Trekant MNP med sider MP=6\sqrt(3) og MN=NP ligger ved bunnen av det høyre prismet MNPM_(1)N_(1)P_(1) . Punkt K velges på kanten NN_(1) slik at NK:N_(1)K=3:4. I dette tilfellet er vinkelen mellom MNP-planet og MKP-planet 60^(\circ) .
a) Bevis at avstanden mellom rette linjer MN og M_1P_1 er lik sidekanten av prismet.
b) Gitt KP=9, beregne avstanden mellom rette linjer MN og M_(1)P_(1) .
Vis løsningLøsning
a) Linje MN ligger i planet \venstre (MNN_(1) \right), \venstre (M_(1)P_(1) \right) og skjærer \venstre (MNN_(1) \right) i punktet M_(1) ), så, ved kriteriet om skjeve linjer, er MN og M_(1)P_(1) skjeve linjer.
Planene MNP og M_(1)N_(1)P_(1) er parallelle som basene til et prisme. I henhold til betingelsen er prismet rett, noe som betyr at hver sidekant er vinkelrett på basene, derfor er avstanden mellom krysslinjene MN og M_(1)P_(1), som var det som måtte bevises.
b) La oss tegne NH\perp MP, så er NH høyden og medianen i den likebenede \bigtriangleup MNP. KH er medianen \bigtriangleup MKP . NH er projeksjonen av KH mot \venstre (MPN \høyre) og NH\perp MP . Derfor KH\perp MP (ved teoremet om tre perpendikulære).
\angle KHN er den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelen KMPN, hvorfra \angle KHN = 60^(\circ) .
I \bigtriangleup KPH leg KH=\sqrt(KP^(2)-PH^(2))= \sqrt(81-27)=\sqrt(54)=3\sqrt(6).
Oppgave C2 #29
Grunnlaget til et rett prisme er en likebenet trekant
La til 22.03.2011 23:17
Betingelse:
Ved bunnen av det rette prismet ABCA1B1C1 ligger en likebenet trekant ABC, hvis basis BC er lik 3. Sideoverflaten til prismet er 32. Finn tverrsnittsarealet til prismet til planet som går gjennom CB1 parallelt med høyden på basen AD. Avstanden fra A til snittplanet er 6/5.Løsning:
1. La oss ta for oss tverrsnittet. Siden den er parallell med AD, hører planet til den rette linjen LK, parallelt med AD og går gjennom midten av CB1. Segmentet LK er lik AD, og siden K er midtpunktet til CB1, så er L midtpunktet til AA1.
2. Siden L er midtpunktet til AA1, så er LC = LB1, som betyr at trekanten CLB1 er likebenet, og arealet, som vi må finne, er lik CB1*LK/2.
3. La x = AD = LK, y = AA1 = BB1 = CC1.
Så fra betingelsene at arealet av sideoverflaten til prismet er lik 32, og BC = 3, får vi
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, eller
Y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. Avstanden AH fra punkt A til planet CLB1 er lik avstanden fra A til den rette linjen LM parallelt med CB1 og som går gjennom punkt L.
LAM er en rettvinklet trekant, der AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Området er
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Herfra får vi
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*sqrt((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*sqrt(9+y^2) (2)
5. Fra Eq. (2)
vi finner at høyden på prismet er y = 4.
6. Fra Eq. (1)
Når vi kjenner y, finner vi at høyden på prismets basis er x = 2.
7. Arealet av trekanten CLB1
S = x*sqrt(3^2+y^2)/2 = 2*sqrt(9+16)/2 = 5
Oppgave C2 #29
Grunnlaget til et rett prisme er en likebenet trekant
La til 22.03.2011 23:17
Betingelse:
Ved bunnen av det rette prismet ABCA1B1C1 ligger en likebenet trekant ABC, hvis basis BC er lik 3. Sideoverflaten til prismet er 32. Finn tverrsnittsarealet til prismet til planet som går gjennom CB1 parallelt med høyden på basen AD. Avstanden fra A til snittplanet er 6/5.Løsning:
1. La oss ta for oss tverrsnittet. Siden den er parallell med AD, hører planet til den rette linjen LK, parallelt med AD og går gjennom midten av CB1. Segmentet LK er lik AD, og siden K er midtpunktet til CB1, så er L midtpunktet til AA1.
2. Siden L er midtpunktet til AA1, så er LC = LB1, som betyr at trekanten CLB1 er likebenet, og arealet, som vi må finne, er lik CB1*LK/2.
3. La x = AD = LK, y = AA1 = BB1 = CC1.
Så fra betingelsene at arealet av sideoverflaten til prismet er lik 32, og BC = 3, får vi
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, eller
Y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. Avstanden AH fra punkt A til planet CLB1 er lik avstanden fra A til den rette linjen LM parallelt med CB1 og som går gjennom punkt L.
LAM er en rettvinklet trekant, der AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Området er
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Herfra får vi
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*sqrt((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*sqrt(9+y^2) (2)
5. Fra Eq. (2)
vi finner at høyden på prismet er y = 4.
6. Fra Eq. (1)
Når vi kjenner y, finner vi at høyden på prismets basis er x = 2.
7. Arealet av trekanten CLB1
S = x*sqrt(3^2+y^2)/2 = 2*sqrt(9+16)/2 = 5