Gaussisk metode med fire ukjente. Gaussisk metode for dummies: løser lett slough

Denne nettbaserte kalkulatoren finner løsningen på et system av lineære ligninger (SLE) ved hjelp av Gauss-metoden. En detaljert løsning er gitt. For å beregne, velg antall variabler og antall ligninger. Skriv deretter inn dataene i cellene og klikk på "Beregn"-knappen.

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

Tallrepresentasjon:

Heltall og/eller vanlige brøker
Heltall og/eller desimaler

Antall plasser etter desimalskilletegn

Advarsel

Vil du slette alle celler?

Lukk Slett

Instruksjoner for dataregistrering. Tall legges inn som heltall (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), desimaler (eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken må legges inn på formen a/b, hvor a og b (b>0) er heltall eller desimaler. Eksempler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 osv.

Gauss metode

Gauss-metoden er en metode for overgang fra det opprinnelige systemet med lineære ligninger (ved bruk av ekvivalente transformasjoner) til et system som er lettere å løse enn det opprinnelige systemet.

Ekvivalente transformasjoner av et system med lineære ligninger er:

bytte to ligninger i systemet,
multiplisere enhver ligning i systemet med et reelt tall som ikke er null,
legge til en ligning en annen ligning multiplisert med et vilkårlig tall.

Tenk på et system med lineære ligninger:

(1)

La oss skrive system (1) i matriseform:

Ax=b

(2)

(3)

EN- kalt koeffisientmatrisen til systemet, b- høyre side av restriksjonene, x− vektor av variabler som skal finnes. La rangere ( EN)=s.

Ekvivalente transformasjoner endrer ikke rangeringen av koeffisientmatrisen og rangeringen av den utvidede matrisen til systemet. Settet med løsninger til systemet endres heller ikke under ekvivalente transformasjoner. Essensen av Gauss-metoden er å redusere matrisen av koeffisienter EN til diagonal eller trinn.

La oss bygge en utvidet matrise av systemet:

På neste trinn tilbakestiller vi alle elementene i kolonne 2, under elementet. Hvis dette elementet er null, byttes denne raden med raden som ligger under denne raden og har et element som ikke er null i den andre kolonnen. Deretter tilbakestiller du alle elementene i kolonne 2 under det ledende elementet en 22. For å gjøre dette, legg til linje 3, ... m med streng 2 multiplisert med − en 32 /en 22 , ..., −en m2/ en 22, henholdsvis. Ved å fortsette prosedyren får vi en matrise av diagonal eller trinnvis form. La den resulterende utvidede matrisen ha formen:

(7)

Fordi rangA=rang(A|b), så er settet med løsninger (7) ( n−s)− variasjon. Derfor n−s de ukjente kan velges vilkårlig. De resterende ukjente fra system (7) beregnes som følger. Fra den siste ligningen uttrykker vi x p gjennom de resterende variablene og sett inn i de forrige uttrykkene. Deretter, fra den nest siste ligningen vi uttrykker x p−1 gjennom de resterende variablene og sett inn i de forrige uttrykkene osv. La oss se på Gauss-metoden ved å bruke spesifikke eksempler.

Eksempler på løsning av et system med lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden

Eksempel 1. Finn en generell løsning på et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden:

La oss betegne med en ij elementer Jeg-te linje og j kolonne.

en elleve. For å gjøre dette, legg til linjene 2,3 med linje 1, multiplisert med henholdsvis -2/3, -1/2:

Matriseopptakstype: Ax=b, Hvor

La oss betegne med en ij elementer Jeg-te linje og j kolonne.

La oss ekskludere elementene i den første kolonnen i matrisen under elementet en elleve. For å gjøre dette, legg til linjene 2,3 med linje 1, multiplisert med henholdsvis -1/5, -6/5:

Vi deler hver rad i matrisen med det tilsvarende ledende elementet (hvis det ledende elementet finnes):

Hvor x 3 , x

Ved å erstatte de øvre uttrykkene med de nedre får vi løsningen.

Deretter kan vektorløsningen representeres som følger:

Hvor x 3 , x 4 er vilkårlige reelle tall.

En av de enkleste måtene å løse et system med lineære ligninger på er en teknikk basert på beregning av determinanter ( Cramers regel). Fordelen er at den lar deg registrere løsningen umiddelbart, det er spesielt praktisk i tilfeller der koeffisientene til systemet ikke er tall, men noen parametere. Ulempen er at beregningene er tungvint i tilfellet med et stort antall ligninger. Cramers regel er dessuten ikke direkte anvendelig for systemer der antall ligninger ikke sammenfaller med antall ukjente. I slike tilfeller brukes det vanligvis Gaussisk metode.

Systemer av lineære ligninger som har samme sett med løsninger kalles tilsvarende. Åpenbart vil ikke settet med løsninger til et lineært system endres hvis noen ligninger byttes, eller hvis en av ligningene multipliseres med et tall som ikke er null, eller hvis en ligning legges til en annen.

Gauss metode (metode for sekvensiell eliminering av ukjente) er at ved hjelp av elementære transformasjoner reduseres systemet til et ekvivalent system av trinntype. Først, ved å bruke den første ligningen, eliminerer vi x 1 av alle påfølgende ligninger i systemet. Så, ved å bruke den andre ligningen, eliminerer vi x 2 fra den tredje og alle påfølgende ligninger. Denne prosessen, kalt direkte gaussisk metode, fortsetter til det bare er en ukjent igjen på venstre side av den siste ligningen x n. Etter dette er det gjort invers av Gauss-metoden– løse den siste ligningen, finner vi x n; etter det, ved å bruke denne verdien, fra den nest siste ligningen vi beregner x n–1 osv. Vi finner den siste x 1 fra den første ligningen.

Det er praktisk å utføre gaussiske transformasjoner ved å utføre transformasjoner ikke med selve ligningene, men med matrisene til koeffisientene deres. Tenk på matrisen:

kalt utvidet matrise av systemet, fordi det, i tillegg til hovedmatrisen til systemet, inkluderer en kolonne med frie termer. Gaussmetoden er basert på å redusere hovedmatrisen til systemet til en trekantet form (eller trapesform i tilfelle av ikke-kvadratiske systemer) ved å bruke elementære radtransformasjoner (!) av den utvidede matrisen til systemet.

Eksempel 5.1. Løs systemet ved å bruke Gauss-metoden:

Løsning. La oss skrive ut den utvidede matrisen til systemet, og ved å bruke den første raden vil vi tilbakestille de gjenværende elementene:

vi får nuller i 2., 3. og 4. rad i den første kolonnen:

Nå trenger vi at alle elementene i den andre kolonnen under den andre raden er lik null. For å gjøre dette kan du multiplisere den andre linjen med –4/7 og legge den til den tredje linjen. Men for ikke å håndtere brøker, la oss lage en enhet i den andre raden i den andre kolonnen og bare

Nå, for å få en trekantet matrise, må du tilbakestille elementet i den fjerde raden i den tredje kolonnen. For å gjøre dette, kan du multiplisere den tredje raden med 8/54 og legge den til den fjerde. For ikke å håndtere brøker, vil vi imidlertid bytte 3. og 4. rad og 3. og 4. kolonne, og først etter det vil vi tilbakestille det angitte elementet. Merk at når du omorganiserer kolonnene, bytter de tilsvarende variablene plass og dette må huskes; andre elementære transformasjoner med kolonner (addisjon og multiplikasjon med et tall) kan ikke utføres!

Den siste forenklede matrisen tilsvarer et ligningssystem som tilsvarer den opprinnelige:

Herfra, ved å bruke den inverse av Gauss-metoden, finner vi fra den fjerde ligningen x 3 = –1; fra den tredje x 4 = –2, fra den andre x 2 = 2 og fra den første ligningen x 1 = 1. På matriseform skrives svaret som

Vi vurderte saken når systemet er bestemt, dvs. når det bare er én løsning. La oss se hva som skjer hvis systemet er inkonsekvent eller usikkert.

Eksempel 5.2. Utforsk systemet ved å bruke Gauss-metoden:

Løsning. Vi skriver ut og transformerer den utvidede matrisen til systemet

Vi skriver et forenklet ligningssystem:

Her, i den siste ligningen, viser det seg at 0=4, dvs. motsigelse. Systemet har følgelig ingen løsning, dvs. hun uforenlig. à

Eksempel 5.3. Utforsk og løs systemet ved hjelp av Gauss-metoden:

Løsning. Vi skriver ut og transformerer den utvidede matrisen til systemet:

Som et resultat av transformasjonene inneholder den siste linjen bare nuller. Dette betyr at antall ligninger har gått ned med én:

Etter forenklinger er det altså to likninger igjen, og fire ukjente, dvs. to ukjente "ekstra". La dem være "overflødige", eller, som de sier, frie variabler, vil x 3 og x 4. Deretter

Troende x 3 = 2en Og x 4 = b, vi får x 2 = 1–en Og x 1 = 2b–en; eller i matriseform

En løsning skrevet på denne måten kalles generell, fordi, gir parametere en Og b forskjellige verdier, alle mulige løsninger av systemet kan beskrives. en

La systemet være gitt, ∆≠0. (1)
Gauss metode er en metode for sekvensiell eliminering av ukjente.

Essensen av Gauss-metoden er å transformere (1) til et system med en trekantet matrise, hvorfra verdiene til alle ukjente deretter hentes sekvensielt (omvendt). La oss vurdere et av beregningsskjemaene. Denne kretsen kalles en enkeltdelingskrets. Så la oss se på dette diagrammet. La en 11 ≠0 (ledende element) dele den første ligningen med en 11. Vi får
(2)
Ved å bruke ligning (2) er det enkelt å eliminere de ukjente x 1 fra de gjenværende ligningene i systemet (for å gjøre dette er det nok å trekke fra ligning (2) fra hver ligning, tidligere multiplisert med den tilsvarende koeffisienten for x 1) , det vil si i det første trinnet vi får
.
Med andre ord, i trinn 1, er hvert element i påfølgende rader, fra den andre, lik forskjellen mellom det opprinnelige elementet og produktet av dets "projeksjon" på den første kolonnen og den første (transformerte) raden.
Etter dette, og forlater den første ligningen alene, utfører vi en lignende transformasjon over de gjenværende ligningene i systemet oppnådd i det første trinnet: vi velger blant dem ligningen med det ledende elementet og ekskluderer med dens hjelp x 2 fra de resterende ligninger (trinn 2).
Etter n trinn, i stedet for (1), får vi et ekvivalent system
(3)
Dermed får vi i det første trinnet et trekantsystem (3). Dette stadiet kalles fremoverslag.
På det andre trinnet (omvendt) finner vi sekvensielt fra (3) verdiene x n, x n -1, ..., x 1.
La oss betegne den resulterende løsningen som x 0 . Da er forskjellen ε=b-A x 0 kalt rest.
Hvis ε=0, er den funnet løsningen x 0 riktig.

Beregninger ved hjelp av Gauss-metoden utføres i to trinn:

Det første trinnet kalles forovermetoden. I det første trinnet konverteres det opprinnelige systemet til en trekantet form.
Den andre fasen kalles omvendt slag. På det andre trinnet løses et trekantsystem tilsvarende det opprinnelige.

Koeffisientene a 11, a 22, ... kalles ledende elementer.
Ved hvert trinn ble det ledende elementet antatt å være fra null. Hvis dette ikke er tilfelle, kan et hvilket som helst annet element brukes som et ledende element, som om man omorganiserer likningene til systemet.

Formålet med Gauss-metoden

Gauss-metoden er designet for å løse systemer med lineære ligninger. Viser til direkte løsningsmetoder.

Typer av Gaussisk metode

Klassisk Gaussisk metode;
Modifikasjoner av Gauss-metoden. En av modifikasjonene av Gauss-metoden er et opplegg med valg av hovedelementet. Et trekk ved Gauss-metoden med valget av hovedelementet er en slik omorganisering av likningene slik at det ledende elementet i kth trinn viser seg å være det største elementet i kth kolonnen.
Jordano-Gauss-metoden;

Forskjellen mellom Jordano-Gauss-metoden og den klassiske Gauss metode består i å anvende rektangelregelen, når retningen for å søke etter en løsning skjer langs hoveddiagonalen (transformasjon til identitetsmatrisen). I Gauss-metoden skjer retningen for å søke etter en løsning langs søylene (transformasjon til et system med en trekantet matrise).
La oss illustrere forskjellen Jordano-Gauss-metoden fra Gaussmetoden med eksempler.

Eksempel på løsning ved bruk av Gauss-metoden
La oss løse systemet:

For å lette beregningen, la oss bytte linjene:

La oss gange den andre linjen med (2). Legg til den tredje linjen til den andre

Multipliser den andre linjen med (-1). Legg til den andre linjen til den første

Fra 1. linje uttrykker vi x 3:
Fra 2. linje uttrykker vi x 2:
Fra den tredje linjen uttrykker vi x 1:

Et eksempel på en løsning som bruker Jordano-Gauss-metoden
La oss løse den samme SLAE ved å bruke Jordano-Gauss-metoden.

Vi vil sekvensielt velge det løsende elementet RE, som ligger på hoveddiagonalen til matrisen.
Oppløsningselementet er lik (1).

NE = SE - (A*B)/RE
RE - løsende element (1), A og B - matriseelementer som danner et rektangel med elementene STE og RE.
La oss presentere beregningen av hvert element i form av en tabell:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Det løsende elementet er lik (3).
I stedet for det løsende elementet får vi 1, og i selve kolonnen skriver vi nuller.
Alle andre elementer i matrisen, inkludert elementer i kolonne B, bestemmes av rektangelregelen.
For å gjøre dette velger vi fire tall som er plassert i hjørnene av rektangelet og inkluderer alltid det løsende elementet RE.

x 1	x 2	x 3	B

0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Oppløsningselementet er (-4).
I stedet for det løsende elementet får vi 1, og i selve kolonnen skriver vi nuller.
Alle andre elementer i matrisen, inkludert elementer i kolonne B, bestemmes av rektangelregelen.
For å gjøre dette velger vi fire tall som er plassert i hjørnene av rektangelet og inkluderer alltid det løsende elementet RE.
La oss presentere beregningen av hvert element i form av en tabell:

x 1	x 2	x 3	B


0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Svar: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementering av Gauss-metoden

Gauss-metoden er implementert i mange programmeringsspråk, spesielt: Pascal, C++, php, Delphi, og det er også en online implementering av Gauss-metoden.

Bruker Gauss-metoden

Anvendelse av Gauss-metoden i spillteori

I spillteori, når man finner den maksimale optimale strategien til en spiller, kompileres et system av ligninger, som løses ved den Gaussiske metoden.

Anvendelse av Gauss-metoden ved løsning av differensialligninger

For å finne en partiell løsning til en differensialligning, finn først deriverte av passende grad for den skriftlige partielle løsningen (y=f(A,B,C,D)), som erstattes med den opprinnelige ligningen. Deretter, for å finne variablene A, B, C, D, kompileres et likningssystem, som løses med Gauss-metoden.

Anvendelse av Jordano-Gauss-metoden i lineær programmering

I lineær programmering, spesielt i simpleksmetoden, brukes rektangelregelen, som bruker Jordano-Gauss-metoden, for å transformere simplekstabellen ved hver iterasjon.

To systemer med lineære ligninger kalles ekvivalente hvis settet med alle løsningene deres faller sammen.

Elementære transformasjoner av et ligningssystem er:

Sletting av trivielle ligninger fra systemet, dvs. de der alle koeffisienter er lik null;

Multiplisere en ligning med et annet tall enn null;

Legge til enhver i-te ligning en hvilken som helst j-te ligning multiplisert med et hvilket som helst tall.

En variabel x i kalles fri hvis denne variabelen ikke er tillatt, men hele ligningssystemet er tillatt.

Teorem. Elementære transformasjoner transformerer et ligningssystem til et ekvivalent.

Meningen med Gauss-metoden er å transformere det opprinnelige ligningssystemet og oppnå et ekvivalent oppløst eller ekvivalent inkonsekvent system.

Så den Gaussiske metoden består av følgende trinn:

La oss se på den første ligningen. La oss velge den første koeffisienten som ikke er null og dele hele ligningen på den. Vi får en likning der en eller annen variabel x i kommer inn med en koeffisient på 1;
La oss trekke denne likningen fra alle de andre, multiplisere den med slike tall at koeffisientene til variabelen x i i de gjenværende likningene nullstilles. Vi får et system løst med hensyn til variabelen x i og ekvivalent med den opprinnelige;
Hvis trivielle ligninger oppstår (sjelden, men det skjer; for eksempel 0 = 0), krysser vi dem ut av systemet. Som et resultat er det én ligning færre;
Vi gjentar de foregående trinnene ikke mer enn n ganger, hvor n er antall ligninger i systemet. Hver gang velger vi en ny variabel for "behandling". Hvis det oppstår inkonsistente ligninger (for eksempel 0 = 8), er systemet inkonsekvent.

Som et resultat vil vi etter noen få trinn få enten et løst system (muligens med frie variabler) eller et inkonsekvent. Tillatte systemer faller inn i to tilfeller:

Antall variabler er lik antall ligninger. Dette betyr at systemet er definert;
Antall variabler er større enn antall ligninger. Vi samler alle de frie variablene til høyre - vi får formler for de tillatte variablene. Disse formlene er skrevet i svaret.

Det er alt! System av lineære ligninger løst! Dette er en ganske enkel algoritme, og for å mestre den trenger du ikke kontakte en høyere matematikkveileder. La oss se på et eksempel:

Oppgave. Løs ligningssystemet:

Beskrivelse av trinn:

Trekk fra den første ligningen fra den andre og tredje - vi får den tillatte variabelen x 1;
Vi multipliserer den andre likningen med (−1), og deler den tredje likningen på (−3) - vi får to likninger der variabelen x 2 kommer inn med en koeffisient på 1;
Vi legger den andre ligningen til den første, og trekker fra den tredje. Vi får den tillatte variabelen x 2 ;
Til slutt trekker vi den tredje ligningen fra den første - vi får den tillatte variabelen x 3;
Vi har fått godkjent system, skriv ned svaret.

Den generelle løsningen av et samtidig system av lineære ligninger er et nytt system, tilsvarende det opprinnelige, der alle tillatte variabler uttrykkes i form av frie.

Når kan en generell løsning være nødvendig? Hvis du må gjøre færre trinn enn k (k er hvor mange ligninger det er). Men årsakene til at prosessen avsluttes på et eller annet trinn l< k , может быть две:

Etter 1. trinn fikk vi et system som ikke inneholder en ligning med tall (l + 1). Faktisk er dette bra, fordi... det autoriserte systemet er fortsatt oppnådd - selv noen få skritt tidligere.
Etter det 1. trinnet fikk vi en ligning der alle koeffisientene til variablene er lik null, og den frie koeffisienten er forskjellig fra null. Dette er en motstridende ligning, og derfor er systemet inkonsekvent.

Det er viktig å forstå at fremveksten av en inkonsistent ligning ved bruk av Gauss-metoden er et tilstrekkelig grunnlag for inkonsistens. Samtidig noterer vi oss at som et resultat av det 1. trinnet kan ingen trivielle ligninger forbli - alle er krysset ut rett i prosessen.

Beskrivelse av trinn:

Trekk den første ligningen, multiplisert med 4, fra den andre. Og vi legger også den første ligningen til den tredje - vi får den tillatte variabelen x 1;
Trekk den tredje likningen, multiplisert med 2, fra den andre - vi får den motstridende likningen 0 = −5.

Så systemet er inkonsekvent fordi en inkonsekvent ligning har blitt oppdaget.

Oppgave. Utforsk kompatibilitet og finn en generell løsning på systemet:

Beskrivelse av trinn:

Vi trekker den første ligningen fra den andre (etter å ha multiplisert med to) og den tredje - vi får den tillatte variabelen x 1;
Trekk fra den andre ligningen fra den tredje. Siden alle koeffisientene i disse ligningene er like, vil den tredje ligningen bli triviell. Gang samtidig den andre ligningen med (−1);
Trekk den andre fra den første ligningen - vi får den tillatte variabelen x 2. Hele likningssystemet er nå også løst;
Siden variablene x 3 og x 4 er frie, flytter vi dem til høyre for å uttrykke de tillatte variablene. Dette er svaret.

Så systemet er konsistent og ubestemt, siden det er to tillatte variabler (x 1 og x 2) og to frie (x 3 og x 4).

Utdanningsinstitusjon "Hviterussisk stat

Landbruksakademiet"

Institutt for høyere matematikk

Retningslinjer

for å studere emnet "Gauss-metoden for å løse lineære systemer

ligninger" av studenter ved regnskapsfakultetet for korrespondanseutdanning (NISPO)

Gorki, 2013

Gauss metode for å løse systemer av lineære ligninger

Ekvivalente ligningssystemer

To systemer med lineære ligninger sies å være ekvivalente hvis hver løsning av en av dem er en løsning av den andre. Prosessen med å løse et system av lineære ligninger består i å sekvensielt transformere det til et ekvivalent system ved hjelp av den såkalte elementære transformasjoner , som er:

1) omorganisering av to likninger av systemet;

2) multiplisere begge sider av en hvilken som helst ligning i systemet med et tall som ikke er null;

3) å legge til en annen ligning multiplisert med et hvilket som helst tall;

4) krysse ut en ligning bestående av nuller, dvs. formens ligninger

Gaussisk eliminering

Vurder systemet m lineære ligninger med n ukjent:

Essensen av Gauss-metoden eller metoden for sekvensiell eliminering av ukjente er som følger.

For det første, ved å bruke elementære transformasjoner, elimineres det ukjente fra alle likninger i systemet bortsett fra den første. Slike systemtransformasjoner kalles Gaussisk eliminasjonstrinn . Det ukjente kalles aktiveringsvariabel på det første trinnet i transformasjonen. Koeffisienten kalles oppløsningsfaktor , kalles den første ligningen løse ligningen , og kolonnen med koeffisienter ved tillatelseskolonnen .

Når du utfører ett trinn med Gaussisk eliminering, må du bruke følgende regler:

1) koeffisientene og den frie termen til den løsende ligningen forblir uendret;

2) koeffisientene til oppløsningskolonnen plassert under oppløsningskoeffisienten blir null;

3) alle andre koeffisienter og frie termer når du utfører det første trinnet, beregnes i henhold til rektangelregelen:

, Hvor Jeg=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Vi vil utføre lignende transformasjoner på den andre ligningen i systemet. Dette vil føre til et system der det ukjente vil bli eliminert i alle ligninger bortsett fra de to første. Som et resultat av slike transformasjoner over hver av systemets likninger (direkte progresjon av Gauss-metoden), reduseres det opprinnelige systemet til et ekvivalent trinnsystem av en av følgende typer.

Omvendt Gaussisk metode

Trinnsystem

har et trekantet utseende og det er det (Jeg=1,2,…,n). Et slikt system har en unik løsning. De ukjente bestemmes med utgangspunkt i den siste ligningen (omvendt av Gauss-metoden).

Trinnsystemet har formen

hvor, dvs. antall ligninger i systemet er mindre enn eller lik antall ukjente. Dette systemet har ingen løsninger, siden den siste ligningen ikke vil være tilfredsstilt for noen verdier av variabelen.

Trinntype system

har utallige løsninger. Fra den siste ligningen uttrykkes det ukjente gjennom de ukjente . Så, i den nest siste ligningen, i stedet for det ukjente, blir dets uttrykk erstattet med de ukjente . Fortsetter det motsatte av Gauss-metoden, de ukjente kan uttrykkes i form av ukjente . I dette tilfellet, de ukjente er kalt gratis og kan ta alle verdier, og ukjente grunnleggende.

Når du løser systemer i praksis, er det praktisk å utføre alle transformasjoner ikke med et ligningssystem, men med en utvidet matrise av systemet, bestående av koeffisienter for ukjente og en kolonne med frie termer.

Eksempel 1. Løs ligningssystem

Løsning. La oss lage en utvidet matrise av systemet og utføre elementære transformasjoner:

I den utvidede matrisen til systemet er tallet 3 (det er uthevet) oppløsningskoeffisienten, den første raden er oppløsningsraden, og den første kolonnen er oppløsningskolonnen. Når du flytter til neste matrise, endres ikke oppløsningsraden alle elementene i oppløsningskolonnen under oppløsningselementet. Og alle andre elementer i matrisen beregnes på nytt i henhold til firkantregelen. I stedet for element 4 i den andre linjen skriver vi , i stedet for element -3 i den andre linjen vil det bli skrevet etc. Dermed vil den andre matrisen oppnås. Oppløsningselementet i denne matrisen vil være tallet 18 i den andre raden. For å danne den neste (tredje matrisen), la den andre raden være uendret, skriv null i kolonnen under det løsende elementet og beregn de resterende to elementene på nytt: i stedet for tallet 1, skriv , og i stedet for tallet 16 skriver vi .

Som et resultat ble det opprinnelige systemet redusert til et tilsvarende system

Fra den tredje ligningen finner vi . La oss erstatte denne verdien i den andre ligningen: y=3. La oss erstatte de funnet verdiene i den første ligningen y Og z: , x=2.