Salah satu fungsi bukan asas yang paling terkenal, yang digunakan dalam matematik, dalam teori persamaan pembezaan, dalam statistik dan dalam teori kebarangkalian, ialah fungsi Laplace. Menyelesaikan masalah dengannya memerlukan persediaan yang ketara. Mari ketahui bagaimana anda boleh mengira penunjuk ini menggunakan alat Excel.
Fungsi Laplace mempunyai aplikasi yang luas dan aplikasi teori. Sebagai contoh, ia sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan pembezaan. Istilah ini mempunyai nama setara lain - kamiran kebarangkalian. Dalam sesetengah kes, asas untuk penyelesaian adalah pembinaan jadual nilai.
Operator NORM.ST.DIST
Dalam Excel, masalah ini diselesaikan menggunakan operator NORM.ST.DIST.. Namanya ialah singkatan untuk istilah "taburan piawai biasa". Oleh kerana tugas utamanya adalah untuk mengembalikan taburan kumulatif normal standard ke sel yang dipilih. Operator ini tergolong dalam kategori statistik bagi fungsi Excel standard.
Dalam Excel 2007 dan versi terdahulu program, pengendali ini dipanggil NORMSDIST. Atas sebab keserasian, ia dikekalkan dalam versi aplikasi moden. Namun begitu, mereka mengesyorkan penggunaan analog yang lebih maju - NORM.ST.DIST..
Sintaks operator NORM.ST.DIST. kelihatan seperti ini:
NORM.ST.DIST(z;integral)
Pengendali warisan NORMSDIST ditulis begini:
NORMSDIST(z)
Seperti yang anda lihat, dalam versi baharu hujah sedia ada "Z" hujah ditambah "Sepadu". Perlu diingatkan bahawa setiap hujah diperlukan.
Hujah "Z" menunjukkan nilai berangka yang mana taburan dibina.
Hujah "Sepadu" mewakili nilai Boolean yang boleh mempunyai perwakilan "BENAR" ("1") atau "BOHONG" («0») . Dalam kes pertama, fungsi pengedaran terkumpul dikembalikan ke sel yang ditentukan, dan dalam kes kedua, fungsi pengedaran berat dikembalikan.
Penyelesaian masalah
Untuk melakukan pengiraan yang diperlukan untuk pembolehubah, gunakan formula berikut:
NORM.ST.DIST(z;integral(1))-0.5
Sekarang mari kita lihat penggunaan operator menggunakan contoh khusus NORM.ST.DIST. untuk menyelesaikan masalah tertentu.
Formula Bayes
Peristiwa B 1, B 2,…, B n tidak serasi dan membentuk kumpulan lengkap, i.e. P(B 1)+ P(B 2)+…+ P(B n)=1. Dan biarkan peristiwa A hanya berlaku apabila salah satu peristiwa B 1,B 2,…,B n muncul. Kemudian kebarangkalian kejadian A didapati menggunakan formula kebarangkalian jumlah.
Biarkan peristiwa A telah pun berlaku. Kemudian kebarangkalian hipotesis B 1, B 2,…, B n boleh dianggarkan terlalu tinggi menggunakan formula Bayes:
Formula Bernoulli
Biarkan n ujian bebas dilakukan, dalam setiap kejadian A mungkin berlaku atau tidak. Kebarangkalian kejadian (bukan kejadian) kejadian A adalah sama dan sama dengan p (q=1-p).
Kebarangkalian bahawa dalam n percubaan bebas peristiwa A akan berlaku tepat sekali (bergantung pada urutan) didapati menggunakan formula Bernoulli:
Kebarangkalian sesuatu peristiwa akan berlaku dalam n percubaan bebas ialah:
A). Kurang daripada kali P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).
b). Lebih daripada sekali P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).
V). sekurang-kurangnya kali P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).
G). tidak lebih daripada k kali P n (0)+P n (1)+…+P n (k).
Teorem tempatan dan integral bagi Laplace.
Kami menggunakan teorem ini apabila n cukup besar.
Teorem Laplace tempatan
Kebarangkalian sesuatu peristiwa akan berlaku tepat kali `k' dalam n percubaan bebas adalah lebih kurang sama dengan:
Jadual fungsi untuk nilai positif (x) diberikan dalam buku masalah Gmurman dalam Lampiran 1, ms 324-325.
Oleh kerana () adalah genap, kami menggunakan jadual yang sama untuk nilai negatif (x).
Teorem kamiran Laplace.
Kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa akan berlaku sekurang-kurangnya `k' kali dalam n percubaan bebas adalah lebih kurang sama dengan:
Fungsi Laplace
Jadual fungsi untuk nilai positif diberikan dalam buku masalah Gmurman dalam Lampiran 2, ms 326-327. Untuk nilai lebih daripada 5 kami tetapkan Ф(х)=0.5.
Oleh kerana fungsi Laplace adalah ganjil Ф(-х)=-Ф(х), maka untuk nilai negatif (x) kita menggunakan jadual yang sama, hanya kita mengambil nilai fungsi dengan tanda tolak.
Hukum taburan kebarangkalian pembolehubah rawak diskret
Undang-undang pengedaran binomial.
diskret- pembolehubah rawak, nilai yang mungkin adalah nombor terpencil individu, yang diambil oleh pembolehubah ini dengan kebarangkalian tertentu. Dalam erti kata lain, nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak diskret boleh dinomborkan.
Bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak diskret boleh terhingga atau tidak terhingga.
Pembolehubah rawak diskret dilambangkan dengan huruf besar X, dan kemungkinan nilainya dilambangkan dengan huruf kecil x1, x2, x3...
Contohnya.
X ialah bilangan mata yang dibaling pada dadu; X mengambil enam nilai yang mungkin: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 dengan kebarangkalian p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 =1/6.
Hukum taburan pembolehubah rawak diskret namakan senarai nilai yang mungkin dan kebarangkalian sepadannya.
Undang-undang pengedaran boleh diberikan:
1. dalam bentuk jadual.
2. Secara analitikal - dalam bentuk formula.
3. secara grafik. Dalam kes ini, titik M1(x1,р1), М2(x2,р2), ... Мn(хn,рn) dibina dalam sistem koordinat XOP segi empat tepat. Titik ini disambungkan oleh segmen lurus. Angka yang terhasil dipanggil poligon pengedaran.
Untuk menulis hukum taburan pembolehubah rawak diskret (x), adalah perlu untuk menyenaraikan semua nilai yang mungkin dan mencari kebarangkalian yang sepadan.
Jika kebarangkalian yang sepadan didapati menggunakan formula Bernoulli, maka undang-undang pengedaran sedemikian dipanggil binomial.
Contoh No. 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Nilai berangka pembolehubah rawak diskret.
Jangkaan, varians dan sisihan piawai.
Ciri nilai purata pembolehubah rawak diskret ialah jangkaan matematik.
Jangkaan matematik Pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin dan kebarangkaliannya. Itu. jika hukum taburan diberikan, maka jangkaan matematik
Jika bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak diskret adalah tidak terhingga, maka
Selain itu, siri di sebelah kanan kesamaan menumpu secara mutlak, dan jumlah semua kebarangkalian pi adalah sama dengan satu.
Sifat jangkaan matematik.
1. M(C)=C, C=malar.
2. M(Cx)=CM(x)
3. M(x1+x2+…+xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)
4. M(x1*x2*…*xn)=M(x1)*M(x2)*…*M(xn).
5. Untuk undang-undang taburan binomial, jangkaan matematik didapati dengan formula:
Ciri-ciri serakan nilai kemungkinan pembolehubah rawak di sekeliling jangkaan matematik ialah serakan dan sisihan piawai.
Varians pembolehubah rawak diskret (x) dipanggil jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua. D(x)=M(x-M(x)) 2.
Adalah mudah untuk mengira serakan menggunakan formula: D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2.
Sifat serakan.
1. D(S)=0, C=malar.
2. D(Cx)=C 2 D(x)
3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)
4. Serakan hukum taburan binomial
Sisihan piawai pembolehubah rawak dipanggil punca kuasa dua varians.
contoh. 191, 193, 194, 209, d/z.
Fungsi taburan kumulatif (CDF) bagi kebarangkalian pembolehubah rawak berterusan (RCV). Berterusan- kuantiti yang boleh mengambil semua nilai dari beberapa selang terhingga atau tak terhingga. Terdapat beberapa kemungkinan nilai untuk NSV dan ia tidak boleh dinomborkan semula.
Contohnya.
Jarak yang dilalui peluru apabila ditembak ialah NSV.
IFR dipanggil fungsi F(x), yang menentukan bagi setiap nilai x kebarangkalian bahawa NSV X akan mengambil nilai X<х, т.е. F(x)=Р(X Selalunya, bukannya IFR, mereka kata FR. Secara geometri, kesamaan F(x)=P(X Sifat IF. 1. Nilai IF tergolong dalam selang, i.e. F(x). 2. IF ialah fungsi tidak menurun, i.e. x2>x1. Akibat 1. Kebarangkalian bahawa NSV X akan mengambil nilai yang terkandung dalam selang (a; b) adalah sama dengan penambahan fungsi kamiran pada selang ini, i.e. P(a Corollary 2. Kebarangkalian bahawa NSV X akan mengambil satu nilai tertentu, contohnya, x1=0, adalah sama dengan 0, i.e. P(x=x1)=0. 3. Jika semua kemungkinan nilai NSV X tergolong dalam (a;c), maka F(x)=0 pada x<а, и F(x)=1 при х>V. Akibat 3. Hubungan had berikut adalah sah. Fungsi taburan pembezaan (DDF) bagi kebarangkalian pembolehubah rawak berterusan (RNV) (ketumpatan kebarangkalian). DF f(x) taburan kebarangkalian NSV dipanggil derivatif pertama IFR: Selalunya, bukannya PDR, mereka mengatakan kepadatan kebarangkalian (PD). Daripada takrifan ia mengikuti bahawa, mengetahui DF F(x), kita boleh mencari DF f(x). Tetapi penjelmaan songsang juga dilakukan: mengetahui DF f(x), anda boleh mencari DF F(x). Kebarangkalian bahawa NSV X akan mengambil nilai kepunyaan (a;b) didapati: A). Jika IF diberikan, Corollary 1. B). Jika DF dinyatakan Sifat DF. 1. DF - bukan negatif, i.e. . 2. kamiran tak wajar DF dalam () adalah bersamaan dengan 1, i.e. . Akibat 1. Jika semua kemungkinan nilai NSV X tergolong dalam (a;c), maka. Contoh. No. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/z. Ciri berangka NSV. 1. Jangkaan matematik (ME) NSV X, nilai yang mungkin dimiliki oleh keseluruhan paksi OX, ditentukan oleh formula: Jika semua kemungkinan nilai NSV X tergolong dalam (a;c), maka MO ditentukan oleh formula: Semua sifat MO yang ditunjukkan untuk kuantiti diskret juga dipelihara untuk kuantiti berterusan. 2. Penyerakan NSV X, nilai yang mungkin dimiliki oleh keseluruhan paksi OX, ditentukan oleh formula: Jika semua kemungkinan nilai NSV X tergolong dalam (a;c), maka penyebaran ditentukan oleh formula: Semua sifat serakan yang ditentukan untuk kuantiti diskret juga dipelihara untuk kuantiti berterusan. 3. Sisihan piawai NSV X ditentukan dengan cara yang sama seperti untuk kuantiti diskret: Contoh. No. 276, 279, X, d/z. Kalkulus operasi (OC). ATAU ialah kaedah yang membolehkan anda mengurangkan operasi pembezaan dan penyepaduan fungsi kepada tindakan yang lebih mudah: pendaraban dan pembahagian dengan hujah yang dipanggil imej bagi fungsi ini. Menggunakan OI memudahkan untuk menyelesaikan banyak masalah. Khususnya, masalah penyepaduan LDE dengan pekali malar dan sistem persamaan sedemikian, mengurangkannya kepada persamaan algebra linear. Asal dan imej. Laplace berubah. f(t)-asli; F(p)-imej. Peralihan f(t)F(p) dipanggil Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bagi fungsi f(t) dipanggil F(p), bergantung pada pembolehubah kompleks dan ditakrifkan oleh formula: Kamiran ini dipanggil kamiran Laplace. Bagi penumpuan kamiran tak wajar ini, adalah memadai untuk mengandaikan bahawa dalam selang f(t) adalah selanjar sekeping dan untuk beberapa pemalar M>0 dan memenuhi ketaksamaan. Fungsi f(t) yang mempunyai sifat sedemikian dipanggil asal, dan peralihan daripada asal kepada imejnya dipanggil Transformasi Laplace. Sifat transformasi Laplace. Penentuan terus imej menggunakan formula (2) biasanya sukar dan boleh dipermudahkan dengan ketara dengan menggunakan sifat-sifat transformasi Laplace. Biarkan F(p) dan G(p) ialah imej bagi f(t) asal dan g(t), masing-masing. Kemudian sifat-hubungan berikut dipegang: 1. С*f(t)С*F(p), С=const - sifat kehomogenan. 2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - sifat ketambahan. 3. f(t)F(p-) - teorem sesaran. peralihan terbitan ke-n bagi asal kepada imej (teorem pembezaan asal). 2.1. Fungsi Laplace (kamiran kebarangkalian) mempunyai bentuk: Graf fungsi Laplace ditunjukkan dalam Rajah 5. Fungsi F(X) dijadualkan (lihat Jadual 1 lampiran). Untuk menggunakan jadual ini anda perlu tahu sifat fungsi Laplace: 1) Fungsi Ф( X) ganjil: F(-X)= -F(X). 2) Fungsi F(X) meningkat secara monotoni. 3) F(0)=0. 4) F(+¥
)=0,5; F(-¥
)=-0.5. Dalam amalan, kita boleh menganggap bahawa untuk x³5 fungsi F(X)=0.5; untuk fungsi x £ -5 F(X)=-0,5. 2.2.
Terdapat bentuk lain fungsi Laplace: Berbeza dengan bentuk ini, fungsi F(X) dipanggil fungsi Laplace standard atau ternormal. Ia berkaitan dengan bentuk hubungan lain: CONTOH 2. Pembolehubah rawak berterusan X mempunyai hukum taburan normal dengan parameter: m=3, s=4. Cari kebarangkalian bahawa hasil daripada ujian itu pembolehubah rawak X: a) akan mengambil nilai yang terkandung dalam selang (2; 6); b) akan mengambil nilai kurang daripada 2; c) akan mengambil nilai lebih daripada 10; d) menyimpang daripada jangkaan matematik dengan jumlah tidak melebihi 2. Gambarkan penyelesaian masalah secara grafik. Penyelesaian. a) Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak normal X berada dalam selang waktu yang ditentukan ( a,b), Di mana a=2 dan b=6, sama dengan: Nilai fungsi Laplace F(x) ditentukan mengikut jadual yang diberikan dalam lampiran, dengan mengambil kira itu F(–X)= –F(X). b) Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak normal X akan mengambil nilai kurang daripada 2, sama dengan: c) Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak normal X akan mengambil nilai lebih besar daripada 10, sama dengan: d) Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak normal X d=2, sama dengan: Dari sudut pandangan geometri, kebarangkalian yang dikira adalah sama secara berangka dengan kawasan berlorek di bawah lengkung normal (lihat Rajah 6). nasi. 6. Lengkung normal untuk pembolehubah rawak X~N(3;4) Penyelesaian. Jangkaan matematik ralat rawak adalah sifar m X akan menyimpang daripada jangkaan matematik dengan jumlah yang kurang daripada d=15, sama dengan: CONTOH 4. Mesin menghasilkan bola. Bola dianggap sah jika sisihan X diameter bola dari saiz reka bentuk dalam nilai mutlak adalah kurang daripada 0.7 mm. Dengan mengandaikan bahawa pembolehubah rawak X diedarkan secara normal dengan sisihan piawai 0.4 mm, cari purata bilangan bola yang sesuai antara 100 yang dihasilkan. Penyelesaian. Pembolehubah rawak X- sisihan diameter bola daripada saiz reka bentuk. Jangkaan matematik sisihan adalah sifar, i.e. M(X)=m=0. Kemudian kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak normal X akan menyimpang daripada jangkaan matematik dengan jumlah yang kurang daripada d=0.7, sama dengan: Ia berikutan bahawa kira-kira 92 bola daripada 100 akan sesuai. CONTOH 5. Buktikan peraturan "3" s». Penyelesaian. Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak normal X akan menyimpang daripada jangkaan matematik dengan jumlah yang kurang daripada d= 3s, adalah sama dengan: CONTOH 6. Pembolehubah rawak X taburan normal dengan jangkaan matematik m=10. Kebarangkalian Hit X dalam selang (10, 20) adalah sama dengan 0.3. Apakah kebarangkalian untuk memukul X dalam selang (0, 10)? Penyelesaian. Lengkung normal adalah simetri tentang garis lurus X=m=10, oleh itu kawasan yang dibatasi di atas oleh lengkung normal dan di bawah oleh selang (0, 10) dan (10, 20) adalah sama antara satu sama lain. Memandangkan kawasan secara berangka sama dengan kebarangkalian untuk memukul X pada selang waktu yang sesuai, kemudian. Fungsi Laplace ialah fungsi bukan asas dan sering digunakan dalam kedua-dua teori persamaan pembezaan dan teori kebarangkalian, dan dalam statistik. Fungsi Laplace memerlukan set pengetahuan dan latihan tertentu, kerana ia membolehkan anda menyelesaikan pelbagai masalah dalam bidang aplikasi gunaan dan teori. Fungsi Laplace sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan pembezaan dan sering dipanggil kamiran kebarangkalian. Mari lihat bagaimana fungsi ini boleh digunakan dalam Excel dan bagaimana ia berfungsi. Kamiran kebarangkalian atau fungsi Laplace dalam Excel sepadan dengan pengendali "NORMSDIST", yang mempunyai sintaks: "=NORMSDIST(z). Dalam versi program yang lebih baharu, pengendali juga mempunyai nama "NORM.ST.DIST." dan sintaks yang diubah suai sedikit “=NORM.ST.DIST(z; integral).
Kami telah menyelesaikan teori. Mari kita teruskan untuk berlatih. Mari lihat menggunakan fungsi Laplace dalam Excel. 1. Tulis nilai dalam sel dan masukkan fungsi dalam sel seterusnya. 2. Mari tulis fungsi secara manual “=NORM.ST.DIST(B4;1). 3. Atau kami menggunakan wizard sisipan fungsi - pergi ke kategori "Statik" dan nyatakan "Senarai abjad penuh. 4. Dalam tetingkap argumen fungsi yang muncul, nyatakan nilai awal. Sel asal kami akan bertanggungjawab untuk pembolehubah "Z", dan masukkan "1" ke dalam "Integral". Fungsi kami akan mengembalikan fungsi pengedaran kumulatif. 5. Kami memperoleh penyelesaian siap bagi taburan kamiran normal piawai untuk fungsi ini "NORM.ST.DIST". Tetapi bukan itu sahaja, matlamat kami adalah untuk mencari fungsi Laplace atau kamiran kebarangkalian, jadi mari kita lakukan beberapa langkah lagi. 6. Fungsi Laplace membayangkan bahawa "0.5" mesti ditolak daripada nilai fungsi yang terhasil. Kami menambah operasi yang diperlukan pada fungsi tersebut. Kami tekan "Enter" dan dapatkan penyelesaian akhir. Nilai yang dikehendaki adalah betul dan cepat dijumpai. Excel mengira fungsi ini dengan mudah untuk sebarang nilai sel, julat sel atau rujukan sel. Fungsi "NORM.ST.DIST" ialah operator standard untuk mencari kamiran kebarangkalian atau, kerana ia juga dipanggil, fungsi Laplace.
Artikel ini adalah kesinambungan semula jadi dari pelajaran tentang ujian bebas, tempat kami bertemu Formula Bernoulli dan bekerja pada contoh tipikal mengenai topik tersebut. Teorem tempatan dan kamiran Laplace (Moivre-Laplace) menyelesaikan masalah yang sama dengan perbezaan bahawa ia boleh digunakan untuk bilangan ujian bebas yang cukup besar. Tidak perlu menyelitkan perkataan "tempatan", "integral", "teorem" - bahan itu dikuasai dengan kemudahan yang sama dengan Laplace menepuk kepala kerinting Napoleon. Oleh itu, tanpa sebarang kompleks dan ulasan awal, mari kita segera pertimbangkan contoh demonstrasi: Syiling dilambung 400 kali. Cari kebarangkalian bahawa kepala akan muncul 200 kali. Mengikut ciri ciri, seseorang harus memohon di sini Formula Bernoulli – kebarangkalian bahawa dalam percubaan bebas satu peristiwa rawak akan berlaku tepat sekali; Sehubungan dengan tugas kami: Oleh itu, kebarangkalian bahawa hasil daripada 400 lambungan syiling, kepala akan muncul tepat 200 kali: ...Berhenti, apa yang perlu dilakukan seterusnya? Kalkulator mikro (sekurang-kurangnya milik saya) gagal mengatasi tahap ke-400 dan menyerah kepada faktorial. Tetapi saya tidak mahu mengira sesuatu melalui produk =) Jom guna fungsi Excel standard, yang berjaya memproses raksasa itu: . Saya ingin menarik perhatian anda kepada apa yang telah diterima tepat makna dan penyelesaian sedemikian nampaknya ideal. Sekali pandang. Berikut adalah beberapa hujah balas yang menarik: – pertama, perisian mungkin tidak tersedia; Oleh itu, pembaca yang dihormati, dalam masa terdekat kami akan mempunyai: Jika kebarangkalian kejadian rawak berlaku dalam setiap percubaan adalah malar, maka kebarangkalian kejadian itu akan berlaku tepat sekali dalam setiap percubaan adalah lebih kurang sama dengan: Lebih-lebih lagi, lebih besar, lebih baik kebarangkalian yang dikira akan menghampiri nilai tepat yang diperolehi (sekurang-kurangnya secara hipotesis) mengikut formula Bernoulli. Bilangan ujian minimum yang disyorkan adalah kira-kira 50-100, jika tidak, keputusannya mungkin jauh dari kebenaran. Di samping itu, teorem tempatan Laplace berfungsi dengan lebih baik semakin dekat kebarangkalian kepada 0.5, dan sebaliknya - ia memberikan ralat yang ketara untuk nilai yang hampir kepada sifar atau satu. Atas sebab ini, satu lagi kriteria untuk penggunaan formula yang berkesan Jadi, sebagai contoh, jika , maka penggunaan teorem Laplace untuk 50 ujian adalah wajar. Tetapi jika dan , maka juga anggaran (untuk nilai yang tepat) akan menjadi buruk. Mengenai mengapa dan tentang fungsi khas Mari kita rasmikan hubungan rasmi dengan contoh kita: Masalah 1 Syiling dilambung 400 kali. Cari kebarangkalian bahawa kepala akan mendarat tepat: a) 200 kali; Di mana hendak bermula penyelesaian? Pertama, mari kita tuliskan kuantiti yang diketahui supaya ia berada di hadapan mata kita: – jumlah bilangan ujian bebas; a) Mari kita cari kebarangkalian bahawa dalam satu siri 400 kepala lambungan akan timbul tepat sekali. Oleh kerana bilangan ujian yang banyak, kami menggunakan teorem tempatan Laplace: Pada langkah pertama, kami mengira nilai hujah yang diperlukan: Seterusnya kita dapati nilai fungsi yang sepadan: . Ini boleh dilakukan dalam beberapa cara. Pertama sekali, sudah tentu, pengiraan langsung mencadangkan diri mereka sendiri: Kelemahan pengiraan langsung ialah tidak semua kalkulator mikro boleh mencerna eksponen di samping itu, pengiraan tidak begitu menyenangkan dan mengambil masa. Mengapa begitu menderita? guna kalkulator terver (titik 4) dan dapatkan nilai serta-merta! Di samping itu, terdapat jadual nilai fungsi, yang terdapat dalam hampir mana-mana buku mengenai teori kebarangkalian, khususnya, dalam buku teks V.E. Gmurman. Jika anda belum memuat turunnya lagi, muat turunnya - terdapat banyak bahan berguna di sana ;-) Dan pastikan anda belajar cara menggunakan jadual (sekarang!)– peralatan pengkomputeran yang sesuai mungkin tidak sentiasa ada! Pada peringkat akhir, kami menggunakan formula Seperti yang anda lihat, hasil yang diperoleh adalah sangat hampir dengan nilai tepat yang dikira oleh Formula Bernoulli. b) Cari kebarangkalian bahawa dalam satu siri 400 kepala percubaan akan muncul tepat sekali. Kami menggunakan teorem tempatan Laplace. Satu, dua, tiga - dan anda sudah selesai: – kebarangkalian yang diingini. Jawab: Contoh seterusnya, seperti yang ramai telah meneka, didedikasikan untuk bersalin - dan ini adalah untuk anda tentukan sendiri :) Masalah 2 Kebarangkalian mendapat anak lelaki ialah 0.52. Cari kebarangkalian bahawa antara 100 bayi yang baru lahir akan ada tepat: a) 40 lelaki, b) 50 lelaki, c) 30 perempuan. Bundarkan keputusan kepada 4 tempat perpuluhan. ...Frasa "ujian bebas" kedengaran menarik di sini =) By the way, real kebarangkalian statistik kelahiran seorang budak lelaki di banyak wilayah di dunia adalah antara 0.51 hingga 0.52. Contoh anggaran tugasan pada akhir pelajaran. Semua orang menyedari bahawa bilangannya ternyata agak kecil, dan ini tidak sepatutnya mengelirukan - lagipun, kita bercakap tentang kebarangkalian individu, tempatan nilai (oleh itu nama teorem). Dan terdapat banyak nilai sedemikian, dan, secara kiasan, kebarangkalian "sepatutnya cukup untuk semua orang." Benar, banyak peristiwa akan berlaku hampir mustahil. Izinkan saya menerangkan perkara di atas menggunakan contoh syiling: dalam satu siri empat ratus percubaan, kepala secara teorinya boleh jatuh dari 0 hingga 400 kali, dan peristiwa ini terbentuk kumpulan penuh: Walau bagaimanapun, kebanyakan nilai ini adalah sangat kecil, sebagai contoh, kebarangkalian bahawa kepala akan muncul 250 kali sudah menjadi satu dalam sepuluh juta: . Mengenai nilai seperti Sebaliknya, keputusan sederhana tidak boleh dipandang remeh: jika ia hanya kira-kira , maka kebarangkalian kepala pendaratan, katakan, daripada 220 hingga 250 kali, akan menjadi sangat ketara. Sekarang mari kita fikirkan: bagaimana untuk mengira kebarangkalian ini? Jangan mengira dengan teorem penambahan kebarangkalian kejadian tidak serasi jumlah: Nilai-nilai ini lebih mudah menggabungkan. Dan menggabungkan sesuatu, seperti yang anda tahu, dipanggil integrasi: Jika kebarangkalian kejadian rawak berlaku dalam setiap percubaan adalah malar, maka kebarangkalian Dalam kes ini, bilangan ujian, sudah tentu, juga harus cukup besar dan kebarangkalian tidak boleh terlalu kecil/tinggi. (kira-kira), jika tidak, anggaran akan menjadi tidak penting atau buruk. Fungsi itu dipanggil Fungsi Laplace, dan nilainya sekali lagi diringkaskan dalam jadual standard ( cari dan belajar bekerja dengannya!!). Kalkulator mikro tidak akan membantu di sini, kerana kamiran tidak boleh digabungkan. Tetapi Excel mempunyai fungsi yang sepadan - gunakan titik 5 susun atur reka bentuk. Dalam amalan, nilai yang paling biasa ialah: Selain itu, fungsi Laplace ganjil: Masalah 3 Kebarangkalian penembak mengenai sasaran ialah 0.7. Cari kebarangkalian bahawa dengan 100 pukulan sasaran akan dipukul dari 65 hingga 80 kali. Saya memilih contoh yang paling realistik, jika tidak, saya menemui beberapa tugas di sini di mana penembak melepaskan beribu-ribu tembakan =) Penyelesaian: dalam masalah ini kita bercakap tentang ujian bebas berulang, dan bilangan mereka agak besar. Mengikut syarat, anda perlu mencari kebarangkalian bahawa sasaran akan dicecah sekurang-kurangnya 65, tetapi tidak lebih daripada 80 kali, yang bermaksud anda perlu menggunakan teorem kamiran Laplace: , di mana Untuk kemudahan, mari tulis semula data asal dalam lajur: Oleh itu, teorem Laplace akan memberikan penghampiran yang baik. Mari kita hitung nilai-nilai hujah: Kami menggunakan jadual di atas atau reka bentuk susun atur untuk terver (titik 5). Pastikan anda mengambil kesempatan daripada nombor ganjil fungsi! Untuk berjaga-jaga, saya akan menulisnya secara terperinci: Jawab: Hasilnya paling kerap dibundarkan kepada 4 tempat perpuluhan (sekali lagi mengikut format jadual). Untuk menyelesaikannya sendiri: Masalah 4 Terdapat 2500 lampu di dalam bangunan, kebarangkalian untuk menghidupkan setiap satu pada waktu petang ialah 0.5. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 1250 dan tidak lebih daripada 1275 lampu akan dihidupkan pada waktu petang. Contoh anggaran reka bentuk akhir pada akhir pelajaran. Perlu diingatkan bahawa tugas yang sedang dipertimbangkan selalunya berlaku dalam bentuk "tidak peribadi", contohnya: Sesetengah eksperimen dijalankan di mana satu peristiwa rawak boleh berlaku dengan kebarangkalian 0.5. Eksperimen diulang dalam keadaan tidak berubah sebanyak 2500 kali. Tentukan kebarangkalian bahawa dalam 2500 eksperimen peristiwa itu akan berlaku dari 1250 hingga 1275 kali Dan formulasi serupa adalah melalui bumbung. Oleh kerana sifat klise tugas, mereka sering cuba menutupi keadaan - ini adalah "satu-satunya peluang" untuk mempelbagaikan dan merumitkan penyelesaian: Masalah 5 Terdapat 1000 pelajar yang belajar di institut itu. Ruang makan mempunyai 105 tempat duduk. Setiap pelajar pergi ke kafeteria semasa rehat besar dengan kebarangkalian 0.1. Apakah kebarangkalian bahawa pada hari persekolahan biasa: a) ruang makan akan penuh tidak lebih daripada dua pertiga; Saya ingin menarik perhatian anda kepada klausa penting "pada hari persekolahan BIASA" - ia memastikan bahawa keadaan kekal tidak berubah. Selepas cuti, lebih sedikit pelajar mungkin datang ke institut, dan delegasi yang lapar mungkin turun pada "Hari Pintu Terbuka" =) Iaitu, pada hari "luar biasa" kebarangkalian akan berbeza dengan ketara. Penyelesaian: kami menggunakan teorem kamiran Laplace, di mana Dalam tugasan ini: a) Mari kita hitung berapa banyak kerusi membentuk dua pertiga daripada jumlah bilangan: kerusi Mari kita cari kebarangkalian bahawa pada hari persekolahan biasa kafeteria akan penuh tidak lebih daripada dua pertiga. Apakah maksudnya? Ini bermakna semasa rehat besar, dari 0 hingga 70 orang akan datang. Hakikatnya tiada siapa yang datang atau hanya beberapa pelajar yang datang - ada acara boleh dikatakan mustahil, walau bagaimanapun, untuk tujuan menggunakan teorem kamiran Laplace, kebarangkalian ini masih perlu diambil kira. Oleh itu: Mari kita hitung hujah yang sepadan: Akibatnya: Peringatan
: apabila fungsi Laplace dianggap sama dengan . Ia menggembirakan orang ramai =) b) Peristiwa “Tidak ada tempat duduk yang mencukupi untuk semua orang” ialah dari 106 hingga 1000 orang akan datang ke ruang makan untuk makan tengah hari semasa rehat besar (perkara utama ialah padat dengan baik =)). Adalah jelas bahawa kehadiran yang tinggi adalah luar biasa, tetapi bagaimanapun: Kami mengira hujah: Oleh itu, kebarangkalian bahawa tidak akan ada kerusi yang mencukupi untuk semua orang ialah: Jawab: Sekarang mari kita fokus pada satu nuansa penting kaedah: apabila kita menjalankan pengiraan pada satu segmen, maka semuanya "tidak berawan" - tentukan mengikut templat yang dipertimbangkan. Namun, jika kita pertimbangkan kumpulan penuh acara patut ditunjukkan ketepatan tertentu. Biar saya jelaskan perkara ini menggunakan contoh masalah yang baru dibincangkan. Pada titik "menjadi" kami mendapati kebarangkalian bahawa tidak akan ada kerusi yang mencukupi untuk semua orang. Seterusnya, menggunakan skema yang sama, kami mengira: Sejak peristiwa ini bertentangan, maka jumlah kebarangkalian hendaklah sama dengan satu: Apa masalahnya? – semuanya nampak logik di sini. Intinya ialah fungsi Laplace ialah berterusan, tetapi kami tidak mengambil kira selang waktu dari 105 hingga 106. Di sinilah bahagian 0.0338 hilang. sebab tu menggunakan formula piawai yang sama hendaklah dikira: Nah, atau lebih mudah: Timbul persoalan: bagaimana jika kita MULAI jumpa ? Kemudian akan ada satu lagi versi penyelesaian: Tetapi bagaimana ini boleh berlaku?! – kedua-dua kaedah memberikan jawapan yang berbeza! Ia mudah: Teorem kamiran Laplace ialah kaedah dekat pengiraan, dan oleh itu kedua-dua cara boleh diterima. Untuk pengiraan yang lebih tepat anda harus gunakan Formula Bernoulli dan, sebagai contoh, fungsi Excel BINOMIDST. Akibatnya aplikasinya kita dapat: Dan saya mengucapkan terima kasih kepada salah seorang pelawat tapak yang menarik perhatian kepada kehalusan ini - ia jatuh dari bidang penglihatan saya, kerana kajian kumpulan lengkap peristiwa jarang ditemui dalam amalan. Mereka yang berminat boleh membiasakan diri
Dan 
1 5
CONTOH 3. Diameter aci diukur tanpa ralat sistematik (tanda yang sama). Ralat pengukuran rawak tertakluk kepada taburan normal dengan sisihan piawai 10 mm. Cari kebarangkalian bahawa pengukuran akan dibuat dengan ralat tidak melebihi 15 mm dalam nilai mutlak.
Argumen "Z" bertanggungjawab untuk nilai berangka pengedaran. Argumen “Integral” mengembalikan dua nilai – “1” - fungsi taburan integral, “0” - fungsi taburan berat.
Teorem tempatan dan integral bagi Laplace
. Mari kita ingat maksud surat-surat ini:
– pekali binomial;
– kebarangkalian berlakunya peristiwa dalam setiap percubaan;
– jumlah bilangan ujian;
– bilangan balingan di mana kepala mesti jatuh;
– dan kedua, penyelesaiannya akan kelihatan tidak standard (dengan kebarangkalian yang besar anda perlu mengubah fikiran anda);Teorem Laplace tempatan
, Di mana.
ialah ketidaksamaan ()
.
kita akan berbincang di dalam kelas taburan kebarangkalian normal, tetapi buat masa ini kita memerlukan bahagian pengiraan formal isu tersebut. Khususnya, fakta penting ialah pariti fungsi ini: 
.
b) 225 kali.
– kebarangkalian mendapat kepala dalam setiap lontaran;
– kebarangkalian kepala pendaratan.
, Di mana 
.
Pembundaran biasanya dilakukan kepada 4 tempat perpuluhan.
:
– kebarangkalian bahawa dalam 400 lambungan syiling, kepala akan mendarat tepat 200 kali.
Mari berhemah dengan berdiam diri =)Teorem kamiran Laplace
bahawa peristiwa itu akan berlaku dalam percubaan tidak kurang dan tidak lebih (dari ke semasa termasuk), adalah lebih kurang sama dengan:
- Salin ke dalam buku nota anda.
Bermula daripada , kita boleh menganggap bahawa , atau, untuk menulisnya dengan lebih tegas: 
, dan harta ini dieksploitasi secara aktif dalam tugasan yang kami sudah bosan:
– jumlah pukulan;
– bilangan minimum hits;
– bilangan maksimum hits;
– kebarangkalian mengenai sasaran dengan setiap pukulan;
- kebarangkalian tersasar dengan setiap pukulan.
Saya ingin menarik perhatian anda kepada fakta bahawa kerja itu tidak perlu diekstrak sepenuhnya dari akarnya. (kerana pengarang masalah suka "melaraskan" nombor)– tanpa sebarang keraguan, ekstrak akar dan bulatkan hasilnya; Saya sudah biasa meninggalkan 4 tempat perpuluhan. Tetapi nilai yang terhasil biasanya dibundarkan kepada 2 tempat perpuluhan - tradisi ini berasal jadual nilai fungsi, di mana hujah dibentangkan tepat dalam bentuk ini.
Sebagai ulasan bertulis, saya menasihati anda untuk meletakkan frasa berikut: kita akan mencari nilai fungsi menggunakan jadual yang sepadan:
– kebarangkalian bahawa dengan 100 pukulan sasaran akan dipukul 65 hingga 80 kali.
Intinya ialah jadual nilai fungsi mengandungi hanya "X" positif, dan kami sedang berusaha (sekurang-kurangnya mengikut "legenda") dengan meja!
b) kerusi tidak mencukupi untuk semua orang.
– jumlah pelajar di institut;
– kebarangkalian bahawa pelajar akan pergi ke kafeteria semasa rehat yang panjang;
– kebarangkalian kejadian yang bertentangan.
– kebarangkalian bahawa pada hari persekolahan biasa kafeteria akan penuh tidak lebih daripada dua pertiga.
.
– kebarangkalian terdapat tempat yang mencukupi.