I denne artikkelen skal vi se nærmere på konseptet med kryssproduktet av to vektorer. Vi vil gi de nødvendige definisjonene, skrive en formel for å finne koordinatene til et vektorprodukt, liste opp og begrunne dets egenskaper. Etter dette vil vi dvele ved den geometriske betydningen av vektorproduktet til to vektorer og vurdere løsninger på forskjellige typiske eksempler.

Sidenavigering.

Definisjon av kryssprodukt.

Før vi definerer et vektorprodukt, la oss forstå orienteringen til en ordnet trippel av vektorer i tredimensjonalt rom.

La oss plotte vektorene fra ett punkt. Avhengig av retningen til vektoren, kan de tre være høyre eller venstre. La oss se fra slutten av vektoren på hvordan den korteste svingen fra vektoren til . Hvis den korteste rotasjonen skjer mot klokken, kalles trippelen av vektorer Ikke sant, ellers - venstre.

La oss nå ta to ikke-kollineære vektorer og . La oss plotte vektorene og fra punkt A. La oss konstruere en vektor vinkelrett på både og og . Når vi konstruerer en vektor, kan vi selvsagt gjøre to ting, og gi den enten én retning eller motsatt (se illustrasjon).

Avhengig av retningen til vektoren, kan den ordnede tripletten av vektorer være høyrehendt eller venstrehendt.

Dette bringer oss nær definisjonen av et vektorprodukt. Det er gitt for to vektorer definert i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom.

Definisjon.

Kryssproduktet av to vektorer og , spesifisert i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom, kalles en vektor slik at

Kryssproduktet av vektorer og er betegnet som .

Koordinater til vektorproduktet.

Nå vil vi gi den andre definisjonen av et vektorprodukt, som lar deg finne koordinatene fra koordinatene til gitte vektorer og.

Definisjon.

I et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom vektorprodukt av to vektorer Og er en vektor , hvor er koordinatvektorene.

Denne definisjonen gir oss kryssproduktet i koordinatform.

Det er praktisk å representere vektorproduktet som determinanten for en tredjeordens kvadratmatrise, hvor den første raden er vektorene, den andre raden inneholder koordinatene til vektoren, og den tredje inneholder koordinatene til vektoren i en gitt rektangulært koordinatsystem:

Hvis vi utvider denne determinanten til elementene i den første raden, får vi likheten fra definisjonen av vektorproduktet i koordinater (om nødvendig, se artikkelen):

Det skal bemerkes at koordinatformen til vektorproduktet er helt i samsvar med definisjonen gitt i første ledd i denne artikkelen. Dessuten er disse to definisjonene av et kryssprodukt ekvivalente. Du kan se beviset på dette faktum i boken som er oppført på slutten av artikkelen.

Egenskaper til et vektorprodukt.

Siden vektorproduktet i koordinater kan representeres som en determinant av matrisen, kan følgende enkelt begrunnes ut fra egenskapene til kryssproduktet:

Som et eksempel, la oss bevise den antikommutative egenskapen til et vektorprodukt.

A-priory Og . Vi vet at verdien av determinanten til en matrise reverseres hvis to rader byttes, derfor, , som beviser den antikommutative egenskapen til et vektorprodukt.

Vektorprodukt - eksempler og løsninger.

Det er hovedsakelig tre typer problemer.

I oppgaver av den første typen er lengdene til to vektorer og vinkelen mellom dem gitt, og du må finne lengden på vektorproduktet. I dette tilfellet brukes formelen .

Eksempel.

Finn lengden på vektorproduktet til vektorene og , hvis kjent .

Løsning.

Vi vet fra definisjonen at lengden av vektorproduktet til vektorer og er lik produktet av lengdene til vektorer og ved sinusen til vinkelen mellom dem, derfor, .

Svar:

.

Problemer av den andre typen er relatert til koordinatene til vektorer, der vektorproduktet, dets lengde eller noe annet søkes gjennom koordinatene til gitte vektorer Og .

Det er mange forskjellige alternativer mulig her. For eksempel kan ikke koordinatene til vektorene og spesifiseres, men deres utvidelser til koordinatvektorer av formen og , eller vektorer og kan spesifiseres av koordinatene til start- og sluttpunktene deres.

La oss se på typiske eksempler.

Eksempel.

To vektorer er gitt i et rektangulært koordinatsystem . Finn deres kryssprodukt.

Løsning.

I følge den andre definisjonen skrives vektorproduktet av to vektorer i koordinater som:

Vi ville ha kommet til samme resultat hvis vektorproduktet hadde blitt skrevet ut ifra determinanten

Svar:

.

Eksempel.

Finn lengden på vektorproduktet til vektorene og , hvor er enhetsvektorene til det rektangulære kartesiske koordinatsystemet.

Løsning.

Først finner vi koordinatene til vektorproduktet i et gitt rektangulært koordinatsystem.

Siden vektorer og har henholdsvis koordinater og (om nødvendig, se artikkelkoordinatene til en vektor i et rektangulært koordinatsystem), så har vi ved den andre definisjonen av et vektorprodukt

Det vil si vektorproduktet har koordinater i et gitt koordinatsystem.

Vi finner lengden på et vektorprodukt som kvadratroten av summen av kvadratene av dets koordinater (vi fikk denne formelen for lengden på en vektor i avsnittet om å finne lengden på en vektor):

Svar:

.

Eksempel.

I et rektangulært kartesisk koordinatsystem er koordinatene til tre punkter gitt. Finn en vektor som er vinkelrett og samtidig.

Løsning.

Vektorer og har henholdsvis koordinater og (se artikkelen finne koordinatene til en vektor gjennom koordinatene til punktene). Hvis vi finner vektorproduktet til vektorene og , så er det per definisjon en vektor vinkelrett på både til og til , det vil si at det er en løsning på problemet vårt. La oss finne ham

Svar:

- en av de vinkelrette vektorene.

I problemer av den tredje typen testes ferdigheten til å bruke egenskapene til vektorproduktet til vektorer. Etter å ha brukt egenskapene, brukes de tilsvarende formlene.

Eksempel.

Vektorene og er vinkelrette og deres lengder er henholdsvis 3 og 4. Finn lengden på kryssproduktet .

Løsning.

Ved den distributive egenskapen til et vektorprodukt kan vi skrive

På grunn av kombinasjonsegenskapen tar vi de numeriske koeffisientene ut av tegnet til vektorproduktene i det siste uttrykket:

Vektoren produkter og er lik null, siden Og , Deretter .

Siden vektorproduktet er antikommutativt, så .

Så ved å bruke egenskapene til vektorproduktet kom vi frem til likheten .

Etter betingelse er vektorene og vinkelrett, det vil si at vinkelen mellom dem er lik . Det vil si at vi har alle data for å finne ønsket lengde

Svar:

.

Geometrisk betydning av et vektorprodukt.

Per definisjon er lengden på vektorproduktet til vektorer . Og fra et videregående geometrikurs vet vi at arealet til en trekant er lik halvparten av produktet av lengdene til de to sidene av trekanten og sinusen til vinkelen mellom dem. Følgelig er lengden på vektorproduktet lik to ganger arealet av en trekant hvis sider er vektorene og , hvis de er plottet fra ett punkt. Med andre ord, lengden på vektorproduktet av vektorer og er lik arealet til et parallellogram med sider og og vinkelen mellom dem lik . Dette er den geometriske betydningen av vektorproduktet.

Endelig fikk jeg tak i dette enorme og etterlengtede emnet. analytisk geometri. Først litt om denne delen av høyere matematikk... Nå husker du sikkert et skolegeometrikurs med mange teoremer, deres bevis, tegninger osv. Hva du skal skjule, et uelsket og ofte uklart emne for en betydelig andel av elevene. Analytisk geometri kan merkelig nok virke mer interessant og tilgjengelig. Hva betyr adjektivet "analytisk"? To klisjéaktige matematiske fraser dukker umiddelbart opp: "grafisk løsningsmetode" og "analytisk løsningsmetode." Grafisk metode, selvfølgelig, er forbundet med konstruksjon av grafer og tegninger. Analytisk eller metode innebærer å løse problemer hovedsakelig gjennom algebraiske operasjoner. I denne forbindelse er algoritmen for å løse nesten alle problemer med analytisk geometri enkel og gjennomsiktig, ofte er det nok å bruke de nødvendige formlene nøye - og svaret er klart! Nei, selvfølgelig vil vi ikke være i stand til å gjøre dette uten tegninger i det hele tatt, og i tillegg, for en bedre forståelse av materialet, vil jeg prøve å sitere dem utover nødvendighet.

Det nyåpnede kurset om geometri later som det ikke er teoretisk komplett, det er fokusert på å løse praktiske problemer. Jeg vil i mine forelesninger ta med kun det som fra mitt ståsted er viktig i praksis. Hvis du trenger mer fullstendig hjelp til en underseksjon, anbefaler jeg følgende ganske tilgjengelig litteratur:

1) En ting som, uten spøk, flere generasjoner er kjent med: Skolebok i geometri, forfattere - L.S. Atanasyan og Company. Denne skolegarderobshengeren har allerede gått gjennom 20 (!) opptrykk, som selvfølgelig ikke er grensen.

2) Geometri i 2 bind. Forfattere L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Dette er litteratur for videregående, du trenger første bind. Sjeldne oppgaver kan falle ut av synet mitt, og opplæringen vil være til uvurderlig hjelp.

Begge bøkene kan lastes ned gratis på nett. I tillegg kan du bruke mitt arkiv med ferdige løsninger, som finnes på siden Last ned eksempler i høyere matematikk.

Blant verktøyene foreslår jeg igjen min egen utvikling - Software pakke i analytisk geometri, noe som i stor grad vil forenkle livet og spare mye tid.

Det forutsettes at leseren er kjent med grunnleggende geometriske begreper og figurer: punkt, linje, plan, trekant, parallellogram, parallellepiped, terning, etc. Det er tilrådelig å huske noen teoremer, i det minste Pythagoras teorem, hei til repeatere)

Og nå vil vi vurdere sekvensielt: konseptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater. Jeg anbefaler å lese videre den viktigste artikkelen Punktprodukt av vektorer, og også Vektor og blandet produkt av vektorer. En lokal oppgave - Inndeling av et segment i så henseende - vil heller ikke være overflødig. Basert på informasjonen ovenfor, kan du mestre ligning av en linje i et plan Med enkleste eksempler på løsninger, som vil tillate lære å løse geometriproblemer. Følgende artikler er også nyttige: Ligning av et plan i rommet, Ligninger av en linje i rommet, Grunnleggende problemer på en rett linje og et plan, andre deler av analytisk geometri. Naturligvis vil standardoppgaver bli vurdert underveis.

Vektor konsept. Gratis vektor

La oss først gjenta skoledefinisjonen av en vektor. Vektor kalt regissert et segment der begynnelsen og slutten er indikert:

I dette tilfellet er begynnelsen av segmentet punktet, slutten av segmentet er punktet. Selve vektoren er betegnet med . Retning er viktig, hvis du flytter pilen til den andre enden av segmentet, får du en vektor, og dette er det allerede helt annen vektor. Det er praktisk å identifisere konseptet med en vektor med bevegelsen til en fysisk kropp: du må være enig, å gå inn dørene til et institutt eller forlate dørene til et institutt er helt andre ting.

Det er praktisk å vurdere individuelle punkter på et fly eller rom som den såkalte null vektor. For en slik vektor faller slutten og begynnelsen sammen.

!!! Merk: Her og videre kan du anta at vektorene ligger i samme plan eller du kan anta at de befinner seg i rommet - essensen av materialet som presenteres er gyldig for både planet og rommet.

Betegnelser: Mange la umiddelbart merke til pinnen uten en pil i betegnelsen og sa, det er også en pil øverst! Riktignok kan du skrive det med en pil: , men det er også mulig oppføringen som jeg vil bruke i fremtiden. Hvorfor? Tilsynelatende utviklet denne vanen seg av praktiske årsaker, skytterne mine på skolen og universitetet viste seg å være for ulik størrelse og raggete. I pedagogisk litteratur, noen ganger bryr de seg ikke med kileskrift i det hele tatt, men fremhever bokstavene i fet skrift: , og antyder dermed at dette er en vektor.

Det var stilistikk, og nå om måter å skrive vektorer på:

1) Vektorer kan skrives med to store latinske bokstaver:
og så videre. I dette tilfellet den første bokstaven Nødvendigvis angir startpunktet til vektoren, og den andre bokstaven angir endepunktet til vektoren.

2) Vektorer er også skrevet med små latinske bokstaver:
Spesielt kan vektoren vår redesignes for korthets skyld med en liten latinsk bokstav.

Lengde eller modul en vektor som ikke er null kalles lengden på segmentet. Lengden på nullvektoren er null. Logisk.

Lengden på vektoren er indikert med modultegnet: ,

Vi vil lære å finne lengden på en vektor (eller vi vil gjenta den, avhengig av hvem) litt senere.

Dette var grunnleggende informasjon om vektorer, kjent for alle skoleelever. I analytisk geometri, den såkalte gratis vektor.

For å si det enkelt - vektoren kan plottes fra et hvilket som helst punkt:

Vi er vant til å kalle slike vektorer like (definisjonen av like vektorer vil bli gitt nedenfor), men fra et rent matematisk synspunkt er de SAMME VEKTOR eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi i løpet av å løse problemer, kan du "feste" denne eller den vektoren til et hvilket som helst punkt på planet eller rommet du trenger. Dette er en veldig kul funksjon! Se for deg en vektor med vilkårlig lengde og retning - den kan "klones" et uendelig antall ganger og når som helst i rommet, faktisk eksisterer den OVERALT. Det er et slikt studentord som sier: Hver foreleser bryr seg om vektoren. Tross alt er det ikke bare et vittig rim, alt er matematisk riktig - vektoren kan også festes der. Men ikke skynd deg å glede deg, det er studentene selv som ofte lider =)

Så, gratis vektor- Dette en haug med identiske regisserte segmenter. Skoledefinisjonen av en vektor, gitt i begynnelsen av avsnittet: "Et rettet segment kalles en vektor ..." innebærer spesifikk et rettet segment hentet fra et gitt sett, som er knyttet til et spesifikt punkt i planet eller rommet.

Det skal bemerkes at fra et fysikksynspunkt er konseptet med en fri vektor generelt feil, og vektorens anvendelsespunkt betyr noe. Faktisk, et direkte slag av samme kraft på nesen eller pannen, nok til å utvikle mitt dumme eksempel, medfører forskjellige konsekvenser. Derimot, ufri vektorer finnes også i løpet av vyshmat (ikke gå dit :)).

Handlinger med vektorer. Kollinearitet av vektorer

Et skolegeometrikurs dekker en rekke handlinger og regler med vektorer: addisjon etter trekantregelen, addisjon etter parallellogramregelen, vektordifferanseregel, multiplikasjon av en vektor med et tall, skalarprodukt av vektorer osv. Som et utgangspunkt, la oss gjenta to regler som er spesielt relevante for å løse problemer med analytisk geometri.

Regelen for å legge til vektorer ved hjelp av trekantregelen

Vurder to vilkårlige ikke-null vektorer og:

Du må finne summen av disse vektorene. På grunn av det faktum at alle vektorer anses som frie, vil vi sette vektoren til side fra slutt vektor:

Summen av vektorer er vektoren. For en bedre forståelse av regelen, er det tilrådelig å legge en fysisk mening inn i den: la noen kropp bevege seg langs vektoren, og deretter langs vektoren. Da er summen av vektorer vektoren til den resulterende banen med begynnelsen ved avgangspunktet og slutten ved ankomstpunktet. En lignende regel er formulert for summen av et hvilket som helst antall vektorer. Som de sier, kan kroppen gå sin vei veldig magert langs en sikksakk, eller kanskje på autopilot - langs den resulterende vektoren av summen.

Forresten, hvis vektoren er utsatt fra startet vektor, så får vi ekvivalenten parallellogramregel tillegg av vektorer.

Først om kollinearitet av vektorer. De to vektorene kalles collineær, hvis de ligger på samme linje eller på parallelle linjer. Grovt sett snakker vi om parallelle vektorer. Men adjektivet "collinear" brukes alltid når det refereres til dem.

Se for deg to kollineære vektorer. Hvis pilene til disse vektorene er rettet i samme retning, kalles slike vektorer co-regissert. Hvis pilene peker i forskjellige retninger, vil vektorene være det motsatte retninger.

Betegnelser: kollinearitet av vektorer skrives med det vanlige parallellitetssymbolet: , mens detaljering er mulig: (vektorer er co-directed) eller (vektorer er motsatt rettet).

Arbeidet en ikke-null vektor på et tall er en vektor hvis lengde er lik , og vektorene og er co-rettet mot og motsatt rettet mot.

Regelen for å multiplisere en vektor med et tall er lettere å forstå ved hjelp av et bilde:

La oss se på det mer detaljert:

1 retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så er vektoren endrer retning til det motsatte.

2) Lengde. Hvis multiplikatoren er inneholdt i eller , så lengden på vektoren avtar. Dermed er lengden på vektoren halvparten av lengden på vektoren. Hvis modulen til multiplikatoren er større enn én, så lengden på vektoren øker i tide.

3) Vær oppmerksom på at alle vektorer er kollineære, mens en vektor uttrykkes gjennom en annen, for eksempel . Det motsatte er også sant: hvis en vektor kan uttrykkes gjennom en annen, så er slike vektorer nødvendigvis kollineære. Dermed: hvis vi multipliserer en vektor med et tall, får vi kollineær(i forhold til originalen) vektor.

4) Vektorene er co-dirigert. Vektorer og er også co-regissert. Enhver vektor i den første gruppen er motsatt rettet med hensyn til enhver vektor i den andre gruppen.

Hvilke vektorer er like?

To vektorer er like hvis de er i samme retning og har samme lengde. Merk at kodireksjonalitet innebærer kollinearitet av vektorer. Definisjonen ville være unøyaktig (overflødig) hvis vi sa: "To vektorer er like hvis de er kollineære, kodireksjonelle og har samme lengde."

Fra synspunktet til konseptet med en fri vektor, er like vektorer den samme vektoren, som diskutert i forrige avsnitt.

Vektorkoordinater på flyet og i verdensrommet

Det første punktet er å vurdere vektorer på planet. La oss skildre et kartesisk rektangulært koordinatsystem og plotte det fra opprinnelsen til koordinatene enkelt vektorer og:

Vektorer og ortogonal. Ortogonal = vinkelrett. Jeg anbefaler at du sakte venne deg til begrepene: i stedet for parallellitet og perpendikularitet bruker vi ordene hhv. kolinearitet Og ortogonalitet.

Betegnelse: Ortogonaliteten til vektorer skrives med det vanlige perpendikularitetssymbolet, for eksempel: .

Vektorene som vurderes kalles koordinatvektorer eller orts. Disse vektorene dannes basis på overflaten. Hva et grunnlag er, tror jeg, er intuitivt klart for mange mer detaljert informasjon finnes i artikkelen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer Med enkle ord definerer grunnlaget og opprinnelsen til koordinatene hele systemet - dette er et slags grunnlag som et fullt og rikt geometrisk liv koker på.

Noen ganger kalles det konstruerte grunnlaget ortonormal basis av planet: "orto" - fordi koordinatvektorene er ortogonale, betyr adjektivet "normalisert" enhet, dvs. lengdene på basisvektorene er lik én.

Betegnelse: grunnlaget er vanligvis skrevet i parentes, innenfor hvilke i streng rekkefølge basisvektorer er listet opp, for eksempel: . Koordinatvektorer det er forbudt omorganisere.

Noen plan vektor den eneste måten uttrykt som:
, Hvor - tall som kalles vektorkoordinater på dette grunnlaget. Og selve uttrykket kalt vektor nedbrytningpå grunnlag .

Middag servert:

La oss starte med den første bokstaven i alfabetet: . Tegningen viser tydelig at når en vektor dekomponeres til en basis, brukes de som nettopp er diskutert:
1) regelen for å multiplisere en vektor med et tall: og ;
2) addisjon av vektorer etter trekantregelen: .

Plot nå vektoren mentalt fra et hvilket som helst annet punkt på flyet. Det er ganske åpenbart at hans forfall vil «følge ham nådeløst». Her er det, vektorens frihet - vektoren "bærer alt med seg selv." Denne egenskapen er selvfølgelig sann for enhver vektor. Det er morsomt at selve basisvektorene (gratis) ikke trenger å være plottet fra origo, den ene kan for eksempel tegnes nederst til venstre, og den andre øverst til høyre, og ingenting vil endre seg! Det er sant at du ikke trenger å gjøre dette, siden læreren også vil vise originalitet og trekke deg en "kreditt" på et uventet sted.

Vektorer illustrerer nøyaktig regelen for å multiplisere en vektor med et tall, vektoren er samdireksjonell med grunnvektoren, vektoren er rettet motsatt av grunnvektoren. For disse vektorene er en av koordinatene lik null, du kan omhyggelig skrive den slik:


Og basisvektorene er forresten slik: (faktisk uttrykkes de gjennom seg selv).

Og endelig: , . Forresten, hva er vektorsubtraksjon, og hvorfor snakket jeg ikke om subtraksjonsregelen? Et sted i lineær algebra, jeg husker ikke hvor, la jeg merke til at subtraksjon er et spesielt tilfelle av addisjon. Dermed kan utvidelsene til vektorene "de" og "e" lett skrives som en sum: , . Omorganiser begrepene og se på tegningen hvor godt den gode gamle addisjonen av vektorer etter trekantregelen fungerer i disse situasjonene.

Den vurderte dekomponeringen av skjemaet noen ganger kalt vektordekomponering i ort-systemet(dvs. i et system av enhetsvektorer). Men dette er ikke den eneste måten å skrive en vektor på;

Eller med likhetstegn:

Selve basisvektorene er skrevet som følger: og

Det vil si at koordinatene til vektoren er angitt i parentes. I praktiske oppgaver brukes alle tre notasjonsalternativene.

Jeg tvilte på om jeg skulle snakke, men jeg sier det likevel: vektorkoordinater kan ikke omorganiseres. Strengt på første plass vi skriver ned koordinaten som tilsvarer enhetsvektoren, strengt tatt på andreplass vi skriver ned koordinaten som tilsvarer enhetsvektoren. Faktisk, og er to forskjellige vektorer.

Vi fant ut koordinatene på flyet. La oss nå se på vektorer i tredimensjonalt rom, nesten alt er likt her! Det vil bare legge til en koordinat til. Det er vanskelig å lage tredimensjonale tegninger, så jeg vil begrense meg til én vektor, som jeg for enkelhets skyld setter til side fra opprinnelsen:

Noen 3D romvektor den eneste måten ekspandere over ortonormal basis:
, hvor er koordinatene til vektoren (tallet) i dette grunnlaget.

Eksempel fra bildet: . La oss se hvordan vektorreglene fungerer her. Først multipliserer du vektoren med et tall: (rød pil), (grønn pil) og (bringebærpil). For det andre, her er et eksempel på å legge til flere, i dette tilfellet tre, vektorer: . Sumvektoren begynner ved det opprinnelige utgangspunktet (begynnelsen av vektoren) og slutter ved det endelige ankomstpunktet (enden av vektoren).

Alle vektorer av tredimensjonalt rom er naturligvis også frie for å mentalt sette vektoren til side fra et hvilket som helst annet punkt, og du vil forstå at dens nedbrytning "vil forbli med den."

I likhet med den flate saken, i tillegg til å skrive versjoner med braketter er mye brukt: enten .

Hvis en (eller to) koordinatvektorer mangler i utvidelsen, settes nuller i stedet. Eksempler:
vektor (omhyggelig ) - la oss skrive ;
vektor (omhyggelig ) - la oss skrive ;
vektor (omhyggelig ) - la oss skrive .

Basisvektorene er skrevet som følger:

Dette er kanskje all den minimale teoretiske kunnskapen som er nødvendig for å løse problemer med analytisk geometri. Det kan være mange begreper og definisjoner, så jeg anbefaler at tekanner leser og forstår denne informasjonen på nytt. Og det vil være nyttig for enhver leser å referere til den grunnleggende leksjonen fra tid til annen for å bedre assimilere materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal basis, vektornedbrytning - disse og andre konsepter vil ofte bli brukt i fremtiden. Jeg bemerker at materialene på nettstedet ikke er nok til å bestå den teoretiske testen eller kollokviet om geometri, siden jeg nøye krypterer alle teoremer (og uten bevis) - til skade for den vitenskapelige presentasjonsstilen, men et pluss for din forståelse av emnet. For å motta detaljert teoretisk informasjon, vennligst bøy deg for professor Atanasyan.

Og vi går videre til den praktiske delen:

De enkleste problemene med analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater

Det er sterkt tilrådelig å lære hvordan du løser oppgavene som vil bli vurdert helautomatisk, og formlene huske, du trenger ikke engang å huske det med vilje, de vil huske det selv =) Dette er veldig viktig, siden andre problemer med analytisk geometri er basert på de enkleste elementære eksemplene, og det vil være irriterende å bruke ekstra tid på å spise bønder . Det er ikke nødvendig å feste de øverste knappene på skjorten din, mange ting er kjent for deg fra skolen.

Presentasjonen av materialet vil følge et parallelt forløp – både for flyet og for rommet. Av den grunn at alle formlene... vil du se selv.

Hvordan finne en vektor fra to punkter?

Hvis to punkter på planet og er gitt, har vektoren følgende koordinater:

Hvis to punkter i rommet og er gitt, har vektoren følgende koordinater:

Det er, fra koordinatene til enden av vektoren du må trekke fra de tilsvarende koordinatene begynnelsen av vektoren.

Trening: For de samme punktene, skriv ned formlene for å finne koordinatene til vektoren. Formler på slutten av leksjonen.

Eksempel 1

Gitt to punkter av flyet og . Finn vektorkoordinater

Løsning: i henhold til den tilsvarende formelen:

Alternativt kan følgende oppføring brukes:

Esteter avgjør dette:

Personlig er jeg vant til den første versjonen av innspillingen.

Svar:

I henhold til betingelsen var det ikke nødvendig å konstruere en tegning (som er typisk for problemer med analytisk geometri), men for å avklare noen punkter for dummies, vil jeg ikke være lat:

Du må definitivt forstå forskjellen mellom punktkoordinater og vektorkoordinater:

Punktkoordinater– dette er vanlige koordinater i et rektangulært koordinatsystem. Jeg tror alle vet hvordan man plotter punkter på et koordinatplan fra 5.-6. klasse. Hvert punkt har en streng plass på flyet, og de kan ikke flyttes hvor som helst.

Koordinatene til vektoren– dette er dens utvidelse i henhold til grunnlaget, i dette tilfellet. Enhver vektor er gratis, så om nødvendig kan vi enkelt flytte den bort fra et annet punkt i planet. Det er interessant at for vektorer trenger du ikke å bygge akser eller et rektangulært koordinatsystem i det hele tatt, du trenger bare en basis, i dette tilfellet en ortonormal basis av planet.

Registreringene av koordinater til punkter og koordinater til vektorer ser ut til å være like: , og betydningen av koordinater absolutt annerledes, og du bør være godt klar over denne forskjellen. Denne forskjellen gjelder selvfølgelig også plass.

Mine damer og herrer, la oss fylle hendene våre:

Eksempel 2

a) Poeng og gis. Finn vektorer og .
b) Poeng gis Og . Finn vektorer og .
c) Poeng og gis. Finn vektorer og .
d) Poeng gis. Finn vektorer .

Kanskje det er nok. Dette er eksempler for deg å bestemme selv, prøv å ikke forsømme dem, det vil lønne seg ;-). Det er ikke nødvendig å lage tegninger. Løsninger og svar på slutten av leksjonen.

Hva er viktig når man løser analytiske geometriproblemer? Det er viktig å være EKSTREMT FORSIKTIG for å unngå å gjøre den mesterlige feilen "to pluss to er lik null". Jeg beklager med en gang hvis jeg har gjort en feil et sted =)

Hvordan finne lengden på et segment?

Lengden, som allerede nevnt, er indikert med modultegnet.

Hvis to punkter på planet er gitt og , kan lengden på segmentet beregnes ved hjelp av formelen

Hvis to punkter i rommet og er gitt, kan lengden på segmentet beregnes ved hjelp av formelen

Merk: Formlene forblir korrekte hvis de tilsvarende koordinatene byttes: og , men det første alternativet er mer standard

Eksempel 3

Løsning: i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

For klarhetens skyld vil jeg lage en tegning

Linjestykke - dette er ikke en vektor, og du kan selvfølgelig ikke flytte den hvor som helst. I tillegg, hvis du tegner i målestokk: 1 enhet. = 1 cm (to notatbokceller), så kan det resulterende svaret kontrolleres med en vanlig linjal ved direkte å måle lengden på segmentet.

Ja, løsningen er kort, men det er et par viktigere punkter i den som jeg ønsker å avklare:

For det første setter vi i svaret dimensjonen: "enheter". Tilstanden sier ikke HVA det er, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor vil en matematisk korrekt løsning være den generelle formuleringen: "enheter" - forkortet som "enheter."

For det andre, la oss gjenta skolemateriellet, som ikke bare er nyttig for oppgaven som vurderes:

Følg med på viktig teknikk – fjerne multiplikatoren fra under roten. Som et resultat av beregningene har vi et resultat og god matematisk stil innebærer å fjerne faktoren fra under roten (hvis mulig). Mer detaljert ser prosessen slik ut: . Å la svaret være slik det er, ville selvsagt ikke være en feil – men det ville absolutt være en mangel og et tungtveiende argument for å krangle fra lærerens side.

Her er andre vanlige tilfeller:

Ofte produserer roten et ganske stort antall, for eksempel . Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Ved hjelp av kalkulatoren sjekker vi om tallet er delelig med 4: . Ja, det var helt delt, slik: . Eller kanskje tallet kan deles på 4 igjen? . Dermed: . Det siste sifferet i tallet er oddetall, så å dele med 4 for tredje gang vil åpenbart ikke fungere. La oss prøve å dele på ni: . Som et resultat:
Klar.

Konklusjon: hvis vi under roten får et tall som ikke kan trekkes ut som en helhet, så prøver vi å fjerne faktoren fra under roten - ved hjelp av en kalkulator sjekker vi om tallet er delelig med: 4, 9, 16, 25, 36, 49 osv.

Når du løser ulike problemer, støter du ofte på røtter, prøv alltid å trekke ut faktorer under roten for å unngå en lavere karakter og unødvendige problemer med å sluttføre løsninger basert på lærerens kommentarer.

La oss også gjenta kvadratrøtter og andre krefter:

Reglene for å operere med potenser i generell form finner du i en skolealgebra-lærebok, men jeg tror fra eksemplene som er gitt, er alt eller nesten alt allerede klart.

Oppgave for uavhengig løsning med et segment i rommet:

Eksempel 4

Poeng og gis. Finn lengden på segmentet.

Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

Hvordan finne lengden på en vektor?

Hvis en planvektor er gitt, beregnes lengden ved hjelp av formelen.

Hvis en romvektor er gitt, beregnes lengden ved hjelp av formelen .

I denne leksjonen skal vi se på ytterligere to operasjoner med vektorer: vektorprodukt av vektorer Og blandet produkt av vektorer (umiddelbar lenke for de som trenger det). Det er greit, noen ganger skjer det at for fullstendig lykke, i tillegg til skalært produkt av vektorer, mer og mer kreves. Dette er vektoravhengighet. Det kan virke som om vi kommer inn i jungelen av analytisk geometri. Dette er feil. I denne delen av høyere matematikk er det generelt lite ved, bortsett fra kanskje nok for Pinocchio. Faktisk er materialet veldig vanlig og enkelt - neppe mer komplisert enn det samme skalært produkt, blir det enda færre typiske oppgaver. Hovedsaken i analytisk geometri, som mange vil være overbevist om eller allerede har blitt overbevist om, er Å IKKE GJØRE FEIL I BEREGNINGER. Gjenta som en trolldom, så blir du glad =)

Hvis vektorer glitrer et sted langt unna, som lyn i horisonten, spiller det ingen rolle, start med leksjonen Vektorer for dummieså gjenopprette eller gjenopprette grunnleggende kunnskap om vektorer. Mer forberedte lesere kan bli kjent med informasjonen selektivt. Jeg prøvde å samle den mest komplette samlingen av eksempler som ofte finnes i praktisk arbeid

Hva vil gjøre deg glad med en gang? Da jeg var liten kunne jeg sjonglere med to og til og med tre baller. Det fungerte bra. Nå slipper du å sjonglere i det hele tatt, siden vi vil vurdere bare romlige vektorer, og flate vektorer med to koordinater vil bli utelatt. Hvorfor? Dette er hvordan disse handlingene ble født - vektoren og det blandede produktet av vektorer er definert og fungerer i tredimensjonalt rom. Det er allerede enklere!

Denne operasjonen, akkurat som skalarproduktet, involverer to vektorer. La disse være uforgjengelige brev.

Selve handlingen betegnet med på følgende måte:. Det finnes andre alternativer, men jeg er vant til å betegne vektorproduktet til vektorer på denne måten, i hakeparentes med et kryss.

Og med en gang spørsmål: hvis i skalært produkt av vektorer to vektorer er involvert, og her multipliseres også to vektorer, da hva er forskjellen? Den åpenbare forskjellen er først og fremst i RESULTATET:

Resultatet av skalarproduktet av vektorer er NUMBER:

Resultatet av kryssproduktet av vektorer er VEKTOR: , det vil si at vi multipliserer vektorene og får en vektor igjen. Lukket klubb. Egentlig er det her navnet på operasjonen kommer fra. I ulik undervisningslitteratur kan betegnelser også variere. Jeg vil bruke bokstaven.

Definisjon av kryssprodukt

Først blir det en definisjon med bilde, deretter kommentarer.

Definisjon: Vektorprodukt ikke-kollineær vektorer, tatt i denne rekkefølgen, kalt VECTOR, lengde som er numerisk lik arealet av parallellogrammet, bygget på disse vektorene; vektor ortogonalt på vektorer, og er rettet slik at grunnlaget har en rett orientering:

La oss bryte ned definisjonen, det er mye interessant her!

Så følgende viktige punkter kan fremheves:

1) De opprinnelige vektorene, angitt med røde piler, per definisjon ikke collineær. Det vil være hensiktsmessig å vurdere tilfellet med kollineære vektorer litt senere.

2) Vektorer tas i en strengt definert rekkefølge: – "a" multipliseres med "være", ikke «være» med «a». Resultatet av vektormultiplikasjon er VEKTOR, som er indikert i blått. Hvis vektorene multipliseres i omvendt rekkefølge, får vi en vektor lik lengde og motsatt i retning (bringebærfarge). Det vil si at likheten er sann .

3) La oss nå bli kjent med den geometriske betydningen av vektorproduktet. Dette er et veldig viktig poeng! LENGDEN til den blå vektoren (og derfor den crimson vektoren) er numerisk lik OMRÅDET til parallellogrammet bygget på vektorene. På figuren er dette parallellogrammet farget svart.

Merk : tegningen er skjematisk, og naturlig nok er den nominelle lengden på vektorproduktet ikke lik arealet til parallellogrammet.

La oss huske en av de geometriske formlene: Arealet til et parallellogram er lik produktet av tilstøtende sider og sinusen til vinkelen mellom dem. Derfor, basert på ovenstående, er formelen for å beregne LENGDEN til et vektorprodukt gyldig:

Jeg understreker at formelen handler om LENGDEN av vektoren, og ikke om selve vektoren. Hva er den praktiske meningen? Og meningen er at i problemer med analytisk geometri, er området til et parallellogram ofte funnet gjennom konseptet med et vektorprodukt:

La oss få den andre viktige formelen. Diagonalen til et parallellogram (rød stiplet linje) deler det i to like trekanter. Derfor kan området til en trekant bygget på vektorer (rød skyggelegging) bli funnet ved å bruke formelen:

4) Et like viktig faktum er at vektoren er ortogonal på vektorene, altså . Selvfølgelig er den motsatt rettede vektoren (bringebærpil) også ortogonal til de opprinnelige vektorene.

5) Vektoren er rettet slik at basis Det har Ikke sant orientering. I leksjonen om overgang til et nytt grunnlag Jeg snakket i tilstrekkelig detalj om planorientering, og nå skal vi finne ut hva romorientering er. Jeg vil forklare på fingrene dine høyre hånd. Kombiner mentalt pekefinger med vektor og langfinger med vektor. Ringfinger og lillefinger trykk den inn i håndflaten. Som et resultat tommel– vektorproduktet vil slå opp. Dette er et høyreorientert grunnlag (det er denne på figuren). Endre nå vektorene ( pekefinger og langfinger) noen steder, som et resultat vil tommelen snu seg, og vektorproduktet vil allerede se ned. Dette er også et høyreorientert grunnlag. Du har kanskje et spørsmål: hvilket grunnlag har forlatt orientering? "Tilordne" til de samme fingrene venstre hand vektorer, og få venstre basis og venstre orientering av rommet (i dette tilfellet vil tommelen være plassert i retning av den nedre vektoren). Figurativt sett "vrir" disse basene eller orienterer rommet i forskjellige retninger. Og dette konseptet bør ikke betraktes som noe fjernt eller abstrakt - for eksempel endres plassorienteringen av det mest vanlige speilet, og hvis du "trekker det reflekterte objektet ut av glasset", så er det i det generelle tilfellet vil ikke være mulig å kombinere den med "originalen". Hold forresten tre fingre opp mot speilet og analyser refleksjonen ;-)

...hvor bra det er at du nå vet om høyre- og venstreorientert baserer, fordi uttalelsene til noen forelesere om en endring i orientering er skumle =)

Kryssprodukt av kollineære vektorer

Definisjonen har blitt diskutert i detalj, det gjenstår å finne ut hva som skjer når vektorene er kollineære. Hvis vektorene er kollineære, kan de plasseres på en rett linje og parallellogrammet vårt "brettes" også til en rett linje. Området for slike, som matematikere sier, utarte parallellogram er lik null. Det samme følger av formelen - sinusen til null eller 180 grader er lik null, som betyr at området er null

Altså, hvis, da . Strengt tatt er selve vektorproduktet lik nullvektoren, men i praksis blir dette ofte neglisjert og de skrives at det rett og slett er lik null.

Et spesialtilfelle er kryssproduktet av en vektor med seg selv:

Ved hjelp av vektorproduktet kan du sjekke kolineariteten til tredimensjonale vektorer, og vi vil også analysere blant annet dette problemet.

For å løse praktiske eksempler kan du trenge trigonometrisk tabell for å finne verdiene til sinus fra den.

Vel, la oss tenne bålet:

Eksempel 1

a) Finn lengden på vektorproduktet til vektorer if

b) Finn arealet til et parallellogram bygget på vektorer hvis

Løsning: Nei, dette er ikke en skrivefeil, jeg har bevisst gjort de første dataene i klausulene like. Fordi utformingen av løsningene vil være annerledes!

a) I henhold til tilstanden må du finne lengde vektor (kryssprodukt). I henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Hvis du ble spurt om lengde, angir vi i svaret dimensjonen - enheter.

b) I henhold til tilstanden, må du finne torget parallellogram bygget på vektorer. Arealet til dette parallellogrammet er numerisk lik lengden på vektorproduktet:

Svar:

Vær oppmerksom på at svaret ikke snakker om vektorproduktet vi ble spurt om området av figuren, følgelig er dimensjonen kvadratiske enheter.

Vi ser alltid på HVA vi må finne i henhold til tilstanden, og ut fra dette formulerer vi klar svar. Det kan virke bokstavelig, men det er nok av bokstavelige lærere blant dem, og oppgaven har gode muligheter for å bli returnert for revisjon. Selv om dette ikke er et spesielt langt utsagt tull – hvis svaret er feil, så får man inntrykk av at personen ikke forstår enkle ting og/eller ikke har forstått essensen av oppgaven. Dette punktet må alltid holdes under kontroll når man løser ethvert problem i høyere matematikk, og også i andre fag.

Hvor ble det av den store bokstaven "en"? I prinsippet kunne det i tillegg vært knyttet til løsningen, men for å forkorte oppføringen gjorde jeg ikke dette. Jeg håper alle forstår det og er en betegnelse på det samme.

Et populært eksempel på en DIY-løsning:

Eksempel 2

Finn arealet til en trekant bygget på vektorer hvis

Formelen for å finne arealet av en trekant gjennom vektorproduktet er gitt i kommentarene til definisjonen. Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

I praksis er oppgaven veldig vanlig; trekanter kan generelt plage deg.

For å løse andre problemer trenger vi:

Egenskaper til vektorproduktet til vektorer

Vi har allerede vurdert noen egenskaper til vektorproduktet, men jeg vil inkludere dem i denne listen.

For vilkårlige vektorer og et vilkårlig tall er følgende egenskaper sanne:

1) I andre informasjonskilder er denne posten vanligvis ikke fremhevet i egenskapene, men den er veldig viktig i praksis. Så la det være.

2) – eiendommen er også omtalt ovenfor, noen ganger kalles det antikommutativitet. Med andre ord, rekkefølgen på vektorene har betydning.

3) – assosiativ eller assosiativ vektor produktlover. Konstanter kan enkelt flyttes utenfor vektorproduktet. Virkelig, hva skal de gjøre der?

4) – distribusjon eller distributive vektor produktlover. Det er heller ingen problemer med å åpne brakettene.

For å demonstrere, la oss se på et kort eksempel:

Eksempel 3

Finn hvis

Løsning: Tilstanden krever igjen å finne lengden på vektorproduktet. La oss male miniatyren vår:

(1) I henhold til assosiative lover tar vi konstantene utenfor rammen av vektorproduktet.

(2) Vi flytter konstanten utenfor modulen, og modulen "spiser" minustegnet. Lengden kan ikke være negativ.

(3) Resten er klart.

Svar:

Det er på tide å legge mer ved til bålet:

Eksempel 4

Beregn arealet til en trekant bygget på vektorer hvis

Løsning: Finn arealet av trekanten ved å bruke formelen . Haken er at vektorene "tse" og "de" i seg selv presenteres som summer av vektorer. Algoritmen her er standard og minner litt om eksempel nr. 3 og 4 i leksjonen Punktprodukt av vektorer. For klarhetens skyld vil vi dele løsningen inn i tre stadier:

1) Ved det første trinnet uttrykker vi vektorproduktet gjennom vektorproduktet, faktisk, la oss uttrykke en vektor i form av en vektor. Ingen ord ennå om lengder!

(1) Bytt ut uttrykkene til vektorene.

(2) Ved å bruke distributive lover åpner vi parentesene i henhold til regelen for multiplikasjon av polynomer.

(3) Ved å bruke assosiative lover flytter vi alle konstanter utover vektorproduktene. Med litt erfaring kan trinn 2 og 3 utføres samtidig.

(4) De første og siste leddene er lik null (nullvektor) på grunn av den fine egenskapen. I det andre begrepet bruker vi egenskapen til antikommutativitet til et vektorprodukt:

(5) Vi presenterer lignende termer.

Som et resultat viste det seg at vektoren ble uttrykt gjennom en vektor, som er det som kreves for å oppnås:

2) I det andre trinnet finner vi lengden på vektorproduktet vi trenger. Denne handlingen ligner på eksempel 3:

3) Finn arealet av den nødvendige trekanten:

Trinn 2-3 av løsningen kunne vært skrevet på én linje.

Svar:

Problemet som vurderes er ganske vanlig i tester, her er et eksempel for å løse det selv:

Eksempel 5

Finn hvis

En kort løsning og svar på slutten av timen. La oss se hvor oppmerksom du var da du studerte de forrige eksemplene ;-)

Kryssprodukt av vektorer i koordinater

, spesifisert på ortonormal basis, uttrykt med formelen:

Formelen er veldig enkel: i den øverste linjen til determinanten skriver vi koordinatvektorene, i den andre og tredje linjen "setter" vi koordinatene til vektorene, og vi setter i streng rekkefølge– først koordinatene til «ve»-vektoren, deretter koordinatene til «dobbel-ve»-vektoren. Hvis vektorene må multipliseres i en annen rekkefølge, bør radene byttes:

Eksempel 10

Sjekk om følgende romvektorer er kollineære:
EN)
b)

Løsning: Kontrollen er basert på ett av utsagnene i denne leksjonen: hvis vektorene er kollineære, er deres vektorprodukt lik null (null vektor): .

a) Finn vektorproduktet:

Dermed er ikke vektorene kollineære.

b) Finn vektorproduktet:

Svar: a) ikke collineær, b)

Her er kanskje all grunnleggende informasjon om vektorproduktet til vektorer.

Denne delen vil ikke være veldig stor, siden det er få problemer der det blandede produktet av vektorer brukes. Faktisk vil alt avhenge av definisjonen, geometrisk betydning og et par arbeidsformler.

Et blandet produkt av vektorer er produktet av tre vektorer:

Så de stilte seg opp som et tog og kan ikke vente på å bli identifisert.

Først, igjen, en definisjon og et bilde:

Definisjon: Blandet arbeid ikke-koplanar vektorer, tatt i denne rekkefølgen, kalt parallellepipedum volum, bygget på disse vektorene, utstyrt med et "+"-tegn hvis basisen er høyre, og et "–"-tegn hvis basisen er venstre.

La oss tegne. Linjer som er usynlige for oss er tegnet med stiplede linjer:

La oss dykke ned i definisjonen:

2) Vektorer tas i en bestemt rekkefølge, det vil si at omorganiseringen av vektorer i produktet, som du kanskje gjetter, ikke skjer uten konsekvenser.

3) Før jeg kommenterer den geometriske betydningen, vil jeg legge merke til et åpenbart faktum: det blandede produktet av vektorer er et TALL: . I pedagogisk litteratur kan designet være litt annerledes Jeg er vant til å betegne et blandet produkt med , og resultatet av beregninger med bokstaven "pe".

A-priory det blandede produktet er volumet til parallellepipedet, bygget på vektorer (figuren er tegnet med røde vektorer og svarte linjer). Det vil si at tallet er lik volumet til et gitt parallellepiped.

Merk : Tegningen er skjematisk.

4) La oss ikke bekymre oss igjen om konseptet med orientering av grunnlaget og rommet. Meningen med den siste delen er at et minustegn kan legges til volumet. Med enkle ord kan et blandet produkt være negativt: .

Direkte fra definisjonen følger formelen for å beregne volumet til et parallellepiped bygget på vektorer.

Definisjon En ordnet samling (x 1 , x 2 , ... , x n) n reelle tall kalles n-dimensjonal vektor, og tall x i (i = ) - komponenter, eller koordinater,

Eksempel. Hvis for eksempel et bestemt bilanlegg må produsere 50 biler, 100 lastebiler, 10 busser, 50 sett med reservedeler for biler og 150 sett for lastebiler og busser per skift, kan produksjonsprogrammet til dette anlegget skrives som en vektor (50, 100, 10, 50, 150), med fem komponenter.

Notasjon. Vektorer er angitt med fete små bokstaver eller bokstaver med en stolpe eller pil øverst, f.eks. en eller. De to vektorene kalles lik, hvis de har samme antall komponenter og deres tilsvarende komponenter er like.

Vektorkomponenter kan ikke byttes, for eksempel (3, 2, 5, 0, 1) og (2, 3, 5, 0, 1) forskjellige vektorer.
Operasjoner på vektorer. Arbeidet x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) med et reelt tallλ kalt en vektorλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Beløpx= (x 1, x 2, ... , x n) og y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) kalles en vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Vektor plass. N -dimensjonalt vektorrom R n er definert som settet av alle n-dimensjonale vektorer for hvilke operasjonene multiplikasjon med reelle tall og addisjon er definert.

Økonomisk illustrasjon. Økonomisk illustrasjon av n-dimensjonalt vektorrom: plass av varer (varer). Under varer vi vil forstå noen varer eller tjenester som selges på et bestemt tidspunkt på et bestemt sted. Anta at det er et begrenset antall n av tilgjengelige varer; mengdene av hver av dem kjøpt av forbrukeren er preget av et sett med varer

x= (x 1, x 2, ..., x n),

hvor x i angir mengden av den i-te varen kjøpt av forbrukeren. Vi vil anta at alle varer har egenskapen til vilkårlig delbarhet, slik at enhver ikke-negativ mengde av hver av dem kan kjøpes. Da er alle mulige varesett vektorer av godsrommet C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Lineær uavhengighet. System e 1 , e 2 , ... , e m n-dimensjonale vektorer kalles lineært avhengig, hvis det finnes slike tallλ 1 , λ 2 , ... , λ m , hvorav minst én er ikke-null, slik at likhetenλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; ellers kalles dette systemet av vektorer lineært uavhengig, det vil si at den indikerte likheten bare er mulig i tilfelle når alle . Den geometriske betydningen av den lineære avhengigheten til vektorer i R 3, tolket som rettet segmenter, forklar følgende teoremer.

Teorem 1. Et system som består av én vektor er lineært avhengig hvis og bare hvis denne vektoren er null.

Teorem 2. For at to vektorer skal være lineært avhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig at de er kollineære (parallelle).

Teorem 3 . For at tre vektorer skal være lineært avhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig at de er koplanære (ligger i samme plan).

Venstre og høyre trippel av vektorer. Trippel av ikke-koplanare vektorer a, b, c kalt Ikke sant, hvis observatøren fra deres felles opprinnelse omgår endene av vektorene a, b, c i den oppgitte rekkefølgen ser det ut til å skje med klokken. Ellers a, b, c -igjen tre. Alle høyre (eller venstre) trippel av vektorer kalles det samme orientert.

Grunnlag og koordinater. Troika e 1, e 2 , e 3 ikke-koplanare vektorer i R 3 kalles basis, og selve vektorene e 1, e 2 , e 3 - grunnleggende. Enhver vektor en kan utvides unikt til basisvektorer, det vil si representert i skjemaet

EN= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

tallene x 1 , x 2 , x 3 i utvidelse (1.1) kalles koordinateren i grunnlaget e 1, e 2 , e 3 og er angitt en(x 1, x 2, x 3).

Ortonormal basis. Hvis vektorene e 1, e 2 , e 3 er parvis vinkelrette og lengden på hver av dem er lik en, så kalles grunnlaget ortonormal, og koordinatene x 1 , x 2 , x 3 - rektangulær. Basisvektorene til en ortonormal basis vil bli betegnet med i, j, k.

Vi vil anta det i verdensrommet R 3 er det høyre systemet med kartesiske rektangulære koordinater valgt (0, i, j, k}.

Vektor kunstverk. Vektor kunstverk EN til vektor b kalt en vektor c, som bestemmes av følgende tre forhold:

1. Vektorlengde c numerisk lik arealet til et parallellogram bygget på vektorer en Og b, dvs.
c= |a||b| synd( en^b).

2. Vektor c vinkelrett på hver av vektorene en Og b.

3. Vektorer en, b Og c, tatt i den angitte rekkefølgen, danner en høyre trippel.

For et kryssprodukt c betegnelsen innføres c =[ab] eller
c = a × b.

Hvis vektorene en Og b er kollineære, så synd( a^b) = 0 og [ ab] = 0, spesielt, [ aa] = 0. Vektorprodukter av enhetsvektorer: [ ij]=k, [jk] = Jeg, [ki]=j.

Hvis vektorene en Og b spesifisert i grunnlaget i, j, k koordinater en(en 1, en 2, en 3), b(b 1, b 2, b 3), deretter

Blandet arbeid. Hvis vektorproduktet av to vektorer EN Og b skalært multiplisert med den tredje vektoren c, da kalles et slikt produkt av tre vektorer blandet arbeid og er indikert med symbolet en b c.

Hvis vektorene a, b Og c i grunnlaget i, j, k gitt av deres koordinater
en(en 1, en 2, en 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), deretter

.

Det blandede produktet har en enkel geometrisk tolkning - det er en skalar som i absolutt verdi er lik volumet til et parallellepiped bygget på tre gitte vektorer.

Hvis vektorene danner en rett trippel, er deres blandede produkt et positivt tall lik det angitte volumet; hvis det er en treer a, b, c - venstre da a b c<0 и V = - a b c, derfor V =|a b c|.

Koordinatene til vektorene som påtreffes i oppgavene i første kapittel antas å være gitt i forhold til et rett ortonormalt grunnlag. Enhet vektor codirectional med vektor EN, angitt med symbolet EN O. Symbol r=OM angitt med radiusvektoren til punkt M, symbolene a, AB eller|a|, | AB|moduler av vektorer er angitt EN Og AB.

Eksempel 1.2. Finn vinkelen mellom vektorene en= 2m+4n Og b= m-n, Hvor m Og n- enhetsvektorer og vinkel mellom m Og n lik 120 o.

Løsning. Vi har: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = -2 + 2(-0,5) = -3; a = ; en 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, som betyr a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, som betyr b = . Endelig har vi: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Eksempel 1.3.Kjenne til vektorene AB(-3,-2,6) og B.C.(-2,4,4),beregn lengden på høyden AD til trekanten ABC.

Løsning. Ved å angi arealet til trekanten ABC med S, får vi:
S = 1/2 f.Kr. e.Kr. Deretter AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, som betyr vektor A.C. har koordinater
. .

Eksempel 1.4 . To vektorer er gitt en(11,10,2) og b(4,0,3). Finn enhetsvektoren c, ortogonalt på vektorer en Og b og rettet slik at den ordnede trippelen av vektorer a, b, c var riktig.

Løsning.La oss betegne koordinatene til vektoren c med hensyn til et gitt rett ortonormalt grunnlag i form av x, y, z.

Fordi det c ⊥ a, c ⊥b, Det ca= 0,cb= 0. I henhold til betingelsene for oppgaven kreves det at c = 1 og a b c >0.

Vi har et ligningssystem for å finne x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Fra den første og andre likningen til systemet får vi z = -4/3 x, y = -5/6 x. Ved å erstatte y og z i den tredje ligningen, har vi: x 2 = 36/125, hvorav
x =± . Bruker tilstanden a b c > 0, får vi ulikheten

Ved å ta hensyn til uttrykkene for z og y, omskriver vi den resulterende ulikheten i formen: 625/6 x > 0, noe som innebærer at x>0. Så, x = , y = - , z =- .

Definisjon. Vektorproduktet av vektor a (multiplikand) og en ikke-kollineær vektor (multiplikand) er den tredje vektoren c (produkt), som er konstruert som følger:

1) modulen er numerisk lik arealet til parallellogrammet i fig. 155), bygget på vektorer, dvs. den er lik retningen vinkelrett på planet til nevnte parallellogram;

3) i dette tilfellet velges retningen til vektoren c (blant to mulige) slik at vektorene c danner et høyrehendt system (§ 110).

Betegnelse: eller

Tillegg til definisjonen. Hvis vektorene er kollineære, så med tanke på at figuren (betinget) er et parallellogram, er det naturlig å tildele null areal. Derfor anses vektorproduktet til kollineære vektorer som lik nullvektoren.

Siden nullvektoren kan tildeles hvilken som helst retning, motsier ikke denne avtalen paragraf 2 og 3 i definisjonen.

Merknad 1. I begrepet «vektorprodukt» angir det første ordet at resultatet av handlingen er en vektor (i motsetning til et skalarprodukt, jf. § 104, merknad 1).

Eksempel 1. Finn vektorproduktet hvor er hovedvektorene til høyre koordinatsystem (fig. 156).

1. Siden lengdene til hovedvektorene er lik en skalaenhet, er arealet av parallellogrammet (kvadrat) numerisk lik en. Dette betyr at modulen til vektorproduktet er lik én.

2. Siden perpendikulæren til planet er en akse, er det ønskede vektorproduktet en vektor kollineær til vektoren k; og siden begge har modul 1, er det ønskede vektorproduktet lik enten k eller -k.

3. Av disse to mulige vektorene må den første velges, siden vektorene k danner et høyrehendt system (og vektorene et venstrehendt).

Eksempel 2. Finn kryssproduktet

Løsning. Som i eksempel 1 konkluderer vi med at vektoren er lik enten k eller -k. Men nå må vi velge -k, siden vektorene danner et høyrehendt system (og vektorer danner et venstrehendt). Så,

Eksempel 3. Vektorer har lengder lik henholdsvis 80 og 50 cm, og danner en vinkel på 30°. Ta meteren som lengdeenhet, finn lengden på vektorproduktet a

Løsning. Arealet til et parallellogram bygget på vektorer er lik Lengden på det ønskede vektorproduktet er lik

Eksempel 4. Finn lengden på vektorproduktet til de samme vektorene ved å ta centimeter som lengdeenhet.

Løsning. Siden arealet til et parallellogram bygget på vektorer er likt, er lengden på vektorproduktet lik 2000 cm, dvs.

Fra en sammenligning av eksempel 3 og 4 er det klart at lengden på vektoren ikke bare avhenger av lengdene til faktorene, men også av valget av lengdeenheten.

Fysisk betydning av et vektorprodukt. Av de mange fysiske mengdene representert av vektorproduktet, vil vi kun vurdere kraftmomentet.

La A være kraftpåføringspunktet i forhold til punkt O kalles et vektorprodukt Siden modulen til dette vektorproduktet er numerisk lik arealet til parallellogrammet (fig. 157). momentmodulen er lik produktet av basen og høyden, dvs. kraften multiplisert med avstanden fra punkt O til den rette linjen som kraften virker langs.

I mekanikk er det bevist at for at et stivt legeme skal være i likevekt, er det nødvendig at ikke bare summen av vektorer som representerer kreftene påført kroppen er lik null, men også summen av kreftene. I tilfellet der alle krefter er parallelle med ett plan, kan addisjonen av vektorer som representerer momenter erstattes med addisjon og subtraksjon av deres størrelser. Men med vilkårlige retninger av krefter er en slik erstatning umulig. I samsvar med dette er vektorproduktet definert nøyaktig som en vektor, og ikke som et tall.