Jadi, Teorem Terakhir Fermat (selalunya dipanggil teorem terakhir Fermat), yang dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematik Perancis yang cemerlang Pierre Fermat, bersifat sangat mudah dan boleh difahami oleh sesiapa sahaja yang mempunyai pendidikan menengah. Ia mengatakan bahawa formula a kepada kuasa n + b kepada kuasa n = c kepada kuasa n tidak mempunyai penyelesaian semula jadi (iaitu, bukan pecahan) untuk n > 2. Semuanya kelihatan mudah dan jelas, tetapi ahli matematik terbaik dan amatur biasa bergelut dengan mencari penyelesaian selama lebih daripada tiga setengah abad.
Mengapa dia begitu terkenal? Sekarang kita akan mengetahui...
Adakah terdapat banyak teorem yang telah terbukti, belum terbukti dan masih belum terbukti? Intinya di sini ialah Teorem Terakhir Fermat mewakili kontras terbesar antara kesederhanaan rumusan dan kerumitan bukti. Teorem Terakhir Fermat adalah masalah yang sangat sukar, namun perumusannya boleh difahami oleh sesiapa sahaja yang mempunyai gred 5 sekolah menengah, tetapi tidak setiap ahli matematik profesional dapat memahami buktinya. Baik dalam fizik, mahupun dalam kimia, mahupun dalam biologi, mahupun dalam matematik, tidak ada satu masalah yang boleh dirumuskan dengan begitu mudah, tetapi kekal tidak diselesaikan untuk sekian lama. 2. Apakah kandungannya?
Mari kita mulakan dengan seluar Pythagoras Perkataannya sangat mudah - pada pandangan pertama. Seperti yang kita ketahui dari zaman kanak-kanak, "Seluar Pythagoras adalah sama pada semua sisi." Masalahnya kelihatan begitu mudah kerana ia berdasarkan pernyataan matematik yang semua orang tahu - teorem Pythagoras: dalam mana-mana segi tiga tepat, segi empat yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat yang dibina pada kaki.
Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mengasaskan persaudaraan Pythagoras. Pythagoreans, antara lain, mengkaji triplet integer yang memenuhi kesamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahawa terdapat banyak tak terhingga tripel Pythagoras dan memperoleh formula am untuk mencari mereka. Mereka mungkin cuba mencari C dan ijazah yang lebih tinggi. Yakin bahawa ini tidak berjaya, Pythagoreans meninggalkan percubaan mereka yang tidak berguna. Ahli-ahli persaudaraan adalah lebih ahli falsafah dan estetika daripada ahli matematik.
Iaitu, mudah untuk memilih set nombor yang memenuhi kesamaan x²+y²=z² dengan sempurna.
Bermula dari 3, 4, 5 - sememangnya seorang pelajar junior faham bahawa 9 + 16 = 25.
Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hebat.
Dan seterusnya. Bagaimana jika kita mengambil persamaan yang serupa x³+y³=z³? Mungkin ada juga nombor sedemikian?
Dan seterusnya (Gamb. 1).
Jadi, ternyata mereka TIDAK. Di sinilah muslihat bermula. Kesederhanaan adalah jelas, kerana sukar untuk membuktikan bukan kehadiran sesuatu, tetapi, sebaliknya, ketiadaannya. Apabila anda perlu membuktikan bahawa terdapat penyelesaian, anda boleh dan hanya perlu mengemukakan penyelesaian ini.
Membuktikan ketidakhadiran adalah lebih sukar: sebagai contoh, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak mempunyai penyelesaian. Letakkan dia dalam lopak? mudah: bam - dan inilah penyelesaiannya! (berikan penyelesaian). Dan itu sahaja, pihak lawan dikalahkan. Bagaimana untuk membuktikan ketidakhadiran?
Katakan: "Saya tidak menemui penyelesaian sedemikian"? Atau mungkin anda tidak kelihatan sihat? Bagaimana jika ia wujud, hanya sangat besar, sangat besar, sehinggakan komputer yang sangat berkuasa pun masih tidak mempunyai kekuatan yang mencukupi? Ini yang susah.
Ini boleh ditunjukkan secara visual seperti ini: jika anda mengambil dua petak dengan saiz yang sesuai dan membukanya menjadi petak unit, maka daripada tandan petak unit ini anda mendapat petak ketiga (Gamb. 2):
Tetapi mari kita lakukan perkara yang sama dengan dimensi ketiga (Rajah 3) - ia tidak berfungsi. Kiub tidak mencukupi, atau ada kiub tambahan yang tinggal:
Tetapi ahli matematik Perancis abad ke-17 Pierre de Fermat dengan penuh semangat mengkaji persamaan umum x n +y n =z n . Dan akhirnya, saya membuat kesimpulan: untuk n>2 tidak ada penyelesaian integer. Bukti Fermat hilang tanpa dapat dipulihkan. Manuskrip terbakar! Yang tinggal hanyalah kenyataannya dalam Aritmetik Diophantus: "Saya telah menemui bukti yang benar-benar menakjubkan tentang cadangan ini, tetapi margin di sini terlalu sempit untuk mengandunginya."
Sebenarnya, teorem tanpa bukti dipanggil hipotesis. Tetapi Fermat mempunyai reputasi yang tidak pernah membuat kesilapan. Walaupun dia tidak meninggalkan bukti kenyataan, ia kemudiannya disahkan. Selain itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Oleh itu, hipotesis ahli matematik Perancis turun dalam sejarah sebagai Teorem Terakhir Fermat.
Selepas Fermat, minda hebat seperti Leonhard Euler berusaha mencari bukti (pada tahun 1770 dia mencadangkan penyelesaian untuk n = 3),
Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (ahli sains ini bersama-sama menemui bukti untuk n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lamé (yang menemui bukti untuk n = 7) dan ramai lagi. Menjelang pertengahan 80-an abad yang lalu, menjadi jelas bahawa dunia saintifik sedang menuju ke penyelesaian akhir Teorem Terakhir Fermat, tetapi hanya pada tahun 1993 ahli matematik melihat dan percaya bahawa epik tiga abad mencari bukti teorem terakhir Fermat hampir tamat.
Ia mudah ditunjukkan bahawa cukup untuk membuktikan teorem Fermat hanya untuk n mudah: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Untuk n komposit, bukti kekal sah. Tetapi terdapat banyak nombor perdana...
Pada tahun 1825, menggunakan kaedah Sophie Germain, ahli matematik wanita, Dirichlet dan Legendre secara bebas membuktikan teorem untuk n=5. Pada tahun 1839, menggunakan kaedah yang sama, orang Perancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorem untuk n=7. Secara beransur-ansur teorem telah dibuktikan untuk hampir semua n kurang daripada seratus.
Akhirnya, ahli matematik Jerman Ernst Kummer, dalam kajian yang cemerlang, menunjukkan bahawa teorem secara umum tidak boleh dibuktikan menggunakan kaedah matematik abad ke-19. Hadiah Akademi Sains Perancis, yang ditubuhkan pada tahun 1847 untuk bukti teorem Fermat, kekal tidak dianugerahkan.
Pada tahun 1907, industrialis Jerman kaya Paul Wolfskehl memutuskan untuk mengambil nyawanya sendiri kerana cinta yang tidak berbalas. Seperti seorang Jerman sejati, dia menetapkan tarikh dan masa membunuh diri: tepat pada tengah malam. Pada hari terakhir dia membuat wasiat dan menulis surat kepada kawan-kawan dan saudara-mara. Perkara berakhir sebelum tengah malam. Ia mesti dikatakan bahawa Paul berminat dalam matematik. Tidak mempunyai apa-apa lagi untuk dilakukan, dia pergi ke perpustakaan dan mula membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba nampaknya Kummer telah membuat kesilapan dalam alasannya. Wolfskel mula menganalisis bahagian artikel ini dengan pensil di tangannya. Tengah malam telah berlalu, pagi telah tiba. Jurang dalam bukti telah diisi. Dan sebab bunuh diri kini kelihatan sangat tidak masuk akal. Paul mengoyakkan surat perpisahannya dan menulis semula wasiatnya.
Dia tidak lama kemudian meninggal dunia atas sebab semula jadi. Pewaris agak terkejut: 100,000 markah (lebih daripada 1,000,000 pound sterling semasa) telah dipindahkan ke akaun Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan pertandingan untuk Hadiah Wolfskehl. 100,000 markah telah diberikan kepada orang yang membuktikan teorem Fermat. Tiada pfennig dianugerahkan kerana menyangkal teorem...
Kebanyakan ahli matematik profesional menganggap pencarian bukti Teorem Terakhir Fermat sebagai tugas yang sia-sia dan dengan tegas enggan membuang masa untuk latihan yang tidak berguna itu. Tetapi amatur mempunyai letupan. Beberapa minggu selepas pengumuman itu, runtuhan "bukti" melanda Universiti Göttingen. Profesor E.M. Landau, yang bertanggungjawab menganalisis bukti yang dihantar, mengedarkan kad kepada pelajarnya:
sayang. . . . . . . .
Terima kasih kerana menghantar saya manuskrip dengan bukti Teorem Terakhir Fermat. Ralat pertama adalah pada halaman ... dalam baris... . Kerana itu, seluruh bukti kehilangan kesahihannya.
Profesor E. M. Landau
Pada tahun 1963, Paul Cohen, bergantung pada penemuan Gödel, membuktikan ketidakbolehpecahan salah satu daripada dua puluh tiga masalah Hilbert - hipotesis kontinum. Bagaimana jika Teorem Terakhir Fermat juga tidak dapat ditentukan?! Tetapi fanatik Teorem Besar yang benar tidak kecewa sama sekali. Kemunculan komputer tiba-tiba memberi ahli matematik kaedah pembuktian baru. Selepas Perang Dunia II, pasukan pengaturcara dan ahli matematik membuktikan Teorem Terakhir Fermat untuk semua nilai n sehingga 500, kemudian sehingga 1,000, dan kemudian sehingga 10,000.
Pada 1980-an, Samuel Wagstaff menaikkan had kepada 25,000, dan pada 1990-an, ahli matematik mengisytiharkan bahawa Teorem Terakhir Fermat adalah benar untuk semua nilai n sehingga 4 juta. Tetapi jika anda menolak walaupun satu trilion trilion daripada infiniti, ia tidak akan menjadi lebih kecil. Ahli matematik tidak yakin dengan statistik. Untuk membuktikan Teorem Besar bermaksud untuk membuktikannya untuk SEMUA n pergi ke infiniti.
Pada tahun 1954, dua rakan ahli matematik Jepun mula meneliti bentuk modular. Borang ini menjana siri nombor, setiap satu dengan sirinya sendiri. Secara kebetulan, Taniyama membandingkan siri ini dengan siri yang dihasilkan oleh persamaan elips. Mereka sepadan! Tetapi bentuk modular adalah objek geometri, dan persamaan elips adalah algebra. Tiada sambungan pernah ditemui antara objek yang berbeza itu.
Walau bagaimanapun, selepas ujian yang teliti, rakan-rakan mengemukakan hipotesis: setiap persamaan elips mempunyai kembar - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi asas kepada keseluruhan arah dalam matematik, tetapi sehingga hipotesis Taniyama-Shimura dibuktikan, seluruh bangunan itu boleh runtuh pada bila-bila masa.
Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahawa penyelesaian kepada persamaan Fermat, jika wujud, boleh dimasukkan dalam beberapa persamaan elips. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahawa persamaan hipotesis ini tidak boleh mempunyai pasangan dalam dunia modular. Mulai sekarang, Teorem Terakhir Fermat berkait rapat dengan sangkaan Taniyama–Shimura. Setelah membuktikan bahawa mana-mana lengkung elips adalah modular, kami membuat kesimpulan bahawa tidak ada persamaan elips dengan penyelesaian kepada persamaan Fermat, dan Teorem Terakhir Fermat akan dibuktikan dengan serta-merta. Tetapi selama tiga puluh tahun tidak mungkin untuk membuktikan hipotesis Taniyama-Shimura, dan semakin kurang harapan untuk berjaya.
Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona dengan matematik. Apabila dia mengetahui tentang Teorem Besar, dia menyedari bahawa dia tidak boleh menyerah padanya. Sebagai pelajar sekolah, pelajar dan pelajar siswazah, dia menyediakan dirinya untuk tugas ini.
Setelah mengetahui tentang penemuan Ken Ribet, Wiles terjun ke dalam membuktikan sangkaan Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja secara terpencil dan rahsia. "Saya menyedari bahawa segala-galanya yang ada kaitan dengan Teorem Terakhir Fermat menimbulkan minat yang terlalu tinggi... Terlalu ramai penonton jelas mengganggu pencapaian gol." Kerja keras tujuh tahun membuahkan hasil; Wiles akhirnya menyelesaikan bukti sangkaan Taniyama-Shimura.
Pada tahun 1993, ahli matematik Inggeris Andrew Wiles membentangkan kepada dunia bukti Teorem Terakhir Fermat (Wiles membaca kertas sensasinya pada persidangan di Institut Sir Isaac Newton di Cambridge.), Kerja yang berlangsung lebih daripada tujuh tahun.
Walaupun gembar-gembur itu berterusan di akhbar, kerja serius mula mengesahkan bukti. Setiap bukti mesti diteliti dengan teliti sebelum bukti itu boleh dianggap ketat dan tepat. Wiles menghabiskan musim panas yang tidak tenang menunggu maklum balas daripada pengulas, dengan harapan dia akan dapat memenangi kelulusan mereka. Pada penghujung Ogos, pakar mendapati penghakiman itu tidak cukup berasas.
Ternyata keputusan ini mengandungi kesilapan besar, walaupun secara umum ia adalah betul. Wiles tidak berputus asa, meminta bantuan pakar terkenal dalam teori nombor Richard Taylor, dan sudah pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorem yang diperbetulkan dan diperluas. Perkara yang paling menakjubkan ialah kerja ini mengambil sebanyak 130 (!) halaman dalam jurnal matematik "Annals of Mathematics". Tetapi cerita itu tidak berakhir di sana - titik akhir dicapai hanya pada tahun berikutnya, 1995, apabila versi bukti yang terakhir dan "ideal", dari sudut pandangan matematik, diterbitkan.
"...setengah minit selepas permulaan makan malam perayaan sempena hari lahirnya, saya menghadiahkan Nadya dengan manuskrip bukti lengkap" (Andrew Wales). Adakah saya belum mengatakan bahawa ahli matematik adalah orang yang pelik?
Kali ini tiada keraguan tentang bukti. Dua artikel tertakluk kepada analisis yang paling teliti dan diterbitkan pada Mei 1995 dalam Annals of Mathematics.
Banyak masa telah berlalu sejak saat itu, tetapi masih terdapat pendapat dalam masyarakat bahawa Teorem Terakhir Fermat tidak dapat diselesaikan. Tetapi mereka yang mengetahui tentang bukti yang ditemui terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit yang berpuas hati bahawa Teorem Besar memerlukan penyelesaian 130 muka surat!
Oleh itu, kini usaha ramai ahli matematik (kebanyakannya amatur, bukan saintis profesional) dilemparkan ke dalam pencarian bukti yang mudah dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa ke mana-mana... 5 Ogos 2013
Tidak ramai orang di dunia yang tidak pernah mendengar tentang Teorem Terakhir Fermat - mungkin ini satu-satunya masalah matematik yang telah diketahui secara meluas dan telah menjadi legenda sebenar. Ia disebut dalam banyak buku dan filem, dan konteks utama hampir semua sebutan adalah kemustahilan untuk membuktikan teorem.
Ya, teorem ini sangat terkenal dan, dalam erti kata lain, telah menjadi "berhala" yang disembah oleh ahli matematik amatur dan profesional, tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahawa buktinya ditemui, dan ini berlaku pada tahun 1995. Tetapi perkara pertama dahulu.
Jadi, Teorem Terakhir Fermat (sering dipanggil teorem terakhir Fermat), yang dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematik Perancis yang cemerlang Pierre Fermat, pada dasarnya sangat mudah dan boleh difahami oleh sesiapa sahaja yang mempunyai pendidikan menengah. Ia mengatakan bahawa formula a kepada kuasa n + b kepada kuasa n = c kepada kuasa n tidak mempunyai penyelesaian semula jadi (iaitu, bukan pecahan) untuk n > 2. Semuanya kelihatan mudah dan jelas, tetapi ahli matematik terbaik dan amatur biasa bergelut dengan mencari penyelesaian selama lebih daripada tiga setengah abad.
Mengapa dia begitu terkenal? Sekarang kita akan mengetahui...
Adakah terdapat banyak teorem yang telah terbukti, belum terbukti dan masih belum terbukti? Intinya di sini ialah Teorem Terakhir Fermat mewakili kontras terbesar antara kesederhanaan rumusan dan kerumitan bukti. Teorem Terakhir Fermat adalah masalah yang sangat sukar, namun perumusannya boleh difahami oleh sesiapa sahaja yang mempunyai gred 5 sekolah menengah, tetapi tidak setiap ahli matematik profesional dapat memahami buktinya. Baik dalam fizik, mahupun dalam kimia, mahupun dalam biologi, mahupun dalam matematik, tidak ada satu masalah yang boleh dirumuskan dengan begitu mudah, tetapi kekal tidak diselesaikan untuk sekian lama. 2. Apakah kandungannya?
Mari kita mulakan dengan seluar Pythagoras Perkataannya sangat mudah - pada pandangan pertama. Seperti yang kita ketahui dari zaman kanak-kanak, "Seluar Pythagoras adalah sama pada semua sisi." Masalahnya kelihatan begitu mudah kerana ia berdasarkan pernyataan matematik yang semua orang tahu - teorem Pythagoras: dalam mana-mana segi tiga tepat, segi empat yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat yang dibina pada kaki.
Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mengasaskan persaudaraan Pythagoras. Pythagoreans, antara lain, mengkaji triplet integer yang memenuhi kesamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahawa terdapat banyak tak terhingga tripel Pythagoras dan memperoleh formula am untuk mencari mereka. Mereka mungkin cuba mencari C dan ijazah yang lebih tinggi. Yakin bahawa ini tidak berjaya, Pythagoreans meninggalkan percubaan mereka yang tidak berguna. Ahli-ahli persaudaraan adalah lebih ahli falsafah dan estetika daripada ahli matematik.
Iaitu, mudah untuk memilih set nombor yang memenuhi kesamaan x²+y²=z² dengan sempurna
Bermula dari 3, 4, 5 - sememangnya seorang pelajar junior faham bahawa 9 + 16 = 25.
Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hebat.
Jadi, ternyata mereka TIDAK. Di sinilah muslihat bermula. Kesederhanaan adalah jelas, kerana sukar untuk membuktikan bukan kehadiran sesuatu, tetapi, sebaliknya, ketiadaannya. Apabila anda perlu membuktikan bahawa terdapat penyelesaian, anda boleh dan hanya perlu mengemukakan penyelesaian ini.
Membuktikan ketidakhadiran adalah lebih sukar: sebagai contoh, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak mempunyai penyelesaian. Letakkan dia dalam lopak? mudah: bam - dan inilah penyelesaiannya! (berikan penyelesaian). Dan itu sahaja, pihak lawan dikalahkan. Bagaimana untuk membuktikan ketidakhadiran?
Katakan: "Saya tidak menemui penyelesaian sedemikian"? Atau mungkin anda tidak kelihatan sihat? Bagaimana jika ia wujud, hanya sangat besar, sangat besar, sehinggakan komputer yang sangat berkuasa pun masih tidak mempunyai kekuatan yang mencukupi? Ini yang susah.
Ini boleh ditunjukkan secara visual seperti ini: jika anda mengambil dua petak dengan saiz yang sesuai dan membukanya menjadi petak unit, maka daripada tandan petak unit ini anda mendapat petak ketiga (Gamb. 2):
Tetapi mari kita lakukan perkara yang sama dengan dimensi ketiga (Rajah 3) - ia tidak berfungsi. Kiub tidak mencukupi, atau ada kiub tambahan yang tinggal:
Tetapi ahli matematik abad ke-17 Perancis Pierre de Fermat dengan penuh semangat mengkaji persamaan am x n + y n = z n. Dan akhirnya, saya membuat kesimpulan: untuk n>2 tidak ada penyelesaian integer. Bukti Fermat hilang tanpa dapat dipulihkan. Manuskrip terbakar! Yang tinggal hanyalah kenyataannya dalam Aritmetik Diophantus: "Saya telah menemui bukti yang benar-benar menakjubkan tentang cadangan ini, tetapi margin di sini terlalu sempit untuk mengandunginya."
Sebenarnya, teorem tanpa bukti dipanggil hipotesis. Tetapi Fermat mempunyai reputasi yang tidak pernah membuat kesilapan. Walaupun dia tidak meninggalkan bukti kenyataan, ia kemudiannya disahkan. Selain itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Oleh itu, hipotesis ahli matematik Perancis turun dalam sejarah sebagai Teorem Terakhir Fermat.
Selepas Fermat, minda hebat seperti Leonhard Euler berusaha mencari bukti (pada tahun 1770 dia mencadangkan penyelesaian untuk n = 3),
Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (ahli sains ini bersama-sama menemui bukti untuk n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lamé (yang menemui bukti untuk n = 7) dan ramai lagi. Menjelang pertengahan 80-an abad yang lalu, menjadi jelas bahawa dunia saintifik sedang menuju ke penyelesaian akhir Teorem Terakhir Fermat, tetapi hanya pada tahun 1993 ahli matematik melihat dan percaya bahawa epik tiga abad mencari bukti Teorem terakhir Fermat hampir tamat.
Ia mudah ditunjukkan bahawa cukup untuk membuktikan teorem Fermat hanya untuk n mudah: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Untuk n komposit, bukti kekal sah. Tetapi terdapat banyak nombor perdana...
Pada tahun 1825, menggunakan kaedah Sophie Germain, ahli matematik wanita, Dirichlet dan Legendre secara bebas membuktikan teorem untuk n=5. Pada tahun 1839, menggunakan kaedah yang sama, orang Perancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorem untuk n=7. Secara beransur-ansur teorem telah dibuktikan untuk hampir semua n kurang daripada seratus.
Akhirnya, ahli matematik Jerman Ernst Kummer, dalam kajian yang cemerlang, menunjukkan bahawa teorem secara umum tidak boleh dibuktikan menggunakan kaedah matematik abad ke-19. Hadiah Akademi Sains Perancis, yang ditubuhkan pada tahun 1847 untuk bukti teorem Fermat, kekal tidak dianugerahkan.
Pada tahun 1907, industrialis Jerman kaya Paul Wolfskehl memutuskan untuk mengambil nyawanya sendiri kerana cinta yang tidak berbalas. Seperti seorang Jerman sejati, dia menetapkan tarikh dan masa membunuh diri: tepat pada tengah malam. Pada hari terakhir dia membuat wasiat dan menulis surat kepada kawan-kawan dan saudara-mara. Perkara berakhir sebelum tengah malam. Ia mesti dikatakan bahawa Paul berminat dalam matematik. Tidak mempunyai apa-apa lagi untuk dilakukan, dia pergi ke perpustakaan dan mula membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba nampaknya Kummer telah membuat kesilapan dalam alasannya. Wolfskel mula menganalisis bahagian artikel ini dengan pensil di tangannya. Tengah malam telah berlalu, pagi telah tiba. Jurang dalam bukti telah diisi. Dan sebab bunuh diri kini kelihatan sangat tidak masuk akal. Paul mengoyakkan surat perpisahannya dan menulis semula wasiatnya.
Dia tidak lama kemudian meninggal dunia atas sebab semula jadi. Pewaris agak terkejut: 100,000 markah (lebih daripada 1,000,000 pound sterling semasa) telah dipindahkan ke akaun Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan pertandingan untuk Hadiah Wolfskehl. 100,000 markah telah diberikan kepada orang yang membuktikan teorem Fermat. Tiada pfennig dianugerahkan kerana menyangkal teorem...
Kebanyakan ahli matematik profesional menganggap pencarian bukti Teorem Terakhir Fermat sebagai tugas yang sia-sia dan dengan tegas enggan membuang masa untuk latihan yang tidak berguna itu. Tetapi amatur mempunyai letupan. Beberapa minggu selepas pengumuman itu, runtuhan "bukti" melanda Universiti Göttingen. Profesor E.M. Landau, yang bertanggungjawab menganalisis bukti yang dihantar, mengedarkan kad kepada pelajarnya:
sayang. . . . . . . .
Terima kasih kerana menghantar saya manuskrip dengan bukti Teorem Terakhir Fermat. Ralat pertama adalah pada halaman ... dalam baris... . Kerana itu, seluruh bukti kehilangan kesahihannya.
Profesor E. M. Landau
Pada tahun 1963, Paul Cohen, bergantung pada penemuan Gödel, membuktikan ketidakbolehpecahan salah satu daripada dua puluh tiga masalah Hilbert - hipotesis kontinum. Bagaimana jika Teorem Terakhir Fermat juga tidak dapat ditentukan?! Tetapi fanatik Teorem Besar yang benar tidak kecewa sama sekali. Kemunculan komputer tiba-tiba memberi ahli matematik kaedah pembuktian baru. Selepas Perang Dunia II, pasukan pengaturcara dan ahli matematik membuktikan Teorem Terakhir Fermat untuk semua nilai n sehingga 500, kemudian sehingga 1,000, dan kemudian sehingga 10,000.
Pada 1980-an, Samuel Wagstaff menaikkan had kepada 25,000, dan pada 1990-an, ahli matematik mengisytiharkan bahawa Teorem Terakhir Fermat adalah benar untuk semua nilai n sehingga 4 juta. Tetapi jika anda menolak walaupun satu trilion trilion daripada infiniti, ia tidak akan menjadi lebih kecil. Ahli matematik tidak yakin dengan statistik. Untuk membuktikan Teorem Besar bermaksud untuk membuktikannya untuk SEMUA n pergi ke infiniti.
Pada tahun 1954, dua rakan ahli matematik Jepun mula meneliti bentuk modular. Borang ini menjana siri nombor, setiap satu dengan sirinya sendiri. Secara kebetulan, Taniyama membandingkan siri ini dengan siri yang dihasilkan oleh persamaan elips. Mereka sepadan! Tetapi bentuk modular adalah objek geometri, dan persamaan elips adalah algebra. Tiada sambungan pernah ditemui antara objek yang berbeza itu.
Walau bagaimanapun, selepas ujian yang teliti, rakan-rakan mengemukakan hipotesis: setiap persamaan elips mempunyai kembar - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi asas kepada keseluruhan arah dalam matematik, tetapi sehingga hipotesis Taniyama-Shimura dibuktikan, seluruh bangunan itu boleh runtuh pada bila-bila masa.
Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahawa penyelesaian kepada persamaan Fermat, jika wujud, boleh dimasukkan dalam beberapa persamaan elips. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahawa persamaan hipotesis ini tidak boleh mempunyai pasangan dalam dunia modular. Mulai sekarang, Teorem Terakhir Fermat berkait rapat dengan sangkaan Taniyama-Shimura. Setelah membuktikan bahawa mana-mana lengkung elips adalah modular, kami membuat kesimpulan bahawa tidak ada persamaan elips dengan penyelesaian kepada persamaan Fermat, dan Teorem Terakhir Fermat akan dibuktikan dengan serta-merta. Tetapi selama tiga puluh tahun tidak mungkin untuk membuktikan hipotesis Taniyama-Shimura, dan harapan untuk berjaya semakin berkurangan.
Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona dengan matematik. Apabila dia mengetahui tentang Teorem Besar, dia menyedari bahawa dia tidak boleh menyerah padanya. Sebagai pelajar sekolah, pelajar dan pelajar siswazah, dia menyediakan dirinya untuk tugas ini.
Setelah mengetahui tentang penemuan Ken Ribet, Wiles terjun ke dalam membuktikan hipotesis Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja secara terpencil dan rahsia. "Saya menyedari bahawa segala-galanya yang ada kaitan dengan Teorem Terakhir Fermat menimbulkan minat yang terlalu tinggi... Terlalu ramai penonton jelas mengganggu pencapaian gol." Kerja keras tujuh tahun membuahkan hasil, Wiles akhirnya menyelesaikan bukti sangkaan Taniyama-Shimura.
Pada tahun 1993, ahli matematik Inggeris Andrew Wiles membentangkan kepada dunia bukti Teorem Terakhir Fermat (Wiles membaca kertas sensasinya pada persidangan di Institut Sir Isaac Newton di Cambridge.), Kerja yang berlangsung lebih daripada tujuh tahun.
Walaupun gembar-gembur itu berterusan di akhbar, kerja serius mula mengesahkan bukti. Setiap bukti mesti diteliti dengan teliti sebelum bukti itu boleh dianggap ketat dan tepat. Wiles menghabiskan musim panas yang tidak tenang menunggu maklum balas daripada pengulas, dengan harapan dia akan dapat memenangi kelulusan mereka. Pada penghujung Ogos, pakar mendapati penghakiman itu tidak cukup berasas.
Ternyata keputusan ini mengandungi kesilapan besar, walaupun secara umum ia adalah betul. Wiles tidak berputus asa, meminta bantuan pakar terkenal dalam teori nombor Richard Taylor, dan sudah pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorem yang diperbetulkan dan diperluas. Perkara yang paling menakjubkan ialah kerja ini mengambil sebanyak 130 (!) halaman dalam jurnal matematik "Annals of Mathematics". Tetapi cerita itu tidak berakhir di sana - titik akhir dicapai hanya pada tahun berikutnya, 1995, apabila versi bukti yang terakhir dan "ideal", dari sudut pandangan matematik, diterbitkan.
"...setengah minit selepas permulaan makan malam perayaan sempena hari lahirnya, saya menghadiahkan Nadya dengan manuskrip bukti lengkap" (Andrew Wales). Adakah saya belum mengatakan bahawa ahli matematik adalah orang yang pelik?
Kali ini tiada keraguan tentang bukti. Dua artikel tertakluk kepada analisis yang paling teliti dan diterbitkan pada Mei 1995 dalam Annals of Mathematics.
Banyak masa telah berlalu sejak saat itu, tetapi masih terdapat pendapat dalam masyarakat bahawa Teorem Terakhir Fermat tidak dapat diselesaikan. Tetapi mereka yang mengetahui tentang bukti yang ditemui terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit yang berpuas hati bahawa Teorem Besar memerlukan penyelesaian 130 muka surat!
Oleh itu, kini usaha ramai ahli matematik (kebanyakannya amatur, bukan saintis profesional) dilemparkan ke dalam pencarian bukti yang mudah dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa ke mana-mana...
sumber
Andrew Wiles ialah seorang profesor matematik di Universiti Princeton, beliau membuktikan Teorem Terakhir Fermat, yang telah diperjuangkan oleh generasi saintis selama ratusan tahun.
30 tahun dalam satu tugas
Wiles mula-mula mengetahui tentang teorem terakhir Fermat ketika dia berumur sepuluh tahun. Dia singgah di perpustakaan semasa pulang dari sekolah dan asyik membaca buku "The Final Problem" oleh Eric Temple Bell. Mungkin tanpa disedari, sejak saat itu dia mendedikasikan hidupnya untuk mencari bukti, walaupun pada hakikatnya ia adalah sesuatu yang telah mengelak daripada minda terbaik di planet ini selama tiga abad.
Wiles belajar tentang teorem terakhir Fermat ketika dia berumur sepuluh tahun
Dia menemuinya 30 tahun kemudian selepas seorang saintis lain, Ken Ribet, membuktikan kaitan antara teorem ahli matematik Jepun Taniyama dan Shimura dengan Teorem Terakhir Fermat. Tidak seperti rakan-rakannya yang ragu-ragu, Wiles segera memahami bahawa ini dia, dan tujuh tahun kemudian dia menamatkan bukti itu.
Proses pembuktian itu sendiri ternyata sangat dramatik: Wiles menyelesaikan kerjanya pada tahun 1993, tetapi semasa penampilan awamnya dia mendapati "jurang" yang ketara dalam alasannya. Ia mengambil masa dua bulan untuk mencari ralat dalam pengiraan (ralat itu tersembunyi di antara 130 halaman bercetak penyelesaian kepada persamaan). Kemudian, selama satu setengah tahun, kerja keras dijalankan untuk membetulkan kesilapan. Seluruh komuniti saintifik Bumi berada dalam kerugian. Wiles menyiapkan kerjanya pada 19 September 1994 dan segera membentangkannya kepada umum.
Kemuliaan yang Menakutkan
Ketakutan terbesar Andrew ialah kemasyhuran dan publisiti. Dia enggan muncul di televisyen untuk masa yang sangat lama. Adalah dipercayai bahawa John Lynch dapat meyakinkannya. Dia memberi jaminan kepada Wiles bahawa dia boleh memberi inspirasi kepada ahli matematik generasi baharu dan menunjukkan kuasa matematik kepada orang ramai.
Andrew Wiles enggan muncul di televisyen untuk masa yang lama
Tidak lama kemudian, masyarakat yang bersyukur mula memberi hadiah kepada Andrew. Jadi pada 27 Jun 1997, Wiles menerima Hadiah Wolfskehl, yang berjumlah kira-kira $50,000 Ini adalah lebih rendah daripada Wolfskehl yang dimaksudkan untuk meninggalkan satu abad lebih awal, tetapi hiperinflasi menyebabkan pengurangan jumlah.
Malangnya, hadiah matematik yang setara dengan Hadiah Nobel, Hadiah Fields, tidak diberikan kepada Wiles kerana fakta bahawa ia dianugerahkan kepada ahli matematik di bawah umur empat puluh tahun. Sebaliknya, dia menerima plat perak khas pada upacara Fields Medal sebagai menghormati pencapaian pentingnya. Wiles juga telah memenangi Hadiah Serigala yang berprestij, Hadiah Raja Faisal dan banyak lagi anugerah antarabangsa yang lain.
Pendapat rakan sekerja
Reaksi salah seorang ahli matematik Rusia moden yang paling terkenal, Ahli Akademik V. I. Arnold, terhadap bukti adalah "skeptikal secara aktif":
Ini bukan matematik sebenar - matematik sebenar adalah geometri dan mempunyai hubungan yang kuat dengan fizik. Lebih-lebih lagi, masalah Fermat itu sendiri, dengan sifatnya, tidak dapat menjana perkembangan matematik, kerana ia adalah "perduaan", iaitu, perumusan masalah memerlukan jawapan hanya kepada soalan "ya atau tidak".
Pada masa yang sama, karya matematik V.I. Arnold sendiri dalam beberapa tahun kebelakangan ini ternyata banyak menumpukan kepada variasi pada topik teori nombor yang sangat serupa. Ada kemungkinan bahawa Wiles, secara paradoks, menjadi punca tidak langsung aktiviti ini.
Mimpi sebenar
Apabila Andrew ditanya bagaimana dia berjaya duduk dalam empat dinding selama lebih daripada 7 tahun melakukan satu tugas, Wiles memberitahu bagaimana dia bermimpi semasa bekerja ituMasanya akan tiba apabila kursus matematik di universiti, malah di sekolah, akan disesuaikan dengan kaedahnya untuk membuktikan teorem. Dia mahu bukti Teorem Terakhir Fermat bukan sahaja menjadi model masalah matematik, tetapi juga model metodologi untuk mengajar matematik. Wiles membayangkan bahawa menggunakan contoh beliau adalah mungkin untuk mengkaji semua cabang utama matematik dan fizik.
4 wanita yang tanpanya tidak akan ada bukti
Andrew telah berkahwin dan mempunyai tiga anak perempuan, dua daripadanya dilahirkan "semasa proses tujuh tahun draf pertama bukti."
Wiles sendiri percaya bahawa tanpa keluarganya dia tidak akan berjaya.
Pada tahun-tahun ini, hanya Nada, isteri Andrew, yang tahu bahawa dia menyerbu sendirian puncak matematik yang paling tidak boleh diakses dan paling terkenal. Kepada mereka, Nadya, Claire, Kate dan Olivia, artikel akhir Wiles yang terkenal "Keluk eliptik modular dan Teorem Terakhir Fermat" dalam jurnal matematik pusat "Annals of Mathematics" didedikasikan, di mana karya matematik yang paling penting diterbitkan. Bagaimanapun, Wiles sendiri tidak menafikan sama sekali tanpa keluarga dia tidak akan berjaya.
Berdasarkan populariti pertanyaan "teorem Fermat - bukti ringkas" masalah matematik ini amat menarik minat ramai orang. Teorem ini pertama kali dinyatakan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1637 di tepi salinan Aritmetik, di mana dia mendakwa bahawa dia mempunyai penyelesaian yang terlalu besar untuk dimuatkan di tepi.
Bukti pertama yang berjaya diterbitkan pada tahun 1995, bukti lengkap teorem Fermat oleh Andrew Wiles. Ia digambarkan sebagai "kemajuan yang menakjubkan" dan membawa Wiles menerima Hadiah Abel pada 2016. Walaupun diterangkan secara ringkas, bukti teorem Fermat juga membuktikan banyak teorem modulariti dan membuka pendekatan baru kepada pelbagai masalah lain dan kaedah berkesan untuk meningkatkan modulariti. Pencapaian ini memajukan matematik selama 100 tahun. Bukti teorem kecil Fermat bukanlah sesuatu yang luar biasa hari ini.
Masalah yang tidak dapat diselesaikan telah merangsang perkembangan teori nombor algebra pada abad ke-19 dan mencari bukti teorem modulariti pada abad ke-20. Ia adalah salah satu teorem yang paling ketara dalam sejarah matematik dan, sebelum bukti lengkap teorem terakhir Fermat mengikut pembahagian, ia berada dalam Buku Rekod Guinness sebagai "masalah matematik paling sukar", salah satu cirinya ialah bahawa ia mempunyai bilangan bukti gagal terbesar.
Latar belakang sejarah
Persamaan Pythagoras x 2 + y 2 = z 2 mempunyai nombor tak terhingga penyelesaian integer positif untuk x, y dan z. Penyelesaian ini dikenali sebagai triniti Pythagoras. Sekitar tahun 1637, Fermat menulis di tepi sebuah buku bahawa persamaan yang lebih umum a n + b n = c n tidak mempunyai penyelesaian dalam nombor asli jika n ialah integer lebih daripada 2. Walaupun Fermat sendiri mendakwa mempunyai penyelesaian kepada masalahnya, dia melakukannya. tidak meninggalkan butiran tentang buktinya. Bukti asas teorem Fermat, yang dinyatakan oleh penciptanya, agak ciptaannya yang membanggakan. Buku ahli matematik Perancis yang hebat itu ditemui 30 tahun selepas kematiannya. Persamaan ini, yang dipanggil Teorem Terakhir Fermat, kekal tidak dapat diselesaikan dalam matematik selama tiga setengah abad.
Teorem itu akhirnya menjadi salah satu masalah yang tidak dapat diselesaikan yang paling ketara dalam matematik. Percubaan untuk membuktikan ini mencetuskan perkembangan ketara dalam teori nombor, dan dari masa ke masa, Teorem Terakhir Fermat dikenali sebagai masalah yang tidak dapat diselesaikan dalam matematik.
Sejarah ringkas bukti
Jika n = 4, seperti yang dibuktikan oleh Fermat sendiri, sudah cukup untuk membuktikan teorem bagi indeks n, iaitu nombor perdana. Sepanjang dua abad berikutnya (1637-1839) sangkaan itu dibuktikan hanya untuk nombor perdana 3, 5 dan 7, walaupun Sophie Germain mengemas kini dan membuktikan pendekatan yang digunakan untuk keseluruhan kelas nombor perdana. Pada pertengahan abad ke-19, Ernst Kummer mengembangkan perkara ini dan membuktikan teorem untuk semua bilangan prima biasa, menyebabkan bilangan prima tidak sekata dianalisis secara individu. Membina hasil kerja Kummer dan menggunakan penyelidikan komputer yang canggih, ahli matematik lain dapat mengembangkan penyelesaian kepada teorem, bertujuan untuk merangkumi semua eksponen utama sehingga empat juta, tetapi bukti untuk semua eksponen masih tidak tersedia (bermakna ahli matematik secara amnya menganggap penyelesaian itu. kepada teorem mustahil, amat sukar, atau tidak boleh dicapai dengan pengetahuan semasa).
Kerja oleh Shimura dan Taniyama
Pada tahun 1955, ahli matematik Jepun Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengesyaki bahawa terdapat hubungan antara lengkung elips dan bentuk modular, dua bidang matematik yang sama sekali berbeza. Dikenali pada masa itu sebagai tekaan Taniyama-Shimura-Weil dan (akhirnya) sebagai teorem modulariti, ia berdiri sendiri, tanpa sambungan yang jelas dengan teorem terakhir Fermat. Ia secara meluas dianggap sebagai teorem matematik yang penting dalam haknya sendiri, tetapi dianggap (seperti teorem Fermat) mustahil untuk dibuktikan. Pada masa yang sama, pembuktian teorem hebat Fermat (dengan kaedah pembahagian dan penggunaan rumus matematik yang kompleks) telah dijalankan hanya setengah abad kemudian.
Pada tahun 1984, Gerhard Frey melihat hubungan yang jelas antara kedua-dua masalah yang sebelum ini tidak berkaitan dan tidak dapat diselesaikan. Bukti lengkap bahawa kedua-dua teorem itu berkait rapat diterbitkan pada tahun 1986 oleh Ken Ribet, yang dibina di atas bukti separa oleh Jean-Pierre Serres, yang membuktikan semua kecuali satu bahagian, yang dikenali sebagai "epsilon conjecture". Ringkasnya, karya Frey, Serres dan Ribe ini menunjukkan bahawa jika teorem modulariti dapat dibuktikan untuk sekurang-kurangnya kelas separa stabil lengkung elips, maka bukti teorem terakhir Fermat juga akan ditemui lambat laun. Sebarang penyelesaian yang boleh bercanggah dengan teorem terakhir Fermat juga boleh digunakan untuk bercanggah dengan teorem modulariti. Oleh itu, jika teorem modulariti ternyata benar, maka secara definisi tidak boleh ada penyelesaian yang bercanggah dengan teorem terakhir Fermat, yang bermaksud ia sepatutnya telah dibuktikan tidak lama lagi.
Walaupun kedua-dua teorem adalah masalah yang sukar dalam matematik, dianggap tidak boleh diselesaikan, kerja kedua-dua orang Jepun itu adalah cadangan pertama bagaimana teorem terakhir Fermat boleh dilanjutkan dan dibuktikan untuk semua nombor, bukan hanya beberapa. Penting kepada penyelidik yang memilih topik penyelidikan adalah hakikat bahawa, tidak seperti teorem terakhir Fermat, teorem modulariti adalah bidang penyelidikan aktif utama yang bukti telah dibangunkan, dan bukan hanya keanehan sejarah, jadi masa yang dihabiskan mengusahakannya boleh dibenarkan dari sudut pandangan profesional. Walau bagaimanapun, konsensus umum adalah bahawa menyelesaikan tekaan Taniyama-Shimura adalah tidak praktikal.
Teorem Terakhir Fermat: Bukti Wiles
Selepas mengetahui bahawa Ribet telah membuktikan teori Frey betul, ahli matematik Inggeris Andrew Wiles, yang telah berminat dengan teorem terakhir Fermat sejak zaman kanak-kanak dan mempunyai pengalaman bekerja dengan lengkung elips dan bidang yang berkaitan, memutuskan untuk cuba membuktikan sangkaan Taniyama-Shimura sebagai satu cara untuk buktikan teorem terakhir Fermat. Pada tahun 1993, enam tahun selepas mengumumkan matlamatnya, semasa diam-diam mengusahakan masalah menyelesaikan teorem, Wiles berjaya membuktikan tekaan yang berkaitan, yang seterusnya akan membantunya membuktikan teorem terakhir Fermat. Dokumen Wiles sangat besar dalam saiz dan skop.
Kecacatan itu ditemui dalam satu bahagian kertas asalnya semasa semakan rakan sebaya dan memerlukan satu tahun lagi kerjasama dengan Richard Taylor untuk bersama-sama menyelesaikan teorem itu. Akibatnya, bukti akhir Wiles tentang teorem terakhir Fermat tidak lama lagi. Pada tahun 1995, ia diterbitkan pada skala yang lebih kecil daripada kerja matematik Wiles sebelum ini, jelas menunjukkan bahawa dia tidak tersilap dalam kesimpulannya sebelum ini tentang kemungkinan membuktikan teorem. Pencapaian Wiles dilaporkan secara meluas dalam akhbar popular dan dipopularkan dalam buku dan program televisyen. Baki bahagian tekaan Taniyama-Shimura-Weil, yang kini telah dibuktikan dan dikenali sebagai teorem modulariti, kemudiannya dibuktikan oleh ahli matematik lain yang membina hasil kerja Wiles antara 1996 dan 2001. Atas pencapaiannya, Wiles diberi penghormatan dan menerima pelbagai anugerah, termasuk Hadiah Abel 2016.
Bukti Wiles tentang teorem terakhir Fermat ialah kes khas penyelesaian kepada teorem modulariti untuk lengkung elips. Walau bagaimanapun, ini adalah kes yang paling terkenal bagi operasi matematik berskala besar itu. Bersama dengan menyelesaikan teorem Ribet, ahli matematik British itu juga memperoleh bukti teorem terakhir Fermat. Teorem Terakhir Fermat dan Teorem Modulariti hampir secara universal dianggap tidak dapat dibuktikan oleh ahli matematik moden, tetapi Andrew Wiles dapat membuktikan kepada seluruh dunia saintifik bahawa pakar pun boleh tersilap.
Wiles pertama kali mengumumkan penemuannya pada hari Rabu 23 Jun 1993 dalam kuliah di Cambridge bertajuk "Borang Modular, Lengkung Eliptik dan Perwakilan Galois". Walau bagaimanapun, pada September 1993 telah ditentukan bahawa pengiraannya mengandungi ralat. Setahun kemudian, pada 19 September 1994, dalam apa yang disebutnya sebagai "saat paling penting dalam kehidupan kerjanya," Wiles terjumpa wahyu yang membolehkannya membetulkan penyelesaian kepada masalah itu ke tahap di mana ia dapat memuaskan matematik. masyarakat.
Ciri-ciri kerja
Bukti Andrew Wiles tentang teorem Fermat menggunakan banyak teknik daripada geometri algebra dan teori nombor dan mempunyai banyak kesan dalam bidang matematik ini. Beliau juga menggunakan binaan standard geometri algebra moden, seperti kategori skema dan teori Iwasawa, serta kaedah abad ke-20 lain yang tidak tersedia untuk Pierre Fermat.
Dua artikel yang mengandungi bukti berjumlah 129 muka surat dan ditulis selama tujuh tahun. John Coates menyifatkan penemuan ini sebagai salah satu pencapaian terbesar teori nombor, dan John Conway menyebutnya sebagai pencapaian matematik utama abad ke-20. Wiles, untuk membuktikan teorem terakhir Fermat dengan membuktikan teorem modulariti untuk kes khas lengkung eliptik separa stabil, membangunkan kaedah yang berkuasa untuk mengangkat modulariti dan menemui pendekatan baharu kepada pelbagai masalah lain. Untuk menyelesaikan teorem terakhir Fermat dia telah dianugerahkan kesatria dan menerima anugerah lain. Apabila diumumkan bahawa Wiles telah memenangi Hadiah Abel, Akademi Sains Norway menggambarkan pencapaiannya sebagai "bukti yang mengagumkan dan asas teorem terakhir Fermat."
Bagaimana keadaannya
Salah seorang yang menganalisis manuskrip asal Wiles tentang penyelesaian teorem ialah Nick Katz. Semasa tinjauannya, dia bertanya kepada warga Britain itu beberapa soalan penjelasan, yang memaksa Wiles untuk mengakui bahawa kerjanya jelas mengandungi jurang. Terdapat ralat dalam satu bahagian kritikal bukti yang memberikan anggaran untuk susunan kumpulan tertentu: sistem Euler yang digunakan untuk melanjutkan kaedah Kolyvagin dan Flach tidak lengkap. Kesilapan itu, bagaimanapun, tidak menjadikan kerjanya sia-sia - setiap bahagian kerja Wiles adalah sangat penting dan inovatif dengan sendirinya, begitu juga dengan banyak perkembangan dan kaedah yang dia cipta dalam perjalanan kerjanya yang menjejaskan hanya satu bahagian daripada manuskrip. Walau bagaimanapun, karya asal ini, yang diterbitkan pada tahun 1993, sebenarnya tidak memberikan bukti Teorem Terakhir Fermat.
Wiles menghabiskan hampir setahun cuba mencari semula penyelesaian kepada teorem itu, mula-mula bersendirian dan kemudian dengan kerjasama bekas pelajarnya Richard Taylor, tetapi semuanya kelihatan sia-sia. Menjelang akhir tahun 1993, khabar angin telah tersebar bahawa bukti Wiles telah gagal dalam ujian, tetapi betapa seriusnya kegagalan itu tidak diketahui. Ahli matematik mula memberi tekanan kepada Wiles untuk mendedahkan butiran kerjanya, sama ada ia telah siap atau tidak, supaya komuniti ahli matematik yang lebih luas dapat meneroka dan menggunakan semua yang telah dicapainya. Daripada membetulkan kesilapannya dengan cepat, Wiles hanya menemui kerumitan tambahan dalam bukti teorem terakhir Fermat, dan akhirnya menyedari betapa sukarnya ia.
Wiles menyatakan bahawa pada pagi 19 September 1994, dia hampir berputus asa dan berputus asa, dan hampir menerima bahawa dia telah gagal. Dia sanggup menerbitkan karyanya yang belum selesai supaya orang lain dapat membinanya dan mencari di mana silapnya. Ahli matematik Inggeris memutuskan untuk memberi peluang terakhir kepada dirinya sendiri dan menganalisis teorem untuk kali terakhir untuk cuba memahami sebab utama mengapa pendekatannya tidak berfungsi, apabila dia tiba-tiba menyedari bahawa pendekatan Kolyvagin-Flac tidak akan berfungsi sehingga dia juga memasukkan bukti dalam proses teori Iwasawa, menjadikannya berfungsi.
Pada 6 Oktober, Wiles meminta tiga rakan sekerja (termasuk Faltins) untuk menyemak kerja baharunya, dan pada 24 Oktober 1994, dia menyerahkan dua manuskrip, "Lengkung eliptik modular dan teorem terakhir Fermat" dan "Sifat teori gelang beberapa algebra Hecke ", yang kedua Wiles menulis bersama Taylor dan berhujah bahawa syarat-syarat tertentu yang diperlukan untuk mewajarkan langkah yang diperbetulkan dalam artikel utama telah dipenuhi.
Kedua-dua kertas kerja ini telah disemak dan akhirnya diterbitkan sebagai edisi teks penuh dalam edisi Mei 1995 Annals of Mathematics. Pengiraan baru Andrew telah dianalisis secara meluas dan akhirnya diterima oleh komuniti saintifik. Kerja-kerja ini mewujudkan teorem modulariti untuk lengkung eliptik separa stabil, langkah terakhir ke arah membuktikan Teorem Terakhir Fermat, 358 tahun selepas ia dicipta.
Sejarah Masalah Besar
Menyelesaikan teorem ini telah dianggap sebagai masalah terbesar dalam matematik selama berabad-abad lamanya. Pada tahun 1816 dan sekali lagi pada tahun 1850, Akademi Sains Perancis menawarkan hadiah untuk bukti umum Teorem Terakhir Fermat. Pada tahun 1857, Akademi menganugerahkan 3,000 franc dan pingat emas kepada Kummer untuk penyelidikannya ke dalam nombor ideal, walaupun dia tidak memohon untuk hadiah itu. Hadiah lain ditawarkan kepadanya pada tahun 1883 oleh Akademi Brussels.
Hadiah Wolfskehl
Pada tahun 1908, industrialis Jerman dan ahli matematik amatur Paul Wolfskehl mewariskan 100,000 markah emas (jumlah yang besar untuk masa itu) kepada Akademi Sains Göttingen sebagai hadiah untuk bukti lengkap teorem terakhir Fermat. Pada 27 Jun 1908, Akademi menerbitkan sembilan peraturan anugerah. Antara lain, peraturan ini memerlukan penerbitan bukti dalam jurnal semakan rakan sebaya. Hadiah itu tidak akan diberikan sehingga dua tahun selepas diterbitkan. Pertandingan itu sepatutnya tamat pada 13 September 2007 - kira-kira satu abad selepas ia bermula. Pada 27 Jun 1997, Wiles menerima hadiah wang Wolfschel dan kemudian $50,000 lagi. Pada Mac 2016, beliau menerima €600,000 daripada kerajaan Norway sebagai sebahagian daripada Hadiah Abel untuk "bukti menakjubkan teorem terakhir Fermat menggunakan konjektur modulariti untuk lengkung eliptik separuh stabil, membuka era baharu dalam teori nombor." Ia adalah kejayaan dunia bagi lelaki Inggeris yang rendah hati itu.
Sebelum pembuktian Wiles, teorem Fermat, seperti yang dinyatakan sebelum ini, dianggap sama sekali tidak dapat diselesaikan selama berabad-abad. Beribu-ribu bukti yang tidak betul telah dikemukakan kepada jawatankuasa Wolfskehl pada pelbagai masa, berjumlah kira-kira 10 kaki (3 meter) surat-menyurat. Pada tahun pertama kewujudan hadiah sahaja (1907-1908), 621 permohonan telah dikemukakan untuk menyelesaikan teorem, walaupun pada tahun 1970-an jumlah ini telah menurun kepada kira-kira 3-4 permohonan sebulan. Menurut F. Schlichting, pengulas Wolfschel, kebanyakan bukti adalah berdasarkan kaedah asas yang diajar di sekolah, dan sering dikemukakan oleh "orang yang mempunyai latar belakang teknikal tetapi kerjaya yang tidak berjaya." Menurut ahli sejarah matematik Howard Aves, teorem terakhir Fermat menetapkan sejenis rekod - ia adalah teorem dengan bukti yang paling salah.
Fermat laurel pergi ke Jepun
Seperti yang dinyatakan sebelum ini, sekitar tahun 1955, ahli matematik Jepun Goro Shimura dan Yutaka Taniyama menemui kemungkinan hubungan antara dua cabang matematik yang nampaknya berbeza sepenuhnya - lengkung elips dan bentuk modular. Teorem modulariti yang terhasil (kemudian dikenali sebagai konjektur Taniyama-Shimura) daripada penyelidikan mereka menyatakan bahawa setiap lengkung elips adalah modular, bermakna ia boleh dikaitkan dengan bentuk modular yang unik.
Teori ini pada mulanya ditolak sebagai tidak mungkin atau sangat spekulatif, tetapi diambil lebih serius apabila ahli teori nombor Andre Weyl menemui bukti untuk menyokong penemuan Jepun. Akibatnya, sangkaan itu sering dipanggil sangkaan Taniyama-Shimura-Weil. Ia menjadi sebahagian daripada program Langlands, yang merupakan senarai hipotesis penting yang memerlukan bukti pada masa hadapan.
Walaupun selepas perhatian serius, sangkaan itu diiktiraf oleh ahli matematik moden sebagai amat sukar atau mungkin mustahil untuk dibuktikan. Sekarang teorem inilah yang menunggu Andrew Wiles, yang boleh mengejutkan seluruh dunia dengan penyelesaiannya.
Teorem Fermat: bukti Perelman
Walaupun mitos yang popular, ahli matematik Rusia Grigory Perelman, untuk semua geniusnya, tidak ada kena mengena dengan teorem Fermat. Walau bagaimanapun, ia tidak sedikit pun mengurangkan perkhidmatannya kepada komuniti saintifik.
Pada abad kedua puluh yang lalu, satu peristiwa berlaku yang tidak pernah sama dalam skala dalam matematik sepanjang sejarahnya. Pada 19 September 1994, satu teorem yang dirumuskan oleh Pierre de Fermat (1601-1665) lebih daripada 350 tahun yang lalu pada 1637 telah dibuktikan. Ia juga dikenali sebagai "teorem terakhir Fermat" atau "teorem terakhir Fermat" kerana terdapat juga yang dipanggil "teorem kecil Fermat". Ia telah dibuktikan oleh profesor Universiti Princeton Andrew Wiles yang berusia 41 tahun, yang sehingga tahap ini tidak biasa dalam komuniti matematik dan, mengikut piawaian matematik, tidak lagi muda.
Adalah menghairankan bahawa bukan sahaja penduduk Rusia biasa kita, tetapi juga ramai orang yang berminat dalam sains, termasuk sebilangan besar saintis di Rusia yang menggunakan matematik dalam satu cara atau yang lain, tidak benar-benar mengetahui tentang peristiwa ini. Ini ditunjukkan oleh laporan "sensasi" berterusan tentang "bukti asas" teorem Fermat dalam akhbar popular Rusia dan di televisyen. Bukti terkini telah diliputi dengan kuasa maklumat sedemikian, seolah-olah bukti Wiles, yang telah menjalani pemeriksaan paling berwibawa dan diketahui secara meluas di seluruh dunia, tidak wujud. Reaksi komuniti matematik Rusia terhadap berita muka depan ini dalam konteks bukti yang ketat yang diperolehi sejak dahulu adalah secara mengejutkan lembap. Matlamat kami adalah untuk melakar sejarah bukti Wiles yang menarik dan dramatik dalam konteks sejarah mempesonakan teorem hebat Fermat itu sendiri, dan bercakap sedikit tentang buktinya sendiri. Di sini kami amat berminat dengan persoalan tentang kemungkinan pembentangan bukti Wiles yang boleh diakses, yang, sudah tentu, kebanyakan ahli matematik di dunia tahu, tetapi hanya sangat, sangat sedikit daripada mereka yang boleh bercakap tentang memahami bukti ini.
Jadi, mari kita ingat teorem Fermat yang terkenal. Kebanyakan kita telah mendengar tentangnya dalam satu cara atau yang lain sejak sekolah. Teorem ini berkaitan dengan persamaan yang sangat ketara. Ini mungkin persamaan bermakna paling mudah yang boleh ditulis menggunakan tiga yang tidak diketahui dan satu lagi parameter integer positif.
Inilah dia:
Teorem Terakhir Fermat menyatakan bahawa untuk nilai parameter (darjah persamaan) lebih besar daripada dua, tiada penyelesaian integer kepada persamaan yang diberikan (kecuali, sudah tentu, untuk penyelesaian apabila semua pembolehubah ini sama dengan sifar pada masa yang sama).
Kuasa menarik teorem Fermat untuk orang awam adalah jelas: tidak ada pernyataan matematik lain yang mempunyai kesederhanaan perumusan, kebolehcapaian bukti yang jelas, serta daya tarikan "status"nya di mata masyarakat.
Di samping itu, kemungkinan sifat asas pembuktian sentiasa menarik perhatian, kerana Fermat sendiri "membuktikannya" dengan menulis dalam margin terjemahan Aritmetik Diophantus: "Saya telah menemui bukti yang benar-benar indah tentang ini, tetapi margin di sini terlalu sempit untuk membendungnya.”
Itulah sebabnya adalah wajar di sini untuk memberikan penilaian tentang kaitan mempopularkan bukti Wiles tentang masalah Fermat, yang dimiliki oleh ahli matematik terkenal Amerika R. Murty (kami memetik daripada terjemahan buku yang akan dikeluarkan tidak lama lagi oleh Yu. Manin dan A. Panchishkin “Pengenalan kepada Teori Nombor Moden”):
“Teorem Terakhir Fermat menduduki tempat istimewa dalam sejarah tamadun. Dengan kesederhanaan luarannya, ia sentiasa menarik minat kedua-dua amatur dan profesional... Segala-galanya kelihatan seolah-olah ia diilhamkan oleh beberapa fikiran yang lebih tinggi, yang selama berabad-abad mengembangkan pelbagai jalur pemikiran hanya untuk kemudian menyatukan semula mereka menjadi satu gabungan yang menarik untuk menyelesaikan Great Teorem Fermat. Tiada seorang pun boleh mendakwa sebagai pakar dalam semua idea yang digunakan dalam bukti "keajaiban" ini. Dalam era pengkhususan sejagat, apabila setiap daripada kita mengetahui "lebih dan lebih tentang semakin kurang," adalah sangat perlu untuk mempunyai gambaran keseluruhan tentang karya ini...”
Mari kita mulakan dengan lawatan sejarah ringkas, terutamanya diilhamkan oleh buku Simon Singh yang menarik, Teorem Terakhir Fermat. Keghairahan yang serius sentiasa menggelegak di sekeliling teorem yang berbahaya, memikat dengan kesederhanaannya yang jelas. Sejarah pembuktiannya penuh dengan drama, mistik dan juga mangsa langsung. Mungkin mangsa yang paling ikonik ialah Yutaka Taniyama (1927-1958). Ahli matematik Jepun yang berbakat muda ini, yang dibezakan oleh kemewahan besar dalam kehidupan, yang mencipta asas untuk serangan Wiles pada tahun 1955. Berdasarkan ideanya, Goro Shimura dan Andre Weil beberapa tahun kemudian (60-67) akhirnya merumuskan sangkaan yang terkenal, setelah membuktikan sebahagian besar daripadanya, Wiles memperoleh teorem Fermat sebagai akibat. Kemistisan kisah kematian Yutaka yang tidak remeh dikaitkan dengan perangainya yang ribut: dia menggantung diri pada usia tiga puluh satu kerana cinta yang tidak bahagia.
Seluruh sejarah panjang teorem misteri itu disertai dengan pengumuman berterusan tentang buktinya, bermula dengan Fermat sendiri. Kesilapan berterusan dalam aliran pembuktian yang tidak berkesudahan menimpa bukan sahaja ahli matematik amatur, tetapi juga ahli matematik profesional. Ini membawa kepada fakta bahawa istilah "Fermatist", digunakan untuk mereka yang membuktikan teorem Fermat, menjadi kata nama biasa. Intrik berterusan dengan buktinya kadangkala membawa kepada insiden lucu. Oleh itu, apabila jurang ditemui dalam versi pertama bukti Wiles yang telah dipublikasikan secara meluas, inskripsi berniat jahat muncul di salah satu stesen kereta api bawah tanah New York: "Saya telah menemui bukti yang benar-benar hebat tentang Teorem Terakhir Fermat, tetapi kereta api saya telah tiba. dan saya tidak mempunyai masa untuk menulisnya.”
Andrew Wiles, dilahirkan di England pada tahun 1953, belajar matematik di Cambridge; di sekolah siswazah dia belajar dengan Profesor John Coates. Di bawah bimbingannya, Andrew memahami teori ahli matematik Jepun Iwasawa, yang terletak di sempadan teori nombor klasik dan geometri algebra moden. Percantuman disiplin matematik yang kelihatan jauh ini dipanggil geometri algebra aritmetik. Andrew mencabar masalah Fermat, bergantung tepat pada teori sintetik ini, sukar walaupun untuk ramai ahli matematik profesional.
Selepas menamatkan sekolah siswazah, Wiles menerima jawatan di Universiti Princeton, di mana dia masih bekerja. Dia sudah berkahwin dan mempunyai tiga anak perempuan, dua daripadanya dilahirkan "semasa proses tujuh tahun versi pertama bukti." Pada tahun-tahun ini, hanya Nada, isteri Andrew, yang tahu bahawa dia menyerbu sendirian puncak matematik yang paling tidak boleh diakses dan paling terkenal. Kepada mereka, Nadya, Claire, Kate dan Olivia, artikel akhir Wiles yang terkenal "Keluk eliptik modular dan Teorem Terakhir Fermat" dalam jurnal matematik pusat "Annals of Mathematics" didedikasikan, di mana karya matematik yang paling penting diterbitkan.
Peristiwa-peristiwa itu sendiri di sekeliling bukti berlaku dengan agak dramatik. Senario menarik ini boleh dipanggil "fermatis - ahli matematik profesional".
Sesungguhnya, Andrew bermimpi untuk membuktikan teorem Fermat sejak mudanya. Tetapi, tidak seperti majoriti ahli Fermatis, jelas baginya bahawa untuk ini adalah perlu untuk menguasai keseluruhan lapisan matematik yang paling kompleks. Bergerak ke arah matlamatnya, Andrew lulus dari Fakulti Matematik di Universiti Cambridge yang terkenal dan mula mengkhusus dalam teori nombor moden, yang berada di persimpangan dengan geometri algebra.
Idea untuk menyerbu puncak yang bersinar agak mudah dan asas - peluru terbaik dan pembangunan laluan yang teliti.
Sebagai alat yang berkuasa untuk mencapai matlamat, teori Iwasawa, yang dibangunkan oleh Wiles sendiri dan sudah biasa baginya, yang mempunyai akar sejarah yang mendalam, dipilih. Teori ini menyamaratakan teori Kummer, secara sejarah teori matematik serius pertama yang menyerang masalah Fermat, yang muncul pada abad ke-19. Sebaliknya, akar teori Kummer terletak pada teori terkenal revolusioner romantik legenda dan cemerlang Evariste Galois, yang meninggal dunia pada usia dua puluh satu dalam pertarungan untuk mempertahankan kehormatan seorang gadis (perhatikan, mengingati kisah dengan Taniyama , kepada peranan maut wanita cantik dalam sejarah matematik) .
Wiles benar-benar tenggelam dalam bukti, malah menghentikan penyertaan dalam persidangan saintifik. Dan sebagai hasil daripada pengunduran tujuh tahun dari komuniti matematik di Princeton, pada Mei 1993, Andrew menamatkan teksnya - tugas itu telah selesai.
Pada masa inilah peluang yang sangat baik muncul untuk memberitahu dunia saintifik tentang penemuannya - sudah pada bulan Jun satu persidangan akan diadakan di Cambridge asalnya mengenai topik yang dikehendaki. Tiga kuliah di Institut Cambridge oleh Isaac Newton bukan sahaja mengujakan dunia matematik, tetapi juga orang awam. Pada akhir kuliah ketiga, 23 Jun 1993, Wiles mengumumkan bukti Teorem Terakhir Fermat. Buktinya penuh dengan sekumpulan idea baharu, seperti pendekatan baharu kepada sangkaan Taniyama-Shimura-Weil, teori Iwasawa yang jauh lebih maju, "teori kawalan ubah bentuk" baharu perwakilan Galois. Komuniti matematik tidak sabar-sabar menunggu teks bukti disemak oleh pakar dalam geometri algebra aritmetik.
Di sinilah giliran dramatik datang. Wiles sendiri, dalam proses berkomunikasi dengan pengulas, menemui jurang dalam buktinya. Retak itu disebabkan oleh mekanisme "kawalan ubah bentuk" yang dia sendiri cipta - struktur sokongan bukti.
Jurang itu didedahkan beberapa bulan kemudian oleh penjelasan baris demi baris Wiles tentang buktinya kepada rakan sekerja fakulti Princeton Nick Katz. Nick Katz, yang telah lama menjalin hubungan mesra dengan Andrew, mengesyorkan agar dia bekerjasama dengan ahli matematik Inggeris muda yang menjanjikan Richard Taylor.
Satu lagi tahun kerja keras berlalu, dikaitkan dengan kajian senjata tambahan untuk menyerang masalah yang sukar dikawal - apa yang dipanggil sistem Euler, yang ditemui secara bebas pada tahun 80-an oleh rakan senegara kita Viktor Kolyvagin (sudah lama bekerja di Universiti New York ) dan Thai.
Dan inilah ujian baharu. Belum selesai, tetapi masih sangat mengagumkan, hasil kerja Wiles telah dilaporkan olehnya kepada Kongres Antarabangsa Ahli Matematik di Zurich pada akhir Ogos 1994. Wiles berjuang keras. Secara harfiah sebelum laporan itu, menurut saksi mata, dia sedang tergesa-gesa menulis sesuatu yang lain, cuba memperbaiki keadaan secara maksimum dengan bukti "kendur".
Selepas penonton yang menarik perhatian ahli matematik terkemuka dunia, laporan Wiles, komuniti matematik "menghembus nafas dengan gembira" dan bersimpati bertepuk tangan: tidak mengapa, kawan, tidak kira apa yang berlaku, tetapi dia mempunyai sains yang maju, menunjukkan bahawa dalam menyelesaikan hipotesis yang tidak dapat ditembusi, seseorang boleh berjaya maju, yang belum pernah dilakukan oleh sesiapa pun sebelum ini saya tidak terfikir untuk melakukannya. Seorang lagi ahli Fermatis, Andrew Wiles, tidak dapat menghilangkan impian rahsia ramai ahli matematik tentang membuktikan teorem Fermat.
Wajar untuk membayangkan keadaan Wiles ketika itu. Malah sokongan dan sikap mesra rakan-rakannya tidak dapat mengimbangi keadaan kemusnahan psikologinya.
Oleh itu, hanya sebulan kemudian, apabila, seperti yang ditulis Wiles dalam pengenalan kepada artikel Annals terakhirnya dengan bukti akhir, "Saya memutuskan untuk melihat sekali lagi sistem Eulerian dalam usaha untuk menghidupkan semula hujah ini sebagai bukti," ia berlaku. . Wiles mempunyai sedikit pandangan pada 19 September 1994. Pada hari inilah jurang pembuktian telah ditutup.
Kemudian keadaan bergerak dengan pantas. Sudah menjalin kerjasama dengan Richard Taylor dalam kajian sistem Eulerian Kolyvagin dan Thain membenarkan bukti dimuktamadkan dalam bentuk dua kertas besar pada bulan Oktober.
Penerbitan mereka, yang mengisi keseluruhan isu Annals of Mathematics, diikuti pada November 1994. Semua ini menyebabkan lonjakan maklumat baru yang berkuasa. Kisah pembuktian Wiles menerima akhbar yang bersemangat di Amerika Syarikat, sebuah filem telah dibuat dan buku diterbitkan mengenai pengarang kejayaan hebat dalam matematik. Dalam satu penilaian karyanya sendiri, Wiles menyatakan bahawa dia telah mencipta matematik masa depan.
(Saya tertanya-tanya adakah ini benar? Mari kita ambil perhatian bahawa dengan semua ribut maklumat ini terdapat kontras yang ketara dengan resonans maklumat hampir sifar di Rusia, yang berterusan sehingga hari ini).
Mari kita tanya diri kita sendiri: apakah "dapur dalaman" untuk mendapatkan hasil yang cemerlang? Lagipun, adalah menarik untuk mengetahui bagaimana seorang saintis mengatur kerjanya, apa yang dia fokuskan di dalamnya, dan bagaimana dia menentukan keutamaan aktivitinya. Apa yang boleh dikatakan tentang Andrew Wiles dalam pengertian ini? Dan secara tidak disangka-sangka ternyata dalam era moden komunikasi saintifik aktif dan gaya kerja kolektif, Wiles mempunyai pandangan sendiri tentang gaya menangani masalah super.
Wiles mencapai keputusan hebatnya berdasarkan kerja individu yang intensif, berterusan, bertahun-tahun. Penganjuran aktivitinya, bercakap dalam bahasa rasmi, adalah sangat tidak dirancang. Ini secara mutlak tidak boleh dipanggil aktiviti dalam rangka geran tertentu, yang mana ia perlu melaporkan secara berkala dan, sekali lagi, setiap kali merancang untuk mendapatkan hasil tertentu pada tarikh tertentu.
Aktiviti sedemikian di luar masyarakat, yang tidak melibatkan komunikasi saintifik langsung dengan rakan sekerja walaupun di persidangan, nampaknya bercanggah dengan semua kanun karya seorang saintis moden.
Tetapi kerja individu yang memungkinkan untuk melampaui konsep dan kaedah standard yang telah ditetapkan. Gaya kerja ini, tertutup dalam bentuk dan pada masa yang sama bebas pada dasarnya, memungkinkan untuk mencipta kaedah baru yang berkuasa dan memperoleh hasil tahap yang baru.
Masalah yang dihadapi oleh Wiles (tekaan Taniyama-Shimura-Weil) bukanlah antara puncak yang paling dekat yang boleh ditakluki oleh matematik moden pada tahun-tahun itu. Pada masa yang sama, tiada pakar menafikan kepentingannya yang besar, dan secara nominal ia berada dalam "arus perdana" matematik moden.
Oleh itu, aktiviti Wiles adalah secara jelas bukan sistemik dan hasilnya dicapai berkat motivasi yang kuat, bakat, kebebasan kreatif, kehendak, keadaan material yang lebih baik untuk bekerja di Princeton dan, yang paling penting, persefahaman bersama dalam keluarga.
Bukti Wiles, yang kelihatan seperti bolt dari biru, menjadi sejenis ujian untuk komuniti matematik antarabangsa. Reaksi walaupun sebahagian yang paling progresif dalam komuniti ini secara keseluruhannya ternyata, cukup aneh, agak neutral. Selepas emosi dan kegembiraan kali pertama selepas kemunculan bukti mercu tanda reda, semua orang dengan tenang meneruskan perniagaan mereka. Pakar dalam geometri algebra aritmetik perlahan-lahan mengkaji "bukti kuat" dalam bulatan sempit mereka, manakala selebihnya membajak laluan matematik mereka, menyimpang, seperti sebelumnya, lebih jauh dari satu sama lain.
Mari cuba memahami situasi ini, yang mempunyai sebab objektif dan subjektif. Faktor objektif bukan persepsi, anehnya, mempunyai akar dalam struktur organisasi aktiviti saintifik moden. Aktiviti ini seperti gelanggang luncur yang menuruni jalan yang landai dan mempunyai inersia yang sangat besar: sekolahnya sendiri, keutamaannya sendiri yang ditetapkan, sumber pembiayaannya sendiri, dsb. Semua ini adalah baik dari sudut pandangan sistem pelaporan yang mantap kepada pemberi geran, tetapi ia menyukarkan untuk mengangkat kepala anda dan melihat sekeliling: apa yang sebenarnya penting dan relevan untuk sains dan masyarakat, dan bukan untuk bahagian seterusnya geran?
Kemudian - sekali lagi - anda tidak mahu keluar dari lubang selesa anda, di mana segala-galanya sangat biasa, dan memanjat ke lubang lain yang sama sekali tidak dikenali. Tidak diketahui apa yang diharapkan di sana. Lebih-lebih lagi, jelas sekali bahawa mereka tidak memberikan wang untuk pencerobohan.
Adalah wajar bahawa tiada satu pun struktur birokrasi yang menganjurkan sains di negara yang berbeza, termasuk Rusia, telah membuat kesimpulan bukan sahaja dari fenomena pembuktian Andrew Wiles, tetapi juga dari fenomena serupa, bukti sensasi Grigory Perelman yang lain, juga matematik yang terkenal. masalah.
Faktor subjektif neutraliti reaksi dunia matematik terhadap "peristiwa milenium" terletak pada alasan yang agak prosaik. Buktinya memang luar biasa rumit dan panjang. Bagi seorang bukan pakar dalam geometri algebra aritmetik, ia nampaknya terdiri daripada lapisan terminologi dan pembinaan disiplin matematik yang paling abstrak. Nampaknya penulis tidak sama sekali menetapkan matlamat untuk dia difahami oleh seramai mungkin ahli matematik yang berminat.
Kerumitan metodologi ini, malangnya, hadir sebagai kos yang tidak dapat dielakkan untuk bukti hebat zaman kebelakangan ini (contohnya, analisis bukti baru-baru ini Grigory Perelman mengenai tekaan Poincaré berterusan hingga ke hari ini).
Kerumitan persepsi dipertingkatkan lagi dengan fakta bahawa geometri algebra aritmetik adalah subbidang matematik yang sangat eksotik, menyebabkan kesukaran walaupun untuk ahli matematik profesional. Perkara itu juga diburukkan oleh sifat sintetik luar biasa pembuktian Wiles, yang menggunakan pelbagai alat moden yang dicipta oleh sebilangan besar ahli matematik dalam beberapa tahun kebelakangan ini.
Tetapi kita mesti mengambil kira bahawa Wiles tidak berhadapan dengan tugas metodologi penerangan - dia sedang membina kaedah baru. Apa yang berkesan dalam kaedah ini ialah sintesis idea-idea cemerlang Wiles sendiri dan konglomerat hasil terkini daripada pelbagai arah matematik. Dan struktur yang begitu kuat itulah yang merempuh masalah yang tidak dapat ditembusi. Buktinya bukan kemalangan. Fakta penghablurannya sepenuhnya konsisten dengan kedua-dua logik perkembangan sains dan logik pengetahuan. Tugas untuk menjelaskan bukti super sedemikian nampaknya merupakan masalah yang bebas, sangat sukar, walaupun sangat menjanjikan.
Anda boleh menguji sendiri pendapat umum. Cuba tanya soalan kepada ahli matematik yang anda tahu tentang bukti Wiles: siapa yang faham? Siapa yang memahami sekurang-kurangnya idea asas? Siapa yang mahu faham? Siapa yang merasakan bahawa ini adalah matematik baru? Jawapan kepada soalan-soalan ini kelihatan retorik. Dan anda tidak mungkin bertemu dengan ramai orang yang ingin menembusi palisade istilah khas dan menguasai konsep dan kaedah baharu untuk menyelesaikan hanya satu persamaan yang sangat eksotik. Dan mengapa perlu mengkaji semua ini demi tugas tertentu ini?!
Biar saya berikan anda satu contoh yang lucu. Beberapa tahun yang lalu, ahli matematik Perancis terkenal, pemenang Fields, Pierre Deligne, pakar terkemuka dalam geometri algebra dan teori nombor, apabila ditanya oleh pengarang tentang maksud salah satu objek utama bukti Wiles - apa yang dipanggil " cincin ubah bentuk" - selepas setengah jam refleksi, mengatakan bahawa ia tidak memahami sepenuhnya maksud objek ini. Sepuluh tahun telah berlalu sejak bukti pada ketika ini.
Sekarang kita boleh menghasilkan semula reaksi ahli matematik Rusia. Reaksi utama adalah ketiadaannya yang hampir lengkap. Ini disebabkan terutamanya oleh matematik "berat" dan "luar biasa" Wiles.
Sebagai contoh, dalam teori nombor klasik anda tidak akan menemui bukti yang panjang seperti Wiles. Seperti yang dikatakan oleh ahli teori nombor, "buktinya hendaklah sepanjang halaman" (bukti Wiles dengan kerjasama Taylor dalam versi jurnal mengambil 120 halaman).
Anda juga tidak boleh mengecualikan faktor ketakutan untuk tidak profesionalisme penilaian anda: dengan bertindak balas, anda bertanggungjawab untuk menilai bukti. Bagaimana untuk melakukan ini apabila anda tidak tahu matematik ini?
Kedudukan yang diambil oleh pakar langsung dalam teori nombor adalah ciri: "... dan kagum, dan minat yang membara, dan berhati-hati dalam menghadapi salah satu misteri terbesar dalam sejarah matematik" (dari kata pengantar kepada buku oleh Paulo Ribenboim "Teorem Terakhir Fermat untuk Amatur" - satu-satunya yang tersedia hari ini kepada sumber terus dari bukti Wiles untuk pembaca umum.
Reaksi salah seorang ahli matematik Rusia moden yang paling terkenal, Ahli Akademik V.I. Arnold "skeptikal secara aktif" tentang bukti: ini bukan matematik sebenar - matematik sebenar adalah geometri dan mempunyai hubungan yang kuat dengan fizik. Lebih-lebih lagi, masalah Fermat itu sendiri, dengan sifatnya, tidak dapat menjana perkembangan matematik, kerana ia adalah "perduaan", iaitu, perumusan masalah memerlukan jawapan hanya kepada soalan "ya atau tidak". Pada masa yang sama, karya matematik V.I sendiri dalam beberapa tahun kebelakangan ini. Kerja-kerja Arnold ternyata banyak menumpukan kepada variasi pada topik teori nombor yang hampir sama. Ada kemungkinan bahawa Wiles, secara paradoks, menjadi punca tidak langsung aktiviti ini.
Di Fakulti Mekanik dan Matematik Universiti Negeri Moscow, bagaimanapun, peminat bukti muncul. Seorang ahli matematik yang luar biasa dan saintis popular Yu.P. Soloviev (tidak tepat pada masanya meninggalkan kami) memulakan terjemahan buku E. Knapp mengenai lengkung elips dengan bahan yang diperlukan pada tekaan Taniyama-Shimura-Weil. Alexey Panchishkin, kini bekerja di Perancis, memberikan kuliah di Fakulti Mekanik dan Matematik pada tahun 2001, yang menjadi asas untuk bahagian yang sepadan dengan Yu.I. Manin buku cemerlang mengenai teori nombor moden yang disebutkan di atas (diterbitkan dalam terjemahan Rusia oleh Sergei Gorchinsky dengan penyuntingan oleh Alexei Parshin pada tahun 2007).
Agak mengejutkan bahawa di Institut Matematik Moscow Steklov - pusat dunia matematik Rusia - bukti Wiles tidak dibincangkan dalam seminar, tetapi hanya dikaji oleh pakar khusus individu. Selain itu, bukti sangkaan Taniyama-Shimura-Weil yang sudah lengkap tidak difahami (Wiles hanya membuktikan bahagiannya, cukup untuk membuktikan teorem Fermat). Bukti ini diberikan pada tahun 2000 oleh seluruh pasukan ahli matematik asing, termasuk Richard Taylor, pengarang bersama Wiles pada peringkat akhir pembuktian teorem Fermat.
Juga tiada kenyataan umum, apalagi perbincangan, di pihak ahli matematik terkenal Rusia mengenai bukti Wiles. Terdapat perbincangan yang agak tajam antara Rusia V. Arnold ("skeptis kaedah pembuktian") dan Amerika S. Lang ("penggemar kaedah pembuktian"), bagaimanapun, jejaknya hilang di Barat. penerbitan. Dalam akhbar matematik pusat Rusia, sepanjang masa yang telah berlalu sejak penerbitan bukti Wiles, tidak ada penerbitan mengenai topik bukti. Mungkin satu-satunya penerbitan mengenai topik ini ialah terjemahan artikel oleh ahli matematik Kanada Henry Darmon, malah versi bukti yang tidak lengkap, dalam Advances in Mathematical Sciences pada tahun 1995 (lucunya bukti lengkap telah pun diterbitkan).
Terhadap latar belakang matematik yang "mengantuk" ini, walaupun bukti Wiles yang sangat abstrak, beberapa ahli fizik teori yang berani memasukkannya ke dalam bidang minat mereka yang berpotensi dan mula mengkajinya, dengan harapan lambat laun akan menemui aplikasi matematik Wiles. Ini tidak boleh tidak tetapi bergembira, jika hanya kerana matematik ini secara praktikal dalam pengasingan diri selama ini.
Walau bagaimanapun, masalah penyesuaian bukti, yang sangat memburukkan potensi penggunaannya, kekal dan kekal sangat relevan. Hari ini, teks asal artikel Wiles yang sangat khusus dan kertas kerja bersama Wiles dan Taylor telah pun disesuaikan, walaupun hanya untuk kalangan ahli matematik profesional yang agak sempit. Ini dilakukan dalam buku yang disebutkan oleh Yu Manin dan A. Panchishkin. Mereka berjaya melicinkan kepalsuan tertentu bukti asal. Di samping itu, ahli matematik Amerika Serge Lang, seorang penganjur yang gigih untuk pembuktian Wiles (yang malangnya meninggal dunia pada September 2005), memasukkan beberapa pembinaan bukti yang paling penting dalam edisi ketiga buku teks universiti klasiknya yang kini Algebra.
Sebagai contoh keaslian bukti asal, kami perhatikan bahawa salah satu ciri yang sangat menarik yang mencipta kesan ini ialah peranan istimewa nombor perdana individu seperti 2, 3, 5, 11, 17, serta nombor asli individu. seperti 15, 30 dan 60. Antara lain, agak jelas bahawa buktinya bukanlah geometri dalam erti kata yang paling biasa. Ia tidak mengandungi imej geometri semula jadi yang boleh dilampirkan untuk pemahaman yang lebih baik tentang teks. Algebra abstrak "terminologi" yang sangat berkuasa dan teori nombor "maju" semata-mata secara psikologi melemahkan keupayaan untuk melihat bukti walaupun untuk pembaca matematik yang berkelayakan.
Seseorang hanya boleh tertanya-tanya mengapa, dalam situasi sedemikian, pakar bukti, termasuk Wiles sendiri, tidak "menggilap"nya, tidak mempromosikan dan mempopularkan "hitmat matematik" yang jelas walaupun dalam komuniti matematik asal mereka.
Jadi, secara ringkasnya, hari ini fakta pembuktian Wiles hanyalah fakta pembuktian teorem Fermat dengan status pembuktian betul pertama dan "sejenis matematik yang sangat berkuasa" yang digunakan di dalamnya.
Ahli matematik Rusia yang terkenal pada pertengahan abad yang lalu, bekas dekan Fakulti Mekanik dan Matematik, V.V., bercakap dengan jelas tentang matematik yang berkuasa, tetapi belum digunakan. Golubev:
“... menurut kenyataan lucu F. Klein, banyak jabatan matematik adalah serupa dengan pameran model senjata terkini yang wujud di syarikat yang mengeluarkan senjata; dengan semua kecerdasan yang dimasukkan oleh pencipta, ia sering berlaku bahawa apabila perang sebenar bermula, produk baru ini ternyata tidak dapat digunakan untuk satu sebab atau yang lain... Pengajaran matematik moden memberikan gambaran yang sama; pelajar diberikan kaedah penyelidikan matematik yang sangat maju dan berkuasa ke dalam tangan mereka..., tetapi pelajar tidak dapat mengetahui di mana dan bagaimana kaedah yang berkuasa dan bijak ini boleh digunakan dalam menyelesaikan tugas utama semua sains: dalam memahami dunia di sekeliling kita dan dalam mempengaruhinya adalah kehendak kreatif manusia. Pada suatu ketika A.P. Chekhov berkata bahawa jika dalam aksi pertama drama terdapat pistol tergantung di atas pentas, maka perlu sekurang-kurangnya dalam aksi ketiga ia dilepaskan. Kenyataan ini terpakai sepenuhnya untuk pengajaran matematik: jika mana-mana teori dikemukakan kepada pelajar, maka adalah perlu untuk menunjukkan lambat laun aplikasi yang boleh dibuat daripada teori ini, terutamanya dalam bidang mekanik, fizik atau teknologi dan dalam bidang lain. kawasan.”
Meneruskan analogi ini, kita boleh mengatakan bahawa bukti Wiles mewakili bahan yang sangat baik untuk mengkaji lapisan besar matematik asas moden. Di sini pelajar dapat ditunjukkan bagaimana masalah teori nombor klasik berkait rapat dengan cabang-cabang matematik tulen seperti teori nombor algebra moden, teori Galois moden, matematik p-adic, geometri algebra aritmetik, algebra komutatif dan bukan komutatif.
Adalah adil jika keyakinan Wiles bahawa matematik yang diciptanya—matematik tahap baharu—disahkan. Dan saya benar-benar tidak mahu matematik yang sangat cantik dan sintetik ini mengalami nasib "senjata tidak ditembak."
Namun, sekarang mari kita tanya soalan: adakah mungkin untuk menerangkan bukti Wiles dalam istilah yang cukup boleh diakses untuk khalayak yang berminat?
Dari sudut pandangan pakar, ini adalah utopia mutlak. Tetapi mari kita cuba, berpandukan pertimbangan mudah bahawa teorem Fermat ialah pernyataan hanya tentang titik integer ruang Euclidean tiga dimensi biasa kita.
Kami akan menggantikan titik secara berurutan dengan koordinat integer ke dalam persamaan Fermat.
Wiles menemui mekanisme optimum untuk mengira semula titik integer dan mengujinya untuk memenuhi persamaan teorem Fermat (selepas memperkenalkan takrifan yang diperlukan, pengiraan semula sedemikian tepat akan sepadan dengan apa yang dipanggil "sifat kemodularan lengkung eliptik di atas bidang nombor rasional" , digambarkan oleh sangkaan Taniyama-Shimura-Weil).
Mekanisme pengiraan semula dioptimumkan dengan bantuan penemuan yang luar biasa oleh ahli matematik Jerman Gerhard Frey, yang menghubungkan penyelesaian berpotensi persamaan Fermat dengan eksponen sewenang-wenangnya dengan persamaan lain yang sama sekali berbeza. Persamaan baru ini diberikan oleh lengkung khas (dipanggil lengkung elips Frey). Keluk Frey ini diberikan oleh persamaan yang sangat mudah:
Kejutan idea Frey adalah peralihan daripada sifat teori nombor masalah kepada aspek geometri "tersembunyi". Iaitu: Frey dikaitkan dengan setiap penyelesaian persamaan Fermat, iaitu nombor yang memuaskan hubungan
lengkung di atas. Kini ia tetap menunjukkan bahawa lengkung tersebut tidak wujud untuk .
Ciptaan Frey pada masa "permulaan" Wiles agak segar (85) dan juga menggemakan pendekatan yang agak baru-baru ini ahli matematik Perancis Helleguarch (70-an), yang mencadangkan menggunakan lengkung elips untuk mencari penyelesaian kepada persamaan Diophantine, i.e. persamaan yang serupa dengan persamaan Fermat.
Sekarang mari kita cuba melihat keluk Frey dari sudut pandangan yang berbeza, iaitu, sebagai alat untuk mengira semula titik integer dalam ruang Euclidean. Dengan kata lain, lengkung Frey kami akan memainkan peranan sebagai formula yang menentukan algoritma untuk pengiraan semula sedemikian.
Dalam konteks ini, kita boleh mengatakan bahawa Wiles mencipta alat (binaan algebra khas) untuk mengawal pengiraan semula ini. Sebenarnya, kit alat Wiles yang halus ini merupakan teras pusat dan kerumitan utama pembuktian. Dalam pembuatan instrumen inilah penemuan algebra utama Wiles yang sofistikated, yang begitu sukar untuk difahami, timbul.
Namun, kesan bukti yang paling tidak dijangka, mungkin, adalah kecukupan menggunakan hanya satu lengkung "Freevian", yang diwakili oleh pergantungan yang sangat mudah, hampir "sekolah".
Yang menghairankan, menggunakan hanya satu lengkung sedemikian sudah memadai untuk menguji semua titik dalam ruang Euclidean tiga dimensi dengan koordinat integer untuk melihat sama ada ia memenuhi Teorem Terakhir Fermat dengan eksponen sewenang-wenangnya.
Dalam erti kata lain, menggunakan hanya satu lengkung (walaupun ia mempunyai bentuk tertentu), boleh difahami oleh pelajar sekolah menengah biasa, ternyata setara dengan membina algoritma (program) untuk pengiraan semula berurutan bagi titik keseluruhan ruang tiga dimensi biasa. Dan bukan sahaja pengiraan semula, tetapi pengiraan semula dengan ujian serentak bagi keseluruhan titik untuk "kepuasannya" dengan persamaan Fermat.
Di sinilah hantu Pierre de Fermat sendiri timbul, kerana dengan pengiraan semula apa yang biasanya dipanggil "keturunan Fermat" Fermat, atau pengurangan (atau "kaedah keturunan tak terhingga") menjadi hidup.
Dalam konteks ini, ia segera menjadi jelas mengapa Fermat sendiri tidak dapat membuktikan teoremnya atas sebab objektif, walaupun dia dapat "melihat" idea geometri buktinya.
Perkara yang paling penting di sini ialah alat ini adalah "minimum", i.e. mereka tidak boleh dipermudahkan. Walaupun "minimalisme" ini dengan sendirinya sangat sukar. Dan kesedaran Wiles tentang "minima" yang tidak remeh ini yang menjadi langkah terakhir pembuktian yang menentukan. Ini betul-betul "wabak" pada 19 September 1994.
Beberapa masalah yang menyebabkan rasa tidak puas hati masih kekal di sini - Wiles tidak menerangkan secara jelas pembinaan minimum ini. Oleh itu, mereka yang berminat dengan masalah Fermat masih mempunyai kerja yang menarik untuk dilakukan - tafsiran yang jelas tentang "minima" ini diperlukan.
Ada kemungkinan bahawa di sinilah geometri pembuktian "algebra" harus disembunyikan. Ada kemungkinan bahawa geometri inilah yang dirasai sendiri oleh Fermat apabila dia membuat entri yang terkenal dalam margin sempit risalahnya: "Saya telah menemui bukti yang benar-benar luar biasa ...".
Sekarang mari kita beralih terus ke eksperimen maya dan cuba "menggali" pemikiran ahli matematik-peguam Pierre de Fermat.
Imej geometri apa yang dipanggil teorem kecil Fermat boleh diwakili sebagai bulatan yang bergolek "tanpa tergelincir" di sepanjang garis lurus dan "berliku" titik keseluruhan di sekelilingnya. Persamaan teorem kecil Fermat dalam tafsiran ini juga menerima makna fizikal - makna undang-undang pemuliharaan gerakan sedemikian dalam masa diskret satu dimensi.
Anda boleh cuba memindahkan imej geometri dan fizikal ini kepada situasi apabila dimensi masalah (bilangan pembolehubah dalam persamaan) meningkat dan persamaan teorem kecil Fermat berubah menjadi persamaan teorem besar Fermat. Iaitu: mari kita anggap bahawa geometri teorem terakhir Fermat diwakili oleh sfera yang bergolek di sepanjang satah dan "menggulung" keseluruhan titik pada satah ini mengelilingi dirinya. Adalah penting bahawa rolling ini tidak boleh sewenang-wenangnya, tetapi "berkala" (ahli matematik juga mengatakan "siklotomik"). Keberkalaan bergolek bermaksud bahawa vektor halaju linear dan sudut bagi sfera yang bergolek dengan cara yang paling umum selepas masa tertentu (tempoh) diulang dalam magnitud dan arah. Berkala ini adalah serupa dengan berkala kelajuan linear melancarkan bulatan sepanjang garis lurus, memodelkan persamaan Fermat "kecil".
Sehubungan itu, persamaan Fermat "besar" mengambil maksud undang-undang pemuliharaan gerakan sfera yang disebutkan di atas sudah dalam masa diskret dua dimensi. Sekarang mari kita ambil pepenjuru masa dua dimensi ini (dalam langkah inilah semua kesukaran terletak!). Ini sangat rumit dan ternyata satu-satunya pepenjuru ialah persamaan Teorem Terakhir Fermat, apabila eksponen persamaan itu betul-betul dua.
Adalah penting untuk diperhatikan bahawa dalam situasi satu dimensi - situasi teorem kecil Fermat - tidak perlu mencari pepenjuru seperti itu, kerana masa adalah satu dimensi dan tidak ada sebab untuk mengambil pepenjuru. Oleh itu, darjah pembolehubah dalam persamaan teorem kecil Fermat boleh menjadi sewenang-wenangnya.
Jadi, secara tidak disangka-sangka, kita mendapat jambatan kepada "fisikalisasi" teorem hebat Fermat, iaitu, kepada penampilan makna fizikalnya. Bagaimana mungkin seseorang tidak ingat bahawa Fermat bukanlah orang asing dalam fizik.
Dengan cara ini, pengalaman fizik juga menunjukkan bahawa undang-undang pemuliharaan sistem mekanikal jenis di atas adalah kuadratik dalam pembolehubah fizikal masalah. Dan akhirnya, semua ini agak konsisten dengan struktur kuadratik undang-undang pemuliharaan tenaga mekanik Newtonian, yang diketahui dari sekolah.
Dari sudut pandangan tafsiran "fizikal" di atas teorem terakhir Fermat, sifat "minima" sepadan dengan minima tahap undang-undang pemuliharaan (ini adalah dua). Dan pengurangan Fermat dan Wiles sepadan dengan pengurangan undang-undang pemuliharaan pengiraan semula titik kepada undang-undang dalam bentuk termudah. Pengiraan semula yang paling mudah (minimum dalam kerumitan), secara geometri dan algebra, diwakili oleh guling sfera pada satah, kerana sfera dan satah adalah "minimum", seperti yang kita fahami sepenuhnya, objek geometri dua dimensi.
Keseluruhan kerumitan, yang pada pandangan pertama hilang, terletak pada fakta bahawa penerangan yang tepat tentang gerakan sfera yang kelihatan "mudah" itu tidak mudah sama sekali. Hakikatnya ialah guling "berkala" sfera "menyerap" sekumpulan simetri "tersembunyi" ruang tiga dimensi kita. Simetri tersembunyi ini disebabkan oleh gabungan bukan remeh (komposisi) gerakan linear dan sudut sfera - lihat Rajah 1.
 |
Ia adalah untuk huraian tepat simetri tersembunyi ini, yang dikodkan secara geometri oleh gelek sfera yang begitu rumit (titik dengan koordinat integer "duduk" pada nod kekisi yang dilukis), pembinaan algebra Wiles diperlukan.
Dalam tafsiran geometri yang ditunjukkan dalam Rajah 1, pergerakan linear pusat sfera "mengira" titik keseluruhan pada satah, dan pergerakan sudut (atau putaran) menyediakan komponen spatial (atau menegak) pengiraan semula. Pergerakan putaran sfera tidak boleh "dilihat" dengan serta-merta dalam penggelek sewenang-wenangnya di sepanjang satah. Ia adalah gerakan putaran yang sepadan dengan simetri tersembunyi ruang Euclidean yang disebutkan di atas.
Lengkung Frey yang diperkenalkan di atas dengan tepat "mengekodkan" pengiraan semula yang paling estetik bagi keseluruhan titik di angkasa, mengingatkan pergerakan di sepanjang tangga lingkaran. Sesungguhnya, jika anda mengikut lengkung bahawa titik tertentu pada sfera menyapu dalam satu tempoh, anda akan mendapati bahawa titik bertanda kami menyapu lengkung yang ditunjukkan dalam Rajah. 2, menyerupai "sinusoid spatial berganda" - analog spatial graf. Lengkung yang indah ini boleh ditafsirkan sebagai plot "minimum" lengkung (iaitu) Frey. Ini adalah jadual pengiraan semula ujian kami.
Setelah menghubungkan beberapa persepsi bersekutu tentang gambar ini, yang mengejutkan kami akan mendapati bahawa permukaan yang dihadkan oleh lengkung kami sangat mirip dengan permukaan molekul DNA - "bata penjuru" biologi! Mungkin bukan kebetulan bahawa terminologi untuk binaan pengekodan DNA daripada bukti Wiles digunakan dalam buku Singh Fermat's Last Theorem.
Mari kita tekankan sekali lagi bahawa titik penentu dalam tafsiran kita ialah fakta bahawa analog undang-undang pemuliharaan untuk teorem kecil Fermat (darjahnya boleh sewenang-wenangnya besar) ternyata menjadi persamaan Teorem Besar Fermat tepat dalam kes itu.
 |
Kesan "minima tahap undang-undang pemuliharaan untuk penggelekkan sfera pada satah" yang sepadan dengan pernyataan Teorem Terakhir Fermat.
Sekarang mari kita bina jambatan kepada fizik moden. Imej geometri bukti Wiles yang dicadangkan di sini adalah sangat dekat dengan geometri fizik moden, yang cuba mendapatkan misteri sifat graviti - teori relativiti umum kuantum. Untuk mengesahkan ini, pada pandangan pertama yang tidak dijangka, interaksi antara Teorem Terakhir Fermat dan Fizik Besar, mari kita bayangkan bahawa sfera bergolek adalah besar dan "menolak" satah di bawahnya. Tafsiran "menolak" ini dalam Rajah. 3 sangat mengingatkan tafsiran geometri yang terkenal tentang teori relativiti umum Einstein, yang menerangkan dengan tepat "geometri graviti."
Dan jika kita juga mengambil kira pendiskretan gambar kita sekarang, yang dijelmakan oleh kekisi integer diskret pada satah, maka kita sebenarnya memerhatikan "graviti kuantum" dengan mata kita sendiri!
 |
Pada nota fiziko-matematik "penyatuan" utama inilah kami akan menamatkan percubaan "kavaleri" kami untuk memberikan tafsiran visual tentang bukti "super-abstrak" Wiles.
Sekarang, mungkin, perlu ditekankan bahawa dalam apa jua keadaan, walau apa pun bukti teorem Fermat yang betul, ia mesti dalam satu cara atau yang lain menggunakan pembinaan dan logik pembuktian Wiles. Adalah mustahil untuk memintas semua ini kerana "harta minimum" yang disebutkan dari alat matematik Wiles yang digunakan untuk pembuktian. Dalam tafsiran "geometrik-dinamik" kami tentang bukti ini, "sifat minimum" ini menyediakan "syarat minimum yang diperlukan" untuk pembinaan algoritma ujian yang betul (iaitu, "konvergen").
Di satu pihak, ini adalah kekecewaan besar bagi petani amatur (jika, sudah tentu, mereka mengetahui tentangnya; seperti yang mereka katakan, "semakin kurang anda tahu, lebih baik anda tidur"). Sebaliknya, "ketidaksederhanaan" pembuktian Wiles secara rasmi menjadikan kehidupan lebih mudah bagi ahli matematik profesional - mereka mungkin tidak membaca bukti "elemen" yang muncul secara berkala daripada matematik amatur, memetik kekurangan surat-menyurat dengan bukti Wiles.
Kesimpulan umum ialah kedua-duanya perlu "menegangkan" dan memahami bukti "biadab" ini, pada dasarnya memahami "semua matematik."
Apa lagi yang penting untuk tidak ketinggalan apabila merumuskan keseluruhan cerita unik yang telah kita saksikan ini? Kekuatan pembuktian Wiles ialah ia bukan sekadar hujah logik formal, tetapi mewakili kaedah yang luas dan berkuasa. Penciptaan ini bukan alat yang berasingan untuk membuktikan satu hasil tunggal, tetapi satu set alat yang dipilih dengan baik yang membolehkan anda "memecahkan" pelbagai masalah. Ia juga pada asasnya penting bahawa apabila kita melihat ke bawah dari ketinggian pencakar langit pada bukti Wiles, kita akan melihat semua matematik sebelumnya. Yang menyedihkan adalah bahawa ia tidak akan menjadi "patchwork", tetapi penglihatan panoramik. Semua ini bercakap bukan sahaja tentang saintifik, tetapi juga tentang kesinambungan metodologi bukti yang benar-benar ajaib ini. Yang tinggal hanyalah "tiada apa-apa" - fahami sahaja dan belajar menerapkannya.
Saya tertanya-tanya apa yang wira kontemporari kita Wiles lakukan hari ini? Tiada berita istimewa tentang Andrew. Dia, secara semula jadi, menerima pelbagai anugerah dan hadiah, termasuk Hadiah Wolfskehl Jerman yang terkenal, yang telah disusut nilai semasa perang saudara pertama. Sepanjang masa yang telah berlalu dari kejayaan bukti masalah Fermat hingga ke hari ini, saya berjaya melihat hanya satu, walaupun seperti biasa besar, artikel dalam "Annals" yang sama (dikarang bersama Skinner). Mungkin Andrew bersembunyi lagi untuk menjangkakan kejayaan matematik baru, sebagai contoh, apa yang dipanggil "abc" tekaan - baru-baru ini dirumuskan (oleh Masser dan Oesterle pada tahun 1986) dan dianggap sebagai masalah paling penting dalam teori nombor hari ini (ia adalah " masalah abad ini” dalam kata-kata Serge Lang ).
Lebih banyak maklumat tentang pengarang bersama Wiles pada bahagian akhir bukti, Richard Taylor. Beliau adalah salah seorang daripada empat pengarang bukti tekaan penuh Taniyama-Shmura-Weil dan merupakan pesaing kuat untuk Fields Medal pada Kongres Matematik Cina 2002. Walau bagaimanapun, dia tidak menerimanya (kemudian hanya dua ahli matematik menerimanya - ahli matematik Rusia dari Princeton Vladimir Voevodsky "untuk teori motif" dan orang Perancis Laurent Laforgue "untuk bahagian penting program Langlands"). Taylor menerbitkan sejumlah besar karya yang luar biasa pada masa ini. Dan baru-baru ini, Richard mencapai kejayaan besar baru - dia membuktikan tekaan yang sangat terkenal - sangkaan Tate-Saito, juga berkaitan dengan geometri algebra aritmetik dan generalisasi keputusan Jerman. Ahli matematik abad ke-19 G. Frobenius dan ahli matematik Rusia abad ke-20 N. Chebotarev.
Akhirnya kita bermimpi sedikit. Mungkin masanya akan tiba apabila kursus matematik di universiti, malah di sekolah, akan disesuaikan dengan kaedah pembuktian Wiles. Ini bermakna Teorem Terakhir Fermat akan menjadi bukan sahaja model masalah matematik, tetapi juga model metodologi untuk mengajar matematik. Menggunakan contoh beliau, ia akan menjadi mungkin untuk mengkaji, sebenarnya, semua cabang utama matematik. Lebih-lebih lagi, fizik masa depan, dan mungkin juga biologi dan ekonomi, akan mula bergantung pada alat matematik ini. Bagaimana jika?
Nampaknya langkah pertama ke arah ini telah pun diambil. Ini dibuktikan, sebagai contoh, oleh fakta bahawa ahli matematik Amerika Serge Lang memasukkan pembinaan utama bukti Wiles dalam edisi ketiga manual klasiknya mengenai algebra. Orang Rusia Yuri Manin dan Alexey Panchishkin pergi lebih jauh lagi dalam edisi baharu “Teori Nombor Moden” mereka yang disebutkan di atas, menyatakan secara terperinci bukti itu sendiri dalam konteks matematik moden.
Dan bagaimana seseorang tidak boleh berseru sekarang: Teorem hebat Fermat adalah "mati" - hidup kaedah Wiles!