Persamaan linear dalam dua pembolehubah ialah sebarang persamaan yang mempunyai bentuk berikut: a*x + b*y =с. Di sini x dan y ialah dua pembolehubah, a,b,c ialah beberapa nombor.

Di bawah adalah beberapa contoh persamaan linear.

1. 10*x + 25*y = 150;

Seperti persamaan dengan satu tidak diketahui, persamaan linear dengan dua pembolehubah (tidak diketahui) juga mempunyai penyelesaian. Contohnya, persamaan linear x-y=5, dengan x=8 dan y=3, bertukar menjadi identiti yang betul 8-3=5. Dalam kes ini, pasangan nombor x=8 dan y=3 dikatakan sebagai penyelesaian kepada persamaan linear x-y=5. Anda juga boleh mengatakan bahawa sepasang nombor x=8 dan y=3 memenuhi persamaan linear x-y=5.

Menyelesaikan Persamaan Linear

Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan linear a*x + b*y = c ialah sebarang pasangan nombor (x,y) yang memenuhi persamaan ini, iaitu menukarkan persamaan dengan pembolehubah x dan y menjadi kesamaan berangka yang betul. Perhatikan bagaimana pasangan nombor x dan y ditulis di sini. Entri ini lebih pendek dan lebih mudah. Anda hanya perlu ingat bahawa tempat pertama dalam rekod sedemikian ialah nilai pembolehubah x, dan yang kedua ialah nilai pembolehubah y.

Sila ambil perhatian bahawa nombor x=11 dan y=8, x=205 dan y=200 x= 4.5 dan y= -0.5 juga memenuhi persamaan linear x-y=5, dan oleh itu adalah penyelesaian kepada persamaan linear ini.

Menyelesaikan persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui bukan satu-satunya. Setiap persamaan linear dalam dua yang tidak diketahui mempunyai banyak penyelesaian yang berbeza. Iaitu, ada tak terhingga banyak berbeza dua nombor x dan y yang menukarkan persamaan linear kepada identiti sebenar.

Jika beberapa persamaan dengan dua pembolehubah mempunyai penyelesaian yang sama, maka persamaan tersebut dipanggil persamaan setara. Perlu diingatkan bahawa jika persamaan dengan dua tidak diketahui tidak mempunyai penyelesaian, maka ia juga dianggap setara.

Sifat asas persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui

1. Mana-mana istilah dalam persamaan boleh dipindahkan dari satu bahagian ke bahagian yang lain, tetapi perlu menukar tandanya kepada yang bertentangan. Persamaan yang terhasil akan bersamaan dengan yang asal.

2. Kedua-dua belah persamaan boleh dibahagikan dengan sebarang nombor yang bukan sifar. Akibatnya, kita memperoleh persamaan yang setara dengan yang asal.

Arahan

Kaedah PenggantianUngkapkan satu pembolehubah dan gantikannya kepada persamaan yang lain. Anda boleh menyatakan sebarang pembolehubah mengikut budi bicara anda. Sebagai contoh, nyatakan y daripada persamaan kedua:
x-y=2 => y=x-2Kemudian gantikan semuanya ke dalam persamaan pertama:
2x+(x-2)=10 Gerakkan semuanya tanpa “x” ke sebelah kanan dan hitung:
2x+x=10+2
3x=12 Seterusnya, untuk mendapatkan x, bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 3:
x=4 Jadi, anda mendapati “x. Cari "y. Untuk melakukan ini, gantikan "x" ke dalam persamaan yang anda nyatakan "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Buat pemeriksaan. Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan:
2*4+2=10
4-2=2
Yang tidak diketahui telah ditemui dengan betul!

Satu cara untuk menambah atau menolak persamaan Singkirkan sebarang pembolehubah dengan segera. Dalam kes kami, ini lebih mudah dilakukan dengan "y.
Oleh kerana dalam "y terdapat tanda "+", dan pada yang kedua "-", maka anda boleh melakukan operasi penambahan, i.e. lipat bahagian kiri dengan kiri, dan kanan dengan kanan:
2x+y+(x-y)=10+2Tukar:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Ganti "x" ke dalam mana-mana persamaan dan cari "y":
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Dengan kaedah pertama anda boleh melihat bahawa ia didapati dengan betul.

Sekiranya tidak ada pembolehubah yang jelas, maka perlu mengubah sedikit persamaan.
Dalam persamaan pertama kita mempunyai "2x", dan dalam persamaan kedua kita hanya mempunyai "x". Agar x dikurangkan semasa penambahan, darabkan persamaan kedua dengan 2:
x-y=2
2x-2y=4Kemudian tolak yang kedua daripada persamaan pertama:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Perhatikan bahawa jika terdapat tolak sebelum kurungan, maka selepas dibuka, tukarkannya kepada sebaliknya:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
cari y=2x dengan menyatakan daripada sebarang persamaan, i.e.
x=4

Video mengenai topik

Petua 2: Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan linear dalam dua pembolehubah

Persamaan, ditulis dalam bentuk am ax+bу+c=0, dipanggil persamaan linear dengan dua pembolehubah. Persamaan sedemikian itu sendiri mengandungi bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, jadi dalam masalah ia sentiasa ditambah dengan sesuatu - persamaan lain atau syarat mengehadkan. Bergantung kepada syarat yang disediakan oleh masalah, selesaikan persamaan linear dengan dua pembolehubah mengikuti dengan cara yang berbeza.

Anda akan perlukan

• - persamaan linear dengan dua pembolehubah;
• - persamaan kedua atau syarat tambahan.

Arahan

Jika diberi sistem dua persamaan linear, selesaikannya seperti berikut. Pilih satu daripada persamaan di mana pekalinya pembolehubah lebih kecil dan nyatakan salah satu pembolehubah, contohnya, x. Kemudian gantikan nilai yang mengandungi y ini ke dalam persamaan kedua. Dalam persamaan yang terhasil hanya akan ada satu pembolehubah y, gerakkan semua bahagian dengan y ke sebelah kiri, dan yang bebaskan ke kanan. Cari y dan gantikan kepada mana-mana persamaan asal untuk mencari x.

Terdapat satu lagi cara untuk menyelesaikan sistem dua persamaan. Darab satu daripada persamaan dengan nombor supaya pekali salah satu pembolehubah, seperti x, adalah sama dalam kedua-dua persamaan. Kemudian tolak satu daripada persamaan daripada yang lain (jika bahagian kanan tidak sama dengan 0, ingat untuk menolak bahagian kanan dengan cara yang sama). Anda akan melihat bahawa pembolehubah x telah hilang dan hanya tinggal satu pembolehubah y. Selesaikan persamaan yang terhasil, dan gantikan nilai y yang ditemui ke dalam mana-mana kesamaan asal. Cari x.

Cara ketiga untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear ialah grafik. Lukis sistem koordinat dan graf dua garis yang persamaannya diberikan dalam sistem anda. Untuk melakukan ini, gantikan mana-mana dua nilai x ke dalam persamaan dan cari y yang sepadan - ini akan menjadi koordinat titik kepunyaan garis. Cara paling mudah untuk mencari persilangan dengan paksi koordinat adalah dengan hanya menggantikan nilai x=0 dan y=0. Koordinat titik persilangan kedua-dua garis ini akan menjadi tugas.

Jika terdapat hanya satu persamaan linear dalam keadaan masalah, maka anda telah diberikan syarat tambahan yang melaluinya anda boleh mencari penyelesaian. Baca masalah dengan teliti untuk mencari syarat ini. Jika pembolehubah x dan y menunjukkan jarak, kelajuan, berat - jangan ragu untuk menetapkan had x≥0 dan y≥0. Ada kemungkinan x atau y menyembunyikan bilangan epal, dsb. – maka nilai hanya boleh . Jika x adalah umur anak lelaki, jelas bahawa dia tidak boleh lebih tua daripada bapanya, jadi nyatakan ini dalam keadaan masalah.

Sumber:

• bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan satu pembolehubah

Dengan sendirinya persamaan dengan tiga tidak diketahui mempunyai banyak penyelesaian, jadi selalunya ia ditambah dengan dua lagi persamaan atau syarat. Bergantung pada data awal, perjalanan keputusan akan bergantung pada sebahagian besarnya.

Anda akan perlukan

• - sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui.

Arahan

Jika dua daripada tiga sistem hanya mempunyai dua daripada tiga yang tidak diketahui, cuba nyatakan beberapa pembolehubah dari segi yang lain dan gantikannya ke dalam persamaan dengan tiga tidak diketahui. Matlamat anda dalam kes ini adalah untuk mengubahnya menjadi normal persamaan dengan orang yang tidak dikenali. Jika ini , penyelesaian selanjutnya agak mudah - gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan lain dan cari semua yang tidak diketahui lain.

Sesetengah sistem persamaan boleh ditolak daripada satu persamaan dengan persamaan yang lain. Lihat jika mungkin untuk mendarab satu daripada atau pembolehubah supaya dua yang tidak diketahui dibatalkan sekaligus. Jika ada peluang sedemikian, ambil kesempatan daripadanya, kemungkinan besar, penyelesaian seterusnya tidak akan sukar. Ingat bahawa apabila mendarab dengan nombor, anda mesti mendarab kedua-dua bahagian kiri dan bahagian kanan. Begitu juga, apabila menolak persamaan, anda mesti ingat bahawa bahagian kanan juga mesti ditolak.

Jika kaedah sebelumnya tidak membantu, gunakan kaedah umum untuk menyelesaikan sebarang persamaan dengan tiga tidak diketahui. Untuk melakukan ini, tulis semula persamaan dalam bentuk a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sekarang buat matriks pekali untuk x (A), matriks yang tidak diketahui (X) dan matriks yang bebas (B). Sila ambil perhatian bahawa dengan mendarab matriks pekali dengan matriks tidak diketahui, anda akan mendapat matriks sebutan bebas, iaitu, A*X=B.

Cari matriks A kepada kuasa (-1) dengan mencari dahulu , ambil perhatian bahawa ia tidak sepatutnya sama dengan sifar. Selepas ini, darabkan matriks yang terhasil dengan matriks B, hasilnya anda akan menerima matriks X yang dikehendaki, menunjukkan semua nilai.

Anda juga boleh mencari penyelesaian kepada sistem tiga persamaan menggunakan kaedah Cramer. Untuk melakukan ini, cari penentu tertib ketiga ∆ sepadan dengan matriks sistem. Kemudian secara berturut-turut cari tiga lagi penentu ∆1, ∆2 dan ∆3, menggantikan nilai sebutan bebas dan bukannya nilai lajur yang sepadan. Sekarang cari x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sumber:

• penyelesaian kepada persamaan dengan tiga yang tidak diketahui

Menyelesaikan sistem persamaan adalah mencabar dan mengujakan. Lebih kompleks sistem, lebih menarik untuk diselesaikan. Selalunya dalam matematik sekolah menengah terdapat sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui, tetapi dalam matematik yang lebih tinggi mungkin terdapat lebih banyak pembolehubah. Sistem boleh diselesaikan menggunakan beberapa kaedah.

Arahan

Kaedah yang paling biasa untuk menyelesaikan sistem persamaan ialah penggantian. Untuk melakukan ini, anda perlu menyatakan satu pembolehubah dari segi yang lain dan menggantikannya dengan yang kedua persamaan sistem, dengan itu memimpin persamaan kepada satu pembolehubah. Sebagai contoh, diberikan persamaan berikut: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Daripada ungkapan kedua adalah mudah untuk menyatakan salah satu pembolehubah, memindahkan semua yang lain ke sebelah kanan ungkapan, tidak lupa untuk menukar tanda pekali: x = 3-y.

Buka kurungan: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Kami menggantikan nilai y yang terhasil ke dalam ungkapan: x=3-y;x=3-1;x=2. .

Dalam ungkapan pertama, semua sebutan ialah 2, anda boleh mengeluarkan 2 daripada kurungan kepada sifat taburan pendaraban: 2*(2x-y-3)=0. Sekarang kedua-dua bahagian ungkapan boleh dikurangkan dengan nombor ini, dan kemudian dinyatakan sebagai y, kerana pekali modulus untuknya adalah sama dengan satu: -y = 3-2x atau y = 2x-3.

Sama seperti dalam kes pertama, kami menggantikan ungkapan ini ke dalam yang kedua persamaan dan kita dapat: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Gantikan nilai yang terhasil ke dalam ungkapan: y=2x -3;y=4-3=1.

Kita melihat bahawa pekali untuk y adalah sama dalam nilai, tetapi berbeza dalam tanda, oleh itu, jika kita menambah persamaan ini, kita akan menyingkirkan sepenuhnya y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2 Gantikan nilai x ke dalam mana-mana dua persamaan sistem dan dapatkan y=1.

Video mengenai topik

Biquadratik persamaan mewakili persamaan darjah keempat, bentuk amnya diwakili oleh ungkapan ax^4 + bx^2 + c = 0. Penyelesaiannya adalah berdasarkan penggunaan kaedah penggantian yang tidak diketahui. Dalam kes ini, x^2 digantikan dengan pembolehubah lain. Oleh itu, hasilnya adalah segi empat sama biasa persamaan, yang perlu diselesaikan.

Arahan

Selesaikan kuadratik persamaan, hasil daripada penggantian. Untuk melakukan ini, mula-mula hitung nilai mengikut formula: D = b^2? 4ac. Dalam kes ini, pembolehubah a, b, c ialah pekali persamaan kita.

Cari punca bagi persamaan biquadratik. Untuk melakukan ini, ambil punca kuasa dua penyelesaian yang diperolehi. Sekiranya terdapat satu penyelesaian, maka akan ada dua - nilai positif dan negatif punca kuasa dua. Jika terdapat dua penyelesaian, persamaan biquadratik akan mempunyai empat punca.

Video mengenai topik

Salah satu kaedah klasik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ialah kaedah Gauss. Ia terdiri daripada penghapusan berurutan pembolehubah, apabila sistem persamaan menggunakan transformasi mudah diubah menjadi sistem berperingkat, dari mana semua pembolehubah ditemui secara berurutan, bermula dengan yang terakhir.

Arahan

Pertama, bawa sistem persamaan ke dalam bentuk di mana semua yang tidak diketahui berada dalam susunan yang ditetapkan dengan ketat. Sebagai contoh, semua X yang tidak diketahui akan muncul dahulu pada setiap baris, semua Y akan datang selepas X, semua Z akan datang selepas Y, dan seterusnya. Seharusnya tiada yang tidak diketahui di sebelah kanan setiap persamaan. Tentukan secara mental pekali di hadapan setiap yang tidak diketahui, serta pekali di sebelah kanan setiap persamaan.

Kesaksamaan f(x; y) = 0 mewakili persamaan dengan dua pembolehubah. Penyelesaian kepada persamaan sedemikian ialah sepasang nilai pembolehubah yang mengubah persamaan dengan dua pembolehubah menjadi kesamaan sebenar.

Jika kita mempunyai persamaan dengan dua pembolehubah, maka, mengikut tradisi, kita mesti meletakkan x di tempat pertama dan y di tempat kedua.

Pertimbangkan persamaan x – 3y = 10. Pasangan (10; 0), (16; 2), (-2; -4) ialah penyelesaian kepada persamaan yang sedang dipertimbangkan, manakala pasangan (1; 5) bukan penyelesaian.

Untuk mencari pasangan penyelesaian lain kepada persamaan ini, adalah perlu untuk menyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain - contohnya, x dalam sebutan y. Akibatnya, kita mendapat persamaan
x = 10 + 3y. Mari kita hitung nilai x dengan memilih nilai arbitrari bagi y.

Jika y = 7, maka x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.

Jika y = -2, maka x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.

Oleh itu, pasangan (31; 7), (4; -2) juga merupakan penyelesaian kepada persamaan yang diberikan.

Jika persamaan dengan dua pembolehubah mempunyai punca yang sama, maka persamaan tersebut dipanggil setara.

Untuk persamaan dengan dua pembolehubah, teorem pada transformasi setara persamaan adalah sah.

Pertimbangkan graf persamaan dengan dua pembolehubah.

Biarkan persamaan dengan dua pembolehubah f(x; y) = 0 diberikan Semua penyelesaiannya boleh diwakili oleh titik pada satah koordinat, memperoleh set titik tertentu pada satah. Set titik pada satah ini dipanggil graf bagi persamaan f(x; y) = 0.

Oleh itu, graf bagi persamaan y – x 2 = 0 ialah parabola y = x 2; graf bagi persamaan y – x = 0 ialah garis lurus; graf persamaan y – 3 = 0 ialah garis lurus selari dengan paksi x, dsb.

Persamaan bentuk ax + by = c, di mana x dan y ialah pembolehubah dan a, b dan c ialah nombor, dipanggil linear; nombor a, b dipanggil pekali pembolehubah, c ialah sebutan bebas.

Graf persamaan linear ax + by = c ialah:

Mari kita lukiskan persamaan 2x – 3y = -6.

1. Kerana tiada satu pun pekali pembolehubah adalah sama dengan sifar, maka graf persamaan ini akan menjadi garis lurus.

2. Untuk membina garis lurus, kita perlu mengetahui sekurang-kurangnya dua titiknya. Gantikan nilai x ke dalam persamaan dan dapatkan nilai y dan sebaliknya:

jika x = 0, maka y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);

jika y = 0, maka x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6).

Jadi, kami mendapat dua mata pada graf: (0; 2) dan (-3; 0).

3. Mari kita lukis garis lurus melalui titik yang diperoleh dan dapatkan graf persamaan
2x – 3y = -6.

Jika persamaan linear ax + by = c mempunyai bentuk 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, maka kita mesti mempertimbangkan dua kes:

1. c = 0. Dalam kes ini, mana-mana pasangan (x; y) memenuhi persamaan, dan oleh itu graf persamaan ialah keseluruhan satah koordinat;

2. c ≠ 0. Dalam kes ini, persamaan tidak mempunyai penyelesaian, yang bermaksud grafnya tidak mengandungi satu titik.

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Subjek:Fungsi linear

Pelajaran:Persamaan linear dalam dua pembolehubah dan grafnya

Kami menjadi biasa dengan konsep paksi koordinat dan satah koordinat. Kita tahu bahawa setiap titik pada satah secara unik mentakrifkan sepasang nombor (x; y), dengan nombor pertama ialah absis titik, dan yang kedua ialah ordinat.

Kita akan sering menemui persamaan linear dalam dua pembolehubah, penyelesaiannya ialah sepasang nombor yang boleh diwakili pada satah koordinat.

Persamaan bentuk:

Di mana a, b, c ialah nombor, dan

Ia dipanggil persamaan linear dengan dua pembolehubah x dan y. Penyelesaian kepada persamaan sedemikian ialah mana-mana pasangan nombor x dan y, menggantikan mana ke dalam persamaan itu kita akan memperoleh kesamaan berangka yang betul.

Sepasang nombor akan digambarkan pada satah koordinat sebagai titik.

Untuk persamaan sedemikian, kita akan melihat banyak penyelesaian, iaitu, banyak pasangan nombor, dan semua titik yang sepadan akan terletak pada garis lurus yang sama.

Mari kita lihat contoh:

Untuk mencari penyelesaian kepada persamaan ini, anda perlu memilih pasangan nombor x dan y yang sepadan:

Biarkan , maka persamaan asal bertukar menjadi persamaan dengan satu yang tidak diketahui:

,

Iaitu, pasangan nombor pertama yang merupakan penyelesaian kepada persamaan (0; 3) yang diberikan. Kami mendapat titik A(0; 3)

biarlah . Kami mendapat persamaan asal dengan satu pembolehubah: , dari sini, kita mendapat titik B(3; 0)

Mari letakkan pasangan nombor dalam jadual:

Mari kita plot titik pada graf dan lukis garis lurus:

Perhatikan bahawa mana-mana titik pada garis tertentu akan menjadi penyelesaian kepada persamaan yang diberikan. Mari kita semak - ambil titik dengan koordinat dan gunakan graf untuk mencari koordinat kedua. Adalah jelas bahawa pada ketika ini. Mari kita gantikan pasangan nombor ini ke dalam persamaan. Kami mendapat 0=0 - kesamaan berangka yang betul, yang bermaksud titik yang terletak pada garis adalah penyelesaian.

Buat masa ini, kami tidak dapat membuktikan bahawa mana-mana titik yang terletak pada garis yang dibina adalah penyelesaian kepada persamaan, jadi kami menerima ini sebagai benar dan akan membuktikannya kemudian.

Contoh 2 - graf persamaan:

Mari kita buat jadual; kita hanya memerlukan dua mata untuk membina garis lurus, tetapi kita akan mengambil yang ketiga untuk kawalan:

Dalam lajur pertama kami mengambil yang mudah, kami akan menemuinya daripada:

, ,

Dalam lajur kedua kami mengambil yang mudah, mari cari x:

, , ,

Mari semak dan cari:

, ,

Mari bina graf:

Mari kita darabkan persamaan yang diberikan dengan dua:

Daripada transformasi sedemikian, set penyelesaian tidak akan berubah dan graf akan kekal sama.

Kesimpulan: kami belajar menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah dan membina graf mereka, kami mengetahui bahawa graf persamaan sedemikian ialah garis lurus dan mana-mana titik pada garis ini adalah penyelesaian kepada persamaan

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain. Algebra 7. edisi ke-6. M.: Pencerahan. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. dan lain-lain Algebra 7.M.: Pencerahan. 2006

2. Portal untuk tontonan keluarga ().

Tugasan 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, No. 960, Seni 210;

Tugasan 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, No. 961, Seni 210;

Tugasan 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, No. 962, Seni 210;

§ 1 Pemilihan punca persamaan dalam situasi sebenar

Mari kita pertimbangkan situasi sebenar ini:

Tuan dan perantis bersama-sama membuat 400 bahagian tersuai. Lebih-lebih lagi, tuan bekerja selama 3 hari, dan pelajar selama 2 hari. Berapakah bahagian yang dibuat oleh setiap orang?

Mari kita cipta model algebra bagi situasi ini. Biarkan tuan menghasilkan bahagian dalam 1 hari. Dan pelajar adalah pada butiran. Kemudian tuan akan membuat 3 bahagian dalam 3 hari, dan pelajar akan membuat 2 bahagian dalam 2 hari. Bersama-sama mereka akan menghasilkan 3 + 2 bahagian. Oleh kerana, mengikut syarat, sejumlah 400 bahagian telah dihasilkan, kami memperoleh persamaan:

Persamaan yang terhasil dipanggil persamaan linear dalam dua pembolehubah. Di sini kita perlu mencari pasangan nombor x dan y yang mana persamaannya akan berbentuk kesamaan berangka sebenar. Perhatikan bahawa jika x = 90, y = 65, maka kita mendapat kesamaan:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Oleh kerana kesamaan berangka yang betul telah diperoleh, pasangan nombor 90 dan 65 akan menjadi penyelesaian kepada persamaan ini. Tetapi penyelesaian yang ditemui bukan satu-satunya. Jika x = 96 dan y = 56, maka kita mendapat kesamaan:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Ini juga merupakan kesamaan berangka yang benar, yang bermaksud bahawa pasangan nombor 96 dan 56 juga merupakan penyelesaian kepada persamaan ini. Tetapi sepasang nombor x = 73 dan y = 23 tidak akan menjadi penyelesaian kepada persamaan ini. Malah, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 akan memberi kita kesamaan berangka yang salah 265 = 400. Perlu diingatkan bahawa jika kita mempertimbangkan persamaan berhubung dengan situasi sebenar ini, maka akan ada pasangan nombor yang, menjadi penyelesaian kepada persamaan ini, tidak akan menjadi penyelesaian kepada masalah. Sebagai contoh, beberapa nombor:

x = 200 dan y = -100

adalah penyelesaian kepada persamaan, tetapi pelajar tidak boleh membuat -100 bahagian, dan oleh itu pasangan nombor sedemikian tidak boleh menjadi jawapan kepada soalan masalah. Oleh itu, dalam setiap situasi sebenar yang khusus adalah perlu untuk mengambil pendekatan yang munasabah untuk memilih punca persamaan.

Mari kita ringkaskan hasil pertama:

Persamaan bentuk ax + bу + c = 0, di mana a, b, c ialah sebarang nombor, dipanggil persamaan linear dengan dua pembolehubah.

Penyelesaian kepada persamaan linear dalam dua pembolehubah ialah sepasang nombor yang sepadan dengan x dan y, yang mana persamaan itu bertukar menjadi kesamaan berangka sebenar.

§ 2 Graf persamaan linear

Rakaman pasangan (x;y) membawa kita berfikir tentang kemungkinan menggambarkannya sebagai titik dengan koordinat xy y pada satah. Ini bermakna kita boleh mendapatkan model geometri bagi situasi tertentu. Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan:

2x + y - 4 = 0

Mari pilih beberapa pasangan nombor yang akan menjadi penyelesaian kepada persamaan ini dan bina titik dengan koordinat yang ditemui. Biarkan ini menjadi mata:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).

Perhatikan bahawa semua titik terletak pada baris yang sama. Garis ini dipanggil graf persamaan linear dalam dua pembolehubah. Ia ialah model grafik (atau geometri) bagi persamaan yang diberikan.

Jika pasangan nombor (x;y) ialah penyelesaian kepada persamaan

ax + vy + c = 0, maka titik M(x;y) tergolong dalam graf persamaan. Kita boleh katakan sebaliknya: jika titik M(x;y) tergolong dalam graf persamaan ax + y + c = 0, maka pasangan nombor (x;y) ialah penyelesaian kepada persamaan ini.

Dari kursus geometri kita tahu:

Untuk memplot garis lurus, anda memerlukan 2 mata, jadi untuk memplot graf persamaan linear dengan dua pembolehubah, cukup untuk mengetahui hanya 2 pasang penyelesaian. Tetapi meneka akarnya tidak selalunya prosedur yang mudah atau rasional. Anda boleh bertindak mengikut peraturan lain. Oleh kerana absis titik (pembolehubah x) ialah pembolehubah bebas, anda boleh memberikannya sebarang nilai yang mudah. Menggantikan nombor ini ke dalam persamaan, kita dapati nilai pembolehubah y.

Sebagai contoh, biarkan persamaan diberikan:

Biarkan x = 0, maka kita dapat 0 - y + 1 = 0 atau y = 1. Ini bermakna jika x = 0, maka y = 1. Sepasang nombor (0;1) ialah penyelesaian kepada persamaan ini. Mari kita tetapkan nilai lain untuk pembolehubah x: x = 2. Kemudian kita dapat 2 - y + 1 = 0 atau y = 3. Pasangan nombor (2;3) juga merupakan penyelesaian kepada persamaan ini. Dengan menggunakan dua titik yang ditemui, sudah mungkin untuk membina graf bagi persamaan x - y + 1 = 0.

Anda boleh melakukan ini: mula-mula tetapkan beberapa nilai khusus kepada pembolehubah y, dan hanya kemudian hitung nilai x.

§ 3 Sistem persamaan

Cari dua nombor asli yang jumlahnya ialah 11 dan perbezaannya ialah 1.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita mula-mula mencipta model matematik (iaitu, model algebra). Biarkan nombor pertama ialah x dan nombor kedua y. Kemudian hasil tambah nombor x + y = 11 dan perbezaan nombor x - y = 1. Oleh kerana kedua-dua persamaan berurusan dengan nombor yang sama, syarat ini mesti dipenuhi serentak. Biasanya dalam kes sedemikian rekod khas digunakan. Persamaan ditulis satu di bawah yang lain dan digabungkan dengan pendakap kerinting.

Rekod sedemikian dipanggil sistem persamaan.

Sekarang mari kita bina set penyelesaian untuk setiap persamaan, i.e. graf bagi setiap persamaan. Mari kita ambil persamaan pertama:

Jika x = 4, maka y = 7. Jika x = 9, maka y = 2.

Mari kita lukis garis lurus melalui titik (4;7) dan (9;2).

Mari kita ambil persamaan kedua x - y = 1. Jika x = 5, maka y = 4. Jika x = 7, maka y = 6. Kami juga melukis garis lurus melalui titik (5;4) dan (7;6) ). Kami memperoleh model geometri masalah. Pasangan nombor yang kita minati (x;y) mestilah penyelesaian kepada kedua-dua persamaan. Dalam rajah itu kita melihat satu titik yang terletak pada kedua-dua garisan ini ialah titik persilangan garis.

Koordinatnya ialah (6;5). Oleh itu, penyelesaian kepada masalah itu ialah: nombor pertama yang diperlukan ialah 6, yang kedua ialah 5.

Senarai literatur yang digunakan:

1. Mordkovich A.G., Algebra gred ke-7 dalam 2 bahagian, Bahagian 1, Buku Teks untuk institusi pendidikan am / A.G. Mordkovich. – ed. ke-10, disemak – Moscow, “Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra gred ke-7 dalam 2 bahagian, Bahagian 2, Buku masalah untuk institusi pendidikan / [A.G. Mordkovich dan lain-lain]; disunting oleh A.G. Mordkovich - edisi ke-10, disemak - Moscow, "Mnemosyne", 2007
3. DIA. Tulcinskaya, Algebra gred ke-7. Tinjauan Blitz: manual untuk pelajar institusi pendidikan am, edisi ke-4, disemak dan dikembangkan, Moscow, "Mnemosyne", 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra gred 7. Kertas ujian tematik dalam bentuk baharu untuk pelajar institusi pendidikan am, disunting oleh A.G. Mordkovich, Moscow, "Mnemosyne", 2011
5. Alexandrova L.A. Algebra darjah 7. Karya bebas untuk pelajar institusi pendidikan am, disunting oleh A.G. Mordkovich - edisi ke-6, stereotaip, Moscow, "Mnemosyne", 2010