleks rot av den karakteristiske ligningen (her
- imaginær enhet), så vil roten til den karakteristiske ligningen også være konjugert med k j Antall
. Et par røtter k j , k j +1 samsvarer med funksjonen
,
i FSR;

Hvis
- kompleks rot av den karakteristiske multiplisitetsligningen r > 1, så vil roten til den karakteristiske ligningen for samme multiplisitet være tallet
. Et par røtter k j , k j +1 , som hver har et multiplum r > 1, tilsvarer settet med funksjoner
,
,
,
,
,
, ….,
,
i FSR.

Vi vil gi en begrunnelse for denne regelen for saken n = 2. Betrakt andre ordens ligning

. (36 )

Dens karakteristiske ligning k 2 + en 1 k + en 2 = 0, avhengig av diskriminantverdien D = en 1 2 - 4en 2, kan ha

1. ekte ulik røtter k 1 , k 2 (D > 0). Funksjoner
, ved selve metoden for deres bestemmelse, er løsninger til ligning (36). Wronskian av dette systemet av funksjoner

Derfor er dette et grunnleggende system av løsninger. Den generelle løsningen til ligning (36) i dette tilfellet er
.

2. ekte like røtter
. Funksjon
, som i forrige tilfelle, løsningen til ligning (36). La oss bevise at funksjonen
tilfredsstiller også ligningen:

Fordi k 1 - roten av den karakteristiske ligningen:
. Funksjoner
- et grunnleggende system av løsninger, siden

Den generelle løsningen til ligning (36) i dette tilfellet er .

3. komplekse røtter. I dette tilfellet, hvor
. Vi må bevise at funksjonene

tilfredsstille ligningen. Vi finner:

Bytt inn i ligningen:

La oss vurdere koeffisientene separat for
og kl
: ,
. Så,
, dvs. funksjon
er egentlig en løsning på ligningen. Det kan bevises på lignende måte at funksjonen
- løsning av ligningen. Jacobianen til dette funksjonssystemet er:

De. det er et grunnleggende beslutningssystem. Den generelle løsningen til ligning (36) i dette tilfellet er .

Karakteristisk ligning k 2 + 4 k - 5 = 0. Dens røtter k 2 = 1. Grunnleggende system av løsninger y 1 (x ) = e -5 x , y 2 (x ) = e x , felles vedtak y (x ) = C 1 e -5 x + C 2 e x .

Karakteristisk ligning 16 k 2 - 40 k + 73 = 0. Røttene er . Grunnleggende løsningssystem
, felles vedtak
.

Karakteristisk ligning 64 k 2 + 112 k + 49 = 0. Røttene er . Grunnleggende løsningssystem
, felles vedtak
.

Dette er en 7. ordens ligning, dens karakteristiske ligning k 7 + 2k 6 + 8k 4 +16k 3 = 0. Transformer venstre side: k 3 (k 4 + 2 k 3 + 8 k + 16) = k 3 [k 3 (k + 2) + 8(k + 2)] = k 3 (k + 2)( k 3 + 8) =

= k 3 (k + 2)(k + 2)(k 2 -2k + 4) = k 3 (k + 2) 2 (k 2 - 2k + 4). Røtter: k 1,2,3 = 0, k 4,5 = -2,
.

Grunnleggende løsningssystem y 1 = e 0 x = 1, y 2 = xe 0 x = x , y 2 = x 2 e 0 x = x 2 , y 4 = e -2 x , y 5 = xe -2 x , felles vedtak .

Vronskys determinant

Wronski-determinanten for et system av funksjoner som kan differensieres på et intervall (n-1) ganger er en funksjon på I gitt av determinanten til følgende matrise:

En funksjon definert av en determinant av en mer generell form kalles også en Wronskian. La nemlig n vektorfunksjoner med n komponenter gis. Da vil determinanten se slik ut (jeg betegner den med):

En vektorfunksjon er en funksjon hvis verdier er vektorer i et vektorrom med to, tre eller flere dimensjoner. Funksjonsargumenter kan være:

• 1. En skalarvariabel - deretter bestemmes verdiene til vektorfunksjonen til en viss kurve;
• 2. m skalarvariabler - da danner verdiene til vektorfunksjonen, generelt sett, en m-dimensjonal overflate;
• 3. Vektorvariabel - i dette tilfellet regnes vektorfunksjonen vanligvis som et vektorfelt på.

Wronski-determinanten brukes til å løse differensialligninger, for eksempel for å finne ut om løsningene funnet til en homogen lineær differensialligning (eller ligningssystem) er lineært uavhengige.

Egenskaper til Wronski-determinanten

• 1. Hvis lineært avhengig av intervallet, da
• 2. Hvis Wronski-determinanten på et intervall avviker fra null på minst ett punkt, så er funksjonene lineært uavhengige. Det motsatte er generelt ikke sant.
• 3. Hvis er løsninger til en lineær homogen differensialligning av th orden, så kalles det Wronskian denne ligningen. Wronski-determinanten til en homogen differensialligning er enten identisk lik null, noe som betyr at funksjonene er lineært avhengige, eller forsvinner ikke på noe punkt, noe som betyr at funksjonene er lineært uavhengige.
• 4. Hvis - løsninger av et lineært homogent system, så er enten identisk lik null, og dette betyr at de er lineært avhengige, eller forsvinner ikke på noe punkt, noe som betyr at funksjonene er lineært uavhengige.

1. La oss sørge for at Wronskian for lineært avhengige funksjoner er lik null:

2. La oss nå sjekke den lineære uavhengigheten til funksjonene:

Det er punkter der Wronskian er ikke-null (i vårt tilfelle er dette et hvilket som helst punkt bortsett fra x=0). Derfor vil disse funksjonene på ethvert intervall være lineært uavhengige.

3. La oss nå gi et eksempel når Wronskian er lik null overalt, men funksjonene fortsatt er lineært uavhengige. La oss definere to funksjoner:

Begge funksjonene er differensierbare overalt (inkludert ved null, der derivertene til begge funksjonene forsvinner). La oss sørge for at Wronskian er lik null overalt:

Imidlertid er disse funksjonene åpenbart lineært uavhengige. Vi ser at likheten av Wronskian til null ikke innebærer en lineær avhengighet ved et vilkårlig valg av funksjoner.

Systemer av lineære differensialligninger

Definisjon. Systemet med differensialligninger kalles lineær , hvis den er lineær med hensyn til alle ukjente funksjoner og deres deriverte.

Generell oversikt over systemet med differensialligninger

Hvis startbetingelsen er gitt: , (3)

da vil løsningen være unik forutsatt at vektorfunksjonen er kontinuerlig på og koeffisientene til matrisen også er kontinuerlige funksjoner.

La oss introdusere en lineær operator, så kan (6) skrives om som:

hvis, så kalles operatorligningen (4). homogen og har formen:

ellers heter det heterogen .

Siden operatøren er lineær, er følgende egenskaper tilfredsstilt for den:

• 1. Hvis løsningen til et homogent system (5), så vil det også være en løsning på ligning (5).
• 2. Hvis de er en løsning på (5), så er de også en løsning på (5).