Vi fortsetter å se på måter å løse ulikheter som involverer én variabel. Vi har allerede studert lineære og kvadratiske ulikheter, som er spesielle tilfeller av rasjonelle ulikheter. I denne artikkelen vil vi avklare hvilken type ulikheter som anses som rasjonelle, og vi vil fortelle deg hvilke typer de er delt inn i (heltall og brøk). Etter det vil vi vise hvordan du løser dem riktig, gi de nødvendige algoritmene og analysere spesifikke problemer.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Begrepet rasjonelle likheter
Når de studerer temaet å løse ulikheter i skolen, tar de umiddelbart rasjonelle ulikheter. De tilegner seg og finpusser ferdigheter i arbeidet med denne typen uttrykk. La oss formulere definisjonen av dette konseptet:
Definisjon 1
En rasjonell ulikhet er en ulikhet med variabler som inneholder rasjonelle uttrykk i begge deler.
Merk at definisjonen ikke på noen måte påvirker spørsmålet om antall variabler, noe som betyr at det kan være så mange av dem som ønskelig. Derfor er rasjonelle ulikheter med 1, 2, 3 eller flere variabler mulige. Som oftest må man forholde seg til uttrykk som inneholder kun én variabel, sjeldnere to, og ulikheter med et stort antall variabler vurderes vanligvis ikke i det hele tatt i skoleløpet.
Dermed kan vi gjenkjenne en rasjonell ulikhet ved å se på skriften. Den skal ha rasjonelle uttrykk både på høyre og venstre side. Her er noen eksempler:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Men her er en ulikhet på formen 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Alle rasjonelle ulikheter er delt inn i heltall og brøk.
Definisjon 2
Hele den rasjonelle likheten består av hele rasjonelle uttrykk (i begge deler).
Definisjon 3
Brøkdel rasjonell likhet er en likhet som inneholder et brøkuttrykk i en eller begge delene.
For eksempel er ulikheter på formen 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 og 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 brøk rasjonell og 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 år) Og 1: x + 3 > 0- hel.
Vi analyserte hva rasjonelle ulikheter er og identifiserte hovedtypene deres. Vi kan gå videre til en gjennomgang av måter å løse dem på.
La oss si at vi må finne løsninger på en hel rasjonell ulikhet r(x)< s (x) , som inkluderer bare én variabel x. Hvori r(x) Og s(x) representerer alle rasjonelle heltall eller uttrykk, og ulikhetstegnet kan variere. For å løse dette problemet må vi transformere det og få en tilsvarende likhet.
La oss starte med å flytte uttrykket fra høyre side til venstre. Vi får følgende:
av formen r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)
Vi vet det r (x) − s (x) vil være en heltallsverdi, og ethvert heltallsuttrykk kan konverteres til et polynom. La oss transformere r (x) − s (x) i h(x). Dette uttrykket vil være et identisk likt polynom. Tatt i betraktning at r (x) − s (x) og h (x) har samme rekkevidde av tillatte verdier av x, kan vi gå videre til ulikhetene h (x)< 0 (≤ , >, ≥), som vil tilsvare den originale.
Ofte vil en slik enkel transformasjon være nok til å løse ulikheten, siden resultatet kan være en lineær eller kvadratisk ulikhet, hvis verdi er lett å beregne. La oss analysere slike problemer.
Eksempel 1
Betingelse: løse en hel rasjonell ulikhet x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Løsning
La oss starte med å flytte uttrykket fra høyre side til venstre med motsatt fortegn.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Nå som vi har fullført alle operasjonene med polynomene til venstre, kan vi gå videre til den lineære ulikheten 3 x − 2 ≤ 0, tilsvarende det som ble gitt i tilstanden. Det er enkelt å løse:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Svar: x ≤ 2 3 .
Eksempel 2
Betingelse: finne løsningen på ulikheten (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).
Løsning
Vi overfører uttrykket fra venstre side til høyre og utfører ytterligere transformasjoner ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Som et resultat av transformasjonene våre mottok vi en ulikhet som vil være sann for alle verdier av x, derfor kan løsningen på den opprinnelige ulikheten være et hvilket som helst reelt tall.
Svar: et hvilket som helst tall egentlig.
Eksempel 3
Betingelse: løse ulikheten x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Løsning
Vi vil ikke overføre noe fra høyre side, siden det er 0 der. La oss starte med en gang med å konvertere venstre side til et polynom:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Vi har utledet en kvadratisk ulikhet tilsvarende den opprinnelige, som enkelt kan løses ved hjelp av flere metoder. La oss bruke en grafisk metode.
La oss starte med å beregne røttene til kvadrattrinomialet − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Nå på diagrammet markerer vi alle nødvendige nuller. Siden ledende koeffisient er mindre enn null, vil grenene til parablen på grafen peke nedover.
Vi vil trenge området til parabelen som ligger over x-aksen, siden vi har et >-tegn i ulikheten. Det nødvendige intervallet er (− 0 , 5 , 6) Derfor vil dette verdiområdet være løsningen vi trenger.
Svar: (− 0 , 5 , 6) .
Det er også mer komplekse tilfeller når et polynom av tredje eller høyere grad oppnås til venstre. For å løse slik ulikhet anbefales det å bruke intervallmetoden. Først beregner vi alle røttene til polynomet h(x), som oftest gjøres ved å faktorisere et polynom.
Eksempel 4
Betingelse: regne ut (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Løsning
La oss starte, som alltid, med å flytte uttrykket til venstre side, hvoretter vi må utvide parentesene og bringe lignende termer.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Som et resultat av transformasjonene fikk vi en likhet tilsvarende den opprinnelige, til venstre for denne er det et polynom av tredje grad. La oss bruke intervallmetoden for å løse det.
Først beregner vi røttene til polynomet, som vi må løse den kubiske ligningen for x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0. Har det rasjonelle røtter? De kan bare være blant deler av fritiden, dvs. blant tallene ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. La oss erstatte dem én etter én i den opprinnelige ligningen og finne ut at tallene 1, 2 og 3 vil være dens røtter.
Så polynomet x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 kan beskrives som et produkt (x − 1) · (x − 2) · (x − 3), og ulikhet x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 kan representeres som (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . Med en ulikhet av denne typen vil det da være lettere for oss å bestemme skiltene på intervallene.
Deretter utfører vi de resterende trinnene i intervallmetoden: tegn en talllinje og peker på den med koordinatene 1, 2, 3. De deler linjen i 4 intervaller der de trenger å bestemme skiltene. La oss skyggelegge intervallene med minus, siden den opprinnelige ulikheten har tegnet < .
Alt vi trenger å gjøre er å skrive ned det klare svaret: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3).
Svar: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
I noen tilfeller går du ut fra ulikheten r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) til h (x)< 0 (≤ , >, ≥), hvor h(x)– et polynom i høyere grad enn 2, upassende. Dette strekker seg til tilfeller der det er lettere å uttrykke r(x) − s(x) som et produkt av lineære binomialer og kvadratiske trinomialer enn å faktorisere h(x) i individuelle faktorer. La oss se på dette problemet.
Eksempel 5
Betingelse: finne løsningen på ulikheten (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Løsning
Denne ulikheten gjelder heltall. Hvis vi flytter uttrykket fra høyre side til venstre, åpner parentesene og utfører en reduksjon av leddene, får vi x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Å løse en slik ulikhet er ikke lett, siden du må lete etter røttene til et fjerdegrads polynom. Den har ikke en eneste rasjonell rot (for eksempel 1, − 1, 19 eller − 19 er ikke egnet), og det er vanskelig å lete etter andre røtter. Dette betyr at vi ikke kan bruke denne metoden.
Men det finnes andre løsninger. Hvis vi flytter uttrykkene fra høyre side av den opprinnelige ulikheten til venstre, kan vi sette den felles faktoren i parentes x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Vi har oppnådd en ulikhet tilsvarende den opprinnelige, og løsningen vil gi oss det ønskede svaret. La oss finne nullpunktene til uttrykket på venstre side, som vi løser andregradsligninger for x 2 − 2 x − 1 = 0 Og x 2 − 2 x − 19 = 0. Røttene deres er 1 ± 2, 1 ± 2 5. Vi går videre til likheten x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0, som kan løses med intervallmetoden:
I følge figuren vil svaret være - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.
Svar: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
La oss legge til at noen ganger er det ikke mulig å finne alle røttene til et polynom h(x), derfor kan vi ikke representere det som et produkt av lineære binomialer og kvadratiske trinomialer. Løs deretter en ulikhet på formen h (x)< 0 (≤ , >, ≥) kan vi ikke, noe som betyr at det også er umulig å løse den opprinnelige rasjonelle ulikheten.
Anta at vi trenger å løse brøkmessig rasjonelle ulikheter på formen r (x)< s (x) (≤ , >, ≥), hvor r (x) og s(x) er rasjonelle uttrykk, x er en variabel. Minst ett av de angitte uttrykkene vil være brøkdeler. Løsningsalgoritmen i dette tilfellet vil være som følger:
- Vi bestemmer rekkevidden av tillatte verdier for variabelen x.
- Vi flytter uttrykket fra høyre side av ulikheten til venstre, og det resulterende uttrykket r (x) − s (x) representere det som en brøkdel. Dessuten hvor p(x) Og q(x) vil være heltallsuttrykk som er produkter av lineære binomialer, uoppløselige kvadratiske trinomialer, samt potenser med naturlig eksponent.
- Deretter løser vi den resulterende ulikheten ved å bruke intervallmetoden.
- Det siste trinnet er å ekskludere poengene oppnådd under løsningen fra utvalget av akseptable verdier for variabelen x som vi definerte i begynnelsen.
Dette er algoritmen for å løse rasjonelle brøkulikheter. Det meste er klart; mindre forklaringer kreves bare for avsnitt 2. Vi flyttet uttrykket fra høyre side til venstre og fikk r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥), og deretter hvordan bringe den til formen p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
La oss først finne ut om denne transformasjonen alltid kan utføres. Teoretisk eksisterer en slik mulighet alltid, siden ethvert rasjonelt uttrykk kan konverteres til en rasjonell brøk. Her har vi en brøk med polynom i teller og nevner. La oss huske den grunnleggende teoremet til algebra og Bezouts teorem og bestemme at et hvilket som helst polynom av grad n som inneholder én variabel kan transformeres til et produkt av lineære binomialer. Derfor kan vi i teorien alltid transformere uttrykket på denne måten.
I praksis er faktorisering av polynomer ofte ganske vanskelig, spesielt hvis graden er høyere enn 4. Hvis vi ikke kan utføre utvidelsen, vil vi ikke kunne løse denne ulikheten, men slike problemer studeres vanligvis ikke i skolekurs.
Deretter må vi bestemme om den resulterende ulikheten p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) ekvivalent med hensyn til r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) og til den originale. Det er en mulighet for at det kan vise seg å være ulikt.
Ekvivalensen av ulikheten vil bli sikret når rekkevidden av akseptable verdier p(x)q(x) vil samsvare med uttrykksområdet r (x) − s (x). Da trenger ikke det siste punktet i instruksjonene for å løse rasjonelle brøkulikheter følges.
Men rekkevidden av verdier for p(x)q(x) kan være bredere enn r (x) − s (x) for eksempel ved å redusere fraksjoner. Et eksempel kan være å gå fra x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 til x · x - 1 x + 3 . Eller dette kan skje når du bringer lignende termer, for eksempel her:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 til 1 x + 3
For slike tilfeller ble det siste trinnet i algoritmen lagt til. Ved å utføre det, vil du bli kvitt uvedkommende variable verdier som oppstår på grunn av utvidelsen av utvalget av akseptable verdier. La oss ta noen eksempler for å gjøre det mer klart hva vi snakker om.
Eksempel 6
Betingelse: finne løsninger på den rasjonelle likheten x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .
Løsning
Vi handler i henhold til algoritmen angitt ovenfor. Først bestemmer vi området for akseptable verdier. I dette tilfellet bestemmes det av systemet med ulikheter x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , hvis løsning er mengden (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Etter det må vi transformere det slik at det er praktisk å bruke intervallmetoden. Først og fremst reduserer vi algebraiske brøker til laveste fellesnevner (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Vi kollapser uttrykket i telleren ved å bruke formelen for kvadratet av summen:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Utvalget av akseptable verdier for det resulterende uttrykket er (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Vi ser at det ligner på det som ble definert for den opprinnelige likestillingen. Vi konkluderer med at ulikheten x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 er ekvivalent med den opprinnelige, noe som betyr at vi ikke trenger det siste trinnet i algoritmen.
Vi bruker intervallmetoden:
Vi ser løsningen ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3)∪ (3 , + ∞), som vil være løsningen på den opprinnelige rasjonelle ulikheten x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Svar: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Eksempel 7
Betingelse: regn ut løsningen x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1.
Løsning
Vi bestemmer området for akseptable verdier. I tilfelle av denne ulikheten vil den være lik alle reelle tall unntatt − 2, − 1, 0 og 1 .
Vi flytter uttrykkene fra høyre side til venstre:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Med tanke på resultatet skriver vi:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
For uttrykket - 1 x - 1, er utvalget av gyldige verdier settet med alle reelle tall unntatt ett. Vi ser at verdiområdet har utvidet seg: − 2 , − 1 og 0 . Dette betyr at vi må utføre det siste trinnet i algoritmen.
Siden vi kom til ulikheten - 1 x - 1 > 0, kan vi skrive dens ekvivalente 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Vi ekskluderer punkter som ikke er inkludert i utvalget av akseptable verdier for den opprinnelige likheten. Vi må ekskludere fra (− ∞ , 1) tallene − 2 , − 1 og 0 . Dermed vil løsningen på den rasjonelle ulikheten x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 være verdiene (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Svar: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Avslutningsvis gir vi et annet eksempel på et problem der det endelige svaret avhenger av rekkevidden av akseptable verdier.
Eksempel 8
Betingelse: finn løsningen på ulikheten 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0.
Løsning
Området for tillatte verdier for ulikheten spesifisert i betingelsen bestemmes av systemet x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Dette systemet har ingen løsninger, fordi
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Dette betyr at den opprinnelige likheten 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ikke har noen løsning, siden det ikke er noen verdier for variabelen den ville gjort for føle.
Svar: det finnes ingen løsninger.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Intervallmetode– en enkel måte å løse rasjonelle brøkulikheter på. Dette er navnet på ulikheter som inneholder rasjonelle (eller brøk-rasjonelle) uttrykk som er avhengige av en variabel.
1. Tenk for eksempel på følgende ulikhet
Intervallmetoden lar deg løse det på et par minutter.
På venstre side av denne ulikheten er en rasjonell brøkfunksjon. Rasjonell fordi den ikke inneholder røtter, sinus eller logaritmer - bare rasjonelle uttrykk. Til høyre er null.
Intervallmetoden er basert på følgende egenskap til en rasjonell brøkfunksjon.
En rasjonell brøkfunksjon kan endre fortegn bare på de punktene der den er lik null eller ikke eksisterer.
La oss huske hvordan et kvadratisk trinomial er faktorisert, det vil si et uttrykk for formen .
Hvor og er røttene til kvadratisk ligning.
Vi tegner en akse og plasserer punktene der telleren og nevneren går til null.
Nullen til nevneren og er punkterte punkter, siden funksjonen på venstre side av ulikheten ikke er definert på disse punktene (du kan ikke dele med null). Nullpunktene til telleren og - er skyggelagt, siden ulikheten ikke er streng. Når og vår ulikhet er tilfredsstilt, siden begge sidene er lik null.
Disse punktene deler aksen i intervaller.
La oss bestemme tegnet for den rasjonelle brøkfunksjonen på venstre side av ulikheten vår på hvert av disse intervallene. Vi husker at en rasjonell brøkfunksjon kan endre fortegn bare på de punktene der den er lik null eller ikke eksisterer. Dette betyr at ved hvert av intervallene mellom punktene der telleren eller nevneren går til null, vil tegnet til uttrykket på venstre side av ulikheten være konstant - enten "pluss" eller "minus".
Og derfor, for å bestemme tegnet til funksjonen på hvert slikt intervall, tar vi ethvert punkt som tilhører dette intervallet. Den som er praktisk for oss.
. Ta for eksempel og sjekk fortegnet til uttrykket på venstre side av ulikheten. Hver av "parentesene" er negative. Venstre side har et skilt.
Neste intervall: . La oss sjekke skiltet på . Vi finner at venstre side har endret fortegn til .
La oss ta det. Når uttrykket er positivt - derfor er det positivt over hele intervallet fra til.
Når venstre side av ulikheten er negativ.
Og til slutt, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Vi har funnet med hvilke intervaller uttrykket er positivt. Alt som gjenstår er å skrive ned svaret:
Svar: .
Merk: skiltene veksler mellom intervaller. Dette skjedde pga ved passering gjennom hvert punkt, endret nøyaktig en av de lineære faktorene fortegn, mens resten holdt den uendret.
Vi ser at intervallmetoden er veldig enkel. For å løse den brøk-rasjonelle ulikheten ved å bruke intervallmetoden, reduserer vi den til formen:
Eller class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, eller eller .
(på venstre side er en rasjonell brøkfunksjon, på høyre side er null).
Så markerer vi på talllinjen punktene der telleren eller nevneren går til null.
Disse punktene deler hele tallinjen i intervaller, på hver av disse beholder den brøk-rasjonelle funksjonen sitt fortegn.
Alt som gjenstår er å finne ut tegnet ved hvert intervall.
Vi gjør dette ved å sjekke fortegnet til uttrykket på et hvilket som helst punkt som tilhører et gitt intervall. Etter det skriver vi ned svaret. Det er alt.
Men spørsmålet oppstår: veksler tegnene alltid? Nei ikke alltid! Du må være forsiktig og ikke plassere skilt mekanisk og tankeløst.
2. La oss vurdere en annen ulikhet.
Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ venstre(x-3 \høyre))>0"> !}
Plasser punktene på aksen igjen. Prikkene og er punktert fordi de er null i nevneren. Poenget er også kuttet ut, siden ulikheten er streng.
Når telleren er positiv, er begge faktorene i nevneren negative. Dette kan enkelt sjekkes ved å ta et hvilket som helst tall fra et gitt intervall, for eksempel . Venstre side har tegnet:
Når telleren er positiv; Den første faktoren i nevneren er positiv, den andre faktoren er negativ. Venstre side har tegnet:
Situasjonen er den samme! Telleren er positiv, den første faktoren i nevneren er positiv, den andre er negativ. Venstre side har tegnet:
Til slutt, med class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Svar: .
Hvorfor ble vekslingen av tegn forstyrret? Fordi når du går gjennom et punkt, er multiplikatoren "ansvarlig" for det byttet ikke tegn. Følgelig endret ikke hele venstresiden av vår ulikhet fortegn.
Konklusjon: hvis den lineære multiplikatoren er en jevn potens (for eksempel i kvadrat), så endres ikke tegnet til uttrykket på venstre side når du går gjennom et punkt. Ved en odde grad endres selvfølgelig tegnet.
3. La oss vurdere en mer kompleks sak. Den skiller seg fra den forrige ved at ulikheten ikke er streng:
Venstre side er den samme som i forrige oppgave. Bildet av skiltene vil være det samme:
Kanskje svaret blir det samme? Nei! En løsning legges til Dette skjer fordi både venstre og høyre side av ulikheten er lik null - derfor er dette punktet en løsning.
Svar: .
Denne situasjonen oppstår ofte i problemer på Unified State Examination i matematikk. Det er her søkere går i en felle og mister poeng. Vær forsiktig!
4. Hva gjør jeg hvis telleren eller nevneren ikke kan faktoriseres i lineære faktorer? Tenk på denne ulikheten:
Et kvadratisk trinomium kan ikke faktoriseres: diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Men dette er bra! Dette betyr at tegnet på uttrykket for alle er det samme, og spesifikt positivt. Du kan lese mer om dette i artikkelen om egenskaper ved kvadratiske funksjoner.
Og nå kan vi dele begge sider av vår ulikhet med en verdi som er positiv for alle. La oss komme frem til en tilsvarende ulikhet:
Som enkelt løses ved hjelp av intervallmetoden.
Vær oppmerksom på at vi delte begge sider av ulikheten med en verdi som vi med sikkerhet visste var positiv. Selvfølgelig, generelt, bør du ikke multiplisere eller dividere en ulikhet med en variabel hvis fortegn er ukjent.
5 . La oss vurdere en annen ulikhet, tilsynelatende ganske enkel:
Jeg vil bare multiplisere det med . Men vi er allerede smarte, og vi vil ikke gjøre dette. Det kan tross alt være både positivt og negativt. Og vi vet at hvis begge sider av ulikheten multipliseres med en negativ verdi, endres tegnet på ulikheten.
Vi skal gjøre det annerledes - vi skal samle alt i en del og bringe det til en fellesnevner. Høyresiden forblir null:
Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
Og etter det - søk intervallmetode.
- Utvikle evnen til å løse rasjonelle ulikheter ved å bruke metoden med intervaller med flere røtter, hjelpe elevene med å utvikle behovet og ønsket om å generalisere materialet som studeres;
- Utvikle evnen til å sammenligne løsninger og identifisere de riktige svarene; utvikle nysgjerrighet, logisk tenkning, kognitiv interesse for faget
- Dyrk nøyaktighet når du utarbeider løsninger, evnen til å overvinne vanskeligheter når du løser ulikheter.
Materialer og utstyr: interaktiv tavle, kort, samling av tester.
Fremdrift av leksjonen
I. Organisatorisk øyeblikk
II. Oppdatering av kunnskap
Frontal klasseundersøkelse om følgende spørsmål:
Ved hvilke verdier av variabelen gir brøken mening (fig. 1)?
Gjenta algoritmen for å løse ulikheter i formen (x - x 1)(x - x 2)...(x - x n) > 0 eller (x - x 1)(x - x 2)...(x - x n)< 0, где x 1 , x 2 , … x n не равные друг другу числа.
Algoritmen for å løse ulikheter ved hjelp av intervallmetoden vises på den interaktive tavlen:
III. Lære nytt stoff. Løse rasjonelle brøkulikheter med flere røtter ved hjelp av intervallmetoden.
Å løse ulikheter med flere kritiske verdier av en variabel er vanligvis forbundet med de største vanskelighetene. Hvis det tidligere var mulig å plassere tegn på intervaller ganske enkelt ved å alternere dem, nå, når du passerer gjennom en kritisk verdi, kan det hende at tegnet til hele uttrykket ikke endres. Vi vil bli kjent med den såkalte "kronblad" -metoden, som vil bidra til å overvinne vanskelighetene forbundet med å arrangere tegn på en funksjon i intervaller.
Tenk på et eksempel: (x+3) 2 > 0/
Venstre side har et enkelt kritisk punkt x = - 3. La oss markere det på tallinjen. Dette punktet har en multiplisitet på 2, så vi kan vurdere at vi har to sammenslåtte kritiske punkter, mellom hvilke det også er et intervall med begynnelsen og slutten på samme punkt -3. Vi vil merke slike intervaller med "kronblad", som i fig. 3. Dermed har vi tre intervaller: to numeriske intervaller (-∞; -3); (-3; +∞) og "kronblad" mellom dem. Det gjenstår bare å plassere skiltene. For å gjøre dette, beregner vi tegnet på intervallet som inneholder null, og arrangerer tegnene på resten, ganske enkelt alternerende dem. Resultatet av å plassere skiltene er vist i fig. 4
 |
 |
|
Ris. 3 |
Ris. 4 |
Svar: x € (-∞; -3) U (-3; +∞)
La oss nå vurdere en mer kompleks ulikhet (fig. 5):
La oss introdusere funksjonen (fig. 6):
La oss markere de kritiske punktene på talllinjen, og ta hensyn til deres mangfold - for hver ekstra parentes med en gitt kritisk verdi tegner vi et ekstra "kronblad". Så i fig. 7 vil ett "kronblad" vises ved punktet x=3, siden (x-3)?=(x-3)(x-3).
Siden (x - 6) 3 = (x - 6) (x - 6) (x - 6), har punktet x = 6 to "kronblad". Den første multiplikatoren tas i betraktning av punkt 6 på aksen, og ytterligere to multiplikatorer tas i betraktning ved å legge til to "kronblader". Deretter bestemmer vi tegnet på et av intervallene og arrangerer tegnene på resten, alternerende minuser og plusser.
Alle mellomrom merket med "+" og mørke prikker gir svaret.
X € [-4;-1) U (3) U (6;+∞).
IV. Konsoliderer nytt materiale
1. La oss løse ulikheten:
La oss faktorisere venstre side av ulikheten:
Først plotter vi de kritiske punktene til nevneren på koordinataksen, vi får (fig. 10)
Ved å legge til tellerpoeng får vi (fig. 11)
Og nå bestemmer vi tegnene med intervaller og i "kronblad" (fig. 12)
Ris. 12
Svar: x € (-1; 0) U (0; 1) U (2)
2. Velg numeriske intervaller som er løsninger på ulikheter ved hjelp av intervallmetoden, ta hensyn til multiplisiteten av røttene til polynomet (fig. 13).
V. Sammendrag av leksjonen
Under samtalen med klassen trekker vi konklusjoner:
1) Det blir mulig å plassere skilt med intervaller ganske enkelt ved å veksle mellom dem.
3) Med denne løsningen går enkeltrøtter aldri tapt.
I denne leksjonen vil vi fortsette å løse rasjonelle ulikheter ved å bruke intervallmetoden for mer komplekse ulikheter. La oss vurdere løsningen av brøk lineære og brøkkvadratiske ulikheter og relaterte problemer.
La oss nå gå tilbake til ulikheten
La oss se på noen relaterte oppgaver.
Finn den minste løsningen på ulikheten.
Finn antall naturlige løsninger på ulikheten
Finn lengden på intervallene som utgjør settet med løsninger på ulikheten.
2. Naturvitenskapsportal ().
3. Elektronisk pedagogisk og metodisk kompleks for å forberede 10-11 karakterer til opptaksprøver i informatikk, matematikk, russisk språk ().
5. Utdanningssenter "Teaching Technology" ().
6. College.ru delen om matematikk ().
1. Mordkovich A.G. og andre Algebra 9. klasse: Oppgavebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4. utg. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. nr. 28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).