Mens addisjon og subtraksjon av komplekse tall er mer praktisk å gjøre i algebraisk form, er multiplikasjon og divisjon lettere å gjøre ved å bruke trigonometrisk form av komplekse tall.
La oss ta to vilkårlige komplekse tall gitt i trigonometrisk form:
Ved å multiplisere disse tallene får vi:
Men i henhold til trigonometriformler
Når komplekse tall multipliseres, multipliseres modulene deres, og argumentene
brette opp. Siden i dette tilfellet konverteres modulene separat, og argumentene - separat, er det enklere å utføre multiplikasjon i trigonometrisk form enn i algebraisk form.
Fra likestilling (1) følger følgende forhold:
Siden divisjon er den inverse virkningen av multiplikasjon, får vi det
Med andre ord er modulen til en kvotient lik forholdet mellom modulene til utbyttet og divisoren, og kvotientens argument er forskjellen mellom argumentene til utbyttet og divisoren.
La oss nå dvele ved den geometriske betydningen av multiplikasjon av komplekse tall. Formler (1) - (3) viser at for å finne produktet må du først øke modulen til antall ganger uten å endre argumentet, og deretter øke argumentet til det resulterende tallet med uten å endre modulen. Den første av disse operasjonene betyr geometrisk homoteti med hensyn til punktet O med en koeffisient , og den andre betyr en rotasjon i forhold til punktet O med en vinkel lik. Tatt i betraktning her er en faktor konstant og den andre variabelen, kan vi formulere resultatet som følger: formel
Et komplekst tall er et tall av formen , hvor og er reelle tall, den såkalte imaginær enhet. Nummeret ringes opp ekte del() komplekst tall, kalles tallet imaginær del () komplekst tall.
Komplekse tall er representert med komplekst plan:
Som nevnt ovenfor, angir en bokstav vanligvis settet med reelle tall. En haug med eller komplekse tall vanligvis betegnet med en "fet" eller fortykket bokstav. Derfor bør brevet plasseres på tegningen, som indikerer det faktum at vi har et komplekst plan.
Algebraisk form av et komplekst tall. Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av komplekse tall
Addisjon av komplekse tall
For å legge til to komplekse tall, må du legge til deres reelle og imaginære deler:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i* (b 1 + b 2).
For komplekse tall er regelen for den første klassen gyldig: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – summen endres ikke ved å omorganisere leddene.
Subtrahere komplekse tall
Handlingen ligner på addisjon, det eneste særegne er at subtrahenden må settes i parentes, og deretter må parentesen åpnes på standard måte med et fortegnsskifte:
z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)
Multiplisere komplekse tall
Grunnleggende likhet for komplekse tall:
Produkt av komplekse tall:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
Som summen er produktet av komplekse tall kommuterbart, det vil si at likheten er sann: .
Divisjon av komplekse tall
Delingen av tall utføres ved å multiplisere nevneren og telleren med det konjugerte uttrykket til nevneren.
2 Spørsmål. Kompleks fly. Modulus og argumenter for komplekse tall
Hvert komplekst tall z = a + i*b kan assosieres med et punkt med koordinater (a;b), og omvendt kan hvert punkt med koordinater (c;d) assosieres med et komplekst tall w = c + i* d. Dermed etableres en en-til-en korrespondanse mellom punktene i planet og settet med komplekse tall. Derfor kan komplekse tall representeres som punkter på et plan. Planet som komplekse tall er avbildet på kalles vanligvis komplekst plan.
Imidlertid er komplekse tall oftere avbildet som en vektor med en begynnelse ved punkt O, nemlig det komplekse tallet z = a + i*b er avbildet som en radiusvektor for et punkt med koordinater (a;b). I dette tilfellet vil bildet av komplekse tall fra forrige eksempel være slik: 
Bildet av summen av to komplekse tall er en vektor lik summen av vektorene som representerer tallene og . Med andre ord, når komplekse tall legges til, blir vektorene som representerer dem også lagt til.
La det komplekse tallet z = a + i*b representeres av en radiusvektor. Da kalles lengden til denne vektoren modul nummer z og er betegnet med |z| .
|
|
Vinkelen som dannes av radiusvektoren til et tall med aksen kalles argument tall og er betegnet med arg z. Argumentet til tallet bestemmes ikke unikt, men innenfor et multiplum av . Imidlertid er vanligvis argumentet spesifisert i området fra 0 eller i området fra -til. I tillegg har tall et udefinert argument.
Ved å bruke dette forholdet kan du finne argumentet til et komplekst tall:
Dessuten er den første formelen gyldig hvis bildet av tallet er i første eller fjerde kvartal, og den andre, hvis det er i andre eller tredje. Hvis , er det komplekse tallet representert av en vektor på Oy-aksen og argumentet er lik /2 eller 3*/2.
La oss få en annen nyttig formel. La z = a + i*b. Deretter ,
Mens addisjon og subtraksjon av komplekse tall er mer praktisk å gjøre i algebraisk form, er multiplikasjon og divisjon lettere å gjøre ved å bruke trigonometrisk form av komplekse tall.
La oss ta to vilkårlige komplekse tall gitt i trigonometrisk form:
Ved å multiplisere disse tallene får vi:
Men i henhold til trigonometriformler
Når komplekse tall multipliseres, multipliseres modulene deres, og argumentene
brette opp. Siden i dette tilfellet konverteres modulene separat, og argumentene - separat, er det enklere å utføre multiplikasjon i trigonometrisk form enn i algebraisk form.
Fra likestilling (1) følger følgende forhold:
Siden divisjon er den inverse virkningen av multiplikasjon, får vi det
Med andre ord er modulen til en kvotient lik forholdet mellom modulene til utbyttet og divisoren, og kvotientens argument er forskjellen mellom argumentene til utbyttet og divisoren.
La oss nå dvele ved den geometriske betydningen av multiplikasjon av komplekse tall. Formler (1) - (3) viser at for å finne produktet må du først øke modulen til antall ganger uten å endre argumentet, og deretter øke argumentet til det resulterende tallet med uten å endre modulen. Den første av disse operasjonene betyr geometrisk homoteti med hensyn til punktet O med en koeffisient , og den andre betyr en rotasjon i forhold til punktet O med en vinkel lik. Tatt i betraktning her er en faktor konstant og den andre variabelen, kan vi formulere resultatet som følger: formel
Vi definerer produktet av to komplekse tall på samme måte som produktet av reelle tall, nemlig: produktet betraktes som et tall som består av en multiplikand, akkurat som en faktor består av en enhet.
Vektoren som tilsvarer et komplekst tall med modul og argument kan fås fra en enhetsvektor, hvis lengde er lik én og hvis retning faller sammen med den positive retningen til OX-aksen, ved å forlenge den med en faktor og rotere den i positiv retning med en vinkel
Produktet av en viss vektor av en vektor er vektoren som vil bli oppnådd hvis den ovennevnte forlengelsen og rotasjonen brukes på vektoren, ved hjelp av hvilken vektoren er hentet fra en enhetsvektor, og sistnevnte tilsvarer åpenbart en ekte enhet.
Hvis modulene og argumentene er komplekse tall som tilsvarer vektorer, vil produktet av disse vektorene åpenbart tilsvare et komplekst tall med modul og argument . Vi kommer dermed frem til følgende definisjon av produktet av komplekse tall:
Produktet av to komplekse tall er et komplekst tall hvis modul er lik produktet av modulene til faktorene og hvis argument er lik summen av argumentene til faktorene.
Således, i tilfellet når komplekse tall er skrevet i trigonometrisk form, vil vi ha
La oss nå utlede regelen for å komponere et produkt for tilfellet når komplekse tall ikke er gitt i trigonometrisk form:
Ved å bruke notasjonen ovenfor for moduler og argumenter for faktorer, kan vi skrive
i henhold til definisjonen av multiplikasjon (6):
og endelig får vi
I tilfelle faktorene er reelle tall og produktet reduseres til produktet aag av disse tallene. Ved likestilling (7) gir
dvs. kvadratet til den imaginære enheten er lik
Ved å beregne sekvensielt de positive heltallspottene får vi
og generelt sett med noe generelt positivt
Multiplikasjonsregelen uttrykt ved likhet (7) kan formuleres som følger: komplekse tall må multipliseres som bokstavpolynomer, telling
Hvis a er et komplekst tall, sies det komplekse tallet å være konjugert til a, og er betegnet med a. I følge formler (3) vi har fra likhet (7) følger det
og konsekvent,
det vil si at produktet av konjugerte komplekse tall er lik kvadratet på modulen til hver av dem.
La oss også merke oss åpenbare formler
Fra formlene (4) og (7) følger det umiddelbart at addisjon og multiplikasjon av komplekse tall følger den kommutative loven, det vil si at summen ikke avhenger av rekkefølgen av begrepene, og produktet er ikke avhengig av rekkefølgen til faktorer. Det er ikke vanskelig å verifisere gyldigheten av kombinasjons- og distribusjonslovene, uttrykt av følgende identiteter:
Vi overlater til leseren å gjøre dette.
Merk til slutt at produktet av flere faktorer vil ha en modul lik produktet av modulene til faktorene, og et argument lik summen av argumentene til faktorene. Dermed vil produktet av komplekse tall være lik null hvis og bare hvis minst én av faktorene er lik null.
Produktet av to komplekse tall er likt produktet av to reelle tall, nemlig: produktet betraktes som et tall som består av en multiplikand, akkurat som en faktor består av en enhet. Vektoren som tilsvarer et komplekst tall med modul r og argument j kan fås fra en enhetsvektor hvis lengde er lik én og hvis retning faller sammen med den positive retningen til OX-aksen, ved å forlenge den med r ganger og rotere den i positiv retning med en vinkel j. Produktet av en viss vektor a 1 av en vektor a 2 er vektoren som oppnås hvis vi bruker forlengelse og rotasjon på vektoren a 1, ved hjelp av hvilken vektoren a 2 er hentet fra en enhetsvektor, og sistnevnte tilsvarer åpenbart en reell enhet. Hvis (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) er modulene og argumentene til komplekse tall som tilsvarer vektorene a 1 og a 2, så vil produktet av disse vektorene åpenbart tilsvare et komplekst tall med modulen r 1 r 2 og argument (j 1 + j 2). Dermed er produktet av to komplekse tall et komplekst tall hvis modul er lik produktet av modulene til faktorene og hvis argument er lik summen av argumentene til faktorene.
I tilfellet hvor komplekse tall er skrevet i trigonometrisk form, har vi
r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.
I tilfellet (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi, ved å bruke notasjonen til moduler og argumenter for faktorer, kan vi skrive:
a 1 = r 1 cos? 1 ; b 1 = r 1 synd? 1 ; a 2 = r 2 cos? 2; b 2 = r 2 synd? 2;
i henhold til definisjonen av multiplikasjon:
x = r1r2cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),
x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 synd? 1 r 2 synd? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (sin? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 sin? 1 r 2 cos? 2 + r 1 cos? 1 r 2 synd? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2 ,
og til slutt får vi:
(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) i.
I tilfellet b 1 = b 2 = 0, er faktorene reelle tall a 1 og a 2 og produktet reduseres til produktet a 1 a 2 av disse tallene. Når
a 1 = a 2 = 0 og b 1 = b 2 = 1,
likhet (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I gir: i???i = i 2 = -1, dvs. kvadratet til den imaginære enheten er -1. Ved å beregne sekvensielt de positive heltallspottene i, får vi:
i2 = -1; i3 = -i; i4 = 1; i5 = i; i6 = -1; ...
og generelt for enhver positiv k:
i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i
Multiplikasjonsregelen uttrykt ved likheten (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I kan være formulert som følger: komplekse tall må multipliseres som alfabetiske polynomer, tellende i 2 = -1.
Fra formlene ovenfor følger det umiddelbart at addisjon og multiplikasjon av komplekse tall overholder den kommutative loven, dvs. summen avhenger ikke av rekkefølgen av vilkårene, og produktet er ikke avhengig av rekkefølgen av faktorene. Det er ikke vanskelig å verifisere gyldigheten av kombinasjons- og distribusjonslovene, uttrykt av følgende identiteter:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
Produktet av flere faktorer vil ha en modul lik produktet av modulene til faktorene, og et argument lik summen av argumentene til faktorene. Dermed vil produktet av komplekse tall være lik null hvis og bare hvis minst én av faktorene er lik null.
Eksempel: gitt komplekse tall z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Finne:
a) z 1 + z 2; b) z 1 - z 2; c) z1z2.
a) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; b) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; c) z 1 z 2 = (2 + 3i)(5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (her er det tatt hensyn til at i 2 = - 1).
Eksempel: følg disse trinnene:
a) (2 + 3i) 2; b) (3-5i) 2; c) (5 + 3i) 3 .
a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Х2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Х3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Х25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3; siden i 2 = - 1, og i 3 = - i, får vi (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.
Eksempel: utføre handlinger
a) (5 + 3i)(5-3i); b) (2 + 5i)(2-5i); c) (1 + i)(1 - i).
a) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i)(2 - 5i) = 22 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i)(1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.