Grunnleggende numeriske kjennetegn ved diskrete og kontinuerlige tilfeldige variabler: matematisk forventning, spredning og standardavvik. Deres egenskaper og eksempler.
Fordelingsloven (fordelingsfunksjon og distribusjonsserie eller sannsynlighetstetthet) beskriver fullstendig oppførselen til en tilfeldig variabel. Men i en rekke problemer er det nok å kjenne til noen numeriske egenskaper ved verdien som studeres (for eksempel dens gjennomsnittlige verdi og mulig avvik fra den) for å svare på spørsmålet som stilles. La oss vurdere de viktigste numeriske egenskapene til diskrete tilfeldige variabler.
Definisjon 7.1.Matematisk forventning En diskret tilfeldig variabel er summen av produktene av dens mulige verdier og deres tilsvarende sannsynligheter:
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)
Hvis antallet mulige verdier for en tilfeldig variabel er uendelig, så hvis den resulterende serien konvergerer absolutt.
Merknad 1. Den matematiske forventningen kalles noen ganger vektlagt gjennomsnitt, siden det er omtrent lik det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til den tilfeldige variabelen over et stort antall eksperimenter.
Notat 2. Fra definisjonen av matematisk forventning følger det at verdien ikke er mindre enn den minste mulige verdien av en tilfeldig variabel og ikke mer enn den største.
Merknad 3. Den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel er ikke tilfeldig(konstant. Vi skal se senere at det samme gjelder for kontinuerlige tilfeldige variabler.
Eksempel 1. Finn den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel X- antall standarddeler blant tre valgt fra et parti på 10 deler, inkludert 2 defekte. La oss lage en distribusjonsserie for X. Av problemforholdene følger det at X kan ta verdier 1, 2, 3. Deretter
Eksempel 2. Bestem den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel X- antall myntkast før første opptreden av våpenskjoldet. Denne mengden kan ta på seg et uendelig antall verdier (settet med mulige verdier er settet med naturlige tall). Distribusjonsserien har formen:
| X | … | P | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)P | … |
+ (ved beregning ble formelen for summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon brukt to ganger: , hvorfra ).
Egenskaper for matematisk forventning.
1) Den matematiske forventningen til en konstant er lik konstanten selv:
M(MED) = MED.(7.2)
Bevis. Hvis vi vurderer MED som en diskret tilfeldig variabel som bare tar én verdi MED med sannsynlighet R= 1, da M(MED) = MED?1 = MED.
2) Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet på den matematiske forventningen:
M(CX) = CM(X). (7.3)
Bevis. Hvis den tilfeldige variabelen X gitt av distribusjonsserier
Deretter M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = MED(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).
Definisjon 7.2. To tilfeldige variabler kalles uavhengig, hvis distribusjonsloven til en av dem ikke avhenger av hvilke verdier den andre har tatt. Ellers de tilfeldige variablene avhengig.
Definisjon 7.3. La oss ringe produkt av uavhengige tilfeldige variabler X Og Y tilfeldig variabel XY, hvis mulige verdier er lik produktene av alle mulige verdier X for alle mulige verdier Y, og de tilsvarende sannsynlighetene er lik produktene av sannsynlighetene til faktorene.
3) Den matematiske forventningen til produktet av to uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger:
M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)
Bevis. For å forenkle beregningene begrenser vi oss til tilfellet når X Og Y ta bare to mulige verdier:
Derfor, M(XY) = x 1 y 1 ?s 1 g 1 + x 2 y 1 ?s 2 g 1 + x 1 y 2 ?s 1 g 2 + x 2 y 2 ?s 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 s 1 + x 2 s 2) + + y 2 g 2 (x 1 s 1 + x 2 s 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 s 1 + x 2 s 2) = M(X)?M(Y).
Merknad 1. Du kan på samme måte bevise denne egenskapen for et større antall mulige verdier av faktorene.
Notat 2. Egenskap 3 er sant for produktet av et hvilket som helst antall uavhengige tilfeldige variabler, som er bevist ved matematisk induksjon.
Definisjon 7.4. La oss definere summen av tilfeldige variabler X Og Y som en tilfeldig variabel X+Y, hvis mulige verdier er lik summen av hver mulig verdi X med alle mulige verdier Y; sannsynlighetene for slike summer er lik produktene av sannsynlighetene til vilkårene (for avhengige tilfeldige variabler - produktene av sannsynligheten for en termin ved den betingede sannsynligheten for den andre).
4) Den matematiske forventningen til summen av to tilfeldige variabler (avhengig eller uavhengig) er lik summen av de matematiske forventningene til begrepene:
M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)
Bevis.
La oss igjen vurdere de tilfeldige variablene definert av distribusjonsserien gitt i beviset på egenskap 3. Deretter de mulige verdiene X+Y er X 1 + på 1 , X 1 + på 2 , X 2 + på 1 , X 2 + på 2. La oss betegne deres sannsynligheter henholdsvis som R 11 , R 12 , R 21 og R 22. Vi finner M(X+Y) = (x 1 + y 1)s 11 + (x 1 + y 2)s 12 + (x 2 + y 1)s 21 + (x 2 + y 2)s 22 =
= x 1 (s 11 + s 12) + x 2 (s 21 + s 22) + y 1 (s 11 + s 21) + y 2 (s 12 + s 22).
La oss bevise det R 11 + R 22 = R 1 . Faktisk hendelsen som X+Y vil ta verdier X 1 + på 1 eller X 1 + på 2 og sannsynligheten for dette er R 11 + R 22 sammenfaller med hendelsen som X = X 1 (sannsynligheten er R 1). Det er bevist på lignende måte som s 21 + s 22 = R 2 , s 11 + s 21 = g 1 , s 12 + s 22 = g 2. Midler,
M(X+Y) = x 1 s 1 + x 2 s 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).
Kommentar. Fra egenskap 4 følger det at summen av et hvilket som helst antall tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til leddene.
Eksempel. Finn den matematiske forventningen til summen av antall poeng oppnådd når du kaster fem terninger.
La oss finne den matematiske forventningen til antall poeng som kastes når du kaster én terning:
M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Det samme tallet er lik den matematiske forventningen til antall poeng som kastes på en terning. Derfor, av eiendom 4 M(X)=
Spredning.
For å ha en ide om oppførselen til en tilfeldig variabel, er det ikke nok å bare vite dens matematiske forventning. Tenk på to tilfeldige variabler: X Og Y, spesifisert av skjemaets distribusjonsserie
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| s | 0,5 | 0,5 |
Vi finner M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Som du kan se, er de matematiske forventningene til begge mengdene like, men hvis for HM(X) beskriver godt oppførselen til en tilfeldig variabel, som er dens mest sannsynlige mulige verdi (og de gjenværende verdiene skiller seg ikke mye fra 50), så verdiene Y vesentlig fjernet fra M(Y). Derfor, sammen med den matematiske forventningen, er det ønskelig å vite hvor mye verdiene til den tilfeldige variabelen avviker fra den. For å karakterisere denne indikatoren brukes dispersjon.
Definisjon 7.5.Spredning (spredning) av en tilfeldig variabel er den matematiske forventningen til kvadratet av dens avvik fra dens matematiske forventning:
D(X) = M (X-M(X))². (7,6)
La oss finne variansen til den tilfeldige variabelen X(antall standarddeler blant de utvalgte) i eksempel 1 i denne forelesningen. La oss beregne det kvadrerte avviket for hver mulig verdi fra den matematiske forventningen:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Derfor,
Merknad 1. Ved bestemmelse av spredning er det ikke avviket fra selve gjennomsnittet som vurderes, men kvadratet. Dette gjøres for at avvik av ulike fortegn ikke skal oppheve hverandre.
Notat 2. Fra definisjonen av spredning følger det at denne mengden kun har ikke-negative verdier.
Merknad 3. Det er en formel for beregning av varians som er mer praktisk for beregninger, hvis gyldighet er bevist i følgende teorem:
Teorem 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Bevis.
Bruker hva M(X) er en konstant verdi, og egenskapene til den matematiske forventningen transformerer vi formel (7.6) til formen:
D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), som var det som måtte bevises.
Eksempel. La oss beregne variansene til tilfeldige variabler X Og Y diskutert i begynnelsen av denne delen. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Så variansen til den andre tilfeldige variabelen er flere tusen ganger større enn variansen til den første. Så selv uten å kjenne til distribusjonslovene for disse mengdene, basert på de kjente spredningsverdiene kan vi si at X avviker lite fra sin matematiske forventning, mens for Y dette avviket er ganske betydelig.
Egenskaper for spredning.
1) Varians av en konstant verdi MED lik null:
D (C) = 0. (7.8)
Bevis. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.
2) Konstantfaktoren kan tas ut av spredningstegnet ved å kvadrere det:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Bevis. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =
= C² D(X).
3) Variansen av summen av to uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians:
D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Bevis. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +
+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).
Konsekvens 1. Variansen av summen av flere gjensidig uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians.
Konsekvens 2. Variansen av summen av en konstant og en tilfeldig variabel er lik variansen til den tilfeldige variabelen.
4) Variansen av forskjellen mellom to uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians:
D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Bevis. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).
Variansen gir gjennomsnittsverdien av det kvadrerte avviket til en tilfeldig variabel fra gjennomsnittet; For å evaluere selve avviket brukes en verdi som kalles standardavviket.
Definisjon 7.6.Standardavvikσ tilfeldig variabel X kalles kvadratroten av variansen:
Eksempel. I forrige eksempel, standardavvikene X Og Y er like hhv
Forventning er sannsynlighetsfordelingen til en tilfeldig variabel
Matematisk forventning, definisjon, matematisk forventning av diskrete og kontinuerlige tilfeldige variabler, utvalg, betinget forventning, beregning, egenskaper, problemer, estimering av forventning, spredning, fordelingsfunksjon, formler, regneeksempler
Utvid innholdet
Skjul innhold
Matematisk forventning er definisjonen
Et av de viktigste konseptene i matematisk statistikk og sannsynlighetsteori, som karakteriserer fordelingen av verdier eller sannsynligheter for en tilfeldig variabel. Typisk uttrykt som et vektet gjennomsnitt av alle mulige parametere for en tilfeldig variabel. Mye brukt i teknisk analyse, studiet av tallserier og studiet av kontinuerlige og tidkrevende prosesser. Det er viktig for å vurdere risiko, forutsi prisindikatorer ved handel i finansmarkeder, og brukes i utvikling av strategier og metoder for spilltaktikk i teorien om gambling.
Matematisk forventning er gjennomsnittsverdien av en tilfeldig variabel, sannsynlighetsfordelingen til en tilfeldig variabel vurderes i sannsynlighetsteori.
Matematisk forventning er et mål på gjennomsnittsverdien av en tilfeldig variabel i sannsynlighetsteori. Forventning til en tilfeldig variabel x betegnet med M(x).
Matematisk forventning er
Matematisk forventning er i sannsynlighetsteori, et vektet gjennomsnitt av alle mulige verdier som en tilfeldig variabel kan ta.
Matematisk forventning er summen av produktene av alle mulige verdier av en tilfeldig variabel og sannsynlighetene for disse verdiene.
Matematisk forventning er gjennomsnittlig nytte av en bestemt beslutning, forutsatt at en slik beslutning kan vurderes innenfor rammen av teorien om store tall og lang avstand.
Matematisk forventning er i gamblingteori, mengden gevinster en spiller i gjennomsnitt kan tjene eller tape for hver innsats. På gamblingspråk kalles dette noen ganger "spillerens fordel" (hvis den er positiv for spilleren) eller "huskanten" (hvis den er negativ for spilleren).
Matematisk forventning er prosentandelen av fortjeneste per seier multiplisert med gjennomsnittlig fortjeneste, minus sannsynligheten for tap multiplisert med gjennomsnittlig tap.
Matematisk forventning til en tilfeldig variabel i matematisk teori
En av de viktige numeriske egenskapene til en tilfeldig variabel er dens matematiske forventning. La oss introdusere konseptet med et system av tilfeldige variabler. La oss vurdere et sett med tilfeldige variabler som er resultatene av det samme tilfeldige eksperimentet. Hvis er en av de mulige verdiene til systemet, tilsvarer hendelsen en viss sannsynlighet som tilfredsstiller Kolmogorovs aksiomer. En funksjon definert for alle mulige verdier av tilfeldige variabler kalles en felles distribusjonslov. Denne funksjonen lar deg beregne sannsynlighetene for eventuelle hendelser fra. Spesielt den felles distribusjonsloven for tilfeldige variabler og, som tar verdier fra settet og, er gitt av sannsynligheter.
Begrepet "matematisk forventning" ble introdusert av Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) og kommer fra konseptet "forventet verdi av gevinster", som først dukket opp på 1600-tallet i teorien om gambling i verkene til Blaise Pascal og Christiaan Huygens. Imidlertid ble den første komplette teoretiske forståelsen og vurderingen av dette konseptet gitt av Pafnuty Lvovich Chebyshev (midten av 1800-tallet).
Fordelingsloven til tilfeldige numeriske variabler (fordelingsfunksjon og distribusjonsserie eller sannsynlighetstetthet) beskriver fullstendig oppførselen til en tilfeldig variabel. Men i en rekke problemer er det nok å kjenne til noen numeriske kjennetegn ved mengden som studeres (for eksempel dens gjennomsnittlige verdi og mulig avvik fra den) for å svare på spørsmålet som stilles. De viktigste numeriske egenskapene til tilfeldige variabler er den matematiske forventningen, variansen, modusen og medianen.
Den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel er summen av produktene av dens mulige verdier og deres tilsvarende sannsynligheter. Noen ganger kalles den matematiske forventningen et vektet gjennomsnitt, siden den er omtrent lik det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til en tilfeldig variabel over et stort antall eksperimenter. Fra definisjonen av matematisk forventning følger det at verdien ikke er mindre enn den minste mulige verdien av en tilfeldig variabel og ikke mer enn den største. Den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel er en ikke-tilfeldig (konstant) variabel.
Den matematiske forventningen har en enkel fysisk betydning: hvis du plasserer en enhetsmasse på en rett linje, plasserer en viss masse på noen punkter (for en diskret fordeling), eller "smører" den med en viss tetthet (for en absolutt kontinuerlig fordeling) , da vil punktet som tilsvarer den matematiske forventningen være koordinaten "tyngdepunkt" er rett.
Gjennomsnittsverdien av en tilfeldig variabel er et visst tall som så å si er dens "representative" og erstatter det i omtrentlige beregninger. Når vi sier: «gjennomsnittlig lampedriftstid er 100 timer» eller «gjennomsnittlig treffpunkt er forskjøvet i forhold til målet med 2 m til høyre», indikerer vi en viss numerisk karakteristikk av en tilfeldig variabel som beskriver plasseringen på den numeriske aksen, dvs. "posisjonsegenskaper".
Av egenskapene til en posisjon i sannsynlighetsteori, spilles den viktigste rollen av den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel, som noen ganger bare kalles gjennomsnittsverdien til en tilfeldig variabel.
Tenk på den tilfeldige variabelen X, som har mulige verdier x1, x2, …, xn med sannsynligheter p1, p2, …, pn. Vi må karakterisere med et tall posisjonen til verdiene til en tilfeldig variabel på x-aksen, tatt i betraktning det faktum at disse verdiene har forskjellige sannsynligheter. Til dette formålet er det naturlig å bruke det såkalte «vektede gjennomsnittet» av verdiene xi, og hver verdi xi under gjennomsnittsberegning bør tas i betraktning med en "vekt" proporsjonal med sannsynligheten for denne verdien. Dermed vil vi beregne gjennomsnittet av den tilfeldige variabelen X, som vi betegner M |X|:
Dette vektede gjennomsnittet kalles den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen. Derfor introduserte vi et av de viktigste begrepene i sannsynlighetsteori - begrepet matematisk forventning. Den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel er summen av produktene av alle mulige verdier av en tilfeldig variabel og sannsynlighetene for disse verdiene.
X er forbundet med en særegen avhengighet med det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til den tilfeldige variabelen over et stort antall eksperimenter. Denne avhengigheten er av samme type som avhengigheten mellom frekvens og sannsynlighet, nemlig: med et stort antall eksperimenter nærmer det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til en tilfeldig variabel seg (konvergerer i sannsynlighet) til dens matematiske forventning. Fra tilstedeværelsen av en sammenheng mellom frekvens og sannsynlighet, kan man som en konsekvens utlede tilstedeværelsen av en lignende sammenheng mellom det aritmetiske gjennomsnittet og den matematiske forventningen. Faktisk, vurder den tilfeldige variabelen X, preget av en distribusjonsserie:
La det produseres N uavhengige eksperimenter, i hver av dem verdien X får en viss verdi. La oss anta at verdien x1 dukket opp m1 ganger, verdi x2 dukket opp m2 ganger, generell betydning xi dukket opp min ganger. La oss beregne det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til verdien X, som i motsetning til den matematiske forventningen M|X| vi angir M*|X|:
Med økende antall eksperimenter N frekvenser pi vil nærme seg (konvergere i sannsynlighet) de tilsvarende sannsynlighetene. Følgelig er det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til den tilfeldige variabelen M|X| med en økning i antall eksperimenter vil den nærme seg (konvergere i sannsynlighet) til sin matematiske forventning. Sammenhengen mellom det aritmetiske gjennomsnittet og den matematiske forventningen formulert ovenfor utgjør innholdet i en av formene til loven om store tall.
Vi vet allerede at alle former for loven om store tall angir det faktum at noen gjennomsnitt er stabile over et stort antall eksperimenter. Her snakker vi om stabiliteten til det aritmetiske gjennomsnittet fra en serie observasjoner av samme mengde. Med et lite antall eksperimenter er det aritmetiske gjennomsnittet av resultatene tilfeldig; med en tilstrekkelig økning i antall eksperimenter blir det "nesten ikke-tilfeldig" og, stabiliserende, nærmer det seg en konstant verdi - den matematiske forventningen.
Stabiliteten til gjennomsnitt over et stort antall eksperimenter kan enkelt verifiseres eksperimentelt. For eksempel når vi veier en kropp i et laboratorium på nøyaktige vekter, får vi som et resultat av veiing en ny verdi hver gang; For å redusere observasjonsfeil veier vi kroppen flere ganger og bruker det aritmetiske gjennomsnittet av de oppnådde verdiene. Det er lett å se at med en ytterligere økning i antall eksperimenter (veiinger), reagerer det aritmetiske gjennomsnittet mindre og mindre på denne økningen, og med et tilstrekkelig stort antall eksperimenter, slutter det praktisk talt å endre seg.
Det skal bemerkes at den viktigste egenskapen til posisjonen til en tilfeldig variabel - den matematiske forventningen - ikke eksisterer for alle tilfeldige variabler. Det er mulig å komponere eksempler på slike tilfeldige variabler der den matematiske forventningen ikke eksisterer, siden den tilsvarende summen eller integralen divergerer. Slike saker er imidlertid ikke av vesentlig interesse for praksis. Vanligvis har de tilfeldige variablene vi håndterer et begrenset utvalg av mulige verdier og har selvfølgelig en matematisk forventning.
I tillegg til de viktigste egenskapene til posisjonen til en tilfeldig variabel - den matematiske forventningen - i praksis, brukes noen ganger andre egenskaper ved posisjonen, spesielt modusen og medianen til den tilfeldige variabelen.
Modusen til en tilfeldig variabel er dens mest sannsynlige verdi. Begrepet "mest sannsynlig verdi" gjelder strengt tatt kun for diskontinuerlige mengder; for en kontinuerlig mengde er modusen verdien der sannsynlighetstettheten er maksimal. Figurene viser modusen for henholdsvis diskontinuerlige og kontinuerlige stokastiske variabler.
Hvis fordelingspolygonet (fordelingskurven) har mer enn ett maksimum, kalles fordelingen "multimodal".
Noen ganger er det fordelinger som har et minimum i midten i stedet for et maksimum. Slike distribusjoner kalles "anti-modale".
I det generelle tilfellet er ikke modusen og den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel sammenfallende. I det spesielle tilfellet, når fordelingen er symmetrisk og modal (dvs. har en modus) og det er en matematisk forventning, så faller den sammen med modusen og symmetrisenteret til fordelingen.
En annen posisjonskarakteristikk brukes ofte - den såkalte medianen til en tilfeldig variabel. Denne egenskapen brukes vanligvis bare for kontinuerlige tilfeldige variabler, selv om den formelt kan defineres for en diskontinuerlig variabel. Geometrisk er medianen abscissen til punktet der området som er omsluttet av distribusjonskurven er delt i to.
Ved en symmetrisk modal fordeling faller medianen sammen med den matematiske forventningen og modusen.
Den matematiske forventningen er gjennomsnittsverdien av en tilfeldig variabel - en numerisk karakteristikk av sannsynlighetsfordelingen til en tilfeldig variabel. På den mest generelle måten, den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel X(w) er definert som Lebesgue-integralet med hensyn til sannsynlighetsmålet R i det opprinnelige sannsynlighetsrommet:
Den matematiske forventningen kan også beregnes som Lebesgue-integralet av X etter sannsynlighetsfordeling px mengder X:
Konseptet med en tilfeldig variabel med uendelig matematisk forventning kan defineres på en naturlig måte. Et typisk eksempel er returtidene for noen tilfeldige turer.
Ved å bruke den matematiske forventningen bestemmes mange numeriske og funksjonelle kjennetegn ved en fordeling (som den matematiske forventningen til de tilsvarende funksjonene til en tilfeldig variabel), for eksempel genereringsfunksjonen, karakteristisk funksjon, øyeblikk av enhver rekkefølge, spesielt spredning, kovarians .
Den matematiske forventningen er en karakteristikk av plasseringen av verdiene til en tilfeldig variabel (gjennomsnittsverdien av dens fordeling). I denne egenskapen fungerer den matematiske forventningen som en "typisk" fordelingsparameter, og dens rolle ligner rollen til det statiske momentet - koordinaten til tyngdepunktet til massefordelingen - i mekanikk. Fra andre kjennetegn ved stedet ved hjelp av hvilke fordelingen beskrives i generelle termer - skiller medianer, moduser, matematisk forventning seg i den større verdien den og den tilsvarende spredningskarakteristikken - spredning - har i grensesetningene til sannsynlighetsteori. Betydningen av matematisk forventning avsløres mest fullstendig av loven om store tall (Chebyshevs ulikhet) og den styrkede loven om store tall.
Forventning om en diskret tilfeldig variabel
La det være en tilfeldig variabel som kan ta en av flere numeriske verdier (for eksempel kan antall poeng når du kaster en terning være 1, 2, 3, 4, 5 eller 6). Ofte i praksis, for en slik verdi, oppstår spørsmålet: hvilken verdi tar det "i gjennomsnitt" med et stort antall tester? Hva blir vår gjennomsnittlige inntekt (eller tap) fra hver av de risikable transaksjonene?
La oss si at det er en slags lotteri. Vi ønsker å forstå om det er lønnsomt eller ikke å delta i det (eller til og med delta gjentatte ganger, regelmessig). La oss si at hver fjerde billett er en vinner, premien vil være 300 rubler, og prisen på en hvilken som helst billett vil være 100 rubler. Med et uendelig stort antall deltakelser er det dette som skjer. I tre fjerdedeler av tilfellene vil vi tape, hvert tredje tap vil koste 300 rubler. I hvert fjerde tilfelle vinner vi 200 rubler. (premie minus kostnad), det vil si for fire deltakelser taper vi i gjennomsnitt 100 rubler, for en - i gjennomsnitt 25 rubler. Totalt vil den gjennomsnittlige satsen på vår ruin være 25 rubler per billett.
Vi kaster terningene. Hvis det ikke er juks (uten å flytte tyngdepunktet osv.), hvor mange poeng vil vi da ha i snitt om gangen? Siden hvert alternativ er like sannsynlig, tar vi ganske enkelt det aritmetiske gjennomsnittet og får 3,5. Siden dette er GJENNOMSNITT, er det ingen grunn til å være indignert over at ingen spesifikke kast vil gi 3,5 poeng - vel, denne kuben har ikke et ansikt med et slikt tall!
La oss nå oppsummere eksemplene våre:
La oss se på bildet som nettopp ble gitt. Til venstre er en tabell over fordelingen av en tilfeldig variabel. Verdien X kan ha en av n mulige verdier (vist i den øverste linjen). Det kan ikke være noen andre betydninger. Under hver mulig verdi er sannsynligheten skrevet nedenfor. Til høyre er formelen, der M(X) kalles den matematiske forventningen. Betydningen av denne verdien er at med et stort antall tester (med et stort utvalg), vil gjennomsnittsverdien tendere til den samme matematiske forventningen.
La oss gå tilbake til den samme spillekuben. Den matematiske forventningen til antall poeng når du kaster er 3,5 (beregn det selv ved å bruke formelen hvis du ikke tror meg). La oss si at du kastet den et par ganger. Resultatene ble 4 og 6. Gjennomsnittet var 5, som er langt fra 3,5. De kastet den en gang til, de fikk 3, altså i gjennomsnitt (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... På en måte langt unna den matematiske forventningen. Gjør nå et vanvittig eksperiment - rull kuben 1000 ganger! Og selv om snittet ikke akkurat er 3,5, vil det være i nærheten av det.
La oss beregne den matematiske forventningen for lotteriet beskrevet ovenfor. Platen vil se slik ut:
Da vil den matematiske forventningen være, som vi etablerte ovenfor:
En annen ting er at å gjøre det "på fingrene", uten en formel, ville være vanskelig hvis det var flere alternativer. Vel, la oss si at det ville være 75 % tapte lodd, 20 % vinnende lodd og 5 % spesielt vinnende.
Nå noen egenskaper ved matematisk forventning.
Det er lett å bevise:
Den konstante faktoren kan tas ut som et tegn på den matematiske forventningen, det vil si:
Dette er et spesielt tilfelle av linearitetsegenskapen til den matematiske forventningen.
En annen konsekvens av lineariteten til den matematiske forventningen:
det vil si at den matematiske forventningen til summen av tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til tilfeldige variabler.
La X, Y være uavhengige tilfeldige variabler, Deretter:
Dette er også lett å bevise) Arbeid XY i seg selv er en tilfeldig variabel, og hvis startverdiene kunne ta n Og m verdier tilsvarende, da XY kan ta nm-verdier. Sannsynligheten for hver verdi beregnes basert på det faktum at sannsynlighetene for uavhengige hendelser multipliseres. Som et resultat får vi dette:
Forventning om en kontinuerlig tilfeldig variabel
Kontinuerlige tilfeldige variabler har en slik karakteristikk som distribusjonstetthet (sannsynlighetstetthet). Det karakteriserer i hovedsak situasjonen at en tilfeldig variabel tar noen verdier fra settet med reelle tall oftere, og noen sjeldnere. Tenk for eksempel på denne grafen:
Her X- faktisk tilfeldig variabel, f(x)- distribusjonstetthet. Etter denne grafen å dømme, under eksperimenter verdien X vil ofte være et tall nær null. Sjansene er overskredet 3 eller være mindre -3 snarere rent teoretisk.
La for eksempel være en enhetlig fordeling:
Dette er ganske i samsvar med intuitiv forståelse. La oss si at hvis vi mottar mange tilfeldige reelle tall med en enhetlig fordeling, vil hvert av segmentene |0; 1| , da bør det aritmetiske gjennomsnittet være omtrent 0,5.
Egenskapene til matematisk forventning - linearitet, etc., som gjelder for diskrete tilfeldige variabler, er også anvendelige her.
Sammenheng mellom matematisk forventning og andre statistiske indikatorer
I statistisk analyse, sammen med den matematiske forventningen, er det et system av gjensidig avhengige indikatorer som gjenspeiler homogeniteten til fenomener og stabiliteten til prosesser. Variasjonsindikatorer har ofte ingen uavhengig betydning og brukes til videre dataanalyse. Unntaket er variasjonskoeffisienten, som karakteriserer homogeniteten til dataene, som er en verdifull statistisk egenskap.
Graden av variasjon eller stabilitet av prosesser i statistisk vitenskap kan måles ved hjelp av flere indikatorer.
Den viktigste indikatoren som karakteriserer variabiliteten til en tilfeldig variabel er Spredning, som er nærmest og direkte relatert til den matematiske forventningen. Denne parameteren brukes aktivt i andre typer statistisk analyse (hypotesetesting, analyse av årsak-virkningsforhold osv.). Som det gjennomsnittlige lineære avviket reflekterer variansen også omfanget av spredningen av data rundt middelverdien.
Det er nyttig å oversette tegnspråket til ordspråket. Det viser seg at spredningen er den gjennomsnittlige kvadratet av avvikene. Det vil si at gjennomsnittsverdien først beregnes, deretter tas forskjellen mellom hver opprinnelige og gjennomsnittlig verdi, kvadreres, legges til og deretter divideres med antall verdier i populasjonen. Differansen mellom en individuell verdi og gjennomsnittet gjenspeiler målet på avviket. Den kvadreres slik at alle avvik utelukkende blir positive tall og for å unngå gjensidig ødeleggelse av positive og negative avvik når de summeres. Så, gitt de kvadrerte avvikene, beregner vi ganske enkelt det aritmetiske gjennomsnittet. Gjennomsnitt - kvadrat - avvik. Avvikene kvadreres og gjennomsnittet beregnes. Svaret på det magiske ordet "spredning" ligger i bare tre ord.
Imidlertid brukes ikke spredning i sin rene form, for eksempel det aritmetiske gjennomsnittet, eller indeksen. Det er snarere en hjelpe- og mellomindikator som brukes til andre typer statistiske analyser. Den har ikke engang en normal måleenhet. Etter formelen å dømme er dette kvadratet på måleenheten til de opprinnelige dataene.
La oss måle en tilfeldig variabel N ganger måler vi for eksempel vindhastigheten ti ganger og ønsker å finne gjennomsnittsverdien. Hvordan er gjennomsnittsverdien knyttet til fordelingsfunksjonen?
Eller vi kaster terningen et stort antall ganger. Antall poeng som vil vises på terningene ved hvert kast er en tilfeldig variabel og kan ha en hvilken som helst naturverdi fra 1 til 6. Det aritmetiske gjennomsnittet av de tapte poengene beregnet for alle terningkast er også en tilfeldig variabel, men for store N det har en tendens til et veldig spesifikt tall - matematisk forventning Mx. I dette tilfellet Mx = 3,5.
Hvordan fikk du denne verdien? Slipp inn N tester n1 når du får 1 poeng, n2 en gang - 2 poeng og så videre. Så antall utfall der ett poeng falt:
Tilsvarende for utfall når 2, 3, 4, 5 og 6 poeng kastes.
La oss nå anta at vi kjenner fordelingsloven til den tilfeldige variabelen x, det vil si at vi vet at den tilfeldige variabelen x kan ta verdier x1, x2, ..., xk med sannsynligheter p1, p2, ..., pk.
Den matematiske forventningen Mx til en tilfeldig variabel x er lik:
Den matematiske forventningen er ikke alltid et rimelig anslag på en tilfeldig variabel. For å estimere gjennomsnittslønnen er det derfor mer rimelig å bruke begrepet median, det vil si en slik verdi at antallet personer som mottar en lønn lavere enn medianen og en større, faller sammen.
Sannsynligheten p1 for at den tilfeldige variabelen x vil være mindre enn x1/2, og sannsynligheten p2 for at den tilfeldige variabelen x vil være større enn x1/2, er den samme og lik 1/2. Medianen er ikke bestemt unikt for alle distribusjoner.
Standard eller standardavvik i statistikk kalles graden av avvik for observasjonsdata eller sett fra AVERAGE-verdien. Angitt med bokstavene s eller s. Et lite standardavvik indikerer at dataene klynger seg rundt gjennomsnittet, mens et stort standardavvik indikerer at de første dataene er plassert langt unna. Standardavviket er lik kvadratroten av en mengde kalt varians. Det er gjennomsnittet av summen av kvadrerte forskjeller av de første dataene som avviker fra gjennomsnittsverdien. Standardavviket til en tilfeldig variabel er kvadratroten av variansen:
Eksempel. Under testforhold når du skyter mot et mål, beregne spredningen og standardavviket til den tilfeldige variabelen:
Variasjon- fluktuasjon, endring av verdien av en egenskap blant enheter av befolkningen. Individuelle numeriske verdier av en egenskap som finnes i befolkningen som studeres, kalles varianter av verdier. Manglen på gjennomsnittsverdien til å karakterisere befolkningen fullt ut tvinger oss til å supplere gjennomsnittsverdiene med indikatorer som lar oss vurdere typiskheten til disse gjennomsnittene ved å måle variasjonen (variasjonen) til egenskapen som studeres. Variasjonskoeffisienten beregnes ved hjelp av formelen:
Variasjonsområde(R) representerer forskjellen mellom maksimums- og minimumsverdiene til attributtet i befolkningen som studeres. Denne indikatoren gir den mest generelle ideen om variasjonen til karakteristikken som studeres, siden den viser forskjellen bare mellom de maksimale verdiene til alternativene. Avhengighet av ekstremverdiene til en karakteristikk gir variasjonsomfanget en ustabil, tilfeldig karakter.
Gjennomsnittlig lineært avvik representerer det aritmetiske gjennomsnittet av de absolutte (modulo) avvikene til alle verdiene til den analyserte populasjonen fra deres gjennomsnittsverdi:
Matematisk forventning i gamblingteori
Matematisk forventning er Det gjennomsnittlige beløpet en gambler kan vinne eller tape på en gitt innsats. Dette er et veldig viktig konsept for spilleren fordi det er grunnleggende for vurderingen av de fleste spillsituasjoner. Matematisk forventning er også det optimale verktøyet for å analysere grunnleggende kortoppsett og spillsituasjoner.
La oss si at du spiller et myntspill med en venn, og satser like mye på $1 hver gang, uansett hva som dukker opp. Tails betyr at du vinner, heads betyr at du taper. Oddsen er én til én for at det vil komme opp, så du satser $1 til $1. Dermed er din matematiske forventning null, fordi Fra et matematisk synspunkt kan du ikke vite om du leder eller taper etter to kast eller etter 200.
Timegevinsten din er null. Timegevinster er mengden penger du forventer å vinne i løpet av en time. Du kan kaste en mynt 500 ganger i løpet av en time, men du vil ikke vinne eller tape fordi... sjansene dine er verken positive eller negative. Hvis du ser på det, fra en seriøs spillers synspunkt, er ikke dette bettingsystemet dårlig. Men dette er rett og slett bortkastet tid.
Men la oss si at noen vil satse $2 mot $1 på det samme spillet. Da har du umiddelbart en positiv forventning på 50 øre fra hver innsats. Hvorfor 50 øre? I gjennomsnitt vinner du ett spill og taper det andre. Sats på den første dollaren og du vil tape $1, sats den andre og du vil vinne $2. Du satser $1 to ganger og er foran med $1. Så hvert av dine innsatser på én dollar ga deg 50 cent.
Hvis en mynt dukker opp 500 ganger i løpet av en time, vil timegevinsten din allerede være $250, fordi... I gjennomsnitt tapte du én dollar 250 ganger og vant to dollar 250 ganger. $500 minus $250 tilsvarer $250, som er den totale gevinsten. Vær oppmerksom på at den forventede verdien, som er gjennomsnittsbeløpet du vinner per spill, er 50 cent. Du vant $250 ved å satse en dollar 500 ganger, som tilsvarer 50 cent per innsats.
Matematisk forventning har ingenting med kortsiktige resultater å gjøre. Motstanderen din, som bestemte seg for å satse $2 mot deg, kunne slå deg på de ti første kastene på rad, men du, som har en 2 til 1 innsatsfordel, alt annet likt, vil tjene 50 cent på hver $1 innsats i enhver omstendigheter. Det spiller ingen rolle om du vinner eller taper ett spill eller flere spill, så lenge du har nok penger til å dekke kostnadene komfortabelt. Fortsetter du å satse på samme måte, vil gevinsten over lang tid nærme seg summen av forventningene i individuelle kast.
Hver gang du gjør en beste innsats (et spill som kan vise seg å være lønnsomt i det lange løp), når oddsen er i din favør, er du nødt til å vinne noe på det, uansett om du taper det eller ikke i gitt hånd. Motsatt, hvis du foretar et underdog-spill (et spill som er ulønnsomt i det lange løp) når oddsen er mot deg, taper du noe uansett om du vinner eller taper hånden.
Du plasserer et spill med det beste resultatet hvis forventningen din er positiv, og den er positiv hvis oddsen er på din side. Når du plasserer et spill med det verste resultatet, har du en negativ forventning, som skjer når oddsen er mot deg. Seriøse spillere satser bare på det beste resultatet; hvis det verste skjer, kaster de seg. Hva betyr oddsen i din favør? Du kan ende opp med å vinne mer enn de virkelige oddsene gir. Den virkelige oddsen for å lande hoder er 1 til 1, men du får 2 til 1 på grunn av oddsforholdet. I dette tilfellet er oddsen i din favør. Du får definitivt det beste resultatet med en positiv forventning på 50 cent per innsats.
Her er et mer komplekst eksempel på matematisk forventning. En venn skriver ned tall fra én til fem og satser $5 mot $1 på at du ikke vil gjette tallet. Bør du gå med på et slikt veddemål? Hva er forventningene her?
I gjennomsnitt tar du feil fire ganger. Basert på dette er oddsen mot at du gjetter tallet 4 til 1. Oddsen mot at du taper en dollar på ett forsøk. Du vinner imidlertid 5 mot 1, med mulighet for å tape 4 mot 1. Så oddsen er i din favør, du kan ta innsatsen og håpe på det beste resultatet. Hvis du gjør denne innsatsen fem ganger, vil du i gjennomsnitt tape $1 fire ganger og vinne $5 én gang. Basert på dette, for alle fem forsøkene vil du tjene $1 med en positiv matematisk forventning på 20 cent per innsats.
En spiller som kommer til å vinne mer enn han satser, som i eksempelet ovenfor, tar sjanser. Tvert imot ødelegger han sjansene sine når han forventer å vinne mindre enn han satser. En spiller kan ha enten en positiv eller en negativ forventning, som avhenger av om han vinner eller ødelegger oddsen.
Hvis du satser $50 for å vinne $10 med en vinnersjans på 4 til 1, vil du få en negativ forventning på $2 fordi I gjennomsnitt vil du vinne $10 fire ganger og tape $50 én gang, noe som viser at tapet per innsats vil være $10. Men hvis du satser $30 for å vinne $10, med samme odds for å vinne 4 til 1, så har du i dette tilfellet en positiv forventning på $2, fordi du vinner igjen $10 fire ganger og taper $30 én gang, for en fortjeneste på $10. Disse eksemplene viser at den første innsatsen er dårlig, og den andre er god.
Matematisk forventning er sentrum for enhver spillsituasjon. Når en bookmaker oppfordrer fotballfans til å satse $11 for å vinne $10, har han en positiv forventning på 50 cent for hver $10. Hvis kasinoet betaler jevne penger fra pass-linjen i craps, vil kasinoets positive forventning være omtrent $1,40 for hver $100, fordi Dette spillet er strukturert slik at alle som satser på denne linjen taper 50,7 % i gjennomsnitt og vinner 49,3 % av den totale tiden. Utvilsomt er det denne tilsynelatende minimale positive forventningen som gir enorm fortjeneste til kasinoeiere over hele verden. Som Vegas World kasinoeier Bob Stupak bemerket, "en tusendel av én prosent negativ sannsynlighet over en lang nok avstand vil ødelegge den rikeste mannen i verden."
Forventning når du spiller poker
Spillet poker er det mest illustrerende og illustrerende eksemplet fra synspunktet om å bruke teorien og egenskapene til matematiske forventninger.
Forventet verdi i poker er den gjennomsnittlige fordelen fra en bestemt avgjørelse, forutsatt at en slik avgjørelse kan vurderes innenfor rammen av teorien om store tall og lang avstand. Et vellykket pokerspill er å alltid akseptere trekk med positiv forventet verdi.
Den matematiske betydningen av den matematiske forventningen når vi spiller poker er at vi ofte møter tilfeldige variabler når vi tar avgjørelser (vi vet ikke hvilke kort motstanderen har i hendene, hvilke kort som kommer i påfølgende budrunder). Vi må vurdere hver av løsningene fra stortallteoriens synspunkt, som sier at med et tilstrekkelig stort utvalg vil gjennomsnittsverdien til en tilfeldig variabel ha en tendens til dens matematiske forventning.
Blant de spesielle formlene for å beregne den matematiske forventningen, er følgende mest anvendelig i poker:
Når du spiller poker, kan den forventede verdien beregnes for både innsatser og samtaler. I det første tilfellet bør fold equity tas i betraktning, i det andre, bankens egne odds. Når du vurderer den matematiske forventningen til et bestemt trekk, bør du huske at en fold alltid har null forventning. Dermed vil det å kaste kort alltid være en mer lønnsom beslutning enn noe negativt trekk.
Forventning forteller deg hva du kan forvente (fortjeneste eller tap) for hver dollar du risikerer. Kasinoer tjener penger fordi den matematiske forventningen til alle spill som spilles i dem er til fordel for kasinoet. Med en lang nok serie med spill kan du forvente at klienten vil tape pengene sine, siden "oddsene" er til fordel for kasinoet. Imidlertid begrenser profesjonelle kasinospillere spillene sine til korte tidsperioder, og stabler dermed oddsen i deres favør. Det samme gjelder investering. Hvis forventningen din er positiv, kan du tjene mer penger ved å gjøre mange handler på kort tid. Forventning er din prosentandel av fortjeneste per seier multiplisert med din gjennomsnittlige fortjeneste, minus sannsynligheten for tap multiplisert med ditt gjennomsnittlige tap.
Poker kan også betraktes fra et synspunkt om matematisk forventning. Du kan anta at et bestemt trekk er lønnsomt, men i noen tilfeller er det kanskje ikke det beste fordi et annet trekk er mer lønnsomt. La oss si at du treffer fullt hus i poker med fem kort. Motstanderen din gjør en innsats. Du vet at hvis du øker innsatsen, vil han svare. Derfor ser det ut til å høyne å være den beste taktikken. Men hvis du øker innsatsen, vil de resterende to spillerne definitivt kaste seg. Men ringer du, har du full tillit til at de to andre spillerne bak deg vil gjøre det samme. Når du høyner innsatsen din får du én enhet, og når du bare syner får du to. Dermed gir calling deg en høyere positiv forventet verdi og vil være den beste taktikken.
Den matematiske forventningen kan også gi en ide om hvilke pokertaktikker som er mindre lønnsomme og hvilke som er mer lønnsomme. For eksempel, hvis du spiller en bestemt hånd og du tror tapet ditt vil gjennomsnittlig være 75 cent inkludert ante, bør du spille den hånden fordi dette er bedre enn å folde når ante er $1.
En annen viktig grunn til å forstå konseptet med forventet verdi er at det gir deg en følelse av sinnsro uansett om du vinner innsatsen eller ikke: hvis du gjorde et godt veddemål eller kastet deg til rett tid, vil du vite at du har tjent eller sparte en viss sum penger som den svake spilleren ikke kunne spare. Det er mye vanskeligere å kaste seg hvis du er opprørt fordi motstanderen fikk en sterkere hånd. Med alt dette blir pengene du sparer ved å ikke spille i stedet for å satse, lagt til gevinstene dine for natten eller måneden.
Bare husk at hvis du byttet hender, ville motstanderen din ha kalt deg, og som du vil se i artikkelen om Fundamental Theorem of Poker, er dette bare en av fordelene dine. Du skal være glad når dette skjer. Du kan til og med lære å nyte å miste en hånd fordi du vet at andre spillere i din posisjon ville ha tapt mye mer.
Som nevnt i myntspilleksemplet innledningsvis, er timelønnen for profitt forbundet med den matematiske forventningen, og dette konseptet er spesielt viktig for profesjonelle spillere. Når du går for å spille poker, bør du mentalt anslå hvor mye du kan vinne på en times spill. I de fleste tilfeller må du stole på din intuisjon og erfaring, men du kan også bruke litt matematikk. For eksempel, du spiller draw lowball og du ser tre spillere satse $10 og deretter bytte to kort, som er en veldig dårlig taktikk, du kan finne ut at hver gang de satser $10, taper de rundt $2. Hver av dem gjør dette åtte ganger i timen, noe som betyr at alle tre taper omtrent $48 per time. Du er en av de resterende fire spillerne som er omtrent like, så disse fire spillerne (og du blant dem) må dele $48, hver med en fortjeneste på $12 per time. Timeoddsene dine i dette tilfellet er ganske enkelt lik din andel av pengebeløpet tapt av tre dårlige spillere på en time.
Over en lang periode er spillerens totale gevinster summen av hans matematiske forventninger i individuelle hender. Jo flere hender du spiller med positiv forventning, jo mer vinner du, og omvendt, jo flere hender du spiller med negativ forventning, jo mer taper du. Som et resultat bør du velge et spill som kan maksimere din positive forventning eller negere din negative forventning slik at du kan maksimere timegevinstene dine.
Positive matematiske forventninger i spillstrategi
Hvis du vet hvordan du skal telle kort, kan du ha en fordel fremfor casinoet, så lenge de ikke legger merke til det og kaster deg ut. Kasinoer elsker fulle spillere og tolererer ikke spillere som teller kort. En fordel vil tillate deg å vinne flere ganger enn du taper over tid. God pengestyring ved å bruke beregninger av forventet verdi kan hjelpe deg å hente ut mer profitt fra fordelen din og redusere tapene dine. Uten en fordel er det bedre å gi pengene til veldedighet. I spillet på børsen er fordelen gitt av spillsystemet, som skaper større fortjeneste enn tap, prisforskjeller og provisjoner. Ingen pengebeløp kan redde et dårlig spillsystem.
En positiv forventning er definert som en verdi større enn null. Jo større dette tallet er, desto sterkere er den statistiske forventningen. Hvis verdien er mindre enn null, vil den matematiske forventningen også være negativ. Jo større modulen til den negative verdien er, desto verre er situasjonen. Hvis resultatet er null, er ventetiden break-even. Du kan bare vinne når du har en positiv matematisk forventning og et fornuftig spillesystem. Å spille etter intuisjon fører til katastrofe.
Matematisk forventning og aksjehandel
Matematisk forventning er en ganske mye brukt og populær statistisk indikator når du utfører børshandel i finansmarkedene. Først av alt brukes denne parameteren til å analysere suksessen til handel. Det er ikke vanskelig å gjette at jo høyere denne verdien er, jo flere grunner til å vurdere handelen som studeres som vellykket. Selvfølgelig kan analyse av en næringsdrivendes arbeid ikke utføres med denne parameteren alene. Imidlertid kan den beregnede verdien, i kombinasjon med andre metoder for å vurdere kvaliteten på arbeidet, øke nøyaktigheten av analysen betydelig.
Den matematiske forventningen beregnes ofte i handelskontoovervåkingstjenester, som lar deg raskt evaluere arbeidet som er utført på innskuddet. Unntakene inkluderer strategier som bruker "sitting out" ulønnsomme handler. En handelsmann kan være heldig en stund, og derfor kan det ikke være noen tap i arbeidet hans i det hele tatt. I dette tilfellet vil det ikke være mulig å bli veiledet bare av den matematiske forventningen, fordi risikoen som brukes i arbeidet ikke vil bli tatt i betraktning.
I markedshandel brukes den matematiske forventningen oftest når man forutsier lønnsomheten til enhver handelsstrategi eller når man forutsier en traders inntekt basert på statistiske data fra hans tidligere handel.
Når det gjelder pengestyring, er det veldig viktig å forstå at når du handler med negative forventninger, er det ingen pengestyringsordning som definitivt kan gi høy fortjeneste. Hvis du fortsetter å spille på aksjemarkedet under disse forholdene, vil du uansett hvordan du forvalter pengene dine miste hele kontoen din, uansett hvor stor den var til å begynne med.
Dette aksiomet gjelder ikke bare for spill eller handler med negative forventninger, det gjelder også for spill med like sjanser. Derfor er den eneste gangen du har en sjanse til å tjene penger på lang sikt hvis du tar handler med positiv forventet verdi.
Forskjellen mellom negativ forventning og positiv forventning er forskjellen mellom liv og død. Det spiller ingen rolle hvor positiv eller negativ forventningen er; Alt som betyr noe er om det er positivt eller negativt. Derfor, før du vurderer pengestyring, bør du finne et spill med positive forventninger.
Hvis du ikke har det spillet, vil ikke all pengeforvaltningen i verden redde deg. På den annen side, hvis du har en positiv forventning, kan du, gjennom riktig pengehåndtering, gjøre den om til en eksponentiell vekstfunksjon. Det spiller ingen rolle hvor liten den positive forventningen er! Med andre ord spiller det ingen rolle hvor lønnsomt et handelssystem er basert på en enkelt kontrakt. Hvis du har et system som vinner $10 per kontrakt per handel (etter provisjoner og slipping), kan du bruke pengestyringsteknikker for å gjøre det mer lønnsomt enn et system som i gjennomsnitt er $1000 per handel (etter fradrag av provisjoner og slipping).
Det som betyr noe er ikke hvor lønnsomt systemet var, men hvor sikkert systemet kan sies å vise minst minimal fortjeneste i fremtiden. Derfor er den viktigste forberedelsen en trader kan gjøre å sikre at systemet vil vise en positiv forventet verdi i fremtiden.
For å ha en positiv forventet verdi i fremtiden er det svært viktig å ikke begrense frihetsgradene til systemet ditt. Dette oppnås ikke bare ved å eliminere eller redusere antall parametere som skal optimaliseres, men også ved å redusere så mange systemregler som mulig. Hver parameter du legger til, hver regel du gjør, hver minste endring du gjør i systemet reduserer antallet frihetsgrader. Ideelt sett må du bygge et ganske primitivt og enkelt system som konsekvent vil generere liten fortjeneste i nesten alle markeder. Igjen er det viktig for deg å forstå at det ikke spiller noen rolle hvor lønnsomt systemet er, så lenge det er lønnsomt. Pengene du tjener på handel vil bli tjent gjennom effektiv pengestyring.
Et handelssystem er rett og slett et verktøy som gir deg en positiv forventet verdi slik at du kan bruke pengestyring. Systemer som fungerer (viser minst minimal fortjeneste) i bare ett eller noen få markeder, eller har forskjellige regler eller parametere for forskjellige markeder, vil mest sannsynlig ikke fungere i sanntid lenge nok. Problemet med de fleste teknisk orienterte handelsmenn er at de bruker for mye tid og krefter på å optimalisere de ulike reglene og parameterverdiene til handelssystemet. Dette gir helt motsatte resultater. I stedet for å kaste bort energi og datatid på å øke fortjenesten til handelssystemet, kan du rette energien din til å øke pålitelighetsnivået for å oppnå en minimumsfortjeneste.
Når du vet at pengestyring bare er et tallspill som krever bruk av positive forventninger, kan en trader slutte å lete etter den "hellige gral" til aksjehandel. I stedet kan han begynne å teste sin handelsmetode, finne ut hvor logisk denne metoden er, og om den gir positive forventninger. Riktige pengestyringsmetoder, brukt på alle, til og med veldig middelmådige handelsmetoder, vil gjøre resten av arbeidet selv.
For at enhver handelsmann skal lykkes i arbeidet sitt, må han løse tre viktigste oppgaver: . For å sikre at antallet vellykkede transaksjoner overstiger de uunngåelige feilene og feilberegningene; Sett opp ditt handelssystem slik at du har muligheten til å tjene penger så ofte som mulig; Oppnå stabile positive resultater fra driften.
Og her, for oss arbeidende handelsmenn, kan matematisk forventning være til stor hjelp. Dette begrepet er en av de viktigste i sannsynlighetsteori. Med dens hjelp kan du gi et gjennomsnittlig anslag på en tilfeldig verdi. Den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel er lik tyngdepunktet, hvis du ser for deg alle mulige sannsynligheter som punkter med ulik masse.
I forhold til en handelsstrategi, brukes den matematiske forventningen om fortjeneste (eller tap) oftest for å evaluere effektiviteten. Denne parameteren er definert som summen av produktene av gitte nivåer av fortjeneste og tap og sannsynligheten for at de inntreffer. For eksempel antar den utviklede handelsstrategien at 37% av alle transaksjoner vil gi fortjeneste, og den resterende delen - 63% - vil være ulønnsom. Samtidig vil gjennomsnittlig inntekt fra en vellykket transaksjon være $7, og gjennomsnittlig tap vil være $1,4. La oss beregne den matematiske forventningen til handel ved å bruke dette systemet:
Hva betyr dette tallet? Den sier at, etter reglene i dette systemet, vil vi i gjennomsnitt motta $1708 fra hver avsluttede transaksjon. Siden den resulterende effektivitetsvurderingen er større enn null, kan et slikt system brukes til virkelig arbeid. Hvis den matematiske forventningen som et resultat av beregningen viser seg å være negativ, indikerer dette allerede et gjennomsnittlig tap, og slik handel vil føre til ruin.
Fortjenestebeløpet per transaksjon kan også uttrykkes som en relativ verdi i form av %. For eksempel:
– prosentandel av inntekt per 1 transaksjon - 5%;
– prosentandel av vellykkede handelsoperasjoner - 62 %;
– prosentandel av tap per 1 transaksjon - 3 %;
– prosentandel av mislykkede transaksjoner - 38%;
Det vil si at gjennomsnittlig handel vil gi 1,96%.
Det er mulig å utvikle et system som, til tross for overvekt av ulønnsomme handler, vil gi et positivt resultat, siden MO>0.
Det er imidlertid ikke nok å vente alene. Det er vanskelig å tjene penger hvis systemet gir svært få handelssignaler. I dette tilfellet vil lønnsomheten være sammenlignbar med bankrenter. La hver operasjon i gjennomsnitt bare produsere 0,5 dollar, men hva om systemet involverer 1000 operasjoner per år? Dette vil være et meget betydelig beløp på relativt kort tid. Det følger logisk av dette at et annet særtrekk ved et godt handelssystem kan betraktes som en kort periode med å holde posisjoner.
Kilder og lenker
dic.academic.ru – akademisk nettordbok
mathematics.ru – pedagogisk nettsted i matematikk
nsu.ru - pedagogisk nettsted for Novosibirsk State University
webmath.ru er en pedagogisk portal for studenter, søkere og skoleelever.
exponenta.ru pedagogisk matematisk nettsted
ru.tradimo.com – gratis online handelsskole
crypto.hut2.ru – tverrfaglig informasjonsressurs
poker-wiki.ru – gratis leksikon av poker
sernam.ru – Vitenskapelig bibliotek med utvalgte naturvitenskapelige publikasjoner
reshim.su – nettside VI LØSER testkursproblemer
unfx.ru – Forex på UNFX: opplæring, handelssignaler, tillitsstyring
slovopedia.com – Big Encyclopedic Dictionary Slovopedia
pokermansion.3dn.ru – Din guide i pokerverdenen
statanaliz.info – informasjonsblogg “Statistisk dataanalyse”
forex-trader.rf – Forex-trader-portal
megafx.ru – nåværende Forex-analyse
fx-by.com – alt for en trader
Det vil si hvis sl. mengden har en fordelingslov, da
kalt dens matematiske forventning. Hvis sl. mengden har et uendelig antall verdier, da bestemmes den matematiske forventningen av summen av den uendelige rekken 
, forutsatt at denne serien er absolutt konvergent (ellers sier de at den matematiske forventningen ikke eksisterer) .
Til kontinuerlige sl. verdi spesifisert av f(x), den matematiske forventningen er definert som et integral
forutsatt at dette integralet eksisterer (hvis integralet divergerer, så sier de at den matematiske forventningen ikke eksisterer).
Eksempel 1. La oss bestemme den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel fordelt over Poissons lov. A-priory
eller la oss betegne
, 
Så parameteren , den definerende fordelingsloven for en tilfeldig Poisson-variabel er lik gjennomsnittsverdien til denne variabelen.
Eksempel 2. For en tilfeldig variabel som har en eksponentiell distribusjonslov, er den matematiske forventningen lik
(
):
(ta grensene i integralet, ta i betraktning det faktum at f (x) er ikke null bare for positiv x).
Eksempel 3. Tilfeldig variabel fordelt etter fordelingsloven Cauchy, har ingen middelverdi. Egentlig
Egenskaper for matematisk forventning.
Eiendom 1. Den matematiske forventningen til en konstant er lik denne konstanten selv.
Konstanten C tar denne verdien med sannsynlighet én og per definisjon M(C)=C×1=C
Eiendom 2. Den matematiske forventningen til en algebraisk sum av tilfeldige variabler er lik den algebraiske summen av deres matematiske forventninger.
Vi begrenser oss til å bevise denne egenskapen kun for summen av to diskrete tilfeldige variabler, dvs. la oss bevise det
Under summen av to diskrete ord. Mengdene forstås som følger. En størrelse som tar verdier med sannsynligheter
A-priory
hvor er sannsynligheten for hendelsen beregnet under forutsetning av at . Høyresiden av den siste likheten viser alle tilfeller av forekomst av hendelsen, derfor er den lik den totale sannsynligheten for at hendelsen inntreffer, dvs. 
. like måte 
. Endelig har vi
Eiendom 3. Den matematiske forventningen til produktet av to uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger.
| U | … | |||||||
| Q | … | |||||||
| X | … | |||||||
| R | … | |||||||
Vi presenterer bevis på denne egenskapen kun for diskrete mengder. For kontinuerlige tilfeldige variabler er det bevist på lignende måte.
La X og Y være uavhengige og ha distribusjonslover
Produktet av disse tilfeldige variablene vil være en tilfeldig variabel som tar verdier med like sannsynligheter, på grunn av uavhengigheten til de tilfeldige variablene, . Deretter
Konsekvens. Den konstante faktoren kan tas ut som et tegn på matematisk forventning. Så århundrekonstanten C avhenger ikke av hvilken verdi ordet har. verdi X, deretter av egenskap 3. vi har
M(CX)=M(C)×M(X)=C×M(X)
Eksempel. Hvis a og b er konstanter, så er M(ax+b)=aM(x)+b.
Matematisk forventning om antall forekomster av en hendelse i et design av uavhengige forsøk.
La det utføres n uavhengige eksperimenter, hvor sannsynligheten for at det inntreffer en hendelse i hver av dem er lik P. Antall forekomster av en hendelse i disse n eksperimentene er en stokastisk variabel X fordelt etter binomialloven. Det er imidlertid tungvint å direkte beregne gjennomsnittsverdien. For å forenkle vil vi bruke utvidelsen, som vi vil bruke mer enn én gang i fremtiden: Antall forekomster av en hendelse i n forsøk består av antall forekomster av hendelsen i enkeltforsøk, dvs.
hvor har en distribusjonslov (tar verdien 1 hvis hendelsen skjedde i et gitt eksperiment, og verdien 0 hvis hendelsen ikke dukket opp i et gitt eksperiment).
| R | 1 | R |
Derfor
de. gjennomsnittlig antall forekomster av en hendelse i n uavhengige eksperimenter er lik produktet av antall eksperimenter og sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i ett eksperiment.
For eksempel, hvis sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,1, så er gjennomsnittlig antall treff i 20 skudd 20x0,1=2.
Matematisk forventning er definisjonen
Sjakkmatt venter er et av de viktigste konseptene i matematisk statistikk og sannsynlighetsteori, som karakteriserer fordelingen av verdier eller sannsynligheter tilfeldig variabel. Typisk uttrykt som et vektet gjennomsnitt av alle mulige parametere for en tilfeldig variabel. Mye brukt i teknisk analyse, studiet av tallserier og studiet av kontinuerlige og tidkrevende prosesser. Det er viktig for å vurdere risiko, forutsi prisindikatorer ved handel på finansmarkeder, og brukes i utvikling av strategier og metoder for spilltaktikk i gambling teorier.
Sjakkmatt venter- Dette middelverdi av en tilfeldig variabel, fordeling sannsynligheter tilfeldig variabel vurderes i sannsynlighetsteori.
Sjakkmatt venter er et mål på gjennomsnittsverdien av en tilfeldig variabel i sannsynlighetsteori. Sjakkmatt forventningen til en tilfeldig variabel x betegnet med M(x).
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Sjakkmatt venter er
Sjakkmatt venter er i sannsynlighetsteori, et vektet gjennomsnitt av alle mulige verdier som en tilfeldig variabel kan ta.
Sjakkmatt venter er summen av produktene av alle mulige verdier av en tilfeldig variabel og sannsynlighetene for disse verdiene.
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Sjakkmatt venter er gjennomsnittlig nytte av en bestemt beslutning, forutsatt at en slik beslutning kan vurderes innenfor rammen av teorien om store tall og lang avstand.
Sjakkmatt venter er i gamblingteori, mengden gevinster som en spekulant i gjennomsnitt kan tjene eller tape på hver innsats. På gamblingens språk spekulanter dette kalles noen ganger "fordel" spekulant" (hvis den er positiv for spekulanten) eller "huskanten" (hvis den er negativ for spekulanten).
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Sjakkmatt venter er fortjeneste per seier multiplisert med gjennomsnittet profitt, minus tapet, multiplisert med gjennomsnittstapet.
Matematisk forventning til en tilfeldig variabel i matematisk teori
En av de viktige numeriske egenskapene til en tilfeldig variabel er forventet verdi. La oss introdusere konseptet med et system av tilfeldige variabler. La oss vurdere et sett med tilfeldige variabler som er resultatene av det samme tilfeldige eksperimentet. Hvis er en av de mulige verdiene til systemet, tilsvarer hendelsen en viss sannsynlighet som tilfredsstiller Kolmogorovs aksiomer. En funksjon definert for alle mulige verdier av tilfeldige variabler kalles en felles distribusjonslov. Denne funksjonen lar deg beregne sannsynlighetene for eventuelle hendelser fra. Spesielt felles lov fordelinger av tilfeldige variabler og, som tar verdier fra settet og, er gitt av sannsynligheter.
Begrepet "mat. forventning" ble introdusert av Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) og kommer fra konseptet "forventet verdi av gevinster", som først dukket opp på 1600-tallet i gamblingteori i verkene til Blaise Pascal og Christiaan Huygens. Imidlertid ble den første komplette teoretiske forståelsen og vurderingen av dette konseptet gitt av Pafnuty Lvovich Chebyshev (midten av 1800-tallet).
Lov fordelinger av tilfeldige numeriske variabler (fordelingsfunksjon og distribusjonsserie eller sannsynlighetstetthet) beskriver fullstendig oppførselen til en tilfeldig variabel. Men i en rekke problemer er det nok å kjenne til noen numeriske kjennetegn ved mengden som studeres (for eksempel dens gjennomsnittlige verdi og mulig avvik fra den) for å svare på spørsmålet som stilles. De viktigste numeriske egenskapene til tilfeldige variabler er forventning, varians, modus og median.
Forventningen til en diskret tilfeldig variabel er summen av produktene av dens mulige verdier og deres tilsvarende sannsynligheter. Noen ganger banning. Forventningen kalles et vektet gjennomsnitt, siden det er omtrent lik det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til en tilfeldig variabel over et stort antall eksperimenter. Fra definisjonen av forventningsverdien følger det at verdien ikke er mindre enn den minste mulige verdien av den tilfeldige variabelen og ikke større enn den største. Den forventede verdien av en tilfeldig variabel er en ikke-tilfeldig (konstant) variabel.
Den matematiske forventningen har en enkel fysisk betydning: hvis du plasserer en enhetsmasse på en rett linje, plasserer en viss masse på noen punkter (for en diskret fordeling), eller "smører" den med en viss tetthet (for en absolutt kontinuerlig fordeling) , da vil punktet som tilsvarer den matematiske forventningen være koordinaten "tyngdepunkt" er rett.
Gjennomsnittsverdien av en tilfeldig variabel er et visst tall som så å si er dens "representative" og erstatter det i omtrentlige beregninger. Når vi sier: «gjennomsnittlig lampedriftstid er 100 timer» eller «gjennomsnittlig treffpunkt er forskjøvet i forhold til målet med 2 m til høyre», indikerer vi en viss numerisk karakteristikk av en tilfeldig variabel som beskriver plasseringen på den numeriske aksen, dvs. "posisjonsegenskaper".
Blant egenskapene til en posisjon i sannsynlighetsteori, spilles den viktigste rollen av den forventede verdien av en tilfeldig variabel, som noen ganger bare kalles gjennomsnittsverdien til en tilfeldig variabel.
Tenk på den tilfeldige variabelen X, som har mulige verdier x1, x2, …, xn med sannsynligheter p1, p2, …, pn. Vi må karakterisere med et tall posisjonen til verdiene til en tilfeldig variabel på abscisseaksen med tar i betraktning at disse verdiene har forskjellige sannsynligheter. Til dette formålet er det naturlig å bruke det såkalte «vektede gjennomsnittet» av verdiene xi, og hver verdi xi under gjennomsnittsberegning bør tas i betraktning med en "vekt" proporsjonal med sannsynligheten for denne verdien. Dermed vil vi beregne gjennomsnittet av den tilfeldige variabelen X, som vi betegner M |X|:
Dette vektede gjennomsnittet kalles forventet verdi av en tilfeldig variabel. Derfor introduserte vi et av de viktigste begrepene innen sannsynlighetsteori - begrepet matematikk. forventninger. Matte. Forventningen til en tilfeldig variabel er summen av produktene av alle mulige verdier av en tilfeldig variabel og sannsynlighetene for disse verdiene.
Matte. venter på en tilfeldig variabel X er forbundet med en særegen avhengighet med det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til den tilfeldige variabelen over et stort antall eksperimenter. Denne avhengigheten er av samme type som avhengigheten mellom frekvens og sannsynlighet, nemlig: med et stort antall eksperimenter nærmer det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til en tilfeldig variabel seg (konvergerer i sannsynlighet) til dens matematikk. venter. Fra tilstedeværelsen av en sammenheng mellom frekvens og sannsynlighet, kan man som en konsekvens utlede tilstedeværelsen av en lignende sammenheng mellom det aritmetiske gjennomsnittet og den matematiske forventningen. Faktisk, vurder den tilfeldige variabelen X, preget av en distribusjonsserie:
La det produseres N uavhengige eksperimenter, i hver av dem verdien X får en viss verdi. La oss anta at verdien x1 dukket opp m1 ganger, verdi x2 dukket opp m2 ganger, generell betydning xi dukket opp min ganger. La oss beregne det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til verdien X, som i motsetning til den matematiske forventningen M|X| vi angir M*|X|:
Med økende antall eksperimenter N frekvenser pi vil nærme seg (konvergere i sannsynlighet) de tilsvarende sannsynlighetene. Følgelig er det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til den tilfeldige variabelen M|X| med en økning i antall eksperimenter den vil nærme seg (konvergere i sannsynlighet) til den forventede verdien. Sammenhengen formulert ovenfor mellom aritmetisk gjennomsnitt og matematikk. forventning er innholdet i en av formene for loven om store tall.
Vi vet allerede at alle former for loven om store tall angir det faktum at noen gjennomsnitt er stabile over et stort antall eksperimenter. Her snakker vi om stabiliteten til det aritmetiske gjennomsnittet fra en serie observasjoner av samme mengde. Med et lite antall eksperimenter er det aritmetiske gjennomsnittet av resultatene tilfeldig; med en tilstrekkelig økning i antall eksperimenter, blir det "nesten ikke-tilfeldig" og, stabiliserende, nærmer det seg en konstant verdi - mat. venter.
Stabiliteten til gjennomsnitt over et stort antall eksperimenter kan enkelt verifiseres eksperimentelt. For eksempel når vi veier en kropp i et laboratorium på nøyaktige vekter, får vi som et resultat av veiing en ny verdi hver gang; For å redusere observasjonsfeil veier vi kroppen flere ganger og bruker det aritmetiske gjennomsnittet av de oppnådde verdiene. Det er lett å se at med en ytterligere økning i antall eksperimenter (veiinger), reagerer det aritmetiske gjennomsnittet mindre og mindre på denne økningen, og med et tilstrekkelig stort antall eksperimenter, slutter det praktisk talt å endre seg.
Det skal bemerkes at den viktigste egenskapen til posisjonen til en tilfeldig variabel er mat. forventning - eksisterer ikke for alle tilfeldige variabler. Det er mulig å lage eksempler på slike tilfeldige variabler for hvilke mat. det er ingen forventning fordi den tilsvarende summen eller integralen divergerer. Slike saker er imidlertid ikke av vesentlig interesse for praksis. Vanligvis har de tilfeldige variablene vi håndterer et begrenset utvalg av mulige verdier og har selvfølgelig en matematisk forventning.
I tillegg til de viktigste egenskapene til posisjonen til en tilfeldig variabel - forventningsverdien - brukes i praksis andre egenskaper ved posisjonen, spesielt modusen og medianen til den tilfeldige variabelen.
Modusen til en tilfeldig variabel er dens mest sannsynlige verdi. Begrepet "mest sannsynlig verdi" gjelder strengt tatt kun for diskontinuerlige mengder; for en kontinuerlig mengde er modusen verdien der sannsynlighetstettheten er maksimal. Figurene viser modusen for henholdsvis diskontinuerlige og kontinuerlige stokastiske variabler.
Hvis fordelingspolygonet (fordelingskurven) har mer enn ett maksimum, kalles fordelingen "multimodal".
Noen ganger er det fordelinger som har et minimum i midten i stedet for et maksimum. Slike distribusjoner kalles "anti-modale".
I det generelle tilfellet faller ikke modusen og forventet verdi av en tilfeldig variabel sammen. I det spesielle tilfellet når fordelingen er symmetrisk og modal (dvs. har en modus) og det er en matte. forventning, så faller den sammen med modusen og symmetrisenteret til fordelingen.
En annen posisjonskarakteristikk brukes ofte - den såkalte medianen til en tilfeldig variabel. Denne egenskapen brukes vanligvis bare for kontinuerlige tilfeldige variabler, selv om den formelt kan defineres for en diskontinuerlig variabel. Geometrisk er medianen abscissen til punktet der området som er omsluttet av distribusjonskurven er delt i to.
Ved en symmetrisk modal fordeling faller medianen sammen med matten. forventning og mote.
Forventet verdi er gjennomsnittsverdien av en tilfeldig variabel - en numerisk karakteristikk av sannsynlighetsfordelingen til en tilfeldig variabel. På den mest generelle måten, sjakkmatt forventningen til en tilfeldig variabel X(w) er definert som Lebesgue-integralet med hensyn til sannsynlighetsmålet R i det opprinnelige sannsynlighetsrommet:
Matte. forventningen kan også beregnes som Lebesgue-integralet av X etter sannsynlighetsfordeling px mengder X:
Det er naturlig å definere begrepet en tilfeldig variabel med uendelig forventning. Et typisk eksempel er hjemreisetidene i noen tilfeldige turer.
Ved hjelp av matte. forventninger definerer mange numeriske og funksjonelle kjennetegn ved fordelingen (som den matematiske forventningen til de tilsvarende funksjonene fra en tilfeldig variabel), for eksempel genereringsfunksjonen, karakteristisk funksjon, øyeblikk av enhver rekkefølge, spesielt spredning, kovarians.
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Matematisk forventning er en karakteristikk av plasseringen av verdiene til en tilfeldig variabel (gjennomsnittsverdien av dens fordeling). I denne egenskapen fungerer den matematiske forventningen som en "typisk" fordelingsparameter, og dens rolle ligner rollen til det statiske momentet - koordinaten til tyngdepunktet til massefordelingen - i mekanikk. Forventningen skiller seg fra andre lokaliseringskarakteristikker ved hjelp av hvilke fordelingen beskrives i generelle termer - medianer, moduser, matter - ved den større verdien den og den tilsvarende spredningskarakteristikken - spredning - har i sannsynlighetsteoremenes grensesetninger. Betydningen av forventningspartneren avsløres mest fullstendig av loven om store tall (Chebyshevs ulikhet) og den styrkede loven om store tall.
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Forventning om en diskret tilfeldig variabel
La det være en tilfeldig variabel som kan ta en av flere numeriske verdier (for eksempel kan antall poeng når du kaster en terning være 1, 2, 3, 4, 5 eller 6). Ofte i praksis, for en slik verdi, oppstår spørsmålet: hvilken verdi tar det "i gjennomsnitt" med et stort antall tester? Hva blir vår gjennomsnittlige inntekt (eller tap) fra hver av de risikable transaksjonene?
La oss si at det er en slags lotteri. Vi ønsker å forstå om det er lønnsomt eller ikke å delta i det (eller til og med delta gjentatte ganger, regelmessig). La oss si at hver fjerde billett er en vinner, premien vil være 300 rubler, og enhver billett vil være 100 rubler. Med et uendelig stort antall deltakelser er det dette som skjer. I tre fjerdedeler av tilfellene vil vi tape, hvert tredje tap vil koste 300 rubler. I hvert fjerde tilfelle vinner vi 200 rubler. (premie minus kostnad), det vil si for fire deltakelser taper vi i gjennomsnitt 100 rubler, for en - i gjennomsnitt 25 rubler. Totalt vil den gjennomsnittlige satsen på vår ruin være 25 rubler per billett.
Vi kaster terningene. Hvis det ikke er juks (uten å flytte tyngdepunktet osv.), hvor mange poeng vil vi da ha i snitt om gangen? Siden hvert alternativ er like sannsynlig, tar vi ganske enkelt det aritmetiske gjennomsnittet og får 3,5. Siden dette er GJENNOMSNITT, er det ingen grunn til å være indignert over at ingen spesifikke kast vil gi 3,5 poeng - vel, denne kuben har ikke et ansikt med et slikt tall!
La oss nå oppsummere eksemplene våre:
La oss se på bildet som nettopp ble gitt. Til venstre er en tabell over fordelingen av en tilfeldig variabel. Verdien X kan ha en av n mulige verdier (vist i den øverste linjen). Det kan ikke være noen andre betydninger. Under hver mulig verdi er sannsynligheten skrevet nedenfor. Til høyre er formelen, der M(X) kalles mat. venter. Betydningen av denne verdien er at med et stort antall tester (med et stort utvalg), vil gjennomsnittsverdien ha en tendens til den samme forventningen.
La oss gå tilbake til den samme spillekuben. Matte. forventet antall poeng når du kaster er 3,5 (beregn det selv ved å bruke formelen hvis du ikke tror meg). La oss si at du kastet den et par ganger. Resultatene ble 4 og 6. Gjennomsnittet var 5, som er langt fra 3,5. De kastet den en gang til, de fikk 3, altså i snitt (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... På en måte langt fra matten. forventninger. Gjør nå et vanvittig eksperiment - rull kuben 1000 ganger! Og selv om snittet ikke akkurat er 3,5, vil det være i nærheten av det.
La oss beregne matten. venter på lotteriet beskrevet ovenfor. Platen vil se slik ut:
Da vil sjakkmattforventningen være som vi fastslo ovenfor:
En annen ting er at å gjøre det "på fingrene", uten en formel, ville være vanskelig hvis det var flere alternativer. Vel, la oss si at det ville være 75 % tapte lodd, 20 % vinnende lodd og 5 % spesielt vinnende.
Nå er noen eiendommer i samsvar med forventningene.
Matte. forventningen er lineær. Det er lett å bevise:
Den konstante multiplikatoren kan tas ut utenfor sjakkmatt-tegnet. forventninger, det vil si:
Dette er et spesielt tilfelle av linearitetsegenskapen til forventningskameraten.
En annen konsekvens av lineariteten til matten. forventninger:
det vil si mat. forventningen til summen av tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til tilfeldige variabler.
La X, Y være uavhengige tilfeldige variabler, Deretter:
Dette er også lett å bevise) Arbeid XY i seg selv er en tilfeldig variabel, og hvis startverdiene kunne ta n Og m verdier tilsvarende, da XY kan ta nm-verdier. hver verdi beregnes basert på det faktum at sannsynlighetene for uavhengige hendelser multipliseres. Som et resultat får vi dette:
Forventning om en kontinuerlig tilfeldig variabel
Kontinuerlige tilfeldige variabler har en slik karakteristikk som distribusjonstetthet (sannsynlighetstetthet). Det karakteriserer i hovedsak situasjonen at en tilfeldig variabel tar noen verdier fra settet med reelle tall oftere, og noen sjeldnere. Tenk for eksempel på denne grafen:
Her X- faktisk tilfeldig variabel, f(x)- distribusjonstetthet. Etter denne grafen å dømme, under eksperimenter verdien X vil ofte være et tall nær null. Sjansene er overskredet 3 eller være mindre -3 snarere rent teoretisk.
Hvis distribusjonstettheten er kjent, blir forventet verdi funnet som følger:
La for eksempel være en enhetlig fordeling:
La oss finne en sjakkmatt. forventning:
Dette er ganske i samsvar med intuitiv forståelse. La oss si at hvis vi mottar mange tilfeldige reelle tall med en enhetlig fordeling, vil hvert av segmentene |0; 1| , da bør det aritmetiske gjennomsnittet være omtrent 0,5.
Egenskapene til matematiske forventninger - linearitet, etc., som gjelder for diskrete tilfeldige variabler, er også anvendelige her.
Sammenheng mellom matematisk forventning og andre statistiske indikatorer
I statistisk analyse, sammen med matematisk forventning, er det et system av gjensidig avhengige indikatorer som gjenspeiler homogeniteten til fenomener og stabilitet prosesser. Variasjonsindikatorer har ofte ingen uavhengig betydning og brukes til videre dataanalyse. Unntaket er variasjonskoeffisienten, som kjennetegner homogeniteten data hva som er verdifullt statistisk karakteristisk.
Grad av variasjon eller stabilitet prosesser i statistisk vitenskap kan måles ved hjelp av flere indikatorer.
Den viktigste indikatoren som karakteriserer variasjon tilfeldig variabel er Spredning, som er nærmest og direkte relatert til mat. venter. Denne parameteren brukes aktivt i andre typer statistisk analyse (hypotesetesting, analyse av årsak-virkningsforhold osv.). Som det gjennomsnittlige lineære avviket, reflekterer spredning også spredningsmålet data rundt gjennomsnittsverdien.
Det er nyttig å oversette tegnspråket til ordspråket. Det viser seg at spredningen er den gjennomsnittlige kvadratet av avvikene. Det vil si at gjennomsnittsverdien først beregnes, deretter tas forskjellen mellom hver opprinnelige og gjennomsnittlig verdi, kvadreres, legges til og deretter divideres med antall verdier i populasjonen. Forskjell mellom en individuell verdi og gjennomsnittet gjenspeiler målet på avviket. Den kvadreres slik at alle avvik utelukkende blir positive tall og for å unngå gjensidig ødeleggelse av positive og negative avvik når de summeres. Så, gitt de kvadrerte avvikene, beregner vi ganske enkelt det aritmetiske gjennomsnittet. Gjennomsnittlig - kvadratisk - avvik. Avvikene kvadreres og gjennomsnittet beregnes. Svaret på det magiske ordet "spredning" ligger i bare tre ord.
Imidlertid brukes ikke i sin rene form, for eksempel det aritmetiske gjennomsnittet, eller spredning. Det er snarere en hjelpe- og mellomindikator som brukes til andre typer statistiske analyser. Den har ikke engang en normal måleenhet. Etter formelen å dømme er dette kvadratet på måleenheten til de opprinnelige dataene.
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
La oss måle en tilfeldig variabel N ganger måler vi for eksempel vindhastigheten ti ganger og ønsker å finne gjennomsnittsverdien. Hvordan er gjennomsnittsverdien knyttet til fordelingsfunksjonen?
Eller vi kaster terningen et stort antall ganger. Antall poeng som vil vises på terningene ved hvert kast er en tilfeldig variabel og kan ha en hvilken som helst naturverdi fra 1 til 6. Det aritmetiske gjennomsnittet av de tapte poengene beregnet for alle terningkast er også en tilfeldig variabel, men for store N det har en tendens til et veldig spesifikt tall - sjakkmatt. venter Mx. I dette tilfellet Mx = 3,5.
Hvordan fikk du denne verdien? Slipp inn N tester n1 når du får 1 poeng, n2 en gang - 2 poeng og så videre. Så antall utfall der ett poeng falt:
Tilsvarende for utfall når 2, 3, 4, 5 og 6 poeng kastes.
La oss nå anta at vi kjenner fordelingene til den tilfeldige variabelen x, det vil si at vi vet at den tilfeldige variabelen x kan ta verdier x1, x2,..., xk med sannsynligheter p1, p2,..., pk .
Matematisk forventning Mx for tilfeldig variabel x er lik:
Matematisk forventning er ikke alltid et rimelig estimat av en tilfeldig variabel. Så for å estimere gjennomsnittslønnen er det mer rimelig å bruke begrepet median, det vil si en slik verdi at antall personer som tjener mindre enn medianen lønn og store, sammenfaller.
Sannsynligheten p1 for at den tilfeldige variabelen x vil være mindre enn x1/2, og sannsynligheten p2 for at den tilfeldige variabelen x vil være større enn x1/2, er den samme og lik 1/2. Medianen er ikke bestemt unikt for alle distribusjoner.
Standard eller standardavvik i statistikk kalles graden av avvik for observasjonsdata eller sett fra AVERAGE-verdien. Angitt med bokstavene s eller s. Et lite standardavvik indikerer at dataene klynger seg rundt gjennomsnittet, mens et stort standardavvik indikerer at de første dataene er plassert langt unna. Standardavviket er lik kvadratroten av en mengde kalt varians. Det er gjennomsnittet av summen av kvadrerte forskjeller av de første dataene som avviker fra gjennomsnittsverdien. Standardavviket til en tilfeldig variabel er kvadratroten av variansen:
Eksempel. Under testforhold når du skyter mot et mål, beregne spredningen og standardavviket til den tilfeldige variabelen:
Variasjon- fluktuasjon, endring av verdien av en egenskap blant enheter av befolkningen. Individuelle numeriske verdier av en egenskap som finnes i befolkningen som studeres, kalles variantverdier. Manglen på gjennomsnittsverdien til å karakterisere befolkningen fullt ut tvinger oss til å supplere gjennomsnittsverdiene med indikatorer som lar oss vurdere typiskheten til disse gjennomsnittene ved å måle variasjonen (variasjonen) til egenskapen som studeres. Variasjonskoeffisienten beregnes ved hjelp av formelen:
Variasjonsområde(R) representerer forskjellen mellom maksimums- og minimumsverdiene til attributtet i befolkningen som studeres. Denne indikatoren gir den mest generelle ideen om variasjonen til karakteristikken som studeres, som den viser forskjell bare mellom de ekstreme verdiene til alternativene. Avhengighet av ekstremverdiene til en karakteristikk gir variasjonsomfanget en ustabil, tilfeldig karakter.
Gjennomsnittlig lineært avvik representerer det aritmetiske gjennomsnittet av de absolutte (modulo) avvikene til alle verdiene til den analyserte populasjonen fra deres gjennomsnittsverdi:
Matematisk forventning i gamblingteori
Sjakkmatt venter er det gjennomsnittlige beløpet en gamblingspekulant kan vinne eller tape på en gitt innsats. Dette er et veldig viktig konsept for en spekulant fordi det er grunnleggende for vurderingen av de fleste gamblingsituasjoner. Checkmate er også et optimalt verktøy for å analysere grunnleggende kortoppsett og spillsituasjoner.
La oss si at du spiller et myntspill med en venn, og satser like mye på $1 hver gang, uansett hva som dukker opp. Tails betyr at du vinner, hoder du taper. Oddsen er én til én for at det vil komme opp, så du satser $1 til $1. Dermed er sjakkmattforventningen din lik null, fordi Fra et matematisk synspunkt kan du ikke vite om du leder eller taper etter to kast eller etter 200.
Timegevinsten din er null. Timegevinster er mengden penger du forventer å vinne i løpet av en time. Du kan kaste en mynt 500 ganger i løpet av en time, men du vil ikke vinne eller tape fordi... sjansene dine er verken positive eller negative. Fra synspunktet til en seriøs spekulant er ikke dette spillsystemet dårlig. Men dette er rett og slett bortkastet tid.
Men la oss si at noen vil satse $2 mot $1 på det samme spillet. Da har du umiddelbart en positiv forventning på 50 øre fra hver innsats. Hvorfor 50 cent? I gjennomsnitt vinner du ett spill og taper det andre. Spill først og du vil tape $1, sats på andre og du vil vinne $2. Du satser $1 to ganger og er foran med $1. Så hvert av dine innsatser på én dollar ga deg 50 cent.
Hvis en mynt dukker opp 500 ganger i løpet av en time, vil timegevinsten din allerede være $250, fordi... i gjennomsnitt mistet du en dollar 250 ganger og vant to dollar 250 ganger. $500 minus $250 tilsvarer $250, som er den totale gevinsten. Vær oppmerksom på at den forventede verdien, som er gjennomsnittsbeløpet du vinner per spill, er 50 cent. Du vant $250 ved å satse en dollar 500 ganger, som tilsvarer 50 cent per innsats.
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Matte. venting har ingenting med kortsiktige resultater å gjøre. Motstanderen din, som bestemte seg for å satse $2 mot deg, kunne slå deg på de ti første kastene på rad, men du, som har en 2 til 1 innsatsfordel, alt annet likt, vil tjene 50 cent på hver $1 innsats i enhver omstendigheter. Det spiller ingen rolle om du vinner eller taper ett spill eller flere spill, så lenge du har nok penger til å dekke kostnadene komfortabelt. Fortsetter du å satse på samme måte, vil gevinsten over lang tid nærme seg summen av forventningene i individuelle kast.
Hver gang du gjør en beste innsats (et spill som kan vise seg å være lønnsomt i det lange løp), når oddsen er i din favør, er du nødt til å vinne noe på det, uansett om du taper det eller ikke i gitt hånd. Motsatt, hvis du foretar et underdog-spill (et spill som er ulønnsomt i det lange løp) når oddsen er mot deg, taper du noe uansett om du vinner eller taper hånden.
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Du plasserer et spill med det beste resultatet hvis forventningen din er positiv, og den er positiv hvis oddsen er på din side. Når du plasserer et spill med det verste resultatet, har du en negativ forventning, som skjer når oddsen er mot deg. Seriøse spekulanter satser bare på det beste resultatet; hvis det verste skjer, kaster de seg. Hva betyr oddsen i din favør? Du kan ende opp med å vinne mer enn de virkelige oddsene gir. Den virkelige oddsen for å lande hoder er 1 til 1, men du får 2 til 1 på grunn av oddsforholdet. I dette tilfellet er oddsen i din favør. Du får definitivt det beste resultatet med en positiv forventning på 50 cent per innsats.
Her er et mer komplekst eksempel på matte. forventninger. En venn skriver ned tall fra én til fem og satser $5 mot $1 på at du ikke vil gjette tallet. Bør du gå med på et slikt veddemål? Hva er forventningene her?
I gjennomsnitt tar du feil fire ganger. Basert på dette er oddsen mot at du gjetter tallet 4 til 1. Oddsen mot at du taper en dollar på ett forsøk. Du vinner imidlertid 5 mot 1, med mulighet for å tape 4 mot 1. Så oddsen er i din favør, du kan ta innsatsen og håpe på det beste resultatet. Hvis du gjør denne innsatsen fem ganger, vil du i gjennomsnitt tape $1 fire ganger og vinne $5 én gang. Basert på dette, for alle fem forsøkene vil du tjene $1 med en positiv matematisk forventning på 20 cent per innsats.
En spekulant som forventer å vinne mer enn han satser, som i eksempelet ovenfor, tar sjanser. Tvert imot ødelegger han sjansene sine når han forventer å vinne mindre enn han satser. En spekulant som plasserer et spill kan ha enten en positiv eller negativ forventning, som avhenger av om han vinner eller ødelegger oddsen.
Hvis du satser $50 for å vinne $10 med en vinnersjans på 4 til 1, vil du få en negativ forventning på $2 fordi I gjennomsnitt vil du vinne $10 fire ganger og tape $50 én gang, noe som viser at tapet per innsats vil være $10. Men hvis du satser $30 for å vinne $10, med samme odds for å vinne 4 til 1, så har du i dette tilfellet en positiv forventning på $2, fordi du vinner igjen fire ganger $10 og taper en gang $30, som er profitt til $10. Disse eksemplene viser at den første innsatsen er dårlig, og den andre er god.
Matte. forventning er sentrum i enhver spillsituasjon. Når en bookmaker oppfordrer fotballfans til å satse $11 for å vinne $10, har han en positiv forventning på 50 cent for hver $10. Hvis kasinoet betaler jevne penger fra pass-linjen i craps, vil kasinoets positive forventning være omtrent $1,40 for hver $100, fordi Dette spillet er strukturert slik at alle som satser på denne linjen taper 50,7 % i gjennomsnitt og vinner 49,3 % av den totale tiden. Utvilsomt er det denne tilsynelatende minimale positive forventningen som gir kolossale fortjenester til kasinoeiere rundt om i verden. Som Vegas World kasinoeier Bob Stupak bemerket, "en tusendel prosent negativ sannsynlighet over en lang nok avstand vil ødelegge den rikeste mannen i verden.»
Forventning når du spiller poker
Spillet poker er det mest illustrerende og illustrerende eksemplet fra synspunktet om å bruke teorien og egenskapene til forventningskamerat.
Matte. Forventet verdi i poker er den gjennomsnittlige fordelen fra en bestemt avgjørelse, forutsatt at en slik avgjørelse kan vurderes innenfor rammen av teorien om store tall og lang avstand. Et vellykket pokerspill er å alltid akseptere trekk med positiv forventet verdi.
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Matematisk betydning av matematikk. Forventningen når du spiller poker er at vi ofte møter tilfeldige variabler når vi tar avgjørelser (vi vet ikke nøyaktig hvilke kort motstanderen har i hendene, hvilke kort som kommer i påfølgende runder handel). Vi må vurdere hver av løsningene fra stortallteoriens synspunkt, som sier at med et tilstrekkelig stort utvalg vil gjennomsnittsverdien til en tilfeldig variabel ha en tendens til forventet verdi.
Blant de spesielle formlene for å beregne venneforventninger, er følgende mest anvendelig i poker:
Når du spiller poker sjakkmatt. forventning kan beregnes for både spill og samtaler. I det første tilfellet bør fold equity tas i betraktning, i det andre, bankens egne odds. Ved vurdering av matte. forventninger til et bestemt trekk, bør det huskes at en fold alltid har en null forventning. Dermed vil det å kaste kort alltid være en mer lønnsom beslutning enn noe negativt trekk.
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Forventning forteller deg hva du kan forvente (eller tap) for hver risiko du tar. Kasinoer tjener penger penger, siden sjakkmatt er en forventning fra alle spill som praktiseres i dem, til fordel for kasinoet. Med en lang nok serie med spill kan du forvente at klienten mister sitt penger, siden "oddsene" er til fordel for kasinoet. Profesjonelle kasinospekulanter begrenser imidlertid spillene sine til korte perioder, og øker dermed oddsen i deres favør. Det samme gjelder investering. Hvis forventningen din er positiv, kan du tjene mer penger ved å gjøre mange handler på kort tid periode tid. Forventning er din prosentandel av fortjeneste per seier multiplisert med din gjennomsnittlige fortjeneste, minus sannsynligheten for tap multiplisert med ditt gjennomsnittlige tap.
Poker kan også sees fra sjakkmattforventninger. Du kan anta at et bestemt trekk er lønnsomt, men i noen tilfeller er det kanskje ikke det beste fordi et annet trekk er mer lønnsomt. La oss si at du treffer fullt hus i poker med fem kort. Motstanderen din gjør en innsats. Du vet at hvis du øker innsatsen, vil han svare. Derfor ser det ut til å høyne å være den beste taktikken. Men hvis du øker innsatsen, vil de resterende to spekulantene definitivt kaste seg. Men ringer du, har du full tillit til at de to andre spekulantene etter deg vil gjøre det samme. Når du høyner innsatsen din får du én enhet, og når du bare syner får du to. Dermed gir calling deg en høyere positiv forventet verdi og vil være den beste taktikken.
Matte. forventning kan også gi en ide om hvilke pokertaktikker som er mindre lønnsomme og hvilke som er mer lønnsomme. For eksempel, hvis du spiller en bestemt hånd og du tror tapet ditt vil gjennomsnittlig være 75 cent inkludert ante, bør du spille den hånden fordi dette er bedre enn å folde når ante er $1.
En annen viktig grunn til å forstå essensen av ektefelle. Forventningen er at det gir deg en følelse av fred enten du vinner innsatsen eller ikke: hvis du gjorde et godt veddemål eller kastet deg til rett tid, vil du vite at du har tjent eller spart en viss sum penger som en svakere spekulant kunne ikke lagre. Det er mye vanskeligere å kaste seg hvis du er opprørt fordi motstanderen fikk en sterkere hånd. Med alt dette blir det du sparte ved å ikke spille, i stedet for å satse, lagt til gevinstene dine per natt eller per måned.
Bare husk at hvis du byttet hender, ville motstanderen din ha kalt deg, og som du vil se i artikkelen om Fundamental Theorem of Poker, er dette bare en av fordelene dine. Du skal være glad når dette skjer. Du kan til og med lære å nyte å miste en hånd fordi du vet at andre spekulanter i din posisjon ville ha tapt mye mer.
Som nevnt i myntspilleksemplet i begynnelsen, henger timeprofittforholdet sammen med forventet modning, og dette konseptet er spesielt viktig for profesjonelle spekulanter. Når du går for å spille poker, bør du mentalt anslå hvor mye du kan vinne på en times spill. I de fleste tilfeller må du stole på din intuisjon og erfaring, men du kan også bruke litt matematikk. For eksempel, du spiller draw lowball og du ser tre spillere satse $10 og deretter bytte to kort, som er en veldig dårlig taktikk, du kan finne ut at hver gang de satser $10, taper de rundt $2. Hver av dem gjør dette åtte ganger i timen, noe som betyr at alle tre taper omtrent $48 per time. Du er en av de resterende fire spekulantene, som er omtrent like, så disse fire spekulantene (og du blant dem) må dele $48, hver med en fortjeneste på $12 per time. Timeoddsene dine i dette tilfellet er ganske enkelt lik din andel av pengebeløpet tapt av tre dårlige spekulanter på en time.
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Over en lang periode er de totale gevinstene til en spekulant summen av hans matematiske forventninger i individuelle hender. Jo flere hender du spiller med positiv forventning, jo mer vinner du, og omvendt, jo flere hender du spiller med negativ forventning, jo mer taper du. Som et resultat bør du velge et spill som kan maksimere din positive forventning eller negere din negative forventning slik at du kan maksimere timegevinstene dine.
Positive matematiske forventninger i spillstrategi
Hvis du vet hvordan du skal telle kort, kan du ha en fordel fremfor casinoet, så lenge de ikke legger merke til det og kaster deg ut. Kasinoer elsker fulle spekulanter og tåler ikke korttelling. En fordel vil tillate deg å vinne flere ganger enn du taper over tid. God pengestyring når du bruker beregninger av forventningskamerater kan hjelpe deg å hente ut mer profitt fra fordelen din og redusere tapene dine. Uten en fordel er det bedre å gi pengene til veldedighet. I spillet på børsen gis en fordel av spillsystemet som skaper større fortjeneste enn tap, differansen priser og provisjoner. Ingen kapitalforvaltning vil ikke redde et dårlig spillsystem.
En positiv forventning er definert som en verdi større enn null. Jo større dette tallet er, desto sterkere er den statistiske forventningen. Hvis verdien er mindre enn null, så sjakkmatt. forventningen vil også være negativ. Jo større modulen til den negative verdien er, desto verre er situasjonen. Hvis resultatet er null, er ventetiden break-even. Du kan bare vinne når du har en positiv matematisk forventning og et fornuftig spillesystem. Å spille etter intuisjon fører til katastrofe.
Matematisk forventning og
Sjakkmattforventning er en ganske mye etterspurt og populær statistisk indikator når du utfører børshandel på finans markeder. Først av alt brukes denne parameteren til å analysere suksessen til handel. Det er ikke vanskelig å gjette at jo høyere denne verdien er, jo flere grunner til å vurdere handelen som studeres som vellykket. Selvfølgelig analyse arbeid traderen kan ikke bare gjøres ved å bruke denne parameteren. Men den beregnede verdien i kombinasjon med andre metoder for å vurdere kvalitet arbeid, kan forbedre nøyaktigheten av analysen betydelig.
Forventningen sjakkmatt beregnes ofte i handelskontoovervåkingstjenester, som lar deg raskt evaluere arbeidet som er utført på innskuddet. Unntakene inkluderer strategier som bruker "sitting out" ulønnsomme handler. Næringsdrivende flaks kan følge ham en stund, og derfor kan det ikke være noen tap i arbeidet hans i det hele tatt. I dette tilfellet vil det ikke være mulig å bli veiledet bare av den matematiske forventningen, fordi risikoen som brukes i arbeidet ikke vil bli tatt i betraktning.
I handel på marked sjakkmatt brukes oftest når man forutsier lønnsomheten til enhver handelsstrategi eller når man anslår inntekt næringsdrivende basert på statistiske data fra hans tidligere budgivning.
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Med hensyn til pengestyring er det veldig viktig å forstå at det ikke er noe mønster når man gjør handler med negative forventninger ledelse penger, som definitivt kan gi høy fortjeneste. Hvis du fortsetter å spille Børs under disse forholdene, da uavhengig av metode ledelse penger, vil du miste hele kontoen din, uansett hvor stor den var i begynnelsen.
Dette aksiomet gjelder ikke bare for spill eller handler med negative forventninger, det gjelder også for spill med like sjanser. Derfor er den eneste gangen du har en sjanse til å tjene penger på lang sikt hvis du tar handler med positiv forventet verdi.
Forskjellen mellom negativ forventning og positiv forventning er forskjellen mellom liv og død. Det spiller ingen rolle hvor positiv eller negativ forventningen er; Alt som betyr noe er om det er positivt eller negativt. Derfor, før du vurderer ledelsesspørsmål hovedstad du må finne et spill med positiv forventning.
Hvis du ikke har det spillet, vil ikke all pengeforvaltningen i verden redde deg. På den annen side, hvis du har en positiv forventning, kan du, gjennom riktig pengehåndtering, gjøre den om til en eksponentiell vekstfunksjon. Det spiller ingen rolle hvor liten den positive forventningen er! Med andre ord spiller det ingen rolle hvor lønnsomt et handelssystem er basert på en enkelt kontrakt. Hvis du har et system som vinner $10 per kontrakt per handel (etter provisjoner og slipping), kan du bruke administrasjonsteknikker hovedstad på en måte som gjør det mer lønnsomt enn et system som viser en gjennomsnittlig fortjeneste på $1000 per handel (etter provisjoner og slipping).
Det som betyr noe er ikke hvor lønnsomt systemet var, men hvor sikkert systemet kan sies å vise minst minimal fortjeneste i fremtiden. Derfor er den viktigste forberedelsen som kan gjøres å sikre at systemet vil vise en positiv forventet verdi i fremtiden.
For å ha en positiv forventet verdi i fremtiden er det svært viktig å ikke begrense frihetsgradene til systemet ditt. Dette oppnås ikke bare ved å eliminere eller redusere antall parametere som skal optimaliseres, men også ved å redusere så mange systemregler som mulig. Hver parameter du legger til, hver regel du gjør, hver minste endring du gjør i systemet reduserer antallet frihetsgrader. Ideelt sett må du bygge et ganske primitivt og enkelt system som konsekvent vil generere liten fortjeneste i nesten alle markeder. Igjen er det viktig for deg å forstå at det ikke spiller noen rolle hvor lønnsomt systemet er, så lenge det er lønnsomt. Pengene du tjener på handel vil bli tjent gjennom effektiv pengestyring.
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Et handelssystem er rett og slett et verktøy som gir deg en positiv forventet verdi slik at du kan bruke pengestyring. Systemer som fungerer (viser minst minimal fortjeneste) i bare ett eller noen få markeder, eller har forskjellige regler eller parametere for forskjellige markeder, vil mest sannsynlig ikke fungere i sanntid lenge nok. Problemet med de fleste teknisk orienterte handelsmenn er at de bruker for mye tid og krefter på å optimalisere de ulike reglene og parameterverdiene til handelssystemet. Dette gir helt motsatte resultater. I stedet for å kaste bort energi og datatid på å øke fortjenesten til handelssystemet, kan du rette energien din til å øke pålitelighetsnivået for å oppnå en minimumsfortjeneste.
Vet det kapitalforvaltning er bare et tallspill som krever bruk av positive forventninger, kan en trader slutte å søke etter den "hellige gral" av aksjehandel. I stedet kan han begynne å teste sin handelsmetode, finne ut hvor logisk denne metoden er, og om den gir positive forventninger. Riktige pengestyringsmetoder, brukt på alle, til og med veldig middelmådige handelsmetoder, vil gjøre resten av arbeidet selv.
For at enhver handelsmann skal lykkes i arbeidet sitt, må han løse tre viktigste oppgaver:. For å sikre at antallet vellykkede transaksjoner overstiger de uunngåelige feilene og feilberegningene; Sett opp ditt handelssystem slik at du har muligheten til å tjene penger så ofte som mulig; Oppnå stabile positive resultater fra driften.
Og her, for oss arbeidende handelsmenn, kan kompis være til god hjelp. forventning. Dette begrepet er en av de viktigste i sannsynlighetsteori. Med dens hjelp kan du gi et gjennomsnittlig anslag på en tilfeldig verdi. Forventningen til en tilfeldig variabel er lik tyngdepunktet, hvis du ser for deg alle mulige sannsynligheter som punkter med ulik masse.
I forhold til en handelsstrategi brukes forventningen om fortjeneste (eller tap) oftest for å evaluere effektiviteten. Denne parameteren er definert som summen av produktene av de gitte nivåene av fortjeneste og tap og sannsynligheten for at de inntreffer. For eksempel antar den utviklede handelsstrategien at 37% av alle transaksjoner vil gi fortjeneste, og den resterende delen - 63% - vil være ulønnsom. Samtidig er gjennomsnittet inntekt fra en vellykket handel vil være $7, og gjennomsnittlig tap vil være $1,4. La oss regne ut regnestykket. forventning om handel med dette systemet:
Hva betyr dette tallet? Den sier at, etter reglene i dette systemet, vil vi i gjennomsnitt motta $1708 fra hver avsluttede transaksjon. Siden den resulterende effektivitetsvurderingen er større enn null, kan et slikt system brukes til virkelig arbeid. Hvis forventningen som følge av sjakkmattberegningen viser seg å være negativ, indikerer dette allerede et gjennomsnittlig tap, og dette vil føre til ruin.
Størrelsen på profitt per transaksjon kan også uttrykkes som en relativ verdi i form av %. For eksempel:
Prosentandelen av inntekt per 1 transaksjon er 5 %;
Prosentandelen av vellykkede handelsoperasjoner er 62 %;
Tapsprosent per 1 handel - 3%;
Prosentandelen av mislykkede transaksjoner er 38 %;
I dette tilfellet sjakkmatt. forventningen vil være:
Det vil si at gjennomsnittlig handel vil gi 1,96%.
Det er mulig å utvikle et system som, til tross for overvekt av ulønnsomme handler, vil gi et positivt resultat, siden MO>0.
Det er imidlertid ikke nok å vente alene. Det er vanskelig å tjene penger hvis systemet gir svært få handelssignaler. I dette tilfellet vil det være sammenlignbart med bankrenter. La hver operasjon i gjennomsnitt bare produsere 0,5 dollar, men hva om systemet involverer 1000 operasjoner per år? Dette vil være et meget betydelig beløp på relativt kort tid. Det følger logisk av dette at et annet særtrekk ved et godt handelssystem kan betraktes som en kort periode med å holde posisjoner.
Kilder og lenker
dic.academic.ru - akademisk nettordbok
mathematics.ru - pedagogisk nettsted i matematikk
nsu.ru - pedagogisk nettsted til Novosibirsk State University
webmath.ru er en pedagogisk portal for studenter, søkere og skoleelever.
exponenta.ru pedagogisk matematisk nettsted
ru.tradimo.com - gratis online handelsskole
crypto.hut2.ru - tverrfaglig informasjonsressurs
poker-wiki.ru - gratis leksikon av poker
sernam.ru - Vitenskapelig bibliotek med utvalgte naturvitenskapelige publikasjoner
reshim.su - nettside VI LØSER testkursproblemer
unfx.ru - Forex på UNFX: opplæring, handelssignaler, tillitsstyring
- — matematisk forventning En av de numeriske egenskapene til en tilfeldig variabel, ofte kalt dens teoretiske gjennomsnitt. For en diskret tilfeldig variabel X matematisk... ... Teknisk oversetterveiledningFORVENTET VERDI- (forventet verdi) Gjennomsnittsverdien av fordelingen av en økonomisk variabel som den kan ta. Hvis рt er prisen på et produkt på tidspunktet t, er dets matematiske forventning angitt med Ept. For å indikere tidspunktet som ... ... Økonomisk ordbok
Forventet verdi- gjennomsnittsverdien av en tilfeldig variabel. Den matematiske forventningen er en deterministisk størrelse. Det aritmetiske gjennomsnittet av realiseringer av en tilfeldig variabel er et estimat av den matematiske forventningen. Gjennomsnitt… … Offisiell terminologi - (gjennomsnittsverdi) av en tilfeldig variabel - en numerisk karakteristikk av en tilfeldig variabel. Hvis en tilfeldig variabel definert på et sannsynlighetsrom (se sannsynlighetsteori), så er dens M. o. MX (eller EX) er definert som Lebesgue-integralet: hvor... Fysisk leksikon
FORVENTET VERDI- en tilfeldig variabel er dens numeriske karakteristikk. Hvis en tilfeldig variabel X har en fordelingsfunksjon F(x), så er dens M. o. vil: . Hvis fordelingen X er diskret, så M.o.: , hvor x1, x2, ... mulige verdier av den diskrete tilfeldige variabelen X; p1... Geologisk leksikon
FORVENTET VERDI- Engelsk forventet verdi tysk Erwartung matematiske. Stokastisk gjennomsnitt eller spredningssenter for en tilfeldig variabel. Antinazi. Encyclopedia of Sociology, 2009 ... Encyclopedia of Sociology
Forventet verdi- Se også: Betinget matematisk forventning Den matematiske forventningen er gjennomsnittsverdien av en tilfeldig variabel, sannsynlighetsfordelingen til en tilfeldig variabel, vurderes i sannsynlighetsteori. I engelskspråklig litteratur og i matematisk... ... Wikipedia
Forventet verdi- 1.14 Matematisk forventning E (X) hvor xi er verdien av en diskret tilfeldig variabel; p = P (X = xi); f(x) tetthet av en kontinuerlig tilfeldig variabel * Hvis dette uttrykket eksisterer i betydningen absolutt konvergens Kilde ... Ordbok-referansebok med vilkår for normativ og teknisk dokumentasjon
Bøker
Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK
Den matematiske forventningen (gjennomsnittsverdien) til en tilfeldig variabel X gitt på et diskret sannsynlighetsrom er tallet m =M[X]=∑x i p i hvis serien konvergerer absolutt.
Formålet med tjenesten. Bruke den elektroniske tjenesten matematisk forventning, varians og standardavvik beregnes(se eksempel). I tillegg tegnes en graf over fordelingsfunksjonen F(X).
Egenskaper til den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel
- Den matematiske forventningen til en konstant verdi er lik seg selv: M[C]=C, C – konstant;
- M=C M[X]
- Den matematiske forventningen til summen av tilfeldige variabler er lik summen av deres matematiske forventninger: M=M[X]+M[Y]
- Den matematiske forventningen til produktet av uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger: M=M[X] M[Y] , hvis X og Y er uavhengige.
Dispersjonsegenskaper
- Variansen til en konstant verdi er null: D(c)=0.
- Konstantfaktoren kan tas ut under spredningstegnet ved å kvadrere det: D(k*X)= k 2 D(X).
- Hvis de tilfeldige variablene X og Y er uavhengige, så er variansen av summen lik summen av variansene: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Hvis de tilfeldige variablene X og Y er avhengige: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Følgende beregningsformel er gyldig for spredning:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Eksempel. De matematiske forventningene og variansene til to uavhengige stokastiske variabler X og Y er kjent: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Finn den matematiske forventningen og variansen til den tilfeldige variabelen Z=9X-8Y+7.
Løsning. Basert på egenskapene til matematisk forventning: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Basert på egenskapene til spredning: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritme for beregning av matematisk forventning
Egenskaper til diskrete tilfeldige variabler: alle verdiene deres kan omnummereres med naturlige tall; Tilordne hver verdi en sannsynlighet som ikke er null.- Vi multipliserer parene ett og ett: x i med p i.
- Legg til produktet av hvert par x i p i.
For eksempel, for n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Eksempel nr. 1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Vi finner den matematiske forventningen ved å bruke formelen m = ∑x i p i.
Forventning M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Vi finner variansen ved å bruke formelen d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varians D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standardavvik σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Eksempel nr. 2. En diskret tilfeldig variabel har følgende distribusjonsserie:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | EN | 0,32 | 2en | 0,41 | 0,03 |
Løsning. Verdien av a er funnet fra relasjonen: Σp i = 1
Σpi = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 eller 0,24=3 a , hvorfra a = 0,08
Eksempel nr. 3. Bestem fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel hvis variansen er kjent, og x 1
p1 = 0,3; p2=0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3
d(x)=12,96
Løsning.
Her må du lage en formel for å finne variansen d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
hvor forventningen m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
For våre data
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
eller -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Følgelig må vi finne røttene til ligningen, og det vil være to av dem.
x 3 = 8, x 3 = 12
Velg den som tilfredsstiller betingelsen x 1
Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p1 = 0,3; p2=0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3