Lysbilde 2
Hva vi skal studere: Definisjon. Viktige koordinater til tallsirkelen. Hvordan finne koordinaten til tallsirkelen? Tabell over grunnleggende koordinater for tallsirkelen. Eksempler på oppgaver.
Lysbilde 3
Definisjon. La oss plassere tallsirkelen i koordinatplanet slik at sentrum av sirkelen faller sammen med opprinnelsen til koordinatene, og ta dens radius som et enhetssegment. Startpunktet til tallsirkelen A er på linje med punktet (1;0). Hvert punkt på tallsirkelen har sine egne koordinater x og y i koordinatplanet, og: x > 0, y > 0 i første kvartal; x 0 i andre kvartal; x 0, y
Lysbilde 4
Det er viktig for oss å lære hvordan vi finner koordinatene til punktene på tallsirkelen presentert i figuren nedenfor:
Lysbilde 5
La oss finne koordinaten til punkt π/4: Punkt M(π/4) er midten av første kvartal. La oss slippe den vinkelrette MR fra punkt M til rett linje OA og vurdere trekant OMP Siden bue AM er halvparten av bue AB, så betyr ∡MOP=45° Dette betyr at trekant OMP er en likebent rettvinklet trekant, dvs. ved punkt M er abscissen og ordinaten like: x = y Siden koordinatene til punktet M(x;y) tilfredsstiller ligningen til tallsirkelen, må du løse et ligningssystem for å finne dem: Etter å ha løst dette systemet vi får: Vi fant at koordinatene til punktet M som tilsvarer tallet π /4 vil Koordinatene til punktene presentert på forrige lysbilde beregnes på lignende måte.
Lysbilde 6
Lysbilde 7
Koordinater til punkter på tallsirkelen.
Lysbilde 8
Eksempel Finn koordinaten til et punkt på en tallsirkel: Р(45π/4) Løsning: Fordi. tallene t og t+2π k (k-heltall) tilsvarer det samme punktet på tallsirkelen da: 45π/4 = (10 + 5/4) π = 10π +5π/4 = 5π/4 + 2π 5 Så , tilsvarer tallet 45π/4 samme punkt på tallsirkelen som tallet 5π/4. Ser vi på verdien av punktet 5π/4 i tabellen får vi:
Lysbilde 9
Eksempel Finn koordinaten til et punkt på en tallsirkel: Р(-37π/3) Løsning: Fordi. tallene t og t+2π k (k-heltall) tilsvarer det samme punktet på tallsirkelen da: -37π/3 = -(12 + 1/3) π = -12π –π/3 = -π/3 + 2π (-6) Dette betyr at tallet -37π/3 tilsvarer samme punkt på tallsirkelen som tallet –π/3, og tallet –π/3 tilsvarer samme punkt som 5π/3. Ser vi på verdien av punktet 5π/3 i tabellen får vi:
Lysbilde 10
Finn punkter på tallsirkelen med ordinaten y = 1/2 og skriv ned hvilke tall t de tilsvarer. Eksempel Den rette linjen y = 1/2 skjærer tallsirkelen i punktene M og P. Punkt M tilsvarer tallet π/6 (fra tabelldataene), som betyr, og et hvilket som helst tall på formen π/6+2π k . Punkt P tilsvarer tallet 5π/6, og derfor til et hvilket som helst tall på formen 5π/6+2 π k. Vi fikk, som det ofte sies i slike tilfeller, to serier med verdier: π/6+2 π k og. 5π/6+2 π k Svar: t= π/6+2 π k og t= 5π/6+2 π k Tallsirkel på koordinatplanet.
Lysbilde 11
Eksempel Finn punkter på tallsirkelen med abscisse x≥ og skriv ned hvilke tall t de tilsvarer. Den rette linjen x= 1/2 skjærer tallsirkelen i punktene M og P. Ulikheten x ≥ tilsvarer punktene til buen PM. Punkt M tilsvarer tallet 3π/4 (fra tabelldataene), som betyr, og et hvilket som helst tall på formen -3π/4+2π k. Punkt P tilsvarer tallet -3π/4, og derfor til et hvilket som helst tall på formen – -3π/4+2 π k Da får vi -3π/4+2 π k≤t≤3π/4+2 π k Svar : -3π/ 4+2 π k≤t≤3π/4+2 π k Tallsirkel på koordinatplanet.
Lysbilde 12
Tallsirkel på koordinatplanet.
Problemer for uavhengig løsning. 1) Finn koordinaten til et punkt på tallsirkelen: P(61π/6)? 2) Finn koordinaten til et punkt på tallsirkelen: P(-52π/3) 3) Finn punkter på tallsirkelen med ordinaten y = -1/2 og skriv ned hvilke tall t de tilsvarer. 4) Finn punkter på tallsirkelen med ordinaten y ≥-1/2 og skriv ned hvilke tall t de tilsvarer. 5) Finn punktene på tallsirkelen med abscissen x≥ og skriv ned hvilke tall t de tilsvarer.
Se alle lysbildene
Kommunal utdanningsinstitusjon ungdomsskole nr. 1
KHMAO-Yugra
Leksjonsutvikling
i 10. klasse
om algebra og analyseprinsipper
Nadezhda Mikhailovna
matematikklærer
Sovetsky
Emne: TRIGONOMETRI
Trigonometriske funksjoner
Trigonometriske ligninger
Trigonometriske transformasjoner
Tallsirkel på
koordinatplan
Emnet undervises ved hjelp av blokkmodulær teknologi.
Denne leksjonen er en av leksjonene for å lære nytt materiale. Derfor er hovedtiden i leksjonen viet til å lære nytt materiale, og elevene gjør det meste av dette arbeidet selvstendig.
Typer elevaktiviteter i timen: frontalt, selvstendig og individuelt arbeid.
Siden mye arbeid må gjøres i en leksjon og resultatene av elevaktiviteter må overvåkes, brukes en interaktiv tavle på stadiene med å oppdatere kunnskap og lære nytt materiale. For en mer visuell representasjon av overlegget av tallsirkelen på koordinatplanet og for refleksjon over innholdet i undervisningsmateriellet på slutten av treningsøkten, brukes også Power Point-presentasjoner.
pedagogisk
Lær å tilegne seg kunnskap selvstendig
pleiende
Dyrk ro, ansvar, flid
utvikle seg
Lær å analysere, sammenligne, bygge analogier
Timeplan:
1) Organisasjonsøyeblikk, emne, formål med leksjon 2 min.
2) Oppdatere kunnskap 4 min.
3) Lære nytt materiale 30 min.
4) Refleksjon 3 min.
5) Sammendrag av leksjon 1 min.
Organisering av tid
Tallsirkel
koordinatplan
vurdere tallsirkelen på koordinatplanet; sammen finne koordinatene til to punkter; kompiler deretter uavhengig tabeller med koordinatverdier for andre hovedpunkter i sirkelen;
test din evne til å finne koordinatene til punktene på en tallsirkel.
Oppdatering av kunnskap
I geometrikurset i 9. klasse studerte vi følgende
materiale:
På en enhetshalvsirkel (R = 1) betraktet vi et punkt M med koordinater X Og på
Utdrag fra en lærebok i geometri
Etter å ha lært å finne koordinatene til et punkt på enhetssirkelen,
La oss enkelt gå videre til deres andre navn: sinus og cosinus, dvs.
til hovedemnet - TRIGONOMETRI
Den første oppgaven gis på den interaktive tavlen, der elevene må plassere prikkene og deres tilsvarende tall på steder på tallsirkelen ved å dra dem med fingeren på tavlen.
Øvelse 1
Vi fikk resultatet:
Den andre oppgaven er gitt på den interaktive tavlen. Svarene lukkes med et "gardin" og avsløres etter hvert som de løses.
Oppgave 2
Resultat av oppgaven:
Lære nytt stoff
La oss ta et koordinatsystem og sette en tallsirkel på det slik at sentrene deres faller sammen, og sirkelens horisontale radius faller sammen med den positive retningen til OX-aksen (Power Point-presentasjon)
Som et resultat har vi punkter som hører til både tallsirkelen og koordinatplanet. La oss vurdere ett av disse punktene, for eksempel punkt M (Power Point-presentasjon)
M(t)
La oss plotte koordinatene til dette punktet
La oss finne koordinatene til punktene av interesse for oss på enhetssirkelen, som vi vurderte tidligere med nevnerne 4, 3, 6 og telleren π.
Finn koordinatene til punktet på enhetssirkelen som tilsvarer tallet og følgelig vinkelen
Oppgave 3
(Powerpoint presentasjon)
La oss skildre radius og koordinater til punktet
Ved Pythagoras teorem har vi X 2+ x 2 = 12
Men vinklene til trekanten er π/4 = 45° , Dette betyr at trekanten er likebenet og x = y
Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer tallene (vinklene)
Oppgave 4
(Powerpoint presentasjon)
Midler på= 1/2
I følge Pythagoras teorem
Trekanter er like i hypotenusen
og en spiss vinkel, noe som betyr at bena deres er like
I forrige leksjon fikk elevene ark med blanke tallsirkler og ulike tabeller.
Fyll ut den første tabellen.
Oppgave 5
(interaktivt tavle)
Skriv først inn punktene i sirkelen som er multipler av 2 og 4 i tabellen.
Sjekker resultatet:
(interaktivt tavle)
Fyll inn ordinatene og abscissene til disse punktene selv i tabellen, og ta hensyn til koordinattegnene, avhengig av hvilket kvartal punktet ligger i, ved å bruke lengdene på segmentene som er oppnådd ovenfor for koordinatene til punktene.
Oppgave 6
En av elevene navngir resultatene som er oppnådd, resten kontrollerer svarene deres, for så å korrigere resultatene (siden disse tabellene vil bli brukt senere i arbeidet for å utvikle ferdigheter og utdype kunnskap om emnet), vises en korrekt utfylt tabell på den interaktive tavlen.
Sjekker resultatet:
(interaktivt tavle)
Fyll ut den andre tabellen.
Oppgave 7
(interaktivt tavle)
Skriv først inn punktene i sirkelen som er multipler av 3 og 6 i tabellen
Sjekker resultatet:
(interaktivt tavle)
Fyll inn ordinatene og abscissene til disse punktene selv i tabellen
Oppgave 8
Sjekker resultatet:
(interaktivt tavle)
(Powerpoint presentasjon)
La oss gjennomføre en kort matematisk diktat etterfulgt av selvkontroll.
1) Finn koordinatene til punktene i enhetssirkelen:
Alternativ 2
1 alternativ
2) Finn abscissen til punktene i enhetssirkelen:
1) Finn koordinatene til punktene på enhetssirkelen
Alternativ 2
1 alternativ
2) Finn abscissen til punktene på enhetssirkelen
Sjekk deg selv
3) Finn ordinatene til punktene i enhetssirkelen:
For deg selv kan du merke "5" for 4 fullførte eksempler,
"4" for 3 eksempler og merk "3" for 2 eksempler
Oppsummering av leksjonen
1) I fremtiden, for å finne verdiene til sinus, cosinus, tangens og cotangens av punkter og vinkler, er det nødvendig å lære fra de fullførte tabellene verdiene til koordinatene til punktene som tilhører det første kvartalet fordi videre vil vi lære å uttrykke koordinatverdiene til alle andre punkter gjennom verdiene til punktene i første kvartal;
2) Forbered teoretiske spørsmål for testing.
Hjemmelekser:
Leksjonssammendrag
Karakteren gis til elevene som jobbet mest aktivt i timen. Arbeidet til alle elevene blir ikke karakterisert, siden feil rettes umiddelbart i løpet av timen. Dikteringen ble utført for selvkontroll; det er ikke tilstrekkelig volum for vurdering.
Analytisk geometri gir ensartede teknikker for å løse geometriske problemer. For å gjøre dette blir alle gitte og ettertraktede punkter og linjer tilordnet ett koordinatsystem.
I et koordinatsystem kan hvert punkt karakteriseres ved sine koordinater, og hver linje - av en ligning med to ukjente, grafen som denne linjen er. Dermed reduseres det geometriske problemet til et algebraisk, hvor alle beregningsmetoder er godt utviklet.
En sirkel er et geometrisk lokus av punkter med én spesifikk egenskap (hvert punkt på sirkelen er like langt fra ett punkt, kalt sentrum). Likningen til en sirkel må reflektere denne egenskapen og tilfredsstille denne betingelsen.
Den geometriske tolkningen av ligningen til en sirkel er linjen til en sirkel.
Hvis du plasserer en sirkel i et koordinatsystem, tilfredsstiller alle punktene på sirkelen én betingelse - avstanden fra dem til sentrum av sirkelen må være den samme og lik sirkelen.
Sirkel med sentrum i et punkt EN og radius R plasser den i koordinatplanet.
Hvis senteret koordinerer (a;b) , og koordinatene til ethvert punkt på sirkelen (x;y) , så har sirkellikningen formen:
Hvis kvadratet av radiusen til en sirkel er lik summen av kvadratene av forskjellene mellom de tilsvarende koordinatene til ethvert punkt på sirkelen og dens sentrum, så er denne ligningen ligningen til en sirkel i et plan koordinatsystem.
Hvis sentrum av sirkelen faller sammen med opprinnelsen, er kvadratet av sirkelens radius lik summen av kvadratene til koordinatene til ethvert punkt på sirkelen. I dette tilfellet har sirkelligningen formen:
Følgelig bestemmes enhver geometrisk figur som et punktsted av en ligning som forbinder koordinatene til punktene. Omvendt, ligningen som relaterer koordinatene X Og på , definer en linje som det geometriske stedet for punkter på planet hvis koordinater tilfredsstiller denne ligningen.
Eksempler på å løse problemer om likningen til en sirkel
Oppgave. Skriv en ligning for en gitt sirkel
Skriv en ligning for en sirkel med sentrum i punktet O (2;-3) og radius 4.Løsning.
La oss gå til formelen for ligningen til en sirkel:
R2 = (x-a)2 + (y-b) 2
La oss erstatte verdiene i formelen.
Sirkelradius R = 4
Koordinater for sentrum av sirkelen (i henhold til tilstanden)
a = 2
b = -3
Vi får:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
eller
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.
Oppgave. Hører et punkt til ligningen til en sirkel?
Sjekk om et punkt tilhører A(2;3) ligning av en sirkel (x - 2) 2 +(y+3) 2 = 16 .Løsning.
Hvis et punkt tilhører en sirkel, tilfredsstiller dets koordinater sirkellikningen.
For å sjekke om et punkt med gitte koordinater tilhører en sirkel, erstatter vi koordinatene til punktet i ligningen til den gitte sirkelen.
I ligning ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
La oss erstatte, i henhold til betingelsen, koordinatene til punkt A(2;3), det vil si
x = 2
y=3
La oss sjekke sannheten om den resulterende likheten
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2
- 2) 2 + (3
+ 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 likestilling er falsk
Så det gitte poenget hører ikke til gitt ligning av en sirkel.
Hvis du plasserer enhetsnummersirkelen på koordinatplanet, kan du finne koordinatene for punktene. Tallsirkelen er plassert slik at dens sentrum faller sammen med origo til planet, dvs. punktet O (0; 0).
Vanligvis på enhetsnummersirkelen er punktene som tilsvarer opprinnelsen til sirkelen markert
- kvartaler - 0 eller 2π, π/2, π, (2π)/3,
- midtre kvartaler - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- tredjedeler av kvartaler - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
På koordinatplanet, med den ovennevnte plasseringen av enhetssirkelen på, kan du finne koordinatene som tilsvarer disse punktene i sirkelen.
Koordinatene til endene av kvartalene er veldig enkle å finne. Ved punkt 0 i sirkelen er x-koordinaten 1, og y-koordinaten er 0. Vi kan betegne den som A (0) = A (1; 0).
Slutten av første kvartal vil ligge på den positive y-aksen. Derfor er B (π/2) = B (0; 1).
Slutten av andre kvartal er på den negative halvaksen: C (π) = C (-1; 0).
Slutten av tredje kvartal: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Men hvordan finne koordinatene til midtpunktene til kvartalene? For å gjøre dette, konstruer en rettvinklet trekant. Hypotenusen er et segment fra sentrum av sirkelen (eller opprinnelsen) til midtpunktet av kvartsirkelen. Dette er radiusen til sirkelen. Siden sirkelen er enhet, er hypotenusen lik 1. Tegn deretter en perpendikulær fra et punkt på sirkelen til en hvilken som helst akse. La den være mot x-aksen. Resultatet er en rettvinklet trekant, hvor lengdene på bena er x- og y-koordinatene til punktet på sirkelen.
En kvart sirkel er 90º. Og en halv fjerdedel er 45º. Siden hypotenusen er trukket til midtpunktet av kvadranten, er vinkelen mellom hypotenusen og benet som strekker seg fra origo 45º. Men summen av vinklene til en trekant er 180º. Følgelig forblir vinkelen mellom hypotenusen og det andre benet også 45º. Dette resulterer i en likebenet rettvinklet trekant.
Fra Pythagoras teorem får vi ligningen x 2 + y 2 = 1 2. Siden x = y og 1 2 = 1, forenkles ligningen til x 2 + x 2 = 1. Løser vi det, får vi x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Dermed er koordinatene til punktet M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
I koordinatene til punktene til midtpunktene til de andre kvartalene vil bare skiltene endre seg, og modulene til verdiene vil forbli de samme, siden den høyre trekanten bare vil bli snudd. Vi får:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
Når du skal bestemme koordinatene til de tredje delene av kvartalene til en sirkel, er det også konstruert en rettvinklet trekant. Hvis vi tar punktet π/6 og tegner en vinkelrett på x-aksen, vil vinkelen mellom hypotenusen og benet som ligger på x-aksen være 30º. Det er kjent at et ben som ligger motsatt en vinkel på 30º er lik halvparten av hypotenusen. Dette betyr at vi har funnet y-koordinaten, den er lik ½.
Når vi kjenner lengden på hypotenusen og det ene bena, ved å bruke Pythagoras teorem finner vi det andre benet:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Dermed T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
For punktet til den andre tredjedelen av første kvartal (π/3) er det bedre å tegne en vinkelrett på aksen til y-aksen. Da vil vinkelen ved origo også være 30º. Her vil x-koordinaten være lik ½, og y, henholdsvis √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
For andre punkter i tredje kvartal vil tegnene og rekkefølgen til koordinatverdiene endres. Alle punkter som er nærmere x-aksen vil ha en modulus x-koordinatverdi lik √3/2. De punktene som er nærmere y-aksen vil ha en modulus y-verdi lik √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)