Å trekke ut roten er omvendt operasjon av å heve en kraft. Det vil si at ved å ta roten av tallet X, får vi et tall som i annen gir det samme tallet X.
Å trekke ut roten er en ganske enkel operasjon. En tabell med firkanter kan gjøre utvinningsarbeidet enklere. For det er umulig å huske alle kvadratene og røttene utenat, men tallene kan være store.
Trekke ut roten til et tall
Det er enkelt å ta kvadratroten av et tall. Dessuten kan dette gjøres ikke umiddelbart, men gradvis. Ta for eksempel uttrykket √256. I utgangspunktet er det vanskelig for en uvitende person å gi et svar med en gang. Så gjør vi det steg for steg. Først deler vi med bare tallet 4, hvorfra vi tar det valgte kvadratet som roten.
La oss representere: √(64 4), vil det tilsvare 2√64. Og som du vet, ifølge multiplikasjonstabellen 64 = 8 8. Svaret blir 2*8=16.
Meld deg på kurset "Fremskynde hoderegning, IKKE hoderegning" for å lære hvordan du raskt og riktig kan addere, subtrahere, multiplisere, dividere, kvadrattall og til og med trekke ut røtter. På 30 dager lærer du hvordan du bruker enkle triks for å forenkle aritmetiske operasjoner. Hver leksjon inneholder nye teknikker, klare eksempler og nyttige oppgaver.
Å trekke ut en kompleks rot
Kvadratroten kan ikke beregnes ut fra negative tall, fordi ethvert kvadratert tall er et positivt tall!
Et komplekst tall er tallet i, som i annen er lik -1. Det vil si i2=-1.
I matematikk er det et tall som fås ved å ta roten av tallet -1.
Det vil si at det er mulig å beregne roten til et negativt tall, men dette gjelder allerede høyere matematikk, ikke skolematematikk.
La oss vurdere et eksempel på en slik rotekstraksjon: √(-49)=7*√(-1)=7i.
Online rotkalkulator
Ved å bruke kalkulatoren vår kan du beregne utvinningen av et tall fra kvadratroten:
Konvertering av uttrykk som inneholder en rotoperasjon
Essensen av å transformere radikale uttrykk er å dekomponere det radikale tallet til enklere, som roten kan trekkes ut fra. Slik som 4, 9, 25 og så videre.
La oss gi et eksempel, √625. La oss dele det radikale uttrykket med tallet 5. Vi får √(125 5), gjenta operasjonen √(25 25), men vi vet at 25 er 52. Hvilket betyr at svaret vil være 5*5=25.
Men det er tall der roten ikke kan beregnes ved hjelp av denne metoden, og du trenger bare å vite svaret eller ha en kvadrattabell for hånden.
√289=√(17*17)=17
Bunnlinjen
Vi så bare på toppen av isfjellet, for å forstå matematikk bedre - meld deg på kurset vårt: Akselererende hoderegning - IKKE hoderegning.
Fra kurset vil du ikke bare lære dusinvis av teknikker for forenklet og rask multiplikasjon, addisjon, multiplikasjon, divisjon og beregning av prosenter, men du vil også øve på dem i spesielle oppgaver og pedagogiske spill! Mentalregning krever også mye oppmerksomhet og konsentrasjon, som trenes aktivt når man løser interessante problemer.
Det er på tide å ordne opp metoder for utvinning av rot. De er basert på egenskapene til røttene, spesielt på likheten, som er sant for ethvert ikke-negativt tall b.
Nedenfor vil vi se på hovedmetodene for å trekke ut røtter en etter en.
La oss starte med det enkleste tilfellet - trekke ut røtter fra naturlige tall ved å bruke en tabell med kvadrater, en tabell med terninger, etc.
Hvis tabeller med firkanter, terninger osv. Hvis du ikke har det for hånden, er det logisk å bruke metoden for å trekke ut roten, som innebærer å dekomponere det radikale tallet til primfaktorer.
Det er verdt spesielt å nevne hva som er mulig for røtter med odde eksponenter.
Til slutt, la oss vurdere en metode som lar oss sekvensielt finne sifrene til rotverdien.
La oss komme i gang.
Ved å bruke en tabell med firkanter, en tabell med kuber, etc.
I de enkleste tilfellene lar tabeller med firkanter, kuber osv. deg trekke ut røtter. Hva er disse tabellene?
Tabellen med kvadrater av heltall fra 0 til og med 99 (vist nedenfor) består av to soner. Den første sonen i tabellen er plassert på en grå bakgrunn ved å velge en spesifikk rad og en spesifikk kolonne, den lar deg komponere et tall fra 0 til 99. La oss for eksempel velge en rad med 8 tiere og en kolonne med 3 enheter, med dette fikset vi tallet 83. Den andre sonen opptar resten av tabellen. Hver celle er plassert i skjæringspunktet mellom en bestemt rad og en bestemt kolonne, og inneholder kvadratet til det tilsvarende tallet fra 0 til 99. I skjæringspunktet mellom vår valgte rad med 8 tiere og kolonne 3 med ener er det en celle med tallet 6 889, som er kvadratet av tallet 83.
Tabeller med terninger, tabeller med fjerde potenser av tall fra 0 til 99, og så videre ligner på tabellen med kvadrater, bare de inneholder terninger, fjerde potenser osv. i den andre sonen. tilsvarende tall.
Tabeller med kvadrater, terninger, fjerde potenser, etc. lar deg trekke ut kvadratrøtter, terningerøtter, fjerderøtter osv. tilsvarende fra tallene i disse tabellene. La oss forklare prinsippet for deres bruk når du trekker ut røtter.
La oss si at vi må trekke ut den n-te roten av tallet a, mens tallet a finnes i tabellen over n-te potenser. Ved å bruke denne tabellen finner vi tallet b slik at a=b n. Deretter 
, derfor vil tallet b være den ønskede roten av den n-te graden.
Som et eksempel, la oss vise hvordan du bruker en kubetabell for å trekke ut kuberoten til 19 683. Vi finner tallet 19 683 i terningtabellen, fra det finner vi at dette tallet er terningen til tallet 27, derfor, 
.
Det er tydelig at tabeller med n-te potenser er veldig praktiske for å trekke ut røtter. Imidlertid er de ofte ikke for hånden, og det tar litt tid å kompilere dem. Dessuten er det ofte nødvendig å trekke ut røtter fra tall som ikke finnes i de tilsvarende tabellene. I disse tilfellene må du ty til andre metoder for rotutvinning.
Faktorerer et radikalt tall i primfaktorer
En ganske praktisk måte å trekke ut roten til et naturlig tall (hvis, selvfølgelig, roten trekkes ut) er å dekomponere det radikale tallet i primfaktorer. Hans poenget er dette: etter det er det ganske enkelt å representere det som en potens med ønsket eksponent, som lar deg få verdien av roten. La oss avklare dette punktet.
La den n-te roten av et naturlig tall a tas og verdien lik b. I dette tilfellet er likheten a=b n sann. Tallet b, som ethvert naturlig tall, kan representeres som produktet av alle dets primfaktorer p 1 , p 2 , …, p m i formen p 1 ·p 2 ·…·p m , og radikaltallet a i dette tilfellet er representert som (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Siden dekomponeringen av et tall til primfaktorer er unik, vil dekomponeringen av radikaltallet a til primfaktorer ha formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, som gjør det mulig å beregne verdien av roten som.
Legg merke til at hvis dekomponeringen til primfaktorer av et radikalt tall a ikke kan representeres på formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, så er ikke den n-te roten av et slikt tall a fullstendig ekstrahert.
La oss finne ut av dette når vi løser eksempler.
Eksempel.
Ta kvadratroten av 144.
Løsning.
Hvis du ser på tabellen med kvadrater gitt i forrige avsnitt, kan du tydelig se at 144 = 12 2, hvorfra det er klart at kvadratroten av 144 er lik 12.
Men i lys av dette punktet er vi interessert i hvordan roten trekkes ut ved å dekomponere radikaltallet 144 i primfaktorer. La oss se på denne løsningen.
La oss dekomponere 144 til primfaktorer:
Det vil si 144=2·2·2·2·3·3. Basert på den resulterende dekomponeringen, kan følgende transformasjoner utføres: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Derfor, 
.
Ved å bruke gradens egenskaper og røttenes egenskaper kunne løsningen formulert seg litt annerledes: .
Svar:
For å konsolidere materialet, vurder løsningene til ytterligere to eksempler.
Eksempel.
Beregn verdien av roten.
Løsning.
Primfaktoriseringen av radikaltallet 243 har formen 243=3 5 . Dermed, 
.
Svar:
Eksempel.
Er rotverdien et heltall?
Løsning.
For å svare på dette spørsmålet, la oss faktorere det radikale tallet inn i primfaktorer og se om det kan representeres som en kube av et heltall.
Vi har 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Den resulterende utvidelsen kan ikke representeres som en kube av et heltall, siden potensen til primfaktoren 7 ikke er et multiplum av tre. Derfor kan ikke kuberoten til 285 768 trekkes ut fullstendig.
Svar:
Nei.
Trekke ut røtter fra brøktall
Det er på tide å finne ut hvordan du trekker ut roten til et brøktall. La brøkradikaltallet skrives som p/q. I henhold til egenskapen til roten til en kvotient, er følgende likhet sann. Av denne likestillingen følger det regel for å trekke ut roten til en brøk: Roten av en brøk er lik kvotienten til roten av telleren delt på roten av nevneren.
La oss se på et eksempel på å trekke ut en rot fra en brøk.
Eksempel.
Hva er kvadratroten av fellesbrøken 25/169?
Løsning.
Ved å bruke kvadrattabellen finner vi at kvadratroten av telleren til den opprinnelige brøken er lik 5, og kvadratroten av nevneren er lik 13. Deretter 
. Dette fullfører utvinningen av roten til fellesfraksjonen 25/169.
Svar:
Roten til en desimalbrøk eller et blandet tall trekkes ut etter å ha erstattet de radikale tallene med vanlige brøker.
Eksempel.
Ta terningsroten av desimalbrøken 474.552.
Løsning.
La oss forestille oss den opprinnelige desimalbrøken som en vanlig brøk: 474.552=474552/1000. Deretter 
. Det gjenstår å trekke ut kuberøttene som er i telleren og nevneren til den resulterende brøken. Fordi 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 og 1 000 = 10 3, så 
Og 
. Det gjenstår bare å fullføre beregningene 
.
Svar:
.
Å ta roten av et negativt tall
Det er verdt å dvele ved å trekke ut røtter fra negative tall. Når vi studerte røtter, sa vi at når roteksponenten er et oddetall, kan det være et negativt tall under rottegnet. Vi ga disse oppføringene følgende betydning: for et negativt tall −a og en oddetallseksponent av roten 2 n−1, 
. Denne likheten gir regel for å trekke ut oddetall fra negative tall: for å trekke ut roten av et negativt tall, må du ta roten av det motsatte positive tallet, og sette et minustegn foran resultatet.
La oss se på eksempelløsningen.
Eksempel.
Finn verdien av roten.
Løsning.
La oss transformere det opprinnelige uttrykket slik at det er et positivt tall under rottegnet: 
. Erstatt nå det blandede tallet med en vanlig brøk: 
. Vi bruker regelen for å trekke ut roten til en vanlig brøk: 
. Det gjenstår å beregne røttene i telleren og nevneren til den resulterende brøken: 
.
Her er en kort oppsummering av løsningen: 
.
Svar:
.
Bitvis bestemmelse av rotverdien
I det generelle tilfellet, under roten er det et tall som, ved å bruke teknikkene diskutert ovenfor, ikke kan representeres som den n-te potensen av noe tall. Men i dette tilfellet er det behov for å vite betydningen av en gitt rot, i det minste opp til et visst tegn. I dette tilfellet, for å trekke ut roten, kan du bruke en algoritme som lar deg sekvensielt få et tilstrekkelig antall sifferverdier av ønsket nummer.
Det første trinnet i denne algoritmen er å finne ut hva den viktigste biten av rotverdien er. For å gjøre dette, heves tallene 0, 10, 100, ... sekvensielt til potensen n inntil det øyeblikket når et tall overskrider det radikale tallet oppnås. Da vil tallet som vi hevet til potensen n på forrige trinn indikere det tilsvarende mest signifikante sifferet.
Tenk for eksempel på dette trinnet i algoritmen når du trekker ut kvadratroten av fem. Ta tallene 0, 10, 100, ... og kvadrat dem til vi får et tall større enn 5. Vi har 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, som betyr at det mest signifikante sifferet vil være en-sifferet. Verdien av denne biten, så vel som de lavere, vil bli funnet i de neste trinnene i rotekstraksjonsalgoritmen.
Alle påfølgende trinn i algoritmen er rettet mot å sekvensielt avklare verdien av roten ved å finne verdiene til de neste bitene av ønsket verdi av roten, starter med den høyeste og flytter til de laveste. For eksempel viser verdien av roten ved det første trinnet å være 2, ved det andre – 2,2, ved det tredje – 2,23, og så videre 2,236067977…. La oss beskrive hvordan verdiene til sifrene finnes.
Sifrene blir funnet ved å søke gjennom deres mulige verdier 0, 1, 2, ..., 9. I dette tilfellet beregnes de n-te potensene til de tilsvarende tallene parallelt, og de sammenlignes med radikaltallet. Hvis verdien av graden overstiger det radikale tallet på et tidspunkt, anses verdien til sifferet som tilsvarer den forrige verdien som funnet, og overgangen til neste trinn i rotekstraksjonsalgoritmen gjøres hvis dette ikke skjer, da er verdien av dette sifferet 9.
La oss forklare disse punktene ved å bruke samme eksempel på å trekke ut kvadratroten av fem.
Først finner vi verdien av enhetssifferet. Vi vil gå gjennom verdiene 0, 1, 2, ..., 9, og beregne henholdsvis 0 2, 1 2, ..., 9 2, til vi får en verdi større enn radikaltallet 5. Det er praktisk å presentere alle disse beregningene i form av en tabell: 
Så verdien av enhetssifferet er 2 (siden 2 2<5
, а 2 3 >5). La oss gå videre til å finne verdien av tiendedelsplassen. I dette tilfellet kvadrerer vi tallene 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, og sammenligner de resulterende verdiene med det radikale tallet 5: 
Siden 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, så er verdien av tiendedelsplassen 2. Du kan fortsette med å finne verdien av hundredeler: 
Slik ble den neste verdien av roten av fem funnet, den er lik 2,23. Og slik kan du fortsette å finne verdier: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
For å konsolidere materialet, vil vi analysere utvinningen av roten med en nøyaktighet på hundredeler ved å bruke den betraktede algoritmen.
Først bestemmer vi det mest signifikante sifferet. For å gjøre dette kuber vi tallene 0, 10, 100 osv. til vi får et tall større enn 2 151 186. Vi har 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , så det mest signifikante sifferet er tiersifferet.
La oss bestemme verdien. 
Siden 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186, så er verdien av tierplassen 1. La oss gå videre til enheter. 
Dermed er verdien av en-sifferet 2. La oss gå videre til tideler. 
Siden selv 12,9 3 er mindre enn det radikale tallet 2 151,186, er verdien av tiendedelsplassen 9. Det gjenstår å utføre det siste trinnet i algoritmen, det vil gi oss verdien av roten med den nødvendige nøyaktigheten. 
På dette stadiet er verdien av roten funnet nøyaktig til hundredeler: 
.
Avslutningsvis av denne artikkelen vil jeg si at det er mange andre måter å trekke ut røtter på. Men for de fleste oppgavene er de vi studerte ovenfor tilstrekkelige.
Bibliografi.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebok for 8. klasse. utdanningsinstitusjoner.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. og andre Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).
Det finnes flere metoder for å beregne kvadratroten uten kalkulator.
Hvordan finne roten til et tall - 1 måte
- En metode er å faktorisere tallet under roten. Disse komponentene, når de multipliseres, danner en radikal verdi. Nøyaktigheten av resultatet avhenger av tallet under roten.
- For eksempel, hvis du tar tallet 1600 og begynner å faktorisere det, vil resonnementet være strukturert som følger: dette tallet er et multiplum av 100, som betyr at det kan deles på 25; siden roten av tallet 25 er tatt, er tallet kvadratisk og egnet for videre beregninger; når vi deler, får vi et annet tall - 64. Dette tallet er også kvadratisk, så roten kan trekkes ut godt; Etter disse beregningene, under roten, kan du skrive tallet 1600 som produktet av 25 og 64.
- En av reglene for å trekke ut en rot sier at roten til produktet av faktorer er lik tallet som oppnås ved å multiplisere røttene til hver faktor. Dette betyr at: √(25*64) = √25 * √64. Tar vi røttene fra 25 og 64 får vi følgende uttrykk: 5 * 8 = 40. Det vil si at kvadratroten av tallet 1600 er 40.
- Men det hender at tallet under roten ikke kan dekomponeres i to faktorer, hvorfra hele roten trekkes ut. Vanligvis kan dette bare gjøres for én av multiplikatorene. Derfor er det oftest ikke mulig å finne et helt eksakt svar i en slik ligning.
- I dette tilfellet kan bare en omtrentlig verdi beregnes. Derfor må du ta roten av multiplikatoren, som er et kvadrattall. Denne verdien multipliseres deretter med roten av det andre tallet som ikke er kvadratleddet i ligningen.
- Det ser for eksempel slik ut, la oss ta tallet 320. Det kan dekomponeres i 64 og 5. Du kan trekke ut hele roten fra 64, men ikke fra 5. Derfor vil uttrykket se slik ut: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
- Om nødvendig kan du finne den omtrentlige verdien av dette resultatet ved å beregne
√5 ≈ 2,236, derfor √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18. - Tallet under roten kan også dekomponeres i flere primfaktorer, og de samme kan tas ut under det. Eksempel: √75 = √(5*5*3)= 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.
Hvordan finne roten til et tall - metode 2
- En annen måte er å gjøre langdeling. Divisjon skjer på lignende måte, men du trenger bare å se etter kvadrattall, som du deretter kan trekke ut roten fra.
- I dette tilfellet skriver vi kvadrattallet på toppen og trekker det fra på venstre side, og den ekstraherte roten nedenfra.
- Nå må den andre verdien dobles og skrives nede til høyre i skjemaet: tall_x_=. Hullene må fylles ut med et tall som er mindre enn eller lik den nødvendige verdien til venstre - akkurat som ved normal divisjon.
- Om nødvendig trekkes dette resultatet igjen fra venstre. Slike beregninger fortsetter til resultatet er oppnådd. Du kan også legge til nuller til du når ønsket antall desimaler.
Rotformler. Egenskaper til kvadratrøtter.
Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")
I forrige leksjon fant vi ut hva en kvadratrot er. Det er på tide å finne ut hvilke som finnes formler for røtter hva er egenskaper til røttene, og hva kan gjøres med alt dette.
Formler for røtter, egenskaper til røtter og regler for arbeid med røtter- Dette er i hovedsak det samme. Det er overraskende få formler for kvadratrøtter. Noe som absolutt gjør meg glad! Eller rettere sagt, du kan skrive mange forskjellige formler, men for praktisk og selvsikkert arbeid med røtter er bare tre nok. Alt annet kommer fra disse tre. Selv om mange mennesker blir forvirret i de tre rotformlene, ja...
La oss starte med den enkleste. Her er hun:
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.