Leksjonsmanus for 11. klasse om emnet:
"Den n-te roten av et reelt tall. »
Hensikten med leksjonen: Dannelse hos elevene av en helhetlig forståelse av roten n-th grad og aritmetisk rot av nth grad, dannelse av beregningsevner, ferdigheter til bevisst og rasjonell bruk av rotens egenskaper ved løsning av ulike problemer som inneholder en radikal. Sjekk nivået på elevenes forståelse av emnets spørsmål.
Emne:skape meningsfylte og organisatoriske forhold for å mestre stoff om temaet " Numeriske og alfabetiske uttrykk » på nivået av persepsjon, forståelse og primær memorering; utvikle evnen til å bruke denne informasjonen når du beregner den n-te roten av et reelt tall;
Meta-emne: fremme utviklingen av dataferdigheter; evne til å analysere, sammenligne, generalisere, trekke konklusjoner;
Personlig: dyrke evnen til å uttrykke sine synspunkter, lytte til andres svar, delta i dialog og utvikle evnen til positivt samarbeid.
Planlagt resultat.
Emne: kunne anvende i en reell situasjon egenskapene til den n-te roten av et reelt tall ved beregning av røtter og løsning av ligninger.
Personlig: å utvikle oppmerksomhet og nøyaktighet i beregninger, en krevende holdning til seg selv og sitt arbeid, og å dyrke en følelse av gjensidig hjelp.
Leksjonstype: leksjon om å studere og innledningsvis konsolidere ny kunnskap
Motivasjon for pedagogiske aktiviteter:
Østlig visdom sier: "Du kan føre en hest til vann, men du kan ikke tvinge den til å drikke." Og det er umulig å tvinge en person til å studere godt hvis han selv ikke prøver å lære mer og ikke har lyst til å jobbe med sin mentale utvikling. Tross alt er kunnskap bare kunnskap når den er tilegnet gjennom innsatsen til ens tanker, og ikke bare gjennom hukommelsen.
Leksjonen vår vil bli holdt under mottoet: "Vi vil erobre enhver topp hvis vi streber etter det." I løpet av leksjonen må du og jeg ha tid til å overvinne flere topper, og hver og en av dere må anstrenge seg for å erobre disse toppene.
"I dag har vi en leksjon der vi må bli kjent med et nytt konsept: "Nth root" og lære hvordan vi kan bruke dette konseptet til transformasjon av ulike uttrykk.
Målet ditt er å aktivere din eksisterende kunnskap gjennom ulike arbeidsformer, bidra til studiet av stoffet og få gode karakterer.»
Vi studerte kvadratroten av et reelt tall i 8. klasse. Kvadratroten er relatert til en funksjon av formen y=x 2. Gutter, husker dere hvordan vi regnet ut kvadratrøtter, og hvilke egenskaper hadde det?
a) individuell undersøkelse: 
hva slags uttrykk er dette
det som kalles kvadratrot
det som kalles aritmetisk kvadratrot
liste opp egenskapene til kvadratroten
b) arbeid i par: regn.
-
2. Oppdatere kunnskap og skape en problemsituasjon: Løs ligningen x 4 =1. Hvordan kan vi løse det? (Analytisk og grafisk). La oss løse det grafisk. For å gjøre dette vil vi i ett koordinatsystem konstruere en graf av funksjonen y = x 4 rett linje y = 1 (Fig. 164 a). De skjærer hverandre i to punkter: A (-1;1) og B(1;1). Abscisse av punktene A og B, dvs. x 1 = -1,
x 2 = 1 er røttene til ligningen x 4 = 1.
Ved å resonnere på nøyaktig samme måte finner vi røttene til likningen x 4 =16: La oss nå prøve å løse likningen x 4 =5; en geometrisk illustrasjon er vist i fig. 164 f. Det er tydelig at ligningen har to røtter x 1 og x 2, og disse tallene, som i de to foregående tilfellene, er innbyrdes motsatte. Men for de to første ligningene ble røttene funnet uten problemer (de kunne bli funnet uten å bruke grafer), men med ligningen x 4 = 5 er det problemer: fra tegningen kan vi ikke indikere verdiene til røttene, men vi kan bare fastslå at en rot er plassert til venstre punkt -1, og den andre er til høyre for punkt 1.
x 2 = - (les: "fjerde rot av fem").
Vi snakket om likningen x 4 = a, hvor a 0. Vi kunne like godt snakket om likningen x 4 = a, hvor a 0, og n er et hvilket som helst naturlig tall. Hvis vi for eksempel løser ligningen x 5 = 1 grafisk, finner vi x = 1 (fig. 165); løser vi likningen x 5 "= 7, fastslår vi at likningen har én rot x 1, som er plassert på x-aksen litt til høyre for punkt 1 (se fig. 165). For tallet x 1 introduserer vi notasjon .
Definisjon 1. Den n-te roten av et ikke-negativt tall a (n = 2, 3,4, 5,...) er et ikke-negativt tall som, når det heves til potensen n, resulterer i tallet a.
Dette tallet er betegnet, tallet a kalles det radikale tallet, og tallet n er eksponenten til roten.
Hvis n=2, sier de vanligvis ikke "andre rot", men sier "kvadratrot." I dette tilfellet skriver de ikke dette .
Hvis n = 3, sier de ofte "terningsrot" i stedet for "tredjegradsrot". Ditt første bekjentskap med kuberoten fant også sted i 8. klasses algebrakurs. Vi brukte kuberøtter i 9. klasse algebra.
Så hvis a ≥0, n= 2,3,4,5,…, så 1) ≥ 0; 2) () n = a.
Generelt er =b og b n =a det samme forholdet mellom ikke-negative tall a og b, men bare det andre er beskrevet på et enklere språk (bruker enklere symboler) enn det første.
Operasjonen med å finne roten til et ikke-negativt tall kalles vanligvis rotekstraksjon. Denne operasjonen er det motsatte av å heve til riktig kraft. Sammenligne:
Vennligst merk igjen: bare positive tall vises i tabellen, siden dette er fastsatt i Definisjon 1. Og selv om for eksempel (-6) 6 = 36 er en korrekt likhet, gå fra den til notasjon ved å bruke kvadratroten, dvs. skriv at det er umulig. Per definisjon betyr et positivt tall = 6 (ikke -6). På samme måte, selv om 2 4 =16, t (-2) 4 =16, beveger seg til røttenes tegn, må vi skrive = 2 (og samtidig ≠-2).
Noen ganger kalles uttrykket en radikal (fra det latinske ordet gadix - "rot"). På russisk brukes begrepet radikal ganske ofte, for eksempel "radikale endringer" - dette betyr "radikale endringer". Selve betegnelsen på roten minner forresten om ordet gadix: symbolet er en stilisert bokstav r.
Operasjonen for å trekke ut roten bestemmes også for et negativt radikaltall, men bare i tilfelle av en oddetallsroteksponent. Med andre ord kan likheten (-2) 5 = -32 omskrives i ekvivalent form som =-2. Følgende definisjon brukes.
Definisjon 2. En oddetall n av et negativt tall a (n = 3,5,...) er et negativt tall som, når det heves til potensen n, resulterer i tallet a.
Dette tallet, som i definisjon 1, er betegnet med , tallet a er det radikale tallet, og tallet n er eksponenten til roten.
Så hvis a , n=,5,7,…, så: 1) 0; 2) () n = a.
Dermed har en jevn rot mening (dvs. er definert) bare for et ikke-negativt radikalt uttrykk; en odde rot gir mening for ethvert radikalt uttrykk.
5. Primær konsolidering av kunnskap:
1. Regn ut: nr. 33,5; 33,6; 33,74 33,8 muntlig a) ; b) ; V); G) .
d) I motsetning til tidligere eksempler kan vi ikke angi den nøyaktige verdien av tallet. Det er bare klart at det er større enn 2, men mindre enn 3, siden 2 4 = 16 (dette er mindre enn 17), og 3 4 = 81. (dette mer enn 17). Vi legger merke til at 24 er mye nærmere 17 enn 34, så det er grunn til å bruke det omtrentlige likhetstegnet:
2.
Finn betydningen av følgende uttrykk.
Plasser den tilsvarende bokstaven ved siden av eksemplet.
Litt informasjon om den store vitenskapsmannen. Rene Descartes (1596-1650) fransk adelsmann, matematiker, filosof, fysiolog, tenker. Rene Descartes la grunnlaget for analytisk geometri og introduserte bokstavbetegnelsene x 2, y 3. Alle kjenner de kartesiske koordinatene som definerer funksjonen til en variabel.
3 . Løs ligningene: a) = -2; b) = 1; c) = -4
Løsning: a) Hvis = -2, så er y = -8. Faktisk må vi kube begge sider av den gitte ligningen. Vi får: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Resonner som i eksempel a), hever vi begge sider av ligningen til fjerde potens. Vi får: x=1.
c) Det er ikke nødvendig å heve til fjerde potens her denne ligningen har ingen løsninger. Hvorfor? Fordi, ifølge definisjon 1, er en partallsrot et ikke-negativt tall.
Flere oppgaver tilbys din oppmerksomhet. Når du fullfører disse oppgavene, vil du lære navnet og etternavnet til den store matematikeren. Denne forskeren var den første som introduserte rottegnet i 1637.
6. La oss hvile litt.
Klassen rekker opp hendene - dette er "en".
Hodet snudde seg - det var "to".
Hendene ned, se fremover - dette er "tre".
Hendene ble bredere til sidene til "fire"
Å trykke dem med kraft i hendene dine er en "high five".
Alle gutta trenger å sette seg ned - det er "seks".
7. Selvstendig arbeid:
alternativ: alternativ 2:
b) 3-. b)12 -6.
2. Løs ligningen: a) x 4 = -16; b) 0,02x6 -1,28=0; a) x 8 = -3; b)0,3x9 – 2,4=0;
c) = -2; c)= 2
8. Gjentakelse: Finn roten til ligningen = - x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv svaret med den mindre roten.
9. Refleksjon: Hva lærte du i timen? Hva var interessant? Hva var vanskelig?
Gradsformler brukes i prosessen med å redusere og forenkle komplekse uttrykk, i å løse likninger og ulikheter.
Antall c er n-te potens av et tall en Når:
Operasjoner med grader.
1. Ved å multiplisere grader med samme base, blir indikatorene deres lagt til:
en m·a n = a m + n .
2. Når du deler grader med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra:
3. Graden av produktet av 2 eller flere faktorer er lik produktet av gradene av disse faktorene:
(abc...) n = a n · b n · c n …
4. Graden av en brøk er lik forholdet mellom gradene av utbytte og divisor:
(a/b) n = a n /b n .
5. Ved å heve en potens til en potens multipliseres eksponentene:
(a m) n = a m n .
Hver formel ovenfor er sann i retningene fra venstre til høyre og omvendt.
For eksempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operasjoner med røtter.
1. Roten til produktet av flere faktorer er lik produktet av røttene til disse faktorene:
2. Roten av et forholdstall er lik forholdet mellom utbyttet og divisoren til røttene:
3. Når du hever en rot til en makt, er det nok å heve det radikale tallet til denne makten:
4. Hvis du øker graden av roten inn n en gang og samtidig bygge inn n den th potensen er et radikalt tall, så vil verdien av roten ikke endres:
5. Hvis du reduserer graden av roten i n trekke ut roten samtidig n-te potens av et radikalt tall, vil verdien av roten ikke endres:
En grad med negativ eksponent. Potensen til et visst tall med en ikke-positiv (heltalls) eksponent er definert som en dividert med potensen til samme tall med en eksponent lik den absolutte verdien av den ikke-positive eksponenten:
Formel en m:a n =a m - n kan brukes ikke bare til m> n, men også med m< n.
For eksempel. en4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Til formel en m:a n =a m - n ble rettferdig når m=n, tilstedeværelsen av null grader er nødvendig.
En grad med nullindeks. Potensen til et tall som ikke er lik null med en nulleksponent er lik en.
For eksempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Grad med en brøkeksponent. For å heve et reelt tall EN til den grad m/n, må du trekke ut roten n grad av m-te potens av dette tallet EN.