Pecutan sentripetal- komponen pecutan titik, mencirikan kelajuan perubahan dalam arah vektor halaju untuk trajektori dengan kelengkungan (komponen kedua, pecutan tangen, mencirikan perubahan dalam modul halaju). Dihalakan ke arah pusat kelengkungan trajektori, di mana istilah itu berasal. Nilainya adalah sama dengan kuasa dua kelajuan dibahagikan dengan jejari kelengkungan. Istilah "pecutan sentripetal" adalah bersamaan dengan istilah " pecutan biasa" Komponen jumlah daya yang menyebabkan pecutan ini dipanggil daya sentripetal.
Contoh paling mudah bagi pecutan sentripetal ialah vektor pecutan semasa gerakan seragam dalam bulatan (dihalakan ke arah pusat bulatan).
Pecutan pantas dalam unjuran pada satah berserenjang dengan paksi, ia kelihatan sebagai sentripetal.
YouTube ensiklopedia
-
1 / 5
A n = v 2 R (\gaya paparan a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)
di mana a n (\displaystyle a_(n)\ )- pecutan normal (centripetal), v (\displaystyle v\ )- (semerta) kelajuan linear pergerakan sepanjang trajektori, ω (\displaystyle \omega \ )- (semerta) halaju sudut pergerakan ini berbanding pusat kelengkungan trajektori, R (\displaystyle R\ )- jejari kelengkungan trajektori pada titik tertentu. (Hubungan antara formula pertama dan yang kedua adalah jelas, diberikan v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).
Ungkapan di atas termasuk nilai mutlak. Mereka boleh ditulis dengan mudah dalam bentuk vektor dengan mendarab dengan e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- vektor unit dari pusat kelengkungan trajektori ke titik yang diberikan:
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) a n = ω 2 R .Formula ini sama-sama terpakai untuk kes gerakan dengan kelajuan malar (dalam nilai mutlak) dan kes arbitrari. Walau bagaimanapun, dalam yang kedua, seseorang mesti ingat bahawa pecutan sentripetal bukanlah vektor pecutan penuh, tetapi hanya komponennya berserenjang dengan trajektori (atau, apa yang sama, berserenjang dengan vektor halaju serta-merta); vektor pecutan penuh kemudian juga termasuk komponen tangen ( tangen pecutan) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), dalam arah yang bertepatan dengan tangen kepada trajektori (atau, apa yang sama, dengan kelajuan serta-merta).
Motivasi dan kesimpulan
Hakikat bahawa penguraian vektor pecutan kepada komponen - satu di sepanjang tangen ke trajektori vektor (pecutan tangensial) dan satu lagi ortogon kepadanya (pecutan normal) - boleh menjadi mudah dan berguna adalah agak jelas dengan sendirinya. Apabila bergerak dengan kelajuan modulus malar, komponen tangen menjadi sama dengan sifar, iaitu, dalam kes penting ini ia kekal. sahaja komponen biasa. Di samping itu, seperti yang dapat dilihat di bawah, setiap komponen ini mempunyai sifat dan struktur yang jelas, dan pecutan normal mengandungi kandungan geometri yang agak penting dan bukan remeh dalam struktur formulanya. Apatah lagi kes khas penting gerakan pekeliling.
Kesimpulan rasmi
Penguraian pecutan kepada komponen tangen dan normal (yang kedua ialah pecutan sentripetal atau normal) boleh didapati dengan membezakan berkenaan dengan masa vektor halaju, dibentangkan dalam bentuk v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) melalui vektor unit tangen e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)Di sini kita menggunakan tatatanda untuk vektor unit normal kepada trajektori dan l (\displaystyle l\ )- untuk panjang trajektori semasa ( l = l (t) (\gaya paparan l=l(t)\ )); peralihan terakhir juga menggunakan yang jelas
d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )dan, dari pertimbangan geometri,
d e τ d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).)v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ ) Pecutan normal (centripetal). Selain itu, maknanya, makna objek yang termasuk di dalamnya, serta bukti fakta bahawa ia sememangnya ortogon kepada vektor tangen (iaitu, bahawa e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ ) - benar-benar vektor biasa) - akan mengikuti daripada pertimbangan geometri (namun, fakta bahawa terbitan mana-mana vektor panjang malar berkenaan dengan masa adalah berserenjang dengan vektor ini sendiri adalah fakta yang agak mudah; dalam kes ini kami menggunakan pernyataan ini untuk
d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))
Nota
Adalah mudah untuk melihat bahawa nilai mutlak pecutan tangen hanya bergantung pada pecutan tanah, bertepatan dengan nilai mutlaknya, berbeza dengan nilai mutlak pecutan normal, yang tidak bergantung pada pecutan tanah, tetapi bergantung pada kelajuan tanah. Kaedah yang dikemukakan di sini, atau variasi daripadanya, boleh digunakan untuk memperkenalkan konsep seperti kelengkungan lengkung dan jejari kelengkungan lengkung (kerana dalam kes di mana lengkung adalah bulatan, R (\displaystyle R) bertepatan dengan jejari bulatan sedemikian; ia tidak terlalu sukar untuk menunjukkan bahawa bulatan itu berada di dalam satah e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau ),\,e_(n)) dengan arah tengah e n (\displaystyle e_(n)\ ) Kaedah yang dikemukakan di sini, atau variasi daripadanya, boleh digunakan untuk memperkenalkan konsep seperti kelengkungan lengkung dan jejari kelengkungan lengkung (kerana dalam kes di mana lengkung adalah bulatan, dari satu titik pada jarak tertentu
daripadanya - akan bertepatan dengan lengkung yang diberikan - trajektori - sehingga urutan kedua kekecilan dalam jarak ke titik yang diberikan).
cerita
Yang pertama untuk mendapatkan formula yang betul untuk pecutan sentripetal (atau daya emparan) adalah, nampaknya, Huygens. Hampir dari masa ini, pertimbangan pecutan sentripetal telah menjadi sebahagian daripada teknik biasa untuk menyelesaikan masalah mekanikal, dsb.
Tidak lama kemudian, formula ini memainkan peranan penting dalam penemuan undang-undang graviti universal (rumus pecutan sentripetal digunakan untuk mendapatkan hukum pergantungan daya graviti pada jarak ke sumber graviti, berdasarkan undang-undang ketiga Kepler. diperolehi daripada pemerhatian).
Pergerakan bulat seragam dicirikan oleh pergerakan badan di sepanjang bulatan. Dalam kes ini, hanya arah halaju berubah, dan magnitudnya kekal malar.
Secara umum, badan bergerak di sepanjang laluan melengkung, dan ia sukar untuk digambarkan. Untuk memudahkan penerangan tentang gerakan melengkung, ia dibahagikan kepada jenis gerakan yang lebih mudah. Khususnya, salah satu daripada jenis ini ialah pergerakan seragam dalam bulatan. Mana-mana trajektori pergerakan melengkung boleh dibahagikan kepada bahagian-bahagian dengan saiz yang cukup kecil, di mana badan akan bergerak lebih kurang mengikut lengkok yang merupakan sebahagian daripada bulatan.
Apabila jasad bergerak dalam bulatan, kelajuan linear diarahkan secara tangen. Akibatnya, walaupun badan bergerak di sepanjang lengkok dengan kelajuan mutlak yang tetap, arah pergerakan pada setiap titik akan berbeza. Oleh itu, sebarang pergerakan dalam bulatan adalah pergerakan dengan pecutan.
Bayangkan bulatan di mana satu titik bahan bergerak. Pada saat sifar masa, ia berada di kedudukan A. Selepas selang masa tertentu, ia berakhir di titik B. Jika kita melukis dua vektor jejari dari pusat bulatan ke titik A dan titik B, maka sudut tertentu akan diperoleh di antara mereka. Mari kita panggil ia sudut phi. Jika, dalam tempoh masa yang sama, satu titik berputar melalui sudut phi yang sama, maka gerakan sedemikian dipanggil seragam, dan kelajuan dipanggil sudut.
Rajah 1 - halaju sudut.
Halaju sudut diukur dalam pusingan sesaat. Satu pusingan sesaat ialah apabila satu titik melepasi seluruh bulatan dan kembali ke kedudukan asalnya, mengambil masa satu saat. Perolehan ini dipanggil tempoh peredaran. Timbal balik tempoh putaran dipanggil kekerapan putaran. Iaitu, berapa banyak revolusi yang dapat dilakukan oleh mata dalam masa satu saat. Sudut yang dibentuk oleh dua vektor jejari diukur dalam radian. Radian ialah sudut antara dua vektor jejari yang memotong lengkok dengan panjang jejari pada permukaan bulatan.
Kelajuan titik bergerak mengelilingi bulatan juga boleh diukur dalam radian sesaat. Dalam kes ini, pergerakan titik dengan satu radian sesaat dipanggil kelajuan. Kelajuan ini dipanggil kelajuan sudut. Iaitu, berapa banyak sudut unit yang dapat diputarkan oleh vektor jejari dalam masa satu saat? Dengan gerakan seragam dalam bulatan, halaju sudut adalah malar.
Untuk menentukan pecutan gerakan dalam bulatan, kita plot dalam rajah vektor halaju titik A dan B. Sudut antara vektor ini adalah sama dengan sudut antara vektor jejari. Oleh kerana pecutan ialah perbezaan antara kelajuan yang diambil dalam selang masa tertentu dibahagikan dengan selang ini. Kemudian, dengan menggunakan terjemahan selari, kita akan memindahkan permulaan vektor halaju pada titik A ke titik B. Perbezaan antara vektor ini ialah delta vektor V. Jika kita membahagikannya dengan kord yang menghubungkan titik A dan B, dengan syarat bahawa jarak antara titik adalah sangat kecil, maka kita akan memperoleh vektor pecutan yang diarahkan ke arah pusat bulatan. Yang juga dipanggil pecutan sentripetal.
Oleh kerana kelajuan linear seragam menukar arah, gerakan bulat tidak boleh dipanggil seragam, ia dipercepatkan secara seragam.
Halaju sudut
Mari kita pilih satu titik pada bulatan 1 . Mari bina jejari. Dalam satu unit masa, titik akan bergerak ke titik 2 . Dalam kes ini, jejari menerangkan sudut. Halaju sudut secara berangka sama dengan sudut putaran jejari per unit masa.
Tempoh dan kekerapan
Tempoh putaran T- ini adalah masa di mana badan membuat satu revolusi.
Kekerapan putaran ialah bilangan pusingan sesaat.
Kekerapan dan tempoh saling berkaitan oleh perhubungan
Hubungan dengan halaju sudut
Kelajuan linear
Setiap titik pada bulatan bergerak pada kelajuan tertentu. Kelajuan ini dipanggil linear. Arah vektor halaju linear sentiasa bertepatan dengan tangen kepada bulatan. Contohnya, percikan api dari bawah mesin pengisar bergerak, mengulangi arah kelajuan serta-merta.
Pertimbangkan satu titik pada bulatan yang membuat satu revolusi, masa yang dibelanjakan ialah tempoh T. Laluan yang dilalui titik ialah lilitan.
Pecutan sentripetal
Apabila bergerak dalam bulatan, vektor pecutan sentiasa berserenjang dengan vektor halaju, dihalakan ke arah pusat bulatan.
Menggunakan formula sebelumnya, kita boleh memperoleh hubungan berikut
Titik yang terletak pada garis lurus yang sama yang keluar dari pusat bulatan (contohnya, ini boleh menjadi titik yang terletak pada jejari roda) akan mempunyai halaju sudut, tempoh dan kekerapan yang sama. Iaitu, mereka akan berputar dengan cara yang sama, tetapi dengan kelajuan linear yang berbeza. Semakin jauh satu titik dari pusat, semakin cepat ia akan bergerak.
Hukum penambahan halaju juga sah untuk gerakan putaran. Jika gerakan badan atau kerangka rujukan tidak seragam, maka undang-undang terpakai untuk halaju serta-merta. Sebagai contoh, kelajuan seseorang berjalan di sepanjang pinggir karusel berputar adalah sama dengan jumlah vektor kelajuan linear putaran tepi karusel dan kelajuan orang itu.
Bumi mengambil bahagian dalam dua pergerakan putaran utama: diurnal (sekitar paksinya) dan orbital (sekitar Matahari). Tempoh putaran Bumi mengelilingi Matahari ialah 1 tahun atau 365 hari. Bumi berputar mengelilingi paksinya dari barat ke timur, tempoh putaran ini adalah 1 hari atau 24 jam. Latitud ialah sudut antara satah khatulistiwa dan arah dari pusat Bumi ke satu titik di permukaannya.
Menurut undang-undang kedua Newton, punca sebarang pecutan adalah daya. Jika jasad yang bergerak mengalami pecutan sentripetal, maka sifat daya yang menyebabkan pecutan ini mungkin berbeza. Sebagai contoh, jika jasad bergerak dalam bulatan pada tali yang diikat padanya, maka daya bertindak ialah daya kenyal.
Jika jasad yang terletak di atas cakera berputar dengan cakera di sekeliling paksinya, maka daya sedemikian ialah daya geseran. Sekiranya daya berhenti bertindak, maka badan akan terus bergerak dalam garis lurus
Pertimbangkan pergerakan titik pada bulatan dari A ke B. Kelajuan linear adalah sama dengan v A Dan vB masing-masing. Pecutan ialah perubahan dalam kelajuan per unit masa. Mari cari perbezaan antara vektor.
Sumber pekerjaan: Keputusan 3553.-20. OGE 2016 Matematik, I.V. Yashchenko. 36 pilihan.
Tugasan 18. Rajah menunjukkan taburan tanah mengikut kategori di daerah persekutuan Ural, Volga, Selatan dan Timur Jauh. Tentukan daripada rajah daerah manakah yang mempunyai bahagian tanah pertanian terkecil.
1) Daerah Persekutuan Ural
2) Daerah Persekutuan Volga
3) Daerah Persekutuan Selatan
4) Daerah Persekutuan Timur Jauh
Penyelesaian.
Tanah pertanian diwarnai oleh sektor dalam bentuk garisan melintang (lihat rajah). Anda perlu memilih daerah di mana kawasan sektor sedemikian adalah minimum. Analisis angka menunjukkan bahawa ini adalah Daerah Persekutuan Timur Jauh.
Jawapan: 4.
Tugasan 19. Nenek mempunyai 20 cawan: 10 dengan bunga merah, selebihnya dengan biru. Nenek menuang teh ke dalam cawan yang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa ia akan menjadi cawan dengan bunga biru.
Penyelesaian.
Oleh kerana terdapat tepat 20-10 = 10 cawan dengan bunga biru, dan terdapat 20 cawan kesemuanya, maka kebarangkalian untuk memilih cawan dengan bunga biru secara rawak akan sama dengan
.Jawapan: 0,5.
Tugasan 20. Pecutan sentripetal apabila bergerak dalam bulatan (dalam m/s2) boleh dikira menggunakan formula a=w^2*R di mana w ialah halaju sudut (dalam s-1), dan R ialah jejari bulatan. Dengan menggunakan formula ini, cari jejari R (dalam meter) jika halaju sudut ialah 7.5 s-1 dan pecutan sentripetal ialah 337.5 m/s2.
Penyelesaian.
Daripada formula kita menyatakan jejari bulatan, kita dapat:
dan mengiranya dengan menggantikan data , , ke dalam formula, kita ada.
Secara semula jadi, pergerakan badan sering berlaku sepanjang garis melengkung. Hampir semua pergerakan melengkung boleh diwakili sebagai urutan pergerakan sepanjang lengkok bulat. Secara umum, apabila bergerak dalam bulatan, kelajuan badan berubah sebagai dalam saiz, jadi dan dalam arah.
Pergerakan seragam mengelilingi bulatan
Pergerakan bulat dipanggil seragam jika kelajuannya tetap.
Mengikut undang-undang ketiga Newton, setiap tindakan menyebabkan tindak balas yang sama dan bertentangan. Daya sentripetal yang mana sambungan bertindak ke atas jasad dilawan dengan magnitud yang sama dan daya arah bertentangan dengan mana jasad bertindak ke atas sambungan. kuasa ini F 6 bernama emparan, kerana ia diarahkan secara jejari dari pusat bulatan. Daya sentrifugal adalah sama dengan magnitud dengan daya sentripetal:
Contoh
Pertimbangkan kes di mana seorang atlet memutarkan objek yang diikat pada hujung tali di sekeliling kepalanya. Atlet merasakan satu daya dikenakan pada lengan dan menariknya ke luar. Untuk memegang objek pada bulatan, atlet (menggunakan benang) menariknya ke dalam. Oleh itu, mengikut undang-undang ketiga Newton, objek (sekali lagi melalui benang) bertindak pada tangan dengan daya yang sama dan bertentangan, dan ini adalah daya yang dirasai oleh tangan atlet (Rajah 3.23). Daya yang bertindak ke atas objek ialah tegangan ke dalam benang.
Contoh lain: peralatan sukan "tukul" digerakkan oleh kabel yang dipegang oleh atlet (Rajah 3.24).
Mari kita ingat bahawa daya emparan bertindak bukan pada badan berputar, tetapi pada benang. Jika daya emparan bertindak pada badan maka jika benang putus, ia akan terbang secara jejari dari pusat, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3.25, a. Walau bagaimanapun, sebenarnya, apabila benang putus, badan mula bergerak secara tangen (Rajah 3.25, b) ke arah kelajuan yang ada pada saat benang putus.
Daya sentrifugal digunakan secara meluas.
Empar ialah peranti yang direka untuk melatih dan menguji juruterbang, atlet dan angkasawan. Jejari yang besar (sehingga 15 m) dan kuasa enjin yang tinggi (beberapa MW) memungkinkan untuk mencipta pecutan sentripetal sehingga 400 m/s 2 . Daya emparan menekan jasad dengan daya yang melebihi daya graviti biasa di Bumi sebanyak lebih daripada 40 kali. Seseorang boleh menahan beban lebihan sementara sebanyak 20-30 kali jika dia terletak berserenjang dengan arah daya empar, dan 6 kali jika dia terletak di sepanjang arah daya ini.
3.8. Unsur-unsur yang menggambarkan pergerakan manusia
Pergerakan manusia adalah kompleks dan sukar untuk digambarkan. Walau bagaimanapun, dalam beberapa kes, adalah mungkin untuk mengenal pasti titik penting yang membezakan satu jenis pergerakan dari yang lain. Pertimbangkan, sebagai contoh, perbezaan antara berlari dan berjalan.
Elemen pergerakan melangkah semasa berjalan ditunjukkan dalam Rajah. 3.26. Dalam pergerakan berjalan, setiap kaki bersilih ganti antara menyokong dan membawa. Tempoh sokongan termasuk susut nilai (membrek pergerakan badan ke arah sokongan) dan tolakan, manakala tempoh pemindahan termasuk pecutan dan brek.
Pergerakan berurutan badan manusia dan kakinya semasa berjalan ditunjukkan dalam Rajah. 3.27.
Garisan A dan B memberikan imej pergerakan kaki yang berkualiti tinggi semasa berjalan. Garis atas A merujuk kepada satu kaki, garis bawah B ke kaki yang lain. Bahagian lurus sepadan dengan momen sokongan kaki di atas tanah, bahagian arcuate sepadan dengan momen pergerakan kaki. Dalam tempoh masa (a) kedua-dua kaki bertumpu di atas tanah; kemudian (b)- kaki A berada di udara, kaki B terus bersandar; dan selepas (Dengan)- sekali lagi kedua-dua kaki berehat di atas tanah. Semakin cepat anda berjalan, semakin pendek jaraknya. (A Dan Dengan).
Dalam Rajah. Rajah 3.28 menunjukkan pergerakan berurutan badan manusia semasa berlari dan gambaran grafik pergerakan kaki. Seperti yang anda lihat dalam rajah, apabila berjalan terdapat selang masa { b, d, /), apabila kedua-dua kaki berada di udara, dan tidak ada selang antara kaki secara serentak menyentuh tanah. Inilah perbezaan antara berlari dan berjalan.
Satu lagi jenis pergerakan biasa ialah menolak sokongan semasa pelbagai lompatan. Tolakan dilakukan dengan meluruskan kaki menolak dan pergerakan menghayun lengan dan badan. Tugas tolakan adalah untuk memastikan nilai maksimum vektor halaju awal pusat jisim am atlit dan arah optimumnya. Dalam Rajah. 3.29 fasa ditunjukkan
\ Bab 4
DINAMIK PEMANDUTITIK BAHAN
Dinamik ialah satu cabang mekanik yang mengkaji pergerakan sesuatu jasad dengan mengambil kira interaksinya dengan jasad lain.
Dalam bahagian "Kinematik" konsep telah diperkenalkan kelajuan Dan pecutan titik material. Untuk badan sebenar, konsep ini memerlukan penjelasan, kerana untuk berbeza mata badan sebenar ciri-ciri pergerakan ini mungkin berbeza-beza. Sebagai contoh, bola sepak melengkung bukan sahaja bergerak ke hadapan, tetapi juga berputar. Titik-titik badan berputar bergerak pada kelajuan yang berbeza. Atas sebab ini, dinamik titik material pertama kali dipertimbangkan, dan kemudian hasil yang diperoleh dilanjutkan ke badan sebenar.