Så Fermats siste teorem (ofte kalt Fermats siste teorem), formulert i 1637 av den briljante franske matematikeren Pierre Fermat, er veldig enkel av natur og forståelig for alle med videregående utdanning. Den sier at formelen a i potensen av n + b i potensen av n = c i potensen av n ikke har naturlige (det vil si ikke brøk) løsninger for n > 2. Alt virker enkelt og klart, men beste matematikere og vanlige amatører slet med å søke etter en løsning i mer enn tre og et halvt århundre.
Hvorfor er hun så kjent? Nå skal vi finne ut...
Er det mange beviste, uprøvde og ennå ikke beviste teoremer? Poenget her er at Fermats siste teorem representerer den største kontrasten mellom enkelheten i formuleringen og kompleksiteten i beviset. Fermats siste teorem er et utrolig vanskelig problem, og likevel kan formuleringen forstås av alle med 5. klasse på videregående, men ikke engang alle profesjonelle matematikere kan forstå beviset. Verken i fysikk, kjemi, biologi eller matematikk er det et enkelt problem som kunne formuleres så enkelt, men som forble uløst så lenge. 2. Hva består den av?
La oss starte med Pythagoras bukser Ordlyden er veldig enkel - ved første øyekast. Som vi vet fra barndommen, "pytagoreiske bukser er like på alle sider." Problemet ser så enkelt ut fordi det var basert på et matematisk utsagn som alle kjenner - Pythagoras teorem: i enhver rettvinklet trekant er kvadratet bygget på hypotenusen lik summen av kvadratene som er bygget på bena.
I det 5. århundre f.Kr. Pythagoras grunnla det pytagoreiske brorskapet. Pytagoreerne studerte blant annet heltallstrillinger som tilfredsstilte likheten x²+y²=z². De beviste at det er uendelig mange pytagoreiske trippeler og oppnådde generelle formler for å finne dem. De prøvde sannsynligvis å se etter C-er og høyere grader. Overbevist om at dette ikke fungerte, forlot pytagoreerne sine ubrukelige forsøk. Medlemmene av brorskapet var mer filosofer og esteter enn matematikere.
Det vil si at det er enkelt å velge et sett med tall som perfekt tilfredsstiller likheten x²+y²=z²
Fra 3, 4, 5 - ja, en juniorstudent forstår at 9 + 16 = 25.
Eller 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Flott.
Og så videre. Hva om vi tar en lignende ligning x³+y³=z³? Kanskje finnes det slike tall også?
Og så videre (fig. 1).
Så det viser seg at de IKKE er det. Det er her trikset begynner. Enkelhet er åpenbar, fordi det er vanskelig å bevise ikke tilstedeværelsen av noe, men tvert imot dets fravær. Når du skal bevise at det finnes en løsning, kan og bør du ganske enkelt presentere denne løsningen.
Å bevise fravær er vanskeligere: noen sier for eksempel: en slik og en slik ligning har ingen løsninger. Legg ham i en sølepytt? enkelt: bam - og her er den løsningen! (gi løsning). Og det er det, motstanderen er beseiret. Hvordan bevise fravær?
Si: "Jeg har ikke funnet slike løsninger"? Eller så du kanskje ikke bra ut? Hva om de eksisterer, bare veldig store, veldig store, slik at selv en superkraftig datamaskin fortsatt ikke har nok styrke? Det er dette som er vanskelig.
Dette kan vises visuelt slik: hvis du tar to firkanter av passende størrelse og demonterer dem til enhetsruter, får du fra denne haugen med enhetsruter en tredje rute (fig. 2):
Men la oss gjøre det samme med den tredje dimensjonen (fig. 3) – den fungerer ikke. Det er ikke nok kuber, eller det er ekstra igjen:
Men den franske matematikeren Pierre de Fermat fra 1600-tallet studerte entusiastisk den generelle ligningen x n +y n =z n . Og til slutt konkluderte jeg: for n>2 er det ingen heltallsløsninger. Fermats bevis er ugjenkallelig tapt. Manuskripter brenner! Alt som gjenstår er hans bemerkning i Diophantus' Arithmetic: "Jeg har funnet et virkelig fantastisk bevis på dette påstanden, men marginene her er for smale til å inneholde det."
Egentlig kalles et teorem uten bevis en hypotese. Men Fermat har et rykte for å aldri gjøre feil. Selv om han ikke etterlot bevis for en uttalelse, ble den senere bekreftet. Dessuten beviste Fermat oppgaven sin for n=4. Dermed gikk hypotesen til den franske matematikeren ned i historien som Fermats siste teorem.
Etter Fermat arbeidet så store hjerner som Leonhard Euler med søket etter et bevis (i 1770 foreslo han en løsning for n = 3),
Adrien Legendre og Johann Dirichlet (disse forskerne fant sammen beviset for n = 5 i 1825), Gabriel Lamé (som fant beviset for n = 7) og mange andre. På midten av 80-tallet av forrige århundre ble det klart at den vitenskapelige verden var på vei mot den endelige løsningen av Fermats siste teorem, men først i 1993 så og trodde matematikere at tre-århundreeposet med å søke etter et bevis på Fermats siste teorem var praktisk talt over.
Det er lett vist at det er nok å bevise Fermats teorem bare for enkel n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... For sammensatt n forblir beviset gyldig. Men det er uendelig mange primtall...
I 1825, ved å bruke metoden til Sophie Germain, beviste kvinnelige matematikere, Dirichlet og Legendre uavhengig teoremet for n=5. I 1839, ved bruk av samme metode, viste franskmannen Gabriel Lame sannheten i teoremet for n=7. Gradvis ble teoremet bevist for nesten alle n mindre enn hundre.
Til slutt viste den tyske matematikeren Ernst Kummer, i en strålende studie, at teoremet generelt ikke kan bevises ved bruk av matematiske metoder på 1800-tallet. Prisen til det franske vitenskapsakademiet, opprettet i 1847 for beviset på Fermats teorem, forble ikke tildelt.
I 1907 bestemte den velstående tyske industrimannen Paul Wolfskehl seg for å ta sitt eget liv på grunn av ulykkelig kjærlighet. Som en ekte tysker satte han dato og klokkeslett for selvmord: nøyaktig ved midnatt. Den siste dagen opprettet han testamente og skrev brev til venner og slektninger. Ting endte før midnatt. Det må sies at Paulus var interessert i matematikk. Da han ikke hadde noe annet å gjøre, gikk han til biblioteket og begynte å lese Kummers berømte artikkel. Plutselig virket det for ham som om Kummer hadde tatt feil i resonnementet. Wolfskel begynte å analysere denne delen av artikkelen med en blyant i hendene. Midnatt har passert, morgenen har kommet. Hullet i beviset er fylt. Og selve grunnen til selvmord så nå helt latterlig ut. Paulus rev opp avskjedsbrevene og omskrev testamentet.
Han døde snart av naturlige årsaker. Arvingene ble ganske overrasket: 100 000 mark (mer enn 1 000 000 nåværende pund sterling) ble overført til kontoen til Royal Scientific Society of Göttingen, som samme år utlyste en konkurranse om Wolfskehl-prisen. 100 000 merker ble tildelt personen som beviste Fermats teorem. Ikke en pfennig ble tildelt for å tilbakevise teoremet ...
De fleste profesjonelle matematikere anså søket etter et bevis på Fermats siste teorem som en håpløs oppgave og nektet resolutt å kaste bort tid på en så ubrukelig øvelse. Men amatørene hadde det kjempegøy. Noen uker etter kunngjøringen traff et snøskred av "bevis" universitetet i Göttingen. Professor E.M. Landau, hvis ansvar var å analysere bevisene som ble sendt, delte ut kort til studentene sine:
Kjære. . . . . . . .
Takk for at du sendte meg manuskriptet med beviset på Fermats siste teorem. Den første feilen er på side ... på linje ... . På grunn av det mister hele beviset sin gyldighet.
Professor E. M. Landau
I 1963 beviste Paul Cohen, basert på Gödels funn, uløseligheten til et av Hilberts tjuetre problemer - kontinuumhypotesen. Hva om Fermats siste teorem også er uavgjørelig?! Men ekte Great Theorem-fanatikere ble ikke skuffet i det hele tatt. Fremkomsten av datamaskiner ga plutselig matematikere en ny metode for bevis. Etter andre verdenskrig beviste team av programmerere og matematikere Fermats siste teorem for alle verdier på n opp til 500, deretter opp til 1 000 og senere opp til 10 000.
På 1980-tallet hevet Samuel Wagstaff grensen til 25 000, og på 1990-tallet erklærte matematikere at Fermats siste teorem var sann for alle verdier på n opptil 4 millioner. Men hvis du trekker til og med en trillion billion fra uendeligheten, blir den ikke mindre. Matematikere blir ikke overbevist av statistikk. Å bevise den store teoremet betydde å bevise den for ALLE n går til det uendelige.
I 1954 begynte to unge japanske matematikervenner å forske på modulære former. Disse skjemaene genererer serier med tall, hver med sin egen serie. Ved en tilfeldighet sammenlignet Taniyama disse seriene med serier generert av elliptiske ligninger. De matchet! Men modulære former er geometriske objekter, og elliptiske ligninger er algebraiske. Det er aldri funnet noen sammenheng mellom så forskjellige objekter.
Imidlertid, etter nøye testing, fremmet venner en hypotese: hver elliptisk ligning har en tvilling - en modulær form, og omvendt. Det var denne hypotesen som ble grunnlaget for en hel retning i matematikk, men inntil Taniyama-Shimura-hypotesen ble bevist, kunne hele bygningen kollapse når som helst.
I 1984 viste Gerhard Frey at en løsning på Fermats ligning, hvis den finnes, kan inkluderes i en eller annen elliptisk ligning. To år senere beviste professor Ken Ribet at denne hypotetiske ligningen ikke kunne ha et motstykke i den modulære verdenen. Fra nå av var Fermats siste teorem uløselig knyttet til Taniyama-Shimura-formodningen. Etter å ha bevist at enhver elliptisk kurve er modulær, konkluderer vi med at det ikke er noen elliptisk ligning med en løsning på Fermats ligning, og Fermats siste teorem vil umiddelbart bli bevist. Men i tretti år var det ikke mulig å bevise Taniyama-Shimura-hypotesen, og det var mindre og mindre håp om suksess.
I 1963, da han bare var ti år gammel, var Andrew Wiles allerede fascinert av matematikk. Da han fikk vite om den store teoremet, innså han at han ikke kunne gi opp. Som skolegutt, student og hovedfagsstudent forberedte han seg på denne oppgaven.
Etter å ha lært om Ken Ribets funn, kastet Wiles seg hodestups for å bevise Taniyama-Shimura-formodningen. Han bestemte seg for å jobbe i fullstendig isolasjon og hemmelighold. "Jeg innså at alt som hadde noe med Fermats siste teorem å gjøre vekker for mye interesse... For mange tilskuere forstyrrer åpenbart oppnåelsen av målet." Syv år med hardt arbeid ga resultater;
I 1993 presenterte den engelske matematikeren Andrew Wiles for verden sitt bevis på Fermats siste teorem (Wiles leste hans oppsiktsvekkende artikkel på en konferanse ved Sir Isaac Newton Institute i Cambridge.), arbeidet med dette varte i mer enn syv år.
Mens hypen fortsatte i pressen, begynte et seriøst arbeid med å verifisere bevisene. Ethvert bevis må undersøkes nøye før bevisene kan anses som strenge og nøyaktige. Wiles tilbrakte en rastløs sommer og ventet på tilbakemeldinger fra anmeldere, i håp om at han ville kunne vinne deres godkjenning. I slutten av august fant eksperter at dommen var utilstrekkelig underbygget.
Det viste seg at denne avgjørelsen inneholder en grov feil, selv om den generelt sett er riktig. Wiles ga ikke opp, ba om hjelp fra den berømte spesialisten i tallteori Richard Taylor, og allerede i 1994 publiserte de et korrigert og utvidet bevis på teoremet. Det mest fantastiske er at dette arbeidet tok opp så mange som 130 (!) sider i det matematiske tidsskriftet «Annals of Mathematics». Men historien sluttet heller ikke der - det endelige punktet ble nådd først neste år, 1995, da den endelige og "ideelle", fra et matematisk synspunkt, versjonen av beviset ble publisert.
«...et halvt minutt etter starten av festmiddagen i anledning bursdagen hennes, ga jeg Nadya med manuskriptet til det komplette beviset» (Andrew Wales). Har jeg ennå ikke sagt at matematikere er rare mennesker?
Denne gangen var det ingen tvil om bevisene. To artikler ble utsatt for den mest nøye analyse og ble publisert i mai 1995 i Annals of Mathematics.
Det har gått mye tid siden det øyeblikket, men det er fortsatt en oppfatning i samfunnet om at Fermats siste teorem er uløselig. Men selv de som kjenner til bevisene som er funnet, fortsetter å jobbe i denne retningen - få er fornøyd med at den store teoremet krever en løsning på 130 sider!
Derfor, nå blir innsatsen til mange matematikere (for det meste amatører, ikke profesjonelle forskere) kastet inn i søket etter et enkelt og konsist bevis, men denne veien vil mest sannsynlig ikke føre noe sted ...
FERMAS STORE TEOREM - en uttalelse av Pierre Fermat (en fransk advokat og deltidsmatematiker) om at den diofantiske ligningen X n + Y n = Z n , med eksponent n>2, hvor n = heltall, ikke har noen løsninger i positive heltall . Forfatterens tekst: "Det er umulig å dekomponere en terning i to terninger, eller en biquadrate til to biquadrate, eller generelt en potens større enn to til to potenser med samme eksponent."
"Fermat og hans teorem", Amadeo Modigliani, 1920
Pierre kom med denne teoremet 29. mars 1636. Og rundt 29 år senere døde han. Men det var der det hele startet. Tross alt testamenterte en velstående tysk matematikkelsker ved navn Wolfskehl hundre tusen mark til den som ville presentere et fullstendig bevis på Fermats teorem! Men spenningen rundt teoremet var ikke bare forbundet med dette, men også med profesjonell matematisk lidenskap. Fermat antydet selv til det matematiske samfunnet at han kjente beviset - kort før hans død, i 1665, la han følgende notat i margen av Diophantus av Alexandrias aritmetikk: "Jeg har et veldig slående bevis, men det er for stort til å være plassert på åker."
Det var dette hintet (pluss selvfølgelig en kontantbonus) som tvang matematikere til å bruke sine beste år på uten hell på å søke etter et bevis (ifølge amerikanske forskere brukte profesjonelle matematikere alene totalt 543 år på dette).
På et tidspunkt (i 1901) fikk arbeidet med Fermats teorem det tvilsomme ryktet om "arbeid i likhet med søket etter en evighetsmaskin" (selv et nedsettende begrep dukket opp - "Fermatister"). Og plutselig, den 23. juni 1993, på en matematisk konferanse om tallteori i Cambridge, annonserte en engelsk professor i matematikk fra Princeton University (New Jersey, USA), Andrew Wiles, at Fermat endelig hadde bevist det!
Beviset var imidlertid ikke bare komplekst, men også åpenbart feil, som Wiles ble påpekt av sine kolleger. Men professor Wiles drømte hele livet om å bevise teoremet, så det er ikke overraskende at han i mai 1994 presenterte en ny, revidert versjon av beviset for det vitenskapelige samfunnet. Det var ingen harmoni eller skjønnhet i det, og det var fortsatt veldig komplekst - det faktum at matematikere brukte et helt år (!) på å analysere dette beviset for å forstå om det var feil, taler for seg selv!
Men til slutt ble Wiles bevis funnet å være riktig. Men matematikere tilga ikke Pierre Fermat for selve hintet hans i "Aritmetikk", og begynte faktisk å betrakte ham som en løgner. Faktisk var den første personen som stilte spørsmål ved Fermats moralske integritet, Andrew Wiles selv, som bemerket at "Fermat kunne ikke ha hatt slike bevis. Dette er bevis fra det tjuende århundre." Så, blant andre forskere, ble oppfatningen sterkere om at Fermat "ikke kunne bevise teoremet sitt på en annen måte, og Fermat kunne ikke bevise det slik Wiles tok av objektive grunner."
Faktisk kunne Fermat selvfølgelig bevise det, og litt senere vil dette beviset bli gjenskapt av analytikerne i New Analytical Encyclopedia. Men hva er disse "objektive grunnene"?
Det er faktisk bare én slik grunn: i de årene da Fermat levde, kunne ikke Taniyama-formodningen, som Andrew Wiles baserte sitt bevis på, vises, fordi de modulære funksjonene som Taniyama-formodningen opererer med ble oppdaget først på slutten av det 19. århundre.
Hvordan beviste Wiles selv teoremet? Spørsmålet er ikke tomt – det er viktig for å forstå hvordan Fermat selv kunne bevise teoremet sitt. Wiles baserte beviset sitt på beviset for Taniyama-formodningen, fremsatt i 1955 av den 28 år gamle japanske matematikeren Yutaka Taniyama.
Hypotesen lyder slik: "hver elliptisk kurve tilsvarer en viss modulær form." Elliptiske kurver, kjent i lang tid, har en todimensjonal form (plassert på et plan), mens modulære funksjoner har en firedimensjonal form. Det vil si at Taniyamas hypotese kombinerte helt andre konsepter – enkle flate kurver og ufattelige firdimensjonale former. Selve det faktum å kombinere forskjellige dimensjonale figurer i hypotesen virket absurd for forskere, og det er grunnen til at det i 1955 ikke ble gitt noen betydning.
Men høsten 1984 ble "Taniyama-formodningen" plutselig husket igjen, og ikke bare husket, men dens mulige bevis var forbundet med beviset for Fermats teorem! Dette ble gjort av Saarbrücken-matematikeren Gerhard Frey, som informerte det vitenskapelige miljøet om at "hvis noen klarte å bevise Taniyama-formodningen, ville Fermats siste teorem også bli bevist."
Hva gjorde Frey? Han transformerte Fermats ligning til en kubikk, og la deretter merke til at den elliptiske kurven oppnådd ved å bruke Fermats ligning transformert til en kubikk ikke kan være modulær. Taniyamas formodning sa imidlertid at enhver elliptisk kurve kan være modulær! Følgelig kan en elliptisk kurve konstruert fra Fermats ligning ikke eksistere, noe som betyr at det ikke kan være hele løsninger og Fermats teorem, som betyr at det er sant. Vel, i 1993 beviste Andrew Wiles ganske enkelt Taniyamas formodning, og derfor Fermats teorem.
Fermats teorem kan imidlertid bevises mye enklere, på grunnlag av den samme flerdimensjonaliteten som både Taniyama og Frey opererte på.
Til å begynne med, la oss ta hensyn til tilstanden spesifisert av Pierre Fermat selv - n>2. Hvorfor var denne tilstanden nødvendig? Ja, bare for det faktum at med n=2 blir et spesialtilfelle av Fermats teorem det vanlige Pythagoras teorem X 2 +Y 2 =Z 2, som har et uendelig antall heltallsløsninger - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51 140 149 og så videre. Dermed er Pythagoras' teorem et unntak fra Fermats teorem.
Men hvorfor oppstår et slikt unntak i tilfelle n=2? Alt faller på plass hvis du ser sammenhengen mellom graden (n=2) og dimensjonen på selve figuren. Den pytagoreiske trekanten er en todimensjonal figur. Ikke overraskende kan Z (det vil si hypotenusen) uttrykkes i form av ben (X og Y), som kan være heltall. Størrelsen på vinkelen (90) gjør det mulig å betrakte hypotenusen som en vektor, og bena er vektorer som ligger på aksene og kommer fra origo. Følgelig er det mulig å uttrykke en todimensjonal vektor som ikke ligger på noen av aksene i form av vektorene som ligger på dem.
Nå, hvis vi går til den tredje dimensjonen, og derfor til n=3, for å uttrykke en tredimensjonal vektor, vil det ikke være nok informasjon om to vektorer, og derfor vil det være mulig å uttrykke Z i Fermats ligning gjennom minst tre ledd (tre vektorer som ligger henholdsvis på tre akser i koordinatsystemet).
Hvis n=4, så skal det være 4 ledd, hvis n=5, så skal det være 5 ledd, og så videre. I dette tilfellet vil det være mer enn nok hele løsninger. For eksempel, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 og så videre (du kan velge andre eksempler for n=3, n=4 og så videre selv).
Hva følger av alt dette? Det følger av dette at Fermats teorem egentlig ikke har heltallsløsninger for n>2 - men bare fordi selve ligningen er feil! Med samme suksess kan man prøve å uttrykke volumet til et parallellepiped i form av lengdene på dets to kanter - selvfølgelig er dette umulig (hele løsninger vil aldri bli funnet), men bare fordi man finner volumet til et parallellepiped du må vite lengden på alle tre kantene.
Da den berømte matematikeren David Gilbert ble spurt om hva det viktigste problemet for vitenskapen er nå, svarte han «å fange en flue på den andre siden av månen». Til det rimelige spørsmålet "Hvem trenger dette?" Han svarte: "Ingen trenger dette, men tenk på hvor mange viktige, komplekse problemer som må løses for å implementere dette."
Fermat (først og fremst advokat!) spilte med andre ord en vittig juridisk spøk på hele den matematiske verden, basert på en feil formulering av problemet. Han foreslo faktisk at matematikere skulle finne svaret på hvorfor en flue på den andre siden av månen ikke kan leve, og i margen av "aritmetikk" ville han bare skrive at det rett og slett ikke er luft på månen, dvs. Det kan ikke finnes hele løsninger på teoremet hans for n>2 bare fordi hver verdi av n må tilsvare et visst antall ledd på venstre side av ligningen hans.
Men var det bare en spøk? Ikke i det hele tatt. Fermats geni ligger nettopp i det faktum at han faktisk var den første som så forholdet mellom graden og dimensjonen til en matematisk figur – det vil si, som er helt ekvivalent, antall ledd på venstre side av ligningen. Betydningen av hans berømte teorem var nettopp å ikke bare presse den matematiske verden til ideen om dette forholdet, men også å sette i gang bevis på eksistensen av dette forholdet - intuitivt forståelig, men ennå ikke matematisk underbygget.
Fermat, som ingen andre, forsto at det å etablere forhold mellom tilsynelatende forskjellige objekter er ekstremt fruktbart, ikke bare i matematikk, men i enhver vitenskap. Dette forholdet peker på et dypt prinsipp som ligger til grunn for begge objektene og tillater en dypere forståelse av dem.
For eksempel så fysikere i utgangspunktet på elektrisitet og magnetisme som fullstendig urelaterte fenomener, men på 1800-tallet innså teoretikere og eksperimenter at elektrisitet og magnetisme var nært beslektet. Som et resultat ble en større forståelse av både elektrisitet og magnetisme oppnådd. Elektriske strømmer produserer magnetiske felt, og magneter kan indusere elektrisitet i ledere nær magneter. Dette førte til oppfinnelsen av dynamoer og elektriske motorer. Det ble til slutt oppdaget at lys var et resultat av koordinerte harmoniske svingninger av magnetiske og elektriske felt.
Matematikken på Fermats tid besto av øyer av kunnskap i et hav av uvitenhet. På en øy bodde det geometre som studerte former, på en annen øy studerte sannsynlighetslære matematikere risiko og tilfeldighet. Geometrispråket var veldig forskjellig fra sannsynlighetsteoriens språk, og algebraisk terminologi var fremmed for de som bare snakket om statistikk. Dessverre består vår tids matematikk av omtrent de samme øyene.
Fermat var den første som innså at alle disse øyene var sammenkoblet. Og hans berømte teorem – Fermats siste teorem – er en utmerket bekreftelse på dette.
Det er ikke mange mennesker i verden som aldri har hørt om Fermats siste teorem– kanskje er dette det eneste matematiske problemet som har blitt så allment kjent og har blitt en ekte legende. Det er nevnt i mange bøker og filmer, og hovedkonteksten for nesten alle referanser er umulig å bevise teoremet.
Ja, denne teoremet er veldig kjent og har på en måte blitt et "idol" tilbedt av amatører og profesjonelle matematikere, men få mennesker vet at beviset ble funnet, og dette skjedde tilbake i 1995. Men først ting først.
Så Fermats siste teorem (ofte kalt Fermats siste teorem), formulert i 1637 av en strålende fransk matematiker Pierre Fermat, er veldig enkelt i hovedsak og forståelig for enhver person med videregående utdanning. Den sier at formelen a n + b n = c n ikke har naturlige (det vil si ikke brøk) løsninger for n > 2. Alt virker enkelt og klart, men de beste matematikerne og vanlige amatører har slitt med å finne en løsning i mer enn tre og et halvt århundre.
Fermat selv hevdet at han hadde utledet et veldig enkelt og kortfattet bevis på teorien sin, men ingen dokumentasjon på dette faktum er ennå ikke funnet. Derfor er det nå antatt at Fermat klarte aldri å finne en generell løsning på teoremet sitt, selv om et spesielt bevis for n = 4 kom fra pennen hans.
Etter Fermat, så store hoder som Leonard Euler(i 1770 foreslo han en løsning for n = 3), Adrien Legendre og Johann Dirichlet(disse forskerne fant sammen et bevis for n = 5 i 1825), Gabriel Lame(som fant beviset for n = 7) og mange andre. På midten av 80-tallet av forrige århundre ble det klart at den vitenskapelige verden var på vei mot en endelig løsning
Fermats siste teorem, men det var først i 1993 at matematikere så og trodde at eposet fra tre århundre med å finne et bevis på Fermats siste teorem praktisk talt var over.
I 1993, en engelsk matematiker Andrew Wiles presentert for verden hans bevis på Fermats siste teorem, arbeid som varte i mer enn syv år. Men det viste seg at denne avgjørelsen inneholder en grov feil, selv om den generelt sett er riktig. Wiles ga ikke opp, ba om hjelp fra den berømte spesialisten i tallteori Richard Taylor, og allerede i 1994 publiserte de et korrigert og utvidet bevis på teoremet. Det mest fantastiske er at dette arbeidet tok opp så mange som 130 (!) sider i det matematiske tidsskriftet «Annals of Mathematics». Men historien sluttet heller ikke der - det endelige punktet ble nådd først neste år, 1995, da den endelige og "ideelle", fra et matematisk synspunkt, versjonen av beviset ble publisert.
Det har gått mye tid siden det øyeblikket, men det er fortsatt en oppfatning i samfunnet om at Fermats siste teorem er uløselig. Men selv de som kjenner til bevisene som er funnet, fortsetter å jobbe i denne retningen - få er fornøyd med at den store teoremet krever en løsning på 130 sider! Derfor, nå blir innsatsen til mange matematikere (for det meste amatører, ikke profesjonelle forskere) kastet inn i søket etter et enkelt og konsist bevis, men denne veien vil mest sannsynlig ikke føre noe sted ...
VITENSKAP OG TEKNOLOGI NYHETER
UDC 51:37;517.958
A.V. Konovko, Ph.D.
Academy of State Fire Service ved Ministry of Emergency Situations of Russia FERMAS STORE TEOREM ER BEVISET. ELLER IKKE?
I flere århundrer var det ikke mulig å bevise at likningen xn+yn=zn for n>2 er uløselig i rasjonelle tall, og derfor i heltall. Dette problemet ble født under forfatterskapet til den franske advokaten Pierre Fermat, som samtidig var profesjonelt engasjert i matematikk. Avgjørelsen hennes er kreditert den amerikanske matematikklæreren Andrew Wiles. Denne anerkjennelsen varte fra 1993 til 1995.
DEN STORE FERMAS TEOREM ER BEVIST. ELLER NEI?
Den dramatiske historien til Fermats siste teorem som bevises. Det tok nesten fire hundre år. Pierre Fermat skrev lite. Han skrev i komprimert stil. Dessuten publiserte han ikke undersøkelsene sine. Utsagnet om at ligningen xn+yn=zn er uløselig på sett med rasjonelle tall og heltall hvis n>2 ble fulgt av Fermats kommentar at han faktisk har funnet et bemerkelsesverdig bevis på denne uttalelsen. Etterkommerne ble ikke nådd ved dette beviset. Senere ble dette utsagnet kalt Fermats siste teorem. Verdens beste matematikere brøt lansen over denne teoremet uten resultat. På syttitallet la det franske matematikermedlemmet av Paris Academy of Sciences Andre Veil ned nye tilnærminger til løsningen. I 23. juni, i 1993, på teorikonferansen om tall i Cambridge, kunngjorde matematikeren ved Princeton University Andrew Whiles at Fermats siste teorembevis er fullført. Det var imidlertid tidlig å triumfere.
I 1621 publiserte den franske forfatteren og elskeren av matematikk Claude Gaspard Bachet de Meziriak den greske avhandlingen "Aritmetikk" av Diophantus med en latinsk oversettelse og kommentar. Den luksuriøse "Aritmetikken", med uvanlig brede marginer, falt i hendene på tjue år gamle Fermat og ble hans oppslagsbok i mange år. I margen etterlot han 48 notater som inneholdt fakta han oppdaget om egenskapene til tall. Her, i margen av «Aritmetikk», ble Fermats store teorem formulert: «Det er umulig å dekomponere en terning i to terninger eller en biquadrate til to biquadrate, eller generelt en potens større enn to til to potenser med samme eksponent; Jeg fant et virkelig fantastisk bevis på dette, som på grunn av plassmangel ikke får plass i disse feltene." På latin ser det forresten slik ut: «Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fast est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.»
Den store franske matematikeren Pierre Fermat (1601-1665) utviklet en metode for å bestemme arealer og volumer og skapte en ny metode for tangenter og ekstrema. Sammen med Descartes ble han skaperen av analytisk geometri, sammen med Pascal sto han ved opprinnelsen til sannsynlighetsteorien, innen den infinitesimale metoden ga han den generelle regelen for differensiering og beviste generelt regelen for integrering av en maktfunksjon... Men viktigst av alt, en av de viktigste mystiske og dramatiske historiene som noen gang har sjokkert matematikken - historien om beviset på Fermats siste teorem. Nå er dette teoremet uttrykt i form av et enkelt utsagn: ligningen xn + yn = zn for n>2 er uløselig i rasjonelle tall, og derfor i heltall. Forresten, for tilfellet n = 3, prøvde den sentralasiatiske matematikeren Al-Khojandi å bevise denne teoremet på 1000-tallet, men beviset hans overlevde ikke.
Pierre Fermat, hjemmehørende i Sør-Frankrike, fikk juridisk utdanning og tjente fra 1631 som rådgiver for parlamentet i byen Toulouse (dvs. den høyeste domstolen). Etter en arbeidsdag innenfor parlamentets vegger tok han opp matematikken og stupte umiddelbart inn i en helt annen verden. Penger, prestisje, offentlig anerkjennelse - ingenting av dette betydde noe for ham. Vitenskap ble aldri en inntekt for ham, ble ikke til et håndverk, forble alltid bare et spennende sinnsspill, forståelig bare for noen få. Han fortsatte sin korrespondanse med dem.
Fermat skrev aldri vitenskapelige artikler i vår vanlige forstand. Og i hans korrespondanse med venner er det alltid en utfordring, til og med en slags provokasjon, og på ingen måte en akademisk presentasjon av problemet og dets løsning. Derfor ble mange av brevene hans senere kalt en utfordring.
Kanskje er det nettopp derfor han aldri innså sin intensjon om å skrive et spesielt essay om tallteori. I mellomtiden var dette hans favorittområde innen matematikk. Det var til henne Fermat dedikerte de mest inspirerte linjene i brevene sine. "Aritmetikk," skrev han, "har sitt eget felt, teorien om heltall. Denne teorien ble bare litt berørt av Euklid og ble ikke tilstrekkelig utviklet av hans tilhengere (med mindre den var inneholdt i de verkene til Diophantus, som herjingene til. tiden har fratatt oss). Aritmetikere må derfor utvikle og fornye den."
Hvorfor var ikke Fermat selv redd for tidens destruktive virkninger? Han skrev lite og alltid veldig konsist. Men viktigst av alt, han publiserte ikke arbeidet sitt. I løpet av hans levetid sirkulerte de bare i manuskripter. Det er derfor ikke overraskende at Fermats resultater på tallteori har nådd oss i spredt form. Men Bulgakov hadde sannsynligvis rett: store manuskripter brenner ikke! Fermats arbeid gjenstår. De ble igjen i brevene hans til venner: matematikklæreren fra Lyon Jacques de Billy, myntmedarbeideren Bernard Freniquel de Bessy, Marcenny, Descartes, Blaise Pascal... Det som gjensto var Diophantus' "Aritmetikk" med hans kommentarer i margen, som etter Fermats død ble inkludert sammen med kommentarer fra Bachet i den nye utgaven av Diophantus, utgitt av hans eldste sønn Samuel i 1670. Bare bevisene i seg selv har ikke overlevd.
To år før hans død sendte Fermat sin venn Carcavi et testamentebrev, som gikk ned i matematikkens historie under tittelen "Sammendrag av nye resultater i vitenskapen om tall." I dette brevet beviste Fermat sitt berømte utsagn for saken n = 4. Men da var han mest sannsynlig ikke interessert i selve utsagnet, men i bevismetoden han oppdaget, som Fermat selv kalte uendelig eller ubestemt avstamning.
Manuskripter brenner ikke. Men hvis ikke for dedikasjonen til Samuel, som etter farens død samlet alle hans matematiske skisser og små avhandlinger, og deretter publiserte dem i 1679 under tittelen "Diverse matematiske verk", ville lærde matematikere ha måttet oppdage og gjenoppdage mye . Men selv etter at de ble publisert, lå problemene fra den store matematikeren urørlig i mer enn sytti år. Og dette er ikke overraskende. I den formen de dukket opp på trykk, dukket de tallteoretiske resultatene til P. Fermat opp for spesialister i form av alvorlige problemer som ikke alltid var klare for samtiden, nesten uten bevis, og indikasjoner på interne logiske sammenhenger mellom dem. Kanskje, i mangel av en sammenhengende, gjennomtenkt teori, ligger svaret på spørsmålet hvorfor Fermat selv aldri bestemte seg for å gi ut en bok om tallteori. Sytti år senere ble L. Euler interessert i disse verkene, og dette var virkelig deres andre fødsel...
Matematikk betalte dyrt for Fermats særegne måte å presentere resultatene på, som om bevisene deres med vilje ble utelatt. Men hvis Fermat hevdet at han hadde bevist dette eller det teoremet, så ble dette teoremet etterpå bevist. Det var imidlertid et problem med det store teoremet.
Et mysterium pirrer alltid fantasien. Hele kontinenter ble erobret av Giocondas mystiske smil; Relativitetsteorien, som nøkkelen til mysteriet med rom-tid-forbindelser, har blitt århundrets mest populære fysiske teori. Og vi kan trygt si at det ikke var noe annet matematisk problem som var så populært som det var ___93
Vitenskapelige og pedagogiske problemer med sivilbeskyttelse
Hva er Fermats teorem? Forsøk på å bevise det førte til opprettelsen av en omfattende gren av matematikken - teorien om algebraiske tall, men (akk!) selve teoremet forble uprøvd. I 1908 testamenterte den tyske matematikeren Wolfskehl 100 000 mark til alle som kunne bevise Fermats teorem. Dette var en enorm sum for de gangene! I ett øyeblikk kan du ikke bare bli berømt, men også bli fabelaktig rik! Det er derfor ikke overraskende at videregående elever selv i Russland, langt fra Tyskland, som kjempet med hverandre, skyndte seg å bevise det store teoremet. Hva kan vi si om profesjonelle matematikere! Men til ingen nytte! Etter første verdenskrig ble penger verdiløse, og strømmen av brev med pseudobevis begynte å tørke opp, selv om den selvfølgelig aldri stoppet. De sier at den berømte tyske matematikeren Edmund Landau utarbeidet trykte skjemaer for å sende til forfattere av bevis for Fermats teorem: "Det er en feil på side ..., i linje ...." (Assistenten fikk i oppgave å finne feilen.) Det var så mange rariteter og anekdoter knyttet til beviset på denne teoremet at man kunne sette sammen en bok ut av dem. Den siste anekdoten er A. Marininas detektivhistorie «Cincidence of Circumstances», filmet og vist på landets TV-skjermer i januar 2000. I den beviser vår landsmann et teorem som ikke er bevist av alle hans store forgjengere og krever en Nobelpris for det. Som du vet ignorerte oppfinneren av dynamitt matematikere i testamentet sitt, så forfatteren av beviset kunne bare kreve Fields Gold Medal, den høyeste internasjonale prisen godkjent av matematikerne selv i 1936.
I det klassiske arbeidet til den fremragende russiske matematikeren A.Ya. Khinchin, dedikert til Fermats store teorem, gir informasjon om historien til dette problemet og legger vekt på metoden som Fermat kunne ha brukt for å bevise teoremet sitt. Et bevis for tilfellet n = 4 og en kort gjennomgang av andre viktige resultater er gitt.
Men da detektivhistorien ble skrevet, og enda mer da den ble filmet, var det generelle beviset for teoremet allerede funnet. Den 23. juni 1993, på en konferanse om tallteori i Cambridge, kunngjorde Princeton-matematikeren Andrew Wiles at Fermats siste teorem var bevist. Men slett ikke som Fermat selv «lovet». Veien som Andrew Wiles tok var ikke basert på metodene for elementær matematikk. Han studerte den såkalte teorien om elliptiske kurver.
For å få en ide om elliptiske kurver, må du vurdere en plan kurve definert av en tredjegradsligning
Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)
Alle slike kurver er delt inn i to klasser. Den første klassen inkluderer de kurvene som har skjerpingspunkter (som den halvkubiske parabelen y2 = a2-X med skarphetspunktet (0; 0)), selvskjæringspunkter (som det kartesiske arket x3+y3-3axy = 0 , ved punktet (0; 0)), samt kurver der polynomet Dx,y) er representert i formen
f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),
hvor ^(x,y) og ^(x,y) er polynomer med lavere grader. Kurver av denne klassen kalles degenererte kurver av tredje grad. Den andre klassen av kurver er dannet av ikke-degenererte kurver; vi vil kalle dem elliptiske. Disse kan for eksempel inkludere Agnesi Curl (x2 + a2)y - a3 = 0). Hvis koeffisientene til polynomet (1) er rasjonelle tall, kan den elliptiske kurven transformeres til den såkalte kanoniske formen
y2= x3 + ax + b. (2)
I 1955 klarte den japanske matematikeren Y. Taniyama (1927-1958), innenfor rammen av teorien om elliptiske kurver, å formulere en hypotese som åpnet veien for beviset på Fermats teorem. Men verken Taniyama selv eller kollegene hans hadde mistanke om dette på det tidspunktet. I nesten tjue år vakte ikke denne hypotesen seriøs oppmerksomhet og ble populær først på midten av 70-tallet. I følge Taniyama-formodningen, hver elliptisk
en kurve med rasjonelle koeffisienter er modulær. Foreløpig sier imidlertid hypoteseformuleringen lite for den grundige leseren. Derfor vil det være nødvendig med noen definisjoner.
Hver elliptisk kurve kan assosieres med en viktig numerisk karakteristikk - dens diskriminant. For en kurve gitt i kanonisk form (2), bestemmes diskriminanten A av formelen
A = -(4a + 27b2).
La E være en elliptisk kurve gitt av ligning (2), hvor a og b er heltall.
For et primtall p, vurder sammenligningen
y2 = x3 + ax + b(mod p), (3)
hvor a og b er restene fra å dele heltallene a og b med p, og la oss angi med np antall løsninger til denne sammenligningen. Tallene pr er svært nyttige for å studere spørsmålet om løsbarheten til ligninger av formen (2) i heltall: hvis noen pr er lik null, har ligning (2) ingen heltallsløsninger. Det er imidlertid mulig å beregne tall bare i de sjeldneste tilfellene. (Samtidig er det kjent at р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).
La oss vurdere de primtallene p som deler diskriminanten A til den elliptiske kurven (2). Det kan bevises at for en slik p kan polynomet x3 + ax + b skrives på en av to måter:
x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)
x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p),
hvor a, ß, y er noen rester fra divisjon med p. Hvis for alle primtal p som deler diskriminanten til kurven, realiseres den første av de to angitte mulighetene, så kalles den elliptiske kurven semistabel.
Primtallene som deler diskriminanten kan kombineres til det som kalles en elliptisk kurvejigg. Hvis E er en semistabel kurve, er dens leder N gitt av formelen
hvor for alle primtall p > 5 som deler A, er eksponenten eP lik 1. Eksponentene 82 og 83 beregnes ved hjelp av en spesiell algoritme.
I hovedsak er dette alt som er nødvendig for å forstå essensen av beviset. Taniyamas hypotese inneholder imidlertid et komplekst og, i vårt tilfelle, nøkkelbegrepet modularitet. La oss derfor glemme elliptiske kurver et øyeblikk og vurdere den analytiske funksjonen f (det vil si funksjonen som kan representeres av en potensserie) til det komplekse argumentet z, gitt i det øvre halvplanet.
Vi betegner med H det øvre komplekse halvplanet. La N være et naturlig tall og k være et heltall. En modulær parabolsk form med vekt k på nivå N er en analytisk funksjon f(z) definert i det øvre halvplanet og tilfredsstiller relasjonen
f = (cz + d)kf (z) (5)
for alle heltall a, b, c, d slik at ae - bc = 1 og c er delelig med N. I tillegg antas det at
lim f (r + it) = 0,
der r er et rasjonelt tall, og det
Rommet til modulære parabolske former med vekt k på nivå N er betegnet med Sk(N). Det kan vises at den har en endelig dimensjon.
I det følgende vil vi være spesielt interessert i modulære parabolske former for vekt 2. For liten N er dimensjonen til rommet S2(N) presentert i tabell. 1. Spesielt
Dimensjoner på rommet S2(N)
Tabell 1
N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2
Av betingelse (5) følger det at % + 1) = for hver form f e S2(N). Derfor er f en periodisk funksjon. En slik funksjon kan representeres som
La oss kalle en modulær parabolsk form A^) i S2(N) egentlig hvis koeffisientene er heltall som tilfredsstiller relasjonene:
a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c Г_1 for en enkel p som ikke deler tallet N; (8)
(ap) for et primtall p som deler tallet N;
atn = ved an, hvis (t,n) = 1.
La oss nå formulere en definisjon som spiller en nøkkelrolle i beviset for Fermats teorem. En elliptisk kurve med rasjonelle koeffisienter og leder N kalles modulær hvis det er en slik egenform
f (z) = ^anq" g S2(N),
at ap = p - pr for nesten alle primtall p. Her er n antall sammenligningsløsninger (3).
Det er vanskelig å tro på at det finnes en slik kurve. Det er ganske vanskelig å forestille seg at det ville være en funksjon A(r) som tilfredsstiller de oppførte strenge begrensningene (5) og (8), som vil bli utvidet til serier (7), hvis koeffisienter vil være assosiert med praktisk talt uberegnelig tall Pr. Men Taniyamas dristige hypotese så ikke i det hele tatt tvil om faktumet om deres eksistens, og det empiriske materialet akkumulert over tid bekreftet briljant dens gyldighet. Etter to tiår med nesten fullstendig glemsel, fikk Taniyamas hypotese en slags andre vind i verkene til den franske matematikeren, medlem av Paris Academy of Sciences Andre Weil.
A. Weil ble født i 1906 og ble etter hvert en av grunnleggerne av en gruppe matematikere som handlet under pseudonymet N. Bourbaki. Siden 1958 ble A. Weil professor ved Princeton Institute for Advanced Study. Og fremveksten av hans interesse for abstrakt algebraisk geometri dateres tilbake til denne samme perioden. På syttitallet vendte han seg til elliptiske funksjoner og Taniyamas formodninger. Monografien om elliptiske funksjoner ble oversatt her i Russland. Han er ikke alene om hobbyen sin. I 1985 foreslo den tyske matematikeren Gerhard Frey at hvis Fermats teorem er usann, det vil si hvis det er en trippel av heltall a, b, c slik at a" + bn = c" (n > 3), så den elliptiske kurven
y2 = x (x - a")-(x - cn)
kan ikke være modulær, noe som motsier Taniyamas formodning. Frey selv klarte ikke å bevise denne påstanden, men snart ble beviset innhentet av den amerikanske matematikeren Kenneth Ribet. Med andre ord viste Ribet at Fermats teorem er en konsekvens av Taniyamas formodning.
Han formulerte og beviste følgende teorem:
Teorem 1 (Ribet). La E være en elliptisk kurve med rasjonelle koeffisienter og med en diskriminant
og dirigent
La oss anta at E er modulær og la
/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)
er den tilsvarende egenformen av nivå N. Vi fikser et primtall £, og
р:еР =1;- " 8 р
Så er det en slik parabolsk form
/(g) = 2 dnqn e N)
med heltallskoeffisienter slik at forskjellene og - dn er delbare med I for alle 1< п<ад.
Det er klart at hvis dette teoremet er bevist for en viss eksponent, så er det dermed bevist for alle eksponenter som er delbare med n Siden hvert heltall n > 2 er delelig enten med 4 eller med et oddetall, kan vi derfor begrense oss til. tilfellet når eksponenten er enten 4 eller et oddetall. For n = 4 ble et elementært bevis for Fermats teorem først oppnådd av Fermat selv, og deretter av Euler. Dermed er det nok å studere ligningen
a1 + b1 = c1, (12)
hvor eksponenten I er et oddetall.
Nå kan Fermats teorem fås ved enkle beregninger (2).
Teorem 2. Fermats siste teorem følger av Taniyamas formodning for semistable elliptiske kurver.
Bevis. La oss anta at Fermats teorem er usann, og la det være et tilsvarende moteksempel (som ovenfor, her er jeg et oddetall). La oss bruke setning 1 på den elliptiske kurven
y2 = x (x - ae) (x - cl).
Enkle beregninger viser at lederen til denne kurven er gitt av formelen
Ved å sammenligne formlene (11) og (13), ser vi at N = 2. Derfor er det ved setning 1 en parabolsk form
liggende i rom 82(2). Men i kraft av relasjon (6) er dette rommet null. Derfor er dn = 0 for alle n. Samtidig er a^ = 1. Derfor er forskjellen ag - dl = 1 ikke delelig med I, og vi kommer til en motsigelse. Dermed er teoremet bevist.
Denne teoremet ga nøkkelen til beviset på Fermats siste teorem. Og likevel forble selve hypotesen fortsatt ubevist.
Etter å ha annonsert 23. juni 1993 beviset på Taniyama-formodningen for semistable elliptiske kurver, som inkluderer kurver i formen (8), hadde Andrew Wiles det travelt. Det var for tidlig for matematikere å feire seieren.
Den varme sommeren tok raskt slutt, den regnfulle høsten ble lagt bak seg, og vinteren kom. Wiles skrev og omskrev den endelige versjonen av beviset sitt, men grundige kolleger fant flere og flere unøyaktigheter i arbeidet hans. Så tidlig i desember 1993, noen dager før Wiles' manuskript skulle gå i trykken, ble det igjen oppdaget alvorlige hull i bevisene hans. Og så skjønte Wiles at han ikke kunne fikse noe på en dag eller to. Dette krevde en alvorlig forbedring. Utgivelsen av verket måtte utsettes. Wiles henvendte seg til Taylor for å få hjelp. "Å jobbe med feilene" tok mer enn ett år. Den endelige versjonen av beviset på Taniyama-formodningen, skrevet av Wiles i samarbeid med Taylor, ble publisert først sommeren 1995.
I motsetning til helten A. Marinina søkte ikke Wiles om Nobelprisen, men likevel... han burde vært tildelt en slags pris. Men hvilken? Wiles var allerede i femtiårene på den tiden, og Fields' gullmedaljer deles ut strengt tatt frem til en alder av førti, når toppen av kreativ aktivitet ennå ikke har passert. Og så bestemte de seg for å opprette en spesiell pris for Wiles - sølvmerket til Fields Committee. Dette merket ble presentert for ham på neste kongress om matematikk i Berlin.
Av alle problemene som med større eller mindre sannsynlighet kan ta plassen til Fermats siste teorem, har problemet med tettest pakking av baller størst sjanse. Problemet med den tetteste pakkingen av kuler kan formuleres som problemet med hvordan man mest økonomisk bretter appelsiner til en pyramide. Unge matematikere arvet denne oppgaven fra Johannes Kepler. Problemet oppsto i 1611, da Kepler skrev et kort essay "On Hexagonal Snowflakes." Keplers interesse for arrangementet og selvorganiseringen av materiepartikler førte til at han diskuterte en annen sak - den tetteste pakkingen av partikler, der de opptar det minste volumet. Hvis vi antar at partiklene har form som kuler, så er det klart at uansett hvordan de befinner seg i rommet, vil det uunngåelig forbli hull mellom dem, og spørsmålet er å redusere volumet av hull til et minimum. I verket står det for eksempel (men ikke bevist) at en slik form er et tetraeder, koordinataksene inni som bestemmer den grunnleggende ortogonalitetsvinkelen på 109°28", og ikke 90°. Dette problemet er av stor betydning. for partikkelfysikk, krystallografi og andre grener av naturvitenskap.
Litteratur
1. Weil A. Elliptiske funksjoner ifølge Eisenstein og Kronecker. - M., 1978.
2. Soloviev Yu.P. Taniyamas formodning og Fermats siste teorem // Soros pedagogisk tidsskrift. - nr. 2. - 1998. - S. 78-95.
3. Singh S. Fermats siste teorem. Historien om et mysterium som har okkupert verdens beste hoder i 358 år / Trans. fra engelsk Yu.A. Danilova. M.: MTsNMO. 2000. - 260 s.
4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. Kvaternionalgebra og tredimensjonale rotasjoner // Dette tidsskriftet nr. 1(1), 2008. - S. 75-80.
For heltall n større enn 2, har likningen x n + y n = z n ingen løsninger som ikke er null i naturlige tall.
Du husker sikkert fra skoletiden Pythagoras teorem: Kvadraten til hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik summen av kvadratene til beina. Du husker kanskje også den klassiske rettvinklede trekanten med sider hvis lengder er i forholdet 3: 4: 5. For den ser Pythagoras teoremet slik ut:
Dette er et eksempel på å løse den generaliserte pythagoreiske ligningen i heltall som ikke er null med n= 2. Fermats siste teorem (også kalt "Fermats siste teorem" og "Fermats siste teorem") er påstanden som for verdiene n> 2 likninger av formen x n + y n = z n har ingen løsninger som ikke er null i naturlige tall.
Historien til Fermats siste teorem er veldig interessant og lærerik, og ikke bare for matematikere. Pierre de Fermat bidro til utviklingen av ulike felt av matematikk, men hoveddelen av hans vitenskapelige arv ble kun publisert posthumt. Faktum er at matematikk for Fermat var noe av en hobby, og ikke et profesjonelt yrke. Han korresponderte med de ledende matematikerne i sin tid, men strevde ikke etter å publisere arbeidet sitt. Fermats vitenskapelige skrifter finnes hovedsakelig i form av privat korrespondanse og fragmentariske notater, ofte skrevet i margen av ulike bøker. Det er i margen (av det andre bindet av den antikke greske "aritmetikken" av Diophantus. - Merk oversetter) like etter matematikerens død oppdaget etterkommerne formuleringen av det berømte teoremet og etterskriften:
« Jeg fant et virkelig fantastisk bevis på dette, men disse feltene er for smale for det».
Akk, tilsynelatende gadd Fermat aldri å skrive ned det "mirakuløse beviset" han fant, og etterkommere søkte uten hell etter det i mer enn tre århundrer. Av all Fermats spredte vitenskapelige arv, som inneholder mange overraskende utsagn, var det den store teoremet som hardnakket nektet å bli løst.
Den som har prøvd å bevise Fermats siste teorem er forgjeves! En annen stor fransk matematiker, René Descartes (1596–1650), kalte Fermat en «skrytmann», og den engelske matematikeren John Wallis (1616–1703) kalte ham en «forbannet franskmann». Fermat selv etterlot imidlertid fortsatt et bevis på teoremet sitt for saken n= 4. Med bevis for n= 3 ble løst av den store sveitsisk-russiske matematikeren på 1700-tallet Leonhard Euler (1707–83), hvoretter han ikke kunne finne bevis for n> 4, foreslo på spøk at Fermats hus ble ransaket for å finne nøkkelen til de tapte bevisene. På 1800-tallet gjorde nye metoder innen tallteori det mulig å bevise utsagnet for mange heltall innen 200, men igjen, ikke for alle.
I 1908 ble det opprettet en pris på 100 000 tyske mark for å løse dette problemet. Prisfondet ble testamentert av den tyske industrimannen Paul Wolfskehl, som ifølge legenden skulle begå selvmord, men ble så revet med av Fermats siste teorem at han ombestemte seg om å dø. Med bruken av å legge til maskiner og deretter datamaskiner, verdilinjen n begynte å stige høyere og høyere - til 617 ved begynnelsen av andre verdenskrig, til 4001 i 1954, til 125 000 i 1976. På slutten av 1900-tallet ble de kraftigste datamaskinene ved militærlaboratorier i Los Alamos (New Mexico, USA) programmert til å løse Fermats problem i bakgrunnen (i likhet med skjermsparermodusen til en personlig datamaskin). Dermed var det mulig å vise at teoremet er sant for utrolig store verdier x, y, z Og n, men dette kunne ikke tjene som et strengt bevis, siden noen av de følgende verdiene n eller trillinger av naturlige tall kan motbevise teoremet som helhet.
Til slutt, i 1994, publiserte den engelske matematikeren Andrew John Wiles (f. 1953), som jobbet ved Princeton, et bevis på Fermats siste teorem, som etter noen modifikasjoner ble ansett som omfattende. Beviset tok mer enn hundre journalsider og var basert på bruken av moderne apparater for høyere matematikk, som ikke ble utviklet i Fermats tid. Så hva mente da Fermat med å legge igjen en melding i margen av boken om at han hadde funnet beviset? De fleste matematikerne som jeg snakket med om dette emnet, påpekte at det gjennom århundrene hadde vært mer enn nok feil bevis på Fermats siste teorem, og at Fermat selv mest sannsynlig hadde funnet et lignende bevis, men ikke klarte å gjenkjenne feilen. i det. Imidlertid er det mulig at det fortsatt er noen korte og elegante bevis på Fermats siste teorem som ingen ennå har funnet. Bare én ting kan sies med sikkerhet: i dag vet vi med sikkerhet at teoremet er sant. De fleste matematikere, tror jeg, vil være uforbeholdent enig med Andrew Wiles, som sa om beviset hans: "Nå er endelig sinnet mitt i fred."