Kommunal utdanningsinstitusjon
Yuryevskaya grunnskole
Ostrovsky-distriktet
Kommunaltrinn i den regionale metodekonkurransen
Nominasjon
Verktøysett
Emne
Funksjonell-grafisk metode for å løse likninger og ulikheter i et algebrakurs på videregående skole.
Arbeidet er utarbeidet av:
matematikklærer
Introduksjon
Analyse av skolebøker
Unified State eksamensanalyse
1. Generell teoretisk del
1.1. Grafisk metode
1.2. Funksjonell metode
2. Løse ligninger og ulikheter ved å bruke egenskapene til input
funksjoner i dem
2.1. Bruk av DZ
2.2. Bruke funksjonsbegrensninger
2.3. Bruker funksjon monotonisitet
2.4. Bruke funksjonsgrafer
2.5. Bruke partall eller oddetall egenskaper og periodisitet av funksjoner .
3. Løse likninger og ulikheter
3.1. Løse ligninger
3.2. Løse ulikheter
Verksted
Bibliografi
applikasjon
Introduksjon
Emnet for arbeidet mitt er "Funksjonell-grafisk metode for å løse likninger og ulikheter i et algebrakurs på videregående skole." Et av hovedemnene i algebrakurset på videregående skole. Løsning av likninger og ulikheter spiller en viktig rolle i matematikkkurs på videregående skole. Elevene begynner å lære om ulikheter og likninger i grunnskolen.
Innholdet i temaene «Likninger» og «Ulikheter» blir gradvis utdypet og utvidet. Så for eksempel er prosentandelen av ulikheter fra det totale materialet studert i 7. klasse 20%, i 8. klasse - 25%, i 9. klasse - 30%, i 10-11. klasse - 35%.
Den endelige studien av ulikheter og ligninger finner sted i algebra- og begynnende analysekurs i klasse 10-11. Noen universiteter inkluderer ligninger og ulikheter i eksamensoppgaver, som ofte er svært komplekse og krever ulike tilnærminger til løsning. På skolen dekkes en av de vanskeligste delene av skolematematikkkurset bare i noen få valgfag.
Fokus for dette arbeidet er å gi en mer fullstendig avsløring av anvendelsen av den funksjonelle grafiske metoden for å løse likninger og ulikheter i algebrakurset på videregående skole.
Relevansen av dette arbeidet er at dette emnet er inkludert i Unified State Exam.
I utarbeidelsen av dette arbeidet satte jeg meg som mål å vurdere så mange typer ligninger og ulikheter som mulig, løst med den funksjonell-grafiske metoden. Studer også dette emnet dypere, og identifiser den mest rasjonelle løsningen som raskt fører til et svar.
Målet med studiet er algebra for klassetrinn 10-11, redigert og varianter av Unified State Examination.
Dette arbeidet diskuterer ofte opptrådte typer ligninger og ulikheter. Jeg håper at kunnskapen jeg har fått i arbeidet vil hjelpe når jeg skal bestå skoleeksamener og når jeg går inn på et universitet. Det kan også tjene som et læremiddel for å forberede skolebarn til å ta Unified State Exam.
Analyse av skolebøker
I den metodologiske litteraturen er det vanlig å dele inn alle metodene som skolelinjen med ligninger og ulikheter fra klasse 7 til 11 er delt inn i tre grupper:
faktorisering metode;
ümetode for å introdusere nye variabler;
Funksjonell grafisk metode.
La oss vurdere den tredje metoden, nemlig bruken av funksjonsgrafer og ulike egenskaper til funksjoner.
Skolebarn må læres å bruke den funksjonell-grafiske metoden helt fra begynnelsen av å studere emnet "ligninger".
Løsningen på noen problemer kan være basert på egenskapene til monotonisitet, periodisitet, jevnhet eller raritet, etc. til funksjonene som er inkludert i dem.
Etter å ha analysert lærebøkene, kan vi konkludere med at dette emnet bare diskuteres i matematikklærebøker fra den nye generasjonen. Konstruksjonen av kurset i disse lærebøkene er basert på prioriteringen av den funksjonelle-grafiske linjen. I andre lærebøker er ikke den funksjonell-grafiske metoden for å løse likninger og ulikheter fremhevet som et eget tema. Å bruke funksjonsegenskaper for å løse problemer nevnes i forbifarten når man studerer andre emner. De nye lærebøkene inneholder også et tilstrekkelig antall oppgaver av denne typen. Læreboken inneholder oppgaver på avansert nivå. Det mest komplette oppgavesystemet presenteres, systematisert for hver funksjon i funksjonen.
Lærebok | "Algebra og begynnelsen av analyse 10-11", lærebok for utdanningsinstitusjoner, | , "Algebra og begynnelsen av analyse 11", lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner (profilnivå) | og andre "Algebra and the beginnings of analysis 11", lærebok for utdanningsinstitusjoner | og andre "Algebra og begynnelsen av analyse 10-11", lærebok for utdanningsinstitusjoner |
|
Plasser i vet | Kapittel 8 «Likninger og ulikheter. Systemer av likninger og ulikheter" (siste emne for kurset) | Kapittel 6 «Likninger og ulikheter. Systemer av likninger og ulikheter" (siste emne for kurset) | Kapittel II "Ligninger, ulikheter, systemer" | Det er ikke noe eget tema. Men i emnet "Løse trigonometriske ligninger og ulikheter" formuleres en rotteorem, som brukes i videre studier | Ikke noe eget tema |
§ §56 Generelle metoder for å løse likninger og ulikheter (funksjonell-grafisk metode: rotteorem, avgrensning av en funksjon) | § §27 Generelle metoder for å løse likninger og ulikheter (funksjonell-grafisk metode: rotteorem, avgrensning av en funksjon) | § Formens ligninger (ulikheter); §§12*Ikke-standardmetoder for å løse likninger og ulikheter (bruke domener for eksistens av funksjoner, ikke-negativitet av funksjoner, begrensethet, bruk av sin- og cos-egenskapene, bruk av den deriverte) | Egenskapen til monotonitet til en funksjon, partall-oddetall (når man utleder formler for røttene til trigonometriske ligninger) | Egenskapen til monotonisitet er nevnt når man analyserer et eksempel i emnet "Eksponentiell funksjon" |
|
Eksempler på vurderte ligninger og ulikheter | (
| Løs ligningen. Hvor mange røtter har ligningen i dette intervallet? | Løs ligningen |
;
Analyse av Unified State Examination (tekster og resultater)
Unified State Exam som en form for sertifisering, som ble introdusert i praksisen med russisk utdanning i 2002, har gått fra eksperimentell til vanlig modus siden 2009.
En analyse av Unified State Exam-tekstene viste at man møter oppgaver der funksjoner brukes hvert år.
I 2003, i oppgavene A9 og C2, når du løser, kan du bruke egenskapene til funksjoner:
· A9. Angi intervallet som røttene til ligningen tilhører 
.
· C2. Finn alle verdier s, som ligningen for 
har ingen røtter.
· I 2004 – oppgave B2. Hvor mange røtter har ligningen? 
.
· I 2005, oppgave C2 (løs ligningen 
) fullført av 37 % av studentene.
I 2007, da de fullførte oppgaven "Løs ligningen" i del B, vurderte kandidater to tilfeller når de løste ligningen, og avslører vanligvis modultegnet..gif" width="81" height="24"> bare positive verdier.
Selv godt forberedte elever utfører ofte oppgaver ved hjelp av «mal»-løsningsmetoder som fører til tungvinte transformasjoner og beregninger.
Åpenbart, når de fullførte oppgavene ovenfor, måtte en godt forberedt kandidat vise ikke bare kunnskap om kjente metoder for å løse ligninger eller transformere uttrykk, men også evnen til å analysere tilstanden, korrelere dataene og kravene til oppgaven, utlede ulike konsekvenser fra tilstanden, etc., det vil si vise et visst nivå av utvikling av matematisk tenkning.
Når du underviser godt presterende elever, må du derfor ikke bare ta vare på å mestre den grunnleggende komponenten i algebrakurset og begynnelsen av analysen (mestre de lærte reglene, formlene, metodene), men også om å realisere et av hovedmålene av undervisning i matematikk - utvikling av elevenes tenkning, spesielt matematisk tenkning. Valgemner kan tjene til å nå dette målet.
Faktisk, når de studerer matematikk, blir studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner tradisjonelt introdusert for den grafiske metoden for å løse likninger, ulikheter og deres systemer. Men de siste årene har det dukket opp nye klasser av ligninger (ulikheter) og nye funksjonelle metoder for å løse dem i innholdet i matematikkundervisningen. Oppgavene i testmaterialet til Unified State Examination (USE) (de såkalte kombinerte ligningene), hvis løsninger krever bruk av bare den funksjonell-grafiske metoden, forårsaker imidlertid vanskeligheter for studentene.
1. Generell teoretisk del
La X og Y være to vilkårlige numeriske sett. Elementene i disse settene vil bli betegnet med henholdsvis x og y, og vil bli kalt variabler.
Definisjon. En numerisk funksjon definert på settet X og tar verdier i settet Y kalles en korrespondanse (regel, lov) som assosierer hver x fra settet X med én og bare én verdi y fra settet Y.
Variabelen x kalles den uavhengige variabelen eller argument, og variabelen y er den avhengige variabelen. Det sies også at variabelen y er funksjon fra variabelen x. Verdiene til den avhengige variabelen kalles funksjonens verdier.
Det introduserte konseptet med en numerisk funksjon er et spesialtilfelle av det generelle konseptet av en funksjon som en korrespondanse mellom elementer i to eller flere vilkårlige sett.
La X og Y være to vilkårlige sett.
Definisjon. En funksjon definert på settet X og tar verdier i settet Y er en korrespondanse som assosieres med hvert element i settet X ett og bare ett element fra settet Y.
Definisjon.Å definere en funksjon betyr å indikere omfanget av dens definisjon og korrespondansen (regelen) ved hjelp av hvilken, basert på en gitt verdi av en uavhengig variabel, de tilsvarende funksjonsverdiene blir funnet.
Det er to måter å løse ligninger knyttet til funksjonsbegrepet på: grafikk Og funksjonelle. Et spesielt tilfelle av en funksjonell metode er metoden funksjonell, eller universell erstatninger.
Definisjon.Å løse en gitt ligning betyr å finne mengden av alle dens røtter (løsninger). Settet med røtter (løsninger) kan være tomt, endelig eller uendelig. I de følgende kapitlene av den teoretiske delen vil vi analysere de ovenfor beskrevne metodene for å løse likninger, og i delen "Praksis" vil vi vise deres anvendelse i ulike situasjoner.
1.1. Grafisk metode.
I praksis, for å konstruere en graf av noen funksjoner, kompilerer de en tabell med funksjonsverdier for noen argumentverdier, plotter deretter de tilsvarende punktene på koordinatplanet og kobler dem sekvensielt med en linje. Det antas at punktene tilstrekkelig nøyaktig viser fremdriften av endringen i funksjonen.
Definisjon. Grafen til en funksjon y = f(x) er settet av alle punkter
(x, f(x) | x https://pandia.ru/text/78/500/images/image024_0.jpg" width="616" height="403">
Skjæringspunktet til grafene har koordinater (0,5; 0). Derfor, x=0,5
Svar: x=0,5
Eksempel 2.
10| sinx|=10|cosx|-1
Denne ligningen kan løses rasjonelt ved hjelp av den grafisk-analytiske metoden.
Siden 10>1 tilsvarer denne ligningen følgende:
Skjæringspunktene til grafene har koordinater ();. Derfor x=.
Svar: x=
1.2. Funksjonell metode
Ikke hver ligning av formen f(x)=g(x) som et resultat av transformasjoner kan reduseres til en ligning av en eller annen standardform, som konvensjonelle løsningsmetoder er egnet for. I slike tilfeller er det fornuftig å bruke slike egenskaper til funksjonene f(x) og g(x) som monotonisitet, avgrensning, paritet, periodisitet osv. Så hvis en av funksjonene øker og den andre reduseres over et visst intervall , da kan ikke ligningen f(x) = g(x) ha mer enn én rot, som i prinsippet kan finnes ved seleksjon. Videre, hvis funksjonen f(x) er avgrenset over og funksjonen g(x) er avgrenset under slik at f(x) svinge=A g(x) mi=A, da er ligningen f(x)=g(x) ekvivalent med ligningssystemet
Også når du bruker den funksjonelle metoden, er det rasjonelt å bruke noen av teoremene gitt nedenfor. For å bevise og bruke dem, er følgende generelle ligninger nødvendig:
(2)
Teorem 1. Røttene til ligning (1) er røttene til ligning (2).
Teorem 2. Hvis f(x) er en økende funksjon på intervallet a Det siste teoremet gir en konsekvens som også brukes i løsninger: Konsekvens 1. Hvis f(x) øker gjennom hele definisjonsdomenet, er ligningene (1) og (2) likeverdige på et gitt intervall. Hvis f(x) avtar over hele definisjonsdomenet, er n oddetall, så på et gitt intervall er ligningene (1) og (2) ekvivalente. Teorem 3. Hvis i ligningen f(x)=g(x) for en tillatt x er betingelsene f(x)≥a, g(x)≤a oppfylt, hvor a er et reelt tall, så er den gitte ligningen ekvivalent med system Konsekvens 2. Hvis i ligningen f(x)+g(x)=a+b for noen tillatte x f(x)≤a, g(x)≤b, så er denne ligningen ekvivalent med systemet Den funksjonelle metoden for å løse ligninger brukes ofte i kombinasjon med den grafiske, siden begge disse metodene er basert på de samme egenskapene til funksjoner. Noen ganger kalles en kombinasjon av disse metodene grafisk-analytisk metode. Eksempel 1. coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image033_3.gif" width="64" height="41 src=">≤1 x2+1≥1 => coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image035_3.gif" width="121" height="48"> Svar: x=π Et spesielt tilfelle av den funksjonelle metoden er metoden for funksjonell substitusjon – kanskje den vanligste metoden for å løse komplekse problemer i matematikk. Essensen av metoden er å introdusere en ny variabel y=ƒ(x), hvis bruk fører til et enklere uttrykk. Et eget tilfelle av funksjonell substitusjon er trigonometrisk substitusjon. R(sin kx, cos nx, tg mx,ctg lx) = 0 (3) hvor R er en rasjonell funksjon, k,n,m,lОZ, ved å bruke trigonometriske formler for doble og trippelargumenter, samt addisjonsformler, kan reduseres til en rasjonell ligning for argumentene sin x, cos x, tg x,ctg x, hvoretter ligning (3) kan reduseres til en rasjonell ligning for t=tg( x/2) ved bruk av universelle trigonometriske substitusjonsformler 2tg(x/2) 1-tg²(x/2) Synd x=cos x= 1+tg²(x/2) 1+tg²(x/2) 2tg(x/2) 1-tg²(x/2) Tg x=ctg x= 1-tg²(x/2) 2tg(x/2) Det bør bemerkes at bruk av formler (4) kan føre til en innsnevring av OD til den opprinnelige ligningen, siden tan(x/2) ikke er definert ved punktene x=π+2πk, kÎZ, derfor i slike tilfeller det er nødvendig å sjekke om vinklene x=π+ 2πk, kÎZ røttene til den opprinnelige ligningen. Eksempel 1. synd x+√2-sin² x+ synd x√2-sin² x = 3
La nå r = u+v og s=uv, så følger det fra ligningssystemet Siden u = synd x og u = 1, så synd x= 1 og x = π/2+2πk, kО Z Svar: x = π/2+2πk, kОZ Eksempel 2. 5
synd x-5
tg x
+4(1-
cos x)=0
synd x+
tg x
Denne ligningen kan løses rasjonelt ved å bruke den funksjonelle substitusjonsmetoden. Siden tg x ikke definert ved x = π/2+πk, kО Z, og synd x+tg x=0 ved x = πk, kО Z, da er vinklene x = πk/2, kО Z er ikke inkludert i ODZ-ligningene. Vi bruker formlene for tangens til en halv vinkel og angir t=tg( x/2), og i henhold til betingelsene for problemet t≠0;±1, så får vi https://pandia.ru/text/78/500/images/image055_2.gif" width="165"> +4 1- =0 Siden t≠0;±1, er denne ligningen ekvivalent med ligningen 5t² + = 0 ó-5-5t² + 8 = 0 hvorfra t = ± ..gif" width="27" height="47"> +2πk, kÎ Z Eksempel 3. tg x+
ctg x+
tg²x+
ctg²x+
tg³x+
ctg³x=6
Denne ligningen kan løses rasjonelt ved å bruke den funksjonelle substitusjonsmetoden. La y=tg x+ctg x, deretter tg² x+ctg² x=y²-2, tg³ x+ctg³ x=y³-3y Siden tg x+ctg x=2, deretter tg x+1/ tg x=2. Det følger at tg x=1 og x = π/4+πk, kО Z Svar: x = π/2+2πk, kО Z 2. Løse likninger og ulikheter ved å bruke egenskapene til funksjonene som inngår i dem 2.
1. Bruk av ODZ. Noen ganger lar kunnskap om ODZ deg bevise at en ligning (eller ulikhet) ikke har noen løsninger, og noen ganger lar den deg finne løsninger på ligningen (eller ulikheten) ved direkte å erstatte tall fra ODZ. Eksempel 1.
Løs ligningen Løsning. ODZ i denne ligningen består av alle x som samtidig tilfredsstiller betingelsene 3-x0 og x-3>0, det vil si at ODZ er et tomt sett. Dette fullfører løsningen av ligningen, siden det er fastslått at ikke et enkelt tall kan være en løsning, det vil si at ligningen ikke har røtter. Svar: det finnes ingen løsninger. Eksempel 2.
Løs ligningen Løsning. ODZ av denne ligningen består av alle x som samtidig tilfredsstiller betingelsene, det vil si at ODZ erstatter disse verdiene av x i ligning (1), vi finner at venstre og høyre side er lik 0, noe som betyr at alle https://pandia.ru/ text/78/500/images/image065_2.gif" width="93 height=21" height="21"> Eksempel 3.
Løs ulikhet Løsning. ODZ for ulikhet (2) består av alle x som samtidig tilfredsstiller betingelsene Svar: x=1. Eksempel 4.
Løs ulikhet Løsning. ODZ for ulikhet (3) er alle x som tilfredsstiller betingelsen 0<х1. Ясно, что х=1 не является решением неравенства (3). Для х из промежутка 0 Svar: 0 Eksempel 5.
Løs ulikhet Solution..gif" width="73" height="19"> og . For x fra intervallet https://pandia.ru/text/78/500/images/image082_1.gif" width="72" height="24 src=">.gif" width="141 height=24" height = "24"> på dette intervallet, og derfor har ulikhet (4) ingen løsninger på dette intervallet. La x tilhøre intervallet, deretter https://pandia.ru/text/78/500/images/image087_1.gif" width="141 height=24" height="24"> for slike x, og derfor, på I dette intervallet har ulikhet (4) heller ingen løsninger. Så ulikhet (4) har ingen løsninger. Svar: det finnes ingen løsninger. Notater. Ved løsning av ligninger er det ikke nødvendig å finne ODZ. Noen ganger er det lettere å gå videre til etterforskningen og sjekke røttene som er funnet. Når du løser ulikheter, er det noen ganger mulig å ikke finne ODZ, men å løse ulikheten ved å gå over til et ekvivalent system av ulikheter, der enten en av ulikhetene ikke har noen løsninger, eller kunnskap om løsningen hjelper til med å løse ulikhetssystemet . Eksempel 6.
Løs ulikhet Løsning. Å finne ODZ for ulikhet er ikke en lett oppgave, så vi vil gjøre det annerledes. Ulikhet (5) tilsvarer systemet med ulikheter Den tredje ulikheten i dette systemet tilsvarer en ulikhet som ikke har noen løsninger. Følgelig har systemet med ulikheter (6) ingen løsninger, noe som betyr at ulikhet (5) ikke har noen løsninger. Svar: det finnes ingen løsninger. Eksempel 7.
Løs ulikhet Løsning. Å finne ODZ for ulikhet (7) er en vanskelig oppgave. La oss derfor gjøre ting annerledes. Ulikhet (7) tilsvarer systemet med ulikheter Den tredje ulikheten til dette systemet har løsninger på alle x fra intervallet -1 2.2. Utnytter begrenset funksjonalitet. Ved løsning av likninger og ulikheter spiller ofte egenskapen til en funksjon som er avgrenset under eller over på et visst sett en avgjørende rolle. For eksempel, hvis for alle x fra et sett M er følgende ulikheter sanne: f(x)>A og g(x) Merk at rollen til tallet A ofte spilles av null i dette tilfellet, de sier at tegnet til funksjonene f(x) og g(x) på mengden M er bevart. Eksempel 1.
Løs ligningen Solution..gif" width="191" height="24 src="> Siden venstre side av ligningen for enhver verdi av x ikke overstiger én, og høyre side alltid ikke er mindre enn to, så har denne ligningen ingen løsninger. Svar: ingen løsninger. Eksempel 2.
Løs ligningen Løsning. Det er åpenbart at x=0, x=1, x=-1 er løsninger til ligning (9)..gif" width="36" height="19">, siden hvis er løsningen, så er (-) også hans avgjørelse. La oss dele mengden x>0, , i to intervaller (0;1) og (1;+∞). La oss omskrive ligning (9) i formen https://pandia.ru/text/78/500/images/image103_1.gif" width="104" height="28">.gif" width="99" height= "25 src=">bare positive. Følgelig har ligning (9) ingen løsninger på dette intervallet. La x tilhøre intervallet (1;+∞). For hver av disse verdiene x funksjonen Hvis x>2, så , og dette betyr at på intervallet (2;+∞) har ligning (9) heller ingen løsninger. Så, x=0, x=1 og x=-1 og bare disse er løsninger på den opprinnelige ligningen. Svar: Eksempel 3.
Løs ulikhet Løsning. ODZ for ulikhet (10) er alle reelle x, bortsett fra x=-1. La oss dele ODZ i tre sett: -∞<х<-1, -1 La -∞<х<-1..gif" width="93" height="24 src=">. Følgelig er alle disse x løsninger på ulikhet (10). La -1 La 0 Svar: -∞<х<-1; 0 Eksempel 4.
Løs ligningen Løsning. La oss betegne Tenk på x fra intervallet. På dette intervallet kan ligning (11) skrives om i formen , det vil si i formen Det er klart at x = 0 er en løsning til ligning (12), og derfor tilsvarer den opprinnelige ligningen..gif" width="39" height="19"> ligning (12) ligningen For enhver verdi Svar: x=0, ; https://pandia.ru/text/78/500/images/image139_0.gif" width="211" height="41">. (13) Løsning. La det være en løsning på ligning (13), da gjelder følgende likhet: og ulikheter https://pandia.ru/text/78/500/images/image142_1.gif" width="68" height="27 src=">. Fra gyldigheten av ulikhetene får vi at venstre side av likhet (14) har det samme tegnet som , det vil si det samme tegnet som , og høyresiden er det samme tegnet som . Men siden og tilfredsstiller likhet (14), har de samme tegn. La oss omskrive likhet (14) i skjemaet https://pandia.ru/text/78/500/images/image147_0.gif" width="284" height="24"> La oss omskrive likhet (15) i skjemaet Siden de har samme tegn, så ..gif" width="95" height="24">. (17) Det er åpenbart at enhver løsning til ligning (17) er en løsning på ligning (13). Derfor er ligning (13) ekvivalent med ligning (17). Løsningene til ligning (17) er Svar: Kommentar. Akkurat som i eksempel 5, kan det bevises at Eq. hvor n, m er alle naturlige tall, er ekvivalent med ligningen, og løs deretter denne enklere ligningen. 2. 3. Bruke monotonisiteten til funksjonen. Å løse likninger og ulikheter ved å bruke monotonisitetsegenskapen er basert på følgende utsagn. La f(x) være en kontinuerlig og strengt monoton funksjon på intervallet L, så kan ligningen f(x)=C, hvor C er en gitt konstant, ha maksimalt én løsning på intervallet L. La f(x) og g(x) er kontinuerlige funksjoner på intervallet L, f(x) øker strengt, og g(x) minker strengt tatt på dette intervallet, da kan ligningen f(x)=g(x) ha maksimalt én løsning på intervallet L. Merk at intervallet L kan være et uendelig intervall (-∞; +∞), semi-uendelige intervaller (a; +∞), (-∞; a), [a; +∞), (-∞; a], segmenter, intervaller og halvintervaller. Eksempel 1.
Løs ligningen Løsning. Selvfølgelig kan ikke x0 være en løsning på ligning (18), siden den gang Svar: x=1. Eksempel 2.
Løs ulikhet Løsning. Hver av funksjonene , , er kontinuerlig og strengt økende på hele aksen. Dette betyr at den opprinnelige funksjonen er den samme Svar: -∞ Eksempel 3.
Løs ligningen Løsning. Området for tillatte verdier av ligning (20) er intervallet. På rekkevidden av gyldige verdier for funksjonen Svar: x=2. Eksempel 4.
Løs ulikhet Løsningen... gif" width="95" height="25 src="> er presentert i figur 7. Av figuren følger det at for alle x fra ODZ er ulikhet (26) gyldig. La oss bevise det. For hver vi har , og for hver slik x har vi at https://pandia.ru/text/78/500/images/image211_1.gif" width="63 height=23" height="23"> vi ha Eksempel 2.
Løs ligningen Solution..gif" width="123" height="24"> og Svar: det finnes ingen løsninger. Eksempel 3.
Løs ligningen Solution..gif" width="95" height="25 src="> er presentert i figur 9. Det er lett å sjekke at punktet (-1; -2) er skjæringspunktet for grafene til funksjonene f( x) og g(x), det vil si at x = -1 er en løsning på ligning (28). La oss tegne en rett linje y = x - 1. Av figuren følger det at den er plassert mellom grafene til funksjonene. y = f (x) og y = g (x) at ligningen (28) ikke har andre løsninger. For å gjøre dette, beviser vi at x fra intervallet (-1; +∞) ulikhetene og , og for x fra intervallet (-∞; -1) ulikhetene https://pandia.ru/text/78/500 /images/image229_1 .gif" width="89" height="21 src=">. Ulikheten er åpenbart gyldig for x>-1, og ulikheten https://pandia.ru/text/78/500/ images/image228_1.gif" width="93" height="24">..gif" width="145" height="25"> Løsningene på denne ulikheten er alle x<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1. Følgelig er den nødvendige setningen bevist, og ligning (28) har en enkelt rot x=-1. Svar: x=-1. Eksempel 4.
Løs ulikhet Solution..gif" width="39" height="19 src=">, det vil si at ODZ består av tre mellomrom, , https://pandia.ru/text/78/500/images/image234_1.gif" width= "52" height="41">, tilsvarer ulikhet og i området x>0 er det ekvivalent med ulikheten Funksjonsgrafskisser Derfor har ulikhet (31) ingen løsninger, og ulikhet (30) vil ha løsninger på alle x fra intervallet . La oss bevise det. A) La . Ulikhet (29) tilsvarer ulikhet (30) på dette intervallet. Det er lett å se at for hver x fra dette intervallet er følgende ulikheter sanne: Følgelig har ulikhet (30), og sammen med den den opprinnelige ulikheten (29), ingen løsninger på intervallet . B) La . Da er ulikhet (29) også ekvivalent med ulikhet (30). For hver x fra dette intervallet Følgelig er enhver slik x en løsning på ulikhet (30), og derfor på den opprinnelige ulikheten (29). C) La x>0. På dette settet er den opprinnelige ulikheten ekvivalent med ulikhet (31). Åpenbart, for enhver x fra dette settet er følgende ulikheter sanne: Dette innebærer: 1) ulikhet (31) har ingen løsninger på settet hvor 2)
ulikhet (31) har ingen løsninger på settet der https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19">. Det gjenstår å finne løsninger på ulikhet (31 ) som tilhører intervall 1 Ideen om en grafisk metode for å løse en ligning er enkel. Det er nødvendig å konstruere grafer av funksjonene på begge sider av ligningen og finne abscissen til skjæringspunktene. Men å tegne noen funksjoner er vanskelig. Det er ikke alltid behov for å ty til å plotte grafer. Slike ligninger kan løses ved hjelp av rotutvelgelsesmetoden, ved å bruke egenskapene til monotonisitet og avgrensning av funksjoner. Dette lar deg ganske raskt løse oppgavene som tilbys når du består Unified State-eksamenen. Kommunal utdanningsinstitusjon "Gymnasium nr. 24" Funksjonell-grafisk metode Løsninger av ligninger. Utarbeidet av læreren Danilina Olga Sergeevna. Magadan 2007 «
Funksjonell - grafisk metode for å løse ligninger" Mål for leksjonen: å utvikle evnen til å løse ligninger av en bestemt type ved hjelp av en funksjonell-grafisk metode, ved å bruke egenskapene til avgrensethet og monotoni av funksjoner Leksjonsstruktur: Innledningsforedrag av lærer, innføring i timens tema, målsetting Oppdatering av tidligere ervervet kunnskap som er nødvendig for å mestre leksjonstemaet Presentasjon av foredragsholdere, inneholdende presentasjon av nytt materiale med eksempler på løsninger på ulike typer ligninger Arbeid i grupper med det formål å primært konsolidere det som er lært Gjennomføre et spill som ligner på spillet: «Hva? Hvor? Når?" Oppsummering av leksjonen. Spørsmål til klassen; Hva lærte du i dagens leksjon? Hvilke likninger kan løses ved hjelp av seleksjonsmetoden? Hvilke egenskaper til funksjoner brukes i dette tilfellet. Spørsmål til spilldeltakerne: Kjære eksperter, finn roten til denne ligningen på ett minutt og bevis at den er den eneste. Svar: Summen av to økende funksjoner er en økende funksjon. y = - øker monotont, derfor har ligningen én rot, fordi grafen til denne funksjonen skjærer den rette linjen y=3 én gang. Når x=1 får vi riktig likhet. Svar: x=1 Kjære eksperter, på ett minutt, navngi funksjonene som finnes på begge sider av ulikheten og finn roten til denne ligningen. Svar: y = - eksponentiell funksjon økende på settet av reelle tall. y=6 - x er en lineær funksjon, den avtar monotont på settet med reelle tall. Dette betyr at grafene til funksjonene skjærer hverandre i ett punkt, ligningen har én rot. Når x=2 får vi riktig likhet. Svar: x=2 3. Kjære eksperter, dere vet allerede at ligningen har en enkelt rot x=3. På ett minutt, svar på hvilke verdier av x ulikheten har. Svar: ulikheten gjelder for x Є, fordi på dette intervallet er grafen til funksjonen y = plassert under grafen til funksjonen y = 4. Kjære eksperter, mange mennesker har problemer med å løse ligningen. Finn roten til denne ligningen på ett minutt og bevis at den er unik. Svar: roten av ligningen x = -3 er unik, fordi venstre side av ligningen inneholder en avtagende funksjon, og høyre side inneholder en økende, noe som betyr at grafene til funksjonene krysser hverandre på ett punkt og ligningen har en enkelt rot. 5. Kjære eksperter, jeg har et vanskelig spørsmål til dere. Du kan enkelt finne roten til ligningen. Bevis at han er den eneste. Svar: x=1 er den eneste roten. Funksjonell - grafisk metode for å løse ligninger. ________________________________________________________________________
Mål for leksjonen: Lære å løse ligninger ved hjelp av substitusjonsmetoden, ved å bruke egenskapene til monotonisitet og avgrensning av funksjoner. _________________________________________________________________________
Referansemateriale Eksempel 1: Eksempel 2: er avtagende funksjoner Referansemateriale 2. Summen av to økende funksjoner er en økende funksjon. Eksempel: 3. Summen av to synkende funksjoner er en synkende funksjon. Algebra og begynnelsen av analyse, klasse 1011 (A.G. Mordkovich) I løpet av timene: 3 Godt gjort, alle fikk de samme svarene, har spørsmål om lekser 0 8 4 a)3x+26x=0 (ingen løsninger) Ivanova Anastasia Oppgave nr. 15 ved spesialisteksamen i matematikk er en oppgave med økt kompleksitet, som representerer ulikhet. Ved løsning av disse ulikhetene må studentene demonstrere kunnskap om teoremer om ekvivalens av ulikheter av en bestemt type, og evne til å bruke standard og ikke-standard løsningsmetoder. En analyse av innholdet i skolebøkene viser at i de fleste av dem blir metoder for å løse ulikheter ved å bruke egenskapene til funksjoner ikke gitt behørig oppmerksomhet, og i Unified State Examination-oppgavene foreslås nesten hvert år ulikheter, hvis løsning er forenklet. hvis egenskapene til funksjoner brukes. I følge statistikk presentert på nettstedet til Federal Institute of Pedagogical Measurements, i 2017, mottok omtrent 15 % av eksamensdeltakerne ikke-null poeng for denne oppgaven; maksimal poengsum er omtrent 11 %. Alt som er notert tyder på at studentene opplever store vanskeligheter med å løse oppgave nr. 15 i Unified State Exam. Mål: Utforsk ulike måter å løse ulikheter på.
: 1. Studer teoretisk materiale om dette emnet. 2. Vurder eksemplene som tilbys i Unified State Exam-oppgavebanken på nettstedet til Federal Institute of Pedagogical Measurements. 3. Studere funksjonell-grafiske metoder for å løse ulikheter. 4. Sammenlign ulike metoder for å løse ulikheter. 5. Sjekk eksperimentelt hvilken metode for å løse ulikheter som er den mest rasjonelle. Forskningsmetoder: undersøkelse, avhør, analyse, sammenligning og syntese av resultater. I vårt arbeid studerte vi funksjonell-grafiske metoder for å løse ulikheter. Ulike metoder for å løse ulikheter ble sammenlignet. Vi sjekket eksperimentelt hvilken metode for å løse ulikheter som er den mest rasjonelle. Og de kom frem til at eleven må kunne flere måter å løse ulikheter på for å spare tid og redusere risikoen for logiske og beregningsmessige feil. Studie av ulike metoder for å løse ulikheter Ivanova Anastasia Evgenevna 11b klasse Vitenskapelig artikkel (jobbbeskrivelse) 1. Introduksjon Relevans. Oppgave nr. 15 i den spesialiserte eksamen i matematikk er en oppgave med økt kompleksitet, som representerer ulikhet (rasjonell, irrasjonell, eksponentiell, logaritmisk). Ved løsning av disse ulikhetene må studentene demonstrere kunnskap om teoremer om ekvivalens av ulikheter av en bestemt type, og evne til å bruke standard og ikke-standard løsningsmetoder. En fullstendig korrekt løsning på denne oppgaven er verdt 2 poeng. Når du løser et problem, er alle matematiske metoder akseptable - algebraiske, funksjonelle, grafiske, geometriske, etc. I følge statistikk presentert på nettstedet til Federal Institute of Pedagogical Measurements, i 2017, mottok omtrent 15 % av eksamensdeltakerne ikke-null poeng for denne oppgaven; maksimal poengsum er omtrent 11 %. Typiske feil er assosiert med uoppmerksom lesing av den matematiske notasjonen av ulikheter, misforståelse av algoritmen for å løse aggregater og systemer med logaritmiske ulikheter. Mange feil ble gjort av eksamensdeltakere når de løste rasjonelle brøkforskjeller (nevneren ble glemt). Resultatene av å fullføre oppgave nr. 15 av elever på skolen vår på Unified State-eksamen i matematikk er presentert i tabell 1 og i diagrammet (fig. 1). Tabell 1 Resultater av oppgave nr. 15 av elever på skolen vår Figur 1. Resultater av oppgave nr. 15 av elever på skolen vår Resultatene av oppgave nr. 15 om prøvebyeksamen av klassetrinn 11a,b skoleåret 2017-2018. år er presentert i tabell 2 og i diagrammet (fig. 2). tabell 2 Resultater av oppgave nr. 15 på prøvebyeksamen i studieåret 2017-2018. år av elever på skolen vår Fig.2. Resultatene av oppgave nr. 15 på prøveeksamen studieåret 2017-2018. år av elever på skolen vår Vi gjennomførte en undersøkelse av matematikklærere ved skolen vår og identifiserte hovedproblemene som elevene har når de løser ulikheter: feil bestemmelse av spekteret av akseptable verdier av ulikheter; vurdering av ikke alle tilfeller av overgang fra logaritmisk ulikhet til rasjonell; konvertering av logaritmiske uttrykk; feil ved bruk av intervallmetoden osv. En rekke typiske feil er knyttet til bruk av intervallmetoden og innføring av en hjelpevariabel. For eksempel kan en feil ved å bestemme tegn på intervaller eller feil plassering av tall på en koordinatlinje, i henhold til kriteriene, tolkes som beregningsfeil. Andre relatert til å hoppe over trinn i algoritmen eller utføre dem feil, får 0 poeng. Alt som er notert tyder på at elevene opplever store vanskeligheter med å løse oppgave nr. 15 i Unified State Exam i matematikk. I denne forbindelse har vi fremmet hypotese : hvis en student kan flere måter å løse ulikheter på, vil han kunne velge den mest rasjonelle. Studieobjekt: ulikheter. Studieemne: ulike måter å løse ulikheter på. Mål : Utforsk ulike måter å løse ulikheter på. For å nå dette målet ble følgende oppgaver løst:
2. Hoveddel 2.1. Teoretisk del 1. Lineære ulikheter Lineære ulikheterer ulikheter i formen: ax + b 0; øks+b≥0; ax+b≤0, hvor a og b – alle tall, og a≠0,x - ukjent variabel. Regler for å transformere ulikheter: 1.
Ethvert ledd i ulikheten kan overføres fra en del av ulikheten til en annen, og endre tegnet til det motsatte. 2.
Begge sider av ulikheten kan multipliseres/deles med det samme positive tallet for å få en ulikhet tilsvarende den gitte. 3.
Begge sider av ulikheten kan multipliseres/deltes med det samme negative tallet, og snu tegnet på ulikheten. 2. Kvadratiske ulikheter Ulikhet i formen der x er en variabel, a, b, c er tall, kalles kvadrat. Når du løser en kvadratisk ulikhet, er det nødvendig å finne røttene til den tilsvarendekvadratisk ligning
3. Rasjonelle ulikheter Rasjonell ulikhetmed én variabel kalles x en ulikhet på formen f(x) uttrykk, dvs. algebraiske uttrykk bygd opp av tall, variabelen x og ved hjelp av matematiske operasjoner, dvs. operasjoner med addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og heving til naturlige potenser.Algoritme for å løse rasjonelle ulikheter ved hjelp av intervallmetoden(vedlegg 1). 4. Eksponentielle ulikheter Eksponentiell ulikhet– dette er ulikhet , der det ukjente er i eksponenten. Det enklesteeksponentiell ulikhet har formen: a x ‹ b eller a x › b, hvor a> 0, a ≠ 1, x er ukjent. 5. Logaritmiske ulikheter Logaritmisk ulikhetkalt en ulikhet der den ukjente mengden er under tegnetlogaritme
.
1. Ulikhet hvis reduseres til tilsvarende ulikhet. Hvis – så til ulikhet.
Tilsvarende ulikhetentilsvarer ulikhetene for: ; For: . Løsningene på de oppnådde ulikhetene må krysses med ODZ: 2. Løse en logaritmisk ulikhet av formentilsvarer å løse følgende systemer: EN) Ulikhet i hvert av de to tilfellene er det redusert til ett av systemene: EN) 6. Irrasjonelle ulikheter Hvis ulikheten inkluderer funksjoner under rottegnet, kalles slike ulikheter irrasjonell.
2.2. Praktisk del Studie #1 Mål : Lær metoden for begrenset funksjon. Framgang: 1. Studer metoden for begrensede funksjoner. 2. Løs ulikheter ved denne metoden. For å bruke avgrensningen til en funksjon, må du være i stand til å finne settet med verdier til en funksjon og kjenne estimater av verdiområdet til standardfunksjoner (for eksempel,) .
Eksempel #1 . Løs ulikhet: Løsning: Domene: For alle x fra det resulterende settet har vi: Derfor løsningen på ulikheten Svar: Eksempel nr. 2. Løs ulikhet: Løsning: Fordi Denne ulikheten er ekvivalent Den første ligningen i systemet har én rot x = - 0,4, som også tilfredsstiller den andre ligningen. Svar: - 0,4 Konklusjon: Denne metoden er mest effektiv dersom ulikheten inneholder funksjoner som f.eksog andre, hvis rekkevidde er begrenset over eller under. Studie #2 Mål : studere metoden for å rasjonalisere løsningen av ulikheter. Framgang: 1. Studer rasjonaliseringsmetoden. 2. Løs ulikheter ved denne metoden. Rasjonaliseringsmetoden består i å erstatte det komplekse uttrykket F(x) med et enklere uttrykk G(x), der ulikheten G(x) v 0 er ekvivalent med ulikheten F(x) v 0 på definisjonsdomenet til uttrykk F(x) (symbol "v" erstatter ett av ulikhetstegnene: ≤, ≥, >, La oss fremheve noen typiske uttrykk F og de tilsvarende rasjonaliserende uttrykkene G (tabell 1), der f, g, h, p, q er uttrykk med variabel x (h>0, h≠1,f>0,g>0) , et -fast tall (a>0, a≠1). (Vedlegg 2). Eksempel nr. 1. Løs ulikhet: O.D.Z: Svar: Eksempel nr. 2. Løs ulikhet: O.D.Z: Tar vi hensyn til definisjonsdomenet, får vi Svar: Konklusjon : Ulikheter med logaritmer til en variabel base er de vanskeligste. Rasjonaliseringsmetoden lar deg flytte fra ulikheter som inneholder kompleks eksponentiell, logaritmisk, etc. uttrykk, til dets tilsvarende enklere rasjonelle ulikhet. Rasjonaliseringsmetoden sparer ikke bare tid, men reduserer også risikoen for logiske feil og beregningsfeil. Studie #3 Mål : i prosessen med å løse ulikheter, sammenligne ulike metoder. Framgang: 1. Løs ulikhetved hjelp av ulike metoder. 2. Sammenlign resultatene og trekk en konklusjon. Eksempel nr. 1. Løs ulikhet Løsning: 1 vei. Algebraisk metode Løsning av det første systemet: Vi løser den andre ulikheten i det andre systemet: Metode 2 . Bruke funksjonsomfang Domene: For disse x-verdiene får vi: Høyresiden av ulikheten er negativ på sitt definisjonsdomene. Derfor er ulikheten gyldig for Svar: 3 veis. Grafisk metode Konklusjon : mens jeg løste ulikheten ved hjelp av den algebraiske metoden, kom jeg til en ulikhet av sjette grad, brukte mye tid på å løse den, men klarte ikke å løse den. En rasjonell metode, etter min mening, er å bruke funksjonen domene eller grafisk. Eksempel nr. 2. Løs ulikhet:.
Svar: Konklusjon: Jeg klarte å løse denne ulikheten kun takket være rasjonaliseringsmetoden. Konklusjon En analyse av innholdet i skolebøkene viser at i de fleste av dem blir metoder for å løse ulikheter ved å bruke egenskapene til funksjoner ikke gitt behørig oppmerksomhet, og i Unified State Examination-oppgavene foreslås nesten hvert år ulikheter, hvis løsning er forenklet. hvis egenskapene til funksjoner brukes. De fleste elever løser ulikheter ved hjelp av standard, algoritmiske metoder, noe som noen ganger resulterer i tungvinte beregninger. I denne forbindelse er prosentandelen av fullføring av oppgave nr. 15 på Unified State-eksamen lav. Anvendelsesområdet for egenskapene til funksjoner for å løse ulikheter er veldig bredt. Bruken av egenskaper (avgrensethet, monotonitet, etc.) til funksjonene inkludert i ulikhetene tillater bruk av ikke-standardiserte løsningsmetoder. Evnen til å bruke de nødvendige egenskapene til funksjoner ved løsning av ulikheter kan etter vår mening tillate elevene å velge en mer rasjonell løsning. I vårt arbeid studerte vi funksjonell-grafiske metoder for å løse ulikheter. Ulike metoder for å løse ulikheter ble sammenlignet. Vi sjekket eksperimentelt hvilken metode for å løse ulikheter som er den mest rasjonelle. Og de kom frem til at eleven må kunne flere måter å løse ulikheter på for å spare tid og redusere risikoen for logiske og beregningsmessige feil. Målene for arbeidet vårt er fullført, målet er nådd, hypotesen er bekreftet. Litteratur: For å bruke forhåndsvisninger av presentasjoner, opprett en Google-konto og logg på den: https://accounts.google.com Studie av ulike metoder for å løse ulikheter Ivanova Anastasia Evgenievna MBOU "Videregående skole nr. 30 med fordypning av enkeltfag" Resultater av oppgave nr. 15 av elever på skolen vår Resultatene av oppgave nr. 15 på prøveeksamen studieåret 2017-2018. år av elever på skolen vår Hypotese: hvis en student kan flere måter å løse ulikheter på, vil han kunne velge den mest rasjonelle Studieobjektet: ulikheter Studieemne: ulike måter å løse ulikheter på Mål: Utforske ulike måter å løse ulikheter på. For å nå dette målet ble følgende oppgaver løst: Studer teoretisk stoff om dette temaet. Vurder eksemplene som tilbys i Unified State Exam-oppgavebanken på nettstedet til Federal Institute of Pedagogical Measurements. Studer funksjonell-grafiske metoder for å løse ulikheter. Sammenlign ulike metoder for å løse ulikheter. Sjekk eksperimentelt hvilken metode for å løse ulikheter som er den mest rasjonelle. Studie nr. 1 Formål: Å studere metoden med begrenset funksjon. Fremdrift: 1. Studer metoden for begrensede funksjoner. 2. Løs ulikheter ved å bruke denne metoden. Eksempel nr. 1. Løs ulikheten: Løsning: Domene: For alle x fra det resulterende settet har vi: Derfor, løsningen på ulikheten Svar: Eksempel nr. 2. Løs ulikheten: Løsning: Fordi Denne ulikheten er ekvivalent Den første ligningen i systemet har én rot x = - 0,4, som også tilfredsstiller den andre ligningen. Svar: - 0.4 Konklusjon: denne metoden er mest effektiv hvis ulikheten inneholder funksjoner, som andre, hvis verdiområder er begrenset over eller under. Studie nr. 2 Formål: å studere en metode for å rasjonalisere løsningen av ulikheter. Fremdrift: 1. Studer rasjonaliseringsmetoden. 2. Løs ulikheter ved å bruke denne metoden. Eksempel nr. 1. Løs ulikheten: O.D.Z: Tar vi hensyn til definisjonsdomenet, får vi Svar: Eksempel nr. 2. Løs ulikheten: O.D.Z: Tatt i betraktning definisjonsdomenet får vi Svar: Konklusjon: ulikheter med logaritmer til variabel base gir størst vanskeligheter. Rasjonaliseringsmetoden lar deg flytte fra ulikheter som inneholder kompleks eksponentiell, logaritmisk, etc. uttrykk, til dets tilsvarende enklere rasjonelle ulikhet. Rasjonaliseringsmetoden sparer ikke bare tid, men reduserer også risikoen for logiske feil og beregningsfeil. Studie nr. 3 Formål: i prosessen med å løse ulikheter, sammenligne ulike metoder. Fremdrift: 1. Løs ulikheten ved hjelp av ulike metoder. 2. Sammenlign resultatene og trekk en konklusjon. Eksempel nr. 1. Løs ulikhet 1 måte. Algebraisk metode Løse det første systemet: Løse den andre ulikheten i det andre systemet: 2. metode. Bruk av definisjonsdomenet til en funksjon Definisjonsdomene: For disse verdiene av x får vi: Høyresiden av ulikheten er negativ på definisjonsdomenet. Derfor er ulikheten gyldig for 3 veis. Grafisk metode Konklusjon: ved å løse ulikheten ved hjelp av den algebraiske metoden kom jeg til en ulikhet av sjette grad, brukte mye tid på å løse den, men klarte ikke å løse den. En rasjonell metode, etter min mening, er å bruke funksjonen domene eller grafisk. Eksempel nr. 2. Løs ulikheten: Svar: Konklusjon: Jeg klarte å løse denne ulikheten kun takket være rasjonaliseringsmetoden. Anvendelsesområdet for egenskapene til funksjoner for å løse ulikheter er veldig bredt. Bruken av egenskaper (avgrensethet, monotonitet, etc.) til funksjonene inkludert i ulikhetene tillater bruk av ikke-standardiserte løsningsmetoder. Evnen til å bruke de nødvendige egenskapene til funksjoner ved løsning av ulikheter kan etter vår mening gjøre at elevene kan velge en mer rasjonell løsning. I vårt arbeid studerte vi funksjonell-grafiske metoder for å løse ulikheter. Ulike metoder for å løse ulikheter ble sammenlignet. Vi sjekket eksperimentelt hvilken metode for å løse ulikheter som er den mest rasjonelle. Og de kom frem til at eleven må kunne flere måter å løse ulikheter på for å spare tid og redusere risikoen for logiske og beregningsmessige feil. Målene for arbeidet vårt er fullført, målet er nådd, hypotesen er bekreftet. Takk for din oppmerksomhet! Funksjonell-grafisk metode for å løse ulikheten f(x)< g(x). 1. Подбором найдем корень уравнения f(x)=g(x), используя свойства монотонных функций; 2. Построим схематически графики обеих функций, проходящие через точку с найденной абсциссой; 3. Выберем решение неравенства, соответствующее знаку неравенства; 4. Запишем ответ. : "Ligninger av tredje grad" - (1). Tartaglia nekter. 12. februar gjentar Cardano forespørselen sin. "Flott kunst" X3 + px + q = 0. Eksempel: x3 – 5 x2 + 8 x – 4 = 0 x3 – 2 x2 –3 x2 + 8x – 4 = 0 x2 (x – 2) – (3 x2 – 8x + 4) = 0 3 x2 – 8x + 4 = 0 x = 2 x = 2/3 x2 (x – 2) – (3 (x –2) (x – 2/3)) = 0 x2 (x – 2) – (( x – 2) (3x – 2)) = 0 (x – 2)(x2 – 3x + 2) = 0 x – 2 = 0 x2 – 3x + 2 = 0 x = 2 x = 2 x = 1 Svar: x = 2; x = 1. Formelen vår gir: Kommunal utdanningsinstitusjon “Videregående skole nr. 24”. X3 + ax = b (1). Her er p = 6 og q = -2. Første eksempel: "Anvendelse av det bestemte integralet" - Kap. 4. Utvikling av et valgfag om temaet “Definite Integral”. Sikker integral. §4. Egenskaper til en bestemt integral. Ch. 2. Ulike tilnærminger til integralteori i lærebøker for skolebarn. §1. Volum av et revolusjonslegeme. §6. Introduksjon. Darboux summer. §3. Mekanisk arbeid. Mål: Tilnærminger til konstruksjon av integralteori: Innledende bemerkninger. §2. Integreringsmetoder. §3. Konklusjon. Kapittel 3. Anvendelse av en bestemt integral. §1. "Eksponentielle ligninger og ulikheter" - 2) Ekvivalent med ulikheten f(x)< g(x), 0<а<1. "Что значит решить задачу? Обоснование: 12). Сравните основание а с единицей: Если 0
=> x=π, ved k=01.3. Funksjonell substitusjonsmetode
Trigonometrisk ligning av formen
(1)
det vil si at ODZ består av to tall og . Ved å erstatte med ulikhet (2), finner vi at venstre side er lik 0, høyre side er lik https://pandia.ru/text/78/500/images/image070_1.gif" width="53" høyde ="23"> gif" width="117 høyde=41" høyde="41">.
(3)
(6)
. (7)
(8)
(9)
tar positive verdier, er funksjonen https://pandia.ru/text/78/500/images/image105_1.gif" width="99" height="25 src="> ikke-positiv. Derfor, på dette intervallet, ligning (9) har ingen løsninger.
(11)
via f(x). Fra definisjonen av absolutt verdi følger det at f(x)= ved , https://pandia.ru/text/78/500/images/image120_1.gif" width="84" height="41 src=">. gif" width="43" height="41 src=">. Derfor, hvis , så kan ligning (11) skrives om i formen , det vil si i formen ..gif" width="53" height="41"> tilfredsstille bare 
. Hvis , kan ligning (11) skrives om som https://pandia.ru/text/78/500/images/image128_0.gif" width="73 height=41" height="41">. Denne ligningen har løsninger 
. Bare av disse x-verdiene 
.
, funksjonen tar bare positive verdier, derfor har ligning (12) ingen løsninger på settet 
.
(14)
, de og bare de er løsninger på ligning (13).
(18)
. For funksjon x>0 
kontinuerlig og strengt økende, som produktet av to kontinuerlige positive, strengt økende funksjoner f=x og https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34" > tar hver av verdiene på nøyaktig ett punkt Det er lett å se at x=1 er en løsning på ligning (18), derfor er dette den eneste løsningen.
. (19)
. Det er lett å se at for x=0 funksjonen tar verdien 3. På grunn av kontinuiteten og den strenge monotoniteten til denne funksjonen for x>0 har vi 
, ved x<0 имеем . Følgelig er løsninger på ulikhet (19) alle x<0.
(20)
Og 
er kontinuerlige og strengt avtagende, derfor er funksjonen kontinuerlig og avtagende. Derfor tar funksjonen h(x) hver verdi bare på ett punkt. Siden h(2)=2, så er x=2 den eneste roten av den opprinnelige ligningen.
. Følgelig vil løsningene på ulikhet (26) være alle x fra intervallet [-1;1].
. (27)
er presentert i figur 8. La oss tegne en rett linje y=2. Det følger av figuren at grafen til funksjonen f(x) ikke ligger lavere enn denne linjen, og grafen til funksjonen g(x) ikke høyere. Dessuten berører disse grafene den rette linjen y=2 på forskjellige punkter. Derfor har ligningen ingen løsninger. La oss bevise det. For hver vi har , en . I dette tilfellet er f(x)=2 bare for x=-1, og g(x)=2 bare for x=0. Dette betyr at ligning (27) ikke har noen løsninger.
. (28)
.
(29)
, (30)
. (31)
og er vist i figur 10..gif" width="56" height="45"> og .
,
.
,
,
, det vil si at ulikhet (31) ikke har noen løsninger på settet;Nedlasting:
Forhåndsvisning:
Utvikle en leksjon om funksjonell grafisk løsningsmetode
ligninger.
Leksjonsemne: Funksjonell grafisk metode for å løse ligninger.
Leksjonstype: Leksjon om å forbedre kunnskap om ferdigheter og evner.
Leksjonens mål:
Pedagogisk: Systematisere, generalisere, utvide kunnskap og ferdigheter
studenter knyttet til bruk av funksjonell grafisk metode
løse ligninger. Øve ferdigheter i å løse likninger funksjonelt
grafisk metode.
Utviklingsmessig: Utvikling av hukommelse, logisk tenkning, ferdigheter
analysere, sammenligne, generalisere, trekke konklusjoner uavhengig;
utvikling av kompetent matematisk tale.
Pedagogisk: å dyrke nøyaktighet og presisjon når du utfører
oppgaver, uavhengighet og selvkontroll; dannelse av kultur
pedagogisk arbeid; fortsette å utvikle kognitiv interesse for
Emne.
Leksjonsstruktur:
JEG.
AZ
1. Organisatorisk øyeblikk.
4. Sette mål og mål for neste trinn i leksjonen.
II.
MORO
1. Kollektiv problemløsning.
2. Sette lekser.
3. Selvstendig arbeid.
4. Oppsummering av leksjonen.
I.AZ
1. Organisatorisk øyeblikk.
2. Muntlig arbeid for å sjekke lekser.
La oss starte leksjonen med å sjekke leksene dine.
Nevn svarene i en kjede.
1358.a)4x=1/16
4x=42
b)(1/6)x=36
6x=62
x=2 x=2
1364.a)(1/5)x*3x= √ 27
5
¿
3
5
¿
)x=
125 b)5x*2x=0,13
)3/2 10x=103
x=3
x=1,5
1366.a)22x6*2x+8=0
2x=a
a=2, a=4
2x=2, 2x=4
x=1, x=2
1367. b)2*4x5*2x+2=0
2x=a
2a25a+2=0
a=2, a=1/2
2x=2, 2x=1/2
x=1, x=1
1371.a)5x=x+6 y=5x y=x+6
y
6
5
0
1
x
x=1
oppgave? Klarte dere alle?
3. Frontal undersøkelse for formålet med A-Å om emnet.
Hva heter ligningene du løste i leksene dine?
Veiledende.
Hvilke ligninger kalles eksponentielle?
Eksponentialligninger er likninger av formen af(x)=ag(x), hvor a
et positivt tall annet enn 1, og ligninger som reduserer til dette
sinn.
Hvilken ligning tilsvarer ligningen af(x)=ag(x)?
ligningen af(x)=ag(x) (hvor a>0,a ≠1) er ekvivalent med ligningen f(x)=g(x)
Hvilke grunnleggende metoder brukte du for å løse eksponentialligninger?
1) Metode for utjevning av indikatorer
2) Metode for å introdusere en ny variabel
3) Funksjonell grafisk metode
4. Sette mål og mål for neste trinn i leksjonen.
I dag skal vi se nærmere på å løse likninger ved hjelp av
funksjonell - grafisk metode.
10 minutter før slutten av timen skal du skrive et kort selvstendig arbeid.
II.MORO
1. Kollektiv problemløsning.
Hva er essensen av den funksjonelle grafiske metoden for å løse ligninger? Hva
skal vi løse ligningen på denne måten?
Å løse en ligning av formen f(x)=g(x) funksjonelt
metode du trenger:
Konstruer grafer for funksjonene y=f(x) og y=g(x) i samme koordinatsystem.
Bestem koordinatene til skjæringspunktet til grafene til disse funksjonene.
Skriv ned svaret.
№1a)3x=x+4
Funksjonell og grafisk.
La oss introdusere funksjonene.
y=3x y=x+4
bord.
Hvordan lager vi en timeplan?
Punkt for punkt, sett inn x i funksjonen og finn y.
y
4
3
1
x
La oss finne skjæringspunktet mellom de to resulterende grafene.
Hvor mange skjæringspunkter har vi, se på bildet?
Et poeng.
Hva betyr det? Hvor mange røtter har denne ligningen?
En rot er lik 1.
Svar: x=1
b)3x/2=0,5x+4
Hvilken metode skal vi bruke for å løse ligningen?
Funksjonell og grafisk.
Hva er det første trinnet i å løse ligningen?
La oss introdusere funksjonene.
Hvilke funksjoner kan vi få?
y=3x/2 y=0,5x+4
y
4
3
0
2 x
Hvordan finner vi roten til ligningen?
Svar: x=2
№2 a)2x+1=x3
Hvilken metode skal vi bruke for å løse ligningen?
Funksjonell og grafisk.
Hva er det første trinnet i å løse ligningen?
La oss introdusere funksjonene.
Hvilke funksjoner kan vi få?
y=2x+1 y= x3
0
2 x
Hvordan finner vi roten til ligningen?
La oss finne skjæringspunktet mellom de to resulterende grafene, roten er 2.
Svar: x=2
b)2x=(x2/2)+2
Hvilken metode skal vi bruke for å løse ligningen?
Funksjonell og grafisk.
Hva er det første trinnet i å løse ligningen?
La oss introdusere funksjonene.
Hvilke funksjoner kan vi få?
y=2x y= (x2/2)+2
Hvis eleven kan, bygg en graf med en gang hvis ikke, lag først en graf.
bord.
y
0
2 x
Hvordan finner vi roten til ligningen?
La oss finne skjæringspunktet mellom de to resulterende grafene, roten er 2.
Svar: x=2
2.Åpne dagbøkene og skriv ned leksene dine.
nr. 1372, 1370, 1371 (c, d)
3.Selvstendig arbeid.
b)5x/5+x1=0 (x=0)
Og nå litt selvstendig arbeid. La oss sjekke hvordan du lærte
materiale, har dere alle forstått essensen av den funksjonelle grafiske metoden
løse ligninger.
nr. 1 Løs ligningen ved hjelp av en funksjonell grafisk metode:
1 alternativ
Alternativ 2
a)5x/5=x2 (ingen løsninger)
b)3x+23=0 (x=1)
nr. 2 Hvor mange røtter har ligningen og i hvilket intervall ligger de?
1 alternativ
a) 3x=x22 (ingen løsninger) a) 3x=x2+2 ((1,5;1) to røtter)
b)3x/2=6x ((3;3.5) to røtter) b)2x+x25=0 (2.5;1.5) to røtter)
4. Oppsummering av leksjonen.
Hva gjorde vi i klassen i dag? Hva slags oppgaver ble løst?
Hvilken metode for å løse eksponentielle ligninger har du mestret i dag?
La oss gjenta nok en gang hva som er essensen av den funksjonell-grafiske løsningsmetoden
ligninger?
Forklar trinn for trinn hvordan ligninger løses ved hjelp av denne metoden?
Har du spørsmål? Er alt klart for alle?
Leksjonen er over, du kan være fri.
Alternativ 2Nedlasting:
Forhåndsvisning:
Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon
"Ungdomsskole nr. 30 med fordypning i enkeltfag"
. For å gjøre dette må du finnediskriminerende
av denne andregradsligningen. Du kan få 3 tilfeller: 1) D=0 , en andregradsligning har én rot; 2) D>0 en andregradsligning har to røtter; 3)D en andregradsligning har ingen røtter. Avhengig av de oppnådde røttene og tegnet på koeffisienten en en av seks mulige stederfunksjonsgrafikk
(vedlegg 1).
b) 
b) 
.
Forhåndsvisning:
Lysbildetekster:
Algebra 11. klasse
oppsummering av andre presentasjoner