Vekslende rader. Leibniz sitt tegn.
Absolutt og betinget konvergens
For å forstå eksemplene i denne leksjonen, må du ha en god forståelse av positive tallserier: forstå hva en serie er, kjenne til det nødvendige tegnet for konvergens av en serie, kunne bruke sammenligningstester, d'Alemberts test , Cauchys test. Temaet kan tas opp nesten fra bunnen av ved å studere artiklene konsekvent Rader for dummies Og D'Alemberts tegn. Cauchys tegn. Logisk sett er denne leksjonen den tredje i rekken, og den lar deg ikke bare forstå de vekslende radene, men også konsolidere materialet som allerede er dekket! Det vil være lite nytt, og det vil ikke være vanskelig å mestre de vekslende radene. Alt er enkelt og tilgjengelig.
Hva er en alternerende serie? Dette er klart eller nesten klart av selve navnet. Bare et enkelt eksempel.
La oss se på serien og beskrive den mer detaljert:
Og nå kommer det en drapskommentar. Medlemmene av en vekslende serie har vekslende fortegn: pluss, minus, pluss, minus, pluss, minus osv. til det uendelige.
Justering gir en multiplikator: hvis partall, vil det være et plusstegn, hvis oddetall, vil det være et minustegn (som du husker fra leksjonen om tallrekker, kalles denne tingen et "blinkende lys"). Dermed blir en alternerende serie "identifisert" med minus én til graden "en".
I praktiske eksempler kan vekslingen av vilkårene i serien gis ikke bare av multiplikatoren, men også av dens søsken: , , , …. For eksempel:
Fallgruven er "bedrag": , , etc. - slike multiplikatorer ikke gi skiltskifte. Det er helt klart at for enhver naturlig: , , . Rader med bedrag sklir ikke bare til spesielt begavede studenter, de oppstår fra tid til annen "av seg selv" under løsningen funksjonell serie.
Hvordan undersøke en alternerende serie for konvergens? Bruk Leibniz sin test. Jeg vil ikke si noe om den tyske tankegiganten Gottfried Wilhelm Leibniz, siden han i tillegg til sine matematiske arbeider skrev flere bind om filosofi. Farlig for hjernen.
Leibniz sin test: Hvis medlemmene av en vekslende serie monotont reduksjon i modul, så konvergerer serien.
Eller på to punkter:
1) Serien er vekslende.
2) Termene i serien avtar i modul: , og avtar monotont.
Hvis disse betingelsene er oppfylt, konvergerer serien.
Kort informasjon om modulen er gitt i manualen Hete formler for skolematematikkkurs, men for enkelhets skyld nok en gang:
Hva betyr "modulo"? Modulen, som vi husker fra skolen, "spiser" minustegnet. La oss gå tilbake til raden 
. Mentalt slette alle skiltene med et viskelær og la oss se på tallene. Det får vi se hver neste seriemedlem mindre enn den forrige. Dermed betyr følgende setninger det samme:
– Medlemmer av serien uansett tegn er avtagende.
– Medlemmer av serien reduseres modulo.
– Medlemmer av serien reduseres Av absolutt verdi.
– Modul den vanlige termen i serien har en tendens til null:
// Slutt på hjelp
La oss nå snakke litt om monotoni. Monotoni er kjedelig konsistens.
Medlemmer av serien strengt tatt monotont reduksjon i modul hvis HVER NESTE medlem av serien modulo MINDRE enn tidligere: . For en rekke Den strenge monotoniteten til å redusere er oppfylt, den kan beskrives i detalj: 
Eller vi kan si kort: hvert neste medlem av serien modulo mindre enn den forrige:.
Medlemmer av serien ikke strengt tatt ensformig reduksjon i modulo hvis HVER FØLGENDE medlem av serien modulo IKKE er STØRRE enn det forrige: . Tenk på en serie med faktoriell: 
Her er det en løs monotoni, siden de to første leddene i rekken er identiske i modul. Det vil si hvert neste medlem av serien modulo ikke mer enn den forrige:.
Under betingelsene i Leibniz' teorem, må avtagende monotonisitet tilfredsstilles (det spiller ingen rolle om det er strengt eller ikke-strengt). I tillegg kan medlemmer av serien jevn økning i modul i noen tid, men "halen" av serien må nødvendigvis være monotont avtagende.
Det er ingen grunn til å være redd for at praktiske eksempler vil sette alt på plass:
Eksempel 1
Den vanlige termen for serien inkluderer faktoren , og dette gir en naturlig idé å sjekke om betingelsene for Leibniz-testen er oppfylt:
1) Kontroller raden for veksling. Vanligvis på dette tidspunktet er beslutningsserien beskrevet i detalj 
og avsi dommen "Serien er vekslende."
2) Minker vilkårene i serien i absolutt verdi? Her må du løse grensen, som oftest er veldig enkel.
– termene i serien reduseres ikke i modul, og dette innebærer automatisk divergensen – av den grunn at grensen 
eksisterer ikke *, det vil si at det nødvendige kriteriet for konvergens av serien ikke er oppfylt.
Eksempel 9
Undersøk serien for konvergens
Eksempel 10
Undersøk serien for konvergens 
Etter en høykvalitets studie av numeriske positive og vekslende serier, med god samvittighet, kan du gå videre til funksjonelle serier, som ikke er mindre monotone og monotont interessante.
Hvis for en vekslende nummerserie
To betingelser er oppfylt:
1. Betingelsene i serien reduseres i absolutt verdi u 1>u 2>…>u n>…,
2. 
så konvergerer serie (19), og summen er positiv og overskrider ikke første ledd i rekken.
Konsekvens. Resten av Leibniz-serien har tegnet av sin første term og er mindre enn den i absolutt verdi, dvs.
Hvis i en vekslende serie vilkårene i serien avtar monotont i absolutte verdier og imU n =0 (nà∞), så konvergerer serien.
Gitt: U 1 >U 2 >U 3 >... ; imU n =0 (nà∞); U 1 -U 2 + U 3 - U 4 +... , U i >0
Bevis: S 2 n ¾ jevn delsum:
S2n =+U1-U2+U3-U4+...-U2n;
S2n =(Ui-U2)+(U3-U4)+...+(U2n-1-U2n);
S 2n >0 ¾ øker.
S2n=U1-(U2-U3)-(U4-U5)-...-U2n; S 2n 0; imS 2n =S (nà∞)
fiimS 2n+1 (nà∞) = fiim(S 2n +U 2n+1)=S;
Partall og oddetall med samme grense => serien konvergerer.
1) Merk at S>0, dvs. summens fortegn faller sammen med tegnet for den første ledd.
38.Absolutt og betinget konvergens.
O. Vis rad 
(1)
kalt vekseltegn.
Leibniz sin test(tegn symbolet på raden).
For å få serie (1) сх-я er det nok at de absolutte verdiene synker og →0 når n øker, dvs.
O. Hvis en serie består av absolutte verdier av mengder 
cx-xia, så sies serien å være absolutt konvergent.
Teorem: Hvis serien er absolutt cx-xia, så er den opprinnelige serien xx-xia.
Dok: tilbakekall 1 sammenligningstegn
Tenk på raden 
- en serie absolutte verdier av mengder
sx er bevist basert på det andre sammenligningskriteriet, etter hvilket ref-serien sx er absolutt.
A. Hvis en serie, et bilde fra de absolutte verdiene av dens mengder, er exp-xia, og den opprinnelige serien er cx-xia, kalles det betinget xx-xia.
39.Konseptet med en kraftserie. Området for konvergens av kraftserien. Abels teorem.
Serier av formen , hvor er tall som kalles seriekoeffisienter, x– variabel, kalt sedately neste. Intervallet (-R;R) kalles intervallet til trinnserien. Merk at for x €(-R;R) konvergerer serien absolutt, og i punktene x= ± R kan potensserien konvergere eller divergere. For å finne konvergensradius kan du bruke D'Alemberts eller Cauchys tester. Teorem. Hvis det er | a n +1 / a n |=L, deretter R=1/L= | a n / a n +1 |. (Dok. Betrakt serien a n x n. Bruk d'Alemberts test på den. | a n +1 x n +1 / a n x n |= | a n +1 / a n |∙| x | =L∙| x |. Det følger at hvis L ∙|<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, så divergerer serien. Teoremet er bevist.) Merk at hvis L=0, for enhver | x | deretter R=∞. Hvis L=∞, for enhver x≠0, så er R=0. Hvis R=0, så konvergerer serien ved et enkelt punkt x 0 =0; hvis R=∞, så konvergerer rekken på hele tallinjen. Så konvergensintervallet til serien a n x n er (-R;R) . For å finne konvergensområdet til serien, er det nødvendig å undersøke konvergensen separat ved punktene x=R og x=-R; avhengig av resultatene av denne forskningen, kan regionens landbruksserier være ett av intervallene: [-R;R],(-R;R),[-R;R],(-R;R]. Abels teorem: 1) Hvis potensserien a n x n konvergerer ved x=x 0, så konvergerer den absolutt for alle x som tilfredsstiller ulikheten |x|<|x 0 |. 2) Если же ряд a n x n расходится при x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x 1 |. (Dok. 1) Siden tallserien a n x 0 n konvergerer, så er a n x 0 n =0. Dette betyr at tallrekkefølgen (a n x 0 n ) er begrenset. Deretter skriver vi om potensserien i formen a 0 + a 1 x 0 (x/x 0) + a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2). +…+… = a n x 0 n (x/x 0) 2 . La oss vurdere en rekke absolutte verdier. |a 0 | + |a 1 x 0 (x/x 0) | + |a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) | +…+…<= M + M| x/x 0 | + M| x/x 0 | 2 +…= M(1+q+ q 2 +…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x 0)<1-сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x * , | x * |>x 1. Men så, ifølge 1. del av teoremet, konvergerer potensserien for alle | x |< x * . В том числе должен сходится и при x= x 0 , так как | x |< | x * | . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)
Definisjon. En serie med alternerende tegn kalles alternerende hvis naboleddene har forskjellige tegn.
Eksempler på alternerende serier er geometriske progresjoner med negative nevnere.
For serier av vekslende tegn er det en ganske generell, følsom og praktisk test av konvergens, på grunn av Leibniz.
Teorem (Leibniz konvergenstest). Hvis de absolutte verdiene av vilkårene i den vekslende serien
danne en monotont ikke-økende sekvens som tenderer mot null, dvs. hvis
så konvergerer serier (4,32).
Bevis. Vi har noe for enhver smak
eller, ved å kombinere medlemmer i grupper (summen inneholder bare et begrenset antall termer, og derfor er de grunnleggende handlingslovene gyldige her uten noen begrensninger),
Basert på den ikke-økende sekvensen av absolutte verdier av termene i serien, inneholder alle parenteser ikke-negative tall. Derfor,
Derfor utgjør delsummene av serien (4.32) med partall en avgrenset sekvens.
På den annen side, på grunn av den samme monotonien
og derfor er sekvensen av delsummer med partall ikke avtagende. Derfor har denne sekvensen en grense
Begge grensene til høyre eksisterer, og den andre av dem er lik null etter betingelse. Følgelig er det en grense på venstresiden, og for det
Sammen med (4.35) gir dette oss
som var det som var nødvendig.
Konsekvens. For en alternerende serie som tilfredsstiller Leibniz-konvergenstesten, kan resten estimeres ovenfra i absolutt verdi:
Faktisk kan resten betraktes som summen av serien
som, som følger av det beviste teoremet, ikke overskrider i absolutt verdi dets første ledd, som i dette tilfellet er
Eksempel. Brukt på en serie
Leibniz sitt tegn gir
som betyr at serien konvergerer. (Denne konvergensen ble etablert ved direkte beregninger i § 2.)
Vi ser at Leibniz sin konvergenstest er ganske bred i anvendelighet, veldig praktisk og ideelt sett sensitiv. Dette motsier ikke det som ble sagt på slutten av § 5 i kapittel 3: den betingede konvergensen til en alternerende serie er «i gjennomsnitt», så å si, et bredere faktum enn konvergensen av en serie med positive termer; derfor viser det seg å være lettere på en eller annen måte å gjenkjenne det.
La oss til slutt merke oss at Leibnizs kriterium ikke bare er et tilstrekkelig, men også et nødvendig konvergenskriterium for serier av alternerende tegn med monotont avtagende termer: hvis da, basert på det nødvendige konvergenskriteriet fra § 6 i kapittel 2, serie.
kan ikke konvergere.
Teoremet er formulert som følger. Vekslende serier
konvergerer hvis begge betingelsene er oppfylt:
Konsekvens
En konsekvens følger av Leibnizs teorem som lar oss estimere feilen ved å beregne en ufullstendig sum av en serie:
Resten av en konvergent alternerende serie R n = S − S n vil være mindre i absolutt verdi enn den første forkastede termen:
Kilder
- Bronshtein I. N., Semendyaev K.A. Håndbok i matematikk. - Ed. 7., stereotypisk. - M.: Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1967. - S. 296.
Wikimedia Foundation. 2010.
Se hva "Leibniz-tegnet" er i andre ordbøker:
Dirichlet-testen er et teorem som indikerer tilstrekkelige betingelser for konvergens av uriktige integraler og summerbarheten til uendelige serier. Oppkalt etter den tyske matematikeren Lejeune Dirichlet. Innhold... Wikipedia
Dini-testen er en test for punktvis konvergens av en Fourier-serie. Til tross for at Fourier-serien til en funksjon fra konvergerer til den i betydningen av normen, er den slett ikke forpliktet til å konvergere til den punktvis (selv når det gjelder en kontinuerlig funksjon). Men med noen... ... Wikipedia
Et sammenligningstegn er et utsagn om samtidigheten av divergens eller konvergens av to serier, basert på en sammenligning av vilkårene i disse seriene. Innhold 1 Formulering 2 Bevis ... Wikipedia
En test for konvergens av en tallserie, foreslått av Lobatsjovsky mellom 1834 og 1836. La det være en avtagende sekvens av positive tall, så konvergerer eller divergerer serien samtidig med serien... Wikipedia
Et tegn på konvergens av Fourier-serier: hvis en periodisk funksjon har begrenset variasjon på et segment, så konvergerer Fourier-serien ved hvert punkt til et tall; hvis funksjonen er kontinuerlig på segmentet... Wikipedia
- (Raabe Duhamels test) en test for konvergens av positive tallserier, etablert av Joseph Ludwig Raabe og uavhengig av Jean Marie Duhamel. Innhold 1 Formulering 2 Formler ... Wikipedia
En test for konvergens av tallserier med positive termer, etablert av Joseph Bertrand. Innhold 1 Formulering 2 Formulering i ekstrem form ... Wikipedia
Et generelt kriterium for konvergens av tallserier med positive termer, etablert i 1812 av Carl Gauss, når han studerer konvergensen til en hypergeometrisk serie. Formulering La en rekke og en avgrenset numerisk rekkefølge gis. Så hvis... ... Wikipedia
En test for konvergens av tallserier med positive termer, etablert av Vasily Ermakov. Dens spesifisitet ligger i det faktum at den overgår alle andre tegn i sin følsomhet. Dette arbeidet ble publisert i artiklene: "Generell teori... ... Wikipedia
En test for konvergens av tallserier med positive termer, etablert av Pierre Jamet. Innhold 1 Formulering 2 Formulering i ekstrem form ... Wikipedia