Silinder (berasal daripada bahasa Yunani, daripada perkataan "roller", "roller") ialah badan geometri yang dihadkan di luar oleh permukaan yang dipanggil silinder dan dua satah. Satah ini bersilang dengan permukaan rajah dan selari antara satu sama lain.
Permukaan silinder ialah permukaan yang dibentuk oleh garis lurus dalam ruang. Pergerakan ini sedemikian rupa sehingga titik yang dipilih bagi garis lurus ini bergerak di sepanjang lengkung jenis satah. Garis lurus sedemikian dipanggil penjana, dan garis melengkung dipanggil panduan.
Silinder terdiri daripada sepasang tapak dan permukaan silinder sisi. Terdapat beberapa jenis silinder:
1. Pekeliling, silinder lurus. Silinder sedemikian mempunyai tapak dan panduan berserenjang dengan garis penjanaan, dan ada
2. Silinder condong. Sudutnya antara garis penjanaan dan tapaknya tidak lurus.
3. Silinder yang berbeza bentuk. Hiperbolik, elips, parabola dan lain-lain.
Luas silinder, serta jumlah luas permukaan mana-mana silinder, didapati dengan menambah luas tapak rajah ini dan luas permukaan sisi.
Formula untuk mengira jumlah luas silinder untuk silinder bulat dan lurus:
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).
Luas permukaan sisi didapati sedikit lebih rumit daripada luas keseluruhan silinder ia dikira dengan mendarab panjang garisan generatrik dengan perimeter bahagian yang dibentuk oleh satah yang berserenjang; kepada baris generatrix.
Silinder yang diberikan untuk silinder bulat dan lurus dikenali melalui pembangunan objek ini.
Perkembangan ialah segi empat tepat yang mempunyai ketinggian h dan panjang P, yang sama dengan perimeter tapak.
Ia berikutan bahawa kawasan sisi silinder adalah sama dengan kawasan sapuan dan boleh dikira menggunakan formula ini:
Jika kita mengambil silinder bulat dan lurus, maka untuknya:
P = 2p R, dan Sb = 2p Rh.
Sekiranya silinder condong, maka luas permukaan sisi hendaklah sama dengan hasil panjang garis penjanaannya dan perimeter bahagian, yang berserenjang dengan garis penjanaan ini.
Malangnya, tiada formula mudah untuk menyatakan luas permukaan sisi silinder condong dari segi ketinggian dan parameter tapaknya.
Untuk mengira silinder, anda perlu mengetahui beberapa fakta. Jika bahagian dengan satahnya bersilang dengan tapak, maka bahagian tersebut sentiasa segi empat tepat. Tetapi segi empat tepat ini akan berbeza, bergantung pada kedudukan bahagian tersebut. Salah satu sisi bahagian paksi rajah, yang berserenjang dengan tapak, adalah sama dengan ketinggian, dan satu lagi adalah sama dengan diameter tapak silinder. Dan luas bahagian sedemikian, dengan itu, adalah sama dengan hasil darab satu sisi segi empat tepat dengan sisi yang lain, berserenjang dengan yang pertama, atau hasil darab ketinggian angka tertentu dan diameter tapaknya.
Sekiranya bahagian itu berserenjang dengan tapak rajah, tetapi tidak melalui paksi putaran, maka luas bahagian ini akan sama dengan hasil darab ketinggian silinder ini dan kord tertentu. Untuk mendapatkan kord, anda perlu membina bulatan di dasar silinder, lukis jejari dan plot di atasnya jarak di mana bahagian itu terletak. Dan dari titik ini anda perlu melukis serenjang ke jejari dari persimpangan dengan bulatan. Titik persimpangan disambungkan ke pusat. Dan asas segitiga adalah yang dikehendaki, yang dicari dengan bunyi seperti ini: "Jumlah kuasa dua dua kaki adalah sama dengan kuasa dua hipotenus":
C2 = A2 + B2.
Sekiranya bahagian itu tidak menjejaskan dasar silinder, dan silinder itu sendiri adalah bulat dan lurus, maka luas bahagian ini didapati sebagai luas bulatan.
Luas bulatan ialah:
S env. = 2п R2.
Untuk mencari R, anda perlu membahagikan panjangnya C dengan 2n:
R = C\2n, dengan n ialah pi, pemalar matematik yang dikira untuk bekerja dengan data bulatan dan bersamaan dengan 3.14.
Silinder (silinder bulat) ialah badan yang terdiri daripada dua bulatan, digabungkan dengan terjemahan selari, dan semua segmen yang menghubungkan titik-titik yang sepadan bagi bulatan ini. Bulatan dipanggil tapak silinder, dan segmen yang menghubungkan titik yang sepadan dengan lilitan bulatan dipanggil penjana silinder.
Tapak silinder adalah sama dan terletak pada satah selari, dan penjana silinder adalah selari dan sama. Permukaan silinder terdiri daripada tapak dan permukaan sisi. Permukaan sisi terdiri daripada penjanaan.
Silinder dipanggil lurus jika penjananya berserenjang dengan satah tapak. Silinder boleh dianggap sebagai jasad yang diperoleh dengan memutarkan segi empat tepat mengelilingi salah satu sisinya sebagai paksi. Terdapat jenis silinder lain - elips, hiperbolik, parabola. Prisma juga dianggap sebagai sejenis silinder.
Rajah 2 menunjukkan sebuah silinder condong. Bulatan dengan pusat O dan O 1 ialah tapaknya.
Jejari silinder ialah jejari tapaknya. Ketinggian silinder ialah jarak antara satah tapak. Paksi silinder ialah garis lurus yang melalui pusat tapak. Ia selari dengan penjana. Keratan rentas silinder dengan satah yang melalui paksi silinder dipanggil keratan paksi. Satah yang melalui generatriks silinder lurus dan berserenjang dengan bahagian paksi yang dilukis melalui generatriks ini dipanggil satah tangen silinder.
Satah berserenjang dengan paksi silinder memotong permukaan sisinya di sepanjang bulatan yang sama dengan lilitan tapak.
Prisma yang tertera dalam silinder ialah prisma yang tapaknya adalah poligon yang sama yang tertera pada tapak silinder itu. Rusuk sisinya membentuk silinder. Sebuah prisma dikatakan dikelilingi oleh silinder jika tapaknya adalah poligon yang sama yang dikelilingi oleh tapak silinder itu. Satah mukanya menyentuh permukaan sisi silinder.
Luas permukaan sisi silinder boleh dikira dengan mendarab panjang generatriks dengan perimeter bahagian silinder dengan satah berserenjang dengan generatriks.
Luas permukaan sisi silinder lurus boleh didapati dengan perkembangannya. Perkembangan silinder ialah segi empat tepat dengan ketinggian h dan panjang P, yang sama dengan perimeter tapak. Oleh itu, luas permukaan sisi silinder adalah sama dengan luas perkembangannya dan dikira dengan formula:
Khususnya, untuk silinder bulat kanan:
P = 2πR, dan S b = 2πRh.
Jumlah luas permukaan silinder adalah sama dengan jumlah luas permukaan sisi dan tapaknya.
Untuk silinder bulat lurus:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Terdapat dua formula untuk mencari isipadu silinder condong.
Anda boleh mencari isipadu dengan mendarab panjang generatriks dengan luas keratan rentas silinder dengan satah berserenjang dengan generatriks.
Isipadu silinder condong adalah sama dengan hasil darab luas tapak dan ketinggian (jarak antara satah di mana tapak terletak):
V = Sh = S l sin α,
dengan l ialah panjang generatriks, dan α ialah sudut antara generatriks dan satah tapak. Untuk silinder lurus h = l.
Formula untuk mencari isipadu silinder bulat adalah seperti berikut:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,
di mana d ialah diameter tapak.
blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.
Luas setiap tapak silinder ialah π r 2, luas kedua-dua tapak ialah 2π r 2 (rajah.).Luas permukaan sisi silinder adalah sama dengan luas segi empat tepat yang tapaknya ialah 2π r, dan ketinggian adalah sama dengan ketinggian silinder h, iaitu 2π rh.
Jumlah permukaan silinder ialah: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).
Luas permukaan sisi silinder diambil kira kawasan sapuan permukaan sisinya.
Oleh itu, luas permukaan sisi silinder bulat kanan adalah sama dengan luas segi empat tepat yang sepadan (Gamb.) dan dikira dengan formula.
S b.c. = 2πRH, (1)
Jika kita menambah luas dua tapaknya ke kawasan permukaan sisi silinder, kita memperoleh jumlah luas permukaan silinder
S penuh =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
Isipadu silinder lurus
Teorem. Isipadu silinder lurus adalah sama dengan hasil daripada luas tapaknya dan ketinggiannya , iaitudi mana Q ialah luas tapak, dan H ialah ketinggian silinder.
Oleh kerana luas tapak silinder ialah Q, maka terdapat jujukan poligon berbatas dan bersurat dengan kawasan Q. n dan Q' n seperti itu
\(\lim_(n \anak panah kanan \infty)\) S n= \(\lim_(n \anak panah kanan \infty)\) Q’ n= Q.
Mari kita bina satu jujukan prisma yang tapaknya adalah poligon yang diterangkan dan tersurat yang dibincangkan di atas, dan tepi sisinya selari dengan generatriks silinder yang diberi dan mempunyai panjang H. Prisma ini dihadkan dan digariskan untuk silinder yang diberi. Jumlahnya didapati oleh formula
V n=Q n H dan V' n= Q' n H.
Oleh itu,
V= \(\lim_(n \anak panah kanan \infty)\) S n H = \(\lim_(n \anak panah kanan \infty)\) Q’ n H = QH.
Akibat.
Isipadu silinder bulat tegak dikira dengan formula
V = π R 2 H
di mana R ialah jejari tapak dan H ialah ketinggian silinder.
Oleh kerana tapak silinder bulat ialah bulatan berjejari R, maka Q = π R 2, dan oleh itu
Stereometri ialah cabang geometri di mana angka dalam ruang dikaji. Angka-angka utama di angkasa ialah titik, garis lurus dan satah. Dalam stereometri, jenis baru susunan relatif garisan muncul: garisan silang. Ini adalah salah satu daripada beberapa perbezaan ketara antara stereometri dan planimetri, kerana dalam banyak kes masalah dalam stereometri diselesaikan dengan mempertimbangkan pelbagai satah di mana undang-undang planimetrik dipenuhi.
Dalam alam sekeliling kita, terdapat banyak objek yang merupakan model fizikal figura ini. Sebagai contoh, banyak bahagian mesin mempunyai bentuk silinder atau gabungannya, dan tiang kuil dan katedral yang megah, dibuat dalam bentuk silinder, menekankan keharmonian dan keindahannya.
bahasa Yunani − kylindros. Istilah kuno. Dalam kehidupan seharian - skrol papirus, roller, roller (kata kerja - untuk memutar, menggulung).
Untuk Euclid, silinder diperoleh dengan memutarkan segi empat tepat. Di Cavalieri - dengan pergerakan generatrix (dengan panduan sewenang-wenang - "silinder").
Tujuan esei ini adalah untuk mempertimbangkan jasad geometri - silinder.
Untuk mencapai matlamat ini, perlu mempertimbangkan tugas berikut:
− berikan takrif silinder;
− pertimbangkan unsur-unsur silinder;
− mengkaji sifat silinder;
− pertimbangkan jenis bahagian silinder;
- dapatkan formula untuk luas silinder;
− terbitkan formula untuk isipadu silinder;
− menyelesaikan masalah menggunakan silinder.
1.1. Definisi silinder
Mari kita pertimbangkan beberapa garis (lengkung, patah atau bercampur) l terletak di beberapa satah α, dan beberapa garis lurus S yang bersilang dengan satah ini. Melalui semua titik garisan tertentu l kita melukis garis lurus selari dengan garis lurus S; permukaan α yang terbentuk oleh garis lurus ini dipanggil permukaan silinder. Garis l dipanggil panduan permukaan ini, garisan s 1, s 2, s 3,... ialah penjananya.
Jika panduan dipecahkan, maka permukaan silinder sedemikian terdiri daripada beberapa jalur rata yang tertutup di antara pasangan garis lurus selari, dan dipanggil permukaan prismatik. Generatrices yang melalui bucu garis putus panduan dipanggil tepi permukaan prismatik, jalur rata di antara mereka adalah mukanya.
Jika kita memotong mana-mana permukaan silinder dengan satah sewenang-wenangnya yang tidak selari dengan penjananya, kita akan memperoleh garisan yang juga boleh diambil sebagai panduan untuk permukaan ini. Antara panduan, yang menonjol adalah yang diperolehi dengan memotong permukaan dengan satah berserenjang dengan penjanaan permukaan. Bahagian sedemikian dipanggil bahagian biasa, dan panduan yang sepadan dipanggil panduan biasa.
Jika panduan adalah garis tertutup (cembung) (patah atau melengkung), maka permukaan yang sepadan dipanggil permukaan prismatik atau silinder tertutup (cembung). Permukaan silinder yang paling ringkas mempunyai bulatan sebagai panduan biasa. Marilah kita membedah permukaan prismatik cembung tertutup dengan dua satah selari antara satu sama lain, tetapi tidak selari dengan penjana.
Dalam bahagian kita memperoleh poligon cembung. Sekarang bahagian permukaan prismatik yang tertutup di antara satah α dan α" dan dua plat poligon yang terbentuk dalam satah ini mengehadkan jasad yang dipanggil jasad prismatik - prisma.
Badan silinder - silinder ditakrifkan sama dengan prisma:
Silinder ialah badan yang dibatasi pada sisi oleh permukaan silinder tertutup (cembung), dan pada hujungnya oleh dua tapak selari rata. Kedua-dua tapak silinder adalah sama, dan semua juzuk silinder juga sama, i.e. segmen penjanaan permukaan silinder antara satah tapak.
Silinder (lebih tepat, silinder bulat) ialah badan geometri yang terdiri daripada dua bulatan yang tidak terletak dalam satah yang sama dan digabungkan dengan terjemahan selari, dan semua segmen yang menghubungkan titik-titik yang sepadan bagi bulatan ini (Rajah 1) .
Bulatan dipanggil tapak silinder, dan segmen yang menghubungkan titik yang sepadan dengan lilitan bulatan dipanggil penjana silinder.
Oleh kerana terjemahan selari adalah gerakan, tapak silinder adalah sama.
Oleh kerana semasa penterjemahan selari, satah berubah menjadi satah selari (atau ke dalam dirinya sendiri), maka tapak silinder terletak pada satah selari.
Oleh kerana semasa penterjemahan selari titik-titik dialihkan sepanjang garis selari (atau bertepatan) dengan jarak yang sama, maka penjana silinder adalah selari dan sama.
Permukaan silinder terdiri daripada tapak dan permukaan sisi. Permukaan sisi terdiri daripada penjanaan.
Silinder dipanggil lurus jika penjananya berserenjang dengan satah tapak.
Silinder lurus boleh dibayangkan secara visual sebagai badan geometri yang menggambarkan segi empat tepat apabila memutarkannya di sekeliling sisinya sebagai paksi (Rajah 2).
nasi. 2 − Silinder lurus
Dalam perkara berikut, kami akan mempertimbangkan hanya silinder lurus, memanggilnya hanya silinder untuk ringkasnya.
Jejari silinder ialah jejari tapaknya. Ketinggian silinder ialah jarak antara satah tapaknya. Paksi silinder ialah garis lurus yang melalui pusat tapak. Ia selari dengan penjana.
Silinder dipanggil sama sisi jika ketinggiannya sama dengan diameter tapak.
Jika tapak silinder adalah rata (dan, oleh itu, satah yang mengandunginya adalah selari), maka silinder itu dikatakan berdiri di atas satah. Jika tapak silinder yang berdiri di atas satah berserenjang dengan generatriks, maka silinder itu dipanggil lurus.
Khususnya, jika asas silinder yang berdiri di atas satah adalah bulatan, maka kita bercakap tentang silinder bulat (bulatan); jika ia adalah elips, maka ia adalah elips.
1. 3. Bahagian silinder
Keratan rentas silinder dengan satah selari dengan paksinya ialah segi empat tepat (Rajah 3, a). Dua sisinya ialah penjana silinder, dan dua lagi adalah kord selari tapak.
A) 
b)
V) G)
nasi. 3 – Bahagian silinder
Khususnya, segi empat tepat ialah bahagian paksi. Ini ialah bahagian silinder dengan satah yang melalui paksinya (Rajah 3, b).
Keratan rentas silinder dengan satah selari dengan tapak ialah bulatan (Rajah 3, c).
Keratan rentas silinder dengan satah tidak selari dengan tapak dan paksinya ialah bujur (Rajah 3d).
Teorem 1. Satah yang selari dengan satah tapak silinder memotong permukaan sisinya di sepanjang bulatan yang sama dengan lilitan tapak.
Bukti. Biarkan β ialah satah selari dengan satah tapak silinder. Terjemahan selari ke arah paksi silinder, menggabungkan satah β dengan satah tapak silinder, menggabungkan bahagian permukaan sisi dengan satah β dengan lilitan tapak. Teorem telah terbukti.
Luas permukaan sisi silinder.
Luas permukaan sisi silinder dianggap sebagai had di mana luas permukaan sisi prisma biasa yang tertulis dalam silinder cenderung apabila bilangan sisi tapak prisma ini meningkat selama-lamanya.
Teorem 2. Luas permukaan sisi silinder adalah sama dengan hasil lilitan tapaknya dan ketinggiannya (S side.c = 2πRH, dengan R ialah jejari tapak silinder, H ialah ketinggian silinder).
A) 
b) 
nasi. 4 − Luas permukaan sisi silinder
Bukti.
Biarkan P n dan H ialah perimeter tapak dan ketinggian prisma n-gonal sekata yang tertulis dalam silinder, masing-masing (Rajah 4, a). Maka luas permukaan sisi prisma ini ialah sisi S.c − P n H. Mari kita andaikan bahawa bilangan sisi poligon yang tertera dalam tapak bertambah tanpa had (Rajah 4, b). Kemudian perimeter P n cenderung kepada lilitan C = 2πR, di mana R ialah jejari tapak silinder, dan ketinggian H tidak berubah. Oleh itu, luas permukaan sisi prisma cenderung kepada had 2πRH, iaitu, luas permukaan sisi silinder adalah sama dengan sisi S.c = 2πRH. Teorem telah terbukti.
Jumlah luas permukaan silinder.
Jumlah luas permukaan silinder ialah jumlah luas permukaan sisi dan dua tapak. Luas setiap tapak silinder adalah sama dengan πR 2, oleh itu, luas jumlah permukaan silinder S jumlah dikira dengan formula S sisi.c = 2πRH+ 2πR 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
nasi. 5 − Jumlah luas permukaan silinder
Jika permukaan sisi silinder dipotong di sepanjang generatrix FT (Rajah 5, a) dan dibentangkan supaya semua penjana berada dalam satah yang sama, maka sebagai hasilnya kita mendapat segi empat tepat FTT1F1, yang dipanggil pembangunan permukaan sisi silinder. Sisi FF1 segi empat tepat ialah perkembangan bulatan tapak silinder, oleh itu, FF1=2πR, dan sisi FT adalah sama dengan generatrik silinder, iaitu FT = H (Rajah 5, b). Oleh itu, luas FT∙FF1=2πRH pembangunan silinder adalah sama dengan luas permukaan sisinya.
1.5. Isipadu silinder
Jika jasad geometri adalah mudah, iaitu, ia boleh dibahagikan kepada bilangan terhingga piramid segi tiga, maka isipadunya adalah sama dengan jumlah isipadu piramid ini. Untuk badan sewenang-wenangnya, isipadu ditentukan seperti berikut.
Sebuah jasad tertentu mempunyai isipadu V jika terdapat jasad ringkas yang mengandunginya dan jasad ringkas terkandung di dalamnya dengan isipadu yang berbeza sedikit daripada V seperti yang dikehendaki.
Mari kita gunakan definisi ini untuk mencari isipadu silinder dengan jejari tapak R dan ketinggian H.
Apabila memperoleh formula untuk luas bulatan, dua n-gon telah dibina (satu mengandungi bulatan, satu lagi terkandung dalam bulatan) supaya kawasan mereka, dengan peningkatan tanpa had dalam n, menghampiri luas bulatan tanpa had. Mari kita bina poligon sedemikian untuk bulatan di dasar silinder. Biarkan P ialah poligon yang mengandungi bulatan, dan P" ialah poligon yang terkandung dalam bulatan (Rajah 6).
nasi. 7 − Silinder dengan prisma diterangkan dan ditulis di dalamnya
Mari kita bina dua prisma lurus dengan tapak P dan P" dan ketinggian H sama dengan ketinggian silinder. Prisma pertama mengandungi silinder, dan prisma kedua terkandung dalam silinder. Oleh kerana dengan pertambahan yang tidak terhad dalam n, kawasan tapak prisma tidak terhad mendekati luas tapak silinder S, maka isipadunya mendekati SH selama-lamanya Menurut definisi, isipadu silinder
V = SH = πR 2 H.
Jadi, isipadu silinder adalah sama dengan hasil darab luas tapak dan ketinggian.
Tugasan 1.
Bahagian paksi silinder ialah segi empat sama dengan luas Q.
Cari luas tapak silinder.
Diberi: silinder, segi empat sama - bahagian paksi silinder, S segi empat sama = Q.
Cari: S silinder utama
Sisi petak itu ialah . Ia sama dengan diameter asas. Oleh itu luas tapak adalah 
.
Jawapan: S silinder utama. =
Tugasan 2.
Sebuah prisma heksagon biasa ditulis dalam silinder. Cari sudut antara pepenjuru muka sisinya dengan paksi silinder jika jejari tapaknya sama dengan ketinggian silinder itu.
Diberi: silinder, prisma heksagon sekata tertulis dalam silinder, jejari tapak = ketinggian silinder.
Cari: sudut antara pepenjuru muka sisinya dan paksi silinder.
Penyelesaian: Muka sisi prisma ialah segi empat sama, kerana sisi heksagon sekata yang tertulis dalam bulatan adalah sama dengan jejari.
Tepi prisma adalah selari dengan paksi silinder, oleh itu sudut antara pepenjuru muka dan paksi silinder adalah sama dengan sudut antara pepenjuru dan tepi sisi. Dan sudut ini ialah 45°, kerana muka adalah segi empat sama.
Jawapan: sudut antara pepenjuru muka sisinya dan paksi silinder = 45°.
Tugasan 3.
Tinggi silinder ialah 6 cm, jejari tapak ialah 5 cm.
Cari luas bahagian yang dilukis selari dengan paksi silinder pada jarak 4 cm daripadanya.
Diberi: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.
Cari: S sec.
S sec. = KM×KS,
OE = 4 cm, KS = 6 cm.
Segitiga OKM - isosceles (OK = OM = R = 5 cm),
segi tiga OEK ialah segi tiga tegak.
Dari segi tiga OEK, mengikut teorem Pythagoras:
KM = 2EK = 2×3 = 6,
S sec. = 6×6 = 36 cm 2.
Tujuan esei ini telah dipenuhi; badan geometri seperti silinder telah dipertimbangkan.
Tugas berikut dipertimbangkan:
− takrif silinder diberikan;
− unsur-unsur silinder dipertimbangkan;
− sifat silinder telah dikaji;
− jenis bahagian silinder dipertimbangkan;
− formula untuk luas silinder diperolehi;
− formula untuk isipadu silinder diperolehi;
− menyelesaikan masalah menggunakan silinder.
1. Pogorelov A.V. Geometri: Buku teks untuk 10 – 11 gred institusi pendidikan, 1995.
2. Beskin L.N. Stereometri. Manual untuk guru sekolah menengah, 1999.
3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometri: Buku teks untuk gred 10 - 11 institusi pendidikan, 2000.
4. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometri: buku teks untuk gred 10-11 di institusi pendidikan am, 1998.
5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometri: Stereometri: gred 10 – 11: Buku teks dan buku masalah, 2000.
Silinder ialah angka spatial simetri, yang sifatnya dipertimbangkan di sekolah menengah dalam kursus stereometri. Untuk menerangkannya, ciri-ciri linear seperti ketinggian dan jejari tapak digunakan. Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan soalan mengenai apakah bahagian paksi silinder dan cara mengira parameternya melalui ciri linear asas angka itu.
Rajah geometri
Pertama, mari kita tentukan angka yang akan dibincangkan dalam artikel. Silinder ialah permukaan yang dibentuk oleh pergerakan selari segmen dengan panjang tetap di sepanjang lengkung tertentu. Syarat utama untuk pergerakan ini ialah segmen tidak sepatutnya tergolong dalam satah lengkung.
Rajah di bawah menunjukkan sebuah silinder yang lengkungnya (panduan) ialah elips.
Di sini segmen panjang h ialah penjana dan ketinggiannya.
Ia boleh dilihat bahawa silinder terdiri daripada dua tapak yang sama (elips dalam kes ini), yang terletak pada satah selari, dan permukaan sisi. Yang terakhir tergolong dalam semua titik garis pembentuk.
Sebelum beralih kepada mempertimbangkan bahagian paksi silinder, kami akan memberitahu anda jenis angka ini.
Jika garis penjanaan berserenjang dengan tapak rajah, maka kita bercakap tentang silinder lurus. Jika tidak, silinder akan condong. Jika anda menyambungkan titik pusat dua tapak, garis lurus yang terhasil dipanggil paksi rajah. Rajah di bawah menunjukkan perbezaan antara silinder lurus dan condong.
Dapat dilihat bahawa untuk rajah lurus, panjang segmen penjanaan bertepatan dengan nilai ketinggian h. Untuk silinder condong, ketinggian, iaitu jarak antara tapak, sentiasa kurang daripada panjang garisan generatrik.
Bahagian paksi silinder lurus
Paksi ialah mana-mana bahagian silinder yang mengandungi paksinya. Takrifan ini bermakna bahagian paksi akan sentiasa selari dengan generatriks.
Dalam silinder lurus, paksi melalui pusat bulatan dan berserenjang dengan satahnya. Ini bermakna bahawa bulatan yang sedang dipertimbangkan akan bersilang sepanjang diameternya. Rajah menunjukkan separuh silinder, iaitu hasil persilangan rajah dengan satah yang melalui paksi.
Tidak sukar untuk memahami bahawa bahagian paksi silinder bulat lurus ialah segi empat tepat. Sisinya ialah diameter d tapak dan tinggi h rajah itu.
Mari kita tulis formula untuk luas keratan rentas paksi silinder dan panjang h d pepenjurunya:
Segi empat tepat mempunyai dua pepenjuru, tetapi kedua-duanya sama antara satu sama lain. Jika jejari tapak diketahui, maka tidak sukar untuk menulis semula formula ini melaluinya, memandangkan ia adalah separuh diameter.
Bahagian paksi silinder condong
Gambar di atas menunjukkan sebuah silinder condong yang diperbuat daripada kertas. Jika anda membuat bahagian paksinya, anda tidak lagi akan mendapat segi empat tepat, tetapi segi empat selari. Sisinya adalah kuantiti yang diketahui. Salah satu daripadanya, seperti dalam kes keratan rentas silinder lurus, adalah sama dengan diameter d tapak, yang lain ialah panjang segmen pembentukan. Mari kita nyatakan b.
Untuk menentukan dengan jelas parameter segi empat selari, tidak cukup untuk mengetahui panjang sisinya. Sudut lain di antara mereka diperlukan. Mari kita andaikan bahawa sudut lancip antara panduan dan tapak ialah α. Ini juga akan menjadi sudut antara sisi segi empat selari. Kemudian formula untuk luas keratan rentas paksi silinder condong boleh ditulis seperti berikut:
Diagonal bahagian paksi silinder condong agak lebih sukar untuk dikira. Sebuah segiempat selari mempunyai dua pepenjuru yang berlainan panjang. Kami membentangkan ungkapan tanpa terbitan yang membolehkan kami mengira pepenjuru segi empat selari menggunakan sisi yang diketahui dan sudut akut di antara mereka:
l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));
l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))
Di sini l 1 dan l 2 ialah panjang pepenjuru kecil dan besar, masing-masing. Formula ini boleh diperolehi secara bebas jika kita menganggap setiap pepenjuru sebagai vektor dengan memperkenalkan sistem koordinat segi empat tepat pada satah.
Masalah Silinder Lurus
Kami akan menunjukkan kepada anda cara menggunakan pengetahuan yang diperoleh untuk menyelesaikan masalah berikut. Marilah kita diberikan silinder lurus bulat. Adalah diketahui bahawa keratan rentas paksi silinder adalah segi empat sama. Berapakah luas bahagian ini jika keseluruhan rajah ialah 100 cm 2?
Untuk mengira kawasan yang diperlukan, anda perlu mencari sama ada jejari atau diameter tapak silinder. Untuk melakukan ini, kami menggunakan formula untuk jumlah luas S f bagi rajah:
Oleh kerana keratan paksi ialah segi empat sama, ini bermakna jejari r tapak ialah separuh ketinggian h. Dengan mengambil kira perkara ini, kita boleh menulis semula kesamaan di atas sebagai:
S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2
Sekarang kita boleh menyatakan jejari r, kita mempunyai:
Oleh kerana sisi keratan segi empat sama adalah sama dengan diameter tapak rajah, formula berikut akan sah untuk mengira luasnya S:
S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)
Kami melihat bahawa kawasan yang diperlukan ditentukan secara unik oleh luas permukaan silinder. Menggantikan data ke dalam kesamaan, kita sampai kepada jawapan: S = 21.23 cm 2.