Fremveksten av konseptet med et integral skyldtes behovet for å finne en antiderivert funksjon fra dens derivat, samt å bestemme mengden arbeid, arealet av komplekse figurer, avstanden tilbakelagt, med parametere skissert av kurver beskrevet ved ikke-lineære formler.
og at arbeid er lik produktet av kraft og avstand. Hvis hele bevegelsen skjer med konstant hastighet eller avstanden dekkes med samme kraft, er alt klart, du trenger bare å multiplisere dem. Hva er integralet til en konstant? av formen y=kx+c.
Men styrken kan endre seg gjennom hele arbeidet, og i en slags naturlig avhengighet. Den samme situasjonen oppstår ved beregning av tilbakelagt distanse dersom hastigheten ikke er konstant.
Så det er klart hvorfor integralet er nødvendig. Dens definisjon som summen av produktene av verdiene til en funksjon med en uendelig økning av argumentet beskriver fullt ut hovedbetydningen av dette konseptet som området til en figur avgrenset øverst av funksjonens linje, og i kantene ved definisjonens grenser.
Jean Gaston Darboux, en fransk matematiker, i andre halvdel av 1800-tallet, forklarte veldig tydelig hva en integral er. Han gjorde det så klart at det generelt sett ikke ville være vanskelig for selv en ungdomsskoleelev å forstå denne problemstillingen.
La oss si at det er en funksjon av en hvilken som helst kompleks form. Ordinataksen som verdiene til argumentet er plottet på er delt inn i små intervaller, ideelt sett er de uendelig, men siden begrepet uendelighet er ganske abstrakt, er det nok å bare forestille seg små segmenter, hvis verdi vanligvis er betegnet med den greske bokstaven Δ (delta).
Funksjonen viste seg å være "hakket" i små klosser.
Hver argumentverdi tilsvarer et punkt på ordinataksen, hvor de tilsvarende funksjonsverdiene er plottet. Men siden det valgte området har to grenser, vil det også være to funksjonsverdier, større og mindre.
Summen av produktene med større verdier med inkrementet Δ kalles den store Darboux-summen, og betegnes som S. Følgelig danner mindre verdier i et begrenset område, multiplisert med Δ, til sammen en liten Darboux-sum s . Selve seksjonen ligner en rektangulær trapes, siden krumningen til funksjonslinjen med en uendelig inkrement kan neglisjeres. Den enkleste måten å finne arealet til en slik geometrisk figur på er å legge til produktene til de større og mindre verdiene av funksjonen med Δ-inkrementet og dele med to, det vil si å bestemme det som det aritmetiske gjennomsnittet.
Dette er hva Darboux-integralet er:
s=Σf(x) Δ - liten mengde;
S= Σf(x+Δ)Δ er en stor mengde.
Så hva er en integral? Arealet begrenset av funksjonens linje og definisjonens grenser vil være lik:
∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c
Det vil si at det aritmetiske gjennomsnittet av store og små Darboux sums.s er en konstant verdi som tilbakestilles under differensiering.
Basert på det geometriske uttrykket til dette konseptet, blir den fysiske betydningen av integralet tydelig. skissert av hastighetsfunksjonen, og begrenset av tidsintervallet langs x-aksen, vil være lengden på tilbakelagt distanse.
L = ∫f(x)dx på intervallet fra t1 til t2,
f(x) er en funksjon av hastighet, det vil si formelen som den endres med over tid;
L - banelengde;
t1 - starttidspunkt for reisen;
t2 er reisens sluttid.
Nøyaktig det samme prinsippet brukes for å bestemme mengden arbeid, bare avstanden vil bli plottet langs abscissen, og mengden kraft som brukes på hvert spesifikt punkt vil bli plottet langs ordinaten.
La oss gå tilbake til problemet med området til en krumlinjet trapes og definisjonen av det bestemte integralet. Vi ser at arealet til en kurvelinjeformet trapes avgrenset av kurven y=f(x), hvor f(x)0 på segmentet, x-aksen og linjene x = a og x = b er numerisk lik en bestemt integral, dvs.
Så langt har vi vurdert et bestemt integral med konstante grenser for integrasjon a og b. Hvis du for eksempel endrer den øvre grensen uten å forlate segmentet, vil verdien av integralet endres. Med andre ord, et integral med en variabel øvre grense er en funksjon av dens øvre grense. Altså, hvis vi har integralet
med konstant nedre grense EN og en variabel øvre grense x, så vil verdien av dette integralet være en funksjon av den øvre grensen x. La oss betegne denne funksjonen med Ф(х), dvs. vi setter
(2.1)
og la oss kalle det en bestemt integral med en variabel øvre grense. Geometrisk er funksjonen Ф(x) arealet av en skravert buet trapes hvis f(x)0 (fig. 2)
La oss nå se på beviset for teoremet, en av hovedsetningene i matematisk analyse.
Teorem
3
.
Hvis f(t) er en kontinuerlig funksjon og 
da er det likestilling
eller 
(2.2)
Med andre ord eksisterer den deriverte av et bestemt integral av en kontinuerlig funksjon med hensyn til en variabel øvre grense og er lik verdien av integranden ved den øvre grensen.
Bevis. La oss ta en hvilken som helst verdi x og gi den en økning x 0 slik at x + x , dvs. 
. Da vil funksjonen Ф(х) motta en ny verdi:
Vi finner inkrementet til funksjonen Ф(х):
Ф = Ф(x+x) – Ф(x) =
Ved å bruke middelverditeoremet på det siste integralet får vi:
hvor C er tallet mellom tallene x og x + x. Herfra 
Hvis nå x 0, så c x og f(c) f(x) (på grunn av kontinuiteten til f(x) på ). Derfor passerer til grensen i den siste likheten vi oppnår
f
(
x
)
eller 
,
Q.E.D.
Konsekvens. Et bestemt integral med en variabel øvre grense er en av antiderivatene for en kontinuerlig integrand. Med andre ord, for enhver kontinuerlig funksjon har en antiderivativ,
Kommentar. Et integral med en variabel øvre grense for integrasjon brukes til å definere mange nye funksjoner, for eksempel:
.
3. Newton-Leibniz formel
Som vi allerede har bemerket, er det vanligvis forbundet med store vanskeligheter å beregne et bestemt integral ved å bruke en metode basert på å finne grensen for integral summer. Derfor er det en annen, vanligvis mer praktisk metode for å beregne bestemte integraler, som er basert på den nære sammenhengen som eksisterer mellom begrepene bestemt og ubestemt integral. Denne sammenhengen kommer til uttrykk i det følgende
Teorem 4 . Det bestemte integralet til en kontinuerlig funksjon er lik forskjellen mellom verdiene til noen av dens antiderivater for øvre og nedre grenser for integrasjon.
Bevis. Vi har fastslått at funksjonen f(x), kontinuerlig på dette segmentet, har en antideriverte, og en av antiderivatene er funksjonen
.
La F(x) være en hvilken som helst annen antiderivert for funksjonen f(x) på samme segment. Siden antiderivatene Ф(х) og F(х) er forskjellige med en konstant (se egenskapene til antiderivater), gjelder følgende likhet:
hvor C er et visst tall. Å erstatte verdien i denne likheten x = en vil ha 0 = F(en) + C, C = - F(en), dvs. for x har vi
Setter vi x = b, får vi relasjonen
(3.1)
Formel (3.1) kalles Newton-Leibniz-formelen. Forskjell F(b)
–
F(en)
Det er vanlig å skrive det i skjemaet 
og deretter tar formelen (3.1) formen
Så formelen (3.1) vi fikk, etablerer på den ene siden en forbindelse mellom de bestemte og ubestemte integralene, på den annen side gir den en enkel metode for å beregne det bestemte integralet:
det definitive integralet til en kontinuerlig funksjon er lik forskjellen mellom verdiene til noen av dens antiderivater, beregnet for de øvre og nedre grensene for integrasjon.
Bruksanvisning
Integrasjon er en operasjon som er det motsatte av differensiering. Derfor, hvis du vil lære hvordan du integrerer godt, må du først lære hvordan du finner derivater av funksjoner. Du kan lære dette ganske raskt. Tross alt er det et spesielt derivat. Med dens hjelp er det allerede mulig å utføre enkle integraler. Det er også en tabell over grunnleggende ubestemte integraler. Det er vist på figuren.
Når du skal finne summen av to funksjoner, trenger du bare å skille dem én etter én og legge til resultatene: (u+v)" = u"+v";
Når du finner den deriverte av produktet av to funksjoner, er det nødvendig å multiplisere den deriverte av den første funksjonen med den andre og legge til den deriverte av den andre funksjonen multiplisert med den første funksjonen: (u*v)" = u"*v +v"*u;
For å finne den deriverte av kvotienten til to funksjoner, er det nødvendig å trekke fra produktet av den deriverte av utbyttet multiplisert med divisorfunksjonen produktet av den deriverte av divisoren multiplisert med funksjonen til utbyttet, og dividere alt dette med divisorfunksjonen i annen. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Hvis en kompleks funksjon er gitt, er det nødvendig å multiplisere den deriverte av den interne funksjonen og den deriverte av den eksterne. La y=u(v(x)), så y"(x)=y"(u)*v"(x).
Ved å bruke resultatene ovenfor kan du skille nesten hvilken som helst funksjon. Så la oss se på noen eksempler:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Det er også problemer med å beregne den deriverte på et punkt. La funksjonen y=e^(x^2+6x+5) gis, du må finne verdien av funksjonen i punktet x=1.
1) Finn den deriverte av funksjonen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Beregn verdien av funksjonen ved et gitt punkt y"(1)=8*e^0=8
Funksjon F(x ) kalt antiderivat for funksjon f(x) på et gitt intervall, om for alle x fra dette intervallet holder likheten
F"(x ) = f(x ) .
For eksempel funksjonen F(x) = x 2 f(x ) = 2X , fordi
F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Hovedegenskapen til antiderivatet
Hvis F(x) - antiderivat av en funksjon f(x) på et gitt intervall, deretter funksjonen f(x) har uendelig mange antiderivater, og alle disse antiderivatene kan skrives i form F(x) + C, Hvor MED er en vilkårlig konstant.
For eksempel. Funksjon F(x) = x 2 + 1 er et antiderivat av funksjonen f(x ) = 2X , fordi F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funksjon F(x) = x 2 - 1 er et antiderivat av funksjonen f(x ) = 2X , fordi F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funksjon F(x) = x 2 - 3 er et antiderivat av funksjonen f(x) = 2X , fordi F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); hvilken som helst funksjon F(x) = x 2 + MED , Hvor MED - en vilkårlig konstant, og bare en slik funksjon er en antiderivert av funksjonen f(x) = 2X . ◄ |
Regler for beregning av antiderivater
- Hvis F(x) - antiderivat for f(x) , A G(x) - antiderivat for g(x) , Det F(x) + G(x) - antiderivat for f(x) + g(x) . Med andre ord, antideriverten av summen er lik summen av antiderivatene .
- Hvis F(x) - antiderivat for f(x) , Og k - konstant altså k · F(x) - antiderivat for k · f(x) . Med andre ord, konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte .
- Hvis F(x) - antiderivat for f(x) , Og k,b- konstant, og k ≠ 0 , Det 1 / k F( k x+ b ) - antiderivat for f(k x+ b) .
Ubestemt integral
Ubestemt integral fra funksjon f(x) kalt uttrykk F(x) + C, det vil si settet av alle antiderivater av en gitt funksjon f(x) . Det ubestemte integralet er betegnet som følger:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- de ringer integrand funksjon ;
f(x) dx- de ringer integrand ;
x - de ringer integrasjonsvariabel ;
F(x) - en av de primitive funksjonene f(x) ;
MED er en vilkårlig konstant.
For eksempel, ∫ 2 x dx =X 2 + MED , ∫ cosx dx = synd X + MED og så videre. ◄
Ordet "integral" kommer fra det latinske ordet heltall , som betyr "gjenopprettet". Tatt i betraktning den ubestemte integralen av 2 x, ser det ut til at vi gjenoppretter funksjonen X 2 , hvis deriverte er lik 2 x. Å gjenopprette en funksjon fra dens deriverte, eller hva som er det samme, finne et ubestemt integral over en gitt integrand kalles integrering denne funksjonen. Integrasjon er den inverse operasjonen av differensiering For å sjekke om integrasjonen ble utført riktig, er det nok å differensiere resultatet og få integranden.
Grunnleggende egenskaper til det ubestemte integralet
- Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integranden:
- Den konstante faktoren til integranden kan tas ut av integrertegnet:
- Integralet av summen (forskjellen) av funksjoner er lik summen (forskjellen) av integralene til disse funksjonene:
- Hvis k,b- konstant, og k ≠ 0 , Det
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .
Tabell over antiderivater og ubestemte integraler
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| JEG. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| V. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\venstre (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\venstre (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrise)+C $$ |
| Antideriverte og ubestemte integraler gitt i denne tabellen kalles vanligvis tabellformede antiderivater
Og tabellintegraler
. |
|||
Sikker integral
Slipp i mellom [en; b] en kontinuerlig funksjon er gitt y = f(x) , Deretter bestemt integral fra a til b funksjoner f(x) kalles økningen av antiderivatet F(x) denne funksjonen, altså
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
Tall en Og b kalles tilsvarende Nedre Og topp begrensninger for integrering.
Grunnleggende regler for beregning av det bestemte integralet
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) hvor k - konstant;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), hvor f(x) — jevn funksjon;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), hvor f(x) er en merkelig funksjon.
Kommentar . I alle tilfeller antas det at integrandene er integrerbare på numeriske intervaller, hvis grenser er grensene for integrasjon.
Geometrisk og fysisk betydning av det bestemte integralet
| Geometrisk betydning bestemt integral | Fysisk betydning
bestemt integral |
 |  |
Torget S krumlinjet trapes (en figur begrenset av grafen til en kontinuerlig positiv på intervallet [en; b] funksjoner f(x) , akse Okse og rett x=a , x=b ) beregnes av formelen $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | Sti s, som det materielle punktet har overvunnet, beveger seg rettlinjet med en hastighet som varierer i henhold til loven v(t)
, for en periode a ;
b] , deretter området til figuren begrenset av grafene til disse funksjonene og rette linjene x = a
, x = b
, beregnet med formelen $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | For eksempel. La oss beregne arealet av figuren avgrenset av linjer y = x 2 Og y = 2-x . La oss skjematisk skildre grafene til disse funksjonene og fremheve i en annen farge figuren hvis område må finnes. For å finne grensene for integrasjon, løser vi ligningen: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\venstre (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Volum av et revolusjonslegeme
 | Hvis et legeme oppnås som et resultat av rotasjon om en akse Okse krumlinjeformet trapes avgrenset av en kontinuerlig og ikke-negativ graf på intervallet [en; b] funksjoner y = f(x) og rett x = a Og x = b , da heter det rotasjonslegeme . Volumet til et rotasjonslegeme beregnes ved hjelp av formelen $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Hvis et rotasjonslegeme oppnås som et resultat av rotasjonen av en figur avgrenset over og under av grafer av funksjoner y = f(x) Og y = g(x) , følgelig altså $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | For eksempel. La oss beregne volumet til en kjegle med radius r
og høyde h
. La oss plassere kjeglen i et rektangulært koordinatsystem slik at dens akse faller sammen med aksen Okse
, og midten av basen var plassert ved origo. Generatorrotasjon AB definerer en kjegle. Siden ligningen AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| og for volumet av kjeglen vi har $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\venstre (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|