Bulatan nombor ialah bulatan unit yang titiknya sepadan dengan nombor nyata tertentu.
Bulatan unit ialah bulatan berjejari 1.
Pandangan umum bulatan nombor.
1) Jejarinya diambil sebagai unit ukuran.
2) Diameter mendatar dan menegak membahagi bulatan nombor kepada empat suku (lihat rajah). Mereka masing-masing dipanggil suku pertama, kedua, ketiga dan keempat.
3) Diameter mendatar dilambangkan dengan AC, dengan A ialah titik paling kanan.
Diameter menegak ditetapkan BD, dengan B sebagai titik tertinggi.
Masing-masing:
suku pertama ialah lengkok AB
suku kedua – arka BC
suku ketiga – arka CD
suku keempat – arka DA
4) Titik permulaan bulatan nombor ialah titik A.
Membilang sepanjang bulatan nombor boleh dilakukan sama ada mengikut arah jam atau lawan jam.
Mengira dari titik A lawan jam dipanggil arah yang positif.
Mengira dari titik A mengikut arah jam dipanggil arah negatif.
Bulatan nombor pada satah koordinat.
Pusat jejari bulatan nombor sepadan dengan asal (nombor 0).
Diameter mendatar sepadan dengan paksi x, menegak – paksi y.
Titik permulaan A bulatan nombor adalah pada paksi x dan mempunyai koordinat (1; 0).
Nilaix Dany dalam suku bulatan nombor:
Nilai asas bulatan nombor:
Nama dan lokasi titik utama pada bulatan nombor:
Bagaimana untuk mengingati nama bulatan nombor.
Terdapat beberapa corak mudah yang akan membantu anda mengingati nama asas bulatan nombor dengan mudah.
Sebelum kita mulakan, mari kita ingatkan anda: pengiraan dijalankan dalam arah positif, iaitu, dari titik A (2π) lawan jam.
1) Mari kita mulakan dengan titik ekstrem pada paksi koordinat.
Titik permulaan ialah 2π (titik paling kanan pada paksi X, sama dengan 1).
Seperti yang anda ketahui, 2π ialah lilitan bulatan. Ini bermakna separuh bulatan ialah 1π atau π. paksi X membahagi bulatan tepat kepada separuh. Sehubungan itu, titik paling kiri pada paksi X sama dengan -1 dipanggil π.
Titik tertinggi pada paksi di, sama dengan 1, membahagi separuh bulatan atas kepada separuh. Ini bermakna jika separuh bulatan ialah π, maka separuh separuh bulatan ialah π/2.
Pada masa yang sama, π/2 juga ialah suku bulatan. Mari kita hitung tiga suku dari yang pertama hingga yang ketiga - dan kita akan sampai ke titik terendah pada paksi di, sama dengan -1. Tetapi jika ia termasuk tiga suku, maka namanya ialah 3π/2.
2) Sekarang mari kita beralih kepada mata yang tinggal. Sila ambil perhatian: semua titik bertentangan mempunyai pengangka yang sama - dan ini adalah titik bertentangan berbanding paksi di, kedua-duanya relatif kepada pusat paksi, dan relatif kepada paksi X. Ini akan membantu kami mengetahui nilai mata mereka tanpa menjejalkan.
Anda hanya perlu mengingati maksud mata suku pertama: π/6, π/4 dan π/3. Dan kemudian kita akan "melihat" beberapa corak:
- Relatif kepada paksi y pada titik suku kedua, bertentangan dengan mata suku pertama, nombor dalam pengangka adalah 1 kurang daripada saiz penyebut. Sebagai contoh, ambil titik π/6. Titik bertentangan dengannya relatif kepada paksi di juga mempunyai 6 dalam penyebut dan 5 dalam pengangka (1 kurang). Iaitu, nama titik ini ialah: 5π/6. Titik bertentangan π/4 juga mempunyai 4 dalam penyebut dan 3 dalam pengangka (1 kurang daripada 4) - iaitu, ia adalah titik 3π/4.
Titik bertentangan π/3 juga mempunyai 3 dalam penyebut, dan 1 kurang dalam pengangka: 2π/3.
- Berbanding dengan pusat paksi koordinat semuanya adalah sebaliknya: nombor dalam pengangka titik bertentangan (pada suku ketiga) adalah 1 lebih besar daripada nilai penyebut. Mari kita ambil titik π/6 sekali lagi. Titik yang bertentangan dengannya relatif kepada pusat juga mempunyai 6 dalam penyebut, dan dalam pengangka nombornya adalah 1 lebih besar - iaitu, ia adalah 7π/6.
Titik yang bertentangan dengan titik π/4 juga mempunyai 4 dalam penyebut, dan dalam pengangka nombornya ialah 1 lagi: 5π/4.
Titik yang bertentangan dengan titik π/3 juga mempunyai 3 dalam penyebut, dan dalam pengangka nombornya ialah 1 lagi: 4π/3.
- Berbanding dengan paksi X(suku keempat) perkara itu lebih rumit. Di sini anda perlu menambah kepada nilai penyebut nombor yang kurang 1 - jumlah ini akan sama dengan bahagian berangka pengangka titik bertentangan. Mari kita mulakan semula dengan π/6. Mari tambahkan kepada nilai penyebut bersamaan dengan 6 nombor yang 1 kurang daripada nombor ini - iaitu, 5. Kita dapat: 6 + 5 = 11. Ini bermakna ia bertentangan dengan paksi X titik akan mempunyai 6 dalam penyebut dan 11 dalam pengangka - iaitu, 11π/6.
Titik π/4. Kami menambah kepada nilai penyebut nombor 1 kurang: 4 + 3 = 7. Ini bermakna ia bertentangan dengan paksi X titik mempunyai 4 dalam penyebut dan 7 dalam pengangka - iaitu, 7π/4.
Titik π/3. Penyebutnya ialah 3. Kami menambah kepada 3 nombor yang lebih kecil dengan satu - iaitu, 2. Kami mendapat 5. Ini bermakna titik yang bertentangan dengannya mempunyai 5 dalam pengangka - dan ini ialah titik 5π/3.
3) Satu lagi corak untuk titik titik tengah suku. Jelas bahawa penyebutnya ialah 4. Mari kita perhatikan pengangkanya. Pengangka pertengahan suku pertama ialah 1π (tetapi bukan kebiasaan untuk menulis 1). Pengangka pertengahan suku kedua ialah 3π. Pengangka pertengahan suku ketiga ialah 5π. Pengangka pertengahan suku keempat ialah 7π. Ternyata pengangka bagi suku tengah mengandungi empat nombor ganjil pertama dalam tertib menaik:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Ini juga sangat mudah. Oleh kerana titik tengah semua suku mempunyai 4 dalam penyebutnya, kita sudah mengetahui nama penuhnya: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Ciri-ciri bulatan nombor. Perbandingan dengan garis nombor.
Seperti yang anda ketahui, pada garis nombor, setiap titik sepadan dengan nombor tunggal. Sebagai contoh, jika titik A pada garis adalah sama dengan 3, maka ia tidak lagi boleh sama dengan mana-mana nombor lain.
Ia berbeza pada bulatan nombor kerana ia adalah bulatan. Sebagai contoh, untuk datang dari titik A bulatan ke titik M, anda boleh melakukannya seolah-olah pada garis lurus (hanya melepasi lengkok), atau anda boleh mengelilingi seluruh bulatan, dan kemudian datang ke titik M. Kesimpulan:
Biarkan titik M sama dengan beberapa nombor t. Seperti yang kita ketahui, lilitan bulatan ialah 2π. Ini bermakna kita boleh menulis titik t pada bulatan dalam dua cara: t atau t + 2π. Ini adalah nilai yang setara.
Iaitu, t = t + 2π. Satu-satunya perbezaan ialah dalam kes pertama anda datang ke titik M serta-merta tanpa membuat bulatan, dan dalam kes kedua anda membuat bulatan, tetapi berakhir di titik yang sama M. Anda boleh membuat dua, tiga atau dua ratus seperti itu. bulatan . Jika kita menyatakan bilangan bulatan dengan huruf k, maka kita mendapat ungkapan baharu:
t = t + 2π k.
Oleh itu formula:
Persamaan bulatan nombor
(persamaan kedua adalah dalam bahagian “Sinus, kosinus, tangen, kotangen”):
x 2 + y 2 = 1 |
Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.
Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi
Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.
Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.
Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:
- Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.
Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:
- Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
- Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
- Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
- Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.
Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga
Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada badan kerajaan di Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
- Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.
Perlindungan maklumat peribadi
Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.
Menghormati privasi anda di peringkat syarikat
Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.
Dalam artikel ini kita akan menganalisis dengan terperinci definisi bulatan nombor, mengetahui sifat utamanya dan menyusun nombor 1,2,3, dll. Ketahui cara menanda nombor lain pada bulatan (termasuk pi).
Bulatan nombor dipanggil bulatan jejari unit yang titiknya sepadan , disusun mengikut peraturan berikut:
1) Asal berada di titik paling kanan bulatan;
2) lawan jam - arah positif; mengikut arah jam – negatif;
3) Jika kita memplot jarak \(t\) pada bulatan dalam arah positif, maka kita akan sampai ke satu titik dengan nilai \(t\);
4) Jika kita memplot jarak \(t\) pada bulatan ke arah negatif, maka kita akan sampai ke satu titik dengan nilai \(–t\).
Mengapakah bulatan itu dipanggil bulatan nombor?
Kerana ia mempunyai nombor di atasnya. Dengan cara ini, bulatan adalah serupa dengan paksi nombor - pada bulatan, seperti pada paksi, terdapat titik tertentu untuk setiap nombor.
Mengapa tahu apa itu bulatan nombor?
Dengan menggunakan bulatan nombor, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditentukan. Oleh itu, untuk mengetahui trigonometri dan lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan 60+ mata, anda mesti memahami apa itu bulatan nombor dan cara meletakkan titik di atasnya.
Apakah maksud perkataan “...daripada unit jejari...” dalam definisi?
Ini bermakna jejari bulatan ini adalah sama dengan \(1\). Dan jika kita membina bulatan sedemikian dengan pusat di tempat asal, maka ia akan bersilang dengan paksi pada titik \(1\) dan \(-1\).
Ia tidak perlu dilukis kecil; anda boleh menukar "saiz" bahagian di sepanjang paksi, maka gambar akan menjadi lebih besar (lihat di bawah).
Mengapa jejari tepat satu? Ini lebih mudah, kerana dalam kes ini, apabila mengira lilitan menggunakan formula \(l=2πR\), kita dapat:
Panjang bulatan nombor ialah \(2π\) atau lebih kurang \(6.28\).
Apakah maksud “...titik yang sepadan dengan nombor nyata”?
Seperti yang kami katakan di atas, pada bulatan nombor untuk sebarang nombor nyata pasti akan ada "tempat"nya - titik yang sepadan dengan nombor ini.
Mengapa menentukan asal dan arah pada bulatan nombor?
Tujuan utama bulatan nombor adalah untuk menentukan titiknya secara unik untuk setiap nombor. Tetapi bagaimana anda boleh menentukan di mana untuk meletakkan titik jika anda tidak tahu dari mana untuk mengira dan ke mana untuk bergerak?
Di sini adalah penting untuk tidak mengelirukan asal pada garis koordinat dan pada bulatan nombor - ini adalah dua sistem rujukan yang berbeza! Dan juga jangan mengelirukan \(1\) pada paksi \(x\) dan \(0\) pada bulatan - ini adalah titik pada objek yang berbeza.
Titik manakah yang sepadan dengan nombor \(1\), \(2\), dsb.?
Ingat, kami menganggap bahawa bulatan nombor mempunyai jejari \(1\)? Ini akan menjadi segmen unit kami (dengan analogi dengan paksi nombor), yang akan kami plot pada bulatan.
Untuk menandakan titik pada bulatan nombor yang sepadan dengan nombor 1, anda perlu pergi dari 0 ke jarak yang sama dengan jejari dalam arah positif.
Untuk menandakan titik pada bulatan yang sepadan dengan nombor \(2\), anda perlu menempuh jarak yang sama dengan dua jejari dari asal, supaya \(3\) ialah jarak yang sama dengan tiga jejari, dsb.
Apabila melihat gambar ini, anda mungkin mempunyai 2 soalan:
1. Apakah yang berlaku apabila bulatan "berakhir" (iaitu kita membuat revolusi penuh)?
Jawapan: mari pergi ke pusingan kedua! Dan apabila yang kedua selesai, kita akan pergi ke yang ketiga dan seterusnya. Oleh itu, bilangan nombor yang tidak terhingga boleh diplot pada bulatan.
2. Di manakah nombor negatif?
Jawapan: di sana! Mereka juga boleh disusun, mengira dari sifar bilangan jejari yang diperlukan, tetapi kini dalam arah negatif.
Malangnya, sukar untuk menandakan integer pada bulatan nombor. Ini disebabkan oleh fakta bahawa panjang bulatan nombor tidak akan sama dengan integer: \(2π\). Dan di tempat yang paling mudah (di titik persimpangan dengan paksi) juga akan ada pecahan, bukan integer
Pelajaran dan pembentangan mengenai topik: "Bulatan nombor pada satah koordinat"
Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.
Manual dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 10 dari 1C
Masalah algebra dengan parameter, gred 9–11
Kami menyelesaikan masalah dalam geometri. Tugas pembinaan interaktif untuk gred 7-10
Apa yang akan kita kaji:
1. Definisi.
2. Koordinat penting bagi bulatan nombor.
3. Bagaimana untuk mencari koordinat bulatan nombor?
4. Jadual koordinat utama bulatan nombor.
5. Contoh penyelesaian masalah.
Definisi bulatan nombor pada satah koordinat
Mari letakkan bulatan nombor dalam satah koordinat supaya pusat bulatan bertepatan dengan asal koordinat, dan ambil jejarinya sebagai segmen unit. Titik permulaan bulatan nombor A digabungkan dengan titik (1;0).Setiap titik pada bulatan nombor mempunyai koordinat x dan y sendiri dalam satah koordinat, dan:
1) untuk $x > 0$, $y > 0$ - pada suku pertama;
2) untuk $x 0$ - pada suku kedua;
3) untuk $x 4) untuk $x > 0$, $y
Untuk sebarang titik $M(x; y)$ pada bulatan nombor, ketaksamaan berikut dipenuhi: $-1
Ingat persamaan bulatan nombor: $x^2 + y^2 = 1$.
Adalah penting untuk kita mempelajari cara mencari koordinat titik-titik pada bulatan nombor yang ditunjukkan dalam rajah. 
Mari cari koordinat titik $\frac(π)(4)$
Titik $M(\frac(π)(4))$ ialah pertengahan suku pertama. Mari kita lepaskan MR serenjang dari titik M ke garis lurus OA dan pertimbangkan segi tiga OMP Memandangkan lengkok AM ialah separuh daripada lengkok AB, maka $∠MOP=45°$. Ini bermakna segi tiga OMP ialah segi tiga tegak sama kaki dan $OP=MP$, i.e. pada titik M absis dan ordinat adalah sama: $x = y$.
Oleh kerana koordinat titik $M(x;y)$ memenuhi persamaan bulatan nombor, maka untuk mencarinya anda perlu menyelesaikan sistem persamaan:
$\begin (kes) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \tamat (kes)$
Setelah menyelesaikan sistem ini, kami memperoleh: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Ini bermakna koordinat titik M yang sepadan dengan nombor $\frac(π)(4)$ ialah $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Koordinat titik yang dibentangkan dalam rajah sebelumnya dikira dengan cara yang sama.
Koordinat titik pada bulatan nombor
Mari lihat contoh
Contoh 1.Cari koordinat titik pada bulatan nombor: $P(45\frac(π)(4))$.
Penyelesaian:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Ini bermakna nombor $45\frac(π)(4)$ sepadan dengan titik yang sama pada bulatan nombor dengan nombor $\frac(5π)(4)$. Melihat nilai titik $\frac(5π)(4)$ dalam jadual, kita dapat: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.
Contoh 2.
Cari koordinat titik pada bulatan nombor: $P(-\frac(37π)(3))$.
Penyelesaian:
Kerana nombor $t$ dan $t+2π*k$, dengan k ialah integer, sepadan dengan titik yang sama pada bulatan nombor kemudian:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Ini bermakna nombor $-\frac(37π)(3)$ sepadan dengan titik yang sama pada bulatan nombor dengan nombor $–\frac(π)(3)$, dan nombor –$\frac(π) (3)$ sepadan dengan titik yang sama dengan $\frac(5π)(3)$. Melihat nilai titik $\frac(5π)(3)$ dalam jadual, kita dapat:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.
Contoh 3.
Cari titik pada bulatan nombor dengan ordinat $y =\frac(1)(2)$ dan tuliskan nombor $t$ yang sepadan dengannya?
Penyelesaian: 
Garis lurus $y =\frac(1)(2)$ memotong bulatan nombor pada titik M dan P. Titik M sepadan dengan nombor $\frac(π)(6)$ (daripada data jadual). Ini bermakna sebarang nombor dalam bentuk: $\frac(π)(6)+2π*k$. Titik P sepadan dengan nombor $\frac(5π)(6)$, dan oleh itu kepada sebarang nombor dalam bentuk $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Kami menerima, seperti yang sering dikatakan dalam kes sedemikian, dua siri nilai:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ dan $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Jawapan: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ dan $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.
Contoh 4.
Cari titik pada bulatan nombor dengan abscissa $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ dan tuliskan nombor $t$ yang sepadan dengannya.
Penyelesaian:
Garis lurus $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ memotong bulatan nombor pada titik M dan P. Ketaksamaan $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ sepadan ke titik lengkok PM. Titik M sepadan dengan nombor $3\frac(π)(4)$ (daripada data jadual). Ini bermakna sebarang nombor dalam bentuk $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Titik P sepadan dengan nombor $-\frac(3π)(4)$, dan oleh itu kepada sebarang nombor dalam bentuk $-\frac(3π)(4) +2π*k$.
Kemudian kita mendapat $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Jawapan: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Masalah untuk diselesaikan secara bebas
1) Cari koordinat titik pada bulatan nombor: $P(\frac(61π)(6))$.2) Cari koordinat titik pada bulatan nombor: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Cari titik pada bulatan nombor dengan ordinat $y = -\frac(1)(2)$ dan tuliskan nombor $t$ yang sepadan dengannya.
4) Cari titik pada bulatan nombor dengan ordinat $y ≥ -\frac(1)(2)$ dan tuliskan nombor $t$ yang sepadan dengannya.
5) Cari titik pada bulatan nombor dengan abscissa $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ dan tuliskan nombor $t$ yang sepadan dengannya.
Agak banyak masa ditumpukan kepada bulatan nombor dalam darjah 10. Ini disebabkan oleh kepentingan objek matematik ini untuk keseluruhan kursus matematik.
Pemilihan bahan bantu mengajar yang betul adalah sangat penting untuk penguasaan bahan yang baik. Alat sedemikian yang paling berkesan termasuk tutorial video. Baru-baru ini mereka telah mencapai kemuncak populariti. Oleh itu, pengarang tidak ketinggalan zaman dan membangunkan manual yang begitu hebat untuk membantu guru matematik - pelajaran video mengenai topik "Bulatan nombor pada satah koordinat."
Pelajaran ini mengambil masa 15:22 minit. Ini boleh dikatakan masa maksimum yang boleh diluangkan oleh guru untuk menerangkan bahan secara bebas mengenai sesuatu topik. Memandangkan ia mengambil banyak masa untuk menerangkan bahan baharu, adalah perlu untuk memilih tugasan dan latihan yang paling berkesan untuk penyatuan, dan juga memilih pelajaran lain di mana pelajar akan menyelesaikan tugasan mengenai topik ini.
Pelajaran dimulakan dengan imej bulatan nombor dalam sistem koordinat. Pengarang membina bulatan ini dan menerangkan tindakannya. Kemudian penulis menamakan titik persilangan bulatan nombor dengan paksi koordinat. Yang berikut menerangkan koordinat titik-titik bulatan dalam suku yang berbeza.
Selepas ini, penulis mengingatkan kita bagaimana rupa bentuk bulatan. Dan pendengar dibentangkan dengan dua model yang menggambarkan beberapa titik pada bulatan. Terima kasih kepada ini, dalam langkah seterusnya penulis menunjukkan cara mencari koordinat titik pada bulatan yang sepadan dengan nombor tertentu yang ditandakan pada templat. Ini menghasilkan jadual nilai untuk pembolehubah x dan y dalam persamaan bulatan.
Seterusnya, kami mencadangkan untuk mempertimbangkan contoh di mana perlu untuk menentukan koordinat titik pada bulatan. Sebelum mula menyelesaikan contoh, beberapa teguran diperkenalkan yang membantu dalam menyelesaikannya. Dan kemudian penyelesaian yang lengkap, tersusun dengan jelas dan digambarkan muncul pada skrin. Terdapat juga jadual di sini yang memudahkan untuk memahami intipati contoh.
Kemudian enam lagi contoh dipertimbangkan, yang kurang memakan masa daripada yang pertama, tetapi tidak kurang pentingnya dan mencerminkan idea utama pelajaran. Di sini penyelesaian dibentangkan sepenuhnya, dengan cerita terperinci dan unsur kejelasan. Iaitu, penyelesaian mengandungi lukisan yang menggambarkan kemajuan penyelesaian, dan notasi matematik yang membentuk literasi matematik pelajar.
Guru mungkin menghadkan dirinya kepada contoh yang dibincangkan dalam pelajaran, tetapi ini mungkin tidak mencukupi untuk pembelajaran bahan yang berkualiti tinggi. Oleh itu, memilih tugas untuk diperkukuh adalah sangat penting.
Pelajaran boleh berguna bukan sahaja untuk guru, yang masanya sentiasa terhad, tetapi juga untuk pelajar. Terutama bagi mereka yang mendapat pendidikan keluarga atau melibatkan diri dalam pendidikan diri. Bahan tersebut boleh digunakan oleh pelajar yang terlepas pelajaran mengenai topik ini.
DEKOD TEKS:
Topik pelajaran kami ialah "BULATAN ANGKA PADA SATAH KOORDINAT"
Kita sudah biasa dengan sistem koordinat segi empat tepat Cartes xOy (x o y). Dalam sistem koordinat ini, kita akan meletakkan bulatan nombor supaya pusat bulatan sejajar dengan asal koordinat, dan jejarinya akan diambil sebagai segmen skala.
Titik permulaan A bulatan nombor digabungkan dengan titik dengan koordinat (1;0), B - dengan titik (0;1), C - dengan (-1;0) (tolak satu, sifar), dan D - dengan (0; - 1)(sifar, tolak satu).
(lihat rajah 1)
Oleh kerana setiap titik pada bulatan nombor mempunyai koordinat sendiri dalam sistem xOy (x o y), maka untuk titik suku pertama yx lebih besar daripada sifar dan y lebih besar daripada sifar;
Kedua, ikx kurang daripada sifar dan yk lebih besar daripada sifar,
untuk mata suku ketiga ikx kurang daripada sifar dan yk kurang daripada sifar,
dan bagi suku keempat ikx lebih besar daripada sifar dan yk kurang daripada sifar
Untuk sebarang titik E (x;y) (dengan koordinat x, y) bulatan nombor, ketaksamaan -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x lebih besar daripada atau sama dengan tolak satu, tetapi kurang daripada atau sama dengan satu; y lebih besar daripada atau sama dengan tolak satu, tetapi kurang daripada atau sama dengan satu).
Ingat bahawa persamaan bulatan berjejari R dengan pusat di tempat asal mempunyai bentuk x 2 + y 2 = R 2 (x segiempat sama tambah y segi empat sama sama er segi empat sama). Dan untuk bulatan unit R = 1, jadi kita dapat x 2 + y 2 = 1
(x petak tambah y petak sama dengan satu).
Mari cari koordinat titik pada bulatan nombor, yang dibentangkan pada dua susun atur (lihat Rajah 2, 3)
Biarkan titik E, yang sepadan dengan
(pi dengan empat) - pertengahan suku pertama ditunjukkan dalam rajah. Dari titik E kita menurunkan EK berserenjang ke garis lurus OA dan pertimbangkan segi tiga OEK. Sudut AOE =45 0, kerana lengkok AE ialah separuh daripada lengkok AB. Oleh itu, segi tiga OEK ialah segi tiga tegak sama kaki, yang mana OK = EC. Ini bermakna bahawa absis dan ordinat titik E adalah sama, i.e. x sama dengan permainan. Untuk mencari koordinat titik E, kita menyelesaikan sistem persamaan: (x adalah sama dengan y - persamaan pertama sistem dan x kuasa dua tambah y kuasa dua adalah sama dengan satu - persamaan kedua sistem). persamaan sistem, bukannya x, kita gantikan y, kita dapat 2y 2 = 1 (dua y kuasa dua sama dengan satu), dari mana y = = (y adalah sama dengan satu dibahagikan dengan punca dua adalah sama dengan punca dua dibahagikan dengan dua) (ordinat adalah positif). Ini bermakna titik E dalam sistem koordinat segi empat tepat mempunyai koordinat (,)(akar dua dibahagikan dengan dua, punca dua dibahagikan dengan dua).
Penaakulan dengan cara yang sama, kita dapati koordinat untuk titik yang sepadan dengan nombor lain pada susun atur pertama dan dapatkan: titik yang sepadan adalah dengan koordinat (- ,) (tolak punca dua dibahagikan dengan dua, punca dua dibahagikan dengan dua) ; untuk - (- ,-) (tolak punca dua bahagi dua, tolak punca dua bahagi dua); untuk (tujuh pi lebih empat) (,)(akar dua dibahagi dua, tolak punca dua dibahagi dua).
Biarkan titik D sepadan dengan (Rajah 5). Mari kita lepaskan serenjang dari DP(de pe) ke OA dan pertimbangkan segi tiga ODP. Hipotenus segi tiga OD ini adalah sama dengan jejari bulatan unit, iaitu satu, dan sudut DOP adalah sama dengan tiga puluh darjah, kerana lengkok AD = digi AB (a de sama dengan satu pertiga a be), dan lengkok AB adalah sama dengan sembilan puluh darjah. Oleh itu, DP = (de pe bersamaan dengan satu separuh O de adalah sama dengan satu separuh) Oleh kerana kaki terletak bertentangan sudut tiga puluh darjah adalah sama dengan separuh hipotenus, iaitu, y = (y sama dengan satu separuh) . Menggunakan teorem Pythagoras, kita memperoleh OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe square sama dengan o de square tolak de pe square), tetapi OR = x (o pe sama dengan x). Ini bermakna x 2 = OD 2 - DP 2 =
ini bermakna x 2 = (x kuasa dua sama dengan tiga perempat) dan x = (x sama dengan punca tiga kali dua).
X positif, kerana adalah pada suku pertama. Kami mendapati bahawa titik D dalam sistem koordinat segi empat tepat mempunyai koordinat (,) punca tiga dibahagikan dengan dua, satu separuh.
Penaakulan dengan cara yang sama, kami akan mencari koordinat untuk titik yang sepadan dengan nombor lain pada susun atur kedua dan menulis semua data yang diperoleh dalam jadual:
Mari lihat contoh.
CONTOH 1. Cari koordinat titik-titik pada bulatan nombor: a) C 1 ();
b) C 2 (); c) C 3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse satu bersamaan dengan tiga puluh lima pi dengan empat, tse dua sepadan dengan tolak empat puluh sembilan pi dengan tiga, tse tiga sepadan dengan empat puluh satu pi, tse empat sepadan dengan tolak dua puluh enam pi).
Penyelesaian. Mari kita gunakan pernyataan yang diperoleh sebelum ini: jika titik D bagi bulatan nombor sepadan dengan nombor t, maka ia sepadan dengan sebarang nombor bentuk t + 2πk(te tambah dua puncak), dengan ka ialah sebarang integer, i.e. kϵZ (ka kepunyaan z).
a) Kita dapat = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (tiga puluh lima pi darab empat sama dengan tiga puluh lima darab empat, didarab dengan pi sama dengan hasil tambah lapan dan tiga suku, didarab dengan pi sama tiga pi darab empat ditambah hasil darab dua pi dengan empat). Ini bermakna nombor tiga puluh lima pi dengan empat sepadan dengan titik yang sama pada bulatan nombor dengan nombor tiga pi dengan empat. Menggunakan Jadual 1, kita dapat C 1 () = C 1 (- ;) .
b) Sama dengan koordinat C 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8) Ini bermakna nombor
sepadan dengan titik yang sama pada bulatan nombor dengan nombor. Dan nombor itu sepadan dengan titik yang sama pada bulatan nombor dengan nombor itu
(tunjukkan susun atur kedua dan jadual 2). Untuk titik kita mempunyai x = , y =.
c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Ini bermakna nombor 41π sepadan dengan titik yang sama pada bulatan nombor dengan nombor π - ini adalah titik dengan koordinat (-1; 0).
d) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), iaitu nombor - 26π sepadan dengan titik yang sama pada bulatan nombor dengan nombor sifar - ini adalah titik dengan koordinat (1;0).
CONTOH 2. Cari titik pada bulatan nombor dengan ordinat y =
Penyelesaian. Garis lurus y = memotong bulatan nombor pada dua titik. Satu titik sepadan dengan nombor, titik kedua sepadan dengan nombor,
Oleh itu, kita mendapat semua mata dengan menambah revolusi penuh 2πk di mana k menunjukkan berapa banyak pusingan penuh yang dibuat oleh titik, i.e. kita mendapatkan,
dan untuk sebarang nombor semua nombor dalam bentuk + 2πk. Selalunya dalam kes sedemikian mereka mengatakan bahawa mereka menerima dua siri nilai: + 2πk, + 2πk.
CONTOH 3. Cari titik pada bulatan nombor dengan abscissa x = dan tulis nombor t yang sepadan dengannya.
Penyelesaian. Lurus X= bersilang bulatan nombor pada dua titik. Satu titik sepadan dengan nombor (lihat susun atur kedua),
dan oleh itu sebarang nombor dalam bentuk + 2πk. Dan titik kedua sepadan dengan nombor, dan oleh itu kepada sebarang nombor bentuk + 2πk. Kedua-dua siri nilai ini boleh diliputi dalam satu entri: ± + 2πk (tambah tolak dua pi dengan tiga tambah dua pi).
CONTOH 4. Cari titik dengan ordinat pada bulatan nombor di> dan tuliskan nombor yang sesuai dengannya.
Garis lurus y = memotong bulatan nombor pada dua titik M dan P. Dan ketaksamaan y > sepadan dengan titik-titik lengkok terbuka MR, ini bermakna lengkok tanpa hujung (iaitu, tanpa u), apabila bergerak mengelilingi bulatan lawan jam , bermula dari titik M dan berakhir di titik P. Ini bermakna teras tatatanda analisis lengkok MR ialah ketaksamaan< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
CONTOH5. Cari titik ordinat pada bulatan nombor di < и записать, каким числам t они соответствуют.
Garis lurus y = memotong bulatan nombor pada dua titik M dan P. Dan ketaksamaan y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
CONTOH 6. Cari titik dengan absis pada bulatan nombor X> dan tuliskan nombor yang sesuai dengannya.
Garis lurus x = memotong bulatan nombor pada dua titik M dan P. Ketaksamaan x > sepadan dengan titik lengkok terbuka PM apabila bergerak di sepanjang bulatan lawan jam dengan permulaan di titik P, yang sepadan, dan penghujung pada titik M, yang sepadan. Ini bermakna teras notasi analisis lengkok PM ialah ketaksamaan< t <
(te lebih besar daripada tolak dua pi dengan tiga, tetapi kurang daripada dua pi dengan tiga), dan tatatanda analisis lengkok itu sendiri mempunyai bentuk + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
CONTOH 7. Cari titik dengan absis pada bulatan nombor X < и записать, каким числам t они соответствуют.
Garis lurus x = memotong bulatan nombor pada dua titik M dan P. Ketaksamaan x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(te lebih daripada dua pi dengan tiga, tetapi kurang daripada empat pi dengan tiga), dan tatatanda analitik lengkok itu sendiri mempunyai bentuk + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).