"Kvadrat og rektangel" - Arealet av et rektangel. Grunnleggende spørsmål. Måling av arealer av andre former. Hvordan finne arealet til et rom? Areal Arealet av rektangelet. Hvor mange elever kan studere i ulike klasserom på skolen vår? Multipliser lengde (a) med bredde (b). Problematiske problemer. I hvilke klasserom kan 11. klasse (16 personer) studere?
"Kvadrat av summen og kvadratet av differansen" - Forsterkning: VII. La oss vurdere to forskjeller 16 – 36 og 25 – 45. Legg til, vi får 16 – 36 + = 25 – 45 + , 4? - 2 4 + ()? = 5? - 2 5 + ()?, (4 –)? = (5 –)?, 4 – = 5 – , 4 = 5. Finn feilen. Kvadring av summen og differansen av to uttrykk. Den eneste måten å lære på er å ha det gøy. Leksjon for lærere på videregående kurs.
"Rektangel og kvadrat" - Beregn omkretsen til et rektangel. Et rektangel der alle sidene er like kalles et kvadrat. Omkretsen av kvadratet beregnes med formelen: P=4a. Omkretsen av firkanten er 32 cm Finn siden av firkanten. S av et kvadrat er lik 81 cm2 Hva er siden av et kvadrat? Nevn de motsatte sidene? Summen av lengdene til alle sidene i et rektangel kalles rektangelets omkrets.
"Amazing Squares" - Alle fire sidene er like lange. Eventyr: Fugler: Elefant. Fantastisk torg. Seilbåt. Da han gikk, sa han: "Jeg ønsker deg hyggelige drømmer!" Øya var veldig langt unna og så liten. Grunnleggende om origami firkantet. Han sto der uten ord... Det er hevn! Båt. 5. Hjem. Jeg er eldre, jeg er en firkant.» Papir eventyr.
"Interferens av to bølger" - Lyse striper - bølgene forsterket hverandre (maksimal amplitude). Barberhøvelen holdes på vannet av overflatespenningen til oljefilmen. Årsaken? Opplevelsen til Thomas Young. Radioteleskop-interferometer lokalisert i New Mexico, USA. Såpefilmer. Opplysende optikk. Lys med forskjellige farger tilsvarer forskjellige bølgelengder.
"Forskjellen på kvadrater" - Leksjonsemne: "Forskjellen på kvadrater." Matematisk diktat. Eksempel 1. Utfør multiplikasjon: (3x – 2y)(3x + 2y). Ikke forveksle begrepene "forskjell på kvadrater" og "kvadratforskjell". Forskjell på ruter. 4) Differansen mellom tallet m og dobbeltproduktet av tallene x og y. Formelen for forskjellen på kvadrater brukes for raske beregninger.
45 godteri koster samme mengde rubler som du kan kjøpe for 20 rubler. Hvor mange godteri kan du kjøpe for 50 rubler?
Svar: 75 godteri.
Løsning. La x- kostnaden for ett godteri i rubler. Så 45 x= 20/x, hvor x= 2/3. Så for 50 rubler kan du kjøpe 50/ x= 75 godteri.
Kriterier.
Ligning 45 er riktig x= 20/x, men det ble gjort en regnefeil ved løsningen eller senere: 5 poeng.
Løsningen sier at prisen på ett godteri er 2/3, sjekker at denne kostnaden passer med betingelsene for problemet, og får riktig svar: 4 poeng.
Kun riktig svar gis: 1 poeng.
Oppgave 2. (7 poeng)
Zhenya plasserte tallene fra 1 til 10 rundt sirkelen i en eller annen rekkefølge, og Dima skrev summen deres i hvert mellomrom mellom tallene. Kan det ha skjedd at alle tallene Dima skrev viste seg å være forskjellige?
Svar: Det kunne.
Et eksempel på nummerplassering er vist nedenfor.
Kriterier. Enhver riktig løsning: 7 poeng.
Bare et riktig svar eller et riktig svar og et feil eksempel er gitt: 0 poeng.
Oppgave 3. (7 poeng)
Er det mulig i noen celler i tabell 8 × 8 skriv enere, og resten - nuller, slik at det i alle kolonner er et annet beløp, og i alle linjer - det samme?
Svar: Kan.
Løsning. La summen av tallene i hver linje være lik x. Da er summen av alle tallene i tabellen 8 x, det vil si at totalsummen deles på 8. Merk at kolonnene kan inneholde fra 0 til 8 enheter. Summen av alle tallene fra 0 til 8 er 36. For å få et multiplum av 8, må du trekke 4 fra 36. Derfor bør det i vårt eksempel ikke være en kolonne som inneholder nøyaktig 4 enheter.
Et eksempel er vist nedenfor (det finnes andre eksempler).
Kriterier. Ethvert korrekt eksempel, selv uten noen forklaring: 7 poeng.
Det er bevist at hvis summen i alle kolonner ikke er null, eksisterer ikke eksemplet: 4 poeng.
Oppgave 4. (7 poeng)
To firkanter har et felles toppunkt. Finn forholdet mellom segmentene AB Og CD vist i figuren.
Svar:
Løsning. La poenget O- det felles toppunktet til to firkanter, og sidene deres er like en Og b. Diagonalene til rutene er like Og hhv. I tillegg, ∠ TORSK.= ∠COB+ ∠BIR= ∠COB+ 45° = ∠COB+ ∠AOC= ∠AOB. Trekanter AOB Og TORSK. lignende i generelle vinkler og proporsjonale sider ved denne vinkelen.
Derfor, AB: CD=
Kriterier. Enhver riktig løsning: 7 poeng.
Forholdet er ikke korrekt beregnet AB Til CD, A CD Til AB(henholdsvis svar): 7 poeng.
Likheten mellom trekanter er bevist AOB Og TORSK., men det er ingen ytterligere konklusjon eller den nødvendige relasjonen er funnet feil: 6 poeng.
Det er bevist at ∠ AOB= ∠TORSK., men ingen videre fremgang: 1 poeng.
Bare et spesielt tilfelle vurderes (for eksempel når rutene har samme side eller når vinkelen mellom noen sider av to ruter er 90°): 0 poeng.
Kun riktig svar gis: 0 poeng.
Oppgave 5. (7 poeng)
Tall a, b, c Og d er slik at en+b= c+d ≠ 0, ac= bd. Bevis det en+ c= b+ d.
Løsning. Hvis a ≠ 0, deretter erstatte c= b d/a, vi får
Herfra b= c Og en+ c= b+ d.
Hvis en= 0, da b ≠ 0 (ellers en+ b= 0), så d= 0 (fra ac= bd). Men så likestilling en+ b= c+ d omskrevet som b= c, hvorav den påkrevde likestillingen følger.
Andre løsninger er også mulige.
Kriterier. Enhver riktig løsning: 7 poeng.
Den riktige løsningen vurderer et uttrykk for formen bd a(eller lignende), men tilfellet med at nevneren er lik null vurderes ikke: 5 poeng.
Det er bevist at ( en+c) 2 = (b+d) 2, men saken ( en+c) = — (b+ d): 3 poeng.
Bare tilfellet med spesifikke numeriske verdier vurderes en, b, c, d: 0 poeng.
Oppgave 6. (7 poeng)
Det er 60 veiskilt langs ruten. På hver av dem er det skrevet summen av avstandene til de resterende 59 tegnene. Er det mulig at det er skrevet 60 forskjellige naturlige tall på skiltene? (Avstandene mellom tegnene er ikke nødvendigvis heltall.)
Svar: Umulig.
Løsning. La oss nummerere tegnene sekvensielt med tall fra 1 til 60. La oss bevise at tallene som er skrevet på tegnene nummerert 30 og 31 er de samme.
La oss dele de resterende tegnene i par av skjemaet k Og k+ 31: 1 og 32, 2 og 33, . . . , 29 og 60. Legg merke til at summen av avstandene fra både tegn 30 og tegn 31 til tegnene til ett par k Og k+ 31 tilsvarer avstanden mellom tegnene k Og k+ 31. Siden tallet på tegnene 30 og 31 er lik summen av avstandene til fortegnene til alle 29 parene og avstanden mellom tegnene 30 og 31, så er tallene på tegnene 30 og 31 de samme.
Kriterier. Enhver riktig løsning: 7 poeng.
Det er oppgitt, men ikke bevist, at tallene skrevet på de to midterste kolonnene (på kolonne 30 og 31) er like: 2 poeng.
Ved å bruke eksemplet med spesielle tilfeller, er det vist at det definitivt vil være like tall: 0 poeng.
Kun riktig svar gis: 0 poeng.
1. I en sirkel med sentrum O tegnes to akkorder AB og CD slik at midtvinklene AOB og COD er like. Perpendikulærene OK og OL slippes ned på disse akkordene. Bevis at OK og OL er like.
2. I en sirkel gjennom midtpunktet O av akkorden AC tegnes en akkord BD slik at buene AB og CD er like. Bevis at O er midtpunktet i akkorden BD.
3. Sirkler med senter i punktene I og J har ikke fellespunkter. Den interne felles tangenten til disse sirklene deler segmentet som forbinder sentrene deres i forholdet m:n. Bevis at diametrene til disse sirklene er i forholdet m:n.
4. Høydene AA1 og BB1 i den spisse trekant ABC skjærer hverandre i punkt E. Bevis at vinklene AA1B1 og ABB1 er like.
5. I en trekant ABC med en stump vinkel ACB tegnes høydene AA1 og BB1. Bevis at trekantene A1CB1 og ACB er like.
6. Sirkler med senter i punktene E og F krysser punktene C og D, og punktene E og F ligger på samme side av linjen CD. Bevis at CD ⊥ EF.
7. To likesidede trekanter har felles toppunkt. Bevis at segmentene AB og CD merket på figuren er like.
8. I spiss trekant ABC er vinkel B 60°. Bevis at punktene A, C, omkretssenteret til trekanten ABC og skjæringspunktet for høydene til trekanten ABC ligger på samme sirkel.
9. Sirkelen berører siden AB av trekanten ABC, hvis ∠C = 90°, og forlengelsene av sidene AC og BC av henholdsvis punktene A og B. Bevis at omkretsen av trekanten ABC er lik diameteren til denne sirkelen.
10. I en spiss trekant ABC ligger punktene A, C, circumcenter O og incircum center I på samme sirkel. Bevis at vinkelen ABC er 60°.
11. Det er kjent at en sirkel kan omskrives rundt firkanten ABCD og at forlengelsene av sidene AD og BC på firkanten skjærer hverandre i punktet K. Bevis at trekantene KAB og KCD er like.
12. Bevis at medianen til en trekant deler den i to trekanter hvis arealer er lik hverandre.
13. I en trekant ABC med en stump vinkel ACB tegnes høydene AA1 og BB1. Bevis at trekantene A1CB1 og ACB er like.
14. I parallellogrammet ABCD er perpendikulære BE og DF tegnet til diagonalen AC (se figur). Bevis at BFDE er et parallellogram.
15. I parallellogram ABCD er punkt E midtpunktet på siden AB. Det er kjent at EC=ED. Bevis at dette parallellogrammet er et rektangel.
16. To ruter har felles toppunkt. Bevis at segmentene markert i figuren og er like.
17. Midtpunktene på sidene av et parallellogram er toppunktene til en rombe. Bevis at dette parallellogrammet er et rektangel.
18. I parallellogram ABCD er høydene BH og BE tegnet til henholdsvis sidene AD og CD med BH = BE. Bevis at ABCD er en rombe.
19. I parallellogram ABCD skjærer diagonaler AC og BD i punkt K. Bevis at arealet av parallellogram ABCD er fire ganger arealet av trekanten AKD.
20. Inne i parallellogrammet ABCD, velg et vilkårlig punkt E. Bevis at summen av arealene til trekantene BEC og AED er lik halve arealet av parallellogrammet.
21. Det er kjent at en sirkel kan omskrives rundt firkanten ABCD og at forlengelsene av sidene AB og CD på firkanten skjærer hverandre i punkt M. Bevis at trekantene MBC og MDA er like.
22. Basene BC og AD til trapeset ABCD er henholdsvis 5 og 20, BD = 10. Bevis at trekantene CBD og ADB er like.
23. I en konveks firkant ABCD er vinklene BCA og BDA like. Bevis at vinklene ABD og ACD også er like.
24. I en trapes ABCD med basene AD og BC, skjærer diagonalene i punkt O. Bevis at arealene til trekantene AOB og COD er like.
©2015-2019 nettsted
Alle rettigheter tilhører deres forfattere. Dette nettstedet krever ikke forfatterskap, men tilbyr gratis bruk.
Opprettelsesdato for siden: 2017-12-12
Gitt: ∆ABC og ∆ А1В1С1; AB=___; AC=___; Ð MED=____=_____.
Bevise: ∆ABC=_____.
Bevis:
på ( AC) sett til side punktet D Så CD=A.C.. ∆ABC=∆BCD, fordi:
1) _____ - felles side;
2) A.C.=CD- etter konstruksjon;
3) Р DIA=_______ => på _____ basis AB=_____.
Likeså for А1В1С1
________________________________________________________
Vi har det:
1) AB
2) BD=___, siden ______________________;
3) AD=___, siden ______________________;
Deretter, i henhold til det tredje kriteriet for trekanter: ∆ ABD=_____.
Dermed har vi i ∆ ABC og ∆ А1В1С1:
AB=___
AC=___ => ∆_____=∆______.
Ð EN=___
Oppgave 8.
Fyll ut tabellen hvis du vet at ∆ ABC=∆А1В1С1.
Oppgave 9.
Løs flere problemer:
1. Like segmenter AB Og CD krysser i midten av hver av dem. Bevis likhet av vinkler ACB Og DBC. Lag en tegning.
2. Bevis likheten til trekantene basert på to sider og medianen som kommer fra ett toppunkt. Lag en tegning.
3. Bevis likheten mellom trekanter basert på en side, medianen tegnet til denne siden, og vinklene som medianen danner med den. Lag en tegning.
4. Poeng EN, B, C, D ligge på samme rette linje (fig. 3.7). Bevis at hvis ∆ AVE1=∆AVE2, deretter ∆ CDE1 =∆CDE2 .
5. Like trekanter ABC Og А1В1С1 fra toppene I Og I 1 halveringslinjer er tegnet BD Og B1 D1 . Bevis likheten mellom trekanter CBD Og C1 B1 D1 . Lag en tegning. Løs problemet på forskjellige måter. Ramme inn løsningen din kreativt.
Oppgave 10.
Nedenfor er problemet og et diagram med sine fem løsninger (1-5). Vurder hver løsning (fig. 3.8). Hvilke tegn på likhet av trekanter brukes i dem? Lag en plan for en av løsningene og utform den kreativt.
Trekanter ABC OgDÅRLIG er like. Sidene deresAD OgB.C. skjære i et punkt OM. Bevis at trekanter AOC OgBIR er også like.
Løsningsskjema:
§4. Tilleggsoppgaver
p1. Problemer med praktisk innhold
I mange praktiske og teoretiske tilfeller er det praktisk å bruke de kjente tegnene på likestilling av trekanter.
OPPGAVE 1. Et av hjørnene på det trekantede vindusglasset brast av. Er det mulig å bestille en glassmester til å kutte ut det knuste glasset fra den gjenlevende delen? Hvilke mål bør jeg ta? Konstruer denne trekanten ved hjelp av kompass og linjal.
Elevene jobber i grupper. Hver gruppe lager en løsning. Den første gruppen som løste problemet forsvarer sin løsning.
OPPGAVE 2. Snekkeren må fylle et trekantet hull. Hvor mange størrelser og hvilke bør han fjerne for å lage en lapp? Hva skal han måle hvis hullet har form av: a) en rettvinklet trekant, b) en likesidet trekant, c) en likebenet trekant, d) en skala trekant.
Alle elever får 4 foreslåtte typer trekanter. Det er nødvendig å finne ut muntlig hvilke dimensjoner som må fjernes for å lage en lapp.
OPPGAVE 3. Mamma kjøpte 1 meter stoff 1 meter bredt til et skjerf til sine to døtre. Del dette stoffstykket i to like deler, sørg for at døtrene dine ikke krangler (skjerfene er like) og bevis at handlingene dine er riktige.
Vil noe endre seg hvis et stykke stoff har formen:
· Rektangel,
· Parallelogram.
OPPGAVE 4. Tre landsbyer B, C, D ligger slik at C ligger 7 km sørvest for landsby B, og landsby D ligger 4 km øst for V. Tre andre landsbyer A, K, M ligger slik at landsby K ligger 4 km nord for M, og landsbyen A ligger 7 km sørøst for M. Lag en tegning og bevis at avstanden mellom punktene C og D er den samme som mellom punktene K og A.
OPPGAVE 5. I skoleverkstedet ble det laget fire stenger med lengder på 4,7,10,13 cm av tråd. Ved å koble sammen tre av de fire stengene med endene, finn ut hvilke tre stenger som kan brukes til å lage en trekant, og hvilke som ikke kan. . Forklar funnene dine.
s2. Oppgaver om bruk av tegn på likhet av trekanter fra GIA-tekster
Oppgave 1. To like akkorder AB og CD er tegnet i en sirkel med sentrum O. Perpendikulære OK og OL senkes på disse akkordene, henholdsvis (fig. 4.1). Bevis at OK og OL er like.
DIV_ADBLOCK234">
https://pandia.ru/text/80/260/images/image061.png" width="316" height="152">
Oppgave 4. Den midterste M av basen AD til trapesen ABCD er like langt fra endene av den andre basen (fig. 4.4). Bevis at trapeset ABCD er likebenet.
Oppgave 5. Midtpunktene på sidene av et parallellogram er toppunktene til en rombe (fig. 4.5). Bevis at dette parallellogrammet er et rektangel.
Oppgave 6. Midtpunktene på sidene av parallellogrammet er hjørnene til rektangelet (fig. 4.6). Bevis at dette parallellogrammet er en rombe.
Oppgave 7. Bevis at halveringslinjene til vinklene ved bunnen av en likebenet trekant er like (Figur 4.7).
Oppgave 8. Halvledere med motsatte vinkler er tegnet i et parallellogram (fig. 4.8). Bevis at halveringslinjene i et parallellogram er like.