Lineære inhomogene differanseligninger med konstante koeffisienter. Lineære differensialligninger av andre orden

Utdanningsinstitusjon "Hviterussisk stat

landbruksakademi"

Institutt for høyere matematikk

Retningslinjer

å studere emnet "Lineære differensialligninger av andre orden" av studenter ved regnskapsfakultetet for korrespondanseutdanning (NISPO)

Gorki, 2013

Lineære differensialligninger

andre orden med konstanterkoeffisienter

Lineære homogene differensialligninger

Lineær differensialligning av andre orden med konstante koeffisienter kalt en formlikning

de. en ligning som inneholder den ønskede funksjonen og dens deriverte bare i første grad og ikke inneholder produktene deres. I denne ligningen Og
- noen tall, og en funksjon
gitt med et visst intervall
.

Hvis
på intervallet
, så vil ligning (1) ha formen

, (2)

og kalles lineær homogen . Ellers kalles ligning (1). lineær inhomogen .

Tenk på den komplekse funksjonen

, (3)

Hvor
Og
- reelle funksjoner. Hvis funksjon (3) er en kompleks løsning på ligning (2), så er den reelle delen
, og imaginær del
løsninger
separat er løsninger av samme homogene ligning. Dermed genererer enhver kompleks løsning til ligning (2) to reelle løsninger til denne ligningen.

Løsninger av en homogen lineær ligning har følgende egenskaper:

Hvis er en løsning på ligning (2), deretter funksjonen
, Hvor MED– en vilkårlig konstant vil også være en løsning på ligning (2);

Hvis Og det er løsninger til ligning (2), deretter funksjonen
vil også være en løsning på ligning (2);

Hvis Og det er løsninger til ligning (2), deretter deres lineære kombinasjon
vil også være en løsning på ligning (2), hvor Og
– vilkårlige konstanter.

Funksjoner
Og
er kalt lineært avhengig på intervallet
, hvis slike tall finnes Og
, ikke lik null på samme tid, at på dette intervallet er likheten

Hvis likhet (4) oppstår bare når
Og
, deretter funksjonene
Og
er kalt lineært uavhengig på intervallet
.

Eksempel 1 . Funksjoner
Og
er lineært avhengige, siden
på hele tallinjen. I dette eksemplet
.

Eksempel 2 . Funksjoner
Og
er lineært uavhengig av ethvert intervall, siden likheten
er kun mulig i tilfelle når
, Og
.

Konstruksjon av en generell løsning til en lineær homogen

ligninger

For å finne en generell løsning på ligning (2), må du finne to av dens lineært uavhengige løsninger Og . Lineær kombinasjon av disse løsningene
, Hvor Og
er vilkårlige konstanter, og vil gi en generell løsning på en lineær homogen ligning.

Vi vil se etter lineært uavhengige løsninger til likning (2) i skjemaet

, (5)

Hvor – et visst antall. Deretter
,
. La oss erstatte disse uttrykkene i ligning (2):

eller
.

Fordi
, Det
. Så funksjonen
vil være en løsning på ligning (2) hvis vil tilfredsstille ligningen

. (6)

Ligning (6) kalles karakteristisk ligning for ligning (2). Denne ligningen er en algebraisk andregradsligning.

La Og det er røtter til denne ligningen. De kan enten være ekte og forskjellige, eller komplekse, eller ekte og like. La oss vurdere disse tilfellene.

La røttene Og karakteristiske ligninger er reelle og distinkte. Da vil løsningene til ligning (2) være funksjonene
Og
. Disse løsningene er lineært uavhengige, siden likheten
kan bare gjennomføres når
, Og
. Derfor har den generelle løsningen til ligning (2) formen

Hvor Og
- vilkårlige konstanter.

Eksempel 3
.

Løsning . Den karakteristiske ligningen for denne differensialen vil være
. Etter å ha løst denne kvadratiske ligningen finner vi røttene
Og
. Funksjoner
Og
er løsninger på differensialligningen. Den generelle løsningen på denne ligningen er
.

Komplekst tall kalt et uttrykk for formen
, Hvor Og er reelle tall, og
kalt den imaginære enheten. Hvis
, deretter nummeret
kalles rent imaginært. Hvis
, deretter nummeret
er identifisert med et reelt tall .

Antall kalles den reelle delen av et komplekst tall, og - imaginær del. Hvis to komplekse tall skiller seg fra hverandre bare ved tegnet til den imaginære delen, kalles de konjugerte:
,
.

Eksempel 4 . Løs kvadratisk ligning
.

Løsning . Diskriminerende ligning
. Deretter. Like måte,
. Dermed har denne kvadratiske ligningen konjugerte komplekse røtter.

La røttene til den karakteristiske ligningen være komplekse, dvs.
,
, Hvor
. Løsninger av ligning (2) kan skrives i formen
,
eller
,
. I følge Eulers formler

,
.

Deretter ,. Som kjent, hvis en kompleks funksjon er en løsning på en lineær homogen likning, så er løsningene til denne likningen både de reelle og imaginære delene av denne funksjonen. Dermed vil løsningene til ligning (2) være funksjonene
Og
. Siden likestilling

kan bare utføres hvis
Og
, så er disse løsningene lineært uavhengige. Derfor har den generelle løsningen til ligning (2) formen

Hvor Og
- vilkårlige konstanter.

Eksempel 5 . Finn den generelle løsningen på differensialligningen
.

Løsning . Ligningen
er karakteristisk for en gitt differensial. La oss løse det og få komplekse røtter
,
. Funksjoner
Og
er lineært uavhengige løsninger av differensialligningen. Den generelle løsningen på denne ligningen er:

La røttene til den karakteristiske ligningen være reelle og like, dvs.
. Da er løsningene til ligning (2) funksjonene
Og
. Disse løsningene er lineært uavhengige, siden uttrykket kan være identisk lik null bare når
Og
. Derfor har den generelle løsningen til ligning (2) formen
.

Eksempel 6 . Finn den generelle løsningen på differensialligningen
.

Løsning . Karakteristisk ligning
har like røtter
. I dette tilfellet er lineært uavhengige løsninger til differensialligningen funksjonene
Og
. Den generelle løsningen har formen
.

Inhomogene lineære differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter

og den spesielle høyresiden

Den generelle løsningen av den lineære inhomogene ligningen (1) er lik summen av den generelle løsningen
den tilsvarende homogene ligningen og en hvilken som helst spesiell løsning
inhomogen ligning:
.

I noen tilfeller kan en bestemt løsning på en inhomogen ligning ganske enkelt finnes i form av høyre side
ligning (1). La oss se på tilfeller der dette er mulig.

de. høyre side av den inhomogene ligningen er et gradspolynom m. Hvis
ikke er en rot av den karakteristiske ligningen, bør en bestemt løsning på den inhomogene ligningen søkes i form av et gradspolynom m, dvs.

Odds
er bestemt i prosessen med å finne en bestemt løsning.

Hvis
er roten til den karakteristiske ligningen, bør en bestemt løsning på den inhomogene ligningen søkes i formen

Eksempel 7 . Finn den generelle løsningen på differensialligningen
.

Løsning . Den tilsvarende homogene ligningen for denne ligningen er
. Dens karakteristiske ligning
har røtter
Og
. Den generelle løsningen av den homogene ligningen har formen
.

Fordi
er ikke en rot av den karakteristiske ligningen, så vil vi se etter en bestemt løsning av den inhomogene ligningen i form av en funksjon
. La oss finne de deriverte av denne funksjonen
,
og bytt dem inn i denne ligningen:

eller . La oss likestille koeffisientene for og gratis medlemmer:
Etter å ha løst dette systemet, får vi
,
. Da har en bestemt løsning av den inhomogene ligningen formen
, og den generelle løsningen av en gitt inhomogen ligning vil være summen av den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen og den spesielle løsningen av den inhomogene:
.

La den inhomogene ligningen ha formen

Hvis
er ikke en rot av den karakteristiske ligningen, bør en bestemt løsning på den inhomogene ligningen søkes i formen. Hvis
er roten til den karakteristiske multiplisitetsligningen k (k=1 eller k=2), så vil i dette tilfellet en spesiell løsning av den inhomogene ligningen ha formen .

Eksempel 8 . Finn den generelle løsningen på differensialligningen
.

Løsning . Den karakteristiske ligningen for den tilsvarende homogene ligningen har formen
. Dens røtter
,
. I dette tilfellet er den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen skrevet i skjemaet
.

Siden tallet 3 ikke er en rot av den karakteristiske ligningen, bør en spesiell løsning på den inhomogene ligningen søkes i formen
. La oss finne de deriverte av første og andre orden:

La oss bytte inn i differensialligningen:
+ +,
+,.

La oss likestille koeffisientene for og gratis medlemmer:

Herfra
,
. Da har en bestemt løsning på denne ligningen formen
, og den generelle løsningen

Lagrangemetode for variasjon av vilkårlige konstanter

Metoden for å variere vilkårlige konstanter kan brukes på enhver inhomogen lineær ligning med konstante koeffisienter, uavhengig av typen høyre side. Denne metoden lar deg alltid finne en generell løsning på en inhomogen ligning hvis den generelle løsningen til den tilsvarende homogene ligningen er kjent.

La
Og
er lineært uavhengige løsninger av ligning (2). Da er den generelle løsningen på denne ligningen
, Hvor Og
- vilkårlige konstanter. Essensen av metoden for å variere vilkårlige konstanter er at den generelle løsningen til ligning (1) søkes i formen

Hvor
Og
- nye ukjente funksjoner som må finnes. Siden det er to ukjente funksjoner, er det nødvendig med to ligninger som inneholder disse funksjonene for å finne dem. Disse to ligningene utgjør systemet

som er et lineært algebraisk ligningssystem mht
Og
. Å løse dette systemet finner vi
Og
. Integrering av begge sider av de oppnådde likhetene, finner vi

Og
.

Ved å erstatte disse uttrykkene med (9), får vi en generell løsning på den inhomogene lineære ligningen (1).

Eksempel 9 . Finn den generelle løsningen på differensialligningen
.

Løsning. Den karakteristiske ligningen for den homogene ligningen som tilsvarer en gitt differensialligning er
. Røttene er komplekse
,
. Fordi
Og
, Det
,
, og den generelle løsningen av den homogene ligningen har formen. Deretter vil vi se etter en generell løsning på denne inhomogene ligningen i formen hvor
Og
- ukjente funksjoner.

Ligningssystemet for å finne disse ukjente funksjonene har formen

Etter å ha løst dette systemet finner vi
,
. Deretter

,
. La oss erstatte de resulterende uttrykkene i formelen for den generelle løsningen:

Dette er den generelle løsningen på denne differensialligningen, oppnådd ved bruk av Lagrange-metoden.

Spørsmål for selvkontroll av kunnskap

Hvilken differensialligning kalles en andreordens lineær differensialligning med konstante koeffisienter?

Hvilken lineær differensialligning kalles homogen og hvilken kalles inhomogen?

Hvilke egenskaper har en lineær homogen likning?

Hvilken ligning kalles karakteristikk for en lineær differensialligning og hvordan oppnås den?

I hvilken form skrives den generelle løsningen av en lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter for forskjellige røtter til den karakteristiske likningen?

I hvilken form skrives den generelle løsningen av en lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter i tilfellet med like røtter til den karakteristiske ligningen?

I hvilken form skrives den generelle løsningen av en lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter for komplekse røtter til den karakteristiske ligningen?

Hvordan skrives den generelle løsningen av en lineær inhomogen ligning?

I hvilken form søkes en spesiell løsning på en lineær inhomogen ligning hvis røttene til den karakteristiske ligningen er forskjellige og ikke lik null, og høyre side av ligningen er et gradspolynom m?

I hvilken form søkes en bestemt løsning på en lineær inhomogen ligning hvis det er én null blant røttene til den karakteristiske ligningen og høyre side av ligningen er et gradspolynom m?

Hva er essensen av Lagranges metode?

Vi har sett at i tilfellet hvor den generelle løsningen av en lineær homogen ligning er kjent, er det mulig å finne den generelle løsningen av en inhomogen ligning ved å bruke metoden for variasjon av vilkårlige konstanter. Spørsmålet om hvordan man finner en generell løsning på en homogen ligning forble imidlertid åpent. I det spesielle tilfellet når i den lineære differensialligningen (3) alle koeffisienter p i(X)= en i - konstanter, kan det løses ganske enkelt, selv uten integrasjon.

Tenk på en lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter, dvs. formlikninger

y (n) + a 1 y (n – 1) +...a n – 1 y " + a n y = 0, (14)

Hvor og jeg- konstanter (Jeg= 1, 2, ...,n).

Som kjent, for en lineær homogen likning av 1. orden er løsningen en funksjon av formen e kx. Vi skal se etter en løsning på ligning (14) i skjemaet j (X) = e kx.

La oss erstatte funksjonen i ligning (14) j (X) og dens ordrederivater m (1 £ m£ n)j (m) (X) = k m e kx. Vi får

(k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n)e kx = 0,

Men e k x ¹ 0 for noen X, Derfor

k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n = 0. (15)

Ligning (15) kalles karakteristisk ligning, polynomet på venstre side- karakteristisk polynom , sine røtter- karakteristiske røtter differensialligning (14).

Konklusjon:

funksjonj (X) = e kx - løsning til lineær homogen ligning (14) hvis og bare hvis tallet k - roten til den karakteristiske ligningen (15).

Dermed reduseres prosessen med å løse den lineære homogene ligningen (14) til å løse den algebraiske ligningen (15).

Ulike tilfeller av karakteristiske røtter er mulige.

1.Alle røttene til den karakteristiske ligningen er reelle og distinkte.

I dette tilfellet n forskjellige karakteristiske røtter k 1 ,k 2 ,..., k n tilsvarer n forskjellige løsninger av homogen likning (14)

Det kan vises at disse løsningene er lineært uavhengige og derfor danner et grunnleggende system av løsninger. Dermed er den generelle løsningen på ligningen funksjonen

Hvor MED 1 , C 2 , ..., C n - vilkårlige konstanter.

Eksempel 7. Finn den generelle løsningen av den lineære homogene ligningen:

EN) på¢ ¢ (X) - 6på¢ (X) + 8på(X) = 0,b) på¢ ¢ ¢ (X) + 2på¢ ¢ (X) - 3på¢ (X) = 0.

Løsning. La oss lage en karakteristisk ligning. For å gjøre dette, erstatter vi derivatet av ordre m funksjoner y(x) i passende grad

k(på (m) (x) « k m),

mens selve funksjonen på(X) som den nullte ordensderiverte erstattes av k 0 = 1.

I tilfelle (a) har den karakteristiske ligningen formen k 2 - 6k + 8 = 0. Røttene til denne andregradsligningen k 1 = 2,k 2 = 4. Siden de er ekte og forskjellige, har den generelle løsningen formen j (X)= C 1 e 2X + C 2 e 4x.

For tilfelle (b) er den karakteristiske ligningen 3. gradsligningen k 3 + 2k 2 - 3k = 0. La oss finne røttene til denne ligningen:

k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,

T . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.

Disse karakteristiske røttene tilsvarer det grunnleggende løsningssystemet til differensialligningen:

j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .

Den generelle løsningen, i henhold til formel (9), er funksjonen

j (X)= C 1 + C 2 e x + C 3 e - 3X .

II . Alle røttene til den karakteristiske ligningen er forskjellige, men noen av dem er komplekse.

Alle koeffisientene til differensialligningen (14), og derfor dens karakteristiske ligning (15)- reelle tall, som betyr at hvis c blant de karakteristiske røttene er det en kompleks rot k 1 = a + ib, det vil si dens konjugerte rot k 2 = ` k 1 = a- ib.Til den første roten k 1 tilsvarer løsningen av differensialligningen (14)

j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(vi brukte Eulers formel e i x = cosx + isinx). På samme måte roten k 2 = a- ib tilsvarer løsningen

j 2 (X)= e (a - -ib)X = e a x e - ib x= e øks(cosbx - isinbx).

Disse løsningene er komplekse. For å få reelle løsninger fra dem bruker vi egenskapene til løsninger til en lineær homogen ligning (se 13.2). Funksjoner

er reelle løsninger av ligning (14). Dessuten er disse løsningene lineært uavhengige. Dermed kan vi trekke følgende konklusjon.

Regel 1.Et par konjugerte komplekse røtter a± ib av den karakteristiske ligningen i FSR for den lineære homogene ligningen (14) tilsvarer to reelle delløsningerOg .

Eksempel 8. Finn den generelle løsningen på ligningen:

EN) på¢ ¢ (X) - 2på ¢ (X) + 5på(X) = 0 ;b) på¢ ¢ ¢ (X) - på¢ ¢ (X) + 4på ¢ (X) - 4på(X) = 0.

Løsning. I tilfelle av ligning (a), røttene til den karakteristiske ligningen k 2 - 2k + 5 = 0 er to konjugerte komplekse tall

k 1, 2 = .

Følgelig, i henhold til regel 1, tilsvarer de to reelle lineært uavhengige løsninger: og , og den generelle løsningen av ligningen er funksjonen

j (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x synd 2x.

I tilfelle (b), for å finne røttene til den karakteristiske ligningen k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, faktoriserer vi venstre side:

k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.

Derfor har vi tre karakteristiske røtter: k 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2Jeg. Cornu k 1 tilsvarer løsningen , og et par konjugerte komplekse røtter k 2, 3 = ± 2jeg = 0 ± 2Jeg- to gyldige løsninger: og . Vi komponerer en generell løsning på ligningen:

j (X)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 synd 2x.

III . Blant røttene til den karakteristiske ligningen er det multipler.

La k 1 - ekte rot til mangfold m karakteristisk ligning (15), dvs. blant røttene er det m like røtter. Hver av dem tilsvarer den samme løsningen til differensialligningen (14) Inkluder imidlertid m Det er ingen like løsninger i FSR, siden de utgjør et lineært avhengig system av funksjoner.

Det kan vises at i tilfelle av en multippel rot k 1 løsninger til ligning (14), i tillegg til funksjonen, er funksjonene

Funksjonene er lineært uavhengige av hele den numeriske aksen, siden , det vil si at de kan inkluderes i FSR.

Regel 2. Virkelig karakteristisk rot k 1 mangfold m i FSR tilsvarer m løsninger:

Hvis k 1 - kompleks rotmangfold m karakteristisk ligning (15), så er det en konjugert rot k 1 mangfold m. I analogi får vi følgende regel.

Regel 3. Et par konjugerte komplekse røtter a± ib i FSR tilsvarer 2mreal lineært uavhengige løsninger:

, , ..., ,

, , ..., .

Eksempel 9. Finn den generelle løsningen på ligningen:

EN) på¢ ¢ ¢ (X) + 3på¢ ¢ (X) + 3på¢ (X)+ y ( X)= 0;b) ved IV(X) + 6på¢ ¢ (X) + 9på(X) = 0.

Løsning. I tilfelle (a) har den karakteristiske ligningen formen

k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

dvs. k =- 1 - roten av multiplisitet 3. Basert på regel 2 skriver vi ned den generelle løsningen:

j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 x 2 .

Den karakteristiske ligningen i tilfelle (b) er ligningen

k 4 + 6k 2 + 9 = 0

hvis ikke,

(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± Jeg.

Vi har et par konjugerte komplekse røtter, som hver har multiplisitet 2. I henhold til regel 3 skrives den generelle løsningen som

j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 x.

Av ovenstående følger det at for enhver lineær homogen ligning med konstante koeffisienter er det mulig å finne et grunnleggende system av løsninger og komponere en generell løsning. Følgelig løsningen til den tilsvarende inhomogene ligningen for enhver kontinuerlig funksjon f(x) på høyre side kan bli funnet ved å bruke metoden for variasjon av vilkårlige konstanter (se avsnitt 5.3).

Eksempel 10. Bruk variasjonsmetoden og finn den generelle løsningen på den inhomogene ligningen på¢ ¢ (X) - på¢ (X) - 6på(X) = xe 2x .

Løsning. Først finner vi den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen på¢ ¢ (X) - på¢ (X) - 6på(X) = 0. Røttene til den karakteristiske ligningen k 2 - k- 6 = 0 er k 1 = 3,k 2 = - 2, a generell løsning av den homogene ligningen - funksjon ` på ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .

Vi vil se etter en løsning på den inhomogene ligningen i skjemaet

på( X) = MED 1 (X)e 3X + C 2 (X)e 2X . (*)

La oss finne Wronski-determinanten

W[e 3X e 2X ] = .

La oss komponere et ligningssystem (12) for deriverte av ukjente funksjoner MED ¢ 1 (X) Og MED¢ 2 (X):

Å løse systemet ved å bruke Cramers formler, får vi

Integrering finner vi MED 1 (X) Og MED 2 (X):

Erstatter funksjoner MED 1 (X) Og MED 2 (X) inn i likhet (*), får vi en generell løsning på ligningen på¢ ¢ (X) - på¢ (X) - 6på(X) = xe 2x :

I tilfellet når høyre side av en lineær inhomogen ligning med konstante koeffisienter har en spesiell form, kan en spesiell løsning på den inhomogene ligningen bli funnet uten å ty til metoden for å variere vilkårlige konstanter.

Tenk på ligningen med konstante koeffisienter

y (n) + a 1 år (n– 1) +...a n – 1 år " + a n y = f (x), (16)

f( x) = eøks(P n(x)cosbx + R m(x)sinbx), (17)

Hvor P n(x) Og R m(x) - gradspolynomer n Og m hhv.

Privat løsning y*(X) av ligning (16) bestemmes av formelen

på* (X) = xse øks(MR(x)cosbx + N r(x)sinbx), (18)

Hvor MR(x) Og Nr(x) - gradspolynomer r = maks(n, m) med usikre koeffisienter , EN s lik multiplum av roten k 0 = a + ib karakteristisk polynom av ligning (16), og vi antar s = 0 hvis k 0 er ikke en karakteristisk rot.

For å komponere en bestemt løsning ved hjelp av formel (18), må du finne fire parametere - a, b, r Og s. De tre første bestemmes fra høyre side av ligningen, og r- dette er faktisk den høyeste graden x, funnet på høyre side. Parameter s funnet fra sammenligning av tall k 0 = a + ib Og settet av alle (tar hensyn til multiplisiteter) karakteristiske røtter av ligning (16), som finnes ved å løse den tilsvarende homogene ligningen.

La oss vurdere spesielle tilfeller av funksjonsformen (17):

1) kl en ¹ 0, b= 0f(x)= e øks P n(x);

2) når en= 0, b ¹ 0f(x)= P n(x) Medosbx + Rm(x)sinbx;

3) når en = 0, b = 0f(x)=Pn(x).

Merknad 1. Hvis P n (x) º 0 eller Rm(x)º 0, så høyre side av ligningen f(x) = e ax P n (x)с osbx eller f(x) = e ax R m (x)sinbx, dvs. inneholder bare én av funksjonene - cosinus eller sinus. Men i registreringen av en bestemt løsning må begge være til stede, siden hver av dem i henhold til formel (18) multipliseres med et polynom med ubestemte koeffisienter av samme grad r = max(n, m).

Eksempel 11. Bestem typen partiell løsning til en lineær homogen likning av 4. orden med konstante koeffisienter hvis høyre side av likningen er kjent f(X) = e x(2xcos 3x+(x 2 + 1)synd 3x) og røttene til den karakteristiske ligningen:

EN ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;

b ) k 1, 2 = 1 ± 3Jeg,k 3, 4 = ± 1;

V ) k 1, 2 = 1 ± 3Jeg,k 3, 4 = 1 ± 3Jeg.

Løsning. På høyre side finner vi det i den spesielle løsningen på*(X), som bestemmes av formel (18), parametere: en= 1, b= 3, r = 2. De forblir de samme for alle tre tilfellene, derav antallet k 0 som spesifiserer den siste parameteren s formel (18) er lik k 0 = 1+ 3Jeg. I tilfelle (a) er det ikke noe tall blant de karakteristiske røttene k 0 = 1 + 3Jeg, Midler, s= 0, og en bestemt løsning har formen

y*(X) = x 0 e x(M 2 (x)cos 3x+N 2 (x)synd 3x) =

= ex( (Øks 2 +Bx+C)cos 3x+(EN 1 x 2 +B 1 x+C 1)synd 3x.

I tilfelle (b) nummeret k 0 = 1 + 3Jeg forekommer en gang blant de karakteristiske røttene, som betyr s = 1 Og

y*(X) = x e x((Øks 2 +Bx+C)cos 3x+(EN 1 x 2 +B 1 x+C 1)synd 3x.

For tilfelle (c) har vi s = 2 og

y*(X) = x 2 e x((Øks 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)synd 3x.

I eksempel 11 inneholder den spesielle løsningen to polynomer av grad 2 med ubestemte koeffisienter. For å finne en løsning, må du bestemme de numeriske verdiene til disse koeffisientene. La oss formulere en generell regel.

For å bestemme de ukjente koeffisientene til polynomer MR(x) Og Nr(x) likhet (17) differensieres det nødvendige antall ganger, og funksjonen erstattes y*(X) og dens derivater inn i ligning (16). Ved å sammenligne venstre og høyre side får man et system med algebraiske ligninger for å finne koeffisientene.

Eksempel 12. Finn en løsning på ligningen på¢ ¢ (X) - på¢ (X) - 6på(X) = xe 2x, etter å ha bestemt en bestemt løsning av den inhomogene ligningen ved formen til høyre side.

Løsning. Den generelle løsningen av den inhomogene ligningen har formen

på( X) = ` på(X)+ y*(X),

Hvor ` på ( X) - den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen, og y*(X) - spesiell løsning av en ikke-homogen ligning.

Først løser vi den homogene ligningen på¢ ¢ (X) - på¢ (X) - 6på(X) = 0. Dens karakteristiske ligning k 2 - k- 6 = 0 har to røtter k 1 = 3,k 2 = - 2, derfor, ` på ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .

La oss bruke formel (18) for å bestemme typen bestemt løsning på*(X). Funksjon f(x) = xe 2x representerer et spesialtilfelle (a) av formel (17), mens a = 2,b = 0 Og r = 1, dvs. k 0 = 2 + 0jeg = 2. Sammenligner vi med de karakteristiske røttene, konkluderer vi med det s = 0. Ved å erstatte verdiene til alle parametere i formel (18), har vi y*(X) = (Ah + B)e 2X .

For å finne verdiene EN Og I, la oss finne den første og andre ordens deriverte av funksjonen y*(X) = (Ah + B)e 2X :

y*¢ (X)= Ae 2X + 2(Ah + B)e 2X = (2Ah + Ah + 2B)e 2x,

y*¢ ¢ (X) = 2Ae 2X + 2(2Ah + Ah + 2B)e 2X = (4Ah + 4A+ 4B)e 2X .

Etter funksjonssubstitusjon y*(X) og dens deriverte inn i ligningen vi har

(4Ah + 4A+ 4B)e 2X - (2Ah + Ah + 2B)e 2X - 6(Ah + B)e 2X =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.

Dermed har en spesiell løsning på den inhomogene ligningen formen

y*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,

og den generelle løsningen - på ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .

Notat 2.I tilfellet når Cauchy-problemet er stilt for en inhomogen ligning, må man først finne en generell løsning på ligningen

på( X) = ,

etter å ha bestemt alle de numeriske verdiene til koeffisientene i på*(X). Bruk deretter startbetingelsene og bytt dem inn i den generelle løsningen (og ikke i y*(X)), finn verdiene til konstantene C i.

Eksempel 13. Finn en løsning på Cauchy-problemet:

på¢ ¢ (X) - på¢ (X) - 6på(X) = xe 2x ,y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.

Løsning. Den generelle løsningen på denne ligningen er

på(X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X

ble funnet i eksempel 12. For å finne en spesiell løsning som tilfredsstiller startbetingelsene til dette Cauchy-problemet, får vi et likningssystem

Vi har løst det C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Derfor er løsningen på Cauchy-problemet funksjonen

på(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .

Merknad 3(superposisjonsprinsipp). Hvis i en lineær ligning Ln[y(x)]= f(x), Hvor f(x) = f 1 (x)+f 2 (x) Og y* 1 (x) - løsning på ligningen Ln[y(x)]= f 1 (x), EN y* 2 (x) - løsning på ligningen Ln[y(x)]= f 2 (x), deretter funksjonen y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) er løse ligningen Ln[y(x)]= f(x).

Eksempel 14. Angi typen generell løsning til en lineær ligning

på¢ ¢ (X) + 4på(X) = x + sinx.

Løsning. Generell løsning av den tilsvarende homogene ligningen

` på(x) = C 1 cos 2x + C 2 synd 2x,

siden den karakteristiske ligningen k 2 + 4 = 0 har røtter k 1, 2 = ± 2Jeg.Høyre side av ligningen samsvarer ikke med formel (17), men hvis vi introduserer notasjonen f 1 (x) = x, f 2 (x) = sinx og bruk superposisjonsprinsippet , da kan en spesiell løsning på den inhomogene ligningen finnes i skjemaet y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x), Hvor y* 1 (x) - løsning på ligningen på¢ ¢ (X) + 4på(X) = x, EN y* 2 (x) - løsning på ligningen på¢ ¢ (X) + 4på(X) = sinx. I henhold til formel (18)

y* 1 (x) = Ax + B,y* 2 (x) = Ссosx + Dsinx.

Så den spesielle løsningen

y*(X) = Ax + B + Ccosx + Dsinx,

derfor har den generelle løsningen formen

på(X) = C 1 cos 2x + C 2 e - 2X + A x + B + Ccosx + Dsinx.

Eksempel 15. En elektrisk krets består av en strømkilde koblet i serie med en emf e(t) = E syndw t, induktans L og containere MED, og

Grunnleggende om å løse lineære inhomogene andreordens differensialligninger (LNDE-2) med konstante koeffisienter (PC)

En 2. ordens LDDE med konstante koeffisienter $p$ og $q$ har formen $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, hvor $f\left(x \right)$ er en kontinuerlig funksjon.

Når det gjelder LNDU 2 med PC, er følgende to påstander sanne.

La oss anta at en funksjon $U$ er en vilkårlig partiell løsning av en inhomogen differensialligning. La oss også anta at en funksjon $Y$ er den generelle løsningen (GS) av den tilsvarende lineære homogene differensialligningen (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Deretter GR for LHDE-2 er lik summen av de angitte private og generelle løsningene, det vil si $y=U+Y$.

Hvis høyresiden av en 2. ordens LMDE er en sum av funksjoner, det vil si $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, så kan vi først finne PD-ene $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ som tilsvarer til hver av funksjonene $f_( 1) \venstre(x\høyre),f_(2) \venstre(x\høyre),...,f_(r) \venstre(x\høyre)$, og etter det skriv CR LNDU-2 i formen $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Løsning av 2. ordens LPDE med PC

Det er åpenbart at typen av en eller annen PD $U$ av en gitt LNDU-2 avhenger av den spesifikke formen til høyre side $f\left(x\right)$. De enkleste tilfellene for søk etter PD LNDU-2 er formulert i form av følgende fire regler.

Regel #1.

Høyre side av LNDU-2 har formen $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, hvor $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, det vil si at det kalles en polynom av grad $n$. Deretter søkes dens PD $U$ i formen $U=Q_(n) \venstre(x\høyre)\cdot x^(r) $, hvor $Q_(n) \left(x\right)$ er en annen polynom av samme grad som $P_(n) \left(x\right)$, og $r$ er antall røtter til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2 som er lik null. Koeffisientene til polynomet $Q_(n) \venstre(x\høyre)$ er funnet ved metoden med ubestemte koeffisienter (UK).

Regel nr. 2.

Høyre side av LNDU-2 har formen $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, hvor $P_(n) \left( x\right)$ er et polynom av grad $n$. Deretter søkes dens PD $U$ i formen $U=Q_(n) \venstre(x\høyre)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, hvor $Q_(n ) \ left(x\right)$ er et annet polynom av samme grad som $P_(n) \left(x\right)$, og $r$ er antall røtter til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2 lik $\alpha $. Koeffisientene til polynomet $Q_(n) \venstre(x\høyre)$ er funnet ved NC-metoden.

Regel nr. 3.

Høyre side av LNDU-2 har formen $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, der $a$, $b$ og $\beta$ er kjente tall. Deretter søkes dens PD $U$ i formen $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, der $A$ og $B$ er ukjente koeffisienter, og $r$ er antall røtter til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2, lik $i\cdot \beta $. Koeffisientene $A$ og $B$ er funnet ved å bruke den ikke-destruktive metoden.

Regel nr. 4.

Høyre side av LNDU-2 har formen $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, der $P_(n) \left(x\right)$ er et polynom av grad $ n$, og $P_(m) \left(x\right)$ er et polynom med grad $m$. Deretter søkes dens PD $U$ i formen $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, hvor $Q_(s) \left(x\right)$ og $ R_(s) \left(x\right)$ er polynomer av grad $s$, tallet $s$ er maksimum av to tall $n$ og $m$, og $r$ er antall røtter av den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2, lik $\alpha +i\cdot \beta $. Koeffisientene til polynomene $Q_(s) \left(x\right)$ og $R_(s) \left(x\right)$ er funnet ved NC-metoden.

NK-metoden består i å anvende følgende regel. For å finne de ukjente koeffisientene til polynomet som er en del av den partielle løsningen av den inhomogene differensialligningen LNDU-2, er det nødvendig:

erstatte PD $U$, skrevet i generell form, på venstre side av LNDU-2;
på venstre side av LNDU-2, utfør forenklinger og gruppeuttrykk med samme potenser $x$;
i den resulterende identiteten, likestille koeffisientene av ledd med samme potenser $x$ på venstre og høyre side;
løse det resulterende systemet med lineære ligninger for ukjente koeffisienter.

Eksempel 1

Oppgave: finn OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Finn også PD , som tilfredsstiller startbetingelsene $y=6$ for $x=0$ og $y"=1$ for $x=0$.

Vi skriver ned den tilsvarende LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Karakteristisk ligning: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Røttene til den karakteristiske ligningen er: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Disse røttene er gyldige og distinkte. Dermed har ELLER for den tilsvarende LODE-2 formen: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Høyre side av denne LNDU-2 har formen $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Det er nødvendig å vurdere koeffisienten til eksponenten $\alpha =3$. Denne koeffisienten faller ikke sammen med noen av røttene til den karakteristiske ligningen. Derfor har PD-en til denne LNDU-2 formen $U=\venstre(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Vi vil søke etter koeffisientene $A$, $B$ ved hjelp av NC-metoden.

Vi finner den første avledet av Tsjekkia:

$U"=\venstre(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\venstre(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Vi finner den andre deriverte av Tsjekkia:

$U""=\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\venstre(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Vi erstatter funksjonene $U""$, $U"$ og $U$ i stedet for $y""$, $y"$ og $y$ i den gitte NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Dessuten, siden eksponenten $e^(3\cdot x) $ er inkludert som en faktor i alle komponenter, kan den utelates.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Vi utfører handlingene på venstre side av den resulterende likheten:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Vi bruker NDT-metoden. Vi får et system av lineære ligninger med to ukjente:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Løsningen på dette systemet er: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ for problemet vårt ser slik ut: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ for problemet vårt ser slik ut: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ venstre(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

For å søke etter en PD som tilfredsstiller de gitte startbetingelsene, finner vi den deriverte $y"$ av OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\venstre(-2\cdot x-1\høyre)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Vi erstatter med $y$ og $y"$ startbetingelsene $y=6$ for $x=0$ og $y"=1$ for $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Vi fikk et ligningssystem:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

La oss løse det. Vi finner $C_(1) $ ved å bruke Cramers formel, og $C_(2) $ bestemmer vi fra den første ligningen:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\venstre(-3\høyre)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3,$

Dermed har PD for denne differensialligningen formen: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Denne artikkelen tar for seg spørsmålet om å løse lineære inhomogene andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter. Teorien vil bli diskutert sammen med eksempler på gitte problemer. For å tyde uklare termer, er det nødvendig å referere til emnet om de grunnleggende definisjonene og konseptene til teorien om differensialligninger.

La oss vurdere en lineær differensialligning (LDE) av andre orden med konstante koeffisienter av formen y "" + p · y " + q · y = f (x), hvor p og q er vilkårlige tall, og den eksisterende funksjonen f (x) er kontinuerlig på integrasjonsintervallet x.

La oss gå videre til formuleringen av teoremet for den generelle løsningen av LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Generell løsningsteorem for LDNU

Teorem 1

En generell løsning, lokalisert på intervallet x, av en inhomogen differensialligning av formen y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) med kontinuerlige integrasjonskoeffisienter på x-intervallet f 0 (x), f 1 (x), . . . , f n - 1 (x) og en kontinuerlig funksjon f (x) er lik summen av den generelle løsningen y 0, som tilsvarer LOD og en bestemt løsning y ~, der den opprinnelige inhomogene ligningen er y = y 0 + y ~.

Dette viser at løsningen til en slik annenordens ligning har formen y = y 0 + y ~ . Algoritmen for å finne y 0 er omtalt i artikkelen om lineære homogene andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter. Deretter bør vi gå videre til definisjonen av y ~.

Valget av en bestemt løsning på LPDE avhenger av typen tilgjengelig funksjon f (x) plassert på høyre side av ligningen. For å gjøre dette, er det nødvendig å vurdere separat løsningene av lineære inhomogene andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter.

Når f (x) anses å være et polynom av n-te grad f (x) = P n (x), følger det at en bestemt løsning av LPDE blir funnet ved å bruke en formel på formen y ~ = Q n (x ) x γ, hvor Q n ( x) er et polynom av grad n, r er antallet nullrøtter til den karakteristiske ligningen. Verdien y ~ er en spesiell løsning y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , deretter de tilgjengelige koeffisientene som er definert av polynomet
Q n (x), finner vi ved å bruke metoden for ubestemte koeffisienter fra likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Eksempel 1

Regn ut ved å bruke Cauchys teorem y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Løsning

Med andre ord er det nødvendig å gå videre til en bestemt løsning av en lineær inhomogen differensialligning av andre orden med konstante koeffisienter y "" - 2 y " = x 2 + 1, som vil tilfredsstille de gitte betingelsene y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Den generelle løsningen av en lineær inhomogen ligning er summen av den generelle løsningen, som tilsvarer ligningen y 0 eller en spesiell løsning til den inhomogene ligningen y ~, det vil si y = y 0 + y ~.

Først vil vi finne en generell løsning for LNDU, og deretter en spesiell.

La oss gå videre til å finne y 0. Å skrive ned den karakteristiske ligningen vil hjelpe deg med å finne røttene. Det skjønner vi

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Vi fant ut at røttene er annerledes og ekte. La oss derfor skrive ned

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

La oss finne y ~ . Det kan sees at høyre side av den gitte ligningen er et polynom av andre grad, da er en av røttene lik null. Fra dette får vi at en bestemt løsning for y ~ vil være

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, hvor verdiene til A, B, C tar på seg ubestemte koeffisienter.

La oss finne dem fra en likhet på formen y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Da får vi det:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Ved å likestille koeffisientene med de samme eksponentene til x får vi et system med lineære uttrykk - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Når vi løser med en av metodene, vil vi finne koeffisientene og skrive: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 og y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Denne oppføringen kalles den generelle løsningen av den opprinnelige lineære inhomogene andreordens differensialligningen med konstante koeffisienter.

For å finne en bestemt løsning som tilfredsstiller betingelsene y (0) = 2, y "(0) = 1 4, er det nødvendig å bestemme verdiene C 1 Og C 2, basert på en likhet på formen y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Vi får det:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Vi arbeider med det resulterende likningssystemet på formen C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, hvor C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Ved å bruke Cauchys teorem, har vi det

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Svar: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Når funksjonen f (x) er representert som produktet av et polynom med grad n og en eksponent f (x) = P n (x) · e a x , får vi at en bestemt løsning av andreordens LPDE vil være en likning av formen y ~ = e a x · Q n ( x) x γ, hvor Q n (x) er et polynom av n-te grad, og r er antall røtter til den karakteristiske likningen lik α.

Koeffisientene som tilhører Q n (x) finnes ved likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 2

Finn den generelle løsningen til en differensialligning av formen y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Løsning

Den generelle ligningen er y = y 0 + y ~ . Den indikerte ligningen tilsvarer LOD y "" - 2 y " = 0. Fra forrige eksempel kan det sees at røttene er like k 1 = 0 og k 2 = 2 og y 0 = C 1 + C 2 e 2 x ved den karakteristiske ligningen.

Det kan sees at høyre side av ligningen er x 2 + 1 · e x . Herfra finnes LPDE gjennom y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, hvor Q n (x) er et polynom av andre grad, hvor α = 1 og r = 0, fordi den karakteristiske ligningen ikke har en rot lik 1. Herfra får vi det

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C er ukjente koeffisienter som kan finnes ved likheten y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Forstod det

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Vi setter likhetstegn mellom indikatorene med de samme koeffisientene og får et system med lineære ligninger. Herfra finner vi A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Svar: det er klart at y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 er en spesiell løsning av LNDDE, og y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - en generell løsning for en annenordens inhomogen dif-ligning.

Når funksjonen skrives som f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, og A 1 Og I 1 er tall, anses en partiell løsning av LPDE å være en ligning av formen y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, hvor A og B regnes som ubestemte koeffisienter, og r er antallet av komplekse konjugerte røtter relatert til den karakteristiske ligningen, lik ± i β . I dette tilfellet utføres søket etter koeffisienter ved å bruke likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Eksempel 3

Finn den generelle løsningen til en differensialligning av formen y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Løsning

Før vi skriver den karakteristiske ligningen, finner vi y 0. Deretter

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i, k 2 = - 2 i

Vi har et par komplekse konjugerte røtter. La oss transformere og få:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Røttene til den karakteristiske ligningen anses å være konjugatparet ± 2 i, da f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Dette viser at søket etter y ~ vil bli gjort fra y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Ukjente Vi vil se etter koeffisientene A og B fra en likhet på formen y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

La oss transformere:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Da er det klart det

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Det er nødvendig å likestille koeffisientene til sinus og cosinus. Vi får et system av skjemaet:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Det følger at y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Svar: den generelle løsningen av den originale andreordens LDDE med konstante koeffisienter vurderes

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Når f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), så er y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ Vi har at r er antallet komplekse konjugerte par av røtter relatert til den karakteristiske ligningen, lik α ± i β, hvor P n (x), Q k (x), L m (x) og Nm(x) er polynomer av grad n, k, m, m, hvor m = m a x (n, k). Finne koeffisienter Lm(x) Og Nm(x) er laget basert på likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 4

Finn den generelle løsningen y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Løsning

Ifølge betingelsen er det klart at

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Da er m = m a x (n, k) = 1. Vi finner y 0 ved først å skrive en karakteristisk ligning av formen:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Vi fant ut at røttene er ekte og distinkte. Derfor y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Deretter er det nødvendig å se etter en generell løsning basert på den inhomogene ligningen y ~ av formen

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Det er kjent at A, B, C er koeffisienter, r = 0, fordi det ikke er et par konjugerte røtter relatert til den karakteristiske ligningen med α ± i β = 3 ± 5 · i. Vi finner disse koeffisientene fra den resulterende likheten:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Å finne den deriverte og lignende vilkår gir

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Etter å ha likestilt koeffisientene får vi et system av formen

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Av alt følger det

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Svar: Nå har vi fått en generell løsning på den gitte lineære ligningen:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritme for å løse LDNU

Definisjon 1

Enhver annen type funksjon f (x) for løsning krever samsvar med løsningsalgoritmen:

finne en generell løsning på den tilsvarende lineære homogene ligningen, hvor y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, hvor y 1 Og y 2 er lineært uavhengige delløsninger av LODE, C 1 Og C 2 betraktes som vilkårlige konstanter;
adopsjon som en generell løsning av LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
bestemmelse av deriverte av en funksjon gjennom et system av formen C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , og finne funksjoner C 1 (x) og C 2 (x) gjennom integrasjon.

Eksempel 5

Finn den generelle løsningen for y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Løsning

Vi fortsetter med å skrive den karakteristiske ligningen, etter å ha skrevet y 0, y "" + 36 y = 0. La oss skrive og løse:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Vi har at den generelle løsningen av den gitte ligningen vil bli skrevet som y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Det er nødvendig å gå videre til definisjonen av derivatfunksjoner C 1 (x) Og C2(x) etter et system med ligninger:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1" (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Det må tas en avgjørelse vedr C 1" (x) Og C 2" (x) ved hjelp av hvilken som helst metode. Så skriver vi:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Hver av ligningene må integreres. Så skriver vi de resulterende ligningene:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Det følger at den generelle løsningen vil ha formen:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Svar: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter