Bukti teorem Weierstrass mengenai had jujukan monoton diberikan. Kes jujukan terikat dan tidak terhad dipertimbangkan. Satu contoh dipertimbangkan di mana ia perlu, menggunakan teorem Weierstrass, untuk membuktikan penumpuan jujukan dan mencari hadnya.
kandunganLihat juga: Had fungsi monotonik
Sebarang jujukan sempadan monotonik (xn) mempunyai had terhingga sama dengan had atas yang tepat, sup(xn) untuk sempadan bawah yang tidak menurun dan tepat, inf(xn) untuk urutan yang tidak meningkat.
Mana-mana jujukan tanpa sempadan monoton mempunyai had tak terhingga bersamaan dengan tambah infiniti untuk jujukan tidak menurun dan tolak infiniti untuk jujukan tidak bertambah.
Bukti
1) jujukan sempadan tidak menurun.
(1.1)
.
Oleh kerana jujukan disempadani, ia mempunyai sempadan atas terhingga
.
Ini bermakna bahawa:
- untuk semua n,
(1.2) ; - untuk sebarang nombor positif, terdapat nombor bergantung pada ε, supaya
(1.3) .
.
Di sini kami juga menggunakan (1.3). Menggabungkan dengan (1.2), kita dapati:
di .
Sejak itu
,
atau
di .
Bahagian pertama teorem telah dibuktikan.
2)
Biarkan sekarang urutannya jujukan sempadan tidak meningkat:
(2.1)
untuk semua n.
Oleh kerana jujukan itu dibatasi, ia mempunyai batas bawah terhingga
.
Ini bermakna yang berikut:
- untuk semua n ketidaksamaan berikut dipegang:
(2.2) ; - untuk sebarang nombor positif, terdapat nombor, bergantung pada ε, yang mana
(2.3) .
.
Di sini kami juga menggunakan (2.3). Dengan mengambil kira (2.2), kita dapati:
di .
Sejak itu
,
atau
di .
Ini bermakna bahawa nombor adalah had jujukan.
Bahagian kedua teorem terbukti.
Sekarang pertimbangkan urutan tidak terhad.
3)
Biarlah urutannya urutan tidak menurun tanpa had.
Oleh kerana jujukan tidak berkurangan, ketaksamaan berikut berlaku untuk semua n:
(3.1)
.
Oleh kerana jujukan tidak berkurangan dan tidak terhad, ia tidak terhad di sebelah kanan. Kemudian untuk sebarang nombor M terdapat nombor, bergantung kepada M, yang mana
(3.2)
.
Oleh kerana jujukan tidak berkurangan, maka apabila kita mempunyai:
.
Di sini kami juga menggunakan (3.2).
.
Ini bermakna bahawa had jujukan ialah campur infiniti:
.
Bahagian ketiga teorem terbukti.
4) Akhir sekali, pertimbangkan kes apabila urutan tidak meningkat tanpa had.
Sama seperti yang sebelumnya, kerana urutannya tidak bertambah, maka
(4.1)
untuk semua n.
Oleh kerana jujukan tidak bertambah dan tidak terhad, ia tidak terhad di sebelah kiri. Kemudian untuk sebarang nombor M terdapat nombor, bergantung kepada M, yang mana
(4.2)
.
Oleh kerana jujukan tidak bertambah, maka apabila kita mempunyai:
.
Jadi, untuk sebarang nombor M terdapat nombor asli bergantung kepada M, supaya untuk semua nombor ketaksamaan berikut berlaku:
.
Ini bermakna bahawa had jujukan adalah sama dengan tolak infiniti:
.
Teorem telah terbukti.
Contoh penyelesaian masalah
Semua contoh Menggunakan teorem Weierstrass, buktikan penumpuan jujukan:
,
,
. . . ,
,
. . .
Kemudian cari hadnya.
Mari kita wakili urutan dalam bentuk formula berulang:
,
.
Mari kita buktikan bahawa jujukan yang diberikan dibatasi di atas oleh nilai
(P1) .
Pembuktian dijalankan menggunakan kaedah aruhan matematik.
.
biarlah .
.
Kemudian
Ketaksamaan (A1) terbukti.
;
Mari kita buktikan bahawa urutan meningkat secara monoton. .
(P2)
.
Oleh kerana , maka penyebut pecahan dan faktor pertama dalam pengangka adalah positif. Disebabkan oleh had terma jujukan oleh ketaksamaan (A1), faktor kedua juga positif. sebab tu
Iaitu, urutannya semakin meningkat.
Oleh kerana jujukan semakin meningkat dan bersempadan di atas, ia adalah jujukan bersempadan. Oleh itu, mengikut teorem Weierstrass, ia mempunyai had.
.
Mari cari had ini. Mari kita nyatakan dengan:
.
Mari kita gunakan fakta itu
.
Mari kita gunakan ini kepada (A2), menggunakan sifat aritmetik had jujukan menumpu:
Lihat juga: Definisi: jika semua orang є n N , patuh Definisi: jika semua orang є x N,
kemudian mereka berkata demikian bentuk berangka.
- susulan ahli
- urutan umum ahli
ahli
Takrifan yang diperkenalkan membayangkan bahawa sebarang jujukan nombor mestilah tidak terhingga, tetapi tidak bermakna semua ahli mestilah nombor yang berbeza. Urutan nombor dipertimbangkan diberi
, jika undang-undang ditentukan yang mana mana-mana ahli urutan itu boleh ditemui. (1) Ahli atau unsur urutan
Definisi: Pembolehubah x yang mengambil beberapa jujukan (1) nilai, kami - mengikuti Meray (Ch. Meray) - akan memanggil pilihan.
Dalam kursus matematik sekolah, anda boleh menemui pembolehubah jenis ini, seperti pilihan.
Sebagai contoh, urutan seperti
(aritmetik) atau jenis
(pertumbuhan geometri)
Istilah pembolehubah bagi satu atau janjang lain ialah pilihan.
Sehubungan dengan penentuan panjang bulatan, kita biasanya menganggap perimeter poligon sekata yang tertulis dalam bulatan, diperoleh daripada heksagon dengan menggandakan bilangan sisi secara berturut-turut. Oleh itu, pilihan ini mengambil urutan nilai berikut:
Mari kita sebutkan juga penghampiran perpuluhan (mengikut kelemahan) kepada, dengan ketepatan yang semakin meningkat. Ia memerlukan urutan nilai:
dan juga membentangkan pilihan.
Pembolehubah x, berjalan melalui jujukan (1), selalunya dilambangkan dengan, mengenal pastinya dengan pembolehubah (“biasa”) ahli jujukan ini.
Kadangkala pilihan x n ditentukan dengan menunjukkan secara langsung ungkapan untuk x n ; jadi, dalam kes janjang aritmetik atau geometri, kita mempunyai, masing-masing, x n =a+(n-1) d atau x n =aq n-1. Menggunakan ungkapan ini, anda boleh mengira dengan segera sebarang nilai varian berdasarkan nombor yang diberikan, tanpa mengira nilai sebelumnya.
Untuk perimeter poligon bertulis biasa, ungkapan umum seperti itu mungkin hanya jika kita memperkenalkan nombor p; secara amnya, perimeter p m bagi m-gon bertulis biasa diberikan oleh formula
Definisi 1: Urutan nombor (x n) dikatakan terikat di atas (di bawah) jika nombor tersebut wujud M (T), bahawa untuk mana-mana unsur jujukan ini terdapat ketaksamaan, dan nombor M (m) dipanggil atas (bawah) tepi.
Definisi 2: Urutan nombor (x n) dipanggil terikat jika ia disempadani di atas dan di bawah, i.e. terdapat M, m, yang mana-mana
Mari kita nyatakan A = max (|M|, |m|), maka jelaslah bahawa urutan berangka akan dihadkan jika bagi mana-mana kesamaan |x n |? Dan ketaksamaan terakhir ialah syarat untuk keterbatasan urutan berangka .
Definisi 3: urutan nombor dipanggil tanpa henti besar turutan, jika untuk mana-mana A>0, anda boleh menentukan nombor N supaya untuk semua n>N ||>A dipegang.
Definisi 4: urutan nombor (b n) dipanggil tanpa henti kecil jujukan, jika bagi mana-mana e > 0, seseorang boleh menentukan nombor N(e) supaya bagi mana-mana n > N(e) ketaksamaan | b n |< е.
Definisi 5: urutan nombor (x n) dipanggil konvergen, jika terdapat nombor a sedemikian sehingga jujukan (x n - a) ialah jujukan tak terhingga. Pada masa yang sama, a- had asal berangka urutan.
Daripada takrifan ini, semua jujukan infinitesimal adalah konvergen dan had jujukan ini = 0.
Disebabkan fakta bahawa konsep jujukan penumpuan dikaitkan dengan konsep jujukan tak terhingga, takrif jujukan penumpu boleh diberikan dalam bentuk lain:
Definisi 6: urutan nombor (x n) dipanggil konvergen kepada nombor a, jika bagi mana-mana kecil sewenang-wenangnya terdapat sedemikian rupa sehingga untuk semua n > N ketaksamaan
a ialah had bagi jujukan
Kerana adalah bersamaan, dan ini bermakna ia tergolong dalam selang x n є (a - e; a+ e) atau, yang sama, tergolong dalam e - kejiranan titik a. Kemudian kita boleh memberikan takrifan lain bagi jujukan nombor konvergen.
Definisi 7: urutan nombor (x n) dipanggil konvergen, jika terdapat titik a sedemikian rupa sehingga dalam mana-mana e-kejiranan yang cukup kecil pada titik ini terdapat sebarang unsur urutan ini, bermula dari beberapa nombor N.
Nota: mengikut takrifan (5) dan (6), jika a ialah had bagi jujukan (x n), maka x n - a ialah unsur bagi jujukan tak terhingga, i.e. x n - a = b n, dengan b n ialah unsur bagi jujukan tak terhingga. Akibatnya, x n = a + b n, dan kemudian kita mempunyai hak untuk menegaskan bahawa jika jujukan berangka (x n) menumpu, maka ia sentiasa boleh diwakili sebagai hasil tambah hadnya dan unsur bagi jujukan tak terhingga.
Pernyataan sebaliknya juga benar: jika mana-mana unsur jujukan (x n) boleh diwakili sebagai hasil tambah nombor tetap dan unsur jujukan tak terhingga, maka pemalar ini ialah had diberi ahli.
Definisi 8. Urutan Tidak meningkat (bukan berkurangan), jika untuk.
Definisi 9. Urutan bertambah (menurun), jika untuk.
Definisi 10. Urutan meningkat atau menurun dengan ketat dipanggil membosankan urutan.