Ligninger. For å si det på en annen måte, begynner løsningen av alle ligninger med disse transformasjonene. Ved løsning av lineære ligninger er den (løsningen) basert på identitetstransformasjoner og ender med det endelige svaret.
Tilfellet av en koeffisient som ikke er null for en ukjent variabel.
ax+b=0, a ≠ 0
Vi flytter ledd med X til den ene siden, og tall til den andre siden. Husk at når du flytter termer til motsatt side av ligningen, må du endre tegnet:
ax:(a)=-b:(a)
La oss forkorte EN på X og vi får:
x=-b:(a)
Dette er svaret. Hvis du trenger å sjekke om et nummer er -b:(a) roten av ligningen vår, så må vi erstatte i den opprinnelige ligningen i stedet X dette er nummeret:
a(-b:(a))+b=0 ( de. 0=0)
Fordi denne likheten er altså riktig -b:(a) og sannhet er roten til ligningen.
Svar: x=-b:(a), a ≠ 0.
Første eksempel:
5x+2=7x-6
Vi flytter vilkårene med til den ene siden X, og på den andre siden tallene:
5x-7x=-6-2
-2x:(-2)=-8:(-2)
For en ukjent faktor reduserte vi koeffisienten og fikk svaret:
Dette er svaret. Hvis du trenger å sjekke om tallet 4 virkelig er roten til ligningen vår, erstatter vi dette tallet i stedet for X i den opprinnelige ligningen:
5*4+2=7*4-6 ( de. 22=22)
Fordi denne likheten er sann, så er 4 roten til ligningen.
Andre eksempel:
Løs ligningen:
5x+14=x-49
Ved å flytte de ukjente og tallene i forskjellige retninger, fikk vi:
Del delene av ligningen med koeffisienten ved x(med 4) og vi får:
Tredje eksempel:
Løs ligningen:
Først blir vi kvitt irrasjonaliteten i koeffisienten for det ukjente ved å multiplisere alle ledd med:
Dette skjemaet anses forenklet pga tallet har roten av tallet i nevneren. Vi må forenkle svaret ved å multiplisere telleren og nevneren med samme tall, vi har dette:
Saken om ingen løsninger.
Løs ligningen:
2x+3=2x+7
Foran alle x vår ligning vil ikke bli en ekte likhet. Det vil si at ligningen vår har ingen røtter.
Svar: det finnes ingen løsninger.
Et spesialtilfelle er et uendelig antall løsninger.
Løs ligningen:
2x+3=2x+3
Hvis vi flytter x-ene og tallene i forskjellige retninger og legger til lignende termer, får vi ligningen:
Heller ikke her er det mulig å dele begge deler med 0, pga det er forbudt. Men å sette på plass X et hvilket som helst tall, får vi riktig likhet. Det vil si at hvert tall er en løsning på en slik ligning. Dermed er det et uendelig antall løsninger.
Svar: et uendelig antall løsninger.
Saken om likestilling av to komplette skjemaer.
ax+b=cx+d
ax-cx=d-b
(a-c)x=d-b
x=(d-b):(a-c)
Svar: x=(d-b):(a-c), Hvis d≠b og a≠c, ellers er det uendelig mange løsninger, men hvis a=c, A d≠b, da er det ingen løsninger.
Lineære ligninger. Løsning, eksempler.
Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")
Lineære ligninger.
Lineære ligninger er ikke det vanskeligste temaet i skolematematikk. Men det er noen triks der som kan pusle selv en utdannet student. La oss finne ut av det?)
Vanligvis er en lineær ligning definert som en ligning av formen:
øks + b = 0 Hvor a og b– alle tall.
2x + 7 = 0. Her a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Her a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Her a=12, b=1/2
Ikke noe komplisert, ikke sant? Spesielt hvis du ikke legger merke til ordene: "der a og b er alle tall"... Og hvis du legger merke til og uforsiktig tenker på det?) Tross alt, hvis a=0, b=0(noen tall er mulig?), så får vi et morsomt uttrykk:
Men det er ikke alt! Hvis, si, a=0, EN b=5, Dette viser seg å være noe helt absurd:
Noe som er irriterende og undergraver selvtilliten til matematikk, ja...) Spesielt under eksamen. Men ut av disse merkelige uttrykkene må du også finne X! Som ikke eksisterer i det hele tatt. Og overraskende nok er denne X veldig lett å finne. Vi skal lære å gjøre dette. I denne leksjonen.
Hvordan gjenkjenne en lineær ligning ved utseendet? Det avhenger av utseendet.) Trikset er at lineære ligninger ikke bare er formlikninger øks + b = 0 , men også alle ligninger som kan reduseres til denne formen ved transformasjoner og forenklinger. Og hvem vet om det kommer ned eller ikke?)
En lineær ligning kan tydelig gjenkjennes i noen tilfeller. La oss si, hvis vi har en ligning der det bare er ukjente i første grad og tall. Og i ligningen er det nei brøker delt på ukjent , det er viktig! Og divisjon etter Antall, eller en tallbrøk - det er velkomment! For eksempel:
Dette er en lineær ligning. Det er brøker her, men det er ingen x-er i kvadratet, terningen osv., og ingen x-er i nevnerne, dvs. Nei divisjon på x. Og her er ligningen
kan ikke kalles lineær. Her er X-ene alle i første grad, men det er det divisjon etter uttrykk med x. Etter forenklinger og transformasjoner kan du få en lineær ligning, en kvadratisk ligning eller hva du vil.
Det viser seg at det er umulig å gjenkjenne den lineære ligningen i et eller annet komplisert eksempel før du nesten løser det. Dette er opprørende. Men i oppgaver spør de som regel ikke om formen på ligningen, ikke sant? Oppgavene ber om likninger Bestemme seg for. Dette gjør meg glad.)
Løse lineære ligninger. Eksempler.
Hele løsningen av lineære ligninger består av identiske transformasjoner av ligningene. Disse transformasjonene (to av dem!) er forresten grunnlaget for løsningene alle matematikkens ligninger. Med andre ord, løsningen noen ligningen begynner med nettopp disse transformasjonene. Når det gjelder lineære ligninger, er den (løsningen) basert på disse transformasjonene og ender med et fullstendig svar. Det er fornuftig å følge lenken, ikke sant?) Dessuten er det også eksempler på å løse lineære ligninger der.
La oss først se på det enkleste eksemplet. Uten noen fallgruver. Anta at vi må løse denne ligningen.
x - 3 = 2 - 4x
Dette er en lineær ligning. X-ene er alle i første potens, det er ingen divisjon med X-er. Men faktisk spiller det ingen rolle for oss hva slags ligning det er. Vi må løse det. Opplegget her er enkelt. Samle alt med X-er på venstre side av ligningen, alt uten X-er (tall) til høyre.
For å gjøre dette må du overføre - 4x til venstre side, med fortegnsendring, selvfølgelig, og - 3 - til høyre. Dette er forresten den første identiske transformasjonen av ligninger. Overrasket? Dette betyr at du ikke fulgte linken, men forgjeves...) Vi får:
x + 4x = 2 + 3
Her er lignende, vi vurderer:
Hva trenger vi for fullstendig lykke? Ja, slik at det er en ren X til venstre! Fem er i veien. Bli kvitt de fem med hjelp den andre identiske transformasjonen av ligninger. Vi deler nemlig begge sider av ligningen med 5. Vi får et klart svar:
Et elementært eksempel, selvfølgelig. Dette er for oppvarming.) Det er ikke veldig klart hvorfor jeg husket identiske transformasjoner her? OK. La oss ta oksen ved hornene.) La oss bestemme noe mer solid.
For eksempel, her er ligningen:
Hvor skal vi begynne? Med X-er - til venstre, uten X-er - til høyre? Kan være slik. Små skritt langs en lang vei. Eller du kan gjøre det med en gang, på en universell og kraftig måte. Hvis du selvfølgelig har identiske transformasjoner av ligninger i arsenalet ditt.
Jeg stiller deg et sentralt spørsmål: Hva misliker du mest med denne ligningen?
95 av 100 personer vil svare: brøker ! Svaret er riktig. Så la oss bli kvitt dem. Derfor starter vi umiddelbart med andre identitetstransformasjon. Hva trenger du for å gange brøken til venstre med slik at nevneren blir fullstendig redusert? Det stemmer, på 3. Og til høyre? Med 4. Men matematikken lar oss multiplisere begge sider med samme nummer. Hvordan kan vi komme oss ut? La oss multiplisere begge sider med 12! De. til en fellesnevner. Da blir både de tre og de fire redusert. Ikke glem at du må multiplisere hver del fullstendig. Slik ser det første trinnet ut:
Utvide parentesene:
Merk! Teller (x+2) Jeg setter den i parentes! Dette er fordi når du multipliserer brøker, multipliseres hele telleren! Nå kan du redusere brøker:
Utvid de resterende parentesene:
Ikke et eksempel, men ren nytelse!) La oss nå huske en trolldom fra barneskolen: med X - til venstre, uten X - til høyre! Og bruk denne transformasjonen:
Her er noen lignende:
Og del begge deler med 25, dvs. bruk den andre transformasjonen igjen:
Det er alt. Svar: X=0,16
Vennligst merk: for å bringe den originale forvirrende ligningen til en fin form, brukte vi to (bare to!) identitetstransformasjoner– oversettelse venstre-høyre med endring av fortegn og multiplikasjon-divisjon av en ligning med samme tall. Dette er en universell metode! Vi skal jobbe på denne måten med noen ligninger! Absolutt hvem som helst. Det er derfor jeg kjedelig gjentar disse identiske transformasjonene hele tiden.)
Som du kan se, er prinsippet for å løse lineære ligninger enkelt. Vi tar ligningen og forenkler den ved å bruke identiske transformasjoner til vi får svaret. Hovedproblemene her ligger i beregningene, ikke i løsningsprinsippet.
Men... Det er slike overraskelser i prosessen med å løse de mest elementære lineære ligningene at de kan drive deg inn i en sterk stupor...) Heldigvis kan det bare være to slike overraskelser. La oss kalle dem spesielle tilfeller.
Spesielle tilfeller ved løsning av lineære ligninger.
Første overraskelse.
Anta at du kommer over en veldig grunnleggende ligning, noe sånt som:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Litt kjedelige flytter vi den med X til venstre, uten X - til høyre... Med fortegnsskifte er alt perfekt... Vi får:
2x-5x+3x=5-2-3
Vi teller, og... ops!!! Vi får:
Denne likestillingen i seg selv er ikke kritikkverdig. Null er virkelig null. Men X mangler! Og vi må skrive ned i svaret, hva er x lik? Ellers teller ikke løsningen, ikke sant...) Deadlock?
Rolig! I slike tvilsomme tilfeller vil de mest generelle reglene redde deg. Hvordan løse likninger? Hva vil det si å løse en ligning? Dette betyr, finn alle verdiene av x som, når de erstattes med den opprinnelige ligningen, vil gi oss den riktige likheten.
Men vi har ekte likhet allerede skjedde! 0=0, hvor mye mer nøyaktig?! Det gjenstår å finne ut ved hvilke x-er dette skjer. Hvilke verdier av X kan erstattes med opprinnelig ligning hvis disse x-ene vil de fortsatt reduseres til null? Kom igjen?)
Ja!!! X-er kan erstattes noen! Hvilke vil du ha? Minst 5, minst 0,05, minst -220. De vil fortsatt krympe. Hvis du ikke tror meg, kan du sjekke det.) Bytt inn alle verdier av X opprinnelig ligning og beregne. Hele tiden vil du få den rene sannheten: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 og så videre.
Her er svaret ditt: x - et hvilket som helst tall.
Svaret kan skrives i forskjellige matematiske symboler, essensen endres ikke. Dette er et helt riktig og fullstendig svar.
Andre overraskelse.
La oss ta den samme elementære lineære ligningen og endre bare ett tall i den. Dette er hva vi skal bestemme:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Etter de samme identiske transformasjonene får vi noe spennende:
Som dette. Vi løste en lineær ligning og fikk en merkelig likhet. I matematiske termer fikk vi falsk likestilling. Men forenklet sett er dette ikke sant. Rave. Men ikke desto mindre er dette tullet en veldig god grunn for den riktige løsningen av ligningen.)
Igjen tenker vi basert på generelle regler. Hva x-er, når de erstattes med den opprinnelige ligningen, vil gi oss ekte likestilling? Ja, ingen! Det finnes ingen slike X-er. Uansett hva du legger inn, vil alt reduseres, bare tull blir igjen.)
Her er svaret ditt: det finnes ingen løsninger.
Dette er også et helt komplett svar. I matematikk finner man ofte slike svar.
Som dette. Nå håper jeg at forsvinningen av X-er i ferd med å løse en hvilken som helst (ikke bare lineær) ligning ikke vil forvirre deg i det hele tatt. Dette er allerede en kjent sak.)
Nå som vi har behandlet alle fallgruvene i lineære ligninger, er det fornuftig å løse dem.
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
Først må du forstå hva det er.
Det er en enkel definisjon lineær ligning, som er gitt i en vanlig skole: "en ligning der variabelen bare forekommer i første potens." Men det er ikke helt riktig: ligningen er ikke lineær, den reduserer ikke engang til det, den reduserer til kvadratisk.
En mer presis definisjon er: lineær ligning er en ligning som ved hjelp av tilsvarende transformasjoner kan reduseres til formen , hvor title="a,b i bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}
Faktisk, for å forstå om en ligning er lineær eller ikke, må den først forenkles, det vil si bringes til en form hvor klassifiseringen vil være entydig. Husk at du kan gjøre hva du vil med en ligning så lenge den ikke endrer røttene sine - det er det det er. tilsvarende konvertering. De enkleste ekvivalente transformasjonene inkluderer:
- åpningsparenteser
- bringe lignende
- multiplisere og/eller dele begge sider av en ligning med et tall som ikke er null
- legge til og/eller trekke fra begge sider av samme tall eller uttrykk*
*En spesiell tolkning av den siste transformasjonen er "overføring" av termer fra en del til en annen med fortegnsendring.
Eksempel 1:
(la oss åpne parentesene)
(legg til begge deler og trekk fra/overfør ved å endre fortegnet til tallet til venstre, og variablene til høyre)
(la oss gi lignende)
(del begge sider av ligningen med 3)
Så vi får en ligning som har samme røtter som den opprinnelige. La oss minne leseren på det "løs ligningen"- betyr å finne alle sine røtter og bevise at det ikke finnes andre, og "roten til ligningen"- dette er et tall som, når det erstattes med det ukjente, vil gjøre ligningen til en ekte likhet. Vel, i den siste ligningen er det veldig enkelt å finne et tall som gjør ligningen til en ekte likhet – dette er tallet. Ingen andre tall vil lage en identitet fra denne ligningen. Svar:
Eksempel 2:
(multipliser begge sider av ligningen med 
, etter å ha forsikret oss om at vi ikke multipliserer med : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(la oss åpne parentesene)
(la oss flytte vilkårene)
(la oss gi lignende)
(vi deler begge deler med )
Dette er omtrent hvordan alle lineære ligninger løses. For yngre lesere virket denne forklaringen mest sannsynlig komplisert, så vi tilbyr en versjon "lineære ligninger for klasse 5"
En lineær ligning med én variabel har den generelle formen
ax + b = 0.
Her er x en variabel, a og b er koeffisienter. På en annen måte kalles a «koeffisienten til det ukjente», b er «frileddet».
Koeffisienter er en slags tall, og å løse en ligning betyr å finne verdien av x der uttrykket ax + b = 0 er sant. For eksempel har vi den lineære ligningen 3x – 6 = 0. Å løse den betyr å finne hva x må være lik for at 3x – 6 skal være lik 0. Ved å utføre transformasjonene får vi:
3x = 6
x = 2
Dermed er uttrykket 3x – 6 = 0 sant ved x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 er roten til denne ligningen. Når du løser en ligning, finner du røttene.
Koeffisientene a og b kan være alle tall, men det er slike verdier når roten til en lineær ligning med én variabel er mer enn én.
Hvis a = 0, blir ax + b = 0 til b = 0. Her blir x "ødelagt". Selve uttrykket b = 0 kan være sant bare hvis kunnskapen om b er 0. Det vil si at ligningen 0*x + 3 = 0 er usann, fordi 3 = 0 er en falsk påstand. Imidlertid er 0*x + 0 = 0 det riktige uttrykket. Fra dette konkluderer vi at hvis a = 0 og b ≠ 0 har en lineær ligning med én variabel ingen røtter i det hele tatt, men hvis a = 0 og b = 0, så har ligningen et uendelig antall røtter.
Hvis b = 0, og a ≠ 0, vil ligningen ha formen ax = 0. Det er klart at hvis a ≠ 0, men resultatet av multiplikasjon er 0, så er x = 0. Det vil si roten av dette ligningen er 0.
Hvis verken a eller b er lik null, blir ligningen ax + b = 0 transformert til formen
x = –b/a.
Verdien av x i dette tilfellet vil avhenge av verdiene til a og b. Dessuten vil det være den eneste. Det vil si at det er umulig å oppnå to eller flere forskjellige verdier av x med samme koeffisienter. For eksempel,
–8,5x – 17 = 0
x = 17 / –8,5
x = –2
Ingen andre tall enn –2 kan oppnås ved å dele 17 på –8,5.
Det er ligninger som ved første øyekast ikke ligner den generelle formen til en lineær ligning med én variabel, men som lett kan konverteres til den. For eksempel,
–4,8 + 1,3x = 1,5x + 12
Hvis du flytter alt til venstre side, vil 0 forbli på høyre side:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0
Nå er ligningen redusert til standardform og kan løses:
x = 16,8 / 0,2
x = 84
En ligning med en ukjent, som, etter å ha åpnet parentesene og tatt med lignende termer, tar formen
ax + b = 0, hvor a og b er vilkårlige tall, kalles lineær ligning med en ukjent. I dag skal vi finne ut hvordan vi løser disse lineære ligningene.
For eksempel, alle ligninger:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineær.
Verdien av det ukjente som gjør ligningen til en ekte likhet kalles beslutning eller roten til ligningen .
For eksempel, hvis vi i ligningen 3x + 7 = 13 i stedet for den ukjente x erstatter tallet 2, får vi riktig likhet 3 2 +7 = 13. Dette betyr at verdien x = 2 er løsningen eller roten av ligningen.
Og verdien x = 3 gjør ikke ligningen 3x + 7 = 13 til en sann likhet, siden 3 2 +7 ≠ 13. Dette betyr at verdien x = 3 ikke er en løsning eller en rot av ligningen.
Å løse eventuelle lineære ligninger reduseres til å løse formens ligninger
ax + b = 0.
La oss flytte frileddet fra venstre side av ligningen til høyre, endre tegnet foran b til det motsatte, vi får
Hvis a ≠ 0, så er x = ‒ b/a .
Eksempel 1. Løs ligningen 3x + 2 =11.
La oss flytte 2 fra venstre side av ligningen til høyre, endre tegnet foran 2 til det motsatte, vi får
3x = 11 – 2.
La oss gjøre subtraksjonen, da
3x = 9.
For å finne x må du dele produktet med en kjent faktor, altså
x = 9:3.
Dette betyr at verdien x = 3 er løsningen eller roten av ligningen.
Svar: x = 3.
Hvis a = 0 og b = 0, da får vi likningen 0x = 0. Denne likningen har uendelig mange løsninger, siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med 0 får vi 0, men b er også lik 0. Løsningen til denne likningen er et hvilket som helst tall.
Eksempel 2. Løs ligningen 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
La oss utvide parentesene:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Her er noen lignende termer:
0x = 0.
Svar: x - et hvilket som helst tall.
Hvis a = 0 og b ≠ 0, da får vi ligningen 0x = - b. Denne ligningen har ingen løsninger, siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med 0, får vi 0, men b ≠ 0.
Eksempel 3. Løs ligningen x + 8 = x + 5.
La oss gruppere termer som inneholder ukjente på venstre side, og gratis termer på høyre side:
x – x = 5 – 8.
Her er noen lignende termer:
0х = ‒ 3.
Svar: ingen løsninger.
På Figur 1 viser et diagram for å løse en lineær ligning
La oss lage et generelt skjema for å løse likninger med én variabel. La oss vurdere løsningen til eksempel 4.
Eksempel 4. Anta at vi må løse ligningen
1) Multipliser alle ledd i ligningen med det minste felles multiplum av nevnerne, lik 12.
2) Etter reduksjon får vi
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) For å skille vilkår som inneholder ukjente og gratis vilkår, åpne parentesene:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) La oss gruppere i den ene delen termene som inneholder ukjente, og i den andre - gratis termer:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) La oss presentere lignende termer:
- 22х = - 154.
6) Del med – 22, vi får
x = 7.
Som du kan se, er roten av ligningen syv.
Generelt slik ligninger kan løses ved hjelp av følgende skjema:
a) bringe ligningen til sin heltallsform;
b) åpne brakettene;
c) gruppere begrepene som inneholder det ukjente i den ene delen av ligningen, og de frie begrepene i den andre;
d) ta med lignende medlemmer;
e) løs en ligning av formen aх = b, som ble oppnådd etter å ha brakt lignende ledd.
Denne ordningen er imidlertid ikke nødvendig for hver ligning. Når du løser mange enklere ligninger, må du ikke starte fra den første, men fra den andre ( Eksempel. 2), tredje ( Eksempel. 1. 3) og til og med fra det femte trinnet, som i eksempel 5.
Eksempel 5. Løs ligningen 2x = 1/4.
Finn den ukjente x = 1/4: 2,
x = 1/8 .
La oss se på å løse noen lineære ligninger funnet i hovedtilstandseksamenen.
Eksempel 6. Løs ligningen 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Svar: - 0,125
Eksempel 7. Løs ligningen – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Svar: 2.3
Eksempel 8. Løs ligningen
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Eksempel 9. Finn f(6) hvis f (x + 2) = 3 7-er
Løsning
Siden vi trenger å finne f(6), og vi vet f (x + 2),
deretter x + 2 = 6.
Vi løser den lineære ligningen x + 2 = 6,
vi får x = 6 – 2, x = 4.
Hvis x = 4 så
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Svar: 27.
Hvis du fortsatt har spørsmål eller ønsker å forstå løsningen av ligninger mer grundig, meld deg på timene mine i SCHEMA. Jeg hjelper deg gjerne!
TutorOnline anbefaler også å se en ny videoleksjon fra vår veileder Olga Alexandrovna, som vil hjelpe deg å forstå både lineære ligninger og andre.
nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.