α k	(y)=	M[Y				+∞∫ ϕ k	(x)			(x)dx;
µk(y)				∫ (ϕ (x)						f(x)dx.
Fungsi ciri pembolehubah rawak
Biarkan Y = e itX, di mana			X –	pembolehubah rawak dengan hukum yang diketahui
taburan, t – parameter, i =				− 1.
Fungsi ciri pembolehubah rawak Dipanggil
jangkaan matematik bagi fungsi Y = e itX:
					∑ e itx k p k , untuk DSV,
				k = 1
υ X (t )= M =
					∫ e itX f (x )dx , untuk NSV.
Oleh itu, ciri								υ X(t)		dan hukum pengagihan

pembolehubah rawak adalah berkaitan secara unik Transformasi Fourier. Sebagai contoh, ketumpatan taburan f (x) pembolehubah rawak X dinyatakan secara unik melalui fungsi cirinya menggunakan transformasi Fourier songsang:

	f(x)=		+∞ υ (t) e− itX dt.
		2 π−∞ ∫
Sifat asas fungsi ciri:
	Fungsi ciri bagi kuantiti Z = aX + b, dengan X adalah rawak
nilai fungsi ciri υ X (t) adalah sama dengan
	υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at) .
	Momen awal susunan ke-k pembolehubah rawak X adalah sama dengan
	α k (x )= υ X (k ) (0)i − k ,

di mana υ X (k) (0) ialah nilai terbitan kth bagi fungsi ciri pada t = 0.

3. Fungsi ciri jumlah	Y = ∑ X k bebas
	k = 1

pembolehubah rawak adalah sama dengan hasil darab fungsi ciri istilah:

υ Y(t ) = ∏ υ Xi		(t).
i = 1
4. Fungsi ciri normal			pembolehubah rawak dengan
parameter m dan σ adalah sama dengan:
υ X (t) = eitm −	t 2 σ 2

KULIAH 8 Pembolehubah rawak dua dimensi. Undang-undang pengedaran dua dimensi

Pembolehubah rawak dua dimensi (X,Y) ialah satu set dua pembolehubah rawak satu dimensi yang mengambil nilai hasil daripada eksperimen yang sama.

Pembolehubah rawak dua dimensi dicirikan oleh set nilai Ω X , Ω Y komponennya dan hukum taburan bersama (dua dimensi). Bergantung kepada jenis komponen X,Y, pembolehubah rawak dua dimensi diskret, selanjar dan campuran dibezakan.

Pembolehubah rawak dua dimensi (X, Y) boleh diwakili secara geometri sebagai titik rawak (X, Y) pada satah x0y atau sebagai vektor rawak yang diarahkan dari asal ke titik (X, Y).

Fungsi pengedaran dua dimensi pembolehubah rawak dua dimensi

(X ,Y ) adalah sama dengan kebarangkalian pelaksanaan bersama dua peristiwa (X<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Fungsi taburan dua dimensi secara geometri F(x, y)

pukulan titik rawak (X,Y) dalam
tidak berkesudahan		kuadran dengan	atas dalam
titik (x,y) terletak di sebelah kiri dan di bawahnya.
Komponen X mengambil nilai
lebih kecil daripada nombor nyata x, ini adalah
	pengedaran		F X (x), dan
komponen Y – kurang daripada sebenar
nombor y,			pengedaran
FY(y).

Sifat fungsi taburan dua dimensi:

1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.

ialah kebarangkalian

. (x,y)

Bukti. Sifat berikut daripada takrifan fungsi taburan sebagai kebarangkalian: kebarangkalian ialah nombor bukan negatif tidak melebihi 1.

2. F (–∞, y) =F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), jika x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), jika y 2 >y 1 .

Bukti. Mari kita buktikan bahawa F (x ,y ) ialah fungsi tidak menurun berkenaan dengan

pembolehubah x. Pertimbangkan kebarangkalian

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

Sejak p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Begitu juga untuk y.

4. Peralihan kepada ciri satu dimensi:

	F (x ,∞ )= p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x );
	F (∞ ,y )= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ).
5. Kebarangkalian memukul kawasan segi empat tepat
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) =
F (β ,γ ) −F (β ,δ ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ ).										(β,γ)
Fungsi pengedaran - kebanyakannya
universal
pengedaran
digunakan		penerangan tentang bagaimana								(β,δ)
berterusan,		dan diskret						(α,δ)
pembolehubah rawak dua dimensi.

Matriks pengedaran

Pembolehubah rawak dua dimensi (X,Y) adalah diskret jika set nilai komponennya Ω X dan Ω Y ialah set boleh dikira. Untuk menerangkan ciri-ciri kebarangkalian kuantiti tersebut, fungsi taburan dua dimensi dan matriks taburan digunakan.

Matriks pengedaran ialah jadual segi empat tepat yang mengandungi nilai komponen X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), nilai komponen Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …,y m ) dan kebarangkalian semua pasangan nilai yang mungkin p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.

xi\yj
	X i )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n .
	j= 1
3. Peralihan kepada siri taburan kebarangkalian bagi komponen Y:
	p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m .

i= 1

Ketumpatan pengedaran dua dimensi

Pembolehubah rawak dua dimensi (X ,Y ) adalah selanjar jika ia

fungsi taburan F (x,y) ialah fungsi yang berterusan dan boleh dibezakan untuk setiap hujah dan terdapat satu detik

terbitan bercampur ∂ 2 F (x, y).

∂ x ∂y

Ketumpatan taburan dua dimensi f(x, y ) mencirikan ketumpatan kebarangkalian di sekitar titik dengan koordinat ( x, y ) dan sama dengan terbitan campuran kedua bagi fungsi taburan:

∫∫ f(x, y) dxdy.

Sifat ketumpatan dua dimensi:

1. f (x ,y )≥ 0.

2. Keadaan normalisasi:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .

Diberi pada keseluruhan garis nombor oleh formula

X. f. pembolehubah rawak X, mengikut takrifan, ialah X. f. taburan kebarangkaliannya

Kaedah yang dikaitkan dengan penggunaan X. f pertama kali digunakan oleh A. M. Lyapunov dan kemudiannya menjadi salah satu kaedah analisis utama. kaedah teori kebarangkalian. Ia digunakan terutamanya dengan berkesan dalam membuktikan teorem had dalam teori kebarangkalian, contohnya. teorem had pusat untuk pembolehubah rawak teragih sama bebas dengan 2 momen berkurang kepada hubungan asas

Sifat asas X. f. 1) dan pasti positif, i.e.

Untuk sebarang koleksi terhingga nombor kompleks dan hujah

2) berterusan seragam sepanjang paksi keseluruhan

4)khususnya, hanya mengambil nilai sebenar (dan merupakan fungsi genap) jika dan hanya jika kebarangkalian yang sepadan adalah simetri, iaitu di mana

5) X. f. dengan jelas mentakrifkan ukuran; terdapat rayuan:

Untuk sebarang selang (a, 6) yang hujungnya mempunyai sifar m-ukuran. Jika ia boleh diintegrasikan (benar-benar, jika difahami dalam pengertian Riemannian), maka fungsi pengedaran yang sepadan mempunyai ri

6) X. f. lilitan dua ukuran kebarangkalian (jumlah dua pembolehubah rawak bebas) ialah X. f.

Tiga sifat berikut menyatakan hubungan antara kewujudan momen pembolehubah rawak dan tahap kelicinan fungsi X.nya.

7) Jika untuk beberapa semula jadi p, maka untuk semua semula jadi wujud terbitan susunan r daripada X. f. pembolehubah rawak X dan kesamaan dipegang

8) Jika wujud maka

9) Jika untuk semua orang

maka ia berlaku untuk semua orang

Menggunakan kaedah X.f terutamanya berdasarkan sifat di atas bagi fungsi X., serta dua teorem berikut.
Teorem Bochner (penerangan kelas X. fungsi). Biarkan fungsi f diberikan pada dan f(0)=1. Agar f menjadi X. f. ukuran kebarangkalian tertentu, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia berterusan dan pasti positif.
Teorem Levi (surat-menyurat). Biarkan menjadi urutan ukuran kebarangkalian, dan biarkan menjadi urutan X.f mereka. Kemudian secara lemah menumpu kepada ukuran kebarangkalian tertentu (iaitu, untuk fungsi sempadan berterusan sewenang-wenangnya, jika dan hanya jika pada setiap titik ia menumpu kepada fungsi berterusan tertentu f; dalam kes penumpuan, fungsi Ia mengikuti bahawa relatif (dalam erti kata penumpuan lemah) bagi keluarga ukuran kebarangkalian adalah bersamaan dengan kesamaan pada sifar keluarga fungsi X. yang sepadan.
Teorem Bochner membolehkan kita melihat transformasi Fourier-Stieltjes sebagai antara separuh kumpulan (berkaitan dengan operasi lilitan) ukuran kebarangkalian dalam dan semikumpulan (berkenaan dengan pendaraban arah) bagi fungsi berterusan pasti yang sama dengan satu pada sifar teorem menyatakan bahawa algebra ini. isomorfisme juga topologi. homeomorphism, jika dalam semikumpulan ukuran kebarangkalian kita maksudkan topologi penumpuan lemah, dan dalam semikumpulan fungsi pasti positif - topologi penumpuan seragam pada set bersempadan.
Ungkapan X. f. penyakit kebarangkalian asas (lihat,), contohnya, X. f. Ukuran Gaussian dengan varians purata ialah
Untuk pembolehubah rawak integer bukan negatif X, Bersama-sama dengan X. f., analognya digunakan -

Dikaitkan dengan X. f. nisbah
X. f. ukuran kebarangkalian dalam ruang dimensi terhingga ditakrifkan secara serupa:

di mana x> bermakna . Fakta yang dirumuskan di atas juga benar untuk X. f. ukuran kebarangkalian dalam

Menyala.: Lukach E., Fungsi ciri, terj. daripada English, M., 1979; Feller V., Pengenalan kepada Teori Kebarangkalian dan Aplikasinya, vol 2. trans. daripada English, M., 1967; Prokhorov Yu., Rozanov Yu., Teori Kebarangkalian. Konsep asas. Hadkan teorem. Proses rawak, ed. ke-2, M., 1973; 3olotarev V. M., Taburan stabil satu dimensi, M., 1983.
N.H. Vakhania.

Ensiklopedia matematik. - M.: Ensiklopedia Soviet.

I. M. Vinogradov.

1977-1985.

Lihat apa "FUNGSI CIRI" dalam kamus lain: Fungsi ciri: Fungsi ciri dalam termodinamik ialah fungsi yang menentukan sifat termodinamik sesuatu sistem. Fungsi ciri set ialah fungsi yang menetapkan keahlian unsur dalam set;

Dalam termodinamik, fungsi keadaan parameter bebas yang menentukan keadaan termodinamik. sistem. Kepada X. f. termasuk potensi termodinamik dan entropi. Melalui X... Ensiklopedia fizikal fungsi ciri

- Fungsi keadaan sistem termodinamik parameter termodinamik bebas yang sepadan, dicirikan oleh fakta bahawa melalui fungsi ini dan derivatifnya berkenaan dengan parameter ini, semua termodinamik ... ...- dalam teori permainan koperasi, nisbah yang menentukan jumlah kemenangan minimum untuk mana-mana gabungan dalam permainan. Apabila dua gabungan bersatu, nilai H.f. akan menjadi tidak kurang daripada jumlah fungsi sedemikian untuk tidak digabungkan... ... Kamus ekonomi-matematik

Dalam termodinamik, fungsi keadaan parameter bebas yang menentukan keadaan termodinamik. sistem. Kepada X. f. termasuk potensi termodinamik dan entropi. Melalui X...- Būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: engl. fungsi ciri rus. fungsi ciri... Chemijos terminų aiškinamasi žodynas

Dalam termodinamik, fungsi keadaan parameter bebas yang menentukan keadaan termodinamik. sistem. Kepada X. f. termasuk potensi termodinamik dan entropi. Melalui X...- Būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. fungsi ciri vok. Fungsi Ciri, frus. fungsi ciri, f pranc. ciri fonction, f… Fizikos terminų žodynas - set Espace X ialah fungsi bersamaan dengan 1 at dan sama dengan 0 at (dengan CE ialah pelengkap Ev X). Mana-mana fungsi dengan nilai dalam (0, 1) ialah fungsi X. daripada set tertentu, iaitu set, Sifat X. fungsi: berpasangan bercabang, maka 6) jika kemudian... Ensiklopedia Matematik

Jangkaan matematik dan sifatnya.

Ciri berangka pembolehubah rawak.

Fungsi ciri.

Kuliah No 5

Bahagian 2. Pembolehubah rawak.

Topik 1. Fungsi taburan, ketumpatan kebarangkalian dan ciri berangka pembolehubah rawak.

Tujuan kuliah: memberi pengetahuan tentang cara untuk menerangkan pembolehubah rawak.

Soalan kuliah:

kesusasteraan:

L1 - Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Teori kebarangkalian. perangkaan matematik. - ed ke-2. - M.: FIZMATLIT, 2005. - 296 hlm.

L2 - Gmurman, V. E. Teori kebarangkalian dan statistik matematik: Buku teks. manual untuk universiti/V. E. Gmurman. - ed. ke-9, dipadamkan. - M.: Lebih tinggi. sekolah, 2005. - 479 p.: sakit.

L3 - Nakhman A.D., Kosenkova I.V. baris. Teori kebarangkalian dan statistik matematik. Perkembangan metodologi. – Tambov: Rumah Penerbitan TSTU, 2009.

L4 - Plotnikova S.V. perangkaan matematik. Perkembangan metodologi. – Tambov: Rumah Penerbitan TSTU, 2005. (fail pdf)

Apabila menyelesaikan banyak masalah, bukannya fungsi pengedaran F(x) dan p.v. p(x) fungsi ciri digunakan. Dengan bantuan ciri ini ternyata dinasihatkan, sebagai contoh, untuk menentukan beberapa ciri berangka sl.v. dan z.r. fungsi s.v.

Fungsi ciri sl.v. dipanggil jelmaan Fourier bagi a.enya. p(x):

, (2.6.1)

di manakah parameter yang merupakan hujah bagi fungsi ciri, - m.o. sl.v. (lihat § 2.8.).

Menggunakan penjelmaan Fourier songsang, kita memperoleh formula yang menentukan a.e. sl.v. dengan fungsi cirinya

. (2.6.2)

Sejak dimensi p(x) songsangan dimensi x, maka kuantiti , dan oleh itu, tidak berdimensi. Hujah mempunyai dimensi songsang x.

Menggunakan perwakilan (2.5.7) a.e. p(x) dalam bentuk jumlah fungsi delta, kita boleh melanjutkan formula (1) kepada r.v diskret.

. (2.6.3)

Kadang-kadang, bukannya fungsi ciri, ternyata mudah untuk menggunakan logaritmanya:

Y. (2.6.4)

Fungsi Y boleh dipanggil yang kedua ( logaritma)fungsi ciri sl.v. .

Mari kita perhatikan sifat yang paling penting bagi fungsi ciri.

1. Fungsi ciri memenuhi syarat berikut:

. (2.6.5)

2. Untuk taburan simetri, apabila p(x)= p(-x), bahagian khayalan dalam (1) ialah sifar, dan oleh itu fungsi ciri ialah fungsi genap sebenar . Sebaliknya, jika ia hanya mengambil nilai sebenar, maka ia adalah genap dan taburan yang sepadan adalah simetri.

3. Jika s.v. ialah fungsi linear bagi r.v. , maka fungsi cirinya ditentukan oleh ungkapan

, (2.6.6)

di mana a Dan b- kekal.

4. Fungsi ciri jumlah bebas s.v. adalah sama dengan hasil darab fungsi ciri istilah, iaitu, jika

. (2.6.7)

Harta ini amat berguna, kerana jika tidak, mencari a.e. jumlah sl.v. dikaitkan dengan pengulangan berbilang lilitan, yang kadangkala menyebabkan kesukaran.

Oleh itu, dengan mengambil kira hubungan yang jelas antara fungsi taburan, ketumpatan kebarangkalian dan fungsi ciri, yang kedua boleh digunakan untuk menggambarkan r.v.

Contoh 2.6.1. Gabungan kod dua denyutan dihantar melalui saluran komunikasi dengan gangguan. Disebabkan oleh pengaruh bebas gangguan pada denyutan ini, setiap daripada mereka boleh ditindas dengan kebarangkalian q=0.2. Adalah perlu untuk menentukan: I) siri pengedaran c.v. - bilangan denyutan yang ditindas oleh gangguan; 2) fungsi pengagihan; 3) ketumpatan kebarangkalian; 4) fungsi ciri r.v. .

r.v. diskret boleh mengambil tiga nilai (tiada denyutan ditindas), (satu denyutan ditekan), (kedua-dua denyutan ditekan). Kebarangkalian nilai ini masing-masing adalah sama:

Fungsi ciri pembolehubah rawak X dipanggil transformasi Fourier bagi taburan pembolehubah rawak:

Hartanah

Bukti.

Bukti.

Sememangnya, sifat ini meluas kepada bilangan istilah yang lebih besar:

.

φ (t) adalah berterusan secara seragam.

Bukti.

Ungkapan akhir yang terhasil bergantung hanya pada h. Untuk pembolehubah rawak berterusan kita boleh menulis

.

Bukti. Jika wujud k momen ke magnitud X, kemudian, menggunakan pembezaan di bawah tanda kamiran (yang mungkin, kerana hlm(x) wujud), kita dapat

Dengan setiap pembezaan berikutnya, ia "dibawa pergi" i E[ X], jadi selepas itu k pembezaan yang kita dapat i k E[ X k]. Keputusan ini boleh diwakili dalam bentuk

.

Fungsi ciri secara unik menentukan taburan pembolehubah rawak.

Bukti kes khas

biarlah X - pembolehubah rawak diskret integer ( k Z), kemudian (transformasi Fourier songsang)

(Siri empat lebih yang pekalinya ialah hlm k), Kemudian

Semua syarat yang k≠m, berikan 0 (mengikut ortogonal), dan kekal

.

biarlah φ (t) benar-benar boleh diintegrasikan pada garis sebenar, dan terdapat ketumpatan pengedaran hlm(x) 11 .

Jom cuba ekspres hlm(x) melalui fungsi ciri. Mari kita tulis penjelmaan Fourier songsang bagi fungsi tersebut φ :

.

Dengan ini dalam fikiran

Kerana

Dengan menukar pembolehubah kita dapat

dan oleh itu

.

Jika dalam (*) dalam kamiran kedua kedua-dua had pengamiran mempunyai tanda yang sama, kita mendapat 0; jika berbeza - nombor terhingga. Iaitu, terdapat had bukan sifar pada a<y<b. Dalam kes ini, kamiran dari −∞ hingga ∞ akan muncul, sama dengan π . Dari sini

Diterima:

,

oleh itu, hlm ditentukan sepenuhnya oleh fungsi ciri.

.

Bukti..

Kriteria fungsi ciri

Fungsi φ X (t) - ciri pembolehubah rawak X jika dan hanya jika:

φ X (0) = 1,

φ X (t) pasti positif.

Fungsi φ (t) dipanggil pasti positif(positivedefinite), jika

dan kesamaan kepada sifar dicapai hanya apabila z i = 0i. Jika kita melemahkan syarat untuk mencapai kesaksamaan kepada sifar, kita dapat pasti bukan negatif fungsi.

Jom semak bahawa fungsi ciri adalah pasti positif:

Rasional. Mengikut harta 5),

Pada k= 1, kita dapat,

Pada k= 2 -.

Jika E X= 0.D X=E[ X 2 ] = 1,
.

20.2 Contoh

Penyelesaian. Mari kita kurangkan ungkapan kepada bentuk

Tidak sukar untuk melihatnya
. Selepas transformasi anda boleh menulis
.

Mari kita lihat nilai hlm i :

Kesimpulan: cos 2 t ialah fungsi ciri pembolehubah rawak diskret yang mengambil nilai 0 dengan kebarangkalian 1/2, dan nilai 2 dan −2 dengan kebarangkalian 1/4.

Kira fungsi ciri merosot pembolehubah rawak: P(X= 0) = 1.

Penyelesaian..

Jika P(X=C) = 1, kita dapat.

Penyelesaian. Mari kita kurangkan ungkapan kepada bentuk

.

Mari kita lihat nilai hlm i :

Diterima: Ini ialah fungsi ciri pembolehubah rawak diskret.

Penyelesaian. biarlah Y=X–X′ , Kemudian

Kesimpulan: kuasa dua modulus mana-mana fungsi ciri sekali lagi merupakan fungsi ciri.

biarlah X,Y - pembolehubah rawak dengan fungsi ciri φ X (t) Dan φ Y (t);a,b> 0 - pemalar sedemikian a+b= 1. Pertimbangkan fungsi

Adakah ia ciri, dan jika ya, untuk pembolehubah rawak yang manakah?

Jawab: ya, memang. Biarkan fungsi pengagihan yang sepadan X Dan Y - F X (x) Dan F Y (y). Mari kita pertimbangkan fungsinya. Jelas sekali ini adalah fungsi pengedaran, kerana

Kemudian kepadatan kebarangkalian

Jika φ (t) - fungsi ciri X, Itu φ (−t) - fungsi ciri (– X).

biarlah φ (tX(dari contoh 4)).

, maka adalah (t f φ (t)]

Penyelesaian) =Semula[

biarlah φ (t. Jelas sekali, F X (x) sepadan dengan fungsi pengedaran φ (t)]:

biarlah φ (t), kemudian untuk Re[ X(dari contoh 4)).

, maka adalah (t) - fungsi ciri kuantiti φ (t)]

) =Saya[

Penyelesaian fungsi ciri beberapa pembolehubah rawak? , maka adalah (0) = 0.

. Tidak, tidak, kerana

1. X ~ Cari fungsi ciri taburan normal.(0, 1):

N φ (t Jom kira

), membezakan di bawah tanda kamiran:
Mari kita selesaikan persamaan pembezaan φ (0) = 1:

X~Cari fungsi ciri taburan normal.(a,σ dengan syarat awal X 0 ~Cari fungsi ciri taburan normal. 2): bandingkan nilai ini dengan X=a+σ X(0, 1). Ia mudah untuk melihatnya