Fra et praktisk synspunkt er det størst interesse i å bruke derivatet for å finne de største og laveste verdi funksjoner. Hva henger dette sammen med? Maksimere fortjeneste, minimere kostnader, bestemme optimal belastning av utstyr ... Med andre ord, på mange områder av livet må vi løse problemer med å optimalisere noen parametere. Og dette er oppgavene med å finne de største og minste verdiene til en funksjon.
Det skal bemerkes at de største og minste verdiene til en funksjon vanligvis søkes på et visst intervall X, som enten er hele domenet til funksjonen eller en del av definisjonsdomenet. Selve intervallet X kan være et segment, et åpent intervall 
, et uendelig intervall.
I denne artikkelen vil vi snakke om å finne de største og minste verdiene eksplisitt gitt funksjonén variabel y=f(x) .
Sidenavigering.
Den største og minste verdien av en funksjon - definisjoner, illustrasjoner.
La oss kort se på hoveddefinisjonene.
Den største verdien av funksjonen 
det for hvem som helst 
ulikhet er sant.
Den minste verdien av funksjonen y=f(x) på intervallet X kalles en slik verdi 
det for hvem som helst ulikhet er sant.
Disse definisjonene er intuitive: den største (minste) verdien av en funksjon er den største (minste) aksepterte verdien på intervallet som vurderes ved abscissen.
Stasjonære punkter– dette er verdiene til argumentet der den deriverte av funksjonen blir null.
Hvorfor trenger vi stasjonære punkter når vi skal finne de største og minste verdiene? Svaret på dette spørsmålet er gitt av Fermats teorem. Fra denne teoremet følger det at hvis en differensierbar funksjon har et ekstremum (lokalt minimum eller lokalt maksimum) på et tidspunkt, så er dette punktet stasjonært. Dermed tar funksjonen ofte sin største (minste) verdi på intervallet X i et av de stasjonære punktene fra dette intervallet.
Dessuten kan en funksjon ofte ta på seg sine største og minste verdier på punkter der den første deriverte av denne funksjonen ikke eksisterer, og selve funksjonen er definert.
La oss umiddelbart svare på et av de vanligste spørsmålene om dette emnet: "Er det alltid mulig å bestemme den største (minste) verdien av en funksjon"? Nei ikke alltid. Noen ganger faller grensene til intervallet X sammen med grensene for definisjonsdomenet til funksjonen, eller intervallet X er uendelig. Og noen funksjoner i det uendelige og ved grensene for definisjonsdomenet kan få både uendelig store og uendelig små verdier. I disse tilfellene kan det ikke sies noe om funksjonens største og minste verdi.
For klarhet vil vi gi en grafisk illustrasjon. Se på bildene så blir mye klarere.
På segmentet
I den første figuren tar funksjonen de største (maks y) og minste (min y) verdiene inn stasjonære punkter, plassert inne i segmentet [-6;6] .
Tenk på saken som er avbildet i den andre figuren. La oss endre segmentet til . I dette eksemplet oppnås den minste verdien av funksjonen ved et stasjonært punkt, og den største ved punktet med abscissen tilsvarer den høyre grensen til intervallet.
I figur 3 er grensepunktene til segmentet [-3;2] abscissen til punktene som tilsvarer de største og minste verdiene til funksjonen.
På åpent intervall
I den fjerde figuren tar funksjonen de største (maks y) og minste (min y) verdiene ved stasjonære punkter plassert inne i åpent intervall (-6;6) .
På intervallet kan det ikke trekkes konklusjoner om den største verdien.
I det uendelige
I eksemplet vist i den syvende figuren tar funksjonen høyeste verdi(maks y) i et stasjonært punkt med abscisse x=1, og den minste verdien (min y) oppnås på høyre grense av intervallet. Ved minus uendelig nærmer funksjonsverdiene seg asymptotisk y=3.
I løpet av intervallet når funksjonen verken den minste eller største verdien. Når x=2 nærmer seg fra høyre, har funksjonsverdiene en tendens til minus uendelig (den rette linjen x=2 er vertikal asymptote), og ettersom abscissen har en tendens til pluss uendelig, nærmer funksjonsverdiene seg asymptotisk y=3. En grafisk illustrasjon av dette eksemplet er vist i figur 8.
Algoritme for å finne de største og minste verdiene av en kontinuerlig funksjon på et segment.
La oss skrive en algoritme som lar oss finne de største og minste verdiene av en funksjon på et segment.
- Vi finner definisjonsdomenet til funksjonen og sjekker om den inneholder hele segmentet.
- Vi finner alle punktene der den første deriverte ikke eksisterer og som er inneholdt i segmentet (vanligvis finnes slike punkter i funksjoner med et argument under modultegnet og i strømfunksjoner med en brøk-rasjonell eksponent). Hvis det ikke er slike punkter, gå videre til neste punkt.
- Vi bestemmer alle stasjonære punkter som faller innenfor segmentet. For å gjøre dette, likestiller vi det til null, løser den resulterende ligningen og velger passende røtter. Hvis det ikke er noen stasjonære punkter eller ingen av dem faller inn i segmentet, gå videre til neste punkt.
- Vi beregner verdiene til funksjonen ved utvalgte stasjonære punkter (hvis noen), på punkter der den første deriverte ikke eksisterer (hvis noen), så vel som ved x=a og x=b.
- Fra de oppnådde verdiene for funksjonen velger vi den største og minste - de vil være henholdsvis de nødvendige største og minste verdiene for funksjonen.
La oss analysere algoritmen for å løse et eksempel for å finne de største og minste verdiene til en funksjon på et segment.
Eksempel.
Finn den største og minste verdien av en funksjon
- på segmentet ;
- på segmentet [-4;-1] .
Løsning.
Domenet til en funksjon er hele settet reelle tall, bortsett fra null, altså . Begge segmentene faller innenfor definisjonsdomenet.
Finn den deriverte av funksjonen med hensyn til: 
Det er klart at den deriverte av funksjonen eksisterer på alle punkter i segmentene og [-4;-1].
Vi bestemmer stasjonære punkter fra ligningen. Den eneste ekte rot er x=2. Dette stasjonære punktet faller inn i det første segmentet.
For det første tilfellet beregner vi verdiene til funksjonen i enden av segmentet og på det stasjonære punktet, det vil si for x=1, x=2 og x=4: 
Derfor den største verdien av funksjonen 
oppnås ved x=1, og den minste verdien 
– ved x=2.
For det andre tilfellet beregner vi funksjonsverdiene bare ved endene av segmentet [-4;-1] (siden det ikke inneholder et enkelt stasjonært punkt): 
Prosessen med å søke etter de minste og største verdiene til en funksjon på et segment minner om en fascinerende flytur rundt et objekt (graf av en funksjon) i et helikopter, skyter på bestemte punkter fra en langdistansekanon og velger veldig spesielle punkter fra disse punktene for kontrollskudd. Poeng velges på en bestemt måte og iht visse regler. Etter hvilke regler? Vi vil snakke om dette videre.
Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b] , så når den på dette segmentet minst Og høyeste verdier . Dette kan skje enten i ekstreme punkter, eller på slutten av segmentet. Derfor å finne minst Og de største verdiene av funksjonen , kontinuerlig på intervallet [ en, b] , må du beregne verdiene i alt kritiske punkter og i enden av segmentet, og velg deretter den minste og største fra dem.
La, for eksempel, du vil bestemme den største verdien av funksjonen f(x) på segmentet [ en, b] . For å gjøre dette, må du finne alle dens kritiske punkter som ligger på [ en, b] .
Kritisk punkt kalt punktet der funksjon definert, og henne derivat enten lik null eller eksisterer ikke. Deretter bør du beregne verdiene til funksjonen på de kritiske punktene. Og til slutt bør man sammenligne verdiene til funksjonen på kritiske punkter og i enden av segmentet ( f(en) Og f(b)). Det største av disse tallene vil være den største verdien av funksjonen på segmentet [en, b] .
Problemer med å finne minste funksjonsverdier .
Vi ser etter de minste og største verdiene av funksjonen sammen
Eksempel 1. Finn de minste og største verdiene til en funksjon 
på segmentet [-1, 2]
.
Løsning. Finn den deriverte av denne funksjonen. La oss likestille den deriverte til null () og få to kritiske punkter: og . For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, er det nok å beregne verdiene ved enden av segmentet og ved punktet, siden punktet ikke tilhører segmentet [-1, 2]. Disse funksjonsverdiene er: , , . Det følger at minste funksjonsverdi(angitt i rødt på grafen nedenfor), lik -7, oppnås ved høyre ende av segmentet - ved punkt , og størst(også rød på grafen), tilsvarer 9,- på det kritiske punktet.
Hvis en funksjon er kontinuerlig i et visst intervall og dette intervallet ikke er et segment (men er for eksempel et intervall; forskjellen mellom et intervall og et segment: grensepunktene til intervallet er ikke inkludert i intervallet, men grensepunkter for segmentet er inkludert i segmentet), så blant verdiene til funksjonen kan det hende at det ikke er den minste og den største. Så, for eksempel, funksjonen vist i figuren nedenfor er kontinuerlig på ]-∞, +∞[ og har ikke den største verdien.
Imidlertid, for ethvert intervall (lukket, åpent eller uendelig), er følgende egenskap for kontinuerlige funksjoner sann.
Eksempel 4. Finn de minste og største verdiene til en funksjon på segmentet [-1, 3] .
Løsning. Vi finner den deriverte av denne funksjonen som den deriverte av kvotienten:
.
Vi likestiller den deriverte til null, som gir oss en kritisk punkt: . Den tilhører segmentet [-1, 3] . For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, finner vi verdiene i enden av segmentet og på det kritiske punktet:
La oss sammenligne disse verdiene. Konklusjon: lik -5/13, ved punkt og høyeste verdi lik 1 på punktet.
Vi fortsetter å lete etter de minste og største verdiene av funksjonen sammen
Det er lærere som, når det gjelder å finne de minste og største verdiene av en funksjon, ikke gir elevene eksempler å løse som er mer komplekse enn de som nettopp er diskutert, det vil si de der funksjonen er et polynom eller en brøk, hvis teller og nevner er polynomer. Men vi vil ikke begrense oss til slike eksempler, siden det blant lærere er de som liker å tvinge elevene til å tenke fullt ut (tabellen over derivater). Derfor vil logaritmen og trigonometrisk funksjon bli brukt.
Eksempel 6. Finn de minste og største verdiene til en funksjon på segmentet .
Løsning. Vi finner den deriverte av denne funksjonen som derivat av produktet :
Vi likestiller den deriverte til null, som gir ett kritisk punkt: . Den tilhører segmentet. For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, finner vi verdiene i enden av segmentet og på det kritiske punktet:
Resultat av alle handlinger: funksjonen når minimumsverdien, lik 0, ved punktet og ved punktet og høyeste verdi, lik e², på punktet.
Eksempel 7. Finn de minste og største verdiene til en funksjon 
på segmentet .
Løsning. Finn den deriverte av denne funksjonen:
Vi likestiller den deriverte til null:
Det eneste kritiske punktet tilhører segmentet. For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, finner vi verdiene på slutten av segmentet og på det kritiske punktet:
Konklusjon: funksjonen når minimumsverdien, lik , på punktet og høyeste verdi, lik , på punktet .
I anvendte ekstreme problemer kommer det å finne de minste (maksimum) verdiene av en funksjon som regel ned til å finne minimum (maksimum). Men det er ikke selve minimums- eller maksimumsverdiene som er av større praktisk interesse, men verdiene til argumentet som de oppnås ved. Når man løser anvendte problemer, oppstår det ekstra vanskeligheter- sammenstilling av funksjoner som beskriver fenomenet eller prosessen som vurderes.
Eksempel 8. Et reservoar med en kapasitet på 4, i form av et parallellepiped med kvadratisk base og åpne på toppen, må du tinne den. Hva skal være dimensjonene på tanken slik at den tar minste mengde materiale?
Løsning. La x- base side, h- tank høyde, S- overflaten uten dekke, V- volumet. Overflatearealet til tanken uttrykkes med formelen, dvs. er en funksjon av to variabler. Å uttrykke S som en funksjon av én variabel bruker vi det faktum at , fra hvor . Erstatter det funnet uttrykket h inn i formelen for S:
La oss undersøke denne funksjonen til det ytterste. Den er definert og differensierbar overalt i ]0, +∞[ , og
.
Vi likestiller den deriverte til null () og finner det kritiske punktet. I tillegg, når den deriverte ikke eksisterer, men denne verdien er ikke inkludert i definisjonsdomenet og kan derfor ikke være et ekstremumpunkt. Så dette er det eneste kritiske punktet. La oss sjekke det for tilstedeværelsen av et ekstremum ved å bruke det andre tilstrekkelige tegnet. La oss finne den andre deriverte. Når den andre deriverte er større enn null (). Dette betyr at når funksjonen når et minimum 
. Siden dette minimum er det eneste ytterpunktet for denne funksjonen, det er dens minste verdi. Så siden av bunnen av tanken skal være 2 m, og høyden skal være .
Eksempel 9. Fra punkt EN ligger på jernbanelinjen, til punktet MED, plassert i avstand fra den l, last må transporteres. Kostnaden for å transportere en vektenhet per avstandsenhet med jernbane er lik , og med motorvei er den lik . Til hvilket punkt M linjer jernbane det bør bygges en motorvei for å frakte last fra EN V MED var den mest økonomiske (seksjon AB jernbane antas å være rett)?
Den største (minste) verdien av en funksjon er den største (minste) aksepterte verdien av ordinaten på det betraktede intervallet.
For å finne den største eller minste verdien av en funksjon må du:
- Sjekk hvilke stasjonære punkter som inngår i et gitt segment.
- Beregn verdien av funksjonen ved enden av segmentet og ved stasjonære punkter fra trinn 3
- Velg den største eller minste verdien fra de oppnådde resultatene.
For å finne maksimum eller minimum poeng må du:
- Finn den deriverte av funksjonen $f"(x)$
- Finn stasjonære poeng ved å løse ligningen $f"(x)=0$
- Faktorer den deriverte av en funksjon.
- Tegn en koordinatlinje, plasser stasjonære punkter på den og bestem tegnene til den deriverte i de resulterende intervallene ved å bruke notasjonen i trinn 3.
- Finn maksimums- eller minimumspoengene i henhold til regelen: hvis den deriverte på et punkt endrer fortegn fra pluss til minus, vil dette være maksimumspunktet (hvis fra minus til pluss, vil dette være minimumspunktet). I praksis er det praktisk å bruke bildet av piler på intervaller: på intervallet der den deriverte er positiv, trekkes pilen oppover og omvendt.
Tabell over derivater av noen elementære funksjoner:
| Funksjon | Derivat |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Grunnleggende regler for differensiering
1. Den deriverte av summen og differansen er lik den deriverte av hvert ledd
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Finn den deriverte av funksjonen $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Den deriverte av summen og differansen er lik den deriverte av hvert ledd
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Derivat av produktet.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Finn den deriverte $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Derivat av kvotienten
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
Finn den deriverte $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Derivat kompleks funksjon lik produktet av derivatet ekstern funksjon til den deriverte av den indre funksjonen
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Finn minimumspunktet for funksjonen $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Finn ODZ for funksjonen: $x+11>0; x>-11$
2. Finn den deriverte av funksjonen $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Finn stasjonære poeng ved å likestille den deriverte med null
$(2x+21)/(x+11)=0$
En brøk er lik null hvis telleren lik null, og nevneren er ikke null
$2x+21=0; x≠-11$
4. La oss tegne en koordinatlinje, plassere stasjonære punkter på den og bestemme tegnene til den deriverte i de resulterende intervallene. For å gjøre dette, erstatte et hvilket som helst tall fra regionen lengst til høyre inn i den deriverte, for eksempel null.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. Ved minimumspunktet endrer den deriverte fortegn fra minus til pluss, derfor er punktet $-10,5$ minimumspunktet.
Svar: $-10,5$
Finn den største verdien av funksjonen $y=6x^5-90x^3-5$ på segmentet $[-5;1]$
1. Finn den deriverte av funksjonen $y′=30x^4-270x^2$
2. Lik den deriverte til null og finn stasjonære punkter
$30x^4-270x^2=0$
Vi tar den ut felles multiplikator$30x^2$ i parentes
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
La oss likestille hver faktor til null
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Velg stasjonære punkter som hører til gitt segment $[-5;1]$
De stasjonære punktene $x=0$ og $x=-3$ passer oss
4. Beregn verdien av funksjonen i enden av segmentet og ved stasjonære punkter fra trinn 3