Lineære differensialsystemer ligninger.
Systemet med differensialligninger kalles lineær, hvis den er lineær med hensyn til ukjente funksjoner og deres deriverte. system n-lineære ligninger av 1. orden er skrevet på formen:
Systemkoeffisientene er konst.
Det er praktisk å skrive dette systemet i matriseform: ,
hvor er en kolonnevektor med ukjente funksjoner avhengig av ett argument.
Kolonnevektor av derivater av disse funksjonene.
Kolonnevektor med frie termer.
Koeffisientmatrise.
Teorem 1: Hvis alle matrisekoeffisienter EN er kontinuerlige på et eller annet intervall og deretter i et eller annet nabolag av hver m. 
TS&E-vilkårene er oppfylt. Følgelig går en enkelt integrert kurve gjennom hvert slikt punkt.
Faktisk, i dette tilfellet, er høyresidene av systemet kontinuerlige med hensyn til settet av argumenter, og deres partielle deriverte med hensyn til (lik koeffisientene til matrise A) er begrenset, på grunn av kontinuitet på et lukket intervall.
Metoder for å løse SLD-er
1. Et system med differensialligninger kan reduseres til én ligning ved å eliminere de ukjente.
Eksempel: Løs ligningssystemet: 
(1)
Løsning: utelukke z fra disse ligningene. Fra den første ligningen har vi . Bytter inn i den andre ligningen, 
etter forenkling får vi: 
.
Dette ligningssystemet (1) redusert til en enkelt andreordens ligning. Etter å ha funnet fra denne ligningen y, bør finnes z, ved å bruke likestilling.
2. Når man løser et ligningssystem ved å eliminere ukjente, oppnås vanligvis en ligning av høyere orden, så i mange tilfeller er det mer praktisk å løse systemet ved å finne integrerte kombinasjoner.
Fortsatt 27b
Eksempel: Løs systemet 
Løsning:
La oss løse dette systemet ved å bruke Eulers metode. La oss skrive ned determinanten for å finne karakteristikken
ligning: , (siden systemet er homogent, for at det skal ha en ikke-triviell løsning, må denne determinanten være lik null). Vi får en karakteristisk ligning og finner dens røtter: 
Den generelle løsningen er: 
;
- egenvektor.
Vi skriver ned løsningen for: 
;
- egenvektor.
Vi skriver ned løsningen for: 
;
Vi får den generelle løsningen: 
.
La oss sjekke:
la oss finne : og erstatte det med den første ligningen til dette systemet, dvs. .
Vi får:
- ekte likestilling.
Lineær diff. n. ordens ligninger. Teorem om den generelle løsningen av en inhomogen lineær ligning av n-te orden.
En lineær differensialligning av n-te orden er en ligning av formen: (1)
Hvis denne ligningen har en koeffisient, og dividerer med den, kommer vi til ligningen: (2) .
Vanligvis ligninger av typen (2). Anta at i ur-i (2) alle odds, samt f(x) kontinuerlig på et eller annet intervall (a,b). Deretter, ifølge TS&E, ligningen (2) har en unik løsning som tilfredsstiller startbetingelsene: , , …, for . Her - hvilket som helst punkt fra intervallet (a,b), og alle - alle gitte tall. Ligningen (2) tilfredsstiller TC&E , har derfor ikke spesialløsninger.
Def.: spesiell punktene er de der =0.
Egenskaper til en lineær ligning:
- En lineær ligning forblir slik for enhver endring i den uavhengige variabelen.
- En lineær ligning forblir slik for enhver lineær endring av ønsket funksjon.
Def: hvis i ligningen (2) sette f(x)=0, så får vi en ligning av formen: (3) , som kalles homogen ligning i forhold til den inhomogene ligningen (2).
La oss introdusere den lineære differensialoperatoren: (4). Ved å bruke denne operatoren kan du kort skrive om ligningen (2) Og (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operatør (4) har følgende enkle egenskaper:
Fra disse to egenskapene kan det utledes en konsekvens: .
Funksjon y=y(x) er en løsning på den inhomogene ligningen (2), Hvis L(y(x))=f(x), Deretter f(x) kalt løsningen til ligningen. Så løsningen på ligningen (3) kalt funksjonen y(x), Hvis L(y(x))=0 på de vurderte intervallene.
Ta i betraktning inhomogen lineær ligning: , L(y)=f(x).
Anta at vi har funnet en spesiell løsning på en eller annen måte, da .
La oss introdusere en ny ukjent funksjon z i henhold til formelen: , hvor er en bestemt løsning.
La oss sette det inn i ligningen: , åpne parentesene og få: .
Den resulterende ligningen kan skrives om som: 
Siden er en spesiell løsning på den opprinnelige ligningen, så .
Dermed har vi fått en homogen likning mht z. Den generelle løsningen på denne homogene ligningen er en lineær kombinasjon: , hvor funksjonene - utgjør det grunnleggende løsningssystemet til den homogene ligningen. Erstatter z inn i erstatningsformelen får vi: 
(*) for funksjon y– ukjent funksjon av den opprinnelige ligningen. Alle løsninger til den opprinnelige ligningen vil være inneholdt i (*).
Dermed er den generelle løsningen av den inhomogene linjen. ligning er representert som summen av en generell løsning av en homogen lineær ligning og en spesiell løsning av en inhomogen ligning.
(fortsetter på den andre siden)
30. Teorem om eksistens og unikhet av løsningen til differensial. ligninger
Teorem: Hvis høyre side av ligningen er kontinuerlig i rektangelet 
og er begrenset, og tilfredsstiller også Lipschitz-betingelsen: , N=const, så er det en unik løsning som tilfredsstiller startbetingelsene og er definert på segmentet 
, Hvor .
Bevis:
Vurder hele det metriske rommet MED, hvis punkter er alle mulige kontinuerlige funksjoner y(x) definert på intervallet , hvis grafer ligger inne i rektangelet, og avstanden bestemmes av likheten: 
. Dette rommet brukes ofte i matematisk analyse og kalles rom med enhetlig konvergens, siden konvergensen i metrikken til dette rommet er ensartet.
La oss bytte ut differensialen. ligning med gitte startbetingelser til en ekvivalent integralligning: 
og vurdere operatøren A(y), lik høyre side av denne ligningen: 
. Denne operatøren tildeler hver kontinuerlig funksjon
Ved å bruke Lipschitz sin ulikhet kan vi skrive at avstanden . La oss nå velge en som følgende ulikhet vil gjelde: .
Du bør velge slik at , da . Dermed viste vi det.
I henhold til prinsippet om sammentrekningskartlegging er det et enkelt punkt eller, det som er det samme, en enkelt funksjon - en løsning på en differensialligning som tilfredsstiller de gitte startbetingelsene.
Ligninger løst ved direkte integrasjon
Tenk på følgende differensialligning:
.
Vi integrerer n ganger.
;
;
og så videre. Du kan også bruke formelen:
.
Se differensialligninger som kan løses direkte integrasjon >>>
Ligninger som ikke eksplisitt inneholder den avhengige variabelen y
Substitusjon fører til en reduksjon i rekkefølgen av ligningen med én. Her er en funksjon fra .
Se differensialligninger av høyere orden som ikke inneholder en funksjon eksplisitt > > >
Ligninger som ikke eksplisitt inneholder den uavhengige variabelen x
.
Vi anser det som en funksjon av . Deretter
.
Tilsvarende for andre derivater. Som et resultat reduseres rekkefølgen av ligningen med én.
Se differensialligninger av høyere orden som ikke inneholder en eksplisitt variabel > > >
Ligninger homogene med hensyn til y, y′, y′′, ...
For å løse denne ligningen gjør vi substitusjonen
,
hvor er en funksjon av. Deretter
.
Vi transformerer på samme måte derivater osv. Som et resultat reduseres rekkefølgen av ligningen med én.
Se høyere ordens differensialligninger som er homogene med hensyn til en funksjon og dens deriverte > > >
Lineære differensialligninger av høyere orden
La oss vurdere lineær homogen differensialligning av n-te orden:
(1)
,
hvor er funksjoner til den uavhengige variabelen. La det være n lineært uavhengige løsninger på denne ligningen. Da har den generelle løsningen til ligning (1) formen:
(2)
,
hvor er vilkårlige konstanter. Funksjonene i seg selv danner et grunnleggende system av løsninger.
Grunnleggende løsningssystem av en lineær homogen ligning av n-te orden er n lineært uavhengige løsninger til denne ligningen.
La oss vurdere lineær inhomogen differensialligning av n-te orden:
.
La det være en spesiell (hvilken som helst) løsning på denne ligningen. Da har den generelle løsningen formen:
,
hvor er den generelle løsningen av den homogene ligningen (1).
Lineære differensialligninger med konstante koeffisienter og reduserbare til dem
Lineære homogene ligninger med konstante koeffisienter
Dette er ligninger av formen:
(3)
.
Her er reelle tall. For å finne en generell løsning på denne ligningen, må vi finne n lineært uavhengige løsninger som danner et grunnleggende system av løsninger. Deretter bestemmes den generelle løsningen av formel (2):
(2)
.
Vi ser etter en løsning i form . Vi får karakteristisk ligning:
(4)
.
Hvis denne ligningen har ulike røtter, så har det grunnleggende løsningssystemet formen:
.
Hvis tilgjengelig kompleks rot
,
da eksisterer det også en kompleks konjugert rot. Disse to røttene tilsvarer løsninger og , som vi inkluderer i det grunnleggende systemet i stedet for komplekse løsninger og .
Multipler av røtter multiplisiteter tilsvarer lineært uavhengige løsninger: .
Multipler av komplekse røtter multiplisiteter og deres komplekse konjugerte verdier tilsvarer lineært uavhengige løsninger:
.
Lineære inhomogene ligninger med en spesiell inhomogen del
Tenk på en formlikning
,
hvor er polynomer av grader s 1
og s 2
; - permanent.
Først ser vi etter en generell løsning på den homogene ligningen (3). Hvis den karakteristiske ligningen (4) inneholder ikke rot, så ser vi etter en bestemt løsning i formen:
,
Hvor
;
;
s - størst av s 1
og s 2
.
Hvis den karakteristiske ligningen (4) har en rot multiplisitet, så ser vi etter en bestemt løsning i formen:
.
Etter dette får vi den generelle løsningen:
.
Lineære inhomogene ligninger med konstante koeffisienter
Det er tre mulige løsninger her.
1)
Bernoulli metode.
Først finner vi en løsning som ikke er null på den homogene ligningen
.
Så gjør vi byttet
,
hvor er en funksjon av variabelen x. Vi får en differensialligning for u, som kun inneholder deriverte av u med hensyn til x. Ved å utføre substitusjonen får vi ligningen n - 1
- orden.
2)
Lineær substitusjonsmetode.
La oss gjøre en erstatning
,
hvor er en av røttene til den karakteristiske ligningen (4). Som et resultat får vi en lineær inhomogen ligning med konstante ordenskoeffisienter . Ved å bruke denne substitusjonen konsekvent reduserer vi den opprinnelige ligningen til en førsteordens ligning.
3)
Metode for variasjon av Lagrange-konstanter.
I denne metoden løser vi først den homogene ligningen (3). Løsningen hans ser slik ut:
(2)
.
Vi antar videre at konstantene er funksjoner av variabelen x. Da har løsningen til den opprinnelige ligningen formen:
,
hvor er ukjente funksjoner. Ved å sette inn i den opprinnelige ligningen og pålegge noen begrensninger, får vi ligninger som vi kan finne typen funksjoner fra.
Eulers ligning
Den reduserer til en lineær ligning med konstante koeffisienter ved substitusjon:
.
For å løse Euler-ligningen er det imidlertid ikke nødvendig å gjøre en slik erstatning. Du kan umiddelbart se etter en løsning på den homogene ligningen i skjemaet
.
Som et resultat får vi de samme reglene som for en ligning med konstante koeffisienter, der du i stedet for en variabel må erstatte .
Referanser:
V.V. Stepanov, Forløp for differensialligninger, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Samling av problemer i høyere matematikk, "Lan", 2003.
n-te orden
Teorem. Hvis y 0- løsning av en homogen ligning L[y]=0, y 1- løsning av den tilsvarende inhomogene ligningen L[y] = f(x), deretter summen y 0 +y 1 er løsningen på denne inhomogene ligningen.
Strukturen til den generelle løsningen av den inhomogene ligningen bestemmes av følgende teorem.
Teorem. Hvis Y- spesiell løsning av ligningen L[y] = f(x) med kontinuerlige koeffisienter, 
- generell løsning av den tilsvarende homogene ligningen L[y] = 0, så bestemmes den generelle løsningen av denne inhomogene ligningen av formelen
Kommentar. For å skrive ned den generelle løsningen av en lineær inhomogen ligning, er det nødvendig å finne en spesiell løsning på denne ligningen og en generell løsning på den tilsvarende homogene ligningen.
Lineære inhomogene ligninger n
Tenk på den lineære inhomogene ligningen n-te orden med konstante koeffisienter
Hvor en 1, en 2, …, en n- reelle tall. La oss skrive den tilsvarende homogene ligningen
Den generelle løsningen av den inhomogene ligningen bestemmes av formelen
Generell løsning av en homogen ligning y 0 vi kan finne en spesiell løsning Y kan bli funnet ved metoden med ubestemte koeffisienter i følgende enkle tilfeller:
I det generelle tilfellet brukes metoden for å variere vilkårlige konstanter.
Metode for variasjon av vilkårlige konstanter
Tenk på den lineære inhomogene ligningen n-te orden med variable koeffisienter
Hvis det viser seg å være vanskelig å finne en spesiell løsning på denne ligningen, men den generelle løsningen til den tilsvarende homogene ligningen er kjent, kan den generelle løsningen på den inhomogene ligningen bli funnet metode for variasjon av vilkårlige konstanter.
La den tilsvarende homogene ligningen
har en generell løsning
Vi vil se etter en generell løsning på den inhomogene ligningen i skjemaet
Hvor y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), …, y n =y n (x) er lineært uavhengige løsninger av en homogen ligning inkludert i dens generelle løsning, og C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- ukjente funksjoner. For å finne disse funksjonene, la oss underlegge dem noen betingelser.
La oss finne den deriverte
Vi krever at summen i andre parentes er lik null, altså
La oss finne den andre deriverte
og det vil vi kreve
Fortsetter en lignende prosess, får vi
I dette tilfellet kan man ikke kreve at summen i den andre parentesen forsvinner, siden funksjonene C 1 (x), C2(x), …, Cn(x) allerede underordnet n-1 betingelser, men du må fortsatt tilfredsstille den opprinnelige inhomogene ligningen.