Н.Никитин Геометрия. Постановка домашнего задания

Пропорциональные отрезки

Для введения понятия подобия вначале нам необходимо вспомнить понятие пропорциональных отрезков. Вспомним также определение отношения двух отрезков.

Определение 1

Отношением двух отрезков называется отношение их длин.

Понятие пропорциональности отрезков имеет место и для большего числа отрезков. Пусть, к примеру, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тогда

То есть отрезки $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ пропорциональны отрезкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Подобные треугольники

Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.

Определение 3

Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.

Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.

Рисунок 1. Два треугольника

Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:

Определение 4

Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.

На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.

Определение 5

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]

На рисунке 1 изображены подобные треугольники.

Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Для понятия подобия существует также понятие коэффициента подобия.

Определение 6

Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.

Площади подобных треугольников

Рассмотрим теперь теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема 1

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\]

Доказательство.

Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:

Теорема 2

Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что

Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим

Теорема доказана.

Задачи, связанные с понятием подобия треугольника

Пример 1

Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Стороны первого треугольника $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Коэффициент подобия данных треугольников $k=2$. Найти стороны второго треугольника.

Решение.

Данная задача имеет два возможных решения.

Пусть $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{{B_1C}_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}$.

Тогда $A_1B_1=kAB,\ {B_1C}_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Следовательно, $A_1B_1=4,\ {B_1C}_1=10,\ A_1C_1=12$

Пусть $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$

Тогда $A_1B_1=\frac{AB}{k},\ {B_1C}_1=\frac{BC}{k},\ A_1C_1=\frac{AC}{k}$.

Следовательно, $A_1B_1=1,\ {B_1C}_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Пример 2

Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Сторона первого треугольника $AB=2$, соответствующая сторона второго треугольника $A_1B_1=6$. Высота первого треугольника $CH=4$. Найти площадь второго треугольника.

Решение.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{3}$.

Найдем площадь первого треугольника.

По теореме 1, имеем:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\] \[\frac{4}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{1}{9}\] \

ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 92. ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ФИГУР.

1. Отношение площадей квадратов.

Рассмотрим отношение площадей двух квадратов. Если сторону одного квадрата обозначим через т , а сторону другого - через п , то площади будут соответственно равны
т 2 и п 2 (черт. 379).

Обозначив площадь первого квадрата через S, а площадь второго через S", получим: S / S" = m 2 / n 2 , т. е. площади квадратов относятся как квадраты их сторон.

Полученную формулу можно преобразовать так: S / S" = (m / n ) 2 .

Значит, можно сказать, что отношение площадей двух квадратов равно квадрату отношения их сторон.

На чертеже 379 отношение сторон квадратов равно 3, отношение их площадей равно
3 2 = 9.

2. Отношение площадей двух подобных треугольников.

Пусть /\ AВС /\ A"В"С" (черт. 380). Из подобия треугольников следует, что
/ A = / A" , / B = / B" и / С = / С" . Кроме того, AB / A"B" = BC / B"C" = AC / A"C" .

В этих треугольниках из вершин В и В" проведём высоты и обозначим их через h и h ". Площадь первого треугольника будет равна AC h / 2 , а площадь второго треугольника A"C" h" / 2 .

Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго - через S" получим: S / S" = AC h / A"C" h" или S / S" = AC / A"C" h / h"

Из подобия треугольников АВО и А"В"О" (они подобны, потому что прямоугольные, и, кроме того, имеют по равному острому углу, а именно / A = / A") следует:
h / h" = AB / A"B" . Но AB / A"B" = AC / A"C" . Следовательно, h / h" = AC / A"C" . Заменив в формуле S / S" = AC / A"C" h / h" отношение h / h" равным ему отношением AC / A"C" , получим:
S / S" = AC / A"C" AC / A"C" , или .

Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон .

Полученную формулу можно преобразовать так: S / S" = (AC / A"C") 2 .

Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.

3. Отношение площадей подобных многоугольников.

Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - подобные многоугольники (черт. 381).

Известно, что /\ AВС /\ A"В"С"; /\ ACD /\ A"C"D" и /\ ADE /\ A"D"E" (§90).
Кроме того,

;

Так как вторые отнoшения этих пропорций равны, что вытекает из подобия многоугольников, то

Используя свойство ряда равных отношений получим:

Или

где S и S" - площади данных подобных многоугольников.

Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Полученную формулу можно преобразовать к такому виду: S / S" = (AВ / A"В") 2

Упражнения.

1. Сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата в 2 раза (в 5 раз). Во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго квадрата?

2. Сторона первого квадрата составляет 1 / 3 (0,1) стороны второго квадрата. Какую часть площадь первого квадрата составляет от площади второго квадрата?

3. Коэффициент подобия в подобных многоугольниках равен 4 (1 / 5 ; 0,4; 2,5). Чему равно отношение их площадей?

4. Отношение площадей подобных многоугольников равно 36 (100; 0,09). Чему равно отношение сходственных сторон этих многоугольников?

Две фигуры F F и F ` F` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между двумя точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры F F и F ` F` подобны, то пишется F ~ F ` F\sim F` Напомним, что в записи подобия треугольников ∆ A B C ~ ∆ A 1 B 1 C 1 \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1 предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. A A переходит в A 1 A_1 , B B - в B 1 B_1 , C C - в C 1 C_1 . Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если ∆ A B C ~ ∆ A 1 B 1 C 1 \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1

∠ A = ∠ A 1 , ∠ B = ∠ B 1 , ∠ C = ∠ C 1 , A B A 1 B 1 = B C B 1 C 1 = A C A 1 C 1 \angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1,\;\angle C=\angle C_1,\;\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}

признаки подобия треугльников

Два треугольника подобны:

1) если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
2) если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
3) если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

Из признаков подобия следует утверждения, которые удобно использовать в решении задач:

1°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие в различных точках, отсекает треугольник, подобный данному.

Рис. 5

2°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает на них отрезки, пропорциональные данным сторонам, т. е. если M N | | A C MN||AC (рис. 5), то

m n = p q = m + p n + q \frac mn=\frac pq=\frac{m+p}{n+q}

3°. Если прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает на них пропорциональные отрезки, то она параллельна третьей стороне, т. е. если (см. рис. 5)

m n = m + p n + q \frac mn=\frac{m+p}{n+q} или m n = p q \frac mn=\frac pq ,

то M N MN параллельна A C AC (доказательство было дано в задании для 9 класса).

Рис. 6

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках M M и N N . Найти длину отрезка если основания трапеции равны a a и b b .

Δ Пусть O O точка пересечения диагоналей трапеции (рис. 6). Обозначим:

A D = a , B C = b , M O = x , B O = p , O D = q . AD=a,\;BC=b,\;MO=x,\;BO=p,\;OD=q.

1 . B C ~ A D △ B O C ~ △ D O A (п о д в у м у г л а м) ⇒ b a = p q 1.\;\left\{\begin{array}{l}BC\sim AD\\\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup DOA\;(по\;двум\;углам)\end{array}\right.\Rightarrow\frac ba=\frac pq

2 . M O ~ A D △ M B O ~ △ A B D ⇒ x a = p p + q 2.\;\left\{\begin{array}{l}MO\sim AD\\\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABD\end{array}\right.\Rightarrow\frac xa=\frac p{p+q}

Из (1) и (2) следует x = a p p + q = q p / q p / q + 1 = a b a + b ⇒ M O = a b a + b . x=a\frac p{p+q}=q\frac{p/q}{p/q+1}=\frac{ab}{a+b}\Rightarrow MO=\frac{ab}{a+b}.

Аналогично устанавливаем, что N O = a b a + b ⇒ M N = 2 a b a + b NO=\frac{ab}{a+b}\Rightarrow MN=\frac{2ab}{a+b} .

Результат этой задачи, как утверждение, верное для любой трапеции, следует запомнить. ▲

Из определения подобия фигур следует, что в подобных фигурах все соответствующие линейные элементы пропорциональны. Так, отношение периметров подобных треугольников равно отношению длин соответствующих сторон. Или, например, в подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей (также и описанных окружностей) равно отношению длин соответствующих сторон. Это замечание поможет нам решить следующую задачу.

Рис. 7

В прямоугольном треугольнике A B C ABC из вершины C C прямого угла проведена высота C D CD (рис. 7). Радиусы окружностей, вписанных в треугольники A C D ACD и B C D BCD равны соответственно r 1 r_1 и r 2 r_2 . Найти радиус окружности, вписанной в треугольник A B C ABC .

Δ Обозначим искомый радиус r r , положим A B = c AB=c , A C = b AC=b , B C = a BC=a . Из подобия прямоугольных треугольников A C D ACD и A B C ABC (у них равные углы при вершине A A) имеем r r 1 = c b \frac r{r_1}=\frac cb , откуда b = r 1 r c b=\frac{r_1}rc . Прямоугольные треугольники B C D BCD и B A C BAC также подобны, поэтому r r 2 = c a \frac r{r_2}=\frac ca , - откуда a = r 2 r c a=\frac{r_2}rc . Так как a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2 то, возводя в квадрат выражения для a a и b b и складывая их, получим r 1 r 2 c 2 + r 2 r 2 c 2 = c 2 ⇒ r 1 2 + r 2 2 r 2 = 1 \left(\frac{r_1}r\right)^2c^2+\left(\frac{r_2}r\right)^2c^2=c^2\;\Rightarrow\frac{r_1^2+r_2^2}{r^2}=1 . Находим r = r 1 2 + r 2 2 r=\sqrt{r_1^2+r_2^2} ▲

Напомним, что площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных элементов. Для треугольников это утверждение можно сформулировать так: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Рассмотрим характерную задачу на эту тему.

Рис. 8

Через точку M M , лежащую внутри треугольника A B C ABC , проведены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовались три треугольника (рис. 8), площади которых равны S 1 S_1 , S 2 S_2 и S 3 S_3 . Найти площадь треугольника A B C ABC .

Легко видеть, что треугольники E K M EKM , M Q F MQF и P M N PMN подобны треугольнику A B C ABC .

Пусть S S -площадь треугольника A B C ABC , тогда

S 1 S = E M A C 2 ; S 2 S = M F A C 2 ; S 3 S = P N A C 2 . \frac{S_1}S=\left(\frac{EM}{AC}\right)^2;\;\frac{S_2}S=\left(\frac{MF}{AC}\right)^2;\;\frac{S_3}S=\left(\frac{PN}{AC}\right)^2.

Откуда находим

E M = S 1 S A C , M F = S 2 S A C , P N = S 3 S A C . EM=\sqrt{\frac{S_1}S}AC,\;MF=\sqrt{\frac{S_2}S}AC,\;PN=\sqrt{\frac{S_3}S}AC.

А так как E M = A P , M F = N C ⇒ E M + P N + M F = A P + P N + N C = A C EM=AP,\;MF=NC\Rightarrow EM+PN+MF=AP+PN+NC=AC .

Таким образом, A C = A C * S 1 S + S 2 S + S 3 S ⇒ S = S 1 + S 2 + S 3 2 AC=AC\ast\left(\sqrt{\frac{S_1}S}+\sqrt{\frac{S_2}S}+\sqrt{\frac{S_3}S}\right)\Rightarrow S=\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2 . ▲

Свойства медиан, высот, биссектрис треугольника

В наших заданиях 9-го и 10-го классов здесь повторяемые теоремы и утверждения были доказаны. Для некоторых из них мы напоминаем пути доказательств, доказывая их моменты и давая поясняющие рисунки.

о медианах

Рис. 9

Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения каждая медиана делится в отношении 2: 1 , считая от вершины.

Теорема 2. Три медианы, пересекаясь, разбивают треугольник на 6 треугольников с общей вершиной, площади которых равны между собой.

(На рис. 9 площадь каждого из 6 треугольников с вершиной и основанием, равным половине стороны, равна 1 2 S A B C \frac12S_{ABC} . Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника .

Теорема 3. Пусть B D BD - медиана треугольника

A B C (B C = a , A C = b , A B = c , B D = m a) ABC\;(BC=a,\;AC=b,\;AB=c,\;BD=m_a) , тогда

m c 2 = a 2 + b 2 2 - c 2 4 m_c^2=\frac{a^2+b^2}2-\frac{c^2}4 . (Доказательство приведено далее в §4 Задания).

Рис. 10

Медианы A A 1 AA_1 треугольника A B C ABC пересекаются в точке O O , A A 1 = 12 AA_1=12 и C C 1 = 6 CC_1=6 и одна из сторон треугольника равна 12. (рис. 10). Найти площадь треугольника A B C ABC .

Δ 1. По теореме 1 имеем A O = 2 3 A A 1 = 8 , C O = 2 3 C C 1 = 4 AO=\frac23AA_1=8,\;CO=\frac23CC_1=4 .

Расставим на рисунке 10 длины отрезков медиан. По условию, одна из сторон треугольника равна 12, сторона A C AC не может равняться 12, иначе A C = A O + O C AC=AO+OC - нарушено неравенство треугольника. Также не может равняться 12 сторона A B AB , так в этом случае A C 1 = 6 AC_1=6 и треугольник A O C 1 AOC_1 со сторонами 8, 2, 6 не существует. Значит, B C = 12 BC=12 и A C 1 = 6 AC_1=6 .

2. Площадь треугольника находим по формуле Герона:

p = 7 , S A 1 O C = 7 * 1 * 3 * 3 = 3 7 p=7,\;S_{A_1OC}=\sqrt{7\ast1\ast3\ast3}=3\sqrt7 .

По теореме 2 площадь треугольника A B C ABC в 6 раз больше, находим S A B C = 18 7 S_{ABC}=18\sqrt7 .▲

о высотах

Теорема 4. Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника). В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.

Были доказаны также две леммы о высотах

1-ая лемма.

Если A A 1 AA_1 и B B 1 BB_1 - высоты треугольника A B C ABC , то треугольник A 1 B 1 C A_1B_1C подобен треугольнику A B C ABC с коэффициентом подобия k = A 1 B 1 A B = cos C k=\frac{A_1B_1}{AB}=\left|\cos C\right| . Можно это утверждение сформулировать так: Если соединить основания двух высот A A 1 AA_1 и B B 1 BB_1 треугольника A B C ABC , то образуется треугольник, подобный данному: ∆ A 1 B 1 C ~ ∆ A B C \triangle A_1B_1C\sim\triangle ABC .

Из прямоугольных треугольников A C A 1 ACA_1 следует A 1 C = A C * c o s C A_1C=AC*cosC или A 1 C = A C * c o s (180 ° - C) = A C cos C A_1C=AC\ast cos(180^\circ-C)=AC\left|\cos C\right| (рис. 11а, б), а из прямоугольных треугольников B C B 1 BCB_1 следует B 1 C = B C * c o s C B_1C=BC*cosC или B 1 C = B C * c o s (180 ° - C) = B C cos C B_1C=BC\ast cos(180^\circ-C)=BC\left|\cos C\right| . Далее рассуждения очевидны.

Рис. 13

Высоты A A 1 AA_1 и B B 1 BB_1 пересекаются в точке H H (рис. 13), при этом A H = 3 H A 1 AH=3HA_1 и B H = H B 1 BH=HB_1 . Найти косинус угла A C B ACB и площадь треугольника A B C ABC , если A C = a AC=a .

Δ Обозначим H A 1 = x , H B 1 = y HA_1=x,\;HB_1=y ,

1. Точка H H - середина высоты (рис. 13). Если отрезок M H MH проходит через точку H H и параллелен основаниям, то MN - средняя линия; M N = a / 2 MN=a/2 .

2. ∆ H A 1 N ~ ∆ A A 1 C ⇒ H N A C = x 4 x , H N = 1 4 a . \triangle HA_1N\sim\triangle AA_1C\Rightarrow\frac{HN}{AC}=\frac x{4x},\;HN=\frac14a.\; Значит, M H = H N = a 4 MH=HN=\frac a4 и A B 1 = B 1 C = a 2 AB_1=B_1C=\frac a2 Треугольник A B C ABC равнобедренный, A B = B C AB=BC .

3. ∠ B 1 B C = 90 ° - ∠ C ⇒ ∠ B H A 1 = ∠ A H B 1 = ∠ C \angle B_1BC=90^\circ-\angle C\Rightarrow\angle BHA_1=\angle AHB_1=\angle C , а по второй лемме о высотах A H * H A 1 = B H * H B 1 AH*HA_1=BH*HB_1 т. е. 3 x 2 = y 2 , y = x 3 3x^2=y^2,\;y=x\sqrt3 .

4. △ A H B 1: A B 1 2 = (3 x) 2 - y 2 , a 2 4 = 6 x 2 , x = a 2 6 , y = a 2 2 ⇒ ⇒ S A B C = 1 2 A C * B B 1 = a y = a 2 2 4 \begin{array}{l}\bigtriangleup AHB_1:\;AB_1^2=(3x)^2-y^2,\;\frac{a^2}4=6x^2,\;x=\frac a{2\sqrt6},\;y=\frac a{2\sqrt2}\Rightarrow\\\Rightarrow S_{ABC}=\frac12AC\ast BB_1=ay=\frac{a^2\sqrt2}4\end{array} . ▲

о биссектрисах треугольника

Рис. 14

Теорема 5. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если A D AD - биссектриса треугольника A B C ABC (рис. 14), то

B D D C = A B A C x y = c b \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\;\left(\frac xy=\frac cb\right)

Доказательство легко выполните сами, применяя теорему синусов к треугольникам A D B ADB и A D C ADC .

Теорема 6. Пусть A D AD - биссектриса треугольника A B C ABC (рис. 14), тогда A D = A B * A C - D B * D C AD=\sqrt{AB\ast AC-DB\ast DC} (в обозначениях рисунка 14а) A D = b c - x y AD=\sqrt{bc-xy} .

Рис. 14а

□ Эту теорему докажем. Опишем около треугольника A B C ABC окружность, точку пересечения прямой A D AD и окружности обозначим K K (рис. 14а).

Обозначим A D = z , D K = m . △ A B D ~ ∆ A K C (∠ A B D = ∠ A K C и ∠ 1 = ∠ 2) . И з п о д о б и я: A B A K = A D A C ⇒ c z + m = z b ⇒ ⇒ z 2 + z m = b c , z 2 = b c - z m . \begin{array}{l}AD=z,\;DK=m.\\\bigtriangleup ABD\sim\triangle AKC\;(\angle ABD=\angle AKC\;и\;\\\angle1=\angle2).\\Из\;подобия:\;\\\frac{AB}{AK}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow\frac c{z+m}=\frac zb\Rightarrow\\\Rightarrow z^2+zm=bc,\;z^2=bc-zm.\end{array} По свойству пересекающихся хорд:

A D * D K = B D * C D , т. е. z * m = x * y ⇒ z 2 = b c - x y , z = b c - x y AD\ast DK=BD\ast CD,\;т.е.\;z\ast m=x\ast y\Rightarrow z^2=bc-xy,\;z=\sqrt{bc-xy} . ■

В треугольнике A B C ABC со сторонами A B = 5 AB=5 , A C = 3 AC=3 биссектриса A D = 15 8 AD=\frac{15}8 . Найти сторону B C BC и радиус вписанной окружности.

Δ По теореме 5 (см. рис. 14) имеем x y = 5 3 \frac xy=\frac53 Обозначим x = 5 z x=5z , тогда y = 3 z y=3z . По теореме 6 выполнено равенство 15 8 2 = 5 * 3 - 5 z * 3 z . \left(\frac{15}8\right)^2=5\ast3-5z\ast3z. Легко находим z = 7 8 z=\frac78 значит B C = 7 . BC=7. Радиус вписанной окружности найдём по формуле S = p r S=pr (S - площадь треугольника, p -полупериметр). Имеем p = 15 2 p=\frac{15}2 , по формуле Герона S = 15 2 * 1 2 * 10 2 * 9 2 = 15 3 2 , S=\sqrt{\frac{15}2\ast\frac12\ast\frac{10}2\ast\frac92}=\frac{15\sqrt3}2, поэтому r = S p = 3 2 . r=\frac Sp=\frac{\sqrt3}2. ▲

Цели урока:

Сформировать умение использовать формулу площади треугольника при решении задач;
Рассмотреть ключевые задачи об отношении площадей треугольников, имеющих общую высоту (основание). Познакомить учащихся с методами решения задач по теме.

Оборудование урока:

Компьютер.
Мультимедийный проектор.
Экран.

Раздаточный материал.

карточки с вопросами для опроса по домашнему заданию;
презентация к уроку (Приложение 1);
карточки для выполнения самостоятельной работы.

Этапы урока

Организационный момент.
Проверка домашнего задания (усвоение материала предыдущего урока)
Закрепление ранее изученного материала
Самостоятельная работа обучающего характера
Постановка домашнего задания.
Подведение итогов урока.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщаем тему урока. Поясняем важность рассматриваемого на уроке материала, говорим о том, что сведения последних уроков по площадям имеют широкое применение, сегодня на уроке используем их при решении задач.

Для эффективности работы в начале проверим домашнее задание и повторим изученный теоретический материал.

2. Проверка домашнего задания

Опрос учащихся у доски:

доказательство теоремы о площади?.
доказательство следствий из неё
решение номеров домашнего задания.

В это время с классом работаем устно, по слайдам заранее подготовленной презентации.

3) Если AM=MC, то сравните площади этих треугольников.

Записать вывод в тетрадь:

Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника, и площадь каждого из которых равна половине площади данного треугольника.

ВМ – медиана АВC

ВК – медиана АВМ

Найдите отношение площадей

5) Известно, что S ABС =20см 2 (по условию предыдущего задания)

Найти S ABМ; S МBС; S ABК; S КBС - ?

Чему равно отношение площадей двух треугольников, имеющих общее основание?

Записываем вывод в тетради:

S ABС: S ADС = BM: DN

Площади треугольников, имеющих общее основание, относятся как высоты, проведенные к основанию.

3. Закрепление ранее изученного материала.

1. Выполняем задание №40 стр. 18-19 рабочей тетради по геометрии для 8 кл.

На рисунке точка М делит сторону АС АВС в отношении АМ: МС = 2: 3

Площадь АВС равна 180 см 2 . Найдите площадь треугольника АВМ.

2. Решаем задачу №475 учебника.

Начертите АВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.

Обсуждаем решение, используя слайды презентации

4. н/о (если позволяет время)

Данный параллелограмм разделите на три равновеликие части прямыми, выходящими из одной вершины.

Аналогично, ВВ 2 делит DВС на треугольники, имеющие одну высоту, их площади относятся как основания DB 2: B 2 C = 1: 2 => Алгоритм построения: разделить каждую из сторон AD и DC параллелограмма в отношении 2:1, считая от вершин А и С.

4. Самостоятельная работа обучающего характера

Вариант -1

1) СК – медиана АВС

S СКВ = 32 см 2 . Найти S ABС

2) S КDM = 40 см 2

На стороне КМ отмечена точка А так, что КА: АМ = 2:3

Найти: S КDА

Вариант - 2

1) АМ – медиана АВС, площадь которого 48 см 2

Найти площадь АМС

2) S DРК = 60 см 2

На стороне DК отмечена точка А так, что DА: АK = 3:1

Найти: S APK -?

5. Постановка домашнего задания

Д.З. по учебнику стр. 124-125 № 473; 506; 511(а)

6. Подведение итогов урока

Литература

1. Геометрия 7-9. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др./ “ Просвещение”, ОАО “Московский учебник”,М., 2008;

2. Рабочая тетрадь для 8 кл. об/об учреждений. Геометрия. / Атанасян Л.С. и др. / “Просвещение”, М, 2005;

2. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. / Геометрия: Задачник к школьному курсу М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998.