En funksjon kalles partall (oddetall) hvis for noen og likheten 
.
Grafen til en jevn funksjon er symmetrisk om aksen 
.
Grafen til en oddetallsfunksjon er symmetrisk om opprinnelsen.
Eksempel 6.2. Undersøk om en funksjon er partall eller oddetall
1)
;
2)
;
3)
.
Løsning.
1) Funksjonen er definert når 
. Vi finner 
.
De. 
. Dette betyr at denne funksjonen er jevn.
2) Funksjonen er definert når 
De. 
. Derfor er denne funksjonen merkelig.
3) funksjonen er definert for , dvs. Til
,
. Derfor er funksjonen verken partall eller oddetall. La oss kalle det en funksjon av generell form.
Funksjon 
kalles økende (minkende) på et visst intervall hvis i dette intervallet tilsvarer hver større verdi av argumentet en større (mindre) verdi av funksjonen.
Funksjoner som øker (minker) over et visst intervall kalles monotone.
Hvis funksjonen 
differensierbar på intervallet 
og har en positiv (negativ) derivat 
, deretter funksjonen 
øker (minker) over dette intervallet.
Eksempel 6.3. Finn intervaller for monotoni av funksjoner
1)
;
3)
.
Løsning.
1) Denne funksjonen er definert på hele tallinjen. La oss finne den deriverte.
Den deriverte er lik null if 
Og 
. Definisjonsdomenet er tallaksen, delt på prikker 
,
med mellomrom. La oss bestemme tegnet til den deriverte i hvert intervall.
I intervallet 
den deriverte er negativ, funksjonen avtar på dette intervallet.
I intervallet 
den deriverte er positiv, derfor øker funksjonen over dette intervallet.
2) Denne funksjonen er definert hvis 
eller
.
Vi bestemmer tegnet til kvadrattrinomialet i hvert intervall.
Dermed domenet for definisjon av funksjonen
La oss finne den deriverte 
,
, Hvis 
, dvs. 
, Men 
. La oss bestemme tegnet til den deriverte i intervallene 
.
I intervallet 
den deriverte er negativ, derfor avtar funksjonen på intervallet 
. I intervallet 
den deriverte er positiv, funksjonen øker over intervallet 
.
Punktum 
kalt maksimum (minimum) punkt for funksjonen 
, hvis det er et slikt nabolag av punktet 
det er for alle 
fra dette nabolaget holder ulikheten 
.
Maksimums- og minimumspunktene til en funksjon kalles ekstremumpunkter.
Hvis funksjonen 
på punktet 
har et ekstremum, så er den deriverte av funksjonen på dette punktet lik null eller eksisterer ikke (en nødvendig betingelse for eksistensen av et ekstremum).
Punktene der den deriverte er null eller ikke eksisterer kalles kritiske.
5. Tilstrekkelige forhold for eksistensen av et ekstremum.Regel 1. Hvis under overgangen (fra venstre til høyre) gjennom det kritiske punktet 
derivat 
endrer fortegn fra “+” til “–”, og deretter ved punktet 
funksjon 
har et maksimum; hvis fra "–" til "+", så minimum; Hvis 
ikke skifter fortegn, så er det ikke noe ekstremum.
Regel 2. La på punktet 
førstederiverte av en funksjon 
lik null 
, og den andre deriverte eksisterer og er forskjellig fra null. Hvis 
, Det 
– maksimalt poeng, hvis 
, Det 
– minimumspunktet for funksjonen.
Eksempel 6.4. Utforsk maksimums- og minimumsfunksjonene:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Løsning.
1) Funksjonen er definert og kontinuerlig på intervallet 
.
La oss finne den deriverte 
og løse ligningen 
, dvs. 
.Herfra 
– kritiske punkter.
La oss bestemme tegnet til den deriverte i intervallene, 
.
Når du passerer gjennom punkter 
Og 
den deriverte endrer fortegn fra «–» til «+», derfor i henhold til regel 1 
– minimumspoeng.
Når du passerer gjennom et punkt 
den deriverte endrer fortegn fra “+” til “–”, altså 
– maksimalt poeng.
,
.
2) Funksjonen er definert og kontinuerlig i intervallet 
. La oss finne den deriverte 
.
Etter å ha løst ligningen 
, finner vi 
Og 
– kritiske punkter. Hvis nevneren 
, dvs. 
, da eksisterer ikke den deriverte. Så, 
– tredje kritiske punkt. La oss bestemme tegnet til den deriverte i intervaller.
Derfor har funksjonen et minimum på punktet 
, maksimum i poeng 
Og 
.
3) En funksjon er definert og kontinuerlig hvis 
, dvs. på 
.
La oss finne den deriverte 
.
La oss finne kritiske punkter: 
Nabolag av poeng 
tilhører ikke definisjonsdomenet, derfor er de ikke ekstrema. Så la oss undersøke de kritiske punktene 
Og 
.
4) Funksjonen er definert og kontinuerlig på intervallet 
. La oss bruke regel 2. Finn den deriverte 
.
La oss finne kritiske punkter:
La oss finne den andre deriverte 
og bestemme fortegnet ved punktene 
På poeng 
funksjonen har et minimum.
På poeng 
funksjonen har et maksimum.
Jevn funksjon.
En funksjon hvis fortegn ikke endres når fortegnet endres, kalles partall. x.
x likestilling holder f(–x) = f(x). Skilt x påvirker ikke skiltet y.
Grafen til en jevn funksjon er symmetrisk om koordinataksen (fig. 1).
Eksempler på en jevn funksjon:
y=cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Forklaring:
La oss ta funksjonen y = x 2 eller y = –x 2 .
For enhver verdi x funksjonen er positiv. Skilt x påvirker ikke skiltet y. Grafen er symmetrisk om koordinataksen. Dette er en jevn funksjon.
Odd funksjon.
En funksjon hvis fortegn endres når fortegnet endres, kalles oddetall. x.
Med andre ord, uansett verdi x likestilling holder f(–x) = –f(x).
Grafen til en oddetallsfunksjon er symmetrisk med hensyn til origo (fig. 2).
Eksempler på oddetallsfunksjon:
y= synd x
y = x 3
y = –x 3
Forklaring:
La oss ta funksjonen y = – x 3 .
Alle betydninger på den vil ha et minustegn. Det er et tegn x påvirker skiltet y. Hvis den uavhengige variabelen er et positivt tall, er funksjonen positiv, hvis den uavhengige variabelen er et negativt tall, så er funksjonen negativ: f(–x) = –f(x).
Grafen til funksjonen er symmetrisk om opprinnelsen. Dette er en merkelig funksjon.
Egenskaper for partalls- og oddetallsfunksjoner:
MERK:
Ikke alle funksjoner er partall eller oddetall. Det er funksjoner som ikke følger en slik gradering. For eksempel rotfunksjonen på = √X gjelder ikke for hverken partall eller oddetallsfunksjoner (fig. 3). Når du lister opp egenskapene til slike funksjoner, bør det gis en passende beskrivelse: verken partall eller oddetall.
Periodiske funksjoner.
Som du vet, er periodisitet repetisjon av visse prosesser med et visst intervall. Funksjoner som beskriver disse prosessene kalles periodiske funksjoner. Det vil si at dette er funksjoner hvis grafer det er elementer som gjentas med visse numeriske intervaller.
For å gjøre dette, bruk millimeterpapir eller en grafisk kalkulator. Velg et hvilket som helst antall numeriske verdier for den uavhengige variabelen x (\displaystyle x) og plugg dem inn i funksjonen for å beregne verdiene for den avhengige variabelen y (\displaystyle y). Plott de funnet koordinatene til punktene på koordinatplanet, og koble deretter disse punktene for å bygge en graf av funksjonen.
- Bytt inn positive numeriske verdier x (\displaystyle x) og tilsvarende negative numeriske verdier i funksjonen. For eksempel gitt funksjonen . Bytt inn følgende verdier x (\displaystyle x) i den:
- f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) (\ displaystil (1,3)) .
- f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Vi fikk et punkt med koordinater (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
- f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Vi fikk et punkt med koordinater (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
- f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . Vi fikk et punkt med koordinater (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .
Sjekk om grafen til funksjonen er symmetrisk om Y-aksen. Med symmetri mener vi speilbildet til grafen om y-aksen. Hvis delen av grafen til høyre for Y-aksen (positive verdier av den uavhengige variabelen) er den samme som delen av grafen til venstre for Y-aksen (negative verdier av den uavhengige variabelen) ), er grafen symmetrisk om Y-aksen Hvis funksjonen er symmetrisk om y-aksen, er funksjonen jevn.
- Du kan sjekke symmetrien til grafen ved å bruke individuelle punkter. Hvis verdien av y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) samsvarer med verdien av y (\displaystyle y) som samsvarer med verdien av − x (\displaystyle -x), er funksjonen partall. I vårt eksempel med funksjonen f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) fikk vi følgende koordinater til punktene:
- (1,3) og (-1,3)
- (2,9) og (-2,9)
- Merk at for x=1 og x=-1 er den avhengige variabelen y=3, og for x=2 og x=-2 er den avhengige variabelen y=9. Dermed er funksjonen jevn. Faktisk, for nøyaktig å bestemme formen til funksjonen, må du vurdere mer enn to punkter, men den beskrevne metoden er en god tilnærming.
Sjekk om grafen til funksjonen er symmetrisk om opprinnelsen. Opprinnelsen er punktet med koordinater (0,0). Symmetri om opprinnelsen betyr at en positiv verdi av y (\displaystyle y) (for en positiv verdi på x (\displaystyle x) ) tilsvarer en negativ verdi på (\displaystyle y) (\displaystyle y) (for en negativ verdi av x (\displaystyle x) ), og omvendt. Odd-funksjoner har symmetri om opprinnelsen.
- Hvis du erstatter flere positive og tilsvarende negative verdier av x (\displaystyle x) i funksjonen, vil verdiene til y (\displaystyle y) avvike i fortegn. For eksempel gitt en funksjon f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Bytt inn flere verdier av x (\displaystyle x) i den:
- f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Vi fikk et punkt med koordinater (1,2).
- f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
- f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
- f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Vi fikk et punkt med koordinater (-2,-10).
- Dermed f(x) = -f(-x), det vil si at funksjonen er oddetall.
Sjekk om grafen til funksjonen har noen symmetri. Den siste funksjonstypen er en funksjon hvis graf ikke har noen symmetri, det vil si at det ikke er noe speilbilde både i forhold til ordinataksen og i forhold til origo. For eksempel gitt funksjonen .
- Bytt inn flere positive og tilsvarende negative verdier av x (\displaystyle x) i funksjonen:
- f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Vi fikk et punkt med koordinater (1,4).
- f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Vi fikk et punkt med koordinater (-1,-2).
- f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Vi fikk et punkt med koordinater (2,10).
- f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Vi fikk et poeng med koordinater (2,-2).
- I følge de oppnådde resultatene er det ingen symmetri. Verdiene til y (\displaystyle y) for motsatte verdier av x (\displaystyle x) er ikke de samme og er ikke motsatte. Dermed er funksjonen verken partall eller oddetall.
- Vær oppmerksom på at funksjonen f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) kan skrives som følger: f (x) = (x + 1) ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Når den skrives i denne formen, vises funksjonen selv fordi det er en jevn eksponent. Men dette eksemplet beviser at typen funksjon ikke kan bestemmes raskt hvis den uavhengige variabelen er omsluttet av parentes. I dette tilfellet må du åpne parentesene og analysere de oppnådde eksponentene.
Funksjon er et av de viktigste matematiske begrepene. En funksjon er avhengigheten av variabelen y av variabelen x, hvis hver verdi av x tilsvarer en enkelt verdi av y. Variabelen x kalles den uavhengige variabelen eller argumentet. Variabelen y kalles den avhengige variabelen. Alle verdier av den uavhengige variabelen (variabel x) danner definisjonsdomenet for funksjonen. Alle verdier som den avhengige variabelen (variabel y) tar, danner funksjonens rekkevidde.
Grafen til en funksjon er settet av alle punkter i koordinatplanet, hvis abscisse er lik verdiene til argumentet, og ordinatene er lik de tilsvarende verdiene til funksjonen, det vil si Verdiene av variabelen x er plottet langs abscisseaksen, og verdiene til variabelen y er plottet langs ordinataksen. For å tegne en funksjon må du kjenne egenskapene til funksjonen. Hovedegenskapene til funksjonen vil bli diskutert nedenfor!
For å bygge en graf av en funksjon, anbefaler vi å bruke programmet vårt - Graffunksjoner online. Hvis du har spørsmål mens du studerer materialet på denne siden, kan du alltid stille dem på forumet vårt. Også på forumet vil de hjelpe deg med å løse problemer innen matematikk, kjemi, geometri, sannsynlighetsteori og mange andre fag!
Grunnleggende egenskaper ved funksjoner.
1) Definisjonsdomenet til funksjonen og rekkevidden av verdier for funksjonen.
Domenet til en funksjon er settet av alle gyldige reelle verdier av argumentet x (variabel x) som funksjonen y = f(x) er definert for.
Rekkevidden til en funksjon er settet av alle reelle y-verdier som funksjonen aksepterer.
I elementær matematikk studeres funksjoner bare på settet med reelle tall.
2) Nullpunkter for funksjonen.
Verdier av x som y=0 kalles for funksjonsnuller. Dette er abscissen til skjæringspunktene til funksjonsgrafen med Ox-aksen.
3) Intervaller med konstant fortegn for en funksjon.
Intervaller med konstant fortegn for en funksjon - slike intervaller av verdier x der verdiene til funksjonen y enten bare er positive eller bare negative kalles intervaller med konstant fortegn for funksjonen.
4) Monotonicitet av funksjonen.
En økende funksjon (i et visst intervall) er en funksjon der en større verdi av argumentet fra dette intervallet tilsvarer en større verdi av funksjonen.
En avtagende funksjon (i et visst intervall) er en funksjon der en større verdi av argumentet fra dette intervallet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen.
5) Jevnhet (oddhet) av funksjonen.
En jevn funksjon er en funksjon hvis definisjonsdomene er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen og for enhver x f(-x) = f(x). Grafen til en jevn funksjon er symmetrisk om ordinaten.
En oddetallsfunksjon er en funksjon hvis definisjonsdomene er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen, og for enhver x fra definisjonsdomenet er likheten f(-x) = - f(x) sann. Grafen til en oddetallsfunksjon er symmetrisk om opprinnelsen.
Jevn funksjon
1) Definisjonsdomenet er symmetrisk med hensyn til punktet (0; 0), det vil si at hvis punkt a tilhører definisjonsdomenet, så tilhører punkt -a også definisjonsdomenet.
2) For enhver verdi x f(-x)=f(x)
3) Grafen til en jevn funksjon er symmetrisk om Oy-aksen.
En oddetallsfunksjon har følgende egenskaper:
1) Definisjonsdomenet er symmetrisk om punktet (0; 0).
2) for enhver verdi x som tilhører definisjonsdomenet, er likheten f(-x)=-f(x) tilfredsstilt
3) Grafen til en oddetallsfunksjon er symmetrisk med hensyn til origo (0; 0).
Ikke alle funksjoner er partall eller oddetall. Funksjoner generelt syn er verken partall eller odde.
6) Begrensede og ubegrensede funksjoner.
En funksjon kalles begrenset hvis det er et positivt tall M slik at |f(x)| ≤ M for alle verdier av x. Hvis et slikt nummer ikke eksisterer, er funksjonen ubegrenset.
7) Periodisitet av funksjonen.
En funksjon f(x) er periodisk hvis det er et tall som ikke er null, slik at for enhver x fra definisjonsdomenet til funksjonen gjelder følgende: f(x+T) = f(x). Dette minste tallet kalles funksjonens periode. Alle trigonometriske funksjoner er periodiske. (Trigonometriske formler).
En funksjon f kalles periodisk hvis det er et tall slik at for enhver x fra definisjonsdomenet gjelder likheten f(x)=f(x-T)=f(x+T). T er perioden for funksjonen.
Hver periodisk funksjon har et uendelig antall perioder. I praksis vurderes vanligvis den minste positive perioden.
Verdiene til en periodisk funksjon gjentas etter et intervall lik perioden. Dette brukes ved konstruksjon av grafer.
Hvordan sette inn matematiske formler på et nettsted?
Hvis du noen gang trenger å legge til en eller to matematiske formler på en nettside, er den enkleste måten å gjøre dette på som beskrevet i artikkelen: matematiske formler settes enkelt inn på nettstedet i form av bilder som genereres automatisk av Wolfram Alpha . I tillegg til enkelhet, vil denne universelle metoden bidra til å forbedre synligheten til nettstedet i søkemotorer. Det har fungert lenge (og tror jeg vil fungere for alltid), men er allerede moralsk utdatert.
Hvis du regelmessig bruker matematiske formler på nettstedet ditt, anbefaler jeg at du bruker MathJax - et spesielt JavaScript-bibliotek som viser matematisk notasjon i nettlesere som bruker MathML, LaTeX eller ASCIIMathML-markering.
Det er to måter å begynne å bruke MathJax på: (1) ved å bruke en enkel kode kan du raskt koble et MathJax-skript til nettstedet ditt, som automatisk lastes fra en ekstern server til rett tid (liste over servere); (2) last ned MathJax-skriptet fra en ekstern server til serveren din og koble det til alle sidene på nettstedet ditt. Den andre metoden – mer kompleks og tidkrevende – vil øke hastigheten på innlastingen av sidene til nettstedet ditt, og hvis den overordnede MathJax-serveren blir midlertidig utilgjengelig av en eller annen grunn, vil dette ikke påvirke ditt eget nettsted på noen måte. Til tross for disse fordelene, valgte jeg den første metoden da den er enklere, raskere og ikke krever tekniske ferdigheter. Følg mitt eksempel, og på bare 5 minutter vil du kunne bruke alle funksjonene til MathJax på nettstedet ditt.
Du kan koble til MathJax-biblioteksskriptet fra en ekstern server ved å bruke to kodealternativer hentet fra MathJax hovednettsted eller på dokumentasjonssiden:
Et av disse kodealternativene må kopieres og limes inn i koden til nettsiden din, helst mellom tagger og eller rett etter taggen. I henhold til det første alternativet laster MathJax raskere og bremser siden mindre. Men det andre alternativet overvåker og laster automatisk de nyeste versjonene av MathJax. Hvis du setter inn den første koden, må den oppdateres med jevne mellomrom. Hvis du setter inn den andre koden, vil sidene lastes saktere, men du trenger ikke å overvåke MathJax-oppdateringer konstant.
Den enkleste måten å koble MathJax på er i Blogger eller WordPress: i nettstedets kontrollpanel legger du til en widget som er utformet for å sette inn tredjeparts JavaScript-kode, kopierer den første eller andre versjonen av nedlastingskoden presentert ovenfor, og plasser widgeten nærmere. til begynnelsen av malen (forresten, dette er ikke i det hele tatt nødvendig, siden MathJax-skriptet lastes asynkront). Det er alt. Lær nå markup-syntaksen til MathML, LaTeX og ASCIIMathML, og du er klar til å sette inn matematiske formler på nettstedets nettsider.
Enhver fraktal er konstruert i henhold til en bestemt regel, som konsekvent brukes et ubegrenset antall ganger. Hver slik tid kalles en iterasjon.
Den iterative algoritmen for å konstruere en Menger-svamp er ganske enkel: den originale kuben med side 1 er delt av plan parallelt med flatene i 27 like terninger. En sentral kube og 6 terninger ved siden av den langs flatene fjernes fra den. Resultatet er et sett bestående av de resterende 20 mindre terningene. Gjør vi det samme med hver av disse kubene, får vi et sett bestående av 400 mindre terninger. Hvis vi fortsetter denne prosessen i det uendelige, får vi en Menger-svamp.