Jenis-jenis ubah bentuk
Ubah bentuk dipanggil perubahan bentuk, saiz atau isipadu badan. Ubah bentuk boleh disebabkan oleh daya luaran yang dikenakan pada badan. Ubah bentuk yang hilang sepenuhnya selepas tindakan daya luaran pada badan terhenti dipanggil anjal, dan ubah bentuk yang berterusan walaupun selepas kuasa luar telah berhenti bertindak ke atas badan - plastik. Membezakan ketegangan tegangan atau pemampatan(sepihak atau komprehensif), membengkok, kilasan Dan syif.
Daya elastik
Apabila jasad pepejal berubah bentuk, zarahnya (atom, molekul, ion) yang terletak di nod kekisi kristal disesarkan daripada kedudukan keseimbangannya. Anjakan ini dilawan oleh daya interaksi antara zarah badan pepejal, yang mengekalkan zarah ini pada jarak tertentu antara satu sama lain. Oleh itu, dengan sebarang jenis ubah bentuk elastik, daya dalaman timbul dalam badan yang menghalang ubah bentuknya.
Daya-daya yang timbul dalam jasad semasa ubah bentuk keanjalannya dan diarahkan melawan arah anjakan zarah-zarah badan yang disebabkan oleh ubah bentuk dipanggil daya kenyal. Daya elastik bertindak di mana-mana bahagian badan yang cacat, serta pada titik sentuhannya dengan badan yang menyebabkan ubah bentuk. Dalam kes ketegangan atau mampatan unilateral, daya kenyal diarahkan sepanjang garis lurus di mana daya luaran bertindak, menyebabkan ubah bentuk badan, bertentangan dengan arah daya ini dan berserenjang dengan permukaan badan. Sifat daya kenyal adalah elektrik.
Kami akan mempertimbangkan kes berlakunya daya kenyal semasa tegangan unilateral dan mampatan jasad pepejal.
undang-undang Hooke
Hubungan antara daya anjal dan ubah bentuk anjal jasad (pada ubah bentuk kecil) telah diwujudkan secara eksperimen oleh kontemporari Newton, ahli fizik Inggeris Hooke. Ungkapan matematik hukum Hooke untuk ubah bentuk tegangan unilateral (mampatan) mempunyai bentuk:
di mana f ialah daya kenyal; x - pemanjangan (ubah bentuk) badan; k ialah pekali perkadaran bergantung pada saiz dan bahan badan, dipanggil ketegaran. Unit SI bagi kekakuan ialah newton per meter (N/m).
undang-undang Hooke untuk tegangan unilateral (mampatan) dirumuskan seperti berikut: Daya kenyal yang timbul semasa ubah bentuk jasad adalah berkadar dengan pemanjangan jasad ini.
Mari kita pertimbangkan eksperimen yang menggambarkan hukum Hooke. Biarkan paksi simetri spring silinder bertepatan dengan garis lurus Ax (Rajah 20, a). Satu hujung spring dipasang pada sokongan di titik A, dan yang kedua adalah bebas dan badan M dilekatkan padanya Apabila spring tidak cacat, hujung bebasnya terletak di titik C. Titik ini akan diambil sebagai asal koordinat x, yang menentukan kedudukan hujung bebas spring.
Mari kita regangkan spring supaya hujung bebasnya berada di titik D, koordinatnya ialah x > 0: Pada ketika ini spring bertindak pada badan M dengan daya kenyal.
Sekarang mari kita mampatkan spring supaya hujung bebasnya berada di titik B, yang koordinatnya ialah x
Ia dapat dilihat daripada rajah bahawa unjuran daya kenyal spring ke atas paksi Ax sentiasa mempunyai tanda bertentangan dengan tanda koordinat x, kerana daya kenyal sentiasa ditujukan ke arah kedudukan keseimbangan C. Dalam Rajah. 20, b menunjukkan graf hukum Hooke. Nilai pemanjangan x spring diplot pada paksi absis, dan nilai daya kenyal diplot pada paksi ordinat. Kebergantungan fx pada x adalah linear, jadi graf ialah garis lurus yang melalui asal koordinat.
Mari kita pertimbangkan percubaan lain.
Biarkan satu hujung dawai keluli nipis diikat pada pendakap, dan beban digantung dari hujung yang satu lagi, yang beratnya ialah daya tegangan luar F yang bertindak ke atas wayar yang berserenjang dengan keratan rentasnya (Rajah 21).
Tindakan daya ini pada wayar bergantung bukan sahaja pada modulus daya F, tetapi juga pada luas keratan rentas wayar S.
Di bawah pengaruh daya luaran yang dikenakan padanya, wayar itu cacat dan diregangkan. Jika regangan tidak terlalu besar, ubah bentuk ini adalah anjal. Dalam wayar yang berubah bentuk secara elastik, satu unit f daya kenyal timbul. Menurut undang-undang ketiga Newton, daya kenyal adalah sama dengan magnitud dan bertentangan arah dengan daya luar yang bertindak ke atas jasad, i.e.
f naik = -F (2.10)
Keadaan badan yang cacat elastik dicirikan oleh nilai s, dipanggil tekanan mekanikal biasa(atau, ringkasnya, hanya voltan biasa). Tegasan normal s adalah sama dengan nisbah modulus daya kenyal kepada luas keratan rentas badan:
s = f naik /S (2.11)
Biarkan panjang awal wayar yang tidak tegang itu L 0 . Selepas menggunakan daya F, dawai itu diregangkan dan panjangnya menjadi sama dengan L. Kuantiti DL = L - L 0 dipanggil pemanjangan wayar mutlak. Kuantiti e = DL/L 0 (2.12) dipanggil pemanjangan badan relatif. Untuk terikan tegangan e>0, untuk terikan mampatan e< 0.
Pemerhatian menunjukkan bahawa untuk ubah bentuk kecil, tegasan normal s adalah berkadar dengan pemanjangan relatif e:
s = E|e|. (2.13)
Formula (2.13) adalah salah satu jenis penulisan hukum Hooke untuk tegangan unilateral (mampatan). Dalam formula ini, pemanjangan relatif diambil modulo, kerana ia boleh menjadi positif dan negatif. Pekali perkadaran E dalam hukum Hooke dipanggil modulus keanjalan membujur (modulus Young).
Mari kita wujudkan maksud fizikal modulus Young. Seperti yang dapat dilihat daripada formula (2.12), e = 1 dan L = 2L 0 untuk DL = L 0 . Daripada formula (2.13) ia mengikuti bahawa dalam kes ini s = E. Akibatnya, modulus Young secara berangka sama dengan tegasan biasa yang sepatutnya timbul dalam badan jika panjangnya digandakan. (jika hukum Hooke adalah benar untuk ubah bentuk yang begitu besar). Daripada formula (2.13) juga jelas bahawa dalam modulus SI Young dinyatakan dalam pascal (1 Pa = 1 N/m2).
Hukum Hooke dirumuskan seperti berikut: daya kenyal yang berlaku apabila jasad berubah bentuk akibat penggunaan daya luar adalah berkadar dengan pemanjangannya. Deformasi pula ialah perubahan dalam jarak interatomik atau antara molekul bahan di bawah pengaruh daya luar. Daya kenyal ialah daya yang cenderung untuk mengembalikan atom atau molekul ini kepada keadaan keseimbangan.
Formula 1 - Hukum Hooke.
F - Daya kenyal.
k - ketegaran badan (Pekali perkadaran, yang bergantung pada bahan badan dan bentuknya).
x - Ubah bentuk badan (pemanjangan atau mampatan badan).
Undang-undang ini ditemui oleh Robert Hooke pada tahun 1660. Dia menjalankan eksperimen, yang terdiri daripada yang berikut. Tali keluli nipis dipasang pada satu hujung, dan jumlah daya yang berbeza-beza dikenakan pada hujung yang lain. Ringkasnya, tali telah digantung dari siling dan beban jisim yang berbeza-beza dikenakan padanya.
Rajah 1 - Regangan tali di bawah pengaruh graviti.
Hasil daripada eksperimen, Hooke mendapati bahawa dalam lorong kecil pergantungan regangan badan adalah linear berkenaan dengan daya kenyal. Iaitu, apabila satu unit daya dikenakan, badan itu memanjang dengan satu unit panjang.
Rajah 2 - Graf pergantungan daya kenyal pada pemanjangan badan.
Sifar pada graf ialah panjang asal badan. Segala-galanya di sebelah kanan adalah peningkatan panjang badan. Dalam kes ini, daya keanjalan mempunyai nilai negatif. Iaitu, dia berusaha untuk mengembalikan badan kepada keadaan asalnya. Oleh itu, ia diarahkan melawan daya ubah bentuk. Segala-galanya di sebelah kiri adalah mampatan badan. Daya kenyal adalah positif.
Regangan tali bergantung bukan sahaja pada daya luaran, tetapi juga pada keratan rentas rentetan. Rentetan nipis entah bagaimana akan meregang kerana beratnya yang ringan. Tetapi jika anda mengambil rentetan dengan panjang yang sama, tetapi dengan diameter, katakan, 1 m, sukar untuk membayangkan berapa banyak berat yang diperlukan untuk meregangkannya.
Untuk menilai bagaimana daya bertindak ke atas jasad keratan rentas tertentu, konsep tegasan mekanikal biasa diperkenalkan.
Formula 2 - tekanan mekanikal biasa.
S-Kawasan keratan rentas.
Tekanan ini akhirnya berkadar dengan pemanjangan badan. Pemanjangan relatif ialah nisbah pertambahan panjang badan kepada jumlah panjangnya. Dan pekali perkadaran dipanggil modulus Young. Modulus kerana nilai pemanjangan badan diambil modulo, tanpa mengambil kira tanda. Ia tidak mengambil kira sama ada badan itu dipendekkan atau dipanjangkan. Adalah penting untuk menukar panjangnya.
Formula 3 - Modulus Young.
|e|. - Pemanjangan relatif badan.
s ialah ketegangan badan yang normal.
Jika daya tertentu dikenakan pada jasad, saiz dan (atau) bentuknya berubah. Proses ini dipanggil ubah bentuk badan. Dalam jasad yang mengalami ubah bentuk, timbul daya kenyal yang mengimbangi daya luar.
Jenis-jenis ubah bentuk
Semua ubah bentuk boleh dibahagikan kepada dua jenis: elastik ubah bentuk Dan plastik.
Definisi
anjal ubah bentuk dipanggil jika, selepas mengeluarkan beban, dimensi sebelumnya badan dan bentuknya dipulihkan sepenuhnya.
Definisi
plastik pertimbangkan ubah bentuk di mana perubahan dalam saiz dan bentuk badan yang muncul akibat ubah bentuk sebahagiannya dipulihkan selepas mengeluarkan beban.
Sifat ubah bentuk bergantung kepada
- magnitud dan masa pendedahan kepada beban luaran;
- bahan badan;
- keadaan badan (suhu, kaedah pemprosesan, dll.).
Tiada sempadan yang tajam antara ubah bentuk anjal dan plastik. Dalam sebilangan besar kes, ubah bentuk kecil dan jangka pendek boleh dianggap elastik.
Pernyataan undang-undang Hooke
Telah didapati secara empirikal bahawa semakin besar ubah bentuk yang perlu diperolehi, semakin besar daya ubah bentuk yang perlu dikenakan pada badan. Dengan magnitud ubah bentuk ($\Delta l$) seseorang boleh menilai magnitud daya:
\[\Delta l=\frac(F)(k)\kiri(1\kanan),\]
ungkapan (1) bermaksud nilai mutlak ubah bentuk keanjalan adalah berkadar terus dengan daya yang dikenakan. Kenyataan ini adalah kandungan undang-undang Hooke.
Apabila mengubah bentuk pemanjangan (mampatan) jasad, persamaan berikut berlaku:
dengan $F$ ialah daya ubah bentuk; $l_0$ - panjang badan awal; $l$ ialah panjang badan selepas ubah bentuk; $k$ - pekali keanjalan (pekali kekakuan, kekakuan), $ \left=\frac(N)(m)$. Pekali keanjalan bergantung pada bahan badan, saiz dan bentuknya.
Oleh kerana daya kenyal ($F_u$) timbul dalam jasad yang cacat, yang cenderung untuk memulihkan saiz dan bentuk badan sebelumnya, hukum Hooke sering dirumuskan berkaitan dengan daya kenyal:
Hukum Hooke berfungsi dengan baik untuk ubah bentuk yang berlaku pada rod yang diperbuat daripada keluli, besi tuang dan bahan pepejal lain, dalam spring. Hukum Hooke adalah sah untuk ubah bentuk tegangan dan mampatan.
Hukum Hooke untuk ubah bentuk kecil
Daya kenyal bergantung kepada perubahan jarak antara bahagian badan yang sama. Perlu diingat bahawa undang-undang Hooke hanya sah untuk ubah bentuk kecil. Dengan ubah bentuk yang besar, daya elastik tidak berkadar dengan ukuran panjang dengan peningkatan selanjutnya dalam kesan ubah bentuk, badan boleh runtuh.
Jika ubah bentuk badan adalah kecil, maka daya kenyal boleh ditentukan oleh pecutan yang diberikan oleh daya ini kepada badan. Jika jasad itu tidak bergerak, maka modulus daya kenyal didapati daripada kesamaan hingga sifar jumlah vektor daya-daya yang bertindak ke atas jasad itu.
Undang-undang Hooke boleh ditulis bukan sahaja berkaitan dengan daya, tetapi ia sering dirumuskan untuk kuantiti seperti tegasan ($\sigma =\frac(F)(S)$ ialah daya yang bertindak pada luas keratan rentas unit badan), kemudian untuk ubah bentuk kecil:
\[\sigma =E\frac(\Delta l)(l)\ \kiri(4\kanan),\]
dengan $E$ ialah modulus Young;$\ \frac(\Delta l)(l)$ ialah pemanjangan relatif badan.
Contoh masalah dengan penyelesaian
Contoh 1
Senaman. Satu beban berjisim $m$ digantung daripada kabel keluli panjang $l$ dan diameter $d$. Apakah ketegangan dalam kabel ($\sigma $), serta pemanjangan mutlaknya ($\Delta l$)?
Penyelesaian. Jom buat lukisan.
Untuk mencari daya kenyal, pertimbangkan daya yang bertindak ke atas jasad yang digantung dari kabel, kerana daya kenyal akan sama dalam magnitud dengan daya tegangan ($\overline(N)$). Menurut undang-undang kedua Newton kita mempunyai:
Dalam unjuran ke paksi Y persamaan (1.1) kita perolehi:
Mengikut undang-undang ketiga Newton, jasad bertindak pada kabel dengan daya yang sama magnitud dengan daya $\overline(N)$, kabel bertindak pada jasad dengan daya $\overline(F)$ sama dengan $\overline (\N,)$ tetapi arah bertentangan, jadi daya ubah bentuk kabel ($\overline(F)$) adalah sama dengan:
\[\overline(F)=-\overline(N\ )\left(1.3\right).\]
Di bawah pengaruh daya ubah bentuk, daya kenyal timbul dalam kabel, yang sama besarnya dengan:
Kami mendapati voltan dalam kabel ($\sigma $) sebagai:
\[\sigma =\frac(F_u)(S)=\frac(mg)(S)\kiri(1.5\kanan).\]
Kawasan S ialah luas keratan rentas kabel:
\[\sigma =\frac(4mg\ )((\pi d)^2)\kiri(1.7\kanan).\]
Mengikut undang-undang Hooke:
\[\sigma =E\frac(\Delta l)(l)\kiri(1.8\kanan),\]
\[\frac(\Delta l)(l)=\frac(\sigma )(E)\to \Delta l=\frac(\sigma l)(E)\to \Delta l=\frac(4mgl\ ) ((\pi d)^2E).\]
Jawab.$\sigma =\frac(4mg\ )((\pi d)^2);\ \Delta l=\frac(4mgl\ )((\pi d)^2E)$
Contoh 2
Senaman. Apakah ubah bentuk mutlak spring pertama dua spring yang disambung secara bersiri (Rajah 2), jika pekali kekakuan spring adalah sama: $k_1\ dan\ k_2$, dan pemanjangan spring kedua ialah $\Delta x_2$ ?
Penyelesaian. Jika sistem spring bersiri berada dalam keadaan keseimbangan, maka daya tegangan spring ini adalah sama:
Mengikut undang-undang Hooke:
Menurut (2.1) dan (2.2) kita mempunyai:
Mari kita nyatakan daripada (2.3) pemanjangan spring pertama:
\[\Delta x_1=\frac(k_2\Delta x_2)(k_1).\]
Jawab.$\Delta x_1=\frac(k_2\Delta x_2)(k_1)$.
undang-undang Hooke biasanya dipanggil hubungan linear antara komponen terikan dan komponen tegasan.
Mari kita ambil segi empat tepat asas selari dengan muka selari dengan paksi koordinat, dimuatkan dengan tegasan biasa σ x, teragih sama rata pada dua muka bertentangan (Rajah 1). Di mana σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
Sehingga had perkadaran, pemanjangan relatif diberikan oleh formula
di mana E- modulus tegangan keanjalan. Untuk keluli E = 2*10 5 MPa, oleh itu, ubah bentuk adalah sangat kecil dan diukur sebagai peratusan atau 1 * 10 5 (dalam instrumen tolok terikan yang mengukur ubah bentuk).
Memanjangkan elemen ke arah paksi X disertai dengan penyempitannya dalam arah melintang, ditentukan oleh komponen ubah bentuk
di mana μ - pemalar dipanggil nisbah mampatan sisi atau nisbah Poisson. Untuk keluli μ biasanya diambil bersamaan dengan 0.25-0.3.
Jika elemen yang dimaksudkan dimuatkan serentak dengan tegasan biasa σx, σy, σ z, teragih sama rata di sepanjang mukanya, kemudian ubah bentuk ditambah
Dengan menindih komponen ubah bentuk yang disebabkan oleh setiap tiga tegasan, kita memperoleh hubungan
Hubungan ini disahkan oleh banyak eksperimen. Digunakan kaedah tindanan atau superposisi untuk mencari jumlah terikan dan tegasan yang disebabkan oleh beberapa daya adalah sah selagi terikan dan tegasan adalah kecil dan bergantung secara linear kepada daya yang dikenakan. Dalam kes sedemikian, kita mengabaikan perubahan kecil dalam dimensi badan yang cacat dan pergerakan kecil titik penggunaan daya luaran dan mendasarkan pengiraan kita pada dimensi awal dan bentuk awal badan.
Perlu diingatkan bahawa kekecilan anjakan tidak semestinya membayangkan kelinearan perhubungan antara daya dan ubah bentuk. Jadi, sebagai contoh, dalam daya termampat Q rod dimuatkan tambahan dengan daya ricih R, walaupun dengan pesongan kecil δ satu titik tambahan timbul M = Qδ, yang menjadikan masalah tidak linear. Dalam kes sedemikian, jumlah pesongan bukanlah fungsi linear daya dan tidak boleh diperolehi dengan superposisi mudah.
Telah terbukti secara eksperimen bahawa jika tegasan ricih bertindak di sepanjang semua muka unsur, maka herotan sudut sepadan hanya bergantung pada komponen tegasan ricih yang sepadan.
berterusan G dipanggil modulus keanjalan ricih atau modulus ricih.
Kes umum ubah bentuk unsur akibat tindakan tiga komponen tegasan normal dan tiga tangensial ke atasnya boleh diperoleh menggunakan superposisi: tiga ubah bentuk ricih, ditentukan oleh hubungan (5.2b), ditindih pada tiga ubah bentuk linear yang ditentukan oleh ungkapan ( 5.2a). Persamaan (5.2a) dan (5.2b) menentukan hubungan antara komponen terikan dan tegasan dan dipanggil generalisasi undang-undang Hooke. Mari kita tunjukkan bahawa modulus ricih G dinyatakan dalam sebutan modulus tegangan keanjalan E dan nisbah Poisson μ . Untuk melakukan ini, pertimbangkan kes khas apabila σ x = σ , σy = -σ Dan σ z = 0.
Mari kita potong elemen abcd satah selari dengan paksi z dan condong pada sudut 45° kepada paksi X Dan di(Gamb. 3). Seperti berikut daripada keadaan keseimbangan unsur 0 bс, tekanan biasa σ v pada semua muka unsur abcd adalah sama dengan sifar, dan tegasan ricih adalah sama
Keadaan ketegangan ini dipanggil ricih tulen. Daripada persamaan (5.2a) ia mengikuti bahawa
iaitu lanjutan unsur mendatar ialah 0 c sama dengan pemendekan unsur menegak 0 b: ε y = -εx.
Sudut antara muka ab Dan bc perubahan, dan nilai terikan ricih yang sepadan γ boleh didapati dari segi tiga 0 bс:
Ia mengikuti itu
Berapa ramai di antara kita yang pernah tertanya-tanya betapa hebatnya objek berkelakuan apabila diambil tindakan?
Sebagai contoh, mengapa kain, jika kita meregangkannya ke arah yang berbeza, boleh meregang untuk masa yang lama, dan kemudian tiba-tiba koyak pada satu ketika? Dan mengapa eksperimen yang sama lebih sukar untuk dijalankan dengan pensel? Apakah bergantung pada rintangan bahan? Bagaimanakah anda boleh menentukan sejauh mana ia boleh berubah bentuk atau diregangkan?
Seorang penyelidik Inggeris bertanya kepada dirinya sendiri semua ini dan banyak soalan lain lebih daripada 300 tahun yang lalu dan mendapati jawapannya, kini bersatu di bawah nama umum "Hukum Hooke."
Menurut kajiannya, setiap bahan mempunyai kononnya pekali keanjalan. Ini adalah sifat yang membolehkan bahan meregang dalam had tertentu. Pekali keanjalan ialah nilai malar. Ini bermakna setiap bahan hanya boleh menahan tahap rintangan tertentu, selepas itu ia mencapai tahap ubah bentuk tidak dapat dipulihkan.
Secara umum, Hukum Hooke boleh dinyatakan dengan formula:
di mana F ialah daya kenyal, k ialah pekali keanjalan yang telah dinyatakan, dan /x/ ialah perubahan panjang bahan. Apakah yang dimaksudkan dengan perubahan dalam penunjuk ini? Di bawah pengaruh daya, objek tertentu yang dikaji, sama ada tali, getah atau lain-lain, berubah, meregang atau memampatkan. Perubahan panjang dalam kes ini ialah perbezaan antara panjang awal dan akhir objek yang sedang dikaji. Iaitu, berapa banyak spring (getah, tali, dll.) telah meregang/mampat.
Dari sini, mengetahui panjang dan pekali keanjalan malar untuk bahan tertentu, anda boleh mencari daya yang mana bahan itu ditegangkan, atau daya elastik, sebagai Hukum Hooke sering dipanggil.
Terdapat juga kes khas di mana undang-undang ini dalam bentuk standardnya tidak boleh digunakan. Kita bercakap tentang mengukur daya ubah bentuk di bawah keadaan ricih, iaitu, dalam situasi di mana ubah bentuk dihasilkan oleh daya tertentu yang bertindak pada bahan pada sudut. Hukum Hooke di bawah ricih boleh dinyatakan seperti berikut:
di mana τ ialah daya yang diingini, G ialah pekali malar yang dikenali sebagai modulus keanjalan ricih, y ialah sudut ricih, jumlah sudut kecondongan objek telah berubah.