Menggunakan kamiran untuk mencari isipadu jasad revolusi

Kegunaan praktikal matematik adalah disebabkan oleh fakta bahawa tanpa

Pengetahuan matematik khusus menyukarkan untuk memahami prinsip peranti dan penggunaan teknologi moden. Setiap orang dalam hidupnya perlu melakukan pengiraan yang agak rumit, menggunakan peralatan yang biasa digunakan, mencari formula yang diperlukan dalam buku rujukan, dan mencipta algoritma mudah untuk menyelesaikan masalah. Dalam masyarakat moden, semakin banyak kepakaran yang memerlukan tahap pendidikan yang tinggi dikaitkan dengan aplikasi langsung matematik. Oleh itu, matematik menjadi mata pelajaran yang penting secara profesional bagi seseorang pelajar. Peranan utama adalah milik matematik dalam pembentukan pemikiran algoritma; ia membangunkan keupayaan untuk bertindak mengikut algoritma yang diberikan dan untuk membina algoritma baru.

Semasa mengkaji topik penggunaan kamiran untuk mengira isipadu badan revolusi, saya mencadangkan agar pelajar dalam kelas elektif mempertimbangkan topik: "Jumlah badan revolusi menggunakan kamiran." Berikut ialah cadangan metodologi untuk mempertimbangkan topik ini:

1. Luas angka rata.

Daripada kursus algebra kita tahu bahawa masalah yang bersifat praktikal membawa kepada konsep kamiran pasti..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Untuk mencari isipadu badan putaran yang dibentuk oleh putaran trapezium melengkung mengelilingi paksi Ox, dibatasi oleh garis putus y=f(x), paksi Ox, garis lurus x=a dan x=b, kita mengira menggunakan formula

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. isipadu silinder.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Kon diperolehi dengan memutarkan segi tiga tepat ABC (C = 90) mengelilingi paksi Lembu di mana kaki AC terletak.

Segmen AB terletak pada garis lurus y=kx+c, di mana https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Biarkan a=0, b=H (H ialah ketinggian kon), kemudian Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Isipadu kon terpotong.

Kon terpenggal boleh diperolehi dengan memutarkan trapezoid segi empat tepat ABCD (CDOx) mengelilingi paksi Ox.

Segmen AB terletak pada garis lurus y=kx+c, di mana , c=r.

Oleh kerana garis lurus melalui titik A (0;r).

Oleh itu, garis lurus kelihatan seperti https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Biarkan a=0, b=H (H ialah ketinggian kon terpenggal), kemudian https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Isipadu bola.

Bola boleh diperolehi dengan memutarkan bulatan dengan pusat (0;0) mengelilingi paksi Lembu. Separuh bulatan yang terletak di atas paksi Ox diberikan oleh persamaan

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Bagaimana untuk mengira isipadu badan revolusi
menggunakan kamiran pasti?

Secara umum, terdapat banyak aplikasi menarik dalam kalkulus kamiran menggunakan kamiran pasti, anda boleh mengira luas rajah, isipadu badan putaran, panjang lengkok, luas permukaan putaran dan banyak lagi. Jadi ia akan menjadi menyeronokkan, sila kekal optimistik!

Bayangkan beberapa angka rata pada satah koordinat. Diperkenalkan? ... Saya tertanya-tanya siapa yang menyampaikan apa ... =))) Kami telah menemui kawasannya. Tetapi, sebagai tambahan, angka ini juga boleh diputar, dan diputar dalam dua cara:

- di sekeliling paksi absis;
- mengelilingi paksi ordinat.

Artikel ini akan mengkaji kedua-dua kes. Kaedah putaran kedua amat menarik; ia menyebabkan kesukaran yang paling banyak, tetapi sebenarnya penyelesaiannya hampir sama seperti dalam putaran yang lebih biasa di sekitar paksi-x. Sebagai bonus saya akan kembali masalah mencari luas rajah, dan saya akan memberitahu anda cara mencari kawasan dengan cara kedua - di sepanjang paksi. Ia bukan satu bonus kerana bahan itu sesuai dengan topik.

Mari kita mulakan dengan jenis putaran yang paling popular.

rajah rata di sekeliling paksi

Kira isipadu jasad yang diperoleh dengan memutarkan rajah yang dibatasi oleh garisan mengelilingi paksi.

Penyelesaian: Seperti dalam masalah mencari kawasan, penyelesaian dimulakan dengan lukisan angka rata. Iaitu, pada satah adalah perlu untuk membina angka yang dibatasi oleh garis , dan jangan lupa bahawa persamaan menentukan paksi. Cara menyiapkan lukisan dengan lebih cekap dan cepat boleh didapati di halaman Graf dan sifat fungsi Asas Dan . Ini adalah peringatan orang Cina, dan pada ketika ini saya tidak akan bercerita lebih jauh.

Lukisan di sini agak mudah:

Angka rata yang diingini dilorekkan dengan warna biru; ia adalah yang berputar di sekeliling paksi Hasil daripada putaran, terhasilnya piring terbang yang berbentuk ovoid yang simetri pada paksi. Sebenarnya, badan itu mempunyai nama matematik, tetapi saya terlalu malas untuk menjelaskan apa-apa dalam buku rujukan, jadi kita teruskan.

Bagaimana untuk mengira isipadu badan putaran?

Isipadu badan revolusi boleh dikira menggunakan formula:

Dalam formula, nombor mesti ada sebelum kamiran. Jadi ia berlaku - segala-galanya yang berputar dalam kehidupan berkaitan dengan pemalar ini.

Saya rasa mudah untuk meneka cara menetapkan had penyepaduan "a" dan "be" daripada lukisan yang telah siap.

Fungsi... apakah fungsi ini? Mari lihat lukisan itu. Rajah satah dibatasi oleh graf parabola di bahagian atas. Ini adalah fungsi yang tersirat dalam formula.

Dalam tugas praktikal, angka rata kadangkala boleh diletakkan di bawah paksi. Ini tidak mengubah apa-apa - integrand dalam formula adalah kuasa dua: , dengan itu kamiran sentiasa bukan negatif, yang sangat logik.

Mari kita mengira isipadu badan putaran menggunakan formula ini:

Seperti yang telah saya nyatakan, integral hampir selalu ternyata mudah, perkara utama adalah berhati-hati.

Jawab:

Dalam jawapan anda, anda mesti menunjukkan dimensi - unit padu. Iaitu, dalam badan putaran kita terdapat kira-kira 3.35 "kiub". Kenapa kubik unit? Kerana formulasi yang paling universal. Mungkin ada sentimeter padu, mungkin ada meter padu, mungkin ada kilometer padu, dsb., Itulah berapa ramai lelaki hijau yang boleh imaginasi anda masukkan ke dalam piring terbang.

Cari isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran mengelilingi paksi rajah yang dibatasi oleh garis , ,

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Mari kita pertimbangkan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering dihadapi dalam amalan.

Kira isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi absis rajah yang dibatasi oleh garis , , dan

Penyelesaian: Mari kita gambarkan dalam lukisan angka rata yang dibatasi oleh garis , , , , tanpa lupa bahawa persamaan mentakrifkan paksi:

Angka yang dikehendaki dilorekkan dengan warna biru. Apabila ia berputar mengelilingi paksinya, ia ternyata menjadi donat surreal dengan empat penjuru.

Mari kita hitung isipadu badan revolusi sebagai perbezaan isipadu badan.

Mula-mula, mari kita lihat angka yang dilingkari merah. Apabila ia berputar mengelilingi paksi, kon terpenggal diperolehi. Mari kita nyatakan isipadu kon terpenggal ini dengan .

Pertimbangkan rajah yang dibulatkan dengan warna hijau. Jika anda memutarkan rajah ini di sekeliling paksi, anda juga akan mendapat kon terpotong, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan isipadunya dengan .

Dan, jelas sekali, perbezaan dalam jumlah adalah betul-betul jumlah "donut" kami.

Kami menggunakan formula standard untuk mencari isipadu badan revolusi:

1) Rajah yang dilingkari merah dibatasi di atas dengan garis lurus, oleh itu:

2) Rajah yang dilingkari hijau dibatasi di atas dengan garis lurus, oleh itu:

3) Isipadu badan putaran yang diingini:

Jawab:

Adalah ingin tahu bahawa dalam kes ini penyelesaiannya boleh disemak menggunakan formula sekolah untuk mengira isipadu kon terpenggal.

Keputusan itu sendiri sering ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita berehat sedikit dan memberitahu anda tentang ilusi geometri.

Orang sering mempunyai ilusi yang dikaitkan dengan jilid, yang diperhatikan oleh Perelman (yang lain) dalam buku itu Geometri yang menghiburkan. Lihatlah angka rata dalam masalah yang diselesaikan - ia nampaknya kecil di kawasan, dan isipadu badan revolusi hanyalah lebih daripada 50 unit padu, yang kelihatan terlalu besar. Ngomong-ngomong, orang biasa minum setara dengan bilik 18 meter persegi cecair sepanjang hidupnya, yang, sebaliknya, nampaknya jumlahnya terlalu kecil.

Selepas penyimpangan lirik, adalah sesuai untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Hitung isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran tentang paksi suatu rajah rata yang dibatasi oleh garis , , di mana .

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Sila ambil perhatian bahawa semua kes berlaku dalam band, dalam erti kata lain, had integrasi siap sedia sebenarnya diberikan. Lukis graf fungsi trigonometri dengan betul, izinkan saya mengingatkan anda tentang bahan pelajaran tentang transformasi geometri graf: jika hujah dibahagikan dengan dua: , maka graf diregangkan dua kali sepanjang paksi. Adalah dinasihatkan untuk mencari sekurang-kurangnya 3-4 mata mengikut jadual trigonometri untuk melengkapkan lukisan dengan lebih tepat. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran. Dengan cara ini, tugas itu boleh diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Pengiraan isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran
rajah rata di sekeliling paksi

Perenggan kedua akan menjadi lebih menarik daripada perenggan pertama. Tugas mengira isipadu badan revolusi di sekeliling paksi ordinat juga merupakan tetamu yang agak biasa dalam kerja ujian. Sepanjang perjalanan ia akan dipertimbangkan masalah mencari luas rajah kaedah kedua ialah integrasi sepanjang paksi, ini akan membolehkan anda bukan sahaja untuk meningkatkan kemahiran anda, tetapi juga mengajar anda untuk mencari jalan penyelesaian yang paling menguntungkan. Terdapat juga makna kehidupan praktikal dalam ini! Semasa guru saya mengenai kaedah pengajaran matematik mengenang kembali dengan senyuman, ramai graduan mengucapkan terima kasih kepadanya dengan kata-kata: "Subjek anda banyak membantu kami, kini kami adalah pengurus yang berkesan dan menguruskan kakitangan secara optimum." Mengambil kesempatan ini, saya juga merakamkan setinggi-tinggi penghargaan kepada beliau, lebih-lebih lagi saya menggunakan ilmu yang diperoleh untuk tujuan yang dimaksudkan =).

Saya mengesyorkannya kepada semua orang, walaupun boneka yang lengkap. Selain itu, bahan yang dipelajari dalam perenggan kedua akan memberikan bantuan yang tidak ternilai dalam mengira kamiran berganda.

Diberi angka rata yang dibatasi oleh garis , , .

1) Cari luas rajah rata yang dibatasi oleh garis-garis ini.
2) Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan memutarkan rajah rata yang dibatasi oleh garisan ini mengelilingi paksi.

Perhatian! Walaupun anda hanya mahu membaca titik kedua, pastikan anda membaca yang pertama dahulu!

Penyelesaian: Tugasan terdiri daripada dua bahagian. Mari kita mulakan dengan petak.

1) Mari buat lukisan:

Adalah mudah untuk melihat bahawa fungsi menentukan cawangan atas parabola, dan fungsi menentukan cawangan bawah parabola. Di hadapan kita adalah parabola remeh yang "terletak di sisinya."

Angka yang dikehendaki, kawasan yang boleh ditemui, dilorekkan dengan warna biru.

Bagaimana untuk mencari luas angka? Ia boleh didapati dengan cara "biasa", yang dibincangkan di dalam kelas Kamiran pasti. Bagaimana untuk mengira luas rajah. Selain itu, luas angka itu didapati sebagai jumlah kawasan:
- pada segmen ;
- pada segmen.

Itulah sebabnya:

Mengapa penyelesaian biasa buruk dalam kes ini? Pertama, kami mendapat dua kamiran. Kedua, kamiran ialah punca, dan punca kamiran bukan hadiah, dan selain itu, anda boleh keliru dalam menggantikan had kamiran. Sebenarnya, kamiran, tentu saja, bukan pembunuh, tetapi dalam praktiknya semuanya boleh menjadi lebih menyedihkan, saya hanya memilih fungsi "lebih baik" untuk masalah itu.

Terdapat penyelesaian yang lebih rasional: ia terdiri daripada beralih kepada fungsi songsang dan menyepadukan sepanjang paksi.

Bagaimana untuk pergi ke fungsi songsang? Secara kasarnya, anda perlu menyatakan "x" melalui "y". Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tetapi mari kita pastikan bahawa fungsi yang sama boleh diperolehi daripada cawangan bawah:

Lebih mudah dengan garis lurus:

Sekarang lihat paksi: sila condongkan kepala anda ke kanan 90 darjah secara berkala semasa anda menerangkan (ini bukan jenaka!). Angka yang kita perlukan terletak pada segmen, yang ditunjukkan oleh garis putus-putus merah. Dalam kes ini, pada segmen garis lurus terletak di atas parabola, yang bermaksud bahawa kawasan angka itu harus ditemui menggunakan formula yang sudah biasa kepada anda: . Apa yang telah berubah dalam formula? Hanya sepucuk surat dan tidak lebih.

! Nota: Had penyepaduan sepanjang paksi hendaklah ditetapkan dengan ketat dari bawah ke atas!

Mencari kawasan:

Pada segmen, oleh itu:

Sila ambil perhatian bagaimana saya menjalankan penyepaduan, ini adalah cara yang paling rasional, dan dalam perenggan seterusnya tugas itu akan jelas mengapa.

Bagi pembaca yang meragui ketepatan integrasi, saya akan mencari derivatif:

Fungsi integrand asal diperolehi, yang bermaksud integrasi telah dilakukan dengan betul.

Jawab:

2) Mari kita hitung isipadu jasad yang terbentuk oleh putaran rajah ini mengelilingi paksi.

Saya akan melukis semula lukisan dalam reka bentuk yang sedikit berbeza:

Jadi, rajah yang berlorek dengan warna biru berputar mengelilingi paksi. Hasilnya ialah "rama-rama melayang" yang berputar mengelilingi paksinya.

Untuk mencari isipadu badan putaran, kita akan menyepadukan sepanjang paksi. Mula-mula kita perlu pergi ke fungsi songsang. Perkara ini telah pun dilakukan dan diterangkan secara terperinci dalam perenggan sebelumnya.

Sekarang kita condongkan kepala kita ke kanan sekali lagi dan mengkaji angka kita. Jelas sekali, isipadu badan putaran harus didapati sebagai perbezaan dalam isipadu.

Kami memutarkan rajah yang dilingkari merah di sekeliling paksi, menghasilkan kon terpotong. Mari kita nyatakan jilid ini dengan .

Kami memutarkan rajah yang dilingkari hijau di sekeliling paksi dan menandakannya dengan isipadu badan putaran yang terhasil.

Isipadu rama-rama kita adalah sama dengan perbezaan isipadu.

Kami menggunakan formula untuk mencari isipadu badan revolusi:

Apakah perbezaan daripada formula dalam perenggan sebelumnya? Hanya dalam surat.

Tetapi kelebihan integrasi, yang saya bincangkan baru-baru ini, adalah lebih mudah dicari , daripada menaikkan integrand terlebih dahulu kepada kuasa ke-4.

Jawab:

Ambil perhatian bahawa jika angka rata yang sama diputar di sekeliling paksi, anda akan mendapat badan putaran yang berbeza sama sekali, dengan isipadu yang berbeza, secara semula jadi.

Diberi rajah rata yang dibatasi oleh garis dan paksi.

1) Pergi ke fungsi songsang dan cari luas rajah satah yang dibatasi oleh garis-garis ini dengan menyepadukan pembolehubah.
2) Kira isipadu jasad yang diperolehi dengan memutarkan rajah rata yang dibatasi oleh garisan ini mengelilingi paksi.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Mereka yang berminat juga boleh mencari luas angka dengan cara "biasa", dengan itu menyemak titik 1). Tetapi jika, saya ulangi, anda memutarkan angka rata di sekeliling paksi, anda akan mendapat badan putaran yang sama sekali berbeza dengan jumlah yang berbeza, dengan cara itu, jawapan yang betul (juga untuk mereka yang suka menyelesaikan masalah).

Penyelesaian lengkap kepada dua perkara yang dicadangkan dalam tugasan adalah pada akhir pelajaran.

Ya, dan jangan lupa condongkan kepala anda ke kanan untuk memahami badan putaran dan had integrasi!

Saya hampir menyelesaikan artikel itu, tetapi hari ini mereka membawa contoh yang menarik hanya untuk mencari isipadu badan revolusi di sekitar paksi ordinat. segar:

Hitung isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran mengelilingi paksi rajah yang dibatasi oleh lengkung dan .

Penyelesaian: Mari buat lukisan:

Sepanjang perjalanan, kita berkenalan dengan graf beberapa fungsi lain. Berikut ialah graf menarik bagi fungsi genap...

Biarkan T ialah jasad revolusi yang dibentuk melalui putaran mengelilingi paksi absis trapezium lengkung yang terletak pada separuh satah atas dan dihadkan oleh paksi absis, garis lurus x=a dan x=b dan graf fungsi selanjar y= f(x) .

Mari kita buktikan bahawa ini adalah jasad revolusi dikubus dan isipadunya dinyatakan dengan formula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Pertama, kita membuktikan bahawa badan revolusi ini adalah tetap jika kita memilih satah Oyz berserenjang dengan paksi putaran sebagai \Pi. Ambil perhatian bahawa bahagian yang terletak pada jarak x dari satah Oyz ialah bulatan berjejari f(x) dan luasnya S(x) adalah sama dengan \pi f^2(x) (Rajah 46). Oleh itu, fungsi S(x) adalah selanjar disebabkan oleh kesinambungan f(x). Seterusnya, jika S(x_1)\leqslant S(x_2), maka ini bermakna bahawa . Tetapi unjuran bahagian pada satah Oyz ialah bulatan berjejari f(x_1) dan f(x_2) dengan pusat O, dan dari f(x_1)\leqslant f(x_2) ia berikutan bahawa bulatan jejari f(x_1) terkandung dalam bulatan jejari f(x_2) .

Jadi, badan revolusi adalah teratur. Oleh itu, ia dikubus dan isipadunya dikira dengan formula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Jika trapezium melengkung dibatasi di bawah dan di atas oleh lengkung y_1=f_1(x), y_2=f_2(x), maka

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Formula (3) juga boleh digunakan untuk mengira isipadu badan revolusi dalam kes apabila sempadan rajah berputar ditentukan oleh persamaan parametrik. Dalam kes ini, anda perlu menggunakan perubahan pembolehubah di bawah tanda kamiran pasti.

Dalam sesetengah kes, ternyata mudah untuk menguraikan badan putaran bukan menjadi silinder bulat lurus, tetapi menjadi angka dari jenis yang berbeza.

Sebagai contoh, mari kita cari isipadu jasad yang diperoleh dengan memutarkan trapezium melengkung mengelilingi paksi ordinat. Mula-mula, mari kita cari isipadu yang diperolehi dengan memutarkan segi empat tepat dengan ketinggian y#, di pangkalnya terletak segmen . Isipadu ini sama dengan perbezaan isipadu dua silinder bulat lurus

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Tetapi kini jelas bahawa jumlah yang diperlukan dianggarkan dari atas dan bawah seperti berikut:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Ia mengikuti dengan mudah dari sini formula untuk isipadu badan revolusi di sekeliling paksi ordinat:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Contoh 4. Mari cari isipadu bola berjejari R.

Penyelesaian. Tanpa kehilangan keluasan, kita akan mempertimbangkan bulatan jejari R dengan pusat di tempat asal. Bulatan ini, berputar mengelilingi paksi Lembu, membentuk bola. Persamaan bulatan ialah x^2+y^2=R^2, jadi y^2=R^2-x^2. Dengan mengambil kira simetri bulatan berbanding paksi ordinat, mula-mula kita dapati separuh daripada isipadu yang diperlukan

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \kiri.(\pi\!\kiri(R^2x- \frac(x^3)(3)\kanan))\kanan|_(0)^(R)= \pi\ !\kiri(R^3- \frac(R^3)(3)\kanan)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Oleh itu, isipadu keseluruhan bola adalah sama dengan \frac(4)(3)\pi R^3.

Contoh 5. Hitung isipadu kon yang tingginya h dan jejari tapak r.

Penyelesaian. Marilah kita memilih sistem koordinat supaya paksi Lembu bertepatan dengan ketinggian h (Rajah 47), dan mengambil bucu kon sebagai asal koordinat. Kemudian persamaan garis lurus OA akan ditulis dalam bentuk y=\frac(r)(h)\,x.

Dengan menggunakan formula (3), kami memperoleh:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \kiri.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\kanan|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2j\,.

Contoh 6. Mari cari isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi-x astroid \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Gamb. 48).

Penyelesaian. Mari bina astroid. Mari kita pertimbangkan separuh daripada bahagian atas astroid, terletak secara simetri berbanding paksi ordinat. Menggunakan formula (3) dan menukar pembolehubah di bawah tanda kamiran pasti, kita dapati had pengamiran untuk pembolehubah baru t.

Jika x=a\cos^3t=0 , maka t=\frac(\pi)(2) , dan jika x=a\cos^3t=a , maka t=0 . Memandangkan y^2=a^2\sin^6t dan dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, kita dapat:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Isipadu seluruh badan yang terbentuk oleh putaran astroid akan menjadi \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Contoh 7. Mari kita cari isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi ordinat bagi trapezium lengkung yang dibatasi oleh paksi-x dan lengkok pertama bagi sikloid \begin(kes)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Penyelesaian. Mari kita gunakan formula (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, dan gantikan pembolehubah di bawah tanda kamiran, dengan mengambil kira bahawa lengkok pertama sikloid terbentuk apabila pembolehubah t berubah daripada 0 kepada 2\pi. Oleh itu,

\mulakan(diselaraskan)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\kanan))\kanan|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\kiri(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\kanan)= 6\pi^3a^3. \end(aligned)

Javascript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk melakukan pengiraan, anda mesti mendayakan kawalan ActiveX!

Topik: "Mengira isipadu badan revolusi menggunakan kamiran pasti"

Jenis pelajaran: digabungkan.

Objektif pelajaran: belajar mengira isipadu badan revolusi menggunakan kamiran.

Tugasan:

menyatukan keupayaan untuk mengenal pasti trapezoid lengkung daripada beberapa rajah geometri dan membangunkan kemahiran mengira luas trapezoid lengkung;

berkenalan dengan konsep angka tiga dimensi;

belajar mengira isipadu badan putaran;

menggalakkan perkembangan pemikiran logik, ucapan matematik yang cekap, ketepatan semasa membina lukisan;

untuk memupuk minat dalam subjek, dalam beroperasi dengan konsep dan imej matematik, untuk memupuk kemahuan, berdikari, dan ketabahan dalam mencapai keputusan akhir.

Kemajuan pelajaran

I. Detik organisasi.

Salam perkenalan dari kumpulan. Menyampaikan objektif pelajaran kepada pelajar.

Saya ingin memulakan pelajaran hari ini dengan perumpamaan. “Pada suatu masa dahulu hiduplah seorang yang bijaksana yang mengetahui segala-galanya. Seorang lelaki ingin membuktikan bahawa orang bijak itu tidak mengetahui segala-galanya. Sambil memegang seekor kupu-kupu di tangannya, dia bertanya: "Beritahu saya, orang bijak, rama-rama mana yang ada di tangan saya: mati atau hidup?" Dan dia berfikir: "Jika yang hidup berkata, saya akan membunuhnya; Orang bijak itu, setelah berfikir, menjawab: "Semuanya ada di tanganmu."

Oleh itu, mari kita bekerja dengan baik hari ini, memperoleh simpanan pengetahuan baru, dan kita akan menggunakan kemahiran dan kebolehan yang diperoleh dalam kehidupan masa depan dan dalam aktiviti praktikal "Semuanya ada di tangan anda."

II. Pengulangan bahan yang telah dipelajari sebelumnya.

Mari kita ingat perkara utama bahan yang dipelajari sebelum ini. Untuk melakukan ini, mari selesaikan tugasan "Hapuskan perkataan tambahan."

(Pelajar menyebut perkataan tambahan.)

Betul "Perbezaan". Cuba namakan perkataan yang tinggal dengan satu perkataan biasa. (Kalkulus bersepadu.)

Mari kita ingat peringkat dan konsep utama yang berkaitan dengan kalkulus kamiran.

Bersenam. Pulihkan jurang. (Pelajar itu keluar dan menulis dalam perkataan yang diperlukan dengan penanda.)

Bekerja dalam buku nota.

Formula Newton-Leibniz diperolehi oleh ahli fizik Inggeris Isaac Newton (1643-1727) dan ahli falsafah Jerman Gottfried Leibniz (1646-1716). Dan ini tidak menghairankan, kerana matematik adalah bahasa yang dituturkan oleh alam semula jadi itu sendiri.

Mari kita pertimbangkan bagaimana formula ini digunakan untuk menyelesaikan masalah praktikal.

Contoh 1: Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis

Penyelesaian: Mari bina graf fungsi pada satah koordinat . Mari pilih kawasan angka yang perlu dijumpai.

III. Mempelajari bahan baharu.

Beri perhatian pada skrin. Apakah yang ditunjukkan dalam gambar pertama? (Rajah menunjukkan angka rata.)

Apakah yang ditunjukkan dalam gambar kedua? Adakah angka ini rata? (Rajah menunjukkan rajah tiga dimensi.)

Di angkasa, di bumi dan dalam kehidupan seharian, kita tidak hanya menemui angka rata, tetapi juga tiga dimensi, tetapi bagaimana kita boleh mengira isipadu badan tersebut? Contohnya: isipadu planet, komet, meteorit, dsb.

Orang ramai berfikir tentang isipadu semasa membina rumah dan semasa menuangkan air dari satu bekas ke yang lain. Peraturan dan teknik untuk mengira isipadu terpaksa muncul; betapa tepat dan wajarnya adalah perkara lain.

Tahun 1612 sangat membuahkan hasil bagi penduduk kota Linz di Austria, tempat tinggal ahli astronomi terkenal Johannes Kepler, terutama untuk anggur. Orang ramai sedang menyediakan tong wain dan ingin tahu cara praktikal menentukan jumlahnya.

Oleh itu, karya-karya Kepler yang dipertimbangkan menandakan permulaan keseluruhan aliran penyelidikan yang memuncak pada suku terakhir abad ke-17. reka bentuk dalam karya I. Newton dan G.V. Leibniz bagi kalkulus pembezaan dan kamiran. Sejak itu, matematik pembolehubah mengambil tempat utama dalam sistem pengetahuan matematik.

Hari ini anda dan saya akan terlibat dalam aktiviti praktikal sedemikian, oleh itu,

Topik pelajaran kami: "Mengira isipadu badan putaran menggunakan kamiran pasti."

Anda akan mempelajari definisi badan revolusi dengan menyelesaikan tugasan berikut.

"Labyrinth".

Bersenam. Cari jalan keluar daripada situasi yang mengelirukan dan tuliskan definisinya.

IVPengiraan isipadu.

Menggunakan kamiran pasti, anda boleh mengira isipadu badan tertentu, khususnya, badan revolusi.

Jasad revolusi ialah jasad yang diperoleh dengan memutarkan trapezoid melengkung di sekeliling tapaknya (Rajah 1, 2)

Isipadu badan revolusi dikira menggunakan salah satu formula:

1. sekitar paksi OX.

2. , jika putaran trapezium melengkung mengelilingi paksi op-amp.

Pelajar menulis formula asas dalam buku nota.

Guru menerangkan penyelesaian kepada contoh di papan tulis.

1. Cari isipadu jasad yang diperoleh dengan berputar mengelilingi paksi ordinat bagi trapezium lengkung yang dibatasi oleh garisan: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Penyelesaian.

Jawapan: 1163 cm3.

2. Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan memutarkan trapezium parabola mengelilingi paksi-x y = , x = 4, y = 0.

Penyelesaian.

V. Simulator matematik.

2. Set semua antiderivatif bagi fungsi tertentu dipanggil

A) kamiran tak tentu,

B) fungsi,

B) pembezaan.

7. Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi absis trapezium lengkung yang dibatasi oleh garisan:

D/Z. Menggabungkan bahan baharu

Kira isipadu jasad yang terbentuk oleh putaran kelopak mengelilingi paksi-x y = x2, y2 = x.

Mari bina graf fungsi. y = x2, y2 = x. Mari tukarkan graf y2 = x kepada bentuk y = .

Kita ada V = V1 - V2 Mari kita hitung isipadu setiap fungsi:

Kesimpulan:

Kamiran pasti adalah asas tertentu untuk kajian matematik, yang memberikan sumbangan yang tidak boleh digantikan untuk menyelesaikan masalah praktikal.

Topik "Integral" jelas menunjukkan hubungan antara matematik dan fizik, biologi, ekonomi dan teknologi.

Perkembangan sains moden tidak dapat difikirkan tanpa penggunaan integral. Dalam hal ini, adalah perlu untuk mula mempelajarinya dalam rangka pendidikan khusus menengah!

VI. Penggredan.(Dengan ulasan.)

Omar Khayyam yang hebat - ahli matematik, penyair, ahli falsafah. Dia menggalakkan kita untuk menjadi tuan atas nasib kita sendiri. Jom dengarkan petikan karya beliau:

Anda berkata, hidup ini sekejap.
Hargainya, dapatkan inspirasi daripadanya.
Apabila anda membelanjakannya, ia akan berlalu.
Jangan lupa: dia adalah ciptaan anda.

Definisi 3. Jasad revolusi ialah jasad yang diperoleh dengan memutarkan rajah rata di sekeliling paksi yang tidak bersilang dengan rajah itu dan terletak pada satah yang sama dengannya.

Paksi putaran boleh bersilang dengan rajah jika ia adalah paksi simetri rajah.

Teorem 2.
, paksi
dan segmen lurus
Dan

berputar mengelilingi paksi
. Kemudian isipadu badan putaran yang terhasil boleh dikira menggunakan formula

(2)

Bukti. Untuk badan sedemikian, keratan rentas dengan absis ialah bulatan jejari
, Bermaksud
dan formula (1) memberikan hasil yang diperlukan.

Jika angka itu dihadkan oleh graf dua fungsi selanjar
Dan
, dan segmen baris
Dan
, dan
Dan
, kemudian apabila putaran mengelilingi paksi-x kita memperolehi jasad yang isipadunya

Contoh 3. Kira isipadu torus yang diperolehi dengan memutarkan bulatan yang dibatasi oleh bulatan

mengelilingi paksi absis.

R keputusan. Bulatan yang ditunjukkan dihadkan di bawah oleh graf fungsi
, dan dari atas -
. Perbezaan kuasa dua fungsi ini:

Kelantangan yang diperlukan

(graf kamiran dan ialah separuh bulatan atas, jadi kamiran yang ditulis di atas ialah luas separuh bulatan).

Contoh 4. Segmen parabola dengan tapak
, dan ketinggian , berputar mengelilingi pangkalan. Kira isipadu badan yang terhasil (“lemon” oleh Cavalieri).

R keputusan. Letakkan parabola seperti yang ditunjukkan dalam rajah. Kemudian persamaannya
, dan
. Mari cari nilai parameter :
. Jadi, jumlah yang diperlukan:

Teorem 3. Biarkan trapezium melengkung dibatasi oleh graf bagi fungsi bukan negatif berterusan
, paksi
dan segmen lurus
Dan
, dan
, berputar mengelilingi paksi
. Kemudian isipadu badan revolusi yang terhasil boleh didapati dengan formula

(3)

Idea pembuktian. Kami membahagikan segmen
titik

, kepada bahagian dan lukis garis lurus
. Keseluruhan trapezoid akan diuraikan menjadi jalur, yang boleh dianggap kira-kira segi empat tepat dengan tapak
dan ketinggian
.

Kami memotong silinder yang terhasil dengan memutar segi empat tepat di sepanjang generatriknya dan membukanya. Kami mendapat saluran selari "hampir" dengan dimensi:
,
Dan
. Kelantangannya
. Jadi, untuk isipadu badan revolusi kita akan mempunyai kesaksamaan anggaran

Untuk mendapatkan kesamaan yang tepat, seseorang mesti pergi ke had di
. Jumlah yang ditulis di atas ialah jumlah kamiran untuk fungsi tersebut
, oleh itu, dalam had kita memperoleh kamiran daripada formula (3). Teorem telah terbukti.

Nota 1. Dalam Teorem 2 dan 3 keadaan
boleh ditinggalkan: formula (2) secara amnya tidak sensitif kepada tanda
, dan dalam formula (3) ia adalah mencukupi
ganti dengan
.

Contoh 5. Segmen parabola (asas
, tinggi ) berputar mengelilingi ketinggian. Cari isipadu badan yang terhasil.

Penyelesaian. Mari letakkan parabola seperti yang ditunjukkan dalam rajah. Dan walaupun paksi putaran bersilang dengan rajah, ia - paksi - ialah paksi simetri. Oleh itu, kita perlu mengambil kira separuh bahagian kanan sahaja. Persamaan parabola
, dan
, Bermaksud
. Kami ada untuk kelantangan:

Nota 2. Jika sempadan lengkung trapezium lengkung diberikan oleh persamaan parametrik
,
,
Dan
,
maka anda boleh menggunakan formula (2) dan (3) dengan penggantian pada
Dan
pada
apabila berubah t daripada
kepada .

Contoh 6. Angka itu dihadkan oleh lengkok pertama sikloid
,
,
, dan paksi-x. Cari isipadu jasad yang diperoleh dengan memutar rajah ini di sekeliling: 1) paksi
; 2) paksi
.

Penyelesaian. 1) Formula am
Dalam kes kami:

2) Formula am
Untuk angka kami:

Kami menjemput pelajar untuk menjalankan semua pengiraan sendiri.

Nota 3. Biarkan sektor melengkung dibatasi oleh garis berterusan
dan sinar
,

, berputar mengelilingi paksi kutub. Isipadu badan yang terhasil boleh dikira menggunakan formula.

Contoh 7. Sebahagian daripada rajah yang dibatasi oleh kardioid
, berbaring di luar bulatan
, berputar mengelilingi paksi kutub. Cari isipadu badan yang terhasil.

Penyelesaian. Kedua-dua garisan, dan oleh itu angka yang dihadkan, adalah simetri tentang paksi kutub. Oleh itu, adalah perlu untuk mempertimbangkan bahagian itu sahaja
. Lengkung bersilang di
Dan

di
. Selanjutnya, angka itu boleh dianggap sebagai perbezaan dua sektor, dan oleh itu isipadu boleh dikira sebagai perbezaan dua kamiran. Kami ada:

Tugasan untuk keputusan bebas.

1. Segmen bulat yang tapaknya
, tinggi , berputar mengelilingi pangkalan. Cari isipadu badan revolusi.

2. Cari isipadu paraboloid revolusi yang tapaknya , dan ketinggiannya ialah .

3. Rajah dibatasi oleh astroid
,
berputar mengelilingi paksi absis. Cari isipadu badan yang terhasil.

4. Rajah dibatasi oleh garisan
Dan
berputar mengelilingi paksi-x. Cari isipadu badan revolusi.