Mengder. Operasjoner på sett.
Viser sett. Settets kraft

Jeg ønsker deg velkommen til den første leksjonen om høyere algebra, som dukket opp ... på tampen av nettstedets femårsjubileum, etter at jeg allerede hadde laget mer enn 150 artikler om matematikk, og materialene mine begynte å bli satt sammen til et fullført kurs. Jeg håper imidlertid at jeg ikke er sen - tross alt begynner mange studenter å fordype seg i forelesninger kun for statlige eksamener =)

Et universitets vyshmat-kurs er tradisjonelt basert på tre pilarer:

– matematisk analyse (grenser, derivater etc.)

– og til slutt åpner studieårssesongen 2015/16 med leksjoner Algebra for Dummies, Elementer i matematisk logikk, hvor vi vil analysere det grunnleggende i seksjonen, samt gjøre oss kjent med grunnleggende matematiske begreper og vanlige notasjoner. Jeg må si at i andre artikler overbruker jeg ikke "squiggles" , men dette er bare en stil, og selvfølgelig må de gjenkjennes i alle forhold =). Jeg informerer nyankomne lesere om at timene mine er praksisorienterte, og følgende materiell vil bli presentert i denne ånden. For mer fullstendig og akademisk informasjon, se pedagogisk litteratur. Gå:

En haug med. Eksempler på sett

Sett er et grunnleggende konsept ikke bare i matematikk, men for hele verden rundt. Ta en hvilken som helst gjenstand i hånden akkurat nå. Her har du et sett bestående av ett element.

I vid forstand, sett er en samling av objekter (elementer) som forstås som en enkelt helhet(i henhold til visse egenskaper, kriterier eller omstendigheter). Dessuten er dette ikke bare materielle objekter, men også bokstaver, tall, teoremer, tanker, følelser osv.

Sett er vanligvis merket med store bokstaver (valgfritt, med abonnementer: osv.), og dens elementer er skrevet med krøllete klammeparenteser, for eksempel:

- mange bokstaver i det russiske alfabetet;
– sett med naturlige tall;

Vel, det er på tide å bli litt kjent med hverandre:
– mange elever på 1. rad

... jeg er glad for å se dine seriøse og konsentrerte ansikter =)

Settene er endelig(bestående av et begrenset antall elementer), og et sett er et eksempel uendelig mengder. I tillegg kommer den såkalte tomt sett:

– et sett der det ikke er et enkelt element.

Eksempelet er godt kjent for deg - settet i eksamen er ofte tomt =)

Medlemskapet til et element i et sett er indikert med symbolet, for eksempel:

- bokstaven "være" tilhører mange bokstaver i det russiske alfabetet;
- bokstaven "beta" Ikke tilhører mange bokstaver i det russiske alfabetet;
– tallet 5 tilhører settet med naturlige tall;
– men tallet 5,5 er ikke lenger der;
– Voldemar sitter ikke på første rad (og tilhører dessuten ikke mengden eller =)).

I abstrakt og lite algebra er elementene i et sett angitt med små latinske bokstaver og følgelig er faktumet om eierskap trukket opp i følgende stil:

– elementet tilhører settet.

Settene ovenfor er skrevet direkte overføring elementer, men dette er ikke den eneste måten. Det er praktisk å definere mange sett ved å bruke noen skilt (s), som er iboende alle dens elementer. For eksempel:

– settet med alle naturlige tall mindre enn hundre.

Huske: en lang vertikal pinne uttrykker ordspråket "som", "slik det". Ganske ofte brukes et kolon i stedet: - la oss lese oppføringen mer formelt: "settet med elementer som tilhører settet med naturlige tall, slik at » . Bra gjort!

Dette settet kan også skrives ved direkte oppregning:

Flere eksempler:
– og hvis det er ganske mange elever på 1. rad, er en slik oppføring mye mer praktisk enn å liste dem direkte.

– et sett med tall som tilhører segmentet. Vær oppmerksom på at dette betyr flere gyldig tall (mer om dem senere), som ikke lenger er mulig å liste atskilt med komma.

Det skal bemerkes at elementene i et sett ikke trenger å være "homogene" eller logisk sammenkoblet. Ta en stor pose og begynn å legge ulike gjenstander tilfeldig inn i den. Det er ikke noe mønster i dette, men vi snakker likevel om en rekke emner. Figurativt sett er et sett en egen "pakke" der, "ved skjebnens vilje", en viss samling gjenstander havnet.

Delmengder

Nesten alt er klart fra selve navnet: et sett er delmengde sett hvis hvert element i settet tilhører settet. Med andre ord, settet er inneholdt i settet:

Et ikon kalles et ikon inkludering.

La oss gå tilbake til eksemplet, der dette er et sett med bokstaver i det russiske alfabetet. La oss betegne med - settet med vokalene. Deretter:

Du kan også velge en delmengde av konsonantbokstaver og generelt sett en vilkårlig delmengde som består av et hvilket som helst antall tilfeldig (eller ikke-tilfeldig) tatt kyrilliske bokstaver. Spesielt er enhver kyrillisk bokstav en undergruppe av settet.

Det er praktisk å skildre relasjonene mellom delmengder ved å bruke et konvensjonelt geometrisk diagram kalt Euler sirkler.

La være settet med studenter i 1. rad, være settet med studenter i gruppen, og være settet med universitetsstudenter. Deretter kan inklusjonsrelasjonen avbildes som følger:

Settet med studenter fra et annet universitet bør avbildes som en sirkel som ikke skjærer den ytre sirkelen; mange studenter i landet - en sirkel som inneholder begge disse kretsene osv.

Vi ser et typisk eksempel på inkluderinger når vi vurderer numeriske sett. La oss gjenta skolemateriell som er viktig å huske på når du studerer høyere matematikk:

Tallsett

Som du vet, historisk sett var de første som dukket opp naturlige tall beregnet på å telle materielle gjenstander (mennesker, høner, sauer, mynter, etc.). Dette settet har allerede blitt møtt i artikkelen, det eneste er at vi nå endrer betegnelsen litt. Faktum er at numeriske sett vanligvis er merket med fete, stiliserte eller tykke bokstaver. Jeg foretrekker å bruke fet skrift:

Noen ganger er null inkludert i settet med naturlige tall.

Hvis vi legger til de samme tallene med motsatt fortegn og null til settet, får vi sett med heltall:

Innovatører og late mennesker skriver ned elementene med ikoner "pluss minus":))

Det er helt klart at settet med naturlige tall er en delmengde av settet med heltall:
– siden hvert element i settet tilhører settet. Dermed kan ethvert naturlig tall trygt kalles et heltall.

Navnet på settet er også "talende": hele tall - det betyr ingen brøker.

Og siden de er heltall, la oss umiddelbart huske de viktige tegnene på deres delbarhet med 2, 3, 4, 5 og 10, som vil være nødvendig i praktiske beregninger nesten hver dag:

Et heltall er delelig med 2 uten en rest, hvis det ender på 0, 2, 4, 6 eller 8 (dvs. et partall). For eksempel tall:
400, -1502, -24, 66996, 818 – delelig med 2 uten en rest.

Og la oss umiddelbart se på det "relaterte" tegnet: et heltall er delelig med 4, hvis et tall består av de to siste sifrene (i den rekkefølgen de vises) delelig med 4.

400 – delelig med 4 (siden 00 (null) er delelig med 4);
-1502 – ikke delelig med 4 (siden 02 (to) ikke er delelig med 4);
-24 er selvfølgelig delelig med 4;
66996 – delelig med 4 (siden 96 er delelig med 4);
818 – ikke delelig med 4 (siden 18 ikke er delelig med 4).

Utfør en enkel begrunnelse av dette faktum selv.

Delbarhet med 3 er litt vanskeligere: et heltall er delelig med 3 uten en rest hvis summen av sifrene som er inkludert i den delelig med 3.

La oss sjekke om tallet 27901 er delelig med 3. For å gjøre dette, summerer du sifrene:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – ikke delelig med 3
Konklusjon: 27901 er ikke delelig med 3.

La oss summere sifrene til -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – delelig med 3
Konklusjon: tallet -825432 er delelig med 3

Heltall delelig med 5, hvis det ender med en femmer eller en null:
775, -2390 – delelig med 5

Heltall delelig med 10 hvis det ender på null:
798400 – delelig med 10 (og tydeligvis med 100). Vel, alle husker sikkert at for å dele på 10, trenger du bare å fjerne en null: 79840

Det er også tegn på delbarhet med 6, 8, 9, 11 osv., men det er praktisk talt ingen praktisk bruk av dem =)

Det skal bemerkes at de oppførte skiltene (tilsynelatende så enkle) er strengt bevist i tallteori. Denne delen av algebra er generelt ganske interessant, men teoremene... er akkurat som en moderne kinesisk utførelse =) Og det var nok for Voldemar ved siste pult... men det er greit, snart skal vi gjøre livgivende fysisk øvelser =)

Det neste numeriske settet er sett med rasjonelle tall:
– det vil si at ethvert rasjonelt tall kan representeres som en brøk med et heltall teller og naturlig nevner.

Åpenbart er settet med heltall delmengde sett med rasjonelle tall:

Og faktisk kan ethvert heltall representeres som en rasjonell brøk, for eksempel: etc. Dermed kan et heltall ganske legitimt kalles et rasjonelt tall.

Et karakteristisk «identifiserende» trekk ved et rasjonelt tall er det faktum at når man deler telleren med nevneren, blir resultatet enten
– heltall,

eller
– endelig desimal,

eller
- endeløs periodisk desimal (replaying starter kanskje ikke umiddelbart).

Nyt divisjon og prøv å gjøre denne handlingen så lite som mulig! I organisasjonsartikkelen Høyere matematikk for dummies og i andre leksjoner har jeg gjentatte ganger gjentatt, gjentatt og vil gjenta dette mantraet:

I høyere matematikk streber vi etter å utføre alle operasjoner i vanlige (ekte og uekte) brøker

Enig i at det er mye mer praktisk å håndtere en brøk enn med desimaltallet 0,375 (for ikke å nevne uendelige brøker).

La oss gå videre. I tillegg til rasjonelle tall, er det mange irrasjonelle tall, som hver kan representeres som en uendelig IKKE-PERIODISK desimalbrøk. Med andre ord, det er ikke noe mønster i de "uendelige halene" av irrasjonelle tall:
("fødselsåret til Leo Tolstoy" to ganger)
etc.

Det er mye informasjon om de berømte konstantene "pi" og "e", så jeg vil ikke dvele ved dem.

Kombinasjonen av rasjonelle og irrasjonelle tall dannes sett med reelle tall:

- ikon foreninger settene.

Den geometriske tolkningen av et sett er kjent for deg - dette er talllinjen:


Hvert reelt tall tilsvarer et bestemt punkt på tallinjen, og omvendt - hvert punkt på tallinjen tilsvarer nødvendigvis et bestemt reelt tall. I hovedsak har jeg nå formulert kontinuitetseiendom reelle tall, som, selv om det virker åpenbart, er strengt bevist i løpet av matematisk analyse.

Talllinjen er også betegnet med et uendelig intervall, og notasjonen eller tilsvarende notasjon symboliserer det faktum at den tilhører settet av reelle tall (eller ganske enkelt "x" er et reelt tall).

Med embeddings er alt gjennomsiktig: settet med rasjonelle tall er delmengde sett med reelle tall:
, dermed kan ethvert rasjonelt tall trygt kalles et reelt tall.

Mange irrasjonelle tall er det også delmengde reelle tall:

Samtidig er delsett og ikke krysse hverandre- det vil si at ikke et eneste irrasjonelt tall kan representeres som en rasjonell brøk.

Finnes det andre tallsystemer? Eksistere! Dette er f.eks. komplekse tall, som jeg anbefaler å bli kjent med bokstavelig talt i løpet av de kommende dagene eller timene.

Vel, for nå går vi videre til studiet av operasjoner på sett, hvis ånd allerede har materialisert seg på slutten av denne delen:

Handlinger på sett. Venn diagrammer

Venn-diagrammer (lik Euler-sirkler) er skjematiske representasjoner av handlinger med sett. Igjen, jeg advarer deg om at jeg ikke vil vurdere alle operasjoner:

1) Kryss OG og er indikert med ikonet

Skjæringspunktet mellom sett er et sett, som hvert element tilhører Og mange, Og for mange. Grovt sett er kryss den vanlige delen av sett:

Så for eksempel for sett:

Hvis sett ikke har identiske elementer, er skjæringspunktet deres tomt. Vi kom nettopp over dette eksemplet når vi vurderte numeriske sett:

Settene med rasjonelle og irrasjonelle tall kan skjematisk representeres av to usammenhengende sirkler.

Kryssoperasjonen er også anvendelig for et større antall sett spesielt, Wikipedia har en god en et eksempel på skjæringspunktet mellom sett med bokstaver i tre alfabeter.

2) En forening sett er preget av en logisk forbindelse ELLER og er indikert med ikonet

En forening av sett er et sett, hvor hvert element tilhører settet eller for mange:

La oss skrive foreningen av sett:
– grovt sett må du her liste opp alle elementene i settene og , og de samme elementene (i dette tilfellet er enheten i skjæringspunktet mellom sett) bør spesifiseres én gang.

Men settene kan selvfølgelig ikke krysse hverandre, slik tilfellet er med rasjonelle og irrasjonelle tall:

I dette tilfellet kan du tegne to skyggelagte sirkler som ikke krysser hverandre.

Fagforeningsoperasjonen gjelder også for et større antall sett, for eksempel hvis , da:

I dette tilfellet trenger ikke tallene være ordnet i stigende rekkefølge. (Jeg gjorde dette av estetiske grunner). Uten videre kan resultatet skrives slik:

3) Ved forskjell Og tilhører ikke settet:

Forskjellen leses som følger: "a uten være." Og du kan resonnere på nøyaktig samme måte: vurder settene . For å skrive ned forskjellen, må du "kaste" fra settet alle elementene som er i settet:

Eksempel med tallsett:
– her er alle naturlige tall ekskludert fra settet med heltall, og selve oppføringen lyder slik: "et sett med heltall uten et sett med naturlige tall."

Speilvendt: forskjell sett og kalles et sett, hvor hvert element tilhører settet Og tilhører ikke settet:

For de samme settene
– det som er i settet «kastes ut» fra settet.

Men denne forskjellen viser seg å være tom: . Og faktisk, hvis du ekskluderer heltall fra settet med naturlige tall, vil det faktisk ikke være noe igjen :)

I tillegg vurderes det noen ganger symmetrisk forskjell, som forener begge "halvmåner":
– med andre ord, dette er "alt unntatt skjæringspunktet mellom sett."

4) Kartesisk (direkte) produkt setter og kalles et sett alle bestilt par i hvilket element og element

La oss skrive ned det kartesiske produktet av sett:
– det er praktisk å telle opp par ved å bruke følgende algoritme: "først fester vi hvert element i settet sekvensielt til det første elementet i settet, så fester vi hvert element i settet til det andre elementet i settet, så fester vi hvert element i settet til det tredje elementet i settet":

Speilvendt: Kartesisk produkt sett og settet av alle kalles bestilt par i hvilke I vårt eksempel:
– her er opptaksskjemaet likt: først legger vi sekvensielt til alle elementene i settet til "minus en", så til "de" legger vi til de samme elementene:

Men dette er kun for enkelhets skyld - i begge tilfeller kan parene listes opp i hvilken som helst rekkefølge - det er viktig å skrive ned her Alle mulige par.

Og nå høydepunktet i programmet: det kartesiske produktet er ikke noe annet enn poengsettet til vår innfødte Kartesisk koordinatsystem .

Trening for selvfiksering av materiale:

Utfør operasjoner hvis:

En haug med Det er praktisk å beskrive det ved å liste opp elementene.

Og en liten ting med intervaller av reelle tall:

La meg minne deg på at den firkantede parentesen betyr inkludering tall inn i intervallet, og den runde - dens ikke-inkludering, det vil si at "minus én" tilhører settet, og "tre" Ikke tilhører settet. Prøv å finne ut hva det kartesiske produktet til disse settene er. Hvis du har problemer, følg tegningen ;)

En kort løsning på problemet på slutten av leksjonen.

Viser sett

Vise mange til mange er regel, ifølge hvilken hvert element i settet er assosiert med et element (eller elementer) i settet. I tilfelle korrespondansen foretas den eneste element, så kalles denne regelen klart definert funksjon eller bare funksjon.

En funksjon, som mange vet, er oftest betegnet med en bokstav - den legger inn korrespondanse til hver element har en enkelt verdi som tilhører settet.

Vel, nå vil jeg igjen forstyrre mange studenter på 1. rad og tilby dem 6 emner for essays (mange):

Installert (frivillig eller tvunget =)) Regelen tildeler hver student i settet et enkelt emne i settets essay.

...og du kunne sannsynligvis ikke engang forestille deg at du ville spille rollen som et funksjonsargument =) =)

Elementene i settformen domene funksjoner (betegnet med ), og elementene i settet er område funksjoner (betegnet med ).

Den konstruerte kartleggingen av sett har en veldig viktig egenskap: det er den en-til-en eller bijektiv(bijeksjon). I dette eksemplet betyr dette det til hver eleven er matchet en unik emnet for essayet, og tilbake - for hver Emnet for essayet er tildelt én og kun én student.

Man bør imidlertid ikke tro at enhver kartlegging er bijektiv. Hvis du legger til en 7. elev på 1. rad (i settet), så forsvinner en-til-en-korrespondansen - eller en av elevene blir stående uten et emne (det blir ingen visning i det hele tatt), eller et emne vil gå til to studenter samtidig. Den motsatte situasjonen: hvis et syvende emne legges til settet, vil en-til-en-kartleggingen også gå tapt - ett av emnene forblir ikke gjort krav på.

Kjære studenter på 1. rad, ikke bli lei seg - de resterende 20 personene etter timene vil gå for å rense universitetets territorium fra høstens løvverk. Vaktmesteren vil gi ut tjue goliker, hvoretter det etableres en-til-en korrespondanse mellom hoveddelen av gruppen og kostene..., og Voldemar får også tid til å løpe til butikken =)). definisjonsområde tilsvarer hans eget unik"y", og omvendt - for enhver verdi av "y" kan vi entydig gjenopprette "x". Så det er en bijektiv funksjon.

! I tilfelle vil jeg eliminere enhver mulig misforståelse: min konstante reservasjon om definisjonsområdet er ikke tilfeldig! En funksjon er kanskje ikke definert for alle "X"-er, og dessuten kan den være en-til-en i dette tilfellet også. Typisk eksempel:

Men for den kvadratiske funksjonen er ingenting lignende observert, for det første:
– det vil si at forskjellige verdier av "x" ble vist i samme betydningen av "yay"; og for det andre: hvis noen beregnet verdien av funksjonen og fortalte oss at , så er det ikke klart om denne "y" ble oppnådd ved eller ved ? Det er unødvendig å si at det ikke engang er et snev av gjensidig entydighet her.

Oppgave 2: visning grafer over grunnleggende elementære funksjoner og skriv ned de bijektive funksjonene på et stykke papir. Sjekkliste på slutten av denne leksjonen.

Settets kraft

Intuisjon antyder at begrepet karakteriserer størrelsen på et sett, nemlig antall elementer. Og vår intuisjon bedrar oss ikke!

Kardinaliteten til et tomt sett er null.

Kardinaliteten til settet er seks.

Kraften til settet med bokstaver i det russiske alfabetet er trettitre.

Og generelt - kraften til noen endelig av et sett er lik antall elementer i et gitt sett.

...kanskje ikke alle helt forstår hva det er endelig sett – hvis du begynner å telle elementene i dette settet, vil tellingen avsluttes før eller siden. Som de sier, vil kineserne til slutt gå tom.

Selvfølgelig kan sett sammenlignes med tanke på kardinalitet og deres likhet i denne forstand kalles lik makt. Ekvivalens bestemmes som følger:

To sett har lik kardinalitet hvis det kan etableres en-til-en-korrespondanse mellom dem.

Settet med studenter tilsvarer settet med essay-emner, settet med bokstaver i det russiske alfabetet tilsvarer ethvert sett med 33 elementer, etc. Legg merke til nøyaktig hva hvem som helst sett med 33 elementer - i dette tilfellet er det bare antallet som betyr noe. Bokstavene i det russiske alfabetet kan sammenlignes ikke bare med mange tall
1, 2, 3, …, 32, 33, men vanligvis med en besetning på 33 kyr.

Situasjonen med uendelige sett er mye mer interessant. Uendeligheter er også forskjellige! ...grønn og rød De minste uendelige settene er teller mengder. Ganske enkelt kan elementene i et slikt sett nummereres. Referanseeksemplet er et sett med naturlige tall . Ja - det er uendelig, men hvert av dens elementer, i PRINSIPP, har et tall.

Det er mange eksempler. Spesielt er settet med alle partall naturlige tall tellbart. Hvordan bevise dette? Du må etablere en-til-en korrespondanse med settet med naturlige tall eller ganske enkelt nummerere elementene:

En en-til-en korrespondanse er etablert, derfor er settene like og settet kan telles. Paradoksalt nok, fra maktsynspunkt, er det like mange jevne naturlige tall som det er naturlige tall!

Settet med heltall kan også telles. Elementene kan nummereres, for eksempel slik:

Dessuten kan settet med rasjonelle tall også telles . Siden telleren er et heltall (og de, som nettopp vist, kan nummereres), og nevneren er et naturlig tall, så vil vi før eller siden "komme" til en hvilken som helst rasjonell brøk og tildele den et tall.

Men settet med reelle tall er allerede utellelig, dvs. dens elementer kan ikke nummereres. Dette faktum, selv om det er åpenbart, er strengt bevist i settteori. Kardinaliteten til settet med reelle tall kalles også kontinuum, og sammenlignet med tellbare sett er dette et "mer uendelig" sett.

Siden det er en-til-en-korrespondanse mellom settet og talllinjen (se ovenfor), så er settet med punkter på tallinjen også utellelig. Og dessuten er det samme antall punkter på både kilometer- og millimetersegmentet! Klassisk eksempel:


Ved å rotere strålen mot klokken til den er på linje med strålen, vil vi etablere en en-til-en korrespondanse mellom punktene til de blå segmentene. Dermed er det like mange punkter på segmentet som det er på segmentet og !

Dette paradokset er tilsynelatende forbundet med uendelighetens gåte... men nå skal vi ikke bry oss med universets problemer, for neste trinn er

Oppgave 2 En-til-en-funksjoner i leksjonsillustrasjoner

2. På hvor mange måter kan treneren bestemme hvem av de 12 utøverne som er klare til å delta på 4x100 m stafett som skal løpe i første, andre, tredje og fjerde etappe?

3. I et sirkulært diagram er sirkelen delt inn i 5 sektorer. Sektorene er malt med forskjellige farger hentet fra et sett som inneholder 10 farger. på hvor mange måter kan dette gjøres?

4. finn verdien av uttrykket

c)(7!*5!)/(8!*4!)

TIL ALLE SOM BESTEMTE, takk)))

nr. 1. 1. Gi begrepet et komplekst tall. Nevn tre former for å representere komplekse tall (1 poeng).

2. Gitt komplekse tall: z1=-4i og z2=-5+i. Angi representasjonsformen deres, finn de reelle og imaginære delene av de angitte tallene (1 poeng).
3. Finn summen, differansen og produktet deres (1 poeng).
4. Skriv ned tallene som er komplekse konjugater av dataene (1 poeng).
nr. 2. 1. Hvordan er et komplekst tall representert på det komplekse planet (1 punkt)?
2. Gitt et komplekst tall. Tegn det på det komplekse planet. (1 poeng).
3. Skriv ned formelen for beregning av modulen til et komplekst tall og beregn (2 poeng).
nr. 3. 1. Definer en matrise, navngi typene matriser (1 poeng).
2. Nevn lineære operasjoner på matriser (1 poeng).
3. Finn en lineær kombinasjon av to matriser hvis, (2 poeng).
nr. 4. 1. Hva er determinanten for en kvadratisk matrise? Skriv ned formelen for beregning av 2. ordens determinant (1 poeng).
2. Regn ut andreordens determinanten: (1 poeng).
3. Formulere en egenskap som kan brukes til å beregne 2. ordens determinant (1 poeng)
4. Regn ut determinanten ved å bruke dens egenskaper (1 poeng).
nr. 5. 1. I hvilke tilfeller er determinanten til en kvadratisk matrise lik null (1 poeng)?
2. Formuler Sarrus’ regel (tegn et diagram) (1 poeng).
3. Beregn 3. ordens determinant (ved hvilken som helst av metodene) (2 poeng).
nr. 6. 1. Hvilken matrise kalles inversen til en gitt matrise (1 poeng)?
2. For hvilken matrise kan inversen konstrueres? Bestem om det er en invers av matrisen (2 poeng).
3. Skriv ned formelen for å beregne elementene i den inverse matrisen (1 poeng).
nr. 7. 1. Definer rangeringen av en matrise. Nevn metodene for å finne rangeringen til en matrise. Hva er rangeringen av matrisen (2 poeng).
2. Bestem mellom hvilke verdier rangeringen av matrise A ligger: A= . Regn ut noe moll av 2. orden (2 poeng).
nr. 8. 1. Gi et eksempel på et system med lineære algebraiske ligninger (1 poeng).
2. Hva kalles en løsning på et system? (1 poeng).
3. Hvilket system kalles felles (inkompatibel), bestemt (ubestemt)? Formuler et kriterium for systemkompatibilitet (1 poeng).
4. Den utvidede matrisen til systemet er gitt. Skriv ned systemet som tilsvarer denne matrisen. Ved å bruke Kronecker-Capelli-kriteriet, trekk en konklusjon om kompatibiliteten eller inkompatibiliteten til dette systemet. (1 poeng).
nr. 9. 1. Skriv et system med lineære algebraiske ligninger i matriseform. Skriv ned en formel for å finne ukjente ved å bruke den inverse matrisen. (1 poeng).
2. I hvilket tilfelle kan et system med lineære algebraiske ligninger løses ved hjelp av matrisemetoden? (1 poeng).
3. Skriv systemet på matriseform og avgjør om det kan løses ved hjelp av den inverse matrisen? Hvor mange løsninger har dette systemet? (2 poeng).
nr. 10. 1. Hvilket system kalles kvadrat? (1 poeng).
2. Angi Cramers teorem og skriv Cramers formler. (1 poeng).
3. Bruk Cramers formler, løs systemet (2 poeng).

hjelp meg vær så snill! så mye som du kan! akutt behov!

1. Det som kalles et kvadratisk trinomium
2. Hva er en diskriminant
3Hvilken ligning kalles en andregradsligning?
4. Hvilke ligninger kalles ekvivalenter?
5. Hvilken ligning kalles en ufullstendig andregradsligning?
6. Hvor mange røtter kan en ufullstendig andregradsligning ha?
7. Hvor mange røtter har en kvadratisk ligning hvis diskriminanten:
a) positiv; b) lik null; c) negativ?
8. Hvilken formel kan brukes for å finne røttene til en kvadratisk ligning hvis diskriminanten er ikke-negativ?
9. Hvilken ligning kalles en redusert andregradsligning?
10. Hvilken formel kan brukes for å finne røttene til det reduserte kvadratet
ligning hvis diskriminanten er ikke-negativ?
11. Formuler:
a) Vietas teorem; b) teoremet konverterer til Vietas teorem.
12. Hvilken ligning kalles rasjonell med ukjent x? Hva er roten til en ligning med ukjent x? Hva vil det si å løse en ligning? Hvilke ligninger kalles ekvivalenter?
13. Hvilken ligning kalles en biquadratisk ligning? Hvordan løser du en biquadratisk ligning? Hvor mange røtter kan en biquadratisk ligning ha?
mening?
14. Gi et eksempel på en splittende ligning og forklar hvordan den løses. Hva betyr "en ligning deler seg i to ligninger"
15. Hvordan kan du løse en ligning, hvor en del er null,
og den andre er en algebraisk brøk?
16. Hva er regelen for å løse rasjonelle ligninger? Hva
hva kan skje hvis du avviker fra denne regelen?

Ved å bruke et enkelt eksempel, la oss huske hva som kalles en delmengde, hvilke delmengder det er (riktig og upassende), formelen for å finne antallet av alle delmengder, samt en kalkulator som gir settet med alle delmengder.

Eksempel 1. Gitt et sett A = (a, c, p, o). Skriv ned alle delmengder
av dette settet.
Løsning:

Egne delsett:(a) , (c), (p) , (o) , (a, c) , (a, p), (a, o), (c, p) , (c, o ) ∈, (p, o), (a, c, p), (a, c, o), (c, p, o).

Ikke eier:(a, c, p, o), Ø.

Total: 16 delsett.

Forklaring. Et sett A er en delmengde av B hvis hvert element av A også er inneholdt i B.

Det tomme settet ∅ er en delmengde av ethvert sett og kalles upassende;
. ethvert sett er en delmengde av seg selv, også kalt upassende;
. Ethvert n-elementsett har nøyaktig 2 n delmengder.

Den siste uttalelsen er formel for å finne antallet av alle delmengder uten å liste opp hver enkelt.

Utledning av formelen: La oss si at vi har et sett med n-elementer. Når du komponerer delmengder, kan det første elementet tilhøre delmengden eller ikke, dvs. vi kan velge det første elementet på to måter, på samme måte for alle andre elementer (totalt n-elementer), vi kan velge hvert på to måter, og i henhold til multiplikasjonsregelen får vi: 2∙2∙2∙ ...∙2 =2 n

For matematikere vil vi formulere et teorem og gi et strengt bevis.

Teorem. Antall delmengder av en endelig mengde bestående av n elementer er 2 n.

Bevis. Et sett bestående av ett element a har to (dvs. 2 1) delmengder: ∅ og (a). Et sett bestående av to elementer a og b har fire (dvs. 2 2) delmengder: ∅, (a), (b), (a; b).
Et sett bestående av tre elementer a, b, c har åtte (dvs. 2 3) delmengder:
∅, (a), (b), (b; a), (c), (c; a), (c; b), (c; b; a).
Det kan antas at det å legge til et nytt element dobler antall delmengder.
La oss fullføre beviset ved å bruke metoden for matematisk induksjon. Essensen av denne metoden er at hvis et utsagn (egenskap) er sant for et opprinnelig naturlig tall n 0, og hvis, ut fra antakelsen om at det er sant for et vilkårlig naturlig tall n = k ≥ n 0, kan man bevise dets gyldighet for tallet k + 1, så er denne egenskapen sann for alle naturlige tall.

1. For n = 1 (induksjonsbase) (og selv for n = 2, 3) er teoremet bevist.

2. La oss anta at teoremet er bevist for n = k, dvs. antall delmengder av et sett bestående av k elementer er 2k.

3. La oss bevise at antall delmengder av mengden B som består av n = k + 1 elementer er lik 2 k+1.
Vi velger et element b i mengden B. Tenk på mengden A = B \ (b). Den inneholder k elementer. Alle delmengder av sett A er delmengder av sett B som ikke inneholder element b, og ved antagelse er det 2 k av dem. Det er samme antall undersett av settet B som inneholder element b, dvs. 2k
tingene.

Derfor er alle delmengder av sett B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 stykker.
Teoremet er bevist.

I eksempel 1, settet A = (a, c, p, o) består av fire elementer, n=4, derfor er antallet av alle delmengder 2 4 =16.

Hvis du trenger å skrive ned alle delmengdene, eller skrive et program for å skrive settet med alle delmengder, så er det en algoritme for å løse det: representer de mulige kombinasjonene i form av binære tall. La oss forklare med et eksempel.

Eksempel 2. Det er et sett (a b c), følgende tall blir satt i korrespondanse:
000 = (0) (tomt sett)
001 = (c)
010 = (b)
011 = (b c)
100 = (a)
101 = (a c)
110 = (a b)
111 = (a b c)

Sett med kalkulator for alle delmengder.

Kalkulatoren inneholder allerede elementene i settet A = (a, c, p, o), klikk bare på Send-knappen. Hvis du trenger en løsning på problemet ditt, skriv inn elementene i settet på latin, atskilt med kommaer, som vist i eksemplet.

Matematisk analyse er grenen av matematikk som omhandler studiet av funksjoner basert på ideen om en infinitesimal funksjon.

De grunnleggende begrepene for matematisk analyse er mengde, sett, funksjon, infinitesimal funksjon, grense, derivert, integral.

Størrelse Alt som kan måles og uttrykkes med tall kalles.

Mange er en samling av noen elementer forent av et fellestrekk. Elementer i et sett kan være tall, figurer, objekter, begreper osv.

Sett er merket med store bokstaver, og elementer i settet er merket med små bokstaver. Elementer av sett er innelukket i krøllete seler.

Hvis element x tilhører mange X, så skriv x∈X (∈ - tilhører).
Hvis sett A er en del av sett B, så skriv A ⊂ B (⊂ - inneholdt).

Et sett kan defineres på en av to måter: ved oppregning og ved å bruke en definerende egenskap.

For eksempel er følgende sett spesifisert ved oppregning:

• A=(1,2,3,5,7) - sett med tall
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) — sett med noen elementer x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — sett med naturlige tall
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — sett med heltall

Settet (-∞;+∞) kalles nummer linje, og et hvilket som helst tall er et punkt på denne linjen. La a være et vilkårlig punkt på tallinjen og δ være et positivt tall. Intervallet (a-δ; a+δ) kalles δ-nabolaget til punkt a.

Et sett X er avgrenset ovenfra (nedenfra) hvis det er et tall c slik at for enhver x ∈ X gjelder ulikheten x≤с (x≥c). Tallet c kalles i dette tilfellet øvre (nedre) kant sett X. En mengde avgrenset både over og under kalles begrenset. Den minste (største) av de øvre (nedre) flatene i et sett kalles eksakt topp (nedre) kant av denne mengden.

Grunnleggende tallsett

N	(1,2,3,...,n) Sett med alle
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Sett heltall. Settet med heltall inkluderer settet med naturlige tall.
Q	En haug med rasjonelle tall. I tillegg til hele tall er det også brøker. En brøk er et uttrykk for formen hvor s- heltall, q- naturlig. Desimalbrøker kan også skrives som . For eksempel: 0,25 = 25/100 = 1/4. Heltall kan også skrives som . For eksempel i form av en brøk med nevneren "en": 2 = 2/1. Dermed kan ethvert rasjonelt tall skrives som en desimalbrøk - endelig eller uendelig periodisk.
R	Mye av alle reelle tall. Irrasjonelle tall er uendelige ikke-periodiske brøker. Disse inkluderer: Sammen danner to sett (rasjonelle og irrasjonelle tall) settet med reelle (eller reelle) tall.

Hvis et sett ikke inneholder et enkelt element, kalles det tomt sett og er registrert Ø .

Elementer av logisk symbolikk

Notasjon ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Kvantifier

Kvantifiserere brukes ofte når du skriver matematiske uttrykk.

Kvantifier kalles et logisk symbol som karakteriserer elementene som følger det i kvantitative termer.

• ∀- generell kvantifiserer, brukes i stedet for ordene "for alle", "for alle".
• ∃- eksistens kvantifiserer, brukes i stedet for ordene "eksisterer", "er tilgjengelig". Symbolkombinasjonen ∃ brukes også, som leses som om det bare er en.

Angi operasjoner

To sett A og B er like(A=B) hvis de består av de samme elementene.
For eksempel, hvis A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) så A=B.

Etter fagforening (sum) sett A og B er en mengde A ∪ B hvis elementer tilhører minst en av disse mengdene.
For eksempel, hvis A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), så A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Ved veikryss (produkt) settene A og B kalles en mengde A ∩ B, hvis elementer tilhører både mengden A og mengden B.
For eksempel, hvis A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), så A ∩ B = (2,4)

Ved forskjell Settene A og B kalles mengden AB, hvis elementer tilhører mengden A, men ikke tilhører mengden B.
For eksempel, hvis A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), så AB = (1,2)

Symmetrisk forskjell settene A og B kalles mengden A Δ B, som er foreningen av forskjellene i mengdene AB og BA, det vil si A Δ B = (AB) ∪ (BA).
For eksempel, hvis A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), så A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Egenskaper for settoperasjoner

Forandringsegenskaper

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Matchende eiendom

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Tellige og utellelige sett

For å sammenligne hvilke som helst to sett A og B, etableres en samsvar mellom elementene deres.

Hvis denne korrespondansen er en-til-en, kalles settene ekvivalente eller like kraftige, A B eller B A.

Eksempel 1

Settet med punkter på benet BC og hypotenusen AC til trekanten ABC er like store.

Husk at "sett" er et udefinert begrep i matematikk. Georg Cantor (1845 – 1918), en tysk matematiker hvis arbeid ligger til grunn for moderne settteori, sa at "et sett er mange ting tenkt som ett."

Sett er vanligvis betegnet med store latinske bokstaver, elementer av settet - med små bokstaver. Ordene "hører til" og "tilhører ikke" er indikert med symbolene:
Og
:
– element tilhører mange ,
– element tilhører ikke settet .

Elementene i settet kan være alle objekter - tall, vektorer, punkter, matriser, etc. Spesielt kan elementene i et sett være sett.

For numeriske sett er følgende notasjoner generelt akseptert:

– settet med naturlige tall (positive heltall);

– et utvidet sett med naturlige tall (tallet null legges til de naturlige tallene);

– settet med alle heltall, som inkluderer positive og negative heltall, samt null.

– settet med rasjonelle tall. Et rasjonelt tall er et tall som kan skrives som en brøk
- hele tall). Siden ethvert helt tall kan skrives som en brøk, (f.eks.
), og ikke på en unik måte, alle heltall er rasjonelle.

– settet med reelle tall, som inkluderer alle rasjonelle tall, så vel som irrasjonelle tall. (For eksempel er tall irrasjonelle).

Hver gren av matematikk bruker sine egne sett. Når vi begynner å løse et problem, bestemmer vi først settet med objekter som vil bli vurdert i det. For eksempel, i problemer med matematisk analyse, studeres alle slags tall, deres sekvenser, funksjoner, etc.. Settet som inkluderer alle objektene som vurderes i oppgaven kalles universalsett (for denne oppgaven).

Det universelle settet er vanligvis betegnet med bokstaven . Det universelle settet er et maksimalt sett i den forstand at alle objekter er dets elementer, dvs. utsagnet
innenfor oppgaven er alltid sant. Det minimale settet er tomt sett – , som ikke inneholder noen elementer.

Sett sett - dette betyr å indikere en metode som tillater i forhold til ethvert element universalsett helt sikkert installere, tilhører mange eller ikke hører hjemme. Det er med andre ord en regel å bestemme hvilken av to påstander
eller
, som er sant og som er usant.

Sett kan defineres på forskjellige måter. La oss se på noen av dem.

1. Liste over settelementer. På denne måten kan du definere endelige eller tellbare sett. En mengde er endelig eller tellbar hvis elementene kan nummereres, for eksempel en 1 ,en 2 ,… osv. Hvis det er et element med det høyeste tallet, så er mengden endelig, men hvis alle naturlige tall brukes som tall, så er mengden en uendelig tellbar mengde.

1). – et sett som inneholder 6 elementer (endelig sett).

2). er et uendelig tellbart sett.

3). - et sett som inneholder 5 elementer, hvorav to er
Og
, er seg selv sett.

2. Karakteristisk egenskap. En karakteristisk egenskap til et sett er en egenskap som hvert element i settet har, men som ingen objekter som ikke tilhører settet har.

1). - et sett med likesidede trekanter.

2). – settet med reelle tall større enn eller lik null og mindre enn én.

3).
– settet av alle irreduserbare brøker hvis teller er én mindre enn nevneren.

3. Karakteristisk funksjon.

Definisjon 1.1. Karakteristisk funksjon av settet kall opp funksjonen
, definert på det universelle settet og tar verdien en på disse elementene i settet som hører til , og verdien er null på elementer som ikke hører hjemme :

,

Fra definisjonen av den karakteristiske funksjonen følger to åpenbare utsagn:

1.
,
;

2.
,
.

La oss se på det universelle settet som et eksempel =
og dets to undersett: – settet med tall mindre enn 7, og – et sett med partall. Karakteristiske funksjoner til sett Og ser ut som

,
.

La oss skrive ned de karakteristiske funksjonene Og til bordet:

( )

En praktisk illustrasjon av sett er Euler-Venn-diagrammer, der det universelle settet er avbildet som et rektangel, og dets delmengder som sirkler eller ellipser (fig. 1.1( a-c)).

Som man kan se av fig. 1.1.( EN), valg i det universelle settet U ett sett - mange EN, deler rektangelet i to usammenhengende områder der den karakteristiske funksjonen tar forskjellige verdier: =1 inne i ellipsen og =0 utenfor ellipsen. Legge til et annet sett - et sett B, (fig. 1.1 ( b)), deler igjen hvert av de eksisterende to områdene i to delområder. Dannet
usammenhengende

områder, som hver tilsvarer et visst par verdier av karakteristiske funksjoner ( ,). For eksempel tilsvarer par (01) området der =0,=1. Denne regionen inkluderer disse elementene i det universelle settet U, som ikke tilhører settet EN, men tilhører settet B.

Legge til et tredje sett - et sett C, (fig. 1.1 ( V)), deler igjen hvert av de eksisterende fire områdene i to underregioner. Dannet
ikke-overlappende områder. Hver av dem tilsvarer en viss trippel av verdier av karakteristiske funksjoner ( ,,). Disse trillingene kan betraktes som arealtall skrevet i binært. For eksempel nr. 101 2 =5 10, dvs. området der elementene i sett befinner seg EN Og C, men det er ingen elementer i settet B, – dette er område nr. 5. Dermed har hvert av de åtte områdene sitt eget binære tall, som bærer informasjon om hvorvidt elementene i dette området tilhører eller ikke. EN, B Og C.

Legge til en fjerde, femte osv. sett, får vi 2 4 , 2 5 ,…, 2 n områder, som hver har sitt eget veldefinerte binære tall, sammensatt av verdiene til de karakteristiske funksjonene til settene. Vi understreker at rekkefølgen av nuller og enere i alle tallene er ordnet i en bestemt, forhåndsavtalt rekkefølge. Bare under forutsetning av bestilling, gir det binære nummeret til området informasjon om medlemskap eller ikke-tilhørighet av elementene i dette området til hvert av settene.

Merk. Husk at en sekvens av n reelle tall i lineær algebra betraktes som en n-dimensjonal aritmetisk vektor med koordinater
. Det binære tallet til et område kan også kalles en binær vektor hvis koordinater tar verdier i settet
:. Antall distinkte n-dimensjonale binære vektorer er 2n.