Gjennomsnittsverdier er delt inn i to store klasser: kraftmidler og strukturelle midler
Effektgjennomsnitt:
Aritmetikk
Harmonisk
Geometrisk
Kvadratisk
Et enkelt aritmetisk gjennomsnitt er gjennomsnittsleddet for å bestemme hvilket totalvolumet av en gitt karakteristikk i et sett med data som er likt fordelt mellom alle enheter som er inkludert i dette settet. Dermed er gjennomsnittlig årlig produksjon per ansatt mengden produksjon som ville falle på hver ansatt hvis hele volumet av produksjonen var likt fordelt mellom alle ansatte i organisasjonen. Den aritmetiske gjennomsnittlige enkelverdien beregnes ved å bruke formelen:
Enkelt aritmetisk gjennomsnitt- Lik forholdet mellom summen av individuelle verdier av en egenskap og antall egenskaper i aggregatet
Vekt aritmetisk gjennomsnitt
Hvis volumet til datasettet er stort og representerer en distribusjonsserie, beregnes det vektede aritmetiske gjennomsnittet. Slik bestemmes den veide gjennomsnittsprisen per produksjonsenhet: den totale produksjonskostnaden (summen av produktene av dens mengde med prisen på en produksjonsenhet) deles på den totale produksjonsmengden.
La oss forestille oss dette i form av følgende formel:
Vektet aritmetisk gjennomsnitt- er lik forholdet mellom (summen av produktene av verdien av en funksjon til frekvensen av gjentakelse av denne funksjonen) til (summen av frekvensene av alle funksjoner Det brukes når varianter av befolkningen som studeres). forekomme et ulikt antall ganger.
Aritmetisk gjennomsnitt for intervallserier
Når du beregner det aritmetiske gjennomsnittet for en intervallvariasjonsserie, bestemmer du først gjennomsnittet for hvert intervall som halvsummen av øvre og nedre grense, og deretter gjennomsnittet av hele serien. Ved åpne intervaller bestemmes verdien av det nedre eller øvre intervallet av størrelsen på intervallene ved siden av dem.
Gjennomsnitt beregnet fra intervallserier er omtrentlige.
Gjennomsnitt beregnet fra intervallserier er omtrentlige. Graden av deres tilnærming avhenger av i hvilken grad den faktiske fordelingen av befolkningsenheter innenfor intervallet nærmer seg ensartet fordeling.
Ved beregning av gjennomsnitt kan ikke bare absolutte, men også relative verdier (frekvens) brukes som vekter:
Harmonisk middel- brukes i tilfeller der de individuelle verdiene for attributtet og produktet er kjent, men frekvensene er ukjente.
I eksemplet nedenfor - er avlingen kjent, - er arealet ukjent (selv om det kan beregnes ved å dele brutto kornavling på utbyttet), - brutto kornavling er kjent.
Den harmoniske middelverdien kan bestemmes ved hjelp av følgende formel:
Harmonisk middelformel:
Harmonisk enkel
I tilfeller der produktet er lik eller lik 1 (z = 1), brukes det harmoniske enkle gjennomsnittet for beregning, beregnet ved hjelp av formelen:
Det harmoniske enkle gjennomsnittet er en indikator som er inversen av det aritmetiske enkle gjennomsnittet, beregnet fra de gjensidige verdiene til karakteristikken.
Den geometriske middelverdien gjør det mulig å bevare uendret ikke summen, men produktet av de individuelle verdiene av en gitt verdi. Det kan bestemmes av følgende formel:
Geometriske gjennomsnittsverdier brukes oftest når man analyserer vekstrater for økonomiske indikatorer.
Det harmoniske gjennomsnittet er det aritmetiske gjennomsnittet, beregnet fra de gjensidige verdiene av gjennomsnittskarakteristikkene. Avhengig av arten av det tilgjengelige materialet, brukes det når vektene må deles inn i alternativer i stedet for å multipliseres, eller, hva som er det samme, multiplisert med deres inverse verdi. Dermed beregnes det harmoniske gjennomsnittet når volumkarakteristikkene er kjent (B=xf) og individuelle attributtverdier (x) og ukjente vekter (φ). Siden funksjonsvolumer er produktet av funksjonsverdier (X) til frekvensen f, så bestemmes frekvensen f av flyttbar = W: x.
De enkle og vektede harmoniske gjennomsnittsformlene er:
Som du kan se, er det harmoniske gjennomsnittet en transformert form av det aritmetiske gjennomsnittet. I stedet for det harmoniske gjennomsnittet, kan du alltid beregne det aritmetiske gjennomsnittet ved først å bestemme vektene til individuelle attributtverdier. Når man beregner det harmoniske gjennomsnittet, er vektene volumene av funksjoner.
Det harmoniske gjennomsnittet enkelt brukes i tilfeller hvor volumene av fenomener for hvert attributtnivå.
For eksempel jobber tre skurtreskere med å høste kornavlinger. Den første skurtreskeren brukte 35 minutter på å høste 1 hektar i løpet av et 7-timers skift, den andre - 31 minutter, den tredje - 33 minutter. Det er nødvendig å bestemme de gjennomsnittlige arbeidskostnadene for å høste 1 hektar med kornavlinger.
Å beregne gjennomsnittlig tid brukt på å høste 1 hektar med kornavlinger ved å bruke den enkle aritmetiske gjennomsnittsformelen ville være riktig
deretter, når alle skurtreskere høstet 1 hektar eller samme antall hektar med kornavlinger i løpet av et skift. Under skiftet ble imidlertid forskjellige områder med kornavlinger høstet av individuelle skurtreskere.
Uhensiktsmessigheten av å bruke den aritmetiske gjennomsnittsformelen forklares også av det faktum at indikatoren for arbeidskostnader per arbeidsenhet (høste 1 hektar med kornavlinger) er det motsatte av indikatoren for arbeidsproduktivitet (høste kornavlinger per tidsenhet) .
Den gjennomsnittlige tiden som kreves for å høste 1 hektar med kornavlinger for alle kombinerere vil bli bestemt som forholdet mellom tiden brukt av alle kombinerere og det totale antallet høstede hektar. I vårt eksempel er det ingen informasjon om antall hektar som faktisk høstes av hver skurtresker. Imidlertid kan disse verdiene beregnes ved å bruke følgende forhold:
hvor den totale tidsbruken for hver skurtreskeroperatør vil være 420 minutter (7 år eller 60 minutter).
Deretter kan den gjennomsnittlige tiden brukt på å høste 1 hektar med kornavlinger bestemmes av formelen:
Beregninger kan forenkles betydelig hvis du bruker den harmoniske gjennomsnittlige primformelen:
Så for dette settet med skurtreskere tar det i gjennomsnitt 32,9 minutter å høste 1 hektar med kornavlinger.
Vi vil vurdere fremgangsmåten for å beregne det vektede harmoniske gjennomsnittet ved å bruke følgende eksempel (tabell 4.3).
Tabell 4.3. Data for beregning av vektet harmonisk gjennomsnitt
Siden gjennomsnittlig avling er forholdet mellom bruttoavling og sådd areal, bestemmer vi først potetsåarealet for hver gård, og deretter gjennomsnittsavlingen:
I følge en av egenskapene vil det harmoniske gjennomsnittet ikke endres hvis volumene av fenomener, som er vekten av individuelle alternativer, multipliseres eller divideres med et hvilket som helst vilkårlig tall. Dette gjør det mulig å bruke ikke absolutte indikatorer, men deres spesifikke vekter når de beregnes. La oss si at du må bestemme den gjennomsnittlige salgsprisen på poteter ved å bruke følgende data (tabell 4.4).
Tabell 4.4. Data for beregning av gjennomsnittlig salgspris på poteter
I eksemplet som er gitt, er det ingen data om inntekter fra salg av individuelle potetsorter, som er produktet av salgsprisen på 1 centner av antall solgte poteter. Derfor, i stedet for volumene av hendelser, kan du bruke forholdet deres, det vil si andelen av individuelle potetsorter i den totale inntekten. Ved å bruke tabelldataene bestemmer vi gjennomsnittlig salgspris på poteter:
Det harmoniske gjennomsnittet brukes også til å bestemme gjennomsnittlig utbytte for en gruppe homogene avlinger, hvis bruttoavlingen og utbyttet av individuelle avlinger er kjent, for å beregne gjennomsnittlig prosentandel av implementering av produksjonsplanen og salg av produkter for en homogen populasjon, hvis data om faktisk produserte eller solgte produkter og prosentvis gjennomføring av planen er kjente enkeltobjekter mv.
Harmonisk gjennomsnitt - brukes når statistisk informasjon ikke inneholder data om vekter for individuelle varianter av befolkningen, men produktene av verdiene til en varierende karakteristikk av de tilsvarende vektene er kjent.
Den generelle formelen for det vektede harmoniske gjennomsnittet er som følger:
x – verdien av den varierende egenskapen,
w – produkt av verdien av en varierende egenskap og dens vekt (xf)
I tilfelle at de totale volumene av fenomener, dvs. produktene av funksjonsverdier og deres vekter er like, deretter brukes det harmoniske enkle gjennomsnittet:
x - individuelle verdier av karakteristikken (alternativer),
n – totalt antall alternativer.
Det harmoniske gjennomsnittet brukes til beregninger når ikke enhetene til populasjonen - bærerne av karakteristikken - brukes som vekter, men produktet av disse enhetene med verdiene til karakteristikken (dvs. m = Xf). Den gjennomsnittlige harmoniske enkle bør ty til i tilfeller av å bestemme, for eksempel, gjennomsnittlig arbeidskostnad, tid, materialer per produksjonsenhet, per en del for to (tre, fire, etc.) bedrifter, arbeidere som er engasjert i produksjonen av samme type produkt, samme del, produkt.
Geometrisk gjennomsnitt og kronologisk gjennomsnitt.
Geometrisk gjennomsnitt
Hvis det er n vekstkoeffisienter, er formelen for gjennomsnittskoeffisienten:
Dette er den geometriske gjennomsnittsformelen.
Det geometriske gjennomsnittet er lik roten av grad n fra produktet av vekstkoeffisienter som karakteriserer forholdet mellom verdien av hver påfølgende periode og verdien av den forrige.
Kronologisk gjennomsnitt er et gjennomsnitt beregnet fra verdier som endres over tid. Brukes til å beregne gjennomsnittsnivået for momentserien. I tilfelle de tilgjengelige dataene gjelder faste tidspunkter med like intervaller, brukes følgende formel:
X er verdien av serienivåene,
n – antall tilgjengelige indikatorer.
Det gjennomsnittlige nivået av momentserier av dynamikk med ulikt fordelte datoer bestemmes av den gjennomsnittlige kronologisk vektede formelen:
= 
Hvor er nivåene til dynamikkserien
— varigheten av tidsintervallet mellom nivåene
Gjennomsnittlig firkant. Sammenheng mellom effektgjennomsnitt.
Hvis verdier uttrykt i form av kvadratiske funksjoner er gjenstand for gjennomsnitt, brukes gjennomsnittet kvadratisk. For eksempel, ved å bruke rotmiddelkvadrat, kan du bestemme diameteren på rør, hjul osv.
Det enkle gjennomsnittlige kvadratet bestemmes ved å ta kvadratroten av kvotienten for å dele summen av kvadrater av de individuelle verdiene av attributtet med deres tall.
Det veide gjennomsnittlige kvadratet er lik:
Motekonsept. Beregning av modus for diskrete og intervallfordelingsserier.
For å karakterisere strukturen til en statistisk populasjon brukes indikatorer kalt strukturelle gjennomsnitt. Disse inkluderer modus og median.
Mote (Mo) er det vanligste alternativet. Modusen er verdien av attributtet som tilsvarer maksimumspunktet på den teoretiske fordelingskurven.
Mote representerer den hyppigst forekommende eller typiske betydningen.
Mote brukes i kommersiell praksis for å studere forbrukernes etterspørsel og rekordpriser.
I en diskret serie er modus varianten med høyest frekvens. I en intervallvariasjonsserie anses modusen for å være den sentrale varianten av intervallet, som har høyest frekvens (særlighet).
Innenfor intervallet må du finne verdien av attributtet som er modusen.
hvor xo er den nedre grensen for det modale intervallet;
h – verdien av det modale intervallet;
fm – modal intervallfrekvens;
ft-1 – frekvensen til intervallet før det modale;
fm+1 – frekvensen til intervallet etter det modale.
Modusen avhenger av størrelsen på gruppene og den nøyaktige plasseringen av gruppegrensene.
Modus er et tall som faktisk forekommer oftest (er verdien av
nnaya), har i praksis den bredeste applikasjonen (den vanligste typen kjøper).
Harmonisk middel— ϶ᴛᴏ den gjensidige av det aritmetiske gjennomsnittet, ᴛ.ᴇ. består av de inverse verdiene til karakteristikken.
Eksempel 5. Beregning av gjennomsnittlig prosentandel av planfullføring. Følgende data er tilgjengelig:
I eksemplet fungerer indikatorer på graden av gjennomføring av planen (opsjoner) som en varierende egenskap, og planen tar vekter (frekvenser). I dette tilfellet oppnås gjennomsnittet som et vektet aritmetisk gjennomsnitt:
Hvis vi, når vi bestemmer gjennomsnittlig grad av planoppfyllelse, ikke tar oppgaven som vekt, men dens faktiske gjennomføring, vil det aritmetiske gjennomsnittet i dette tilfellet gi feil resultat:
Riktig resultat ved veiing i henhold til den faktiske fullføringen av oppgaven vil bli gitt av det harmoniske vektede gjennomsnittet:
Hvor w— vekter av det harmoniske vektede gjennomsnittet.
Betingelser for bruk av harmonisk middel
Det harmoniske gjennomsnittet brukes når ikke populasjonsenhetene (bærere av karakteristikken) brukes som vekter, men produktene til disse enhetene med verdiene til karakteristikken, ᴛ.ᴇ. 
.
Fra denne regelen følger det at det harmoniske gjennomsnittet i statistikk i hovedsak er et transformert aritmetisk gjennomsnitt, som brukes når størrelsen på populasjonen er ukjent og det er nødvendig å veie alternativer med volumet av karakteristikken.
2. Hvis absolutte verdier brukes som vekter, bør enhver mellomhandling ved beregning av gjennomsnittet gi økonomisk signifikante resultater.
Når vi for eksempel beregner den gjennomsnittlige prosentandelen av planfullføring, multipliserer vi planfullføringsindikatoren med planmålet og oppnår den faktiske planfullføringen. Hvis indikatoren for plangjennomføring multipliseres med den faktiske implementeringen, vil resultatet fra et økonomisk synspunkt være absurd. Dette betyr at mellomformen ble brukt feil).
Les også
Når statistisk informasjon ikke inneholder frekvenser for enkeltvarianter av populasjonen, men presenteres som deres produkt, d.v.s. frekvensen må beregnes separat basert på den kjente varianten X og produktet X f, det harmoniske gjennomsnittet brukes. Gjennomsnittlig … [les mer].
Det harmoniske gjennomsnittet er en primitiv form for det aritmetiske gjennomsnittet. Det beregnes i tilfeller hvor vektene fi ikke er spesifisert direkte, men inngår som en faktor i en av de tilgjengelige indikatorene. Akkurat som det aritmetiske gjennomsnittet, kan det harmoniske gjennomsnittet være ... [les mer].
Sammen med det aritmetiske gjennomsnittet bruker statistikken det harmoniske gjennomsnittet, det inverse av det aritmetiske gjennomsnittet av de inverse verdiene til attributtet. I likhet med det aritmetiske gjennomsnittet kan det være enkelt og vektet. Kjennetegn på variasjonsserier, sammen med... [les mer].
Vektet aritmetisk gjennomsnitt Gjelder når indikatorer for varemengde i fysiske termer brukes som vekter; hvor pq er omsetning i rubler. Den brukes når salgsdata brukes som vekter...
Gjennomsnittsverdier og variasjonsindikatorer
Sammen med det aritmetiske gjennomsnittet bruker statistikken det harmoniske gjennomsnittet, det inverse av det aritmetiske gjennomsnittet av de inverse verdiene til attributtet. I likhet med det aritmetiske gjennomsnittet kan det være enkelt og vektet. Dermed formelen for å beregne gjennomsnittet ... [les mer].
Essensen og betydningen av gjennomsnittsverdier, deres typer Den vanligste formen for statistisk indikator er gjennomsnittsverdien. En indikator i form av en gjennomsnittsverdi uttrykker det typiske nivået til en egenskap i aggregatet. Utbredt bruk av medium... [les mer].
Sammen med det aritmetiske gjennomsnittet bruker statistikken det harmoniske gjennomsnittet, det inverse av det aritmetiske gjennomsnittet av de inverse verdiene til attributtet. I likhet med det aritmetiske gjennomsnittet kan det være enkelt og vektet. … [Les mer].
Når du løser problemer, begynner beregningen av gjennomsnittsverdien med å tegne den innledende relasjonen - den logiske verbale formelen til gjennomsnittet. Den er satt sammen på grunnlag av teoretisk og logisk analyse. Noen ganger kan det aritmetiske gjennomsnittet ikke brukes. I dette tilfellet, i ... [les mer].
Hvis det, i henhold til betingelsene for problemet, er nødvendig at summen av verdier som er gjensidig til de individuelle verdiene til en karakteristikk forblir uendret under gjennomsnittsberegningen, er gjennomsnittsverdien et harmonisk gjennomsnitt. Formelen for harmonisk gjennomsnitt er: For eksempel en bil med... [les mer].
70. Harmonisk middelverdi
Det harmoniske gjennomsnittet av positive tall o, b er et tall hvis invers er det aritmetiske gjennomsnittet mellom , dvs. Antall
Oppgave 358. Bevis at det harmoniske gjennomsnittet ikke overstiger det geometriske gjennomsnittet.
Gjennomsnittsverdier i statistikk: essens, egenskaper, typer. Eksempler på problemløsning
Inversen til det harmoniske gjennomsnittet er det aritmetiske gjennomsnittet av tall; det inverse til det geometriske gjennomsnittet er det geometriske gjennomsnittet av tall, så det gjenstår å referere til ulikheten om det aritmetiske og geometriske gjennomsnittet.
Oppgave 359. Tallene er positive. Bevis det
Løsning. Den nødvendige ulikheten kan skrives om i skjemaet
det vil si at det er nødvendig å bevise at det aritmetiske gjennomsnittet av tallene er større enn eller lik deres harmoniske gjennomsnitt. Dette blir tydelig hvis vi setter inn det geometriske gjennomsnittet mellom dem:
den siste ulikheten reduseres til en ulikhet om det aritmetiske og geometriske gjennomsnittet av tall.
En annen løsning bruker følgende triks. Vi vil bevise en mer generell ulikhet (kalt Cauchy-Bunyakovsky-ulikheten)
(hvis vi erstatter det med det, får vi det vi trenger).
For å bevise Cauchy-Bunyakovsky-ulikheten, vurder det kvadratiske trinomialet
Ved å åpne parentesene i den og gruppere begrepene etter potenser av x, får vi trinomialet
For enhver x er dette trinomiale ikke-negativt - det er tross alt en sum av kvadrater. Dette betyr at dens diskriminant ikke er større enn null, dvs.
Hvordan likte du dette trikset?
Eksempel : Det kreves å bestemme gjennomsnittsalderen til en deltidsstudent ved å bruke dataene spesifisert i følgende tabell:
|
Elevers alder, år ( X) |
Antall studenter, personer ( f) |
gjennomsnittsverdien av intervallet (x',xsentral) |
xi*fJeg |
|
26 og eldre |
|||
|
Total: |
For å beregne gjennomsnittet i intervallserier, bestemmer du først gjennomsnittsverdien av intervallet som halvsummen av øvre og nedre grenser, og beregner deretter gjennomsnittet ved å bruke den aritmetiske vektede gjennomsnittsformelen.
Ovenfor er et eksempel med like intervaller, hvor den første og siste er åpen.
.
Svar: Gjennomsnittlig studentalder er 22,6 år, eller omtrent 23 år.
Harmonisk middel har en mer kompleks struktur enn det aritmetiske gjennomsnittet. Brukes i tilfeller hvor statistisk informasjon inneholder ikke frekvenser for enkeltpersoner verdier av attributtet, og er representert ved produktet av attributtverdien av Frekvens . Det harmoniske middelet som en type kraftmiddel ser slik ut:
Avhengig av presentasjonsformen til kildedataene kan det harmoniske gjennomsnittet beregnes som enkelt eller vektet. Hvis kildedataene ikke er gruppert, da gjennomsnitt harmonisk enkel :
Den brukes i tilfeller av å bestemme, for eksempel, gjennomsnittlig kostnad for arbeid, materialer, etc.
Harmonisk betyr enkel og vektet
per produksjonsenhet på tvers av flere virksomheter.
Når du arbeider med grupperte data, bruk harmonisk middelveid:
Geometrisk gjennomsnittgjelder i tilfeller hvor når det totale volumet av den gjennomsnittlige funksjonen er en multiplikativ størrelse,de. bestemmes ikke ved å summere, men ved å multiplisere de individuelle verdiene til karakteristikken.
Form av geometrisk vektet gjennomsnitt i praktiske beregninger ikke aktuelt .
Gjennomsnittlig firkant brukes i tilfeller der, når du erstatter individuelle verdier av en karakteristikk med en gjennomsnittsverdi, er det nødvendig å holde summen av kvadrater av de opprinnelige verdiene uendret .
hjem omfanget av bruken – måling av fluktuasjonsgraden av individuelle verdier av en karakteristikk i forhold til det aritmetiske gjennomsnittet(standardavvik). I tillegg brukes middelkvadraten i tilfeller der det er nødvendig å beregne gjennomsnittsverdien av en karakteristikk uttrykt i kvadratiske eller kubiske måleenheter (når man beregner gjennomsnittsverdien av kvadratiske seksjoner, gjennomsnittlig diameter på rør, stammer, etc.) .
Rotgjennomsnittet beregnes i to former:
Alle kraftmidler skiller seg fra hverandre i verdiene til eksponenten. hvori, jo høyere eksponent, jo merkvantitativ verdi av gjennomsnittet:
Denne egenskapen til effektgjennomsnitt kalles egenskap med hovedvekt av gjennomsnitt.
Harmonisk middelverdi
Forutsatt at verdiene k = –1 er erstattet med den generelle formelen (6.1), kan vi få harmonisk middelverdi, som har en enkel og vektet form.
For den rangerte serien brukes det harmoniske gjennomsnittet enkel en verdi som kan skrives som følger.
hvor n er det totale antallet alternativer; – alternativer for omvendt betydning.
La oss si at det er bevis på at når du transporterer poteter, er hastigheten til en bil med last 30 km/t, uten last - 60 km/t. Du må finne gjennomsnittshastigheten til bilen. Ved første øyekast virker det som en helt enkel løsning på problemet: bruk metoden for det aritmetiske gjennomsnittet av en enkel verdi, dvs. 
Men hvis vi husker på at bevegelseshastigheten er lik tilbakelagt distanse delt på tiden brukt, så er det ganske åpenbart at resultatet (45 km/t) viser seg å være unøyaktig, siden det tar en bil med og uten last for å kjøre samme vei (tur-retur) vil tiden som kreves variere betydelig. Følgelig kan en mer nøyaktig gjennomsnittshastighet for et kjøretøy med og uten last beregnes ved å bruke den harmoniske gjennomsnittlige enkle verdien:
Dermed er gjennomsnittshastigheten til en bil med og uten last ikke 45, men 40 km/t.
I diskrete eller intervallserier brukes det harmoniske gjennomsnittet vektet størrelse:
der W er produktet av opsjoner og frekvens (vektet alternativ, xf).
La oss vurdere eksempel. Arbeidsintensiteten for å produsere 1 tonn poteter i den første divisjonen av landbruksorganisasjonen er 10 arbeidstimer, i den andre - 30 arbeidstimer. I begge divisjoner ble det brukt 30 tusen arbeidstimer på potetproduksjon. Det er nødvendig å beregne den gjennomsnittlige aritmetiske arbeidsintensiteten til poteter i en landbruksorganisasjon. Det ser ut til at den gjennomsnittlige arbeidsintensiteten er lett å finne som halvparten av summen av arbeidsintensiteten til poteter i to divisjoner, det vil si ved å bruke metoden for aritmetisk enkelt gjennomsnitt:
Denne løsningen gjør imidlertid to feil. Den første, grunnleggende feilen er at når man beregner den gjennomsnittlige arbeidsintensiteten ved å bruke den aritmetiske enkle gjennomsnittsmetoden, blir ikke essensen av selve arbeidsintensiteten, som finnes som forholdet mellom direkte arbeidskostnader og produksjonsvolumet, tatt i betraktning. Den andre feilen er at løsningen ikke tok hensyn til det spesifikke volumet av arbeidskostnadene for potetproduksjon gitt i henhold til problemforholdene (30 tusen hver).
Harmonisk middel
person-time i begge avdelinger). Dette lar en beregne frekvensene (vektene) for potetarbeidsintensiteten og dermed finne den aritmetiske gjennomsnittlige vektede arbeidsintensiteten, som vil bli erstattet med hell ved å bruke det harmoniske vektede gjennomsnittet:
Dermed er gjennomsnittlig arbeidsintensitet for poteter i en landbruksorganisasjon ikke 20, som ble beregnet ovenfor, men 15 personer. h/t.
Den harmoniske middelverdien brukes hovedsakelig i tilfeller der variantene av serien er representert av inverse verdier, og frekvensene (vektene) er skjult i det totale volumet til karakteristikken som studeres.
Strukturelle gjennomsnitt
I noen tilfeller, for å få en generell karakteristikk av en statistisk populasjon for ethvert kriterium, er det nødvendig å bruke den s.k. strukturelt gjennomsnitt. Disse inkluderer mote Og median.
Mote representerer den varianten som oftest finnes i en gitt statistisk populasjon. I en rangert serie er modusen som regel ikke bestemt, siden hvert alternativ tilsvarer en frekvens lik enhet.
Modusen i en diskret serie tilsvarer varianten med høyest frekvens, mens en tilfeldig variabel kan ha flere moduser. Hvis en av dem er til stede, kalles vanligvis fordelingen av den statistiske populasjonen unimodal, i nærvær av to moduser - bimodal, tre eller flere moduser - multimodal. Tilstedeværelsen av flere moduser betyr ofte kombinasjonen av statistiske enheter av forskjellig kvalitet i ett sett.
Modusen for en intervallserie med like intervaller beregnes av formelen
(6.12)
hvor xmo sub> er den nedre grensen for det modale intervallet; i mo – intervallverdi;
f mo – frekvensen til det modale intervallet; f dmo – frekvensen av det premodale intervallet; f zmo – frekvensen til det submodale intervallet.
La oss si at markedsprisene for epler i de regionale sentrene i regionen er som følger (tabell 6.8). Ved å bruke disse dataene er det nødvendig å beregne trenden i markedspriser for poteter.
Tabell 6.8. Markedspriser for epler
Fra dataene i tabellen. 6.8 viser at maksimalt antall markeder er konsentrert i det tredje intervallet, og fordelingen av den statistiske populasjonen er unimodal. For å beregne moten til markedspriser for epler, bruker vi formel (6.12):
Dermed er den modale markedsprisen for epler i de regionale sentrene i regionen 1690 rubler / kg.
Det modale alternativet ved karakterisering av en statistisk populasjon kan brukes i tilfeller der beregning av gjennomsnittsverdien er vanskelig eller umulig, for eksempel under markedsforhold når man studerer tilbud og etterspørsel, prisnivåer osv.
Median– alternativer plassert i midten av variantserien. Medianen i den rangerte serien finner du som følger. Først beregner du antall medianalternativer:
hvor n meg er antall medianalternativer; n er det totale antallet alternativer i serien.
For det andre, i den rangerte serien, bestemmes verdien av medianen av opsjonene: hvis det totale antallet opsjoner er oddetall, tilsvarer medianen antallet beregnet ved formel (6.13).
La oss si at den rangerte serien består av 99 enheter fordelt på sukkerroeutbytte. Median antall alternativer er funnet ved hjelp av formel (6.13): 
.
Det betyr at tall 50 er ønsket medianavling, som er lik for eksempel 500 c/ha.
Hvis det totale antallet varianter er partall, er medianen lik halvparten av summen av to tilstøtende medianvarianter. For eksempel, i den rangerte serien er det 100 statistiske enheter, igjen fordelt på sukkerroeutbytte. Følgelig er det i en slik serie to mediantall, som kan sees fra følgende beregning ved bruk av formel (6.13):
Dette betyr at i dette tilfellet regnes tallene 50 og 51 som medianer, og medianutbyttet av sukkerroer kan for eksempel beregnes som følgende halvsum av to tilstøtende avlinger, dvs.
For en diskret distribusjonsserie beregnes medianen fra de akkumulerte frekvensene: først blir halvsummen av de akkumulerte frekvensene funnet; for det andre bestemmer de om denne halvsummen tilsvarer et spesifikt alternativ, som vil være medianen.
For eksempel er den årlige melkeproduksjonen til kyr fordelt i form av en diskret serie der summen av de akkumulerte frekvensene er 200 enheter, og følgelig er halvsummen 100 enheter.
Dette mediantallet er i gruppen av statistiske enheter i en diskret serie og tilsvarer den årlige melkeytelsen til kyr på 5000 kg melk, som er medianen til den diskrete serien.
I en intervallvariasjonsserie beregnes medianen ved hjelp av formelen
, (6.14)
hvor M e er medianen av intervallserien; x me – nedre grense for medianintervallet; i meg – verdien av medianintervallet; Σf – summen av akkumulerte frekvenser i intervallserien; f n - akkumulert frekvens av pre-median intervall; f me – frekvensen av medianintervallet.
For å beregne medianen i en intervallserie vil vi bruke følgende data (tabell 6.9).
Tabell 6.9.
Potetutbytte i personlige tomter
Husholdninger
Fra dataene i tabellen. 6,9, for det første er det klart at det fjerde intervallet er medianen. I tillegg viser en enkel utregning at summen av de akkumulerte frekvensene (totalt antall gårder) er 200 enheter, og den akkumulerte frekvensen til premedianintervallet er 90 enheter.
La oss bruke formel (6.14) og beregne median potetutbytte:
Dermed er median potetavling i private husholdningstomter 256 c/ha.
Bruken av medianen har en bestemt karakter. Således, hvis variasjonsserien er relativt liten, kan verdien av det aritmetiske gjennomsnittet bli påvirket av tilfeldige svingninger av ekstremvariantene, som ikke vil påvirke størrelsen på medianen.
Forrige45678910111213141516171819Neste
Den vanligste formen for statistisk indikator er gjennomsnittomfanget. En indikator i form av en gjennomsnittsverdi uttrykker det typiske nivået til en egenskap i aggregatet. Den utbredte bruken av gjennomsnittsverdier forklares av det faktum at de lar en sammenligne verdiene til en egenskap blant enheter som tilhører forskjellige populasjoner. Du kan for eksempel sammenligne gjennomsnittlig lengde på en arbeidsdag, gjennomsnittlig lønnskategori for arbeidere, gjennomsnittlig lønnsnivå for ulike virksomheter.
Essensen av gjennomsnittsverdier er at de opphever avvik i verdiene til en karakteristikk i individuelle enheter av befolkningen, forårsaket av virkningen av tilfeldige faktorer. Derfor må gjennomsnittsverdier beregnes for tilstrekkelig store populasjoner (i samsvar med loven om store tall). Påliteligheten til gjennomsnittsverdier avhenger også av variasjonen til attributtverdiene i aggregatet. Generelt er det slik at jo mindre variasjonen av en karakteristikk er og jo større populasjonen som gjennomsnittsverdien bestemmes fra, jo mer pålitelig er den.
Typiskheten til gjennomsnittsverdien er også direkte relatert til homogeniteten til den statistiske populasjonen. Gjennomsnittsverdien vil kun reflektere det typiske nivået til attributtet når det beregnes fra en kvalitativt homogen populasjon. Ellers brukes gjennomsnittsmetoden i kombinasjon med grupperingsmetoden. Hvis befolkningen er heterogen, erstattes eller suppleres de generelle gjennomsnittene med gruppegjennomsnitt beregnet for kvalitativt homogene grupper.
Velge type gjennomsnitt bestemmes av det økonomiske innholdet i indikatoren som studeres og kildedataene. Følgende typer gjennomsnitt brukes oftest i statistikk: effektgjennomsnitt (aritmetiske, harmoniske, geometriske, kvadratiske, kubiske, etc.), kronologisk gjennomsnitt og strukturelle gjennomsnitt (modus og median).
Aritmetisk gjennomsnitt oftest funnet i samfunnsøkonomisk forskning. Det aritmetiske gjennomsnittet brukes i form av et enkelt gjennomsnitt og et vektet gjennomsnitt.
Beregnet fra ugrupperte data basert på formel (4.1):
Hvor x- individuelle verdier av karakteristikken (alternativer);
n- antall enheter i befolkningen.
Eksempel. Det kreves å finne den gjennomsnittlige produksjonen til en arbeider i en brigade bestående av 15 personer, hvis antall produkter produsert av en arbeider (stykker) er kjent: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
Enkel aritmetisk gjennomsnitt beregnet fra ugrupperte data basert på formel (4.2):
hvor f er frekvensen av repetisjon av den tilsvarende verdien av attributtet (variant);
∑f er det totale antallet befolkningsenheter (∑f = n).
Eksempel. Basert på tilgjengelige data om fordelingen av arbeidere i et team i henhold til antall produkter de produserer, er det nødvendig å finne den gjennomsnittlige produksjonen til en arbeider i teamet.
Merknad 1. Gjennomsnittsverdien av en egenskap i aggregatet kan beregnes både på grunnlag av individuelle verdier av karakteristikken og på grunnlag av gruppe(private) gjennomsnitt beregnet for individuelle deler av befolkningen. I dette tilfellet brukes den aritmetiske vektede gjennomsnittsformelen, og gruppe (delvise) gjennomsnitt ( x j).
Eksempel. Det finnes data om gjennomsnittlig tjenestetid for arbeidere i anleggets verksteder. Det er nødvendig å bestemme gjennomsnittlig tjenestetid for arbeidere for anlegget som helhet.
Notat 2. I tilfellet når verdiene av karakteristikken som gjennomsnittliggjøres spesifiseres i form av intervaller, når den aritmetiske middelverdien beregnes, tas gjennomsnittsverdiene til disse intervallene som verdiene av karakteristikken i grupper ( X’). Dermed blir intervallserien omgjort til en diskret serie. I dette tilfellet blir verdien av åpne intervaller, hvis noen (som regel, disse er de første og siste), betinget likestilt med verdien av intervallene ved siden av dem.
Eksempel. Det finnes data om fordelingen av bedriftsarbeidere etter lønnsnivå.
Harmonisk middelverdi er en modifikasjon av det aritmetiske gjennomsnittet. Det brukes i tilfeller der individuelle verdier av en egenskap er kjent, dvs. varianter ( x), og produktet av varianten og frekvensen (xf = M), men selve frekvensene er ukjente ( f).
Det vektede harmoniske gjennomsnittet beregnes ved å bruke formel (4.3):
Eksempel. Det er pålagt å fastsette gjennomsnittslønnen til ansatte i en forening som består av tre virksomheter, dersom lønnsfondet og gjennomsnittslønnen til ansatte for hver virksomhet er kjent.
Det harmoniske gjennomsnittet, som er enkelt i statistikkpraksis, brukes ekstremt sjelden. I tilfeller der xf = Mm = const, blir det vektede harmoniske gjennomsnittet til et enkelt harmonisk gjennomsnitt (4.4):
Eksempel. To biler kjørte samme rute. Samtidig beveget en av dem med en hastighet på 60 km/t, den andre - med en hastighet på 80 km/t. Det kreves å bestemme gjennomsnittshastigheten til bilene underveis.
Andre typer effektgjennomsnitt. Gjennomsnittlig kronologisk
Det geometriske gjennomsnittet brukes til å beregne gjennomsnittsdynamikken. Det geometriske gjennomsnittet brukes i form av et enkelt gjennomsnitt (for ugrupperte data) og et vektet gjennomsnitt (for grupperte data).
Geometrisk gjennomsnitt enkel (4,5):
hvor n er antall attributtverdier;
P er tegnet på produktet.
Vektet geometrisk gjennomsnitt(4.6):
Root gjennomsnittlig kvadratverdi brukes ved beregning av variasjonsindekser. Den brukes i en enkel og vektet form.
Enkelt gjennomsnittskvadrat (4,7):
Vektet gjennomsnittlig kvadrat (4,8):
Gjennomsnittlig kubikkverdi brukes ved beregning av indikatorer asymmetri Og overskytende. Den brukes i enkel veid form.
Gjennomsnittlig kubikk enkel (4,9):
Gjennomsnittlig kubikkvektet (4,10):
Den gjennomsnittlige kronologiske verdien brukes til å beregne gjennomsnittsnivået for tidsserien (4.11):
Strukturelle gjennomsnitt
I tillegg til gjennomsnittsverdiene som er diskutert ovenfor, bruker statistikken strukturelle gjennomsnitt, som inkluderer modus og median.
Mote(Mo) er verdien av egenskapen som studeres (variant), som oftest finnes i aggregatet. I en diskret serie Modusen bestemmes ganske enkelt - av maksimalfrekvensindikatoren. I en intervallvariasjonsserie tilsvarer modusen omtrentlig midten av det modale intervallet, det vil si intervallet som har høy frekvens (frekvens).
Den spesifikke modusverdien beregnes ved å bruke formel (4.12):
hvor er den nedre grensen for det modale intervallet;
modal intervallbredde;
frekvens som tilsvarer det modale intervallet;
frekvensen av intervallet før modalen;
frekvensen av intervallet etter modalen.
Medianen (Me) er verdien av attributtet som ligger i midten av den rangerte serien. Med rangert mener vi en serie ordnet i stigende eller synkende rekkefølge av attributtverdier. Medianen deler den rangerte serien i to deler, hvorav den ene har attributtverdier som ikke er større enn medianen, og den andre ikke mindre.
For en rangert serie med et oddetall medlemmer, er medianen alternativet som ligger i midten av serien. Posisjonen til medianen bestemmes av serienummeret til enheten i serien i samsvar med formel (4.13):
hvor n er antall medlemmer i den rangerte serien.
For en rangert serie med et jevnt antall medlemmer, er medianen det aritmetiske gjennomsnittet av to tilstøtende verdier plassert i midten av serien.
I en intervallvariasjonsserie brukes følgende formel (4.14) for å finne medianen:
hvor er den nedre grensen for medianintervallet;
bredden på medianintervallet;
akkumulert frekvens av intervallet før medianen;
frekvensen av medianintervallet.
Eksempel. Arbeidsteam bestående av 9 personer, har følgende tariffer sifre: 4; 3; 4; 5; 3; 3; 6; 2;6. Det er påkrevd å bestemme modale og medianverdier for tariffkategorien.
Siden denne brigaden har flest arbeidere i 3. kategori, vil denne kategorien være modal, dvs. Mo = 3.
For å bestemme medianen La oss rangere den opprinnelige serien i stigende rekkefølge av attributtverdier:
2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.
Den sentrale verdien i denne serien er den femte verdien av attributtet. Følgelig er Me = 4.
Eksempel.Det er påkrevd å bestemme den modale og mediantariffkategorien for fabrikkarbeidere basert på dataene fra følgende distribusjonsserie.
Siden den opprinnelige distribusjonsserien er diskret, bestemmes modalverdien av maksimalfrekvensindikatoren. I dette eksemplet har anlegget flest arbeidere av 3. kategori (f max = 30), dvs. denne utslippet er modal (Mo = 3).
La oss bestemme posisjonen til medianen. Den første distribusjonsserien er konstruert på grunnlag av en rangert serie, sortert etter økende verdier av attributtet. Midten av serien er mellom 50. og 51. serienummer for attributtverdiene. La oss finne ut hvilken gruppe arbeiderne med disse serienumrene tilhører. For å gjøre dette, la oss beregne de akkumulerte frekvensene. De akkumulerte frekvensene indikerer at medianverdien til tariffkategorien er lik tre (Me = 3), siden verdiene til karakteristikken med serienumre fra 39 til 68, inkludert 50 og 51, er lik 3.
Eksempel. Det er påkrevd å bestemme modal- og medianlønnen til fabrikkarbeidere basert på dataene fra følgende distribusjonsserie.
Siden den første fordelingsserien er intervall, beregnes den modale verdien av lønn ved hjelp av formelen. I dette tilfellet er det modale intervallet 360-420 med en maksimal frekvens på 30.
Medianlønnsverdien beregnes også ved hjelp av formelen. I dette tilfellet er medianen intervallet 360-420, hvor den akkumulerte frekvensen er 70, mens den akkumulerte frekvensen til det forrige intervallet bare var 40 med et totalt antall enheter lik 100.