KERJA MAKMAL No 4

Pengiraan pekali korelasi sampel dan pembinaan garis regresi empirikal dan teori

Tujuan kerja : membiasakan diri dengan korelasi linear; membangunkan keupayaan untuk mengira dan mengambil sampel pekali korelasi dan menyusun persamaan garis regresi teori.

Kandungan kerja : berdasarkan data eksperimen, kira pekali korelasi sampel, bina selang keyakinan untuknya dengan kebolehpercayaan, berikan penerangan semantik hasil yang diperoleh, bina garis regresi empirikal dan teori. pada
mengikut kaedah preposisi di atas.

Kaedah korelasi

Menggunakan kaedah korelasi dalam statistik matematik, hubungan antara fenomena ditentukan. Keistimewaan mengkaji hubungan ini adalah mustahil untuk mengasingkan pengaruh faktor luar. Oleh itu, kaedah korelasi digunakan untuk menentukan, dalam kes interaksi kompleks pengaruh luar faktor, apakah hubungan antara ciri jika faktor luar tidak berubah, iaitu, syarat untuk menjalankan eksperimen adalah mencukupi.

Teori korelasi mempertimbangkan dua masalah:

1) penentuan parameter korelasi antara ciri-ciri yang diperiksa;

2) menentukan keakraban hubungan ini. Mengenai sifat hubungan antara ciri
Dan boleh dinilai dengan lokasi titik dalam sistem koordinat (medan korelasi). Jika titik ini terletak berhampiran garis lurus, maka diandaikan bahawa antara purata bersyarat Dan
terdapat hubungan linear. Persamaan
pada
.

Persamaan
dipanggil persamaan garis regresi
pada . Jika kedua-dua garis regresi adalah lurus, maka terdapat korelasi linear.

Persamaan Garis Regresi

Dan
disusun berdasarkan data sampel yang diberikan dalam jadual korelasi.

- nilai purata ciri yang sepadan;

- pekali regresi pada
Dan
pada - dikira menggunakan formula

di mana
- nilai purata produk
pada ;

Dan
- varians sifat
Dan .

Dalam korelasi garis lurus, keakraban hubungan antara ciri dicirikan oleh pekali korelasi sampel , yang mengambil nilai antara “-1” hingga “+1”.

Jika nilai pekali korelasi adalah negatif, maka ini menunjukkan hubungan linear songsang antara ciri yang dikaji; jika ia positif – mengenai sambungan rectilinear. Jika pekali korelasi ialah 0, maka tiada hubungan linear antara ciri-ciri tersebut.

Pekali korelasi sampel dikira menggunakan formula:

r masuk
(1)

di mana - nilai purata produk
pada

Dan - nilai purata ciri yang sepadan;

Dan - sisihan piawai ditemui untuk ciri
dan untuk tanda .

KAEDAH PRESTASI KERJA

Data statistik mengenai suhu minyak pelincir gandar belakang kereta diberikan. bergantung pada suhu persekitaran
.

1. PENGIRAAN KOEFISIEN KORELASI CONTOH

Kami akan meringkaskan syarat ini dalam jadual korelasi

Jadual 1.

								n y(kekerapan ciri y)
n x (kekerapan ciri x)

Mari cari ciri berangka sampel

1.1. Mari cari nilai purata ciri X dan Y

,

1.2. Mari cari varians sampel

1513-1281,64=231,36

1.3. Sisihan piawai sampel

,

,

1.4. Contoh momen korelasi

1/50(40 + 120+720+480+200+800+900+4200+1120+2160+4500+5280+4400+1320+1560) – 497,62=

1/50(27800) – 497,62 = 556 – 497,62 = 58,38

1.5. Pekali korelasi sampel

0,77

2. Mari kita semak kepentingan pekali korelasi untuk melakukan ini, mari kita semak statistik:

=
≈ 8,3

Kami akan mencari
daripada jadual agihan Pelajar (Lampiran) mengikut aras keertian yang paling biasa digunakan dalam teknologi
DanY– bilangan darjah kebebasan K= n – 2 = 50 – 2 = 48,
2,02

Kerana
= 8.3 > 2.02, maka pekali korelasi yang didapati berbeza dengan ketara daripada sifar. Ini bermakna pembolehubah X dan Y dikaitkan dengan hubungan regresi linear bentuk

Oleh itu, pekali korelasi menunjukkan hubungan linear rapat yang wujud antara suhu minyak pelincir gandar belakang dan suhu udara ambien.

3. Merangka persamaan regresi linear empirikalYpadaXDanXpadaY.

3.1. Persamaan regresi linear empirik Y pada X.

,

3.2. Persamaan regresi linear empirik X padaY.

,

=35.8+2.34(y-13.9)

4. PEMBINAAN BARISAN REGRESI EMPIRIKALYHIDUPX.

Untuk membina garis regresi empirikal, mari kita lukiskan Jadual 2.

Jadual 2

- purata bersyarat bagi nilai ciri dengan syarat itu mengambil nilai tertentu, i.e.

;

;

;

Mengambil pasangan nombor
untuk koordinat titik, binanya dalam sistem koordinat dan sambungkannya dengan segmen garis lurus. Garis putus yang terhasil akan menjadi garis regresi empirikal.

Persamaan regresi garis lurus teori Y pada X ialah:

;
, Di mana - contoh min atribut ;

- contoh min atribut .

;
;
;
;
.

Persamaan regresi langsung Y pada X akan ditulis seperti berikut:

atau akhirnya

Mari kita bina kedua-dua garis regresi (Gamb. 1)

nasi. 1. Garis regresi empirikal dan teori

di
;

di.

5. Kami akan membuat tafsiran bermakna hasil analisis Terdapat korelasi linear langsung yang rapat antara suhu minyak pelincir gandar belakang kenderaan dan suhu udara persekitaran ( r V

Persamaan
mencirikan bagaimana, secara purata, suhu minyak pelincir gandar belakang kereta bergantung pada suhu persekitaran.

Pekali regresi linear (
) mencadangkan bahawa jika suhu ambien dinaikkan secara purata 1 darjah, maka suhu minyak pelincir gandar belakang kereta akan meningkat secara purata 0.25 darjah.

Persamaan
mencirikan bagaimana suhu minyak pelincir gandar belakang kenderaan bergantung pada suhu persekitaran. Jika suhu minyak pelincir gandar belakang kereta perlu dinaikkan secara purata 1 darjah, maka suhu udara ambien perlu dinaikkan secara purata 2.34 darjah(
)

PILIHAN UNTUK TUGASAN INDIVIDU

1. Pengagihan X - kos aset pengeluaran tetap (juta rubel) dan Y - purata keluaran bulanan bagi setiap pekerja

2. Taburan 200 tiang lampu silinder mengikut panjang X (dalam cm) dan mengikut berat Y (dalam kg) diberikan dalam jadual berikut:

3. Pengagihan 100 firma melalui pengeluaran X (dalam unit monetari) dan keluaran harian Y (dalam tan) diberikan dalam jadual berikut:

Muka depan Borang metodologi

Kementerian Pendidikan dan Sains Republik Kazakhstan

«

Pengerusi UMC _______________ « ___"___________20__

DILULUSKAN:

Ketua OPiMOUP _________________ « ___"___________20__

Diluluskan oleh majlis pendidikan dan metodologi universiti

« ___»___________20 __ Protokol No.____

Apabila mempelajari topik " Maklumat daripada teori kebarangkalian dan statistik matematik”, perhatian khusus harus diberikan kepada kaedah penyampaian dan pemprosesan data statistik. Ciri-ciri teori dan selektif. Skim umum untuk menguji hipotesis. Kesilapan jenis pertama dan kedua. Anggaran titik dan selang. Sifat statistik anggaran. Analisis kebergantungan dua pembolehubah rawak.

Subjek. Kaedah kuasa dua terkecil.

h1, h2 – langkah, iaitu perbezaan antara dua pilihan berjiran.

Dalam kes ini, pekali korelasi sampel

,

Selain itu, istilah ini mudah dikira menggunakan jadual pengiraan 1.

Nilai boleh didapati menggunakan formula

Untuk peralihan terbalik, ungkapan digunakan

Contoh Cari sampel persamaan regresi linear Y pada X berdasarkan jadual korelasi.

Penyelesaian. Untuk memudahkan pengiraan, mari kita beralih kepada pilihan bersyarat, yang dikira menggunakan formula

,

dan buat jadual korelasi yang diubah dengan pilihan bersyarat

Kemudian kami akan menyusun jadual baru di mana kami akan memasukkan nilai yang dikira di sudut kanan atas sel yang diisi dan di sudut kiri bawah, selepas itu kami menjumlahkan nilai atas dalam baris untuk mendapatkan nilai ​Vj dan nilai yang lebih rendah dalam lajur untuk Ui dan hitung nilai dan .

								vjVj

Dengan bilangan percubaan yang banyak, nilai X yang sama boleh berlaku kali nx, nilai Y yang sama boleh berlaku kali ny, dan pasangan nombor yang sama (x; y) boleh berlaku kali nxy,

dan biasanya saiz sampel.

Oleh itu, data pemerhatian adalah Dikumpulan, iaitu, nx, ny, nxy dikira. Semua data berkumpulan direkodkan dalam bentuk jadual, yang dipanggil jadual korelasi.

Jika kedua-dua garis regresi Y pada X dan X pada Y adalah lurus, maka korelasinya adalah linear.

Persamaan sampel garis regresi lurus Y pada X mempunyai bentuk:

Parameter pyx dan B, yang ditentukan oleh kaedah kuasa dua terkecil, mempunyai bentuk:

dengan yx ialah purata bersyarat; XВ dan Ув ialah purata sampel bagi ciri X dan Y; -x dan -y ialah sisihan piawai sampel; gV ialah pekali korelasi sampel.

Persamaan sampel regresi garis lurus X pada Y mempunyai bentuk:

Kami menganggap bahawa data pemerhatian pada ciri X dan Y diberikan dalam bentuk jadual korelasi dengan pilihan yang sama jaraknya.

Kemudian kita beralih ke pilihan bersyarat:

di mana C1 ialah varian ciri X yang mempunyai kekerapan tertinggi; C 2 - varian ciri Y, yang mempunyai kekerapan tertinggi; h1 — langkah (perbezaan antara dua pilihan bersebelahan X); h2 - langkah (perbezaan antara dua pilihan bersebelahan Y).

Kemudian pekali korelasi sampel

Kuantiti u, v, su, sv boleh didapati dengan kaedah produk, atau terus menggunakan formula

Mengetahui kuantiti ini, kita akan mendapati parameter termasuk dalam persamaan regresi menggunakan formula

KERJA SEMAK TYPICAL DI BAWAH SEKSYEN 6. 12.1. Acara Rawak

12.1. Acara Rawak

12.1.1. Kotak itu mengandungi 6 pasang sarung tangan hitam yang serupa dan 4 pasang sarung tangan kuning air yang serupa. Cari kebarangkalian bahawa dua sarung tangan yang dilukis secara rawak membentuk sepasang.

Pertimbangkan peristiwa A—dua sarung tangan yang dilukis secara rawak membentuk sepasang; dan hipotesis: B1 - sepasang sarung tangan hitam telah diekstrak, B2 - sepasang sarung tangan kuning air telah diekstrak, B3 - sarung tangan yang diekstrak tidak membentuk sepasang.

Kebarangkalian hipotesis B1 oleh teorem pendaraban adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian bahawa sarung tangan pertama berwarna hitam dan sarung tangan kedua berwarna hitam, i.e.

Begitu juga, kebarangkalian hipotesis Bi ialah:

Oleh kerana hipotesis B1, B2 dan B3 membentuk kumpulan peristiwa yang lengkap, kebarangkalian hipotesis B3 adalah sama dengan:

Mengikut jumlah formula kebarangkalian, kami mempunyai:

di mana Pb (A) ialah kebarangkalian bahawa sepasang dibentuk oleh dua sarung tangan hitam dan Pb1 (A) = 1; pB1 (A) ialah kebarangkalian bahawa dua sarung tangan kuning air membentuk sepasang dan Pb2 (A) = 1; dan, akhirnya, РВз(A) - kebarangkalian bahawa sepasang dibentuk oleh sarung tangan yang berbeza warna dan

Oleh itu, kebarangkalian bahawa dua sarung tangan yang dilukis secara rawak membentuk sepasang ialah

12.1.2. Guci mengandungi 3 bola putih dan 5 bola hitam. 3 bola diambil secara rawak, satu demi satu, dan selepas setiap pengekstrakan ia dikembalikan ke dalam urn. Cari kebarangkalian bahawa antara bola yang ditarik akan ada:

a) tepat dua bola putih, b) sekurang-kurangnya dua bola putih.

Penyelesaian. Kami mempunyai skema dengan pulangan, iaitu setiap kali komposisi bola tidak berubah:

a) apabila tiga bola ditarik, dua daripadanya mestilah putih dan satu hitam. Dalam kes ini, hitam boleh menjadi yang pertama, atau kedua, atau ketiga. Menggunakan teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian bersama-sama, kita mempunyai:

b) mengeluarkan sekurang-kurangnya dua bola putih bermakna mesti ada dua atau tiga bola putih:

12.1.3. Guci mengandungi 6 bola putih dan 5 bola hitam. Tiga bola diambil secara rawak berturut-turut tanpa mengembalikannya ke dalam urn. Cari kebarangkalian bahawa bola ketiga berturut-turut akan berwarna putih.

Penyelesaian. Jika bola ketiga mestilah putih, maka dua bola pertama boleh putih, atau putih dan hitam, atau hitam dan putih, atau hitam, iaitu terdapat empat kumpulan bukan-

acara bersama. Menggunakan teorem pendaraban kebarangkalian kepada mereka, kita dapat:

P = P1(5 . P2(5 . P3(5 + (P1(5 . P2ch. P3(5 + P14) . P2(5 . P3(5))) + P1ch. P2ch. P3(5 =)

A A 4 A A 5 A A 5 A A 6=540 = A

Hlm. 10. 9 + I. 10. 9 + I. 10. 9 + I. 10. 9 = 990 = IT