9. Korrelasjonsfunksjon og dens hovedegenskaper.
For en fullstendig beskrivelse av tilfeldige prosesser introduseres begrepet korrelasjon f-i.
lik den matematiske forventningen, variansen, standardavviket
Det forutsettes at fordelingsloven er normal. Grafene viser en skarp forskjell mellom prosessene, til tross for deres like sannsynlige egenskaper.
(t)m | (t) |
||||||
(t )D | (t) |
||||||
(t) | (t). |
||||||
For eksempel sporing av et fly. Hvis han er i posisjon 1 på tidspunkt t, så er hans mulige posisjon 2 i neste øyeblikk t 2 begrenset, det vil si at hendelsene (x 1 ,t 1 ) og (x 2 ,t 2 ) ikke vil være uavhengige. Jo mer treghet objektet som studeres, jo større er denne gjensidige avhengigheten, eller korrelasjonen. Korrfunksjon uttrykker matematisk korrelasjonen av to funksjoner eller korrelasjonen av en funksjon med seg selv (autokorreksjonsfunksjon). Funksjonen er beskrevet som følger:
der t 1 og t 2 er alle øyeblikk i tid, det vil si t 1 og t 2 T
Korrelasjon er en statistisk sammenheng mellom to eller flere tilfeldige variabler.
Korrelasjonsfunksjon– en slik ikke-tilfeldig funksjon R x (t 1 , t 2 ) av to argumenter, som for ethvert par med faste verdier av argumentene t 1 og t 2 er lik korrelasjonsmomentet som tilsvarer disse delene av tilfeldige variabler x (ti) og x (t2).
Korrelasjonsfunksjonen er en funksjon av tid som spesifiserer korrelasjon i systemer med tilfeldige prosesser.
Når momentene t 1 og t 2 faller sammen, er korrelasjonsfunksjonen lik spredningen. Den normaliserte korrelasjonsfunksjonen beregnes ved å bruke formelen:
) 1, | |||||||||||||||||||||||||||||
hvor x (t 1) og x (t 2) r.s.o. tilfeldig funksjon x (t) med henholdsvis t =t 1 og t =t 2. Å beregne |
|||||||||||||||||||||||||||||
Korrelasjonsfunksjon er nødvendig | tetthet (todimensjonal) | sannsynligheter |
|||||||||||||||||||||||||||
(x,x | ; t, t | ||||||||||||||||||||||||||||
) dx dx | |||||||||||||||||||||||||||
Egenskaper til korrelasjonsfunksjoner
1. Korrelasjonsfunksjon R x (t 1 , t 2 ) er symmetrisk med hensyn til argumentene:
Rx (t 1 , t 2 ) = R x ( t 2 , t 1 ) |
i samsvar med definisjonen av korrelasjonsfunksjonen X(t).
2. Når lagt til en tilfeldig funksjon X (t) av en vilkårlig ikke-tilfeldig term
(t), korrelasjonsfunksjon Z (t) X (t) (t),
deretter Rz (ti,t2) =Rx (ti,t2).
3. Når man multipliserer en tilfeldig funksjon X (t) med en vilkårlig ikke-tilfeldig faktor ψ(t), multipliseres korrelasjonsfunksjonen R x (t 1,t 2) med ψ(t 1)ψ(t 2).
06 Lecture.doc
Forelesning 6. Korrelasjonsfunksjoner av tilfeldige prosesserPlan.
1. Konseptet med korrelasjonsfunksjonen til en tilfeldig prosess.
2. Stasjonaritet i snever og vid forstand..
3. Gjennomsnittlig verdi for settet.
4. Gjennomsnittlig verdi over tid.
5. Ergodiske tilfeldige prosesser.
Matematisk forventning og spredning er viktige kjennetegn ved en tilfeldig prosess, men de gir ikke en tilstrekkelig ide om arten av individuelle implementeringer av en tilfeldig prosess. Dette sees tydelig fra fig. 6.1, som viser implementeringen av to tilfeldige prosesser, helt forskjellige i struktur, selv om de har samme verdier for matematisk forventning og spredning. Stiplede linjer i fig. 6.1. verdier vist 3
x (t) for tilfeldige prosesser.
Prosessen vist i fig. 6.1, EN, fra en seksjon til en annen går relativt jevnt, og prosessen i fig. 6.1, b har sterk variasjon fra seksjon til seksjon. Derfor er den statistiske sammenhengen mellom tverrsnittene i det første tilfellet større enn i det andre, men dette kan ikke fastslås verken av den matematiske forventningen eller av spredningen.
For til en viss grad å karakterisere den interne strukturen til en tilfeldig prosess, det vil si å ta hensyn til forholdet mellom verdiene til en tilfeldig prosess på forskjellige tidspunkter eller, med andre ord, ta hensyn til graden av variasjon av en tilfeldig prosess, er det nødvendig å introdusere konseptet med en korrelasjonsfunksjon (autokorrelasjon) til en ny tilfeldig prosess.
^ Korrelasjonsfunksjon av en tilfeldig prosess X(t)kall en ikke-tilfeldig funksjon av to argumenterR x (t 1 , t 2), som for hvert par av vilkårlig valgte argumentverdier (tidspunkter) t 1 Ogt 2 lik den matematiske forventningen til produktet av to tilfeldige variablerX(t 1 ) OgX(t 2 ) tilsvarende deler av den tilfeldige prosessen:
Hvor 2 (x 1 , t 1 ; x 2 , t 2) - todimensjonal sannsynlighetstetthet.
De bruker ofte et annet uttrykk for korrelasjonsfunksjonen, som ikke er skrevet for selve den tilfeldige prosessen. X(t), og for den sentrerte tilfeldige komponenten X(t). Korrelasjonsfunksjonen i dette tilfellet kalles sentrert og bestemmes ut fra relasjonen
(6.2)
Ulike tilfeldige prosesser, avhengig av hvordan deres statistiske egenskaper endres over tid, er delt inn i stasjonær Og ikke-stasjonær. Det er et skille mellom stasjonaritet i snever forstand og stasjonaritet i vid forstand.
^ Stasjonær i snever forstand kalt en tilfeldig prosess X(t), hvis det n-dimensjonale fordelingsfunksjoner og sannsynlighetstetthet for evt P ikke avhengig av posisjonen til starten av tidstellingen t, dvs.
Dette betyr at to prosesser, X(t) Og X(t+ ), har de samme statistiske egenskapene for alle , dvs. de statistiske egenskapene til en stasjonær tilfeldig prosess er konstante over tid. En stasjonær tilfeldig prosess er en slags analog til en steady-state prosess i deterministiske systemer.
^ Stasjonær i vid forstand kalt en tilfeldig prosess X(t), den matematiske forventningen er konstant:
Og korrelasjonsfunksjonen avhenger bare av én variabel - forskjellen i argumentene =t 2 -t 1:
(6.5)
Konseptet med en tilfeldig prosess, stasjonær i vid forstand. introduseres når kun den matematiske forventningen og korrelasjonsfunksjonen brukes som statistiske kjennetegn ved en tilfeldig prosess. Den delen av teorien om tilfeldige prosesser som beskriver egenskapene til en tilfeldig prosess gjennom dens matematiske forventnings- og korrelasjonsfunksjon kalles korrelasjonsteori.
For en tilfeldig prosess med en normalfordelingslov bestemmer den matematiske forventnings- og korrelasjonsfunksjonen den fullstendig n-dimensjonal sannsynlighetstetthet. Derfor for vanlige tilfeldige prosesser er begrepene stasjonaritet i bred og snever forstand sammenfallende.
Teorien om stasjonære prosesser er mest utviklet og gir mulighet for relativt enkle beregninger for mange praktiske tilfeller. Derfor er det noen ganger tilrådelig å anta stasjonaritet også for de tilfellene hvor den tilfeldige prosessen, selv om den ikke er stasjonær, men i løpet av den betraktede driftsperioden for systemet, de statistiske egenskapene til signalene ikke har tid til å endre seg i noen vesentlig måte. I det følgende vil, med mindre annet er angitt, tilfeldige prosesser som er stasjonære i vid forstand bli vurdert.
I teorien om tilfeldige prosesser brukes to konsepter for gjennomsnittsverdier. Det første konseptet med gjennomsnitt er gjennomsnittsverdi over settet(eller matematisk forventning), som bestemmes basert på observasjon av settet med implementeringer av en tilfeldig prosess på samme tidspunkt. Gjennomsnittsverdien over et sett er vanligvis angitt med en bølget linje over uttrykket som beskriver den tilfeldige funksjonen:
Generelt er gjennomsnittsverdien over et sett en funksjon av tid.
Et annet konsept for gjennomsnitt er gjennomsnittlig verdi over tid, som fastsettes basert på observasjon av en separat implementering av en tilfeldig prosess x{ f) i ganske lang tid T. Tidsgjennomsnittet er angitt med en rett linje over det tilsvarende uttrykket for den tilfeldige funksjonen og bestemmes av formelen
(6.7)
Hvis denne grensen eksisterer.
Gjennomsnittsverdien over tid er generelt forskjellig for individuelle implementeringer av settet som definerer den tilfeldige prosessen.
Generelt, for den samme tilfeldige prosessen, er det angitte gjennomsnittet og tidsgjennomsnittet forskjellige, men for de såkalte ergodiske stasjonære tilfeldige prosessene, faller det angitte gjennomsnittet sammen med tidsgjennomsnittet:
(6.8)
Likestilling (6,8) følger av Ergodisk teorem, der det for noen stasjonære tilfeldige prosesser er bevist at enhver statistisk karakteristikk oppnådd ved å snitte over et sett, med en sannsynlighet uansett hvor nær enhet, faller sammen med karakteristikken gjennomsnittlig over tid. Ergodesetningen er ikke bevist for alle stasjonære prosesser, derfor snakker de i de tilfellene hvor den ennå ikke er bevist. ergodisk hypotese.
Det skal bemerkes at ikke hver stasjonær prosess er ergodisk.
I fig. 6.2. viser for eksempel en graf over en stasjonær ikke-ergodisk prosess som likhet (6.8) ikke holder. I det generelle tilfellet kan den samme tilfeldige prosessen være ergodisk med hensyn til noen statistiske egenskaper og ikke ergodisk med hensyn til andre. I det følgende vil vi anta at ergodisitetsbetingelsene for den matematiske forventningen og korrelasjonsfunksjonen er oppfylt.
Den fysiske betydningen av den ergodiske teoremet (eller hypotesen) er dyp og har stor praktisk betydning. For å bestemme de statistiske egenskapene til ergodiske stasjonære prosesser, hvis det er vanskelig å utføre samtidig observasjon av mange lignende systemer på et vilkårlig valgt tidspunkt, for eksempel hvis det er en prototype, kan den erstattes av langsiktig observasjon av ett system. Faktisk ligger dette faktum til grunn for den eksperimentelle bestemmelsen av korrelasjonsfunksjonen til en stasjonær tilfeldig prosess basert på én implementering. Tvert imot, hvis det er et stort parti masseproduserte produkter for lignende studier, er det mulig å utføre samtidig observasjon av alle prøvene av partiet eller et ganske representativt utvalg av dem.
Som det fremgår av (6.5), er korrelasjonsfunksjonen gjennomsnittet over settet. I samsvar med den ergodiske teoremet for en stasjonær tilfeldig prosess, kan korrelasjonsfunksjonen defineres som tidsgjennomsnittet av produktet x(t) Og x(t+ ), dvs.
(6.9)
Hvor x(t)- enhver implementering av en tilfeldig prosess.
Sentrert korrelasjonsfunksjon av en ergodisk stasjonær tilfeldig prosess
(6.10
Mellom korrelasjonsfunksjoner R x ( ) Og R 0 x ( ) det er følgende tilkobling:
R x ( )=R x 0 ( )+(x -) 2 , (6.11)
Basert på ergodisitetsegenskapen kan spredningen være D x [cm. (19)] definert som tidsgjennomsnittet av kvadratet til den sentrerte tilfeldige prosessen, dvs.
(6.12)
Sammenligner man uttrykk (6.10) og (6.11), kan man merke det variansen til en stasjonær tilfeldig prosess er lik startverdien til den sentrerte korrelasjonsfunksjonen:
(6.13)
Med hensyn til (6.12) kan vi etablere en sammenheng mellom spredningen og korrelasjonsfunksjonen R x ( ), dvs.
Fra (6.14) og (6.15) er det klart at spredningen av en stasjonær tilfeldig prosess er konstant, og derfor er standardavviket konstant:
Statistiske egenskaper ved sammenhengen mellom to tilfeldige prosesser X(t) Og G(t) kan karakteriseres krysskorrelasjonsfunksjonR xg (t 1 , t 2), som for hvert par av vilkårlig valgte argumentverdier t 1 , t 2 er lik
I følge den ergodiske teoremet kan vi i stedet for (6.18) skrive
(6.19)
Hvor x(t) Og g(t) - enhver implementering av stasjonære tilfeldige prosesser X(t) Og G(t) hhv.
Kryskorrelasjonsfunksjon R xg ( karakteriserer den gjensidige statistiske sammenhengen mellom to tilfeldige prosesser X(t) Og G(t) på forskjellige tidspunkter, atskilt fra hverandre med en tidsperiode t R xg(0) karakteriserer denne forbindelsen på samme tidspunkt.
Av (6.19) følger det at
(6.20)
Hvis tilfeldige prosesser X(t) Og G(t) er ikke statistisk relatert til hverandre og har null gjennomsnittsverdier, så er deres gjensidige korrelasjonsfunksjon for alle m lik null. Imidlertid kan den motsatte konklusjonen, at hvis krysskorrelasjonsfunksjonen er lik null, så er prosessene uavhengige, bare gjøres i individuelle tilfeller (spesielt for prosesser med en normalfordelingslov), men den omvendte loven gjør det ikke har generell kraft.
Sentrert korrelasjonsfunksjon R° x ( for ikke-tilfeldige funksjoner av tid er identisk lik null. Men korrelasjonsfunksjonen R x ( kan også beregnes for ikke-tilfeldige (vanlige) funksjoner. Merk imidlertid at når vi snakker om korrelasjonsfunksjonen til en vanlig funksjon x(t), da forstås dette ganske enkelt som et resultat av en formell søknad til en vanlig funksjon x(t) operasjon uttrykt av integralet (6.13).
For til en viss grad å karakterisere den interne strukturen i en tilfeldig prosess, dvs. for å ta hensyn til forholdet mellom verdiene til en tilfeldig prosess på forskjellige tidspunkter eller, med andre ord, for å ta hensyn til graden av variabilitet av en tilfeldig prosess, introdusere konseptet korrelasjon (autokorrelasjon) funksjon av en tilfeldig prosess.
Korrelasjonsfunksjonen (eller autokorrelasjonsfunksjonen) til en tilfeldig prosess er en ikke-tilfeldig funksjon av to argumenter, som for hvert par av vilkårlig valgte verdier av argumentene (tidspunkter) er lik den matematiske forventningen til produktet av to tilfeldige variabler tilsvarende deler av den tilfeldige prosessen:
Korrelasjonsfunksjon for den sentrerte tilfeldige komponenten kalles sentrert og bestemmes ut fra relasjonen
(1.58)
Funksjonen kalles ofte kovarians, og – autokorrelasjon .
Ulike tilfeldige prosesser, avhengig av hvordan deres statistiske egenskaper endres over tid, er delt inn i stasjonær Og ikke-stasjonær. Det skilles mellom stasjonaritet i snever forstand og stasjonaritet i vid forstand.
Stasjonær i snever forstand kalt en tilfeldig prosess, hvis dens -dimensjonale fordeling funksjoner og sannsynlighetstettheter for noen ikke avhengig fra tidsreferanseposisjonen. Dette betyr at to prosesser har de samme statistiske egenskapene for en hvilken som helst, det vil si at de statistiske egenskapene til en stasjonær tilfeldig prosess er konstante over tid. En stasjonær tilfeldig prosess er en slags analog til en steady-state prosess i dynamiske systemer.
Stasjonær i vid forstand kalt en tilfeldig prosess, hvis matematiske forventninger er konstante:
og korrelasjonsfunksjonen avhenger bare av én variabel - forskjellen mellom argumentene:
Begrepet en tilfeldig prosess, stasjonær i vid forstand, introduseres når kun den matematiske forventningen og korrelasjonsfunksjonen brukes som statistiske kjennetegn ved en tilfeldig prosess. Den delen av teorien om tilfeldige prosesser som beskriver egenskapene til en tilfeldig prosess gjennom dens matematiske forventnings- og korrelasjonsfunksjon kalles korrelasjonsteori.
For en tilfeldig prosess med en normalfordelingslov bestemmer den matematiske forventnings- og korrelasjonsfunksjonen den fullstendig n-dimensjonal sannsynlighetstetthet. Derfor For vanlige tilfeldige prosesser er begrepene stasjonaritet i bred og snever betydning sammenfallende.
Teorien om stasjonære prosesser er mest utviklet og gir mulighet for relativt enkle beregninger for mange praktiske tilfeller. Derfor er det noen ganger tilrådelig å anta stasjonaritet også for de tilfellene hvor den tilfeldige prosessen, selv om den ikke er stasjonær, men i løpet av den betraktede driftsperioden for systemet, de statistiske egenskapene til signalene ikke har tid til å endre seg i noen vesentlig måte.
I teorien om tilfeldige prosesser brukes to konsepter for gjennomsnittsverdier. Det første konseptet med gjennomsnitt er satt gjennomsnitt (eller matematisk forventning), som bestemmes basert på observasjon av flere implementeringer av en tilfeldig prosess på samme tidspunkt. Gjennomsnittsverdien over settet er vanligvis angitt bølgete linje over et uttrykk som beskriver en tilfeldig funksjon:
Generelt er det fastsatte gjennomsnittet en funksjon av tiden.
Et annet konsept for gjennomsnitt er gjennomsnitt over tid , som bestemmes basert på observasjon av en separat implementering av en tilfeldig prosess over tilstrekkelig lang tid. Tidsgjennomsnittet er angitt med rett linje over det tilsvarende uttrykket for den tilfeldige funksjonen og bestemmes av formelen
, (1.62)
hvis denne grensen eksisterer.
Tidsgjennomsnittet er generelt forskjellig for individuelle realiseringer av settet som definerer den tilfeldige prosessen.
Generelt, for den samme tilfeldige prosessen, er det angitte gjennomsnittet og tidsgjennomsnittet forskjellige, men for den såkalte ergodiske stasjonære tilfeldige prosesser gjennomsnittsverdien over settet sammenfaller med gjennomsnittsverdien over tid:
I samsvar med det ergodiske teoremet for en stasjonær tilfeldig prosess, kan korrelasjonsfunksjonen defineres som tidsgjennomsnittet for en implementering
(1.64)
Hvor - enhver implementering av en tilfeldig prosess.
Sentrert korrelasjonsfunksjon av en ergodisk stasjonær tilfeldig prosess
Fra uttrykk (1.65) kan det bemerkes at variansen til en stasjonær tilfeldig prosess er lik startverdien til den sentrerte korrelasjonsfunksjonen:
Emnet for korrelasjonsanalyse er studiet av probabilistiske avhengigheter mellom tilfeldige variabler.
Mengder er uavhengige dersom fordelingsloven for hver av dem ikke er avhengig av verdien som den andre antar. Slike verdier kan vurderes, for eksempel utholdenhetsgrensen for delmaterialet og den teoretiske speni den farlige delen av delen.
Mengder er relaterte probabilistiske eller stokastiske avhengigheter hvis den kjente verdien av en størrelse ikke tilsvarer en bestemt verdi, men til en annens distribusjonslov. Sannsynlighetsavhengigheter oppstår når mengder ikke bare avhenger av deres felles faktorer, men også av ulike tilfeldige faktorer.
Fullstendig informasjon om det sannsynlige forholdet mellom to stokastiske variabler er representert ved fellesfordelingstettheten f(x,y) eller betingede distribusjonstettheter f(x/y), f(y/x), dvs. fordelingstetthetene til tilfeldige variabler X og Y når du spesifiserer spesifikke verdier på Og X hhv.
Fugtettheten og betinget fordelingstetthet er relatert av følgende relasjoner:
Hovedkarakteristikkene til sannsynlige avhengigheter er korrelasjonsmomentet og korrelasjonskoeffisienten.
Korrelasjonsmomentet til to tilfeldige variabler X og Y er den matematiske forventningen til produktet av sentrerte tilfeldige variabler:
for diskret 
for kontinuerlig 
hvor m x og M y– matematiske forventninger til X- og Y-verdier; р ij– sannsynlighet for individuelle verdier x i Og y jeg.
Korrelasjonsmomentet karakteriserer samtidig sammenhengen mellom tilfeldige variabler og deres spredning. Når det gjelder dimensjonen, tilsvarer den variansen for en uavhengig tilfeldig variabel. For å fremheve egenskapene til forholdet mellom tilfeldige variabler, går vi videre til korrelasjonskoeffisienten, som karakteriserer graden av nærhet til forholdet og kan variere innenfor området -1 ≤ ρ ≤ 1.
;
hvor S x og S y– standardavvik for tilfeldige variabler.
Verdier ρ = 1 og ρ = –1 indikerer funksjonell avhengighet, verdi ρ = 0 indikerer at tilfeldige variabler er ukorrelerte
Korrelasjonen vurderes både mellom mengder og mellom hendelser, samt multippel korrelasjon, som karakteriserer forholdet mellom mange mengder og hendelser.
Med en mer detaljert analyse av det sannsynlige forholdet bestemmes de betingede matematiske forventningene til tilfeldige variabler m y/x Og m x/y, dvs. matematiske forventninger til tilfeldige variabler Y og X for gitte spesifikke verdier X Og på hhv.
Avhengighet av betinget matematisk forventning t u/x fra X kalt regresjon av Y på X. Avhengighet t x/y fra på tilsvarer regresjon av X på Y.
For normalfordelte mengder Y og X-regresjonsligningen er:
for regresjon av Y på X 
for regresjon av X på Y 
Det viktigste anvendelsesområdet for korrelasjonsanalyse på pålitelighetsproblemer er behandling og generalisering av resultatene av operasjonelle observasjoner. Resultater av å observere tilfeldige variabler Y og X representert ved sammenkoblede verdier y i, x i i-th observasjon, hvor i=1, 2 . . . P; P– antall observasjoner.
Evaluering r korrelasjonskoeffisient ρ bestemt av formelen
Hvor ,
– estimater av matematiske forventninger t x Og at henholdsvis, dvs. gjennomsnittet av P observasjoner av verdier 
s x, s y- estimater av standardavvik Sx Og S y tilsvarende:
Etter å ha utpekt estimatet for betingede matematiske forventninger t y/x, t x / y henholdsvis gjennom og , empiriske regresjonsligninger U Av X Og X Av Y skrevet i følgende form:
Som regel har kun én av regresjonene praktisk verdi.
Med en korrelasjonskoeffisient r=1 regresjonsligningene er identiske.
Spørsmål nr. 63 Estimering av statistiske parametere ved bruk av konfidensintervaller
Hvis verdien av den testede parameteren estimeres med ett tall, kalles det en poengverdi. Men i de fleste problemer er det nødvendig å finne ikke bare den mest pålitelige numeriske verdien, men også å evaluere graden av pålitelighet.
Du må vite hvilken feil som er forårsaket av å erstatte en sann parameter EN dets punktestimat; med hvilken grad av sikkerhet kan man forvente at disse feilene ikke vil overskride kjente forhåndsbestemte grenser.
Til dette formål brukes i matematisk statistikk såkalte konfidensintervaller og konfidenssannsynligheter.
Hvis for parameteren EN objektivt anslag hentet fra erfaring , og oppgaven er satt til å estimere den mulige feilen, så er det nødvendig å tilordne en tilstrekkelig stor sannsynlighet β (for eksempel β = 0,9; 0,95; 0,99, etc.), slik at en hendelse med sannsynlighet β kan anses som praktisk pålitelig.
I dette tilfellet kan man finne en verdi på ε for hvilken P(| - en| < ε) = β.
Ris. 3.1.1 Konfidensintervalldiagram.
I dette tilfellet, rekkevidden av praktisk mulige feil som oppstår under utskifting EN vil ikke overstige ± ε. Feil som er store i absolutt verdi vil kun vises med lav sannsynlighet α = 1 – β. En hendelse som er motsatt og ukjent med sannsynlighet β vil falle innenfor intervallet jeg β= (- e; + e). Sannsynlighet β kan tolkes som sannsynligheten for at et tilfeldig intervall jeg β vil dekke poenget EN(Fig. 3.1.1).
Sannsynligheten β kalles vanligvis konfidenssannsynligheten, og intervallet jeg β kalles vanligvis et konfidensintervall. I fig. 3.1.1 et symmetrisk konfidensintervall vurderes. Generelt er dette kravet ikke obligatorisk.
Konfidensintervall for parameterverdier en kan betraktes som et intervall av verdier en, i samsvar med eksperimentelle data og ikke motsier dem.
Ved å velge en konfidenssannsynlighet β nær én, ønsker vi å ha tillit til at en hendelse med slik sannsynlighet vil inntreffe dersom et visst sett med betingelser er oppfylt.
Dette tilsvarer det faktum at den motsatte hendelsen ikke vil skje, at vi neglisjerer sannsynligheten for hendelsen, lik α = 1 – β. La oss påpeke at å tildele en grense for ubetydelige sannsynligheter ikke er et matematisk problem. Hensikten med en slik grense ligger utenfor sannsynlighetsteorien og bestemmes på hvert område av graden av ansvar og arten av problemene som løses.
Men å etablere for stor sikkerhetsmargin fører til en uberettiget og stor økning i byggekostnadene.
65 Spørsmål nr. 65 Stasjonær tilfeldig prosess.
En stasjonær tilfeldig funksjon er en tilfeldig funksjon hvis alle sannsynlige egenskaper ikke avhenger av argumentet. Stasjonære tilfeldige funksjoner beskriver stasjonære prosesser for maskindrift, ikke-stasjonære funksjoner beskriver ikke-stasjonære prosesser, spesielt forbigående: start, stopp, modusendring. Argumentet er tid.
Stasjonsforhold for tilfeldige funksjoner:
1. konstant matematisk forventning;
2. spredningskonstans;
3. Korrelasjonsfunksjonen skal kun avhenge av forskjellen mellom argumentene, men ikke av verdiene deres.
Eksempler på stasjonære tilfeldige prosesser inkluderer: oscillasjoner av et fly i steady-state horisontal flyvning; tilfeldig støy i radioen osv.
Hver stasjonær prosess kan betraktes som å fortsette i tid på ubestemt tid under forskning, et hvilket som helst tidspunkt kan velges som utgangspunkt. Når du studerer en stasjonær tilfeldig prosess over en hvilken som helst tidsperiode, bør de samme egenskapene oppnås.
Korrelasjonsfunksjonen til stasjonære tilfeldige prosesser er en jevn funksjon.
For stasjonære tilfeldige prosesser er spektralanalyse effektiv, dvs. betraktning i form av harmoniske spektre eller Fourier-serier. I tillegg introduseres spektraltetthetsfunksjonen til en tilfeldig funksjon, som karakteriserer fordelingen av dispersjoner over spektrale frekvenser.
Spredning:
Korrelasjonsfunksjon:
K x (τ) = 
Spektral tetthet:
Sx() = 
Stasjonære prosesser kan være ergodiske og ikke-ergodiske. Ergodisk - hvis gjennomsnittsverdien av en stasjonær tilfeldig funksjon over en tilstrekkelig lang periode er omtrent lik gjennomsnittsverdien for individuelle implementeringer. For dem bestemmes egenskapene som tidsgjennomsnittet.
Spørsmål nr. 66 Pålitelighetsindikatorer for tekniske objekter: enkeltstående, komplekse, beregnede, eksperimentelle, operasjonelle, ekstrapolerte.
Pålitelighetsindikator er en kvantitativ karakteristikk av en eller flere egenskaper som utgjør påliteligheten til et objekt.
En enkelt pålitelighetsindikator er en pålitelighetsindikator som karakteriserer en av egenskapene som utgjør påliteligheten til et objekt.
En kompleks pålitelighetsindikator er en pålitelighetsindikator som karakteriserer flere egenskaper som utgjør påliteligheten til et objekt.
Kalkulert pålitelighetsindikator er en pålitelighetsindikator, hvis verdier bestemmes av beregningsmetoden.
Eksperimentell pålitelighetsindikator er en pålitelighetsindikator, hvis punkt eller intervallestimat bestemmes basert på testdata.
Driftspålitelighetsindikator – en pålitelighetsindikator, hvis punkt eller intervallestimat bestemmes basert på driftsdata.
Ekstrapolert pålitelighetsindikator - en pålitelighetsindikator, et punkt- eller intervallestimat som bestemmes basert på resultatene av beregninger, tester og (eller) driftsdata ved å ekstrapolere til en annen driftsvarighet og andre driftsforhold.
Spørsmål nr. 68 Indikatorer for holdbarhet til tekniske objekter og biler.
Gammaprosent ressurs er den totale driftstiden objektet ikke vil nå grensetilstanden med sannsynlighet g, uttrykt i prosent.
Gjennomsnittlig ressurs er den matematiske forventningen til en ressurs.
Gammaprosent levetid er kalendervarigheten av operasjonen der objektet ikke vil nå den begrensende tilstanden med sannsynlighet g, uttrykt i prosent
Gjennomsnittlig levetid er den matematiske forventningen til levetid.
Merk. Ved bruk av holdbarhetsindikatorer bør startpunktet og typen handling etter inntreden av grensetilstanden angis (for eksempel gammaprosent levetid fra andre store overhaling til avskrivning). Holdbarhetsindikatorer, regnet fra idriftsettelse av et objekt til dets endelige dekommisjonering, kalles gammaprosent full ressurs (levetid), gjennomsnittlig full ressurs (levetid)
71 71 Oppgaver og metoder for å forutsi bilens pålitelighet
Det er tre stadier av prognoser: retrospeksjon, diagnose og prognose. På det første trinnet etableres dynamikken til endringer i maskinparametere i fortiden, på det andre trinnet bestemmes den tekniske tilstanden til elementene i nåtiden, på det tredje trinnet er endringer i parametrene til elementenes tilstand i fremtiden. spådd.
Hovedoppgavene med å forutsi påliteligheten til biler kan formuleres som følger:
a) Forutsi mønstre for endringer i kjøretøyets pålitelighet i forbindelse med prospekter for produksjonsutvikling, introduksjon av nye materialer og økt styrke på deler.
b) Vurdere påliteligheten til konstruerte kjøretøy før de produseres. Denne oppgaven oppstår på designstadiet.
c) Forutsi påliteligheten til et spesifikt kjøretøy (eller dets komponent eller sammenstilling) basert på resultatene av endringer i parametrene.
d) Prediksjon av påliteligheten til et visst sett med biler basert på resultatene fra en studie av et begrenset antall prototyper. Denne typen problemer må møtes på produksjonsstadiet.
e) Forutsi påliteligheten til biler under uvanlige driftsforhold (for eksempel når temperaturen og luftfuktigheten i miljøet er høyere enn tillatt, vanskelige veiforhold, og så videre).
Metoder for å forutsi kjøretøyets pålitelighet velges under hensyntagen til prognoseoppgaver, mengden og kvaliteten på innledende informasjon, og arten av den virkelige prosessen med å endre pålitelighetsindikatoren (forutsagt parameter).
Moderne prognosemetoder kan deles inn i tre hovedgrupper: a) metoder for ekspertvurderinger b) modelleringsmetoder, inkludert fysiske, fysisk-matematiske og informasjonsmodeller;
Prognosemetoder basert på ekspertvurderinger består av generalisering, statistisk bearbeiding og analyse av spesialistuttalelser om utsiktene for utviklingen av dette området.
Modelleringsmetoder er basert på de grunnleggende prinsippene for likhetsteori. Basert på likheten mellom indikatorene for modifikasjon A, hvis pålitelighetsnivå tidligere ble studert, og noen egenskaper til modifikasjon B av samme bil eller dens komponent, er pålitelighetsindikatorene til B forutsagt for en viss tidsperiode.
Statistiske prognosemetoder er basert på ekstrapolering og interpolering av predikerte pålitelighetsparametere oppnådd som et resultat av forundersøkelser. Metoden er basert på mønstre for endringer i kjøretøyets pålitelighetsparametre over tid
Spørsmål nr. 74 Matematiske metoder for prognoser. Konstruksjon av matematiske modeller for pålitelighet.
Når du forutsier overføringspålitelighet, er det mulig å bruke følgende modeller: 1) det "svakeste" leddet; 2) avhengige ressurser av deler elementer; 3) uavhengige ressurser av detaljelementer. Ressursen til det i-te elementet bestemmes fra forholdet:
x i = R i/ri,
hvor R i er den kvantitative verdien av kriteriet for det i-te elementet der dets feil oppstår;
r i – den gjennomsnittlige økningen i den kvantitative vurderingen av kriteriet for det i-te elementet per ressursenhet.
Verdiene til R i og r i kan være tilfeldige med visse distribusjonslover eller konstant.
For alternativet når R i er konstant, og ri er variabel og har en funksjonell forbindelse med samme tilfeldige variabel, vurder situasjonen når en lineær funksjonell forbindelse observeres mellom verdiene til r i, som fører til den "svakeste" lenken modell. I dette tilfellet tilsvarer påliteligheten til systemet påliteligheten til den "svakeste" lenken.
Modellen med avhengige ressurser implementeres under lasting i henhold til ordningen, når det er spredning av driftsforhold for masseproduserte maskiner eller usikkerhet i driftsforholdene til unike maskiner. Modellen med uavhengige ressurser oppstår ved lasting i henhold til en ordning med spesifikke driftsforhold.
Et uttrykk for å beregne påliteligheten til et system med uavhengige ressurselementer.
Spørsmål nr. 79 Skjematisk belastning av systemet, deler og elementer (ved bruk av et eksempel på en transmisjon).
Med transmisjon mener vi kjøringen av bilen som helhet eller en separat, ganske kompleks del av den, som av en eller annen grunn må isoleres. Belastningen på girkassen bestemmes av kraft- og hastighetskomponentene. Kraftkomponenten er preget av dreiemoment, og hastighetskomponenten er preget av rotasjonsvinkelhastigheten, som bestemmer antall belastningssykluser av transmisjonsdeler eller glidehastigheten til kontaktflatene.
Avhengig av type del kan skjematiseringen av dreiemomentet for å oppnå belastningen til delen være forskjellig. For eksempel bestemmes belastningen på gir og lagre av den nåværende verdien av momentene, og torsjonsbelastningen på aksler bestemmes av størrelsen på dens amplitude.
Basert på driftsforhold kan overføringsbelastningen presenteres i form av følgende diagrammer.
1. Hver modus tilsvarer en endimensjonal distribusjonskurve.
2. For hver modus har vi n endimensjonale distribusjonskurver (n er antall maskindriftsforhold). Sannsynligheten for drift i hver av forholdene er spesifikk.
3. For hver modus har vi én todimensjonal fordeling av gjeldende og gjennomsnittlige dreiemomentverdier.
Skjema 1 kan brukes for masseproduserte maskiner under nøyaktig samme driftsforhold eller for en unik maskin under spesifikke driftsforhold.
Skjema 2 er ikke kvalitativt forskjellig fra skjema 1, men i noen tilfeller anbefales det for beregningen at hver driftstilstand tilsvarer en lastkurve.
Skjema 3 kan karakterisere belastningen på overføringen av en unik maskin, hvis spesifikke driftsforhold er ukjente, men utvalget av forhold er kjent.
82 Spørsmål nr. 82 Systematisk tilnærming til å forutsi levetiden til deler
En bil bør betraktes som et komplekst system, formet fra synspunktet om påliteligheten til dens sekvensielt tilkoblede enheter, deler og elementer.
Vareressurs:
Ti = R i/ri,
hvor R i er den kvantitative verdien av grensetilstandskriteriet for det i-te elementet der dets feil oppstår;
g i - den gjennomsnittlige økningen av den kvantitative vurderingen av kriteriet
grensetilstand for det i-te elementet per ressursenhet.
R i og r i kan være tilfeldige eller konstante og er mulige
følgende alternativer:
1. R i - tilfeldig, ri - tilfeldig;
2. R i - tilfeldig, ri - konstant;
3. R i - konstant, r i - tilfeldig;
4. R i - konstanter, r i - konstanter.
For de tre første alternativene anser vi R i å være uavhengige tilfeldige variabler.
1.a) r i - uavhengig
Påliteligheten til systemet anses å være multiplikasjonen av FBG
b) r i - tilfeldig og relatert etter sannsynlighet
f (r i / r j) = f (ri, r j) / f (r j);
f (r j / r i) = f (r i, r j)/ f (r i).
Hvis r i og r j avhenger av hverandre, så vil ressursene også avhenge av hverandre
venn og elbrukes til beregning. Fordi forholdet er probabilistisk, da brukes metoden for betingede funksjoner.
c) r i - tilfeldig og funksjonelt relatert.
I dette tilfellet er gratismengder avhengige av hverandre, og ressurser avhenger også av hverandre. Kun på grunn av funksjonell avhengighet vil sammenhengen være sterkere enn i andre tilfeller.
2. modell av uavhengige elementer ressurser.
Systemets FBR er lik summen av FBR for alle elementene.
3. De samme tilfellene som i 1 er mulige, bare i tilfellene b) og c) vil det være en økning i avhengige ressurser på grunn av konstanten til R i. I tilfelle c) r i er en funksjonell forbindelse,
en situasjon er mulig når den "svakeste" lenkemodellen brukes.
R1, R2 - konstanter;
r 1 ,r 2 – tilfeldig;
r 1 = 1,5 ∙ r 2;
R1 = T∙ri;
R2 = T∙r2;
Hvis, for to andre spesifikke verdier av r 1, r 2,
samme ressursforhold T 1 >T 2, da vil element 2 være det "svakeste"
lenke, dvs. det bestemmer påliteligheten til dette systemet.
Anvendelse av modellen med svakeste ledd:
Hvis det er et element i systemet hvis kriterium R er betydelig mindre enn dette kriteriet for alle andre elementer, og alle elementene er lastet tilnærmet likt;
Hvis R-kriteriet for alle elementer er omtrent det samme, og belastningen av ett element er betydelig høyere enn alle andre elementer.
Spørsmål nr. 83 Bestemmelse av levetiden til deler (aksler, eller gir, eller lagre til transmisjonsenheter) basert på eksperimentelle belastningsforhold.
Bestemmelse av levetiden til rullende lagre.
For å bestemme holdbarheten til rullende lagre til transmisjonsenheter og chassis, er det nødvendig å utføre flere typer beregninger: for statisk styrke, for kontakttretthet, for slitasje.
Feilmodell:
hvor f(R) er ressursfordelingstettheten;
, – tetthets- og ressursfordelingsfunksjon for den i-te typen destruktiv prosess;
n – antall beregningstyper.
Den mest brukte beregningen av rullelager for kontakttretthet er:
R = a p Cd mρ No 50 [β 
-1 ,
hvor C d - dynamisk lastkapasitet;
No 50 – antall sykluser av utmattingskurven som tilsvarer en 50 % sannsynlighet for ikke-ødeleggelse av lageret under belastning Cd;
m ρ – eksponent (kule = 3, rulle = 3,33);
Frekvens av lagerbelastning ved bevegelse i kth gir;
Fordelingstetthet av den reduserte lasten ved kjøring i k-te gir under i-te driftsforhold.
Hovedtrekk ved beregningen.
1. Siden for lagerutmattingskurven, i stedet for utholdenhetsgrensen, innføres C d (tilsvarer sannsynligheten for ikke-destruksjon på 90 % ved 10 6 sykluser), er det nødvendig å gå over til utmattingskurven tilsvarende 50 % av ikke-ødeleggelse. Tatt i betraktning at fordelingstettheten under belastning på lageret C d overholder Weibull-loven, så er No 50 = 4,7 ∙ 10 6 sykluser.
2. Integrasjon i formelen utføres fra null, og parametrene til utmattelseskurven - m ρ, No 50 og C d - er ikke justert. Derfor, under betingelsen = const, vil omorganisering av operasjonene for summering og integrasjon ikke påvirke verdien av R. Følgelig er beregninger for den generaliserte lastmodusen og for individuelle lastmoduser identiske. Hvis verdiene avviker betydelig, beregnes den gjennomsnittlige ressursen R ik separat for hver overføring:
R ik = a p C d mρ Nei [β -1 ,
formelen kan skrives:
R = [ 
-1 ,
P = (K Fr ∙ K v ∙ F r + K Fa ∙ F a) ∙ K b ∙ K T ∙ K m;
hvor F r, F a – radielle og aksiale belastninger;
K v - rotasjonskoeffisient;
K b - rotasjonskoeffisient;
K T - temperaturkoeffisient;
K m - materialkoeffisient;
K Fr , K Fa – koeffisient for radielle og aksiale laster.
4. Forholdet mellom dreiemoment på aksel M og redusert belastning på lageret:
Р = K P M = (K Fr ∙ K v ∙ K R + K Fa ∙ K A) ∙ K b ∙ K T ∙ K m ∙ M;
hvor K R er konverteringsfaktoren;
K R , KA – dreietil totale radielle og aksiale belastninger på lageret.
Belastningsfrekvensen til lageret tilsvarer frekvensen av rotasjonen.
1000 U Σα (2πr ω)
hvor U Σα er det totale utvekslingsforholdet til transmisjonen fra akselen til kjøretøyets drivhjul når det kth giret er innkoblet.
5. Beregning av distribusjonstettheten til lagerressursen og dens parametere utføres ved hjelp av metoden for statisk modellering.
Spørsmål nr. 12 Spesifikt materialforbruk for biler.
Ved bestemmelse av materialforbruket til et kjøretøy, brukes vekten av det fortausede chassiset. Hensiktsmessigheten av å bruke chassisvekt ved vurdering av materialforbruket til en bil forklares av den utbredte utviklingen av produksjonen av spesialiserte biler med karosserier av forskjellige typer eller andre overbygninger med forskjellig vekt installert på chassiset til samme basisbil. Det er derfor merkede brosjyrer og kataloger for utenlandske lastebiler som regel gir vekten til fortauskantchassiset, ikke kjøretøyet. Samtidig inkluderer mange utenlandske selskaper ikke vekten av utstyr og tilleggsutstyr i vekten av det utstyrte chassiset, og graden av drivstofffylling er angitt forskjellig i forskjellige standarder.
For å objektivt vurdere materialforbruket til biler av forskjellige modeller, må de bringes til en enkelt konfigurasjon. I dette tilfellet bestemmes chassisets lastekapasitet som differansen mellom den totale strukturelle vekten til kjøretøyet og vekten av det fortausede chassiset.
Hovedindikatoren for materialforbruket til en bil er den spesifikke vekten til chassiset:
m slag = (m sn.shas – m z.sn)/[(m k.a – m sn.shas)P];
hvor m bakken chassis er vekten av det utstyrte chassiset,
m з.сн – masse påfylling og utstyr,
m к.а – total strukturell masse av kjøretøyet,
P – etablert ressurs før større reparasjoner.
For et traktorkjøretøy tas totalvekten til vogntoget i betraktning:
m slag = (m sn.shas – m z.sn)/[(m k.a – m sn.shas)KR];
der K er korrigeringskoeffisienten for indikatorer for traktor-tilhengerkjøretøy beregnet på drift som en del av et vogntog
K = m a/m k.a;
hvor m a er totalvekten til vogntoget.
Relatert informasjon.
Interferens i kommunikasjonssystemer er beskrevet ved metoder for teorien om tilfeldige prosesser.
En funksjon kalles tilfeldig hvis den, som et resultat av et eksperiment, har en eller annen form, og det ikke er kjent på forhånd hvilken. En tilfeldig prosess er en tilfeldig funksjon av tid. Den spesifikke formen som en tilfeldig prosess tar som et resultat av et eksperiment kalles implementeringen av en tilfeldig prosess.
I fig. Figur 1.19 viser et sett med flere (tre) implementeringer av den tilfeldige prosessen , , . En slik samling kalles et ensemble av erkjennelser. Med en fast verdi av tidspunktet i det første eksperimentet får vi en bestemt verdi, i det andre - , i det tredje - .
Den tilfeldige prosessen er dobbel i naturen. På den ene siden, i hvert spesifikt eksperiment er det representert ved implementeringen - en ikke-tilfeldig funksjon av tid. På den annen side er en tilfeldig prosess beskrevet av et sett med tilfeldige variabler.
Faktisk, la oss vurdere en tilfeldig prosess på et fast tidspunkt. Så i hvert eksperiment tar det én verdi, og det er ikke kjent på forhånd hvilken. Dermed er en tilfeldig prosess vurdert på et fast tidspunkt en tilfeldig variabel. Hvis to øyeblikk av tid og er registrert, vil vi i hvert eksperiment få to verdier av og . I dette tilfellet fører felles vurdering av disse verdiene til et system med to tilfeldige variabler. Når vi analyserer tilfeldige prosesser på N tidspunkter, kommer vi til et sett eller system av N tilfeldige variabler 
.
Matematisk forventning, spredning og korrelasjonsfunksjon for en tilfeldig prosess Siden en tilfeldig prosess betraktet på et fast tidspunkt er en tilfeldig variabel, kan vi snakke om den matematiske forventningen og spredningen av en tilfeldig prosess:
, .
Akkurat som for en tilfeldig variabel, karakteriserer spredning spredningen av verdier av en tilfeldig prosess i forhold til gjennomsnittsverdien. Jo større, jo større er sannsynligheten for svært store positive og negative prosessverdier. En mer praktisk egenskap er standardavviket (MSD), som har samme dimensjon som selve den tilfeldige prosessen.
Hvis en tilfeldig prosess beskriver for eksempel en endring i avstanden til et objekt, så er den matematiske forventningen gjennomsnittlig rekkevidde i meter; spredning måles i kvadratmeter, og Sco måles i meter og karakteriserer spredningen av mulige områdeverdier i forhold til gjennomsnittet.
Gjennomsnittet og variansen er svært viktige egenskaper som lar oss bedømme oppførselen til en tilfeldig prosess på et fast tidspunkt. Men hvis det er nødvendig å estimere "hastigheten" av endring i en prosess, er observasjoner på et tidspunkt ikke nok. Til dette formål brukes to tilfeldige variabler, vurdert sammen. Akkurat som for tilfeldige variabler introduseres en karakteristikk av sammenhengen eller avhengigheten mellom og. For en tilfeldig prosess avhenger denne karakteristikken av to øyeblikk i tid og kalles korrelasjonsfunksjonen: .
Stasjonære tilfeldige prosesser. Mange prosesser i kontrollsystemer skjer jevnt over tid. Deres grunnleggende egenskaper endres ikke. Slike prosesser kalles stasjonære. Den nøyaktige definisjonen kan gis som følger. En tilfeldig prosess kalles stasjonær hvis noen av dens probabilistiske egenskaper ikke avhenger av skiftet i tidens opprinnelse. For en stasjonær tilfeldig prosess er den matematiske forventningen, variansen og standardavviket konstant: , .
Korrelasjonsfunksjonen til en stasjonær prosess er ikke avhengig av origo t, dvs. avhenger bare av forskjellen i tid:
Korrelasjonsfunksjonen til en stasjonær tilfeldig prosess har følgende egenskaper:
1) 
; 2) ; 3) .
Ofte har korrelasjonsfunksjonene til prosesser i kommunikasjonssystemer formen vist i fig. 1.20.
Ris. 1.20. Korrelasjonsfunksjoner til prosesser
Tidsintervallet som korrelasjonen fungerer over, dvs. størrelsen på forbindelsen mellom verdiene til en tilfeldig prosess reduseres med M ganger, kalt intervallet eller korrelasjonstiden til den tilfeldige prosessen. Vanligvis eller. Vi kan si at verdiene til en tilfeldig prosess som avviker i tid med korrelasjonsintervallet er svakt relatert til hverandre.
Dermed lar kunnskap om korrelasjonsfunksjonen en bedømme endringshastigheten til en tilfeldig prosess.
En annen viktig egenskap er energispekteret til en tilfeldig prosess. Det er definert som Fourier-transformasjonen av korrelasjonsfunksjonen:
.
Åpenbart er den omvendte transformasjonen også gyldig:
.
Energispekteret viser kraftfordelingen til en tilfeldig prosess, for eksempel interferens, på frekvensaksen.
Når du analyserer en ACS, er det svært viktig å bestemme egenskapene til en tilfeldig prosess ved utgangen av et lineært system med kjente egenskaper for prosessen ved inngangen til ACS. La oss anta at det lineære systemet er gitt av en impulstransient respons. Deretter bestemmes utgangssignalet i tidsøyeblikket av Duhamel-integralet:
,
hvor er prosessen ved systeminngangen. For å finne korrelasjonsfunksjonen skriver vi 
og etter multiplikasjon finner vi den matematiske forventningen