Apakah kebarangkalian?
Kali pertama saya menemui istilah ini, saya tidak akan faham apa itu. Oleh itu, saya akan cuba menerangkan dengan jelas.
Kebarangkalian adalah peluang bahawa peristiwa yang kita inginkan akan berlaku.
Sebagai contoh, anda memutuskan untuk pergi ke rumah rakan, anda masih ingat pintu masuk dan juga lantai di mana dia tinggal. Tetapi saya terlupa nombor dan lokasi apartmen. Dan kini anda berdiri di atas tangga, dan di hadapan anda terdapat pintu untuk dipilih.
Apakah peluang (kebarangkalian) jika anda membunyikan loceng pintu pertama, rakan anda akan membuka pintu untuk anda? Terdapat hanya apartmen, dan seorang rakan tinggal hanya di belakang salah satu daripadanya. Dengan peluang yang sama kita boleh memilih mana-mana pintu.
Tetapi apakah peluang ini?
Pintu, pintu kanan. Kebarangkalian meneka dengan membunyikan pintu pertama: . Iaitu, satu kali daripada tiga anda akan meneka dengan tepat.
Kami ingin tahu, setelah menelefon sekali, berapa kerap kami akan meneka pintu? Mari lihat semua pilihan:
- Awak panggil pertama pintu
- Awak panggil ke-2 pintu
- Awak panggil ke-3 pintu
Sekarang mari kita lihat semua pilihan di mana rakan boleh berada:
A. Untuk pertama pintu
b. Untuk ke-2 pintu
V. Untuk ke-3 pintu
Mari bandingkan semua pilihan dalam bentuk jadual. Tanda semak menunjukkan pilihan apabila pilihan anda bertepatan dengan lokasi rakan, tanda pangkah - apabila ia tidak bertepatan.
Bagaimana anda melihat segala-galanya Mungkin pilihan lokasi rakan anda dan pilihan anda pintu mana yang hendak dibunyikan.
A hasil yang menggalakkan untuk semua . Iaitu, anda akan meneka sekali dengan membunyikan loceng pintu sekali, i.e. .
Ini adalah kebarangkalian - nisbah hasil yang menggalakkan (apabila pilihan anda bertepatan dengan lokasi rakan anda) kepada bilangan acara yang mungkin.
Definisi adalah formula. Kebarangkalian biasanya dilambangkan dengan p, oleh itu:
Ia tidak begitu mudah untuk menulis formula sedemikian, jadi kami akan mengambil untuk - bilangan hasil yang menggalakkan, dan untuk - jumlah bilangan hasil.
Kebarangkalian boleh ditulis sebagai peratusan; untuk melakukan ini, anda perlu mendarabkan hasil yang terhasil dengan:
Perkataan "hasil" mungkin menarik perhatian anda. Oleh kerana ahli matematik memanggil pelbagai tindakan (dalam kes kami, tindakan sedemikian adalah loceng pintu) eksperimen, hasil eksperimen sedemikian biasanya dipanggil hasil.
Nah, terdapat hasil yang menggalakkan dan tidak menguntungkan.
Mari kita kembali kepada contoh kita. Katakan kami menekan salah satu pintu, tetapi orang yang tidak dikenali membukanya untuk kami. Kami tidak meneka dengan betul. Apakah kebarangkalian jika kita membunyikan salah satu pintu yang tinggal, kawan kita akan membukanya untuk kita?
Jika anda fikir begitu, maka ini adalah satu kesilapan. Mari kita fikirkan.
Kami mempunyai dua pintu lagi. Jadi kami mempunyai langkah yang mungkin:
1) Panggil pertama pintu
2) Panggil ke-2 pintu
Rakan itu, walaupun semua ini, pasti berada di belakang salah seorang daripada mereka (lagipun, dia tidak berada di belakang yang kami panggil):
a) Kawan untuk pertama pintu
b) Kawan untuk ke-2 pintu
Mari kita lukis jadual sekali lagi:
Seperti yang anda dapat lihat, terdapat hanya pilihan, yang menguntungkan. Iaitu, kebarangkalian adalah sama.
kenapa tidak
Situasi yang kami pertimbangkan ialah contoh peristiwa bergantung. Acara pertama loceng pintu pertama, acara kedua loceng pintu kedua.
Dan mereka dipanggil bergantung kerana mereka mempengaruhi tindakan berikut. Lagipun, jika selepas deringan pertama loceng pintu dijawab oleh rakan, apakah kebarangkalian dia berada di belakang salah seorang daripada dua yang lain? Betul, .
Tetapi jika ada peristiwa tanggungan, maka mesti ada juga berdikari? Betul, ia berlaku.
Contoh buku teks ialah melambung duit syiling.
- Baling duit syiling sekali. Apakah kebarangkalian mendapat kepala, sebagai contoh? Betul - kerana terdapat semua pilihan (sama ada kepala atau ekor, kita akan mengabaikan kebarangkalian syiling mendarat di tepinya), tetapi ia hanya sesuai untuk kita.
- Tetapi ia muncul di kepala. Okey, kita buang lagi. Apakah kebarangkalian untuk mendapat kepala sekarang? Tiada apa yang berubah, semuanya sama. Berapa banyak pilihan? dua. Berapa ramai yang kita gembira? satu.
Dan biarkan ia muncul di kepala sekurang-kurangnya seribu kali berturut-turut. Kebarangkalian mendapat kepala sekali gus adalah sama. Selalu ada pilihan, dan yang menguntungkan.
Adalah mudah untuk membezakan peristiwa bergantung daripada peristiwa bebas:
- Jika eksperimen dijalankan sekali (mereka membaling duit syiling sekali, membunyikan loceng pintu sekali, dsb.), maka acara itu sentiasa bebas.
- Jika eksperimen dijalankan beberapa kali (syiling dilempar sekali, loceng pintu dibunyikan beberapa kali), maka acara pertama sentiasa bebas. Dan kemudian, jika bilangan yang menguntungkan atau bilangan semua hasil berubah, maka peristiwa itu bergantung, dan jika tidak, ia adalah bebas.
Mari kita berlatih menentukan kebarangkalian sedikit.
Contoh 1.
Syiling dilambung dua kali. Apakah kebarangkalian mendapat kepala dua kali berturut-turut?
Penyelesaian:
Mari kita pertimbangkan semua pilihan yang mungkin:
- Helang-helang
- Kepala-ekor
- Ekor-Kepala
- Ekor-ekor
Seperti yang anda lihat, hanya ada pilihan. Daripada jumlah ini, kami hanya berpuas hati. Iaitu, kebarangkalian:
Jika syarat itu hanya meminta anda mencari kebarangkalian, maka jawapan mesti diberikan dalam bentuk pecahan perpuluhan. Jika dinyatakan bahawa jawapan harus diberikan sebagai peratusan, maka kita akan darab dengan.
Jawapan:
Contoh 2.
Dalam kotak coklat, semua coklat dibungkus dalam pembungkus yang sama. Walau bagaimanapun, dari gula-gula - dengan kacang, dengan cognac, dengan ceri, dengan karamel dan dengan nougat.
Apakah kebarangkalian untuk mengambil satu gula-gula dan mendapat gula-gula dengan kacang? Berikan jawapan anda sebagai peratusan.
Penyelesaian:
Berapa banyak kemungkinan hasil yang ada? .
Iaitu, jika anda mengambil satu gula-gula, ia akan menjadi salah satu gula-gula yang terdapat di dalam kotak.
Berapa banyak hasil yang menggalakkan?
Kerana kotak itu hanya mengandungi coklat dengan kacang.
Jawapan:
Contoh 3.
Dalam kotak belon. antaranya putih dan hitam.
- Apakah kebarangkalian untuk melukis bola putih?
- Kami menambah lebih banyak bola hitam ke dalam kotak. Apakah sekarang kebarangkalian untuk melukis bola putih?
Penyelesaian:
a) Hanya terdapat bola di dalam kotak. Daripada mereka berwarna putih.
Kebarangkaliannya ialah:
b) Sekarang terdapat lebih banyak bola di dalam kotak. Dan masih ada orang putih yang tinggal - .
Jawapan:
Jumlah kebarangkalian
| Kebarangkalian semua kejadian yang mungkin adalah sama dengan (). |
Katakan terdapat bola merah dan hijau di dalam kotak. Apakah kebarangkalian untuk menarik bola merah? bola hijau? Bola merah atau hijau?
Kebarangkalian melukis bola merah
bola hijau:
Bola merah atau hijau:
Seperti yang anda lihat, jumlah semua peristiwa yang mungkin adalah sama dengan (). Memahami perkara ini akan membantu anda menyelesaikan banyak masalah.
Contoh 4.
Terdapat penanda dalam kotak: hijau, merah, biru, kuning, hitam.
Apakah kebarangkalian untuk melukis BUKAN penanda merah?
Penyelesaian:
Mari kita mengira nombor hasil yang menggalakkan.
BUKAN penanda merah, itu bermaksud hijau, biru, kuning atau hitam.
| Kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku adalah sama dengan tolak kebarangkalian bahawa peristiwa itu akan berlaku. |
Peraturan untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bebas
Anda sudah tahu apa itu acara bebas.
Bagaimana jika anda perlu mencari kebarangkalian bahawa dua (atau lebih) peristiwa bebas akan berlaku berturut-turut?
Katakan kita ingin tahu apakah kebarangkalian jika kita membalikkan syiling sekali, kita akan melihat kepala dua kali?
Kami sudah mempertimbangkan - .
Bagaimana jika kita melemparkan syiling sekali? Apakah kebarangkalian untuk melihat helang dua kali berturut-turut?
Jumlah pilihan yang mungkin:
- Helang-helang-helang
- Kepala-kepala-ekor
- Kepala-ekor-kepala
- Kepala-ekor-ekor
- Ekor-kepala-kepala
- Ekor-kepala-ekor
- Ekor-ekor-kepala
- Ekor-ekor-ekor
Saya tidak tahu tentang anda, tetapi saya membuat kesilapan beberapa kali semasa menyusun senarai ini. Wah! Dan hanya pilihan (yang pertama) sesuai dengan kita.
Untuk 5 balingan, anda boleh membuat senarai kemungkinan hasil sendiri. Tetapi ahli matematik tidak serajin anda.
Oleh itu, mereka mula-mula menyedari dan kemudian membuktikan bahawa kebarangkalian urutan tertentu peristiwa bebas berkurangan setiap kali dengan kebarangkalian satu peristiwa.
Dengan kata lain,
Mari kita lihat contoh syiling malang yang sama.
Kebarangkalian untuk mendapat cabaran? . Sekarang kita flip duit syiling sekali.
Apakah kebarangkalian mendapat kepala berturut-turut?
Peraturan ini bukan sahaja berfungsi jika kita diminta untuk mencari kebarangkalian bahawa peristiwa yang sama akan berlaku beberapa kali berturut-turut.
Jika kita ingin mencari urutan TAILS-HEADS-TAILS untuk lambungan berturut-turut, kita akan melakukan perkara yang sama.
Kebarangkalian mendapat ekor ialah , kepala - .
Kebarangkalian mendapat jujukan TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:
Anda boleh menyemaknya sendiri dengan membuat jadual.
Peraturan untuk menambah kebarangkalian peristiwa tidak serasi.
Jadi berhenti! Definisi baharu.
Mari kita fikirkan. Mari kita ambil syiling kita yang usang dan baling sekali.
Pilihan yang mungkin:
- Helang-helang-helang
- Kepala-kepala-ekor
- Kepala-ekor-kepala
- Kepala-ekor-ekor
- Ekor-kepala-kepala
- Ekor-kepala-ekor
- Ekor-ekor-kepala
- Ekor-ekor-ekor
Jadi, peristiwa yang tidak serasi adalah sesuatu yang tertentu, berdasarkan urutan peristiwa. - ini adalah peristiwa yang tidak serasi.
Jika kita ingin menentukan apakah kebarangkalian dua (atau lebih) peristiwa tidak serasi, maka kita menambah kebarangkalian peristiwa ini.
Anda perlu memahami bahawa kepala atau ekor adalah dua peristiwa bebas.
Jika kita ingin menentukan kebarangkalian urutan (atau mana-mana yang lain) berlaku, maka kita menggunakan peraturan kebarangkalian pendaraban.
Apakah kebarangkalian mendapat kepala pada lambungan pertama, dan ekor pada lambungan kedua dan ketiga?
Tetapi jika kita ingin tahu apakah kebarangkalian mendapat salah satu daripada beberapa urutan, sebagai contoh, apabila kepala muncul tepat sekali, i.e. pilihan dan, kemudian kita mesti menambah kebarangkalian jujukan ini.
Jumlah pilihan sesuai dengan kami.
Kita boleh mendapatkan perkara yang sama dengan menjumlahkan kebarangkalian berlakunya setiap jujukan:
Oleh itu, kita menambah kebarangkalian apabila kita ingin menentukan kebarangkalian urutan peristiwa tertentu, tidak konsisten.
Terdapat peraturan yang bagus untuk membantu anda mengelak daripada keliru bila hendak mendarab dan bila hendak menambah:
Mari kita kembali kepada contoh di mana kita melemparkan syiling sekali dan ingin mengetahui kebarangkalian untuk melihat kepala sekali.
Apa yang patut berlaku?
Harus jatuh:
(kepala DAN ekor DAN ekor) ATAU (ekor DAN kepala DAN ekor) ATAU (ekor DAN ekor DAN kepala).
Ini adalah bagaimana ia ternyata:
Mari lihat beberapa contoh.
Contoh 5.
Terdapat pensel di dalam kotak. merah, hijau, oren dan kuning dan hitam. Apakah kebarangkalian untuk melukis pensel merah atau hijau?
Penyelesaian:
Contoh 6.
Jika sebiji dadu dilempar dua kali, apakah kebarangkalian untuk mendapat jumlah 8?
Penyelesaian.
Bagaimana kita boleh mendapat mata?
(dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan).
Kebarangkalian mendapat satu (mana-mana) muka ialah .
Kami mengira kebarangkalian:
Latihan.
Saya fikir sekarang anda faham bila anda perlu mengira kebarangkalian, bila untuk menambahnya, dan bila untuk mendarabkannya. bukan? Jom amalkan sikit.
Tugasan:
Mari ambil dek kad yang mengandungi kad termasuk penyodok, hati, 13 kelab dan 13 berlian. Dari kepada Ace setiap sut.
- Apakah kebarangkalian untuk melukis kelab secara berturut-turut (kami meletakkan kad pertama yang ditarik keluar semula ke dalam dek dan mengocoknya)?
- Apakah kebarangkalian untuk menarik kad hitam (skop atau kayu)?
- Apakah kebarangkalian melukis gambar (jack, queen, king atau ace)?
- Apakah kebarangkalian untuk melukis dua gambar berturut-turut (kami mengeluarkan kad pertama yang dikeluarkan dari dek)?
- Apakah kebarangkalian, dengan mengambil dua kad, untuk mengumpul kombinasi - (jack, ratu atau raja) dan ace.
Jawapan:
Jika anda dapat menyelesaikan semua masalah sendiri, maka anda hebat! Sekarang anda akan memecahkan masalah teori kebarangkalian dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu seperti kacang!
TEORI KEBARANGKALIAN. PERINGKAT TENGAH
Mari kita lihat satu contoh. Katakan kita baling dadu. Apakah jenis tulang ini, anda tahu? Inilah yang mereka panggil kubus dengan nombor di mukanya. Berapa banyak muka, begitu banyak nombor: dari kepada berapa banyak? Kepada.
Jadi kita membaling dadu dan kita mahu ia muncul atau. Dan kami mendapatnya.
Dalam teori kebarangkalian mereka mengatakan apa yang berlaku acara bertuah(jangan dikelirukan dengan makmur).
Sekiranya ia berlaku, acara itu juga akan menguntungkan. Secara keseluruhan, hanya dua peristiwa yang menggembirakan boleh berlaku.
Berapa ramai yang tidak menguntungkan? Oleh kerana terdapat jumlah peristiwa yang mungkin, ini bermakna yang tidak menguntungkan adalah peristiwa (ini jika atau jatuh).
Definisi:
Kebarangkalian ialah nisbah bilangan peristiwa yang menguntungkan kepada bilangan semua peristiwa yang mungkin. Iaitu, kebarangkalian menunjukkan berapa bahagian semua peristiwa yang mungkin adalah menguntungkan.
Mereka menandakan kebarangkalian dengan huruf Latin (nampaknya daripada perkataan Inggeris kebarangkalian - kebarangkalian).
Adalah lazim untuk mengukur kebarangkalian sebagai peratusan (lihat topik,). Untuk melakukan ini, nilai kebarangkalian mesti didarabkan dengan. Dalam contoh dadu, kebarangkalian.
Dan dalam peratusan: .
Contoh (tentukan sendiri):
- Apakah kebarangkalian mendapat kepala apabila melambung syiling? Apakah kebarangkalian kepala pendaratan?
- Apakah kebarangkalian mendapat nombor genap semasa melontar dadu? Yang mana satu ganjil?
- Dalam kotak pensel ringkas, biru dan merah. Kami melukis satu pensel secara rawak. Apakah kebarangkalian mendapat yang mudah?
Penyelesaian:
- Berapa banyak pilihan yang ada? Kepala dan ekor - hanya dua. Berapa ramai daripada mereka yang menguntungkan? Hanya seekor burung helang. Jadi kebarangkalian
Sama juga dengan ekor: .
- Jumlah pilihan: (berapa banyak sisi kiub mempunyai, begitu banyak pilihan yang berbeza). Yang menguntungkan: (ini semua adalah nombor genap:).
Kebarangkalian. Sudah tentu, ia sama dengan nombor ganjil. - Jumlah: . Menguntungkan: . Kebarangkalian: .
Jumlah kebarangkalian
Semua pensel di dalam kotak berwarna hijau. Apakah kebarangkalian untuk melukis pensel merah? Tiada peluang: kebarangkalian (lagipun, peristiwa yang menguntungkan -).
Peristiwa sedemikian dipanggil mustahil.
Apakah kebarangkalian untuk melukis pensel hijau? Terdapat bilangan acara yang menggembirakan yang sama dengan jumlah acara (semua acara adalah menguntungkan). Jadi kebarangkalian adalah sama dengan atau.
Peristiwa sedemikian dipanggil boleh dipercayai.
Jika sebuah kotak mengandungi pensel hijau dan merah, apakah kebarangkalian untuk melukis hijau atau merah? sekali lagi. Mari kita ambil perhatian ini: kebarangkalian menarik keluar hijau adalah sama, dan merah adalah sama.
Kesimpulannya, kebarangkalian ini adalah sama. iaitu, jumlah kebarangkalian semua kejadian yang mungkin adalah sama dengan atau.
Contoh:
Dalam kotak pensel, antaranya ialah biru, merah, hijau, biasa, kuning, dan selebihnya ialah oren. Apakah kebarangkalian untuk tidak melukis hijau?
Penyelesaian:
Kami ingat bahawa semua kebarangkalian bertambah. Dan kebarangkalian untuk mendapat hijau adalah sama. Ini bermakna kebarangkalian untuk tidak melukis hijau adalah sama.
Ingat helah ini: Kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku adalah sama dengan tolak kebarangkalian bahawa peristiwa itu akan berlaku.
Peristiwa bebas dan peraturan pendaraban
Anda membelek duit syiling sekali dan mahu ia muncul dua kali. Apakah kemungkinan ini?
Mari kita lihat semua pilihan yang mungkin dan tentukan bilangannya:
Kepala-Kepala, Ekor-Kepala, Kepala-Ekor, Ekor-Ekor. Apa yang lain?
Jumlah pilihan. Daripada jumlah ini, hanya satu yang sesuai untuk kita: Eagle-Eagle. Secara keseluruhan, kebarangkalian adalah sama.
baiklah. Sekarang mari kita membalikkan syiling sekali. Buat matematik sendiri. Adakah ia berkesan? (jawapan).
Anda mungkin perasan bahawa dengan penambahan setiap balingan berikutnya, kebarangkalian berkurangan sebanyak separuh. Peraturan am dipanggil peraturan pendaraban:
Kebarangkalian peristiwa bebas berubah.
Apakah acara bebas? Semuanya logik: ini adalah yang tidak bergantung antara satu sama lain. Sebagai contoh, apabila kita membaling syiling beberapa kali, setiap kali lontaran baru dibuat, yang hasilnya tidak bergantung pada semua lontaran sebelumnya. Kita boleh melemparkan dua syiling berbeza pada masa yang sama dengan mudah.
Lebih banyak contoh:
- Dadu dilempar dua kali. Apakah kebarangkalian untuk mendapatkannya kedua-dua kali?
- Syiling dilambung sekali. Apakah kebarangkalian ia akan muncul pada kali pertama, dan kemudian ekor dua kali?
- Pemain membaling dua dadu. Apakah kebarangkalian bahawa jumlah nombor padanya adalah sama?
Jawapan:
- Peristiwa adalah bebas, yang bermaksud peraturan pendaraban berfungsi: .
- Kebarangkalian kepala adalah sama. Kebarangkalian ekor adalah sama. gandakan:
- 12 hanya boleh diperolehi jika dua -ki digulung: .
Peristiwa tidak serasi dan peraturan penambahan
Peristiwa yang melengkapi antara satu sama lain hingga ke tahap kebarangkalian penuh dipanggil tidak serasi. Seperti namanya, ia tidak boleh berlaku serentak. Sebagai contoh, jika kita menyelak duit syiling, ia boleh timbul sama ada di kepala atau ekor.
Contoh.
Dalam kotak pensel, antaranya ialah biru, merah, hijau, biasa, kuning, dan selebihnya ialah oren. Apakah kebarangkalian lukisan hijau atau merah?
Penyelesaian .
Kebarangkalian untuk melukis pensel hijau adalah sama. Merah - .
Acara yang menggembirakan semuanya: hijau + merah. Ini bermakna kebarangkalian untuk melukis hijau atau merah adalah sama.
Kebarangkalian yang sama boleh diwakili dalam bentuk ini: .
Ini adalah peraturan tambahan: kebarangkalian peristiwa tidak serasi bertambah.
Masalah jenis campuran
Contoh.
Syiling dilambung dua kali. Apakah kebarangkalian bahawa keputusan gulungan akan berbeza?
Penyelesaian .
Ini bermakna jika keputusan pertama adalah kepala, yang kedua mestilah ekor, dan sebaliknya. Ternyata terdapat dua pasangan acara bebas, dan pasangan ini tidak serasi antara satu sama lain. Bagaimana untuk tidak keliru tentang di mana untuk membiak dan di mana untuk menambah.
Terdapat peraturan mudah untuk situasi sedemikian. Cuba huraikan perkara yang akan berlaku menggunakan kata hubung “DAN” atau “ATAU”. Sebagai contoh, dalam kes ini:
Ia harus muncul (kepala dan ekor) atau (ekor dan kepala).
Di mana terdapat kata hubung "dan" akan ada pendaraban, dan di mana terdapat "atau" akan ada penambahan:
Cuba sendiri:
- Apakah kebarangkalian jika sekeping syiling dilambung dua kali, syiling itu akan mendarat di sebelah yang sama kedua-dua kali?
- Dadu dilempar dua kali. Apakah kebarangkalian untuk mendapat jumlah mata?
Penyelesaian:
Contoh lain:
Baling duit syiling sekali. Apakah kebarangkalian bahawa kepala akan muncul sekurang-kurangnya sekali?
Penyelesaian:
TEORI KEBARANGKALIAN. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA
Kebarangkalian ialah nisbah bilangan peristiwa yang menguntungkan kepada bilangan semua peristiwa yang mungkin.
Acara bebas
Dua peristiwa adalah bebas jika kejadian satu tidak mengubah kebarangkalian kejadian lain berlaku.
Jumlah kebarangkalian
Kebarangkalian semua kejadian yang mungkin adalah sama dengan ().
Kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku adalah sama dengan tolak kebarangkalian bahawa peristiwa itu akan berlaku.
Peraturan untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bebas
Kebarangkalian bagi urutan peristiwa bebas tertentu adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian bagi setiap peristiwa
Peristiwa yang tidak serasi
Peristiwa tidak serasi ialah peristiwa yang tidak mungkin berlaku serentak akibat daripada eksperimen. Sebilangan peristiwa yang tidak serasi membentuk kumpulan acara yang lengkap.
Kebarangkalian peristiwa tidak serasi bertambah.
Setelah menerangkan perkara yang sepatutnya berlaku, menggunakan kata hubung "DAN" atau "ATAU", bukannya "DAN" kami meletakkan tanda darab, dan bukannya "ATAU" kami meletakkan tanda tambah.
Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, ini bermakna anda sangat keren.
Kerana hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% ini!
Sekarang perkara yang paling penting.
Anda telah memahami teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.
Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi...
Untuk apa?
Kerana berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu, kerana memasuki kolej dengan bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...
Orang yang telah mendapat pendidikan yang baik mendapat lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.
Tetapi ini bukan perkara utama.
Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana banyak lagi peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? tidak tahu...
Tapi fikir sendiri...
Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada yang lain pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dan akhirnya... lebih bahagia?
DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MENYELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.
Anda tidak akan diminta untuk teori semasa peperiksaan.
Anda akan perlukan menyelesaikan masalah melawan masa.
Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak mempunyai masa.
Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berkali-kali untuk menang dengan pasti.
Cari koleksi di mana sahaja anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!
Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.
Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.
Bagaimana? Terdapat dua pilihan:
- Buka kunci semua tugas tersembunyi dalam artikel ini - 299 gosok.
- Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel buku teks - 499 gosok.
Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.
Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk KESELURUHAN hayat tapak.
Dan kesimpulannya...
Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti pada teori.
"Difahamkan" dan "Saya boleh selesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.
Cari masalah dan selesaikan!
tetapi juga lebih jauh
frekuensi diperhatikan sudah stabil,
Pada 
Apakah aplikasi praktikal kaedah teori kebarangkalian?
Aplikasi praktikal kaedah teori kebarangkalian terdiri dalam mengira semula kebarangkalian kejadian "kompleks" melalui kebarangkalian "peristiwa mudah".
Contoh. Kebarangkalian jata itu jatuh dengan satu lambungan syiling adil ialah ½ (kekerapan diperhatikan jata itu jatuh dengan sejumlah besar lambungan cenderung kepada nombor ini). Anda perlu mencari kebarangkalian bahawa apabila membaling syiling adil tiga kali, anda akan mendapat 2 jata.
Jawapan: Formula Berulli menjawab soalan ini:
0.375 (iaitu peristiwa sedemikian berlaku dalam 37.5% kes dengan 2 lambungan syiling saksama).
Ciri ciri teori kebarangkalian moden ialah hakikat bahawa, walaupun orientasi praktikalnya, ia menggunakan bahagian terkini hampir semua cabang matematik.
Konsep asas: populasi umum dan sampel.
Berikut ialah jadual korelasi antara konsep asas populasi umum dan sampel.
| Penduduk | Populasi sampel |
| Pembolehubah rawak (x, h, z) | Tanda (x, y, z) |
| Kebarangkalian p, gen p | Kekerapan relatif p, p pilih |
| Taburan kebarangkalian | Pengagihan kekerapan |
| Parameter (ciri taburan kebarangkalian) | Statistik (fungsi nilai sampel ciri-ciri) berfungsi untuk menganggar satu atau satu lagi parameter taburan kebarangkalian am |
| Contoh parameter dan statistik yang sepadan | |
| Pembolehubah rawak univariate (taburan univariate) | |
| Jangkaan matematik (m, Мx) | Purata aritmetik (m, ) |
| Fesyen (Mo) | Fesyen (Mo) |
| Median (Saya) | Median (Saya) |
| Sisihan piawai (s) | |
| Penyerakan (s 2 , Dx) | Penyerakan (s 2 , Dx) |
| Pembolehubah rawak bivariat (taburan bivariat) | |
| Pekali korelasi r(x, h) | Pekali korelasi r(x,y) |
| Pembolehubah rawak berbilang variasi (taburan berbilang) | |
| Pekali persamaan regresi b 1 ,b 2 ,…,b n | Pekali persamaan regresi b 1, b 2, …, b n |
Analisis varians
Rancangan kuliah.
1. Analisis varians sehala.
Soalan kuliah.
Pekali korelasi
Menerima nilai dalam julat -1 hingga +1
Kuantiti tanpa dimensi
Menunjukkan keakraban sambungan (sambungan sebagai kesegerakan, ketekalan) antara tanda
Pekali regresi
Boleh ambil sebarang nilai
Dihubungkan dengan unit ukuran kedua-dua ciri
Menunjukkan struktur perhubungan antara ciri: mencirikan hubungan sebagai pergantungan, pengaruh, mewujudkan hubungan sebab-akibat.
Tanda pekali menunjukkan arah sambungan
Merumitkan model
Jumlah kesan semua faktor bebas ke atas pembolehubah bersandar tidak boleh diwakili sebagai jumlah mudah beberapa regresi berpasangan.
Kesan kumulatif ini ditentukan oleh kaedah yang lebih kompleks - kaedah regresi berganda.
Peringkat analisis korelasi dan regresi:
· Mengenal pasti kehadiran hubungan antara ciri;
· Menentukan bentuk komunikasi;
· Penentuan kekuatan, ketat dan arah sambungan.
Tugasan yang perlu diselesaikan selepas membaca kuliah ini:
Anda boleh menulis persamaan regresi ke hadapan dan songsang untuk kuantiti ini. Bina graf yang sesuai. Cari pekali korelasi bagi kuantiti yang sedang dipertimbangkan. Dengan menggunakan kriteria Pelajar, uji hipotesis tentang kepentingan korelasi. Kami menggunakan arahan: LINEST dan Chart Wizard dalam Excel.
kesusasteraan.
1. Nota kuliah.
- Gmurman, V.E. Teori kebarangkalian dan statistik matematik. - M.: Sekolah Tinggi, 2003. - 479 p.
1.8. Konsep asas reka bentuk eksperimen dan beberapa cadangan
Rancangan kuliah.
1. Perancangan eksperimen: peringkat dan prinsip utama.
2. Konsep eksperimen, gerak balas, permukaan tindak balas, ruang faktor.
3. Menentukan tujuan merancang eksperimen.
4. Peringkat utama perancangan:
Soalan kuliah:
1. Konsep asas. Pernyataan masalah.
Perancangan eksperimen ialah kawalan optimum (paling berkesan) bagi perjalanan sesuatu eksperimen untuk mendapatkan maklumat maksimum yang mungkin berdasarkan jumlah data minimum yang dibenarkan. Dengan eksperimen itu sendiri, kami bermaksud sistem operasi, tindakan atau pemerhatian yang bertujuan untuk mendapatkan maklumat tentang objek.
Teori perancangan eksperimen mengandaikan kehadiran pengetahuan tertentu dan peringkat perancangan berikut boleh dibezakan secara kasar:
1) pengumpulan dan pemprosesan utama data statistik
2) penentuan titik dan anggaran selang taburan
3) dan pemprosesan seterusnya, yang mengandaikan pengetahuan tentang kaedah statistik untuk mengukur pembolehubah rawak, teori menguji hipotesis statistik, kaedah perancangan eksperimen, khususnya, eksperimen pasif, kaedah analisis varians, kaedah mencari ekstrem bagi fungsi tindak balas;
2) merangka rancangan eksperimen, menjalankan eksperimen itu sendiri, memproses keputusan eksperimen, menilai ketepatan eksperimen.
Jadi, mari kita berikan konsep eksperimen itu sendiri.
Eksperimen. Eksperimen ialah kaedah kognisi utama dan paling maju, yang boleh menjadi aktif atau pasif.
Aktif - jenis eksperimen utama, yang dijalankan di bawah keadaan terkawal dan terkawal, yang mempunyai kelebihan berikut:
1) hasil pemerhatian 
pembolehubah rawak taburan normal bebas;
2) varians adalah sama antara satu sama lain (disebabkan oleh fakta bahawa anggaran sampel adalah homogen);
3) pembolehubah bebas 
diukur dengan ralat kecil berbanding ralat nilai y
;
4) percubaan aktif lebih teratur: penggunaan ruang faktor yang optimum membolehkan, pada kos minimum, untuk mendapatkan maklumat maksimum tentang proses atau fenomena yang sedang dikaji.
Eksperimen pasif tidak bergantung kepada penguji, yang dalam kes ini bertindak sebagai pemerhati luar.
Apabila merancang eksperimen, objek yang dikaji dibentangkan dalam bentuk "kotak hitam", yang dipengaruhi oleh faktor yang boleh dikawal dan tidak terkawal:
di sini - faktor yang boleh dikawal; 
- faktor yang tidak terkawal, - parameter pengoptimuman yang boleh mencirikan operasi objek.
Faktor. Setiap faktor boleh mengambil bilangan nilai tertentu yang dipanggil peringkat faktor. Set tahap kemungkinan faktor dipanggil domain definisi faktor yang boleh berterusan atau diskret, terhad atau tidak terhad. Faktor mungkin:
- serasi: sebarang kombinasi faktor diandaikan boleh diterima, yang tidak sepatutnya menjejaskan pemeliharaan proses yang sedang dikaji;
- bebas: tidak sepatutnya ada korelasi antara faktor, iaitu, adalah mungkin untuk menukar nilai setiap faktor yang dipertimbangkan dalam sistem secara bebas antara satu sama lain. Pelanggaran sekurang-kurangnya satu daripada keperluan ini membawa sama ada kepada ketidakmungkinan menggunakan reka bentuk eksperimen, atau kepada kesukaran yang sangat serius. Pilihan faktor yang betul membolehkan anda menetapkan syarat percubaan dengan jelas.
Parameter yang dikaji mesti memenuhi beberapa syarat:
- kecekapan yang menyumbang kepada pencapaian cepat matlamat;
- kesejagatan, ciri bukan sahaja objek yang dikaji;
- kehomogenan statistik, yang menganggap pematuhan, sehingga ralat eksperimen, dengan set nilai faktor tertentu nilai faktor tertentu;
- ungkapan kuantitatif dalam satu nombor;
- kemudahan pengiraan;
- kewujudan dalam mana-mana keadaan objek.
Model. Hubungan antara parameter output (tindak balas) dan parameter input (faktor) dipanggil fungsi tindak balas dan mempunyai bentuk berikut:
(1)
Berikut ialah tindak balas (hasil eksperimen); - pembolehubah tidak bersandar (faktor) yang boleh diubah semasa menyediakan eksperimen.
Respon. Tanggapan adalah hasil daripada pengalaman dalam keadaan yang sesuai, yang juga dipanggil fungsi matlamat, kriteria kecekapan, kriteria optimum, parameter pengoptimuman, dsb.
Dalam teori perancangan eksperimen, keperluan dikenakan pada parameter pengoptimuman, pemenuhannya diperlukan untuk penyelesaian masalah yang berjaya. Pilihan parameter pengoptimuman hendaklah berdasarkan masalah yang dirumus dengan jelas, berdasarkan pemahaman yang jelas tentang matlamat akhir kajian. Parameter pengoptimuman mestilah berkesan dalam erti kata statistik, iaitu, ditentukan dengan ketepatan yang mencukupi. Sekiranya terdapat ralat besar dalam penentuannya, adalah perlu untuk meningkatkan bilangan eksperimen selari.
Adalah wajar untuk mempunyai sesedikit mungkin parameter pengoptimuman. Walau bagaimanapun, seseorang tidak seharusnya berusaha untuk mengurangkan bilangan parameter pengoptimuman dengan mengorbankan kesempurnaan ciri sistem. Ia juga wajar bahawa sistem dicirikan sepenuhnya oleh parameter pengoptimuman mudah yang mempunyai makna fizikal yang jelas. Sememangnya, parameter pengoptimuman mudah dengan makna fizikal yang jelas melindungi penguji daripada banyak kesilapan dan melegakannya daripada banyak kesukaran yang berkaitan dengan menyelesaikan pelbagai isu metodologi eksperimen dan tafsiran teknologi hasil yang diperolehi.
Analog geometri parameter (fungsi tindak balas), sepadan dengan persamaan (1), dipanggil permukaan tindak balas, dan ruang di mana permukaan yang ditentukan dibina dipanggil ruang faktor. Dalam kes yang paling mudah, apabila kebergantungan tindak balas pada satu faktor dikaji, permukaan tindak balas adalah garis pada satah, iaitu, dalam ruang dua dimensi. Secara umum, apabila faktor dipertimbangkan, persamaan (1) menerangkan permukaan tindak balas dalam 
- ruang dimensi. Jadi, sebagai contoh, dengan dua faktor, ruang faktor ialah satah faktor.
Tujuan merancang eksperimen adalah untuk mendapatkan model matematik objek atau proses yang dikaji. Dengan pengetahuan yang sangat terhad tentang mekanisme proses, ungkapan analisis fungsi tindak balas tidak diketahui, oleh itu model matematik polinomial (polinomial algebra) yang dipanggil persamaan regresi biasanya digunakan, bentuk umumnya ialah:
(2)
di mana 
– pekali regresi sampel yang boleh diperoleh menggunakan keputusan eksperimen.
4. Peringkat utama merancang eksperimen termasuk:
1. Pengumpulan, kajian, analisis semua data tentang objek.
2. Pengekodan faktor.
3. Merangka matriks perancangan eksperimen.
4. Menyemak kebolehulangan eksperimen.
5. Pengiraan anggaran pekali persamaan regresi.
6. Menyemak kepentingan pekali regresi.
7. Menyemak kecukupan model yang dihasilkan.
8. Peralihan kepada pembolehubah fizikal.
kesusasteraan
1. Nota kuliah.
4.1 Rantai Markov. Fungsi rawak. Kaedah Monte Carlo. Pemodelan simulasi. Perancangan rangkaian. Pengaturcaraan dinamik dan integer
Rancangan kuliah.
1. Kaedah Monte Carlo.
2. Kaedah ujian statistik (kaedah Monte Carlo)
Soalan kuliah.
Apakah kajian teori kebarangkalian?
Teori kebarangkalian mengkaji apa yang dipanggil peristiwa rawak dan menetapkan corak dalam manifestasi peristiwa sedemikian kita boleh mengatakan bahawa teori kebarangkalian adalah cabang matematik di mana model matematik eksperimen rawak dikaji, i.e. eksperimen, yang hasilnya tidak dapat ditentukan dengan jelas oleh keadaan eksperimen.
Untuk memperkenalkan konsep peristiwa rawak, perlu mengambil kira beberapa contoh eksperimen sebenar.
2. Berikan konsep eksperimen rawak dan berikan contoh eksperimen rawak.
Berikut adalah contoh eksperimen rawak:
1. Baling duit syiling sekali.
2. Baling dadu sekali.
3. Pemilihan bola secara rawak dari urn.
4. Mengukur masa hidup mentol lampu.
5. Mengukur bilangan panggilan yang tiba di PBX setiap unit masa.
Sesuatu eksperimen adalah rawak jika mustahil untuk meramalkan keputusan bukan sahaja eksperimen pertama, tetapi juga lebih jauh. Sebagai contoh, beberapa tindak balas kimia dijalankan, yang hasilnya tidak diketahui. Jika ia dijalankan sekali dan keputusan tertentu diperolehi, maka dengan eksperimen selanjutnya di bawah keadaan yang sama, rawak hilang.
Anda boleh memberikan seberapa banyak contoh jenis ini yang anda suka. Apakah persamaan eksperimen dengan hasil rawak? Ternyata walaupun pada hakikatnya adalah mustahil untuk meramalkan keputusan setiap eksperimen yang disenaraikan di atas, dalam praktiknya jenis corak tertentu telah lama diperhatikan untuk mereka, iaitu: apabila menjalankan sejumlah besar ujian frekuensi diperhatikan kejadian setiap peristiwa rawak sudah stabil, mereka. semakin kurang berbeza daripada nombor tertentu yang dipanggil kebarangkalian sesuatu peristiwa.
Kekerapan kejadian A () yang diperhatikan ialah nisbah bilangan kejadian A () kepada jumlah bilangan percubaan (N):
Sifat kestabilan frekuensi ini membolehkan, tanpa dapat meramalkan hasil satu eksperimen, meramalkan dengan tepat sifat fenomena yang dikaitkan dengan pengalaman yang dipersoalkan. Oleh itu, kaedah teori kebarangkalian dalam kehidupan moden telah menembusi semua bidang aktiviti manusia, bukan sahaja dalam sains semula jadi, ekonomi, tetapi juga dalam kemanusiaan, seperti sejarah, linguistik, dll. Berdasarkan pendekatan ini penentuan statistik kebarangkalian.
Pada (kekerapan yang diperhatikan sesuatu peristiwa cenderung kepada kebarangkaliannya apabila bilangan eksperimen bertambah, iaitu dengan n).
Walau bagaimanapun, definisi kebarangkalian dari segi kekerapan tidak memuaskan untuk teori kebarangkalian sebagai sains matematik. Ini disebabkan oleh fakta bahawa hampir mustahil untuk menjalankan bilangan ujian yang tidak terhingga dan kekerapan yang diperhatikan berbeza dari satu eksperimen ke satu eksperimen. Oleh itu A.N. Kolmogorov mencadangkan definisi aksiomatik kebarangkalian, yang kini diterima.
Teori kebarangkalian ialah cabang matematik yang mengkaji corak fenomena rawak: peristiwa rawak, pembolehubah rawak, sifat dan operasinya padanya.
Untuk masa yang lama, teori kebarangkalian tidak mempunyai definisi yang jelas. Ia dirumuskan hanya pada tahun 1929. Kemunculan teori kebarangkalian sebagai sains bermula sejak Zaman Pertengahan dan percubaan pertama dalam analisis matematik perjudian (serpihan, dadu, rolet). Ahli matematik Perancis abad ke-17 Blaise Pascal dan Pierre Fermat, semasa mengkaji ramalan kemenangan dalam perjudian, menemui corak kebarangkalian pertama yang timbul apabila membaling dadu.
Teori kebarangkalian timbul sebagai sains daripada kepercayaan bahawa corak tertentu mendasari peristiwa rawak massa. Teori kebarangkalian mengkaji corak ini.
Teori kebarangkalian berkaitan dengan kajian tentang peristiwa yang kejadiannya tidak diketahui dengan pasti. Ia membolehkan anda menilai tahap kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa berbanding yang lain.
Sebagai contoh: adalah mustahil untuk menentukan dengan jelas hasil "kepala" atau "ekor" akibat daripada melambung syiling, tetapi dengan lambungan berulang, kira-kira bilangan "kepala" dan "ekor" yang sama muncul, yang bermaksud bahawa kebarangkalian bahawa "kepala" atau "ekor" akan jatuh ", adalah sama dengan 50%.
Ujian dalam kes ini, pelaksanaan set syarat tertentu dipanggil, iaitu, dalam kes ini, lambungan syiling. Cabaran boleh dimainkan tanpa had bilangan kali. Dalam kes ini, set syarat termasuk faktor rawak.
Keputusan ujian ialah peristiwa. Peristiwa itu berlaku:
- Boleh dipercayai (sentiasa berlaku hasil daripada ujian).
- Mustahil (tidak pernah berlaku).
- Rawak (mungkin atau mungkin tidak berlaku akibat ujian).
Sebagai contoh, apabila melambung syiling, peristiwa yang mustahil - syiling akan mendarat di tepinya, peristiwa rawak - penampilan "kepala" atau "ekor". Keputusan ujian khusus dipanggil acara asas. Hasil daripada ujian, hanya peristiwa asas berlaku. Set semua kemungkinan, berbeza, hasil ujian khusus dipanggil ruang peristiwa asas.
Konsep asas teori
Kebarangkalian- tahap kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa. Apabila sebab beberapa kemungkinan kejadian sebenarnya berlaku melebihi sebab yang bertentangan, maka peristiwa ini dipanggil berkemungkinan, sebaliknya - tidak mungkin atau tidak mungkin.
Pembolehubah rawak- ini ialah kuantiti yang, sebagai hasil ujian, boleh mengambil satu atau nilai lain, dan tidak diketahui terlebih dahulu yang mana satu. Contohnya: bilangan setiap balai bomba setiap hari, bilangan pukulan dengan 10 tembakan, dsb.
Pembolehubah rawak boleh dibahagikan kepada dua kategori.
- Pembolehubah rawak diskret ialah kuantiti yang, sebagai hasil ujian, boleh mengambil nilai tertentu dengan kebarangkalian tertentu, membentuk set boleh dikira (set yang unsurnya boleh dinomborkan). Set ini boleh menjadi sama ada terhingga atau tidak terhingga. Sebagai contoh, bilangan pukulan sebelum pukulan pertama pada sasaran adalah pembolehubah rawak diskret, kerana kuantiti ini boleh mengambil bilangan nilai yang tidak terhingga, walaupun boleh dikira.
- Pembolehubah rawak berterusan ialah kuantiti yang boleh mengambil apa-apa nilai dari beberapa selang terhingga atau tak terhingga. Jelas sekali, bilangan kemungkinan nilai pembolehubah rawak berterusan adalah tidak terhingga.
Ruang kebarangkalian- konsep yang diperkenalkan oleh A.N. Kolmogorov pada 30-an abad ke-20 untuk merasmikan konsep kebarangkalian, yang menimbulkan perkembangan pesat teori kebarangkalian sebagai disiplin matematik yang ketat.
Ruang kebarangkalian ialah tiga kali ganda (kadang-kadang disertakan dalam kurungan sudut: , di mana
Ini adalah set arbitrari, unsur-unsurnya dipanggil peristiwa asas, hasil atau mata;
- algebra sigma subset yang dipanggil peristiwa (rawak);
- ukuran kebarangkalian atau kebarangkalian, i.e. ukuran terhingga aditif sigma sedemikian rupa sehingga .
Teorem De Moivre-Laplace- salah satu teorem had teori kebarangkalian, yang ditubuhkan oleh Laplace pada tahun 1812. Ia menyatakan bahawa bilangan kejayaan apabila mengulangi eksperimen rawak yang sama berulang kali dengan dua kemungkinan hasil adalah lebih kurang taburan normal. Ia membolehkan anda mencari nilai kebarangkalian anggaran.
Jika bagi setiap percubaan bebas kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa rawak adalah sama dengan () dan ialah bilangan percubaan di mana ia benar-benar berlaku, maka kebarangkalian ketaksamaan itu benar adalah hampir (untuk nilai besar) dengan nilai kamiran Laplace.
Fungsi taburan dalam teori kebarangkalian- fungsi yang mencirikan taburan pembolehubah rawak atau vektor rawak; kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan mengambil nilai kurang daripada atau sama dengan x, di mana x ialah nombor nyata arbitrari. Jika syarat yang diketahui dipenuhi, ia menentukan sepenuhnya pembolehubah rawak.
Jangkaan- nilai purata pembolehubah rawak (ini ialah taburan kebarangkalian pembolehubah rawak, dipertimbangkan dalam teori kebarangkalian). Dalam kesusasteraan bahasa Inggeris ia dilambangkan dengan , dalam bahasa Rusia - . Dalam statistik, notasi sering digunakan.
Biarkan ruang kebarangkalian dan pembolehubah rawak yang ditakrifkan di atasnya diberikan. Iaitu, mengikut definisi, fungsi yang boleh diukur. Kemudian, jika terdapat kamiran Lebesgue atas ruang, maka ia dipanggil jangkaan matematik, atau nilai min, dan dilambangkan .
Varians pembolehubah rawak- ukuran sebaran pembolehubah rawak yang diberikan, iaitu sisihan daripada jangkaan matematik. Ia ditetapkan dalam kesusasteraan Rusia dan asing. Dalam statistik, notasi atau sering digunakan. Punca kuasa dua varians dipanggil sisihan piawai, sisihan piawai, atau sebaran piawai.
Biarkan pembolehubah rawak ditakrifkan pada beberapa ruang kebarangkalian. Kemudian
di mana simbol menandakan jangkaan matematik.
Dalam teori kebarangkalian, dua peristiwa rawak dipanggil berdikari, jika kejadian salah satu daripada mereka tidak mengubah kebarangkalian kejadian yang lain. Begitu juga, dua pembolehubah rawak dipanggil bergantung, jika nilai salah satu daripadanya mempengaruhi kebarangkalian nilai yang lain.
Bentuk termudah bagi hukum nombor besar ialah teorem Bernoulli, yang menyatakan bahawa jika kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah sama dalam semua ujian, maka apabila bilangan percubaan bertambah, kekerapan kejadian itu cenderung kepada kebarangkalian kejadian itu dan berhenti menjadi rawak.
Hukum nombor besar dalam teori kebarangkalian menyatakan bahawa min aritmetik bagi sampel terhingga daripada taburan tetap adalah hampir dengan min teori taburan itu. Bergantung pada jenis penumpuan, perbezaan dibuat antara undang-undang lemah nombor besar, apabila penumpuan berlaku dengan kebarangkalian, dan undang-undang kuat nombor besar, apabila penumpuan hampir pasti.
Maksud umum undang-undang nombor besar ialah tindakan bersama sejumlah besar faktor rawak yang sama dan bebas membawa kepada keputusan yang, dalam had, tidak bergantung kepada peluang.
Kaedah untuk menganggar kebarangkalian berdasarkan analisis sampel terhingga adalah berdasarkan sifat ini. Contoh yang jelas ialah ramalan keputusan pilihan raya berdasarkan tinjauan terhadap sampel pengundi.
Teorem had pusat- kelas teorem dalam teori kebarangkalian yang menyatakan bahawa jumlah bilangan pembolehubah rawak bersandar lemah yang cukup besar yang mempunyai kira-kira skala yang sama (tiada satu pun istilah yang mendominasi atau membuat sumbangan penentu kepada jumlah) mempunyai taburan yang hampir kepada normal.
Oleh kerana banyak pembolehubah rawak dalam aplikasi terbentuk di bawah pengaruh beberapa faktor rawak bersandar lemah, taburannya dianggap normal. Dalam kes ini, syarat mesti dipenuhi bahawa tiada faktor yang dominan. Teorem had pusat dalam kes ini mewajarkan penggunaan taburan normal.
Universiti Teknikal Negeri Nizhny Novgorod
mereka. A.E. Alekseeva
Abstrak tentang teori disiplin kebarangkalian
Dilengkapkan oleh: Ruchina N.A gr 10MEnz
Disemak oleh: Gladkov V.V.
Nizhny Novgorod, 2011
Teori kebarangkalian……………………………………
Subjek teori kebarangkalian………………………………
Konsep asas teori kebarangkalian ……………
Peristiwa rawak, kebarangkalian kejadian………………………………………………………………
Had teorem……………………………………
Proses rawak……………………………………………………
Latar belakang sejarah……………………………………………………
Sastera terpakai………………………………………………………………
Teori kebarangkalian
Teori kebarangkalian - sains matematik yang membenarkan, daripada kebarangkalian beberapa peristiwa rawak, untuk mencari kebarangkalian peristiwa rawak lain yang berkaitan dalam beberapa cara hingga yang pertama.
Pernyataan bahawa sesuatu peristiwa berlaku dengan kebarangkalian , bersamaan dengan, sebagai contoh, 0.75, tidak dengan sendirinya mewakili nilai akhir, kerana kami berusaha untuk pengetahuan yang boleh dipercayai. Nilai kognitif akhir ialah keputusan teori kebarangkalian yang membolehkan kita menyatakan bahawa kebarangkalian berlakunya sebarang kejadian. A sangat dekat dengan perpaduan atau (yang sama) kebarangkalian peristiwa itu tidak berlaku A sangat kecil. Selaras dengan prinsip "mengabaikan kebarangkalian yang cukup kecil," peristiwa seperti itu betul-betul dianggap pasti. Kesimpulan seperti ini yang mempunyai kepentingan saintifik dan praktikal biasanya berdasarkan andaian bahawa berlaku atau tidak berlakunya sesuatu peristiwa. A bergantung kepada sejumlah besar faktor rawak, sedikit berkaitan antara satu sama lain . Oleh itu, kita juga boleh mengatakan bahawa teori kebarangkalian ialah sains matematik yang menjelaskan corak yang timbul semasa interaksi sejumlah besar faktor rawak.
Subjek teori kebarangkalian
Subjek teori kebarangkalian. Untuk menerangkan hubungan semula jadi antara keadaan tertentu S dan acara A, kejadian atau tidak berlaku yang dalam keadaan tertentu boleh ditentukan dengan tepat, sains semula jadi biasanya menggunakan salah satu daripada dua skema berikut:
a) apabila syarat dipenuhi S satu peristiwa datang A. Bentuk ini, sebagai contoh, mempunyai semua undang-undang mekanik klasik, yang menyatakan bahawa diberi keadaan awal dan daya yang bertindak ke atas badan atau sistem badan, pergerakan akan berlaku dengan cara yang ditentukan secara unik.
b) Dalam keadaan S peristiwa A mempunyai kebarangkalian tertentu P(A/S), sama dengan r. Jadi, sebagai contoh, undang-undang sinaran radioaktif menyatakan bahawa bagi setiap bahan radioaktif terdapat kebarangkalian tertentu bahawa daripada jumlah bahan tertentu dalam tempoh masa tertentu beberapa nombor akan mereput. N atom.
Mari kita panggil ia kekerapan acara A dalam siri ini dari n ujian (iaitu, daripada n pelaksanaan syarat yang berulang S) sikap h = m/n nombor m ujian-ujian di mana A datang, kepada jumlah keseluruhan mereka n. Ketersediaan acara A dalam keadaan S kebarangkalian tertentu sama dengan p, menunjukkan dirinya dalam fakta bahawa dalam hampir setiap siri ujian yang cukup panjang kekerapan acara itu A lebih kurang sama dengan r.
Corak statistik, iaitu, corak yang diterangkan oleh skema jenis (b), pertama kali ditemui dalam permainan perjudian seperti dadu. Corak statistik kelahiran dan kematian juga telah diketahui sejak sekian lama (contohnya, kebarangkalian bayi yang baru lahir adalah lelaki ialah 0.515). Akhir abad ke-19 dan separuh pertama abad ke-20. ditandai dengan penemuan sejumlah besar undang-undang statistik dalam fizik, kimia, biologi, dll.
Kemungkinan menggunakan kaedah teori kebarangkalian untuk mengkaji pola statistik yang berkaitan dengan bidang sains yang sangat jauh antara satu sama lain adalah berdasarkan fakta bahawa kebarangkalian kejadian sentiasa memenuhi hubungan mudah tertentu. Kajian tentang sifat-sifat kebarangkalian peristiwa berdasarkan hubungan mudah ini adalah subjek teori kebarangkalian.
Konsep asas teori kebarangkalian
Konsep asas teori kebarangkalian. Konsep asas teori kebarangkalian, sebagai satu disiplin matematik, paling mudah ditakrifkan dalam rangka kerja yang dipanggil teori kebarangkalian asas. Setiap ujian T, dipertimbangkan dalam teori kebarangkalian asas adalah sedemikian rupa sehingga ia berakhir dengan satu dan hanya satu peristiwa E 1 ,E 2 ,..., E S (satu cara atau yang lain, bergantung pada kes). Peristiwa ini dipanggil hasil percubaan. Dengan setiap hasil E k nombor positif berkaitan r Kepada - kemungkinan hasil ini. Nombor hlm k mesti ditambah sehingga satu. Kemudian peristiwa itu dipertimbangkan A, terdiri daripada fakta bahawa “ia berlaku atau E i , atau E j ,..., atau E k" Hasil E i ,E j ,..., E k dipanggil menguntungkan A, dan mengikut takrifan mereka menganggap kebarangkalian R(A) peristiwa A, sama dengan jumlah kebarangkalian hasil yang menguntungkannya:
P(A) =hlm i +hlm s +… +hlm k . (1)
Kes khas hlm 1 =hlm 2 =...hlm s = 1/S membawa kepada formula
R(A) =r/s.(2)
Formula (2) menyatakan apa yang dipanggil takrif klasik kebarangkalian, mengikut mana kebarangkalian sesuatu peristiwa A sama dengan nisbah nombor r hasil yang menggalakkan A, kepada nombor s semua hasil "sama mungkin". Takrifan klasik kebarangkalian hanya mengurangkan konsep "kebarangkalian" kepada konsep "kemungkinan sama", yang kekal tanpa definisi yang jelas.
Contoh. Apabila membaling dua dadu, setiap satu daripada 36 kemungkinan hasil boleh ditunjukkan dengan ( i,j), di mana i- bilangan mata yang dibaling pada dadu pertama, j- pada yang kedua. Hasil diandaikan berkemungkinan sama. Peristiwa A -"jumlah mata ialah 4", tiga hasil adalah menguntungkan (1; 3), (2; 2), (3; 1). Oleh itu, R(A) = 3/36= 1/12.
Berdasarkan mana-mana peristiwa tertentu, dua peristiwa baharu boleh ditentukan: kesatuan (jumlah) dan gabungan (produk).
Peristiwa DALAM dipanggil pengumpulan acara A 1 , A 2 ,...,A r ,-, jika ia mempunyai bentuk: “datang atau A 1 , atau A 2 ,..., atau A r ».
Peristiwa C dipanggil gabungan peristiwa A 1 , A. 2 ,...,A r , jika ia mempunyai bentuk: “datang dan A 1 , Dan A 2 ,..., Dan A r » . Gabungan peristiwa dilambangkan dengan tanda, dan gabungan dengan tanda. Oleh itu, mereka menulis:
B = A 1 A 2 … A r , C = A 1 A 2 … A r .
Peristiwa A Dan DALAM dipanggil tidak serasi jika pelaksanaan serentak mereka adalah mustahil, iaitu, jika tidak ada satu pun yang menguntungkan di antara hasil ujian dan A Dan DALAM.
Operasi yang diperkenalkan untuk menggabungkan dan menggabungkan peristiwa dikaitkan dengan dua teorem utama teori kebarangkalian - teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian.
Teorem penambahan kebarangkalian: Jika peristiwa A 1 ,A 2 ,...,A r adalah sedemikian rupa sehingga setiap dua daripada mereka tidak serasi, maka kebarangkalian penyatuan mereka adalah sama dengan jumlah kebarangkalian mereka.
Jadi, dalam contoh di atas membaling dua dadu, acara DALAM -"jumlah mata tidak melebihi 4", terdapat gabungan tiga peristiwa yang tidak serasi A 2 ,A 3 ,A 4, terdiri daripada fakta bahawa jumlah mata adalah sama dengan 2, 3, 4, masing-masing Kebarangkalian peristiwa ini ialah 1/36; 36/2; 3/36. Mengikut teorem penambahan, kebarangkalian R(DALAM) sama dengan
1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.
Peristiwa A 1 ,A 2 ,...,A r dipanggil bebas jika kebarangkalian bersyarat setiap satu daripadanya, dengan syarat mana-mana yang lain telah berlaku, adalah sama dengan kebarangkalian "tanpa syarat"nya.
Teorem pendaraban kebarangkalian: Kebarangkalian menggabungkan peristiwa A 1 ,A 2 ,...,A r adalah sama dengan kebarangkalian kejadian itu A 1 , didarab dengan kebarangkalian kejadian itu A 2 diambil dengan syarat bahawa A 1 berlaku,..., didarab dengan kebarangkalian kejadian itu A r dengan syarat itu A 1 ,A 2 ,...,A r-1 telah tiba. Untuk peristiwa bebas, teorem pendaraban membawa kepada formula:
P(A 1 A 2 …A r) =P(A 1 )P(A 2 )· … · P(A r), (3)
iaitu, kebarangkalian untuk menggabungkan peristiwa bebas adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian peristiwa ini. Formula (3) kekal sah jika dalam kedua-dua bahagiannya beberapa peristiwa digantikan dengan yang bertentangan.
Contoh. 4 tembakan dilepaskan ke sasaran dengan kebarangkalian terkena 0.2 setiap tembakan. Pukulan sasaran daripada pukulan berbeza diandaikan sebagai acara bebas. Apakah kebarangkalian untuk mencapai sasaran tepat tiga kali?
Setiap hasil ujian boleh ditunjukkan dengan urutan empat huruf [cth., (y, n, n, y) bermakna pukulan pertama dan keempat terkena (berjaya), dan pukulan kedua dan ketiga tidak terkena (gagal)]. Akan ada sejumlah 2·2·2·2 = 16 hasil. Selaras dengan andaian kebebasan keputusan tangkapan individu, formula (3) dan nota kepadanya harus digunakan untuk menentukan kebarangkalian hasil ini. Oleh itu, kebarangkalian hasil (y, n. n, n) hendaklah ditetapkan sama dengan 0.2·0.8·0.8·0.8 = 0.1024; di sini 0.8 = 1-0.2 ialah kebarangkalian tersasar dengan satu pukulan. Acara "sasaran dipukul tiga kali" digemari oleh hasil (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), kebarangkalian setiap satu adalah sama:
0.2 0.2 0.2 0.8 =...... =0.8 0.2 0.2 0.2 = 0.0064;
oleh itu, kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan
4·0.0064 = 0.0256.
Merumuskan penaakulan contoh yang dianalisis, kita boleh memperoleh satu daripada formula asas teori kebarangkalian: jika peristiwa A 1 , A 2 ,..., A n bebas dan masing-masing mempunyai kebarangkalian p, maka kebarangkalian kejadian adalah tepat m yang sama rata
P n (m)= C n m hlm m (1 - hlm) n-m ; (4)
Di sini C n m menunjukkan bilangan gabungan bagi n unsur oleh m. Pada umumnya n pengiraan menggunakan formula (4) menjadi sukar.
Antara formula asas teori kebarangkalian asas adalah juga yang dipanggil jumlah formula kebarangkalian: jika peristiwa A 1 , A 2 ,..., A r berpasangan tidak serasi dan kesatuan mereka adalah acara yang boleh dipercayai, kemudian untuk sebarang acara DALAM kebarangkaliannya adalah sama dengan jumlah mereka.
Teorem pendaraban kebarangkalian amat berguna apabila mempertimbangkan ujian kompaun. Mereka kata itu ujian T terdiri daripada ujian T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n, Jika setiap hasil ujian T terdapat gabungan beberapa hasil A i , B j ,..., X k ,Y l ujian yang berkaitan T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n. Dari satu sebab atau yang lain, kebarangkalian sering diketahui
P(A i), P(B j /A i), …,P(Y l /A i B j …X k). (5)
Daripada kebarangkalian (5) menggunakan teorem pendaraban, kebarangkalian boleh ditentukan R(E) untuk semua hasil E ujian komposit, dan pada masa yang sama kebarangkalian semua peristiwa yang berkaitan dengan ujian ini. Dari sudut pandangan praktikal, dua jenis ujian komposit nampaknya paling penting:
a) komponen ujian adalah bebas, iaitu, kebarangkalian (5) adalah sama dengan kebarangkalian tanpa syarat P(A i), P(B j),..., P(Y l);
b) kebarangkalian keputusan bagi mana-mana ujian hanya dipengaruhi oleh keputusan ujian yang terdahulu, iaitu, kebarangkalian (5) adalah sama, masing-masing: P(A i), P(B j /A i),..., P(Y i /X k). Dalam kes ini, kita bercakap tentang ujian yang disambungkan dalam rantai Markov. Kebarangkalian semua peristiwa yang berkaitan dengan ujian komposit ditentukan sepenuhnya di sini oleh kebarangkalian awal R(A i) dan kebarangkalian peralihan P(B j /A i),..., P(Y l /X k).
Formula asas dalam teori kebarangkalian
Formula teori kebarangkalian.
1. Formula asas kombinatorik
a) penyusunan semula.
\b) penempatan
c) gabungan 
.
2. Takrif klasik kebarangkalian.
Di manakah bilangan hasil yang menguntungkan acara itu, ialah bilangan semua hasil asas yang sama mungkin.
3. Kebarangkalian jumlah peristiwa
Teorem untuk menambah kebarangkalian peristiwa tidak serasi:
Teorem untuk menambah kebarangkalian kejadian bersama:
4. Kebarangkalian kejadian berlaku
Teorem untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bebas:
Teorem untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bersandar:
,
Kebarangkalian bersyarat bagi sesuatu peristiwa memandangkan peristiwa itu berlaku
Kebarangkalian bersyarat sesuatu peristiwa memandangkan peristiwa itu berlaku.
Kombinatorik ialah cabang matematik yang mengkaji soalan tentang berapa banyak kombinasi berbeza, tertakluk kepada syarat tertentu, boleh dibuat daripada objek yang diberikan. Asas kombinatorik adalah sangat penting untuk menganggar kebarangkalian kejadian rawak, kerana Ia adalah mereka yang membolehkan kita mengira bilangan asas kemungkinan pilihan yang berbeza untuk pembangunan acara.
Formula asas kombinatorik
Biarkan terdapat k kumpulan unsur, dan kumpulan ke-i terdiri daripada unsur ni. Mari pilih satu elemen daripada setiap kumpulan. Kemudian jumlah bilangan N cara di mana pilihan sedemikian boleh dibuat ditentukan oleh hubungan N=n1*n2*n3*...*nk.
Contoh 1. Mari kita jelaskan peraturan ini dengan contoh mudah. Biarkan terdapat dua kumpulan unsur, dan kumpulan pertama terdiri daripada unsur n1, dan kumpulan kedua - unsur n2. Berapa banyak pasangan unsur yang berbeza boleh dibuat daripada dua kumpulan ini, supaya pasangan itu mengandungi satu elemen daripada setiap kumpulan? Katakan kita mengambil elemen pertama daripada kumpulan pertama dan, tanpa mengubahnya, melalui semua pasangan yang mungkin, menukar hanya elemen daripada kumpulan kedua. Terdapat n2 pasangan sedemikian untuk elemen ini. Kemudian kami mengambil elemen kedua dari kumpulan pertama dan juga membuat semua pasangan yang mungkin untuknya. Terdapat juga n2 pasangan sedemikian. Oleh kerana hanya terdapat n1 elemen dalam kumpulan pertama, jumlah pilihan yang mungkin ialah n1*n2.
Contoh 2. Berapakah bilangan nombor genap tiga digit yang boleh dibuat daripada digit 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, jika digit itu boleh diulang?
Penyelesaian: n1=6 (kerana anda boleh mengambil sebarang nombor daripada 1, 2, 3, 4, 5, 6 sebagai digit pertama), n2=7 (kerana anda boleh mengambil sebarang nombor daripada 0 sebagai digit kedua , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (kerana sebarang nombor daripada 0, 2, 4, 6 boleh diambil sebagai digit ketiga).
Jadi, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.
Dalam kes apabila semua kumpulan terdiri daripada bilangan elemen yang sama, i.e. n1=n2=...nk=n kita boleh mengandaikan bahawa setiap pemilihan dibuat daripada kumpulan yang sama, dan elemen selepas pemilihan dikembalikan kepada kumpulan. Maka bilangan semua kaedah pemilihan adalah sama dengan nk Kaedah pemilihan ini dipanggil pensampelan dengan pulangan.
Contoh. Berapakah bilangan empat digit yang boleh dibuat daripada digit 1, 5, 6, 7, 8?
Penyelesaian. Bagi setiap digit nombor empat digit terdapat lima kemungkinan, yang bermaksud N=5*5*5*5=54=625.
Pertimbangkan satu set yang terdiri daripada n unsur. Kami akan memanggil set ini populasi umum.
Definisi 1. Susunan n unsur oleh m ialah sebarang set tertib m unsur berbeza yang dipilih daripada populasi n unsur.
Contoh. Susunan berbeza bagi tiga elemen (1, 2, 3) dengan dua ialah set (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3). , 2). Peletakan mungkin berbeza antara satu sama lain dalam unsur dan dalam susunannya.
Bilangan peletakan dilambangkan dengan A, m dari n dan dikira dengan formula:
Nota: n!=1*2*3*...*n (baca: "en factorial"), sebagai tambahan, diandaikan bahawa 0!=1.
Contoh 5. Berapakah bilangan dua digit yang terdapat di mana digit sepuluh dan digit unit adalah berbeza dan ganjil?
Penyelesaian: kerana Jika terdapat lima digit ganjil, iaitu 1, 3, 5, 7, 9, maka tugasan ini turun kepada memilih dan meletakkan dua daripada lima digit yang berbeza dalam dua kedudukan berbeza, i.e. nombor yang ditunjukkan ialah:
Definisi 2. Gabungan n unsur m ialah sebarang set tak tertib m unsur berbeza yang dipilih daripada populasi n unsur.
Contoh 6. Untuk set (1, 2, 3), gabungannya ialah (1, 2), (1, 3), (2, 3).
Bilangan gabungan dilambangkan dengan Cnm dan dikira dengan formula: 
Definisi 3. Pilih atur bagi n unsur ialah sebarang set tertib unsur-unsur ini.
Contoh 7a. Semua pilih atur yang mungkin bagi satu set yang terdiri daripada tiga elemen (1, 2, 3) ialah: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).
Bilangan pilih atur berbeza bagi n unsur dilambangkan dengan Pn dan dikira dengan formula Pn=n!.
Contoh 8. Berapa banyak cara tujuh buku oleh pengarang yang berbeza boleh disusun dalam satu baris di atas rak?
Penyelesaian: Masalah ini adalah mengenai bilangan pilih atur tujuh buku yang berbeza. Terdapat P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 cara untuk menyusun buku.
Perbincangan. Kami melihat bahawa bilangan kombinasi yang mungkin boleh dikira mengikut peraturan yang berbeza (permutasi, gabungan, peletakan) dan hasilnya akan berbeza, kerana Prinsip pengiraan dan formula itu sendiri adalah berbeza. Melihat dengan teliti pada definisi, anda akan melihat bahawa hasilnya bergantung pada beberapa faktor secara serentak.
Pertama, daripada berapa banyak elemen yang kita boleh gabungkan set (berapa besar jumlah elemen).
Kedua, hasilnya bergantung pada saiz set elemen yang kita perlukan.
Akhir sekali, adalah penting untuk mengetahui sama ada susunan unsur dalam set itu penting kepada kita. Mari kita terangkan faktor terakhir menggunakan contoh berikut.
Contoh. Terdapat 20 orang yang hadir pada mesyuarat ibu bapa. Berapa banyak pilihan yang berbeza untuk komposisi jawatankuasa induk jika ia mesti mengandungi 5 orang?
Penyelesaian: Dalam contoh ini, kami tidak berminat dengan susunan nama dalam senarai jawatankuasa. Jika, akibatnya, orang yang sama ternyata menjadi sebahagian daripadanya, maka dalam makna bagi kami ini adalah pilihan yang sama. Oleh itu, kita boleh menggunakan formula untuk mengira bilangan gabungan 20 unsur 5.
Perkara akan berbeza jika setiap ahli jawatankuasa pada mulanya bertanggungjawab untuk bidang kerja tertentu. Kemudian, dengan komposisi senarai jawatankuasa yang sama, mungkin terdapat 5 di dalamnya! pilih atur yang penting. Bilangan pilihan yang berbeza (kedua-duanya dalam komposisi dan bidang tanggungjawab) ditentukan dalam kes ini dengan bilangan penempatan 20 elemen 5.
Takrif geometri kebarangkalian
Biarkan ujian rawak dibayangkan sebagai membaling satu titik secara rawak ke beberapa kawasan geometri G (pada garis lurus, satah atau ruang). Hasil asas ialah titik individu G, sebarang peristiwa ialah subset bagi kawasan ini, ruang hasil asas G. Kita boleh mengandaikan bahawa semua titik G adalah "sama" dan kemudian kebarangkalian titik jatuh ke dalam subset tertentu ialah berkadar dengan ukurannya (panjang, luas, isipadu) dan tidak bergantung pada lokasi dan bentuknya.
Kebarangkalian geometri peristiwa A ditentukan oleh hubungan: , dengan m(G), m(A) ialah ukuran geometri (panjang, luas atau isipadu) bagi keseluruhan ruang hasil asas dan peristiwa A.
Contoh. Satu bulatan berjejari r () dilemparkan secara rawak ke atas satah yang digrafkan oleh jalur selari dengan lebar 2d, jarak antara garis paksi yang sama dengan 2D. Cari kebarangkalian bahawa bulatan itu akan bersilang dengan jalur tertentu.
Penyelesaian. Sebagai hasil asas ujian ini, kita akan mempertimbangkan jarak x dari pusat bulatan ke garis tengah jalur yang paling hampir dengan bulatan. Kemudian keseluruhan ruang hasil asas adalah segmen. Persilangan bulatan dengan jalur akan berlaku jika pusatnya jatuh ke dalam jalur, iaitu, atau terletak dari tepi jalur pada jarak kurang daripada jejari, i.e.
Untuk kebarangkalian yang dikehendaki kita perolehi: .
Pengelasan peristiwa kepada kemungkinan, kemungkinan dan rawak. Konsep peristiwa asas yang mudah dan kompleks. Operasi pada acara. Takrif klasik kebarangkalian kejadian rawak dan sifatnya. Unsur kombinatorik dalam teori kebarangkalian. Kebarangkalian geometri. Aksiom teori kebarangkalian.
1. Klasifikasi peristiwa
Salah satu konsep asas teori kebarangkalian ialah konsep kejadian. Peristiwa ialah sebarang fakta yang boleh berlaku hasil daripada pengalaman atau ujian. Dengan pengalaman, atau ujian, kami maksudkan pelaksanaan set syarat tertentu.
Contoh acara:
– mengenai sasaran apabila ditembak daripada pistol (pengalaman - membuat tembakan; peristiwa - mengenai sasaran);
– kehilangan dua lambang apabila melontar syiling tiga kali (pengalaman - membaling syiling tiga kali; peristiwa - kehilangan dua lambang);
– kemunculan ralat pengukuran dalam had yang ditentukan apabila mengukur julat ke sasaran (pengalaman - pengukuran julat; peristiwa - ralat pengukuran).
Banyak contoh yang serupa boleh diberikan. Peristiwa ditunjukkan dengan huruf besar abjad Latin, dsb.
Perbezaan dibuat antara acara bersama dan bukan bersama. Peristiwa dipanggil bersama jika kejadian salah satu daripadanya tidak mengecualikan kejadian yang lain. Jika tidak, peristiwa itu dipanggil tidak serasi. Contohnya, dua dadu dilambung. Acara - tiga mata jatuh pada dadu pertama, acara - tiga mata jatuh pada dadu kedua, dan - acara bersama. Biarkan kedai menerima kumpulan kasut dengan gaya dan saiz yang sama, tetapi warna yang berbeza. Peristiwa - kotak yang diambil secara rawak akan ternyata mengandungi kasut hitam, acara - kotak itu akan ternyata mengandungi kasut coklat, dan - acara tidak serasi.
Sesuatu peristiwa dipanggil boleh dipercayai jika ia pasti berlaku di bawah keadaan pengalaman tertentu.
Sesuatu peristiwa dipanggil mustahil jika ia tidak boleh berlaku di bawah keadaan pengalaman tertentu. Sebagai contoh, peristiwa bahawa bahagian standard akan diambil daripada kumpulan bahagian standard boleh dipercayai, tetapi bahagian bukan standard adalah mustahil.
Sesuatu peristiwa dipanggil mungkin, atau rawak, jika hasil daripada pengalaman ia mungkin muncul, tetapi mungkin tidak muncul. Contoh peristiwa rawak boleh menjadi pengecaman kecacatan produk semasa pemeriksaan kumpulan produk siap, percanggahan antara saiz produk yang diproses dan yang ditentukan, atau kegagalan salah satu pautan dalam sistem kawalan automatik .
Peristiwa dipanggil sama mungkin jika, mengikut syarat ujian, tiada satu pun daripada peristiwa ini secara objektif lebih mungkin daripada yang lain. Sebagai contoh, biarkan beberapa kilang pembuatan membekalkan mentol lampu ke kedai (dan dalam kuantiti yang sama). Acara yang melibatkan pembelian mentol lampu dari mana-mana kilang ini adalah sama mungkin.
Konsep penting ialah kumpulan acara yang lengkap. Beberapa peristiwa dalam eksperimen tertentu membentuk kumpulan lengkap jika sekurang-kurangnya salah satu daripadanya pasti akan muncul sebagai hasil percubaan. Sebagai contoh, sebuah guci mengandungi sepuluh bola, enam daripadanya adalah merah, empat adalah putih, dan lima bola mempunyai nombor. - rupa bola merah semasa satu seri, - rupa bola putih, - rupa bola dengan nombor. Acara membentuk kumpulan lengkap acara bersama.
Mari kita perkenalkan konsep kejadian yang bertentangan, atau tambahan. Peristiwa berlawanan ialah peristiwa yang mesti berlaku sekiranya beberapa peristiwa tidak berlaku. Acara bertentangan tidak serasi dan satu-satunya yang mungkin. Mereka membentuk kumpulan acara yang lengkap. Sebagai contoh, jika sekumpulan produk perkilangan terdiri daripada produk yang baik dan rosak, maka apabila satu produk dialih keluar, ia mungkin menjadi baik - satu peristiwa, atau rosak - satu peristiwa.
2. Operasi pada acara
Apabila membangunkan radas dan metodologi untuk mengkaji peristiwa rawak dalam teori kebarangkalian, konsep jumlah dan hasil darab peristiwa adalah sangat penting.
"Kemalangan bukan kebetulan"... Bunyinya seperti kata ahli falsafah, tetapi sebenarnya, mengkaji secara rawak adalah takdir sains matematik yang hebat. Dalam matematik, peluang ditangani dengan teori kebarangkalian. Formula dan contoh tugas, serta definisi asas sains ini akan dibentangkan dalam artikel.
Apakah teori kebarangkalian?
Teori kebarangkalian adalah salah satu disiplin matematik yang mengkaji peristiwa rawak.
Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita berikan contoh kecil: jika anda melemparkan syiling ke atas, ia boleh mendarat di kepala atau ekor. Semasa syiling berada di udara, kedua-dua kebarangkalian ini adalah mungkin. Iaitu, kebarangkalian akibat yang mungkin adalah 1:1. Jika anda mengeluarkan satu kad daripada dek 36 kad, maka kebarangkalian akan ditunjukkan sebagai 1:36. Nampaknya tiada apa yang perlu diterokai dan diramalkan di sini, terutamanya dengan bantuan formula matematik. Walau bagaimanapun, jika anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, anda boleh mengenal pasti corak tertentu dan, berdasarkannya, meramalkan hasil peristiwa dalam keadaan lain.
Untuk meringkaskan semua perkara di atas, teori kebarangkalian dalam pengertian klasik mengkaji kemungkinan berlakunya salah satu peristiwa yang mungkin dalam nilai berangka.
Dari lembaran sejarah
Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas pertama muncul pada Zaman Pertengahan yang jauh, apabila percubaan untuk meramalkan hasil permainan kad pertama kali timbul.
Pada mulanya, teori kebarangkalian tiada kaitan dengan matematik. Ia dibenarkan oleh fakta atau sifat empirikal sesuatu peristiwa yang boleh diterbitkan semula dalam amalan. Karya pertama dalam bidang ini sebagai disiplin matematik muncul pada abad ke-17. Pengasasnya ialah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Mereka mempelajari perjudian untuk masa yang lama dan melihat corak tertentu, yang mereka memutuskan untuk memberitahu orang ramai.
Teknik yang sama telah dicipta oleh Christiaan Huygens, walaupun dia tidak biasa dengan hasil penyelidikan Pascal dan Fermat. Konsep "teori kebarangkalian", formula dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin, diperkenalkan olehnya.
Karya Jacob Bernoulli, teorem Laplace dan Poisson juga tidak penting. Mereka menjadikan teori kebarangkalian lebih seperti disiplin matematik. Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas asas menerima bentuk semasa mereka terima kasih kepada aksiom Kolmogorov. Hasil daripada semua perubahan, teori kebarangkalian menjadi salah satu cabang matematik.
Konsep asas teori kebarangkalian. Peristiwa
Konsep utama disiplin ini ialah "peristiwa". Terdapat tiga jenis acara:
- Boleh dipercayai. Perkara yang akan berlaku juga (syiling akan jatuh).
- Mustahil. Peristiwa yang tidak akan berlaku dalam apa jua keadaan (syiling akan kekal tergantung di udara).
- rawak. Yang akan berlaku atau tidak akan berlaku. Mereka boleh dipengaruhi oleh pelbagai faktor yang sangat sukar untuk diramalkan. Jika kita bercakap tentang duit syiling, maka terdapat faktor rawak yang boleh menjejaskan hasilnya: ciri fizikal syiling, bentuknya, kedudukan asalnya, daya lemparan, dll.
Semua peristiwa dalam contoh ditunjukkan dalam huruf Latin besar, kecuali P, yang mempunyai peranan yang berbeza. Contohnya:
- A = "pelajar datang bersyarah."
- Ā = "pelajar tidak datang ke kuliah."
Dalam tugas praktikal, acara biasanya ditulis dalam perkataan.
Salah satu ciri acara yang paling penting ialah kemungkinan yang sama. Iaitu, jika anda melambungkan syiling, semua pilihan untuk kejatuhan awal adalah mungkin sehingga ia jatuh. Tetapi peristiwa juga tidak sama mungkin. Ini berlaku apabila seseorang dengan sengaja mempengaruhi sesuatu hasil. Contohnya, "ditanda" bermain kad atau dadu, di mana pusat graviti dialihkan.
Acara juga boleh serasi dan tidak serasi. Acara yang serasi tidak mengecualikan kejadian satu sama lain. Contohnya:
- A = "pelajar datang ke kuliah."
- B = "pelajar datang ke kuliah."
Peristiwa ini adalah bebas antara satu sama lain, dan kejadian salah satu daripadanya tidak menjejaskan kejadian yang lain. Peristiwa yang tidak serasi ditakrifkan oleh fakta bahawa kejadian satu tidak termasuk kejadian yang lain. Jika kita bercakap tentang duit syiling yang sama, maka kehilangan "ekor" menjadikannya mustahil untuk penampilan "kepala" dalam eksperimen yang sama.
Tindakan pada peristiwa
Peristiwa boleh didarab dan ditambah dengan sewajarnya, penghubung logik "DAN" dan "ATAU" diperkenalkan dalam disiplin.
Jumlahnya ditentukan oleh fakta bahawa sama ada peristiwa A atau B, atau dua, boleh berlaku serentak. Jika ia tidak serasi, pilihan terakhir adalah mustahil sama ada A atau B akan dilancarkan.
Pendaraban peristiwa terdiri daripada rupa A dan B pada masa yang sama.
Sekarang kita boleh memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingati asas, teori kebarangkalian dan formula. Contoh penyelesaian masalah di bawah.
Tugasan 1: Syarikat mengambil bahagian dalam pertandingan untuk menerima kontrak untuk tiga jenis kerja. Peristiwa yang mungkin berlaku:
- A = "firma akan menerima kontrak pertama."
- A 1 = "firma tidak akan menerima kontrak pertama."
- B = "firma akan menerima kontrak kedua."
- B 1 = "firma tidak akan menerima kontrak kedua"
- C = "firma akan menerima kontrak ketiga."
- C 1 = "firma tidak akan menerima kontrak ketiga."
Menggunakan tindakan pada acara, kami akan cuba menyatakan situasi berikut:
- K = "syarikat akan menerima semua kontrak."
Dalam bentuk matematik, persamaan akan mempunyai bentuk berikut: K = ABC.
- M = "syarikat tidak akan menerima satu kontrak pun."
M = A 1 B 1 C 1.
Mari kita rumitkan tugas: H = "syarikat akan menerima satu kontrak." Oleh kerana tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima oleh syarikat (pertama, kedua atau ketiga), adalah perlu untuk merekodkan keseluruhan julat peristiwa yang mungkin:
H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
Dan 1 BC 1 adalah satu siri peristiwa di mana firma itu tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, tetapi menerima kontrak kedua. Peristiwa lain yang mungkin telah direkodkan menggunakan kaedah yang sesuai. Simbol υ dalam disiplin menunjukkan penghubung "ATAU". Jika kita menterjemah contoh di atas ke dalam bahasa manusia, syarikat akan menerima sama ada kontrak ketiga, atau yang kedua, atau yang pertama. Dengan cara yang sama, anda boleh menulis syarat lain dalam disiplin "Teori Kebarangkalian". Formula dan contoh penyelesaian masalah yang dibentangkan di atas akan membantu anda melakukannya sendiri.
Sebenarnya, kebarangkalian
Mungkin, dalam disiplin matematik ini, kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah konsep utama. Terdapat 3 definisi kebarangkalian:
- klasik;
- statistik;
- geometri.
Masing-masing mempunyai tempatnya dalam kajian kebarangkalian. Teori kebarangkalian, formula dan contoh (gred 9) terutamanya menggunakan definisi klasik, yang berbunyi seperti ini:
- Kebarangkalian situasi A adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang memihak kepada kejadiannya kepada bilangan semua hasil yang mungkin.
Formulanya kelihatan seperti ini: P(A)=m/n.
A sebenarnya satu peristiwa. Jika kes bertentangan dengan A muncul, ia boleh ditulis sebagai Ā atau A 1 .
m ialah bilangan kes yang mungkin menguntungkan.
n - semua peristiwa yang boleh berlaku.
Sebagai contoh, A = "lukis kad sut hati." Terdapat 36 kad dalam dek standard, 9 daripadanya adalah hati. Oleh itu, formula untuk menyelesaikan masalah akan kelihatan seperti:
P(A)=9/36=0.25.
Akibatnya, kebarangkalian bahawa kad sut jantung akan diambil dari dek ialah 0.25.
Ke arah matematik yang lebih tinggi
Sekarang telah diketahui sedikit apa itu teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian masalah yang terdapat dalam kurikulum sekolah. Walau bagaimanapun, teori kebarangkalian juga terdapat dalam matematik yang lebih tinggi, yang diajar di universiti. Selalunya ia beroperasi dengan definisi geometri dan statistik bagi teori dan formula kompleks.
Teori kebarangkalian sangat menarik. Adalah lebih baik untuk mula mengkaji formula dan contoh (matematik yang lebih tinggi) kecil - dengan definisi statistik (atau kekerapan) kebarangkalian.
Pendekatan statistik tidak bercanggah dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit mengembangkannya. Jika dalam kes pertama adalah perlu untuk menentukan dengan kebarangkalian kejadian akan berlaku, maka dalam kaedah ini adalah perlu untuk menunjukkan berapa kerap ia akan berlaku. Di sini konsep baru "kekerapan relatif" diperkenalkan, yang boleh dilambangkan dengan W n (A). Formulanya tidak berbeza dengan formula klasik:
Jika formula klasik dikira untuk ramalan, maka formula statistik dikira mengikut keputusan eksperimen. Mari kita ambil tugas kecil sebagai contoh.
Jabatan kawalan teknologi menyemak produk untuk kualiti. Di antara 100 produk, 3 didapati tidak berkualiti. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian kekerapan produk berkualiti?
A = "penampilan produk berkualiti."
W n (A)=97/100=0.97
Oleh itu, kekerapan produk berkualiti ialah 0.97. Dari mana anda mendapat 97? Daripada 100 produk yang disemak, 3 didapati tidak berkualiti. Kita tolak 3 daripada 100, kita dapat 97, ini adalah jumlah barangan berkualiti.
Sedikit mengenai kombinatorik
Satu lagi kaedah teori kebarangkalian dipanggil kombinatorik. Prinsip asasnya ialah jika pilihan A tertentu boleh dibuat dalam m cara yang berbeza, dan pilihan B boleh dibuat dalam n cara yang berbeza, maka pilihan A dan B boleh dibuat dengan pendaraban.
Sebagai contoh, terdapat 5 jalan raya dari bandar A ke bandar B. Terdapat 4 laluan dari bandar B ke bandar C. Dalam berapa banyak cara anda boleh pergi dari bandar A ke bandar C?
Ia mudah: 5x4=20, iaitu, dalam dua puluh cara berbeza anda boleh mendapatkan dari titik A ke titik C.
Mari kita rumitkan tugas. Berapa banyak cara yang ada untuk meletakkan kad dalam solitaire? Terdapat 36 kad dalam dek - ini adalah titik permulaan. Untuk mengetahui bilangan cara, anda perlu "tolak" satu kad pada satu masa dari titik permulaan dan darab.
Iaitu, 36x35x34x33x32...x2x1= hasilnya tidak muat pada skrin kalkulator, jadi ia boleh ditetapkan 36!. Tandakan "!" di sebelah nombor menunjukkan bahawa keseluruhan siri nombor didarab bersama.
Dalam kombinatorik terdapat konsep seperti pilih atur, penempatan dan gabungan. Setiap daripada mereka mempunyai formula sendiri.
Set tertib unsur-unsur set dipanggil susunan. Peletakan boleh diulang, iaitu satu elemen boleh digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, apabila elemen tidak diulang. n ialah semua elemen, m ialah elemen yang mengambil bahagian dalam penempatan. Formula untuk penempatan tanpa pengulangan akan kelihatan seperti:
A n m =n!/(n-m)!
Sambungan bagi n elemen yang berbeza hanya mengikut susunan peletakan dipanggil pilih atur. Dalam matematik ia kelihatan seperti: P n = n!
Gabungan n unsur m ialah sebatian yang pentingnya unsur-unsur itu dan jumlah bilangannya. Formula akan kelihatan seperti:
A n m =n!/m!(n-m)!
Formula Bernoulli
Dalam teori kebarangkalian, seperti dalam setiap disiplin, terdapat karya penyelidik cemerlang dalam bidang mereka yang telah membawanya ke tahap yang baru. Salah satu karya ini ialah formula Bernoulli, yang membolehkan anda menentukan kebarangkalian kejadian tertentu berlaku di bawah keadaan bebas. Ini menunjukkan bahawa kejadian A dalam eksperimen tidak bergantung pada kejadian atau tidak berlakunya peristiwa yang sama dalam percubaan awal atau seterusnya.
Persamaan Bernoulli:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.
Kebarangkalian (p) berlakunya peristiwa (A) adalah tetap bagi setiap percubaan. Kebarangkalian bahawa keadaan akan berlaku tepat m kali dalam n bilangan eksperimen akan dikira dengan formula yang dibentangkan di atas. Sehubungan itu, timbul persoalan bagaimana untuk mengetahui nombor q.
Jika peristiwa A berlaku p beberapa kali, sewajarnya, ia mungkin tidak berlaku. Unit ialah nombor yang digunakan untuk menetapkan semua hasil sesuatu situasi dalam sesuatu disiplin. Oleh itu, q ialah nombor yang menunjukkan kemungkinan kejadian tidak berlaku.
Sekarang anda tahu formula Bernoulli (teori kebarangkalian). Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah (peringkat pertama) di bawah.
Tugasan 2: Pelawat kedai akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2. 6 pelawat secara bebas memasuki kedai. Apakah kemungkinan pelawat akan membuat pembelian?
Penyelesaian: Memandangkan tidak diketahui berapa ramai pelawat harus membuat pembelian, satu atau kesemua enam, adalah perlu untuk mengira semua kemungkinan kebarangkalian menggunakan formula Bernoulli.
A = "pelawat akan membuat pembelian."
Dalam kes ini: p = 0.2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugasan). Sehubungan itu, q=1-0.2 = 0.8.
n = 6 (memandangkan terdapat 6 pelanggan di kedai). Nombor m berbeza daripada 0 (tiada seorang pelanggan akan membuat pembelian) hingga 6 (semua pengunjung kedai akan membeli sesuatu). Akibatnya, kami mendapat penyelesaian:
P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.
Tiada pembeli akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2621.
Bagaimana lagi formula Bernoulli (teori kebarangkalian) digunakan? Contoh penyelesaian masalah (tahap kedua) di bawah.
Selepas contoh di atas, persoalan timbul tentang ke mana perginya C dan r. Relatif kepada p, nombor dengan kuasa 0 akan sama dengan satu. Bagi C, ia boleh didapati dengan formula:
C n m = n! /m!(n-m)!
Oleh kerana dalam contoh pertama m = 0, masing-masing, C = 1, yang pada dasarnya tidak menjejaskan keputusan. Dengan menggunakan formula baharu, mari cuba ketahui apakah kebarangkalian dua pelawat membeli barang.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2× ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.
Teori kebarangkalian tidak begitu rumit. Formula Bernoulli, contoh yang dibentangkan di atas, adalah bukti langsung tentang ini.
Formula Poisson
Persamaan Poisson digunakan untuk mengira situasi rawak kebarangkalian rendah.
Formula asas:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .
Dalam kes ini λ = n x p. Berikut ialah formula Poisson mudah (teori kebarangkalian). Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah di bawah.
Tugasan 3: Kilang mengeluarkan 100,000 bahagian. Kejadian bahagian yang rosak = 0.0001. Apakah kebarangkalian terdapat 5 bahagian yang rosak dalam satu kelompok?
Seperti yang anda lihat, perkahwinan adalah peristiwa yang tidak mungkin, dan oleh itu formula Poisson (teori kebarangkalian) digunakan untuk pengiraan. Contoh penyelesaian masalah seperti ini tidak berbeza dengan tugas lain dalam disiplin; kami menggantikan data yang diperlukan ke dalam formula yang diberikan:
A = "bahagian yang dipilih secara rawak akan rosak."
p = 0.0001 (mengikut syarat tugas).
n = 100000 (bilangan bahagian).
m = 5 (bahagian yang rosak). Kami menggantikan data ke dalam formula dan mendapatkan:
R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.
Sama seperti formula Bernoulli (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian yang digunakan yang ditulis di atas, persamaan Poisson mempunyai e yang tidak diketahui Malah, ia boleh didapati dengan formula:
e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Walau bagaimanapun, terdapat jadual khas yang mengandungi hampir semua nilai e.
Teorem De Moivre-Laplace
Jika dalam skema Bernoulli bilangan percubaan adalah cukup besar, dan kebarangkalian kejadian A dalam semua skema adalah sama, maka kebarangkalian kejadian A beberapa kali dalam satu siri ujian boleh didapati dengan Formula Laplace:
Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
X m = m-np/√npq.
Untuk lebih mengingati formula Laplace (teori kebarangkalian), contoh masalah adalah di bawah untuk membantu.
Mula-mula, mari cari X m, gantikan data (semuanya disenaraikan di atas) ke dalam formula dan dapatkan 0.025. Menggunakan jadual, kita dapati nombor ϕ(0.025), yang nilainya ialah 0.3988. Sekarang anda boleh menggantikan semua data ke dalam formula:
P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.
Oleh itu, kebarangkalian bahawa risalah akan berfungsi tepat 267 kali ialah 0.03.
Formula Bayes
Formula Bayes (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian masalah dengan bantuan yang akan diberikan di bawah, adalah persamaan yang menerangkan kebarangkalian sesuatu peristiwa berdasarkan keadaan yang boleh dikaitkan dengannya. Formula asas adalah seperti berikut:
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A dan B ialah peristiwa yang pasti.
P(A|B) ialah kebarangkalian bersyarat, iaitu peristiwa A boleh berlaku dengan syarat peristiwa B adalah benar.
P (B|A) - kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa B.
Jadi, bahagian akhir kursus pendek "Teori Kebarangkalian" ialah formula Bayes, contoh penyelesaian kepada masalah yang ada di bawah.
Tugasan 5: Telefon daripada tiga syarikat telah dibawa ke gudang. Pada masa yang sama, bahagian telefon yang dihasilkan di kilang pertama ialah 25%, pada kedua - 60%, pada ketiga - 15%. Ia juga diketahui bahawa peratusan purata produk yang rosak di kilang pertama ialah 2%, pada kedua - 4%, dan pada ketiga - 1%. Anda perlu mencari kebarangkalian bahawa telefon yang dipilih secara rawak akan rosak.
A = "telefon yang dipilih secara rawak."
B 1 - telefon yang dihasilkan oleh kilang pertama. Sehubungan itu, pengenalan B 2 dan B 3 akan muncul (untuk kilang kedua dan ketiga).
Hasilnya kami mendapat:
P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - dengan itu kami mendapati kebarangkalian setiap pilihan.
Sekarang anda perlu mencari kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa yang diingini, iaitu, kebarangkalian produk yang rosak dalam syarikat:
P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;
P(A/B 2) = 0.04;
P (A/B 3) = 0.01.
Sekarang mari kita gantikan data ke dalam formula Bayes dan dapatkan:
P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.
Artikel itu membentangkan teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung ais disiplin yang luas. Dan selepas semua yang telah ditulis, adalah logik untuk bertanya soalan sama ada teori kebarangkalian diperlukan dalam kehidupan. Sukar untuk orang biasa menjawab; adalah lebih baik untuk bertanya kepada seseorang yang telah menggunakannya untuk memenangi jackpot lebih daripada sekali.