Definisjon 1: en matrise kalles entall hvis dens determinant er null.
Definisjon 2: en matrise kalles ikke-singular hvis determinanten ikke er lik null.
Matrise "A" kalles invers matrise, hvis betingelsen A*A-1 = A-1 *A = E (enhetsmatrise) er oppfylt.
En kvadratisk matrise er inverterbar bare hvis den er ikke-singular.
Skjema for å beregne den inverse matrisen:
1) Beregn determinanten til matrise "A" if ∆ A = 0, da eksisterer ikke den inverse matrisen.
2) Finn alle algebraiske komplementer til matrise "A".
3) Lag en matrise med algebraiske tillegg (Aij)
4) Transponer matrisen av algebraiske komplementer (Aij )T
5) Multipliser den transponerte matrisen med inversen av determinanten til denne matrisen.
6) Utfør sjekk:
Ved første øyekast kan det virke komplisert, men faktisk er alt veldig enkelt. Alle løsninger er basert på enkle aritmetiske operasjoner, det viktigste når du løser er å ikke bli forvirret med "-" og "+"-tegn og ikke miste dem.
La oss nå løse en praktisk oppgave sammen ved å beregne den inverse matrisen.
Oppgave: finn den inverse matrisen "A" vist på bildet nedenfor:
1. Det første du må gjøre er å finne determinanten til matrisen "A":
Forklaring:
Vi har forenklet vår determinant ved å bruke dens grunnleggende funksjoner. Først la vi til 2. og 3. linje elementene i den første linjen, multiplisert med ett tall.
For det andre endret vi 2. og 3. kolonne av determinanten, og i henhold til egenskapene endret vi tegnet foran den.
For det tredje tok vi ut fellesfaktoren (-1) på den andre linjen, og endret dermed tegnet igjen, og det ble positivt. Vi forenklet også linje 3 på samme måte som helt i begynnelsen av eksemplet.
Vi har en trekantet determinant hvis elementer under diagonalen er lik null, og ved egenskap 7 er den lik produktet av de diagonale elementene. Til slutt fikk vi ∆ A = 26, derfor eksisterer den inverse matrisen.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Neste trinn er å kompilere en matrise fra de resulterende tilleggene:
5. Multipliser denne matrisen med inversen av determinanten, det vil si med 1/26:
6. Nå trenger vi bare å sjekke:
Under testen fikk vi en identitetsmatrise, derfor ble løsningen utført helt riktig.
2 måter å beregne den inverse matrisen på.
1. Elementær matrisetransformasjon
2. Invers matrise gjennom en elementær omformer.
Elementær matrisetransformasjon inkluderer:
1. Multiplisere en streng med et tall som ikke er lik null.
2. Legge til en annen linje på en linje multiplisert med et tall.
3. Bytt ut radene i matrisen.
4. Ved å bruke en kjede av elementære transformasjoner får vi en annen matrise.
EN -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2.A -1 * A = E
La oss se på dette ved å bruke et praktisk eksempel med reelle tall.
Trening: Finn den inverse matrisen.
Løsning:
La oss sjekke:
En liten avklaring på løsningen:
Først omorganiserte vi rad 1 og 2 i matrisen, og deretter multipliserte vi den første raden med (-1).
Etter det multipliserte vi den første raden med (-2) og la den til med den andre raden i matrisen. Så multipliserte vi linje 2 med 1/4.
Det siste stadiet av transformasjonen var å multiplisere den andre linjen med 2 og legge den til den første. Som et resultat har vi identitetsmatrisen til venstre, derfor er den inverse matrisen matrisen til høyre.
Etter å ha sjekket, var vi overbevist om at avgjørelsen var riktig.
Som du kan se, er det veldig enkelt å beregne den inverse matrisen.
På slutten av denne forelesningen vil jeg også bruke litt tid på egenskapene til en slik matrise.
Finne den inverse matrisen.
I denne artikkelen vil vi forstå konseptet med en invers matrise, dens egenskaper og metoder for å finne. La oss dvele i detalj ved å løse eksempler der det er nødvendig å konstruere en invers matrise for en gitt.
Sidenavigering.
Invers matrise - definisjon.
Finne den inverse matrisen ved å bruke en matrise fra algebraiske komplementer.
Egenskaper til en invers matrise.
Finne den inverse matrisen ved hjelp av Gauss-Jordan-metoden.
Finne elementene i den inverse matrisen ved å løse de tilsvarende systemene med lineære algebraiske ligninger.
Invers matrise - definisjon.
Konseptet med en invers matrise introduseres bare for kvadratiske matriser hvis determinant er ikke-null, det vil si for ikke-singulære kvadratiske matriser.
Definisjon.
Matrisekalt invers av en matrise, hvis determinant er forskjellig fra null hvis likhetene er sanne 
, Hvor E– enhetsrekkefølgematrise n på n.
Finne den inverse matrisen ved å bruke en matrise fra algebraiske komplementer.
Hvordan finne den inverse matrisen for en gitt en?
Først trenger vi konseptene transponert matrise, matrise-moll og algebraisk komplement av et matriseelement.
Definisjon.
Litenkth rekkefølge matriser EN rekkefølge m på n er determinanten for rekkefølgematrisen k på k, som er hentet fra matriseelementene EN ligger i den valgte k linjer og k kolonner. ( k ikke overstiger det minste antallet m eller n).
Liten (n-1)th rekkefølge, som er sammensatt av elementer i alle rader unntatt i-th, og alle kolonner unntatt jth, kvadratisk matrise EN rekkefølge n på n la oss betegne det som .
Med andre ord er minor hentet fra en kvadratisk matrise EN rekkefølge n på n ved å krysse ut elementer i-th linjer og jth kolonne.
For eksempel, la oss skrive, mindre 2 rekkefølge, som er hentet fra matrisen 
velge elementer i dens andre, tredje rad og første, tredje kolonne 
. Vi vil også vise minor, som er hentet fra matrisen 
ved å krysse ut den andre linjen og den tredje kolonnen 
. La oss illustrere konstruksjonen av disse mindreårige: og .
Definisjon.
Algebraisk komplement element i en kvadratisk matrise kalles minor (n-1)th rekkefølge, som er hentet fra matrisen EN, krysser ut elementer av den i-th linjer og jth kolonne multiplisert med .
Det algebraiske komplementet til et element er betegnet som . Dermed, 
.
For eksempel for matrisen 
det algebraiske komplementet til et element er .
For det andre vil vi trenge to egenskaper til determinanten, som vi diskuterte i avsnittet beregne determinanten til en matrise:
Basert på disse egenskapene til determinanten, definisjonen operasjoner for å multiplisere en matrise med et tall og konseptet med en invers matrise er sant: 
, hvor er en transponert matrise hvis elementer er algebraiske komplementer.
Matrise 
er faktisk den inverse av matrisen EN, siden likestillingene er tilfredsstilt 
. La oss vise det 
La oss komponere algoritme for å finne den inverse matrisen ved å bruke likestilling 
.
La oss se på algoritmen for å finne den inverse matrisen ved å bruke et eksempel.
Eksempel.
Gitt en matrise 
. Finn den inverse matrisen.
Løsning.
La oss beregne determinanten til matrisen EN, dekomponerer den i elementene i den tredje kolonnen: 
Determinanten er ikke null, så matrisen EN reversible.
La oss finne en matrise med algebraiske tillegg: 
Derfor 
La oss transponere matrisen fra algebraiske tillegg: 
Nå finner vi den inverse matrisen som 
:
La oss sjekke resultatet: 
Likheter 
er fornøyd, derfor er den inverse matrisen funnet riktig.
Egenskaper til en invers matrise.
Konseptet med en invers matrise, likhet 
, definisjoner av operasjoner på matriser og egenskaper til determinanten til en matrise gjør det mulig å rettferdiggjøre følgende egenskapene til invers matrise:
Finne elementene i den inverse matrisen ved å løse de tilsvarende systemene med lineære algebraiske ligninger.
La oss vurdere en annen måte å finne den inverse matrisen for en kvadratisk matrise EN rekkefølge n på n.
Denne metoden er basert på løsningen n systemer av lineære inhomogene algebraiske ligninger med n ukjent. De ukjente variablene i disse ligningssystemene er elementene i den inverse matrisen.
Ideen er veldig enkel. La oss betegne den inverse matrisen som X, det er, 
. Siden per definisjon av den inverse matrisen, da 
Å likestille de tilsvarende elementene med kolonner, får vi n systemer av lineære ligninger 
Vi løser dem på hvilken som helst måte og danner en invers matrise fra de funnet verdiene.
La oss se på denne metoden med et eksempel.
Eksempel.
Gitt en matrise 
. Finn den inverse matrisen.
Løsning.
La oss akseptere 
. Likhet gir oss tre systemer med lineære inhomogene algebraiske ligninger: 
Vi vil ikke beskrive løsningen på disse systemene om nødvendig, se avsnittet løse systemer av lineære algebraiske ligninger.
Fra det første likningssystemet har vi, fra det andre - , fra det tredje - . Derfor har den nødvendige inverse matrisen formen 
. Vi anbefaler å sjekke den for å sikre at resultatet er riktig.
Oppsummer.
Vi så på konseptet med en invers matrise, dens egenskaper og tre metoder for å finne den.
Eksempel på løsninger ved bruk av invers matrisemetoden
Øvelse 1. Løs SLAE ved å bruke den inverse matrisemetoden. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4
Begynnelsen av skjemaet
Slutt på skjema
Løsning. La oss skrive matrisen på formen: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Hoveddeterminant Minor for (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor for (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor for (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor for (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Determinant av moll ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Transponert matrise Algebraiske tillegg ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5) 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4) -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3) 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Invers matrise Resultatvektor X X = A -1 ∙ B 
X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1
se også løsninger av SLAEer ved bruk av invers matrisemetoden på nett. For å gjøre dette, skriv inn dataene dine og motta en løsning med detaljerte kommentarer.
Oppgave 2. Skriv ligningssystemet på matriseform og løs det ved å bruke den inverse matrisen. Sjekk den resulterende løsningen. Løsning:xml:xls
Eksempel 2. Skriv ligningssystemet i matriseform og løs ved hjelp av den inverse matrisen. Løsning:xml:xls
Eksempel. Et system med tre lineære ligninger med tre ukjente er gitt. Påkrevd: 1) finn løsningen ved hjelp av Cramer formler; 2) skriv systemet i matriseform og løs det ved hjelp av matriseregning. Retningslinjer. Etter å ha løst med Cramers metode, finn knappen "Løsing ved invers matrisemetode for kildedata". Du vil få riktig løsning. Dermed slipper du å fylle ut dataene på nytt. Løsning. La oss betegne med A matrisen av koeffisienter for ukjente; X - kolonnematrise av ukjente; B - matrise-kolonne med gratis medlemmer:
|
|
Vektor B: B T =(4,-3,-3) Tatt i betraktning disse notasjonene, har dette ligningssystemet følgende matriseform: A*X = B. Hvis matrise A er ikke-singular (dens determinant er ikke-null). , så har den en invers matrise A -1. Multipliserer begge sider av ligningen med A -1, får vi: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. matrisenotasjon av løsningen til et system av lineære ligninger. For å finne en løsning på ligningssystemet er det nødvendig å beregne den inverse matrisen A -1. Systemet vil ha en løsning hvis determinanten til matrisen A ikke er null. La oss finne hoveddeterminanten. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Så, determinant 14 ≠ 0, så vi fortsette løsningen. For å gjøre dette finner vi den inverse matrisen gjennom algebraiske addisjoner. La oss ha en ikke-singular matrise A:
|
|
Vi beregner algebraiske komplementer.
|
|
∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1
|
|
∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3
|
|
∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3
|
|
∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5
|
|
∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1
|
|
∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1
|
|
∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
|
|
∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7
|
|
|
|
|
|
X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Undersøkelse. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 dok:xml:xls Svar: -1,1,2.
Den inverse matrisen for en gitt matrise er en slik matrise som multipliserer den opprinnelige med som gir identitetsmatrisen: En obligatorisk og tilstrekkelig betingelse for tilstedeværelsen av en invers matrise er at determinanten til den opprinnelige matrisen er ikke lik null (som igjen innebærer at matrisen må være kvadratisk). Hvis determinanten til en matrise er lik null, kalles den entall, og en slik matrise har ikke en invers. I høyere matematikk er inverse matriser viktige og brukes til å løse en rekke problemer. For eksempel på finne den inverse matrisen en matrisemetode for å løse ligningssystemer ble konstruert. Vår tjenesteside tillater beregne invers matrise online to metoder: Gauss-Jordan-metoden og bruk av matrisen av algebraiske addisjoner. Den første involverer et stort antall elementære transformasjoner inne i matrisen, den andre involverer beregningen av determinanten og algebraiske tillegg til alle elementene. For å beregne determinanten til en matrise online, kan du bruke vår andre tjeneste - Beregning av determinanten til en matrise online
.Finn den inverse matrisen for nettstedet
nettsted lar deg finne invers matrise online raskt og gratis. På siden gjøres det beregninger ved hjelp av vår tjeneste og resultatet er gitt med en detaljert løsning for å finne invers matrise. Serveren gir alltid bare et nøyaktig og riktig svar. I oppgaver per definisjon invers matrise online, er det nødvendig at determinanten matriser var ikke null, ellers nettsted vil rapportere umuligheten av å finne den inverse matrisen på grunn av det faktum at determinanten til den opprinnelige matrisen er lik null. Oppgaven med å finne invers matrise finnes i mange grener av matematikken, og er et av de mest grunnleggende begrepene i algebra og et matematisk verktøy i anvendte problemer. Uavhengig definisjon av invers matrise krever betydelig innsats, mye tid, beregninger og stor forsiktighet for å unngå skrivefeil eller mindre feil i beregninger. Derfor vår tjeneste finne den inverse matrisen på nettet vil gjøre oppgaven din mye enklere og vil bli et uunnværlig verktøy for å løse matematiske problemer. Selv om du finn den inverse matrisen selv, anbefaler vi å sjekke løsningen din på serveren vår. Skriv inn den opprinnelige matrisen på nettstedet vårt. Beregn den inverse matrisen på nettet og sjekk svaret ditt. Systemet vårt gjør aldri feil og finner invers matrise gitt dimensjon i modus på nettøyeblikkelig! På siden nettsted tegnoppføringer er tillatt i elementer matriser, i dette tilfellet invers matrise online vil bli presentert i generell symbolsk form.
Vanligvis brukes inverse operasjoner for å forenkle komplekse algebraiske uttrykk. For eksempel, hvis problemet involverer operasjonen med å dele med en brøk, kan du erstatte den med operasjonen med å multiplisere med den resiproke av en brøk, som er den inverse operasjonen. Dessuten kan ikke matriser deles, så du må multiplisere med den inverse matrisen. Å beregne inversen til en 3x3-matrise er ganske kjedelig, men du må kunne gjøre det manuelt. Du kan også finne det gjensidige ved å bruke en god grafisk kalkulator.
Trinn
Ved hjelp av den tilstøtende matrisen
Transponer den originale matrisen. Transponering er erstatning av rader med kolonner i forhold til hoveddiagonalen til matrisen, det vil si at du må bytte elementene (i,j) og (j,i). I dette tilfellet endres ikke elementene i hoveddiagonalen (starter i øvre venstre hjørne og slutter i nedre høyre hjørne).
- For å endre rader til kolonner, skriv elementene i den første raden i den første kolonnen, elementene i den andre raden i den andre kolonnen, og elementene i den tredje raden i den tredje kolonnen. Rekkefølgen for å endre plasseringen av elementene er vist i figuren, der de tilsvarende elementene er omringet med fargede sirkler.
Finn definisjonen av hver 2x2 matrise. Hvert element i en matrise, inkludert en transponert, er assosiert med en tilsvarende 2x2 matrise. For å finne en 2x2-matrise som tilsvarer et spesifikt element, kryss ut raden og kolonnen der det gitte elementet er plassert, det vil si at du må krysse ut fem elementer av den originale 3x3-matrisen. Fire elementer vil forbli ukrysset, som er elementer i den tilsvarende 2x2-matrisen.
- For å finne en 2x2 matrise for elementet som er plassert i skjæringspunktet mellom den andre raden og den første kolonnen, krysser du ut de fem elementene som er i den andre raden og den første kolonnen. De resterende fire elementene er elementer i den tilsvarende 2x2-matrisen.
- Finn determinanten for hver 2x2 matrise. For å gjøre dette, trekk produktet av elementene i sekundærdiagonalen fra produktet av elementene i hoveddiagonalen (se figur).
- Detaljert informasjon om 2x2-matriser som tilsvarer spesifikke elementer i en 3x3-matrise finnes på Internett.
Lag en kofaktormatrise. Skriv resultatene oppnådd tidligere i form av en ny kofaktormatrise. For å gjøre dette, skriv den funnet determinanten for hver 2x2-matrise der det tilsvarende elementet i 3x3-matrisen var plassert. For eksempel, hvis du vurderer en 2x2 matrise for element (1,1), skriv dets determinant i posisjon (1,1). Endre deretter tegnene til de tilsvarende elementene i henhold til et bestemt skjema, som er vist på figuren.
- Opplegg for å endre tegn: tegnet til det første elementet i den første linjen endres ikke; tegnet til det andre elementet i den første linjen er reversert; tegnet til det tredje elementet i den første linjen endres ikke, og så videre linje for linje. Vær oppmerksom på at "+" og "-" tegnene som vises i diagrammet (se figur) ikke indikerer at det tilsvarende elementet vil være positivt eller negativt. I dette tilfellet indikerer "+"-tegnet at tegnet til elementet ikke endres, og "-"-tegnet indikerer en endring i elementets tegn.
- Detaljert informasjon om kofaktormatriser finnes på Internett.
- På denne måten vil du finne den tilstøtende matrisen til den opprinnelige matrisen. Det kalles noen ganger en kompleks konjugert matrise. En slik matrise er betegnet som adj(M).
Del hvert element i den tilstøtende matrisen med dens determinant. Determinanten til matrisen M ble beregnet helt i begynnelsen for å kontrollere at den inverse matrisen eksisterer. Del nå hvert element i den tilstøtende matrisen med denne determinanten. Skriv resultatet av hver delingsoperasjon der det tilsvarende elementet er plassert. På denne måten vil du finne matrisen invers til den opprinnelige.
- Determinanten for matrisen som er vist på figuren er 1. Her er altså den adjoint matrisen den inverse matrisen (fordi når et hvilket som helst tall deles på 1, endres det ikke).
- I noen kilder er divisjonsoperasjonen erstattet av operasjonen med multiplikasjon med 1/det(M). Det endelige resultatet endres imidlertid ikke.
Skriv den inverse matrisen. Skriv elementene som ligger på høyre halvdel av den store matrisen som en egen matrise, som er den inverse matrisen.
Skriv inn den opprinnelige matrisen i kalkulatorens minne. For å gjøre dette, klikk på Matrix-knappen, hvis tilgjengelig. For en Texas Instruments-kalkulator må du kanskje trykke på 2nd og Matrix-knappene.
Velg Rediger-menyen. Gjør dette ved å bruke pilknappene eller den aktuelle funksjonsknappen som er plassert øverst på kalkulatorens tastatur (plasseringen av knappen varierer avhengig av kalkulatormodellen).
Skriv inn matrisenotasjonen. De fleste grafiske kalkulatorer kan arbeide med 3-10 matriser, som kan angis med bokstavene A-J. Vanligvis velger du bare [A] for å angi den opprinnelige matrisen. Trykk deretter på Enter-knappen.
Skriv inn matrisestørrelsen. Denne artikkelen snakker om 3x3-matriser. Men grafiske kalkulatorer kan fungere med store matriser. Skriv inn antall rader, trykk Enter, skriv deretter inn antall kolonner og trykk Enter igjen.
Skriv inn hvert matriseelement. En matrise vil vises på kalkulatorens skjerm. Hvis du tidligere har lagt inn en matrise i kalkulatoren, vil den vises på skjermen. Markøren vil markere det første elementet i matrisen. Skriv inn verdien for det første elementet og trykk Enter. Markøren vil automatisk flytte til neste matriseelement.
Matrisen $A^(-1)$ kalles den inverse av kvadratmatrisen $A$ hvis betingelsen $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ er oppfylt, hvor $E $ er identitetsmatrisen, hvis rekkefølge er lik rekkefølgen til matrisen $A$.
En ikke-singular matrise er en matrise hvis determinant ikke er lik null. Følgelig er en entallsmatrise en hvis determinant er lik null.
Den inverse matrisen $A^(-1)$ eksisterer hvis og bare hvis matrisen $A$ er ikke-singular. Hvis den inverse matrisen $A^(-1)$ eksisterer, er den unik.
Det er flere måter å finne inversen til en matrise på, og vi skal se på to av dem. Denne siden vil diskutere adjoint matrise-metoden, som regnes som standard i de fleste høyere matematikkkurs. Den andre metoden for å finne den inverse matrisen (metoden for elementære transformasjoner), som innebærer bruk av Gauss-metoden eller Gauss-Jordan-metoden, diskuteres i den andre delen.
Adjoint matrise metode
La matrisen $A_(n\ ganger n)$ gis. For å finne den inverse matrisen $A^(-1)$, kreves det tre trinn:
- Finn determinanten til matrisen $A$ og sørg for at $\Delta A\neq 0$, dvs. at matrise A er ikke-singular.
- Komponer algebraiske komplementer $A_(ij)$ av hvert element i matrisen $A$ og skriv matrisen $A_(n\ ganger n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ fra den funnet algebraiske utfyller.
- Skriv den inverse matrisen ved å ta hensyn til formelen $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Matrisen $(A^(*))^T$ kalles ofte adjoint (resiprok, alliert) til matrisen $A$.
Hvis løsningen gjøres manuelt, er den første metoden god bare for matriser med relativt små ordrer: andre (), tredje (), fjerde (). For å finne inversen til en høyere ordens matrise, brukes andre metoder. For eksempel den gaussiske metoden, som diskuteres i andre del.
Eksempel nr. 1
Finn inversen til matrisen $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Siden alle elementene i den fjerde kolonnen er lik null, er $\Delta A=0$ (dvs. matrisen $A$ er entall). Siden $\Delta A=0$, er det ingen invers matrise til matrise $A$.
Eksempel nr. 2
Finn inversen til matrisen $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Vi bruker adjoint matrise-metoden. La oss først finne determinanten til den gitte matrisen $A$:
$$ \Delta A=\venstre| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Siden $\Delta A \neq 0$ eksisterer den inverse matrisen, derfor vil vi fortsette løsningen. Finne algebraiske komplementer
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(justert)
Vi komponerer en matrise med algebraiske tillegg: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Vi transponerer den resulterende matrisen: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (den resulterende matrise kalles ofte den adjoint eller allierte matrisen til matrisen $A$). Ved å bruke formelen $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, har vi:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Så den inverse matrisen er funnet: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\right) $. For å sjekke sannheten til resultatet er det nok å sjekke sannheten til en av likhetene: $A^(-1)\cdot A=E$ eller $A\cdot A^(-1)=E$. La oss sjekke likheten $A^(-1)\cdot A=E$. For å jobbe mindre med brøker, vil vi erstatte matrisen $A^(-1)$ ikke i formen $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, og i formen $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:
Svar: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Eksempel nr. 3
Finn den inverse matrisen for matrisen $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .
La oss starte med å beregne determinanten til matrisen $A$. Så determinanten for matrisen $A$ er:
$$ \Delta A=\venstre| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Siden $\Delta A\neq 0$ eksisterer den inverse matrisen, derfor vil vi fortsette løsningen. Vi finner de algebraiske komplementene til hvert element i en gitt matrise:
Vi komponerer en matrise med algebraiske tillegg og transponerer den:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
Ved å bruke formelen $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, får vi:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Så $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. For å sjekke sannheten til resultatet er det nok å sjekke sannheten til en av likhetene: $A^(-1)\cdot A=E$ eller $A\cdot A^(-1)=E$. La oss sjekke likheten $A\cdot A^(-1)=E$. For å jobbe mindre med brøker, vil vi erstatte matrisen $A^(-1)$ ikke i formen $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, og i formen $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
Kontrollen var vellykket, den inverse matrisen $A^(-1)$ ble funnet riktig.
Svar: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.
Eksempel nr. 4
Finn matriseinversen til matrisen $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.
For en fjerdeordens matrise er det noe vanskelig å finne den inverse matrisen ved å bruke algebraiske addisjoner. Imidlertid forekommer slike eksempler i testoppgaver.
For å finne inversen til en matrise, må du først beregne determinanten til matrisen $A$. Den beste måten å gjøre dette på i denne situasjonen er ved å dekomponere determinanten langs en rad (kolonne). Vi velger en hvilken som helst rad eller kolonne og finner de algebraiske komplementene til hvert element i den valgte raden eller kolonnen.