Approksimasjon av eksperimentelle data er en metode basert på å erstatte eksperimentelt innhentede data med en analytisk funksjon som passerer nærmest eller sammenfaller på knutepunkter med de opprinnelige verdiene (data innhentet under et eksperiment eller eksperiment). For øyeblikket er det to måter å definere en analytisk funksjon på:
Ved å konstruere et n-graders interpolasjonspolynom som passerer direkte gjennom alle punkter en gitt datamatrise. I dette tilfellet presenteres approksimasjonsfunksjonen i form av: et interpolasjonspolynom på lagrangeform eller et interpolasjonspolynom på newtonform.
Ved å konstruere et n-graders tilnærmet polynom som passerer i umiddelbar nærhet av punkter fra en gitt datamatrise. Dermed jevner den tilnærmede funksjonen ut all tilfeldig støy (eller feil) som kan oppstå under eksperimentet: de målte verdiene under eksperimentet avhenger av tilfeldige faktorer som svinger i henhold til deres egne tilfeldige lover (måle- eller instrumentfeil, unøyaktighet eller eksperimentelle feil). I dette tilfellet bestemmes den tilnærmede funksjonen ved å bruke minste kvadraters metode.
Minste kvadratiske metode(i den engelskspråklige litteraturen Ordinary Least Squares, OLS) er en matematisk metode basert på å bestemme den approksimerende funksjonen, som er konstruert i nærmeste nærhet til punkter fra en gitt rekke eksperimentelle data. Nærheten til de opprinnelige og approksimerende funksjonene F(x) bestemmes av et numerisk mål, nemlig: summen av kvadrerte avvik av eksperimentelle data fra den approksimerende kurven F(x) skal være den minste.
Tilnærmingskurve konstruert ved bruk av minste kvadraters metode
Minste kvadraters metode brukes:
Å løse overbestemte ligningssystemer når antall ligninger overstiger antall ukjente;
Å finne en løsning i tilfellet med vanlige (ikke overbestemte) ikke-lineære ligningssystemer;
For å tilnærme punktverdier med en tilnærmet funksjon.
Tilnærmingsfunksjonen ved bruk av minste kvadraters metode bestemmes fra betingelsen for minimumsummen av kvadrerte avvik til den beregnede tilnærmelsesfunksjonen fra en gitt rekke eksperimentelle data. Dette kriteriet for minste kvadraters metode er skrevet som følgende uttrykk:
Verdiene til den beregnede tilnærmede funksjonen ved knutepunktene,
En gitt rekke eksperimentelle data ved nodalpunkter.
Det kvadratiske kriteriet har en rekke "gode" egenskaper, for eksempel differensierbarhet, og gir en unik løsning på tilnærmingsproblemet med polynomiske approksimasjonsfunksjoner.
Avhengig av forholdene til problemet, er den tilnærmede funksjonen et polynom av grad m
Graden av den tilnærmede funksjonen avhenger ikke av antall knutepunkter, men dens dimensjon må alltid være mindre enn dimensjonen (antall punkter) til en gitt eksperimentell datamatrise.
∙ Hvis graden av approksimasjonsfunksjonen er m=1, så tilnærmer vi tabellfunksjonen med en rett linje (lineær regresjon).
∙ Hvis graden av tilnærmingsfunksjonen er m=2, så tilnærmer vi tabellfunksjonen med en kvadratisk parabel (kvadratisk tilnærming).
∙ Hvis graden av approksimasjonsfunksjonen er m=3, så tilnærmer vi tabellfunksjonen med en kubisk parabel (kubisk tilnærming).
I det generelle tilfellet, når det er nødvendig å konstruere et tilnærmet polynom av grad m for gitte tabellverdier, omskrives betingelsen for minimum av summen av kvadrerte avvik over alle nodalpunkter i følgende form:
- ukjente koeffisienter for det tilnærmede polynomet av grad m;
Antall tabellverdier spesifisert.
En nødvendig betingelse for eksistensen av et minimum av en funksjon er likheten til null av dens partielle deriverte med hensyn til ukjente variabler . Som et resultat får vi følgende ligningssystem:
La oss transformere det resulterende lineære likningssystemet: åpne parentesene og flytt de frie leddene til høyre side av uttrykket. Som et resultat vil det resulterende systemet med lineære algebraiske uttrykk skrives i følgende form:
Dette systemet med lineære algebraiske uttrykk kan skrives om i matriseform:
Som et resultat ble det oppnådd et system av lineære ligninger med dimensjon m+1, som består av m+1 ukjente. Dette systemet kan løses ved å bruke hvilken som helst metode for å løse lineære algebraiske ligninger (for eksempel Gauss-metoden). Som et resultat av løsningen vil det bli funnet ukjente parametere for approksimeringsfunksjonen som gir minimumsummen av kvadrerte avvik til approksimeringsfunksjonen fra de opprinnelige dataene, dvs. best mulig kvadratisk tilnærming. Det bør huskes at hvis til og med én verdi av kildedataene endres, vil alle koeffisienter endre verdiene, siden de er fullstendig bestemt av kildedataene.
Tilnærming av kildedata ved lineær avhengighet
(lineær regresjon)
Som et eksempel, la oss vurdere teknikken for å bestemme den tilnærmede funksjonen, som er spesifisert i form av en lineær avhengighet. I samsvar med minste kvadraters metode skrives betingelsen for minimum av summen av kvadrerte avvik i følgende form:
Koordinater til tabellnoder;
Ukjente koeffisienter for den tilnærmede funksjonen, som er spesifisert som en lineær avhengighet.
En nødvendig betingelse for eksistensen av et minimum av en funksjon er lik null av dens partielle deriverte med hensyn til ukjente variabler. Som et resultat får vi følgende ligningssystem:
La oss transformere det resulterende lineære likningssystemet.
Vi løser det resulterende systemet med lineære ligninger. Koeffisientene til den tilnærmede funksjonen i analytisk form bestemmes som følger (Cramers metode):
Disse koeffisientene sikrer konstruksjonen av en lineær tilnærmingsfunksjon i samsvar med kriteriet om å minimere summen av kvadrater av den tilnærmede funksjonen fra de gitte tabellverdiene (eksperimentelle data).
Algoritme for implementering av minste kvadraters metode
1. Opprinnelige data:
En rekke eksperimentelle data med antall målinger N er spesifisert
Graden av det tilnærmede polynomet (m) er spesifisert
2. Beregningsalgoritme:
2.1. Koeffisientene bestemmes for å konstruere et likningssystem med dimensjoner
Koeffisienter til ligningssystemet (venstre side av ligningen)
- indeks av kolonnenummeret til kvadratmatrisen til ligningssystemet
Frie ledd i et system med lineære ligninger (høyre side av ligningen)
- indeks for radnummeret til kvadratmatrisen til ligningssystemet
2.2. Dannelse av et system av lineære ligninger med dimensjon .
2.3. Løse et system med lineære ligninger for å bestemme de ukjente koeffisientene til et tilnærmet polynom med grad m.
2.4 Bestemmelse av summen av kvadrerte avvik til det tilnærmede polynomet fra de opprinnelige verdiene ved alle nodalpunkter.
Den funnet verdien av summen av kvadrerte avvik er minimum mulig.
Tilnærming ved hjelp av andre funksjoner
Det skal bemerkes at når man tilnærmer de opprinnelige dataene i henhold til minste kvadraters metode, brukes den logaritmiske funksjonen, eksponentialfunksjonen og potensfunksjonen noen ganger som tilnærmingsfunksjonen.
Logaritmisk tilnærming
La oss vurdere tilfellet når den tilnærmede funksjonen er gitt av en logaritmisk funksjon av formen:
Som de forrige, er denne leksjonen med lignende tekst best sett på et Excel-ark (se Tilnærmingsleksjoner.xls, Ark1)
Tilnærming i Excel oppnås enklest ved å bruke et trendprogram. For å klargjøre funksjonene til tilnærming, la oss ta et spesifikt eksempel. For eksempel, entalpien til mettet damp i henhold til boken av S.L. Rivkin og A.A. I kolonne P vil vi plassere trykkverdiene i kgf/cm2, i kolonne i" - entalpien til damp på metningslinjen i kcal/kg og bygge en graf ved å bruke alternativet eller knappen "Chart Wizard".
La oss høyreklikke på linjen i figuren, venstreklikk deretter på alternativet "Legg til trendlinje" og se hvilke tjenester som tilbys oss av dette alternativet når det gjelder implementering av tilnærming i Excel.
Vi tilbys et utvalg av fem typer tilnærming: lineær, potens, logaritmisk, eksponentiell og polynom. Hva er de gode for og hvordan kan de hjelpe oss? - Trykk på F1-knappen, klikk deretter på alternativet "Answer Wizard" og skriv inn ordet "tilnærming" vi trenger i vinduet som vises, og klikk deretter på "Finn"-knappen. I listen som vises, velg delen "Formler for å konstruere trendlinjer".
Vi mottar følgende informasjon litt modifisert av oss
redaktører:
Lineær:
hvor b er helningsvinkelen og a er koordinaten til skjæringspunktet til abscisseaksen (fri ledd).
Makt:
Brukes til å tilpasse data ved å bruke minste kvadraters metode i henhold til ligningen:
hvor c og b er konstanter.
Logaritmisk:
Brukes til å tilpasse data ved å bruke minste kvadraters metode i henhold til ligningen:
hvor a og b er konstanter.
Eksponentiell:
Brukes til å tilpasse data ved å bruke minste kvadraters metode i henhold til ligningen:
hvor b og k er konstanter.
Polynom:
Brukes til å tilpasse data ved å bruke minste kvadraters metode i henhold til ligningen:
y=a+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+...b6*x^6
hvor a, b1, b2, b3,... b6 er konstanter.
Klikk på tegnelinjen igjen, deretter på alternativet "Legg til trendlinje", deretter på alternativet "Parametere" og merk av i boksene til venstre for oppføringene: "vis ligningen på diagrammet" og "plasser tilnærmingens konfidensverdi R^2 på diagrammet, og klikk deretter på OK-knappen. Vi prøver alle tilnærmingsalternativene i rekkefølge.
Lineær tilnærming gir oss R^2=0,9291 - dette er lav pålitelighet og et dårlig resultat.
For å bytte til kraftlovtilnærming, høyreklikk på trendlinjen, venstreklikk deretter på alternativet "Trendlinjeformat", klikk deretter på alternativene "Type" og "Strøm". Denne gangen fikk vi R^2=0,999.
La oss skrive trendlinjeligningen i et skjema som er egnet for beregninger på et Excel-ark:
y=634,16*x^0,012
Som et resultat har vi:
Den maksimale tilnærmingsfeilen ble funnet å være 0,23 kcal/kg. For å tilnærme eksperimentelle data vil dette være et fantastisk resultat, men for å tilnærme en oppslagstabell er det ikke et veldig godt resultat. Derfor, la oss prøve å sjekke andre tilnærmingsalternativer i Excel ved å bruke et trendbyggingsprogram.
Den logaritmiske tilnærmingen gir oss R^2=0,9907 - noe dårligere enn kraftversjonen. Eksponentialen i versjonen som tilbys av trendbyggingsprogrammet passet ikke i det hele tatt - R^2=0,927.
Polynomtilnærming med grad 2 (dette er y=a+b1*x+b2*x^2) gitt R^2=0,9896. Ved grad 3 fikk vi R^2=0,999, men med en tydelig forvrengning av den tilnærmede kurven, spesielt ved P>0,07 kgf/cm2. Til slutt gir den femte potensen oss R^2=1 - dette sies å være den nærmeste forbindelsen mellom de opprinnelige dataene og deres tilnærming.
La oss omskrive polynomligningen i en form som er egnet for beregninger på et Excel-ark:
y=1E+07*x^5-4E+06*x^4+469613*x^3-27728*x^2+1020,8*x+592,44
og sammenlign tilnærmingsresultatet med den opprinnelige tabellen:
Det viste seg at R^2=1 i dette tilfellet bare er en genial løgn. Faktisk ble det beste resultatet av polynomtilnærming gitt av det enkleste polynomet på formen y=a+b1*x+b2*x^2. Men resultatet er dårligere enn i kraftlovtilnærmingsversjonen y=634,16*x^0,012, der den maksimale tilnærmingsfeilen var på nivået 0,23 kcal/kg. Det er alt vi kan få ut av trendprogrammet. La oss se hva vi kan presse ut av den lineære funksjonen. For det vil vi prøve tilnærmingsalternativet kraftlov.
Merk. Den oppdagede defekten er relatert til driften av trendprogrammet, men ikke til minste kvadraters metode.
6.7.3. Teknologi for å løse problemer med funksjonstilnærming ved hjelp av matematiske pakker
6.7.3.1. Teknologi for å løse tilnærmingsproblemer ved hjelp av MathCad
6.7.3.2. Teknologi for å løse funksjonstilnærmingsproblemer i MatLab-miljøet
6.7.4. Testoppgaver om emnet "Tilnærming av funksjoner"
Uttalelse av tilnærmingsproblemet
Oppgaven med å tilnærme en funksjon er å erstatte en funksjon y=f(x) med en annen funksjon g(x, a 0 , a 1 , ..., a n) slik at avviket
g(x, a0, a1, ..., an) fra f(x) tilfredsstilte en bestemt betingelse i et bestemt område (på settet X). Hvis mengden X er diskret (består av individuelle punkter), kalles tilnærmingen punktvis, men hvis X er et segment, kalles tilnærmingen integral.
Hvis funksjonen f(x) er gitt i en tabell, så er den tilnærmede funksjonen
g(x, a 0, a 1, ..., a n) må tilfredsstille et visst kriterium for samsvar mellom verdiene og tabelldata.
Valget av empiriske formler består av to stadier - å velge type formel og bestemme koeffisientene i den.
Hvis typen tilnærmet avhengighet er ukjent, velges vanligvis en av de kjente funksjonstypene som en empirisk formel: et algebraisk polynom, eksponentiell, logaritmisk eller annen funksjon, avhengig av egenskapene til funksjonen som tilnærmes. Siden den tilnærmede funksjonen oppnådd empirisk som regel er gjenstand for transformasjoner i påfølgende studier, prøver de å velge den enkleste formelen som oppfyller nøyaktighetskravene. Ofte blir en avhengighet beskrevet av et algebraisk polynom av lav orden valgt som en empirisk formel.
Den vanligste måten å velge en funksjon i form av et polynom på er:
hvor φ(x,a 0,a 1,...,a n)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m (x), og
φ 0 (x), φ 1 (x), ..., φ m (x) – basisfunksjoner (m-grad av det tilnærmede polynomet).
En av de mulige basene er potensloven: φ 0 (x)=1, φ 1 (x)=x, ..., φ m (x)=x m.
Vanligvis graden av det tilnærmede polynomet m<
e i = φ(x i, a 0, a 1, ..., a m) – y i, i = 0,1,2,...,n.
Metoder for å bestemme koeffisientene til den valgte empiriske funksjonen er forskjellige i kriteriet for å minimere avvik.
Minste kvadratiske metode
En av måtene å bestemme parametrene til en empirisk formel på er minste kvadraters metode. I denne metoden bestemmes parametrene a 0 , a 1 , ..., a n fra betingelsen for minimumssummen av kvadrerte avvik for den tilnærmede funksjonen fra de tabulerte dataene.
Vektoren av koeffisientene a T bestemmes fra minimeringsbetingelsen
hvor (n+1) er antall knutepunkter.
Betingelsen for minimum av funksjonen E fører til et system av lineære ligninger for parameterne a 0, a 1, ..., a m. Dette systemet kalles et system av normale ligninger, dets matrise er Gram matrise. Elementer Gram matriser er summen av skalarprodukter av basisfunksjoner
For å få de nødvendige parameterverdiene bør man komponere og løse et system av (m+1) ligninger
La den lineære avhengigheten y= a 0 +a 1 x velges som approksimerende funksjon. Deretter
Minimumsbetingelser:
Da har den første ligningen formen
Åpne parentesene og dele med en konstant koeffisient, får vi
.
Den første ligningen har følgende endelige form:
.
For å få den andre ligningen, likestiller vi den partielle deriverte med hensyn til a1 til null:
.
.
System av lineære ligninger for å finne koeffisientene til et polynom 
(lineær tilnærming):
La oss introdusere følgende notasjon 
- gjennomsnittsverdier av de første dataene. I den introduserte notasjonen er løsningene til systemet
.
Ved bruk av minste kvadraters metode for å bestemme koeffisientene til det tilnærmede polynomet av andre grad y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2, har minimeringskriteriet formen
.
Fra tilstanden 
vi får følgende ligningssystem:
Å løse dette ligningssystemet for a 0, a 1, a 2 lar oss finne koeffisientene til den empiriske formelen 
- tilnærmet polynom av 2. orden. Numeriske metoder kan brukes til å løse et system med lineære ligninger.
Når det gjelder en potensbasis (graden til det tilnærmede polynomet er lik m), har grammatrisen til systemet med normalligninger G og kolonnen til høyresiden av normalligningssystemet formen
G = 
I matriseform vil systemet med normale ligninger ha formen:
Løse et system med normale ligninger
finnes fra uttrykket
Som et mål på avviket til de gitte verdiene for funksjonen y 0, y 1, ..., y n fra et polynom med grad m - φ(x)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m(x),
akseptert verdi
(n+1)– antall noder, m – graden av det tilnærmede polynomet, n+1>=m.
Figur 6.7.2-1 viser et forstørret diagram av minste kvadraters metodealgoritme.
Ris. 6.7.2-1. Forstørret diagram av minste kvadraters metodealgoritme
Dette diagrammet over metodealgoritmen for minste kvadrater er forstørret og gjenspeiler hovedprosessene til metoden, der n+1 er antall punkter der verdiene х i, y i er kjent; i=0,1,…, n .
Blokken for beregning av koeffisienter innebærer å beregne koeffisienter for ukjente c 0, c 1, ..., c m og frie ledd av et system av m+1 lineære ligninger.
Den neste blokken - blokken for å løse et ligningssystem - innebærer å beregne koeffisientene til den tilnærmede funksjonen med 0, med 1, ..., med m.
Eksempel 6.7.2-1. Tilpass følgende data til et polynom av grad to ved å bruke minste kvadraters metode.
| x | 0.78 | 1.56 | 2.34 | 3.12 | 3.81 |
| y | 2.50 | 1.20 | 1.12 | 2.25 | 4.28 |
La oss skrive elementene i Gram-matrisen og kolonnen med frie termer i følgende tabell:
| Jeg | x | x 2 | x 3 | x 4 | y | xy | x 2 år |
| 0.78 | 0.608 | 0.475 | 0.370 | 2.50 | 1.950 | 1.520 | |
| 1.56 | 2.434 | 3.796 | 5.922 | 1.20 | 1.872 | 2.920 | |
| 2.34 | 5.476 | 12.813 | 29.982 | 1.12 | 2.621 | 6.133 | |
| 3.12 | 9.734 | 30.371 | 94.759 | 2.25 | 7.020 | 21.902 | |
| 3.81 | 14.516 | 55.306 | 210.72 | 4.28 | 16.307 | 62.129 | |
| ∑ | 11.61 | 32.768 | 102.76 | 341.75 | 11.35 | 29.770 | 94.604 |
Systemet med normale ligninger ser slik ut
Løsningen på dette systemet er:
a0 = 5,022; al = -4,014; a2=1,002.
Den nødvendige tilnærmelsesfunksjonen
La oss sammenligne startverdiene til y med verdiene til det tilnærmede polynomet beregnet på de samme punktene:
La oss beregne standardavviket (residual)
.
Eksempel 6.7.3-1. Skaff tilnærmende polynomer av første og andre grad ved å bruke minste kvadraters metode for en funksjon spesifisert i en tabell.
 |
Eksempel 6.7.3-2. Tilnærme en tabellspesifisert funksjon med et polynom av 1., 2. og 3. grad.
Dette eksemplet vurderer bruken av funksjonen linfit(x,y,f), der x,y er vektorene til henholdsvis argumentverdier og funksjoner, og f er en symbolsk vektor av basisfunksjoner. Ved å bruke denne funksjonen kan du bestemme vektoren av tilnærmingskoeffisienter ved å bruke minste kvadraters metode og deretter avviket - rot-middelkvadratfeilen i tilnærmingen av startpunktene til tilnærmingsfunksjonen (сko). Graden av det approksimerende polynomet spesifiseres når den symbolske vektoren f beskrives. Eksemplet viser tilnærmingen til en tabellspesifisert funksjon ved et polynom av 1., 2. og 3. grad. Vektoren s er et sett med approksimerende koeffisienter, som gjør det mulig å oppnå den approksimerende funksjonen i eksplisitt form.
 |
I Mathcad Det er også et stort antall innebygde funksjoner designet for å få et analytisk uttrykk for regresjonsfunksjonen. Men i dette tilfellet er det nødvendig å kjenne formen til det analytiske uttrykket. Nedenfor er innebygde funksjoner som er forskjellige i regresjonstypen, som lar (med gitte innledende tilnærminger) bestemme den analytiske avhengigheten til funksjonen, det vil si å returnere et sett med tilnærmede koeffisienter:
expfit(X,Y,g) Løsning av en 2. ordens ODE av formen y”=F(x, y, z), hvor z=y’ også kan oppnås ved 4. ordens Runge-Kutta-metoden. Nedenfor er formlene for å løse ODE:
I disse funksjonene: x er en vektor av argumenter, hvis elementer er ordnet i stigende rekkefølge; y – vektor av funksjonsverdier; g – vektor for initiale tilnærminger av koeffisientene a, b og c; t - verdien av argumentet som funksjonen er definert ved.
I eksemplene nedenfor er korrelasjonskoeffisienten corr() beregnet for å evaluere forholdet mellom datasett og verdiene til den tilnærmede funksjonen. Hvis tabelldataene er godt tilnærmet av en eller annen type regresjon, er korrelasjonskoeffisienten nær én. Jo mindre koeffisienten er, desto dårligere er forholdet mellom verdiene til disse funksjonene.
Eksempel 6.7.3-3. Finn tilnærmede polynomer av første, andre, tredje og fjerde grad og beregn korrelasjonskoeffisientene.
   |
I tillegg til å beregne funksjonsverdier innenfor et dataintervall, kan alle tidligere omtalte funksjoner utføre ekstrapolering(prediksjon av oppførselen til en funksjon utenfor intervallet til gitte punkter) ved å bruke en avhengighet basert på analysen av plasseringen av flere innledende punkter på grensen til dataintervallet. I Mathcad det er også en spesiell funksjon predictions predict(Y, m, n), hvor Y er en vektor av gitte funksjonsverdier, nødvendigvis tatt med like argumentintervaller, og m er antall påfølgende Y-verdier, basert på hvilke prediksjonsfunksjonen returnerer n Y-verdier.
Ingen argumentverdier kreves for dataene, siden funksjonen per definisjon opererer på data som følger hverandre i samme trinn. Funksjonen bruker en lineær prediksjonsalgoritme, som er nøyaktig når den ekstrapolerte funksjonen er jevn. Funksjonen kan være nyttig når du skal ekstrapolere data over korte avstander. Langt fra de opprinnelige dataene er resultatet som oftest utilfredsstillende.
Eksempel 6.7.3-4. Tilnærme funksjonen gitt i tabellen ved et polynom ved å bruke minste kvadraters metode.
Dette eksemplet tar for seg bruken av funksjonen p=polyfit(x,y,n), der x,y er vektorene til henholdsvis argument- og funksjonsverdier, n er rekkefølgen til det tilnærmede polynomet, og p er den resulterende vektoren til koeffisientene til det tilnærmede polynomet med lengde n+1.
>>x=; >> x x = 1,2000 1,4000 1,6000 1,8000 2,0000 >> y=[-1,15,-0,506,0,236,0,88,1,256]; >> y y = -1,1500 -0,5060 0,2360 0,8800 1,2560 >> % >> % >> p1=polyfit(x,y,1); >> p1 p1 = 3,0990 -4,8152 >> y1=polyval(p1,x); >> y1 y1 = -1,0964 -0,4766 0,1432 0,7630 1,3828 >> cko1=sqrt(1/5*sum((y-y1).^2)); >> cko1 cko1 = 0,0918 >> plot(x,y,"ko",x,y1,"r-")  >> p2=polyfit(x,y,2); >> p2 p2 = -1,1321 6,7219 -7,6229 >> y2=polyval(p2,x); >> y2 y2 = -1,1870 -0,4313 0,2338 0,8083 1,2922 >> cko2=sqrt(1/5*sum((y-y2).^2)); >> cko2 cko2 = 0,0518 >> plot(x,y,"ko",x,y2,"r-")  |
Eksempel 6.7.3-5. Tilnærme funksjonen gitt i tabellen ved et polynom ved å bruke minste kvadraters metode.
 |
Eksempel 6.7.3-5. Tilnærme en funksjon gitt i en tabell av polynomer av forskjellige grader ved å bruke minste kvadrater.
6.7.4. Testoppgaver om emnet
"Funksjonstilnærming"
Tilnærming er
1) oppnå en funksjon av en enklere form som beskriver den opprinnelige med en tilstrekkelig grad av nøyaktighet
2) spesielt tilfelle av interpolasjon
3) erstatte den opprinnelige funksjonen med en funksjon av en annen type
4) det er ikke noe riktig svar i listen
Tema 6.7. Funksjonstilnærming
6.7.1. Uttalelse av tilnærmingsproblemet
6.7.2. Minste kvadratiske metode
La y være en funksjon av argumentet x. Dette betyr at enhver verdi x fra definisjonsdomenet er assosiert med en verdi x. I praksis er det noen ganger umulig å skrive ned avhengigheten y(x) eksplisitt. Samtidig er denne avhengigheten ofte gitt i tabellform. Dette betyr at et diskret sett med verdier (xi) er assosiert med et sett med verdier (yi), 0< i < m. Эти значения — либо результаты расчета, либо набор экспериментальных данных.
Det er ofte nødvendig å finne en eller annen analytisk funksjon som omtrent beskriver en gitt tabellavhengighet. I tillegg er det noen ganger nødvendig å bestemme verdiene til en funksjon på andre punkter enn noder. Dette målet er tjent med tilnærmingsproblemet ( tilnærminger). I dette tilfellet, finn en funksjon f(x) slik at dens avvik fra den gitte tabellfunksjonen er minimal. Funksjonen f(x) kalles approksimering.
Type tilnærmet funksjon
avhenger betydelig av den opprinnelige tabellfunksjonen. I forskjellige tilfeller velges funksjonen f(x) i form av eksponentiell, logaritmisk, potens, sinusformet, etc. I hvert enkelt tilfelle velges de riktige parametrene på en slik måte at man oppnår maksimal nærhet mellom tilnærmings- og tabellfunksjonene. Oftest er funksjonen imidlertid representert som et polynom i potenser av x. La oss skrive ned den generelle formen til n-tegradspolynomet:
Koeffisientene aj er valgt på en slik måte at man oppnår det minste avviket til polynomet fra den gitte funksjonen.
Dermed, tilnærming er erstatning av en funksjon med en annen, nær den første og ganske enkelt beregnet.
Den matematiske modellen for en størrelses avhengighet av en annen er funksjonsbegrepet y=f(x). Tilnærming kalles å oppnå en viss funksjon som omtrent beskriver en viss funksjonell avhengighet f(x), spesifisert av en verditabell, eller spesifisert i en form som er upraktisk for beregninger. I dette tilfellet er denne funksjonen valgt slik at den er så praktisk som mulig for etterfølgende beregninger. Grunnleggende tilnærming løsningen på dette problemet er at funksjonen fi (x) velges avhengig av flere ledige parametere c1, c2, …, cn, hvis verdier er valgt fra en eller annen nærhetstilstand f(x) og fi (x). Begrunnelse av metoder for å finne en vellykket type funksjonell avhengighet og valg av parametere er oppgaven funksjonstilnærmingsteori. Avhengig av metoden for å velge parametere, forskjellige tilnærmingsmetoder, blant hvilke de mest utbredte er interpolasjon Og rotmiddelkvadrattilnærming. Den enkleste er lineær tilnærming, der en funksjon som er lineært avhengig av parameterne er valgt, dvs. i form av et generalisert polynom: . Interpolasjonspolynom kalt et algebraisk gradspolynom n-1, sammenfallende med den tilnærmede funksjonen i n utvalgte punkter. Tilnærmingsfeil funksjoner f(x) interpolasjonspolynom av grad n-1, bygget iht n poeng, kan estimeres hvis den er avledet av orden n. Essensen rotmiddelkvadrattilnærming er at parametrene til funksjonen er valgt slik at de sikrer en minimum kvadrert avstand mellom funksjonene f(x) ogfi(x, c). Minste kvadratiske metode er et spesialtilfelle av gjennomsnittlig kvadrattilnærming. Når du bruker minste kvadraters metode, ligner den på interpolasjonsproblemet i verdiområdet x, som representerer et intervall [ a, b], hvor er funksjonene f(x) og fi (x) må være nær, velg et system med forskjellige punkter (noder) x1, ..., x m, hvis antall er større enn antall nødvendige parametere. Deretter krever de at summen av kvadrerte residualer ved alle noder er minimal.
Generell interpolasjon
Det skal bemerkes at på grunn av deres tungvinte natur, er Newton- og Lagrange-polynomene dårligere i beregningseffektivitet enn et generelt polynom. Derfor, når det er nødvendig å utføre flere beregninger av et polynom konstruert fra én tabell, viser det seg å være fordelaktig å først finne koeffisientene c én gang. Koeffisientene blir funnet ved å løse systemet c direkte, deretter beregnes verdiene ved hjelp av Horner-algoritmen. Ulempen med denne typen tilnærming er behovet for å løse et system med lineære algebraiske ligninger.
Lagrange-interpolasjonspolynom
Lagrange foreslo sin egen form for å skrive det generelle interpolasjonsalgebraiske polynomet i en form som ikke krever å løse et system med lineære algebraiske ligninger. Det skal bemerkes at på grunn av deres tungvinte natur, er Newton- og Lagrange-polynomene dårligere i beregningseffektivitet enn et generelt polynom.
Newtons interpolasjonspolynom
Newton foreslo en form for å skrive et generelt interpolasjonsalgebraisk polynom i en form som ikke krever å løse et system med lineære algebraiske ligninger. Det skal bemerkes at på grunn av deres tungvinte natur, er Newton- og Lagrange-polynomene dårligere i beregningseffektivitet enn et generelt polynom.