Fizik statistik dan termodinamik. Undang-undang dinamik dan statistik

Kuliah 2.

Termodinamik, fizik statistik, entropi maklumat

1. Maklumat daripada termodinamik dan fizik statistik. Fungsi pengedaran. Teorem Liouville. Pengagihan mikrokanonik. Hukum pertama termodinamik. Proses adiabatik. Entropi. Berat statistik. Formula Boltzmann. Hukum kedua termodinamik. Proses boleh balik dan tidak boleh balik.

2. Entropi maklumat Shannon. Bit, kacang, trits, dll. Hubungan antara entropi dan maklumat.

Bahagian ini tergolong dalam kuliah 1. Ia lebih baik dipertimbangkan dalam bahagian V ("Konsep keterikatan keadaan kuantum").

LE CNOT digambarkan sebagai:

Kami menyimpan nilai (qu)bit sementara (qu)bit b berubah mengikut undang-undang XOR:

sedikit b(sasaran = sasaran) menukar keadaannya jika dan hanya jika keadaan bit kawalan a perlawanan 1; Pada masa yang sama, keadaan bit kawalan tidak berubah.

Operasi logik XOR (CNOT) menggambarkan mengapa data klasik boleh diklon tetapi data kuantum tidak boleh. Ambil perhatian bahawa dalam kes umum, melalui data kuantum kita akan memahami superposisi bentuk

, (1)

di mana dan ialah nombor kompleks atau amplitud keadaan, dan, .

Mengikut jadual kebenaran, jika XOR digunakan pada data Boolean di mana bit kedua berada dalam keadaan “0” (b) dan yang pertama berada dalam keadaan “X” (a), maka bit pertama tidak berubah, dan yang kedua menjadi salinannya:

U XOR (X, 0) = (X, X), dengan X = “0” atau “1”.

Dalam kes kuantum, data yang dilambangkan dengan simbol "X" harus dianggap superposisi (1):

.

Secara fizikal, data boleh dikodkan, contohnya, dalam asas polarisasi |V> = 1, |H> = 0 (H,V)= (0,1):

Dan

Dapat dilihat bahawa penyalinan negeri sebenarnya berlaku. Teorem tanpa pengklonan menyatakan bahawa adalah mustahil untuk menyalin sewenang-wenangnya keadaan kuantum. Dalam contoh yang dipertimbangkan, penyalinan berlaku kerana operasi dilakukan mengikut asasnya sendiri (|0>, |1>), i.e. V persendirian kes keadaan kuantum.

Nampaknya operasi XOR juga boleh digunakan untuk menyalin superposisi dua keadaan Boolean, seperti |45 0 > ? |V> + |H>:

Tetapi itu tidak benar! Kesatuan evolusi kuantum memerlukan superposisi keadaan input diubah menjadi superposisi keadaan output yang sepadan:

(2)

Inilah yang dipanggil keadaan terjerat (Ф+), di mana setiap dua qubit keluaran tidak mempunyai nilai tertentu (dalam kes ini, polarisasi). Contoh ini menunjukkan bahawa operasi logik yang dilakukan pada objek kuantum berlaku mengikut peraturan yang berbeza daripada dalam proses pengkomputeran klasik.

Persoalan seterusnya timbul: Nampaknya berada dalam mod output A sekali lagi boleh diwakili sebagai superposisi , seperti keadaan fesyen b. Bagaimana untuk menunjukkan bahawa ini tidak begitu, iaitu, tidak ada gunanya bercakap tentang keadaan mod (bit) sama sekali? a dan fesyen (sedikit) b?

Mari kita gunakan analogi polarisasi apabila

(3).

Terdapat dua cara. Laluan 1 lebih panjang, tetapi lebih konsisten. Ia adalah perlu untuk mengira nilai purata parameter Stokes untuk kedua-dua mod keluaran. Purata diambil daripada fungsi gelombang (2). Jika semua kecuali berubah menjadi sifar, maka keadaan ini tidak terpolarisasi, i.e. bercampur dan superposisi (3) tidak masuk akal. Kami bekerja dalam perwakilan Heisenberg, apabila pengendali diubah, tetapi fungsi gelombang tidak.

Jadi, kita dapati ia dalam fesyen a.

- jumlah keamatan rasuk a,

- bahagian polarisasi menegak,

- kongsi +45 polarisasi ke-0,

- bahagian polarisasi bulatan sebelah kanan.

Fungsi gelombang di mana purata dilakukan diambil dalam bentuk (2):

di manakah operator kelahiran dan kemusnahan dalam mods a Dan b beroperasi mengikut peraturan:

(Lakukan pengiraan dalam Bahagian V (lihat buku nota). Di sana, hitung juga kebarangkalian untuk mendaftarkan kebetulan atau korelasi borang }

Laluan II lebih visual, tetapi kurang "jujur"!

Mari cari pergantungan keamatan cahaya dalam mod a pada sudut putaran Polaroid yang diletakkan dalam mod ini. Ini ialah cara optik kuantum standard untuk memeriksa keadaan (2) - keamatan tidak harus bergantung pada putaran. Pada masa yang sama, pergantungan yang serupa dengan bilangan padanan mempunyai bentuk

. Kebergantungan sedemikian mula-mula diperolehi oleh E. Fry (1976) dan A. Aspek (1985) dan sering ditafsirkan sebagai bukti bukan ketempatan mekanik kuantum.

Jadi, keadaan eksperimen digambarkan dalam rajah:

Mengikut takrifan

di manakah operator penghapusan dalam mod a. Telah diketahui bahawa transformasi pengendali dua mod terkutub ortogon x dan y apabila cahaya melalui polaroid berorientasikan pada sudut mempunyai bentuk:

.

(hanya sebutan pertama, keempat, kelima dan kelapan berbeza daripada sifar) =

(hanya sebutan pertama dan kelapan berbeza daripada sifar) = - tidak bergantung pada sudut?!

Secara fizikal, ini berlaku kerana fungsi gelombang (2) tidak memfaktorkan dan tidak ada gunanya bercakap tentang keadaan dalam mod A Dan b secara berasingan. Oleh itu, tidak boleh dikatakan bahawa mod a berada dalam keadaan superposisi (3)!

Komen. Pengiraan yang dilakukan (Cara II) langsung tidak membuktikan bahawa negeri itu sedang popular A tidak berpolarisasi. Contohnya, jika terdapat cahaya terkutub bulat dalam mod ini, hasilnya akan sama. Bukti yang ketat - contohnya, melalui parameter Stokes (dalam bahagian V).

Ambil perhatian bahawa dengan bertindak dengan cara yang sama, kita boleh membuktikan bahawa keadaan dalam mod a sebelum elemen CNOT dipolarisasi.

Di sini, purata mesti dijalankan ke atas fungsi gelombang keadaan awal (3). Hasilnya kelihatan seperti ini:

mereka. kiraan maksimum dicapai pada = 45 0 .

Maklumat dan entropi.

Tanpa memperkenalkan istilah "operasi" "maklumat" buat masa ini, kami akan berhujah menggunakan bahasa "setiap hari". Itu. maklumat ialah beberapa pengetahuan tentang sesuatu objek.

Contoh berikut menunjukkan bahawa maklumat konsep dan entropi berkait rapat. Mari kita pertimbangkan gas ideal dalam keseimbangan termodinamik. Gas terdiri daripada sejumlah besar molekul yang bergerak dalam isipadu V. Parameter keadaan ialah tekanan dan suhu. Bilangan keadaan sistem sedemikian adalah sangat besar. Entropi gas pada keseimbangan TD adalah maksimum dan, seperti berikut dari formula Boltzmann, ditentukan oleh bilangan keadaan mikro sistem. Pada masa yang sama, kami tidak tahu apa-apa tentang keadaan khusus sistem pada masa tertentu - maklumat adalah minimum. Katakan bahawa entah bagaimana kami berjaya, menggunakan peranti yang sangat pantas, untuk "mengintip keadaan sistem pada masa tertentu. Jadi kami menerima beberapa maklumat tentang dia. Anda juga boleh membayangkan bahawa kami mengambil gambar bukan sahaja koordinat molekul, tetapi juga kelajuannya (contohnya, dengan mengambil beberapa gambar satu demi satu). Selain itu, pada setiap saat apabila maklumat tentang keadaan sistem tersedia untuk kita, entropi cenderung kepada sifar, kerana sistem hanya berada dalam satu keadaan tertentu daripada semua varietinya yang besar, dan keadaan ini sangat tidak seimbang. Contoh ini menunjukkan bahawa maklumat dan entropi sememangnya berhubung entah bagaimana, dan sifat sambungan sudah muncul: semakin banyak maklumat, semakin kurang entropi.

Maklumat daripada termodinamik dan fizik statistik.

Kuantiti fizik yang mencirikan keadaan makroskopik badan (banyak molekul) dipanggil termodinamik (termasuk tenaga, isipadu). Walau bagaimanapun, terdapat kuantiti yang muncul sebagai hasil daripada tindakan undang-undang statistik semata-mata dan mempunyai makna apabila digunakan hanya pada sistem makroskopik. Contohnya, adalah entropi dan suhu.

Statistik klasik

*Teorem Liouville. Fungsi pengedaran adalah malar di sepanjang trajektori fasa subsistem (kita bercakap tentang subsistem separa tertutup, jadi teorem hanya sah untuk tempoh masa yang tidak terlalu besar, di mana subsistem berkelakuan tertutup).

di sini - - fungsi taburan atau ketumpatan kebarangkalian. Ia diperkenalkan melalui kebarangkalian w mengesan subsistem dalam elemen ruang fasa pada masa ini: dw = ( hlm 1 ,..., ps , q 1 ,..., qs ) dpdq , dan

Mencari taburan statistik untuk mana-mana subsistem adalah tugas utama statistik. Jika taburan statistik diketahui, maka adalah mungkin untuk mengira kebarangkalian pelbagai nilai bagi sebarang kuantiti fizik bergantung pada keadaan subsistem ini (iaitu, pada nilai koordinat dan momen):

.

*Pengagihan mikrokanonik.

Taburan untuk set dua subsistem (ia diandaikan tertutup, iaitu, berinteraksi dengan lemah) adalah sama. sebab tu - logaritma fungsi taburan - nilai bahan tambahan. Daripada teorem Liouville ia mengikuti bahawa fungsi taburan mesti dinyatakan melalui gabungan pembolehubah p dan q yang, apabila subsistem bergerak sebagai sistem tertutup, mesti kekal malar (kuantiti sedemikian dipanggil kamiran gerakan). Ini bermakna fungsi pengedaran itu sendiri adalah integral bagi gerakan. Selain itu, logaritmanya juga merupakan integral bagi gerakan, dan bahan tambahan. Secara keseluruhan, dalam mekanik terdapat tujuh kamiran gerakan - tenaga, tiga komponen momentum dan tiga komponen momentum sudut - (untuk subsistem a: E a (hlm, q), P A (hlm, q), M A (hlm, q)). Satu-satunya kombinasi bahan tambahan bagi kuantiti ini ialah

Selain itu, pekali (terdapat tujuh daripadanya) mesti kekal sama untuk semua subsistem sistem tertutup yang diberikan, dan dipilih daripada keadaan normalisasi (4).

Untuk keadaan normalisasi (4) dipenuhi, adalah perlu bahawa fungsi (hlm, q) menghubungi mata E 0, P 0, M 0 kepada infiniti. Rumusan yang lebih tepat memberikan ungkapan

Pengagihan mikrokanonik.

Kehadiran - fungsi memastikan ia hilang untuk semua titik ruang fasa di mana sekurang-kurangnya satu daripada kuantiti E, R, M tidak sama dengan nilai yang diberikan (purata). E 0, P 0, M 0 .

Daripada enam kamiran P Dan M boleh dihapuskan dengan memasukkan sistem ke dalam kotak pepejal di mana ia diletakkan.

.

Entropi fizikal

Sekali lagi kita menggunakan konsep gas ideal.

Biarkan gas ideal monatomik dengan ketumpatan n dan suhu T mengambil kelantangan V. Kami akan mengukur suhu dalam unit tenaga - pemalar Boltzmann tidak akan muncul. Setiap atom gas mempunyai tenaga kinetik purata gerakan haba yang sama dengan 3T/2. Oleh itu, jumlah tenaga haba gas adalah sama dengan

Adalah diketahui bahawa tekanan gas adalah sama dengan hlm = nT. Jika gas boleh menukar haba dengan persekitaran luaran, maka hukum pemuliharaan tenaga gas kelihatan seperti ini:

. (5)

Oleh itu, perubahan dalam tenaga dalaman gas boleh berlaku kedua-duanya disebabkan oleh kerja yang dilakukan dan disebabkan oleh penerimaan sejumlah haba tertentu. dQ dari luar. Persamaan ini menyatakan hukum pertama termodinamik, i.e. hukum kekekalan tenaga. Diandaikan bahawa gas berada dalam keseimbangan, i.e. hlm = const sepanjang keseluruhan isipadu.

Jika kita mengandaikan bahawa gas juga berada dalam keadaan keseimbangan TD, T =const, maka hubungan (5) boleh dianggap sebagai proses asas variasi parameter gas apabila ia berubah dengan sangat perlahan, apabila keseimbangan TD tidak terganggu. Ia adalah untuk proses sedemikian konsep entropi S diperkenalkan menggunakan hubungan

Oleh itu, dihujahkan bahawa sebagai tambahan kepada tenaga dalaman, gas keseimbangan mempunyai satu lagi ciri dalaman yang berkaitan dengan gerakan terma atom. Menurut (5, 6) pada isipadu tetap dV= 0, perubahan tenaga adalah berkadar dengan perubahan suhu, dan dalam kes umum

Kerana di mana N = nV = const ialah jumlah bilangan atom gas, maka hubungan terakhir boleh ditulis dalam bentuk

Selepas integrasi kita dapat

Ungkapan dalam kurungan segi empat sama mewakili entropi setiap zarah.

Oleh itu, jika kedua-dua suhu dan isipadu berubah sedemikian rupa VT 3/2 kekal malar, maka entropi S tidak berubah. Menurut (6), ini bermakna bahawa gas tidak menukar haba dengan persekitaran luaran, i.e. gas dipisahkan daripadanya oleh dinding penebat haba. Proses ini dipanggil adiabatik.

Kerana

di mana = 5/3 dipanggil eksponen adiabatik. Oleh itu, semasa proses adiabatik, suhu dan tekanan berubah mengikut ketumpatan mengikut undang-undang

Formula Boltzmann

Seperti berikut dari teorem Liouville, fungsi taburan? mempunyai maksimum tajam pada E = E 0 (nilai purata) dan bukan sifar hanya di sekitar titik ini. Jika anda memasukkan lebar E lengkung (E), mentakrifkannya sebagai lebar segi empat tepat yang ketinggiannya sama dengan nilai fungsi (E) pada titik maksimum, dan luasnya sama dengan perpaduan (dengan normalisasi yang betul). Kita boleh bergerak dari selang nilai tenaga ke bilangan keadaan Г dengan tenaga kepunyaan E (ini, sebenarnya, turun naik purata tenaga sistem). Kemudian nilai Γ mencirikan tahap calitan keadaan makroskopik sistem berbanding keadaan mikroskopiknya. Dalam erti kata lain, untuk sistem klasik Г ialah saiz kawasan ruang fasa di mana subsistem tertentu menghabiskan hampir semua masanya Dalam teori kuasi-klasik, korespondensi diwujudkan antara volum kawasan ruang fasa dan bilangan keadaan kuantum bagi setiap keadaan kuantum dalam ruang fasa terdapat sel dengan isipadu , di mana s ialah bilangan darjah kebebasan.

Nilai Γ dipanggil berat statistik keadaan makroskopik ia boleh ditulis sebagai:

Logaritma berat statistik dipanggil entropi:

di mana - berat statistik = bilangan keadaan mikro yang diliputi oleh keadaan makro sistem yang sedang dipertimbangkan.

.

Dalam statistik kuantum ditunjukkan bahawa = 1. Kemudian

Di mana dengan bermaksud matriks statistik (ketumpatan). Disebabkan oleh kelinearan logaritma fungsi pengagihan tenaga (*), di mana purata dijalankan ke atas fungsi pengagihan.

Oleh kerana bilangan keadaan dalam mana-mana keadaan tidak kurang daripada satu, entropi tidak boleh negatif. S menentukan ketumpatan aras dalam spektrum tenaga sistem makroskopik. Disebabkan oleh ketambahan entropi, kita boleh mengatakan bahawa jarak purata antara tahap badan makroskopik berkurangan secara eksponen dengan peningkatan saiznya (iaitu, bilangan zarah di dalamnya). Nilai entropi tertinggi sepadan dengan keseimbangan statistik lengkap.

Mencirikan setiap keadaan makroskopik sistem dengan pengagihan tenaga antara pelbagai subsistem, kita boleh mengatakan bahawa beberapa keadaan yang dilalui secara berturut-turut oleh sistem sepadan dengan pengagihan tenaga yang semakin berkemungkinan. Peningkatan kebarangkalian ini adalah besar kerana sifat eksponennya eS- eksponen mengandungi kuantiti aditif - entropi. Itu. proses yang berlaku dalam sistem tertutup bukan keseimbangan berjalan dengan cara yang sistem terus bergerak dari keadaan dengan entropi yang lebih rendah kepada keadaan dengan entropi yang lebih tinggi. Akibatnya, entropi mencapai nilai tertinggi yang mungkin, sepadan dengan keseimbangan statistik lengkap.

Oleh itu, jika sistem tertutup pada satu-satu masa berada dalam keadaan makroskopik tidak seimbang, maka akibat yang paling mungkin pada masa-masa berikutnya ialah peningkatan monotonik dalam entropi sistem. ini - hukum kedua termodinamik (R. Clausius, 1865). Justifikasi statistiknya diberikan oleh L. Boltzmann pada tahun 1870. Definisi lain:

jika pada suatu ketika entropi sistem tertutup berbeza daripada maksimum, maka pada saat-saat berikutnya entropi tidak berkurangan. Ia meningkat atau, dalam kes yang melampau, kekal malar. Mengikut dua kemungkinan ini, semua proses yang berlaku dengan badan makroskopik biasanya dibahagikan kepada tidak dapat dipulihkan Dan boleh balik . Tak boleh balik - proses-proses yang disertai dengan peningkatan dalam entropi keseluruhan sistem tertutup (proses yang akan menjadi pengulangan mereka dalam urutan terbalik tidak boleh berlaku, kerana dalam kes ini entropi perlu berkurangan). Ambil perhatian bahawa penurunan entropi boleh disebabkan oleh turun naik. Boleh diterbalikkan adalah proses di mana entropi sistem tertutup kekal malar dan yang, oleh itu, juga boleh berlaku dalam arah yang bertentangan. Proses yang boleh diterbalikkan dengan tegas mewakili kes pengehad yang ideal.

Semasa proses adiabatik, sistem tidak menyerap atau membebaskan haba ? Q = 0 .

Ulasan: (substantial). Pernyataan bahawa sistem tertutup mesti beralih kepada keadaan keseimbangan dalam masa yang cukup lama (lebih lama daripada masa kelonggaran) hanya terpakai kepada sistem di bawah keadaan luaran yang pegun. Contohnya ialah tingkah laku kawasan besar Alam Semesta yang boleh diakses oleh pemerhatian kita (sifat alam semula jadi tidak mempunyai persamaan dengan sifat sistem keseimbangan).

Maklumat.

Mari kita pertimbangkan pita yang dibahagikan kepada sel - daftar klasik. Jika hanya satu daripada dua aksara boleh diletakkan dalam setiap sel, maka sel itu dikatakan mengandungi sedikit maklumat. Adalah jelas (lihat kuliah 1) bahawa dalam daftar yang mengandungi N sel yang terkandung N sedikit maklumat dan boleh ditulis di dalamnya 2 N mesej. Jadi, entropi maklumat diukur dalam bit:

(7)

Di sini Q N = 2 N- jumlah bilangan mesej yang berbeza. Daripada (7) jelas bahawa entropi maklumat hanyalah sama dengan bilangan minimum sel binari yang mana beberapa maklumat boleh direkodkan.

Takrif (7) boleh ditulis semula secara berbeza. Mari kita mempunyai banyak Q N pelbagai mesej. Mari kita cari kebarangkalian bahawa mesej yang kita perlukan akan bertepatan dengan satu yang dipilih secara rawak daripada jumlah nombor Q N pelbagai mesej. Ia jelas sama dengan P N = 1/ Q N. Kemudian definisi (7) akan ditulis sebagai:

(8)

Semakin banyak bilangan sel N, semakin kecil kemungkinannya P N dan semakin besar entropi maklumat H B terkandung dalam mesej khusus ini.

Contoh . Bilangan huruf abjad ialah 32 (tanpa huruf ё). Nombor 32 ialah kuasa kelima dari dua 32 = 2 5. Untuk memadankan setiap huruf dengan gabungan nombor binari tertentu, anda perlu mempunyai 5 sel. Dengan menambahkan huruf besar pada huruf kecil, kami menggandakan bilangan aksara yang ingin kami kodkan - akan ada 64 = 2 6 - i.e. sedikit maklumat tambahan ditambah H B= 6. Di sini H B- jumlah maklumat setiap huruf (huruf kecil atau huruf besar). Walau bagaimanapun, pengiraan langsung entropi maklumat sedemikian tidak sepenuhnya tepat, kerana terdapat huruf dalam abjad yang kurang biasa atau lebih biasa. Huruf yang berlaku kurang kerap boleh diberi bilangan sel yang lebih besar, dan untuk huruf yang kerap berlaku, anda boleh menjimatkan wang dan memberi mereka negeri daftar yang menduduki bilangan sel yang lebih kecil. Takrifan tepat bagi entropi maklumat telah diberikan oleh Shannon:

(9)

Secara formal, terbitan perhubungan ini boleh dibenarkan seperti berikut.

Kami menunjukkan di atas itu

disebabkan oleh ketambahan logaritma fungsi taburan dan kelinearannya dalam tenaga.

biarlah hlm- fungsi pengedaran beberapa nilai diskret f i (contohnya, huruf “o” dalam teks ini). Jika menggunakan fungsi hlm bina fungsi taburan kebarangkalian pelbagai nilai kuantiti f = f 1 , f 2 ,... f N, maka fungsi ini akan mempunyai maksimum pada , di mana dan (normalisasi). Kemudian p()= 1 dan (secara umumnya, ini adalah benar untuk kelas fungsi yang memuaskan keadaan (*))

Penjumlahan dijalankan ke atas semua aksara (huruf abjad), dan p i bermaksud kebarangkalian kemunculan simbol dengan nombor i. Seperti yang anda lihat, ungkapan ini merangkumi kedua-dua huruf yang kerap digunakan dan huruf yang kemungkinan muncul dalam mesej tertentu adalah rendah.

Oleh kerana ungkapan (9) menggunakan logaritma semula jadi, unit maklumat yang sepadan dipanggil "nat".

Ungkapan (9) boleh ditulis semula sebagai

di mana kurungan bermaksud purata klasik biasa menggunakan fungsi taburan p i .

Komen . Dalam kuliah berikut akan ditunjukkan bahawa untuk keadaan kuantum

di manakah matriks ketumpatan. Secara formal, ungkapan (10) dan (11) adalah sama, tetapi terdapat perbezaan yang ketara. Purata klasik dilakukan ke atas keadaan ortogon (eigen) sistem, manakala untuk kes kuantum juga boleh terdapat keadaan bukan ortogon (superposisi). Oleh itu sentiasa H kuantiti kelas H !

Formula (8) dan (9) menggunakan logaritma dalam asas yang berbeza. Dalam (8) - berdasarkan asas 2, dan dalam (9) - berdasarkan asas e. Entropi maklumat yang sepadan dengan formula ini boleh dinyatakan dengan mudah melalui satu sama lain. Mari kita gunakan hubungan di mana M ialah nombor arbitrari

.

Kemudian, memandangkan itu dan kita dapat

- bilangan bit hampir satu setengah kali lebih besar daripada bilangan nat!

Penaakulan dengan cara yang sama, kita boleh mendapatkan hubungan antara entropi yang dinyatakan dalam trit dan bit:

Dalam teknologi komputer, maklumat digunakan dalam asas binari (dalam bit). Untuk penaakulan dalam fizik, adalah lebih mudah untuk menggunakan maklumat Shannon (dalam Nat), yang boleh mencirikan sebarang maklumat diskret. Anda sentiasa boleh mencari bilangan bit yang sepadan.

HUBUNGAN ENTROPI DAN MAKLUMAT. syaitan Maxwell

Paradoks ini pertama kali dipertimbangkan oleh Maxwell pada tahun 1871 (lihat Rajah 1). Biarkan beberapa daya "ghaib" membuka dan menutup injap dalam bekas yang dibahagikan kepada dua bahagian dan mengandungi gas. Injap dikawal oleh peraturan bahawa ia terbuka jika molekul pantas bergerak dari kanan ke kiri menyentuhnya atau jika molekul perlahan memukulnya bergerak ke arah yang bertentangan. Oleh itu, syaitan memperkenalkan perbezaan suhu antara dua isipadu tanpa melakukan kerja, yang melanggar undang-undang kedua termodinamik.

syaitan Maxwell. Syaitan mewujudkan perbezaan tekanan dengan membuka peredam apabila bilangan molekul gas yang mengenainya dari kiri melebihi bilangan pukulan dari kanan. Ini boleh dilakukan dengan cara yang boleh diterbalikkan sepenuhnya, selagi keputusan rawak syaitan daripada pemerhatian molekulnya disimpan dalam ingatannya. Oleh itu, ingatan syaitan (atau kepalanya) menjadi panas. Langkah yang tidak boleh diterbalikkan bukanlah maklumat terkumpul, tetapi maklumat itu hilang apabila daemon kemudiannya mengosongkan ingatan. Di atas: Mengisi memori daemon dengan cebisan maklumat adalah proses rawak. Di sebelah kanan garis putus-putus ialah kawasan memori kosong (semua sel berada dalam keadaan 0, di sebelah kiri adalah bit rawak). Di bawah adalah syaitan.

Beberapa percubaan telah dibuat untuk menyelesaikan paradoks atau mengusir syaitan. Sebagai contoh, diandaikan bahawa syaitan tidak dapat mengeluarkan maklumat tanpa melakukan kerja atau tanpa mengganggu (iaitu memanaskan) gas - tetapi ternyata ini tidak begitu! Percubaan lain bermuara pada fakta bahawa prinsip kedua boleh dilanggar di bawah pengaruh kuasa (makhluk) tertentu "munasabah" atau "berfikir". Pada tahun 1929 Leo Szilard dengan ketara "memajukan" penyelesaian kepada masalah itu, mengurangkannya kepada rumusan yang minimum dan menonjolkan komponen penting. Perkara utama yang perlu dilakukan oleh Demon adalah untuk menentukan sama ada satu molekul terletak di sebelah kanan atau kiri injap gelongsor, yang membolehkan haba dikeluarkan. Peranti ini dipanggil enjin Szilard. Walau bagaimanapun, Szilard tidak menyelesaikan paradoks itu kerana analisisnya tidak mengambil kira bagaimana ukuran yang mana syaitan mengetahui sama ada molekul berada di sebelah kanan atau kiri mempengaruhi peningkatan entropi (lihat rajah Szilard_demon.pdf). Enjin beroperasi pada kitaran enam langkah. Enjinnya adalah silinder dengan omboh di hujungnya. Kepak dimasukkan ke tengah. Kerja mengalihkan partition boleh dikurangkan kepada sifar (Szilard menunjukkan ini). Terdapat juga peranti memori (MU). Ia boleh berada di salah satu daripada tiga negeri. "Kosong", "Molekul di Kanan" dan "Molekul di Kiri". Keadaan awal: UP = "Kosong", omboh ditekan keluar, partition dilanjutkan, molekul mempunyai kelajuan purata, yang ditentukan oleh suhu termostat (slaid 1).

1. Pembahagian dimasukkan, meninggalkan molekul di sebelah kanan atau kiri (slaid 2).

2. Peranti memori menentukan di mana molekul berada dan pergi ke keadaan "kanan" atau "kiri".

3. Mampatan. Bergantung pada keadaan UE, omboh bergerak masuk dari sisi yang tiada molekul. Peringkat ini tidak memerlukan sebarang kerja untuk dilakukan. Kerana vakum dimampatkan (slaid 3).

4. Septum dikeluarkan. Molekul mula memberi tekanan pada omboh (slaid 4).

5. Strok bekerja. Molekul terkena omboh, menyebabkan ia bergerak ke arah yang bertentangan. Tenaga molekul dipindahkan ke omboh. Apabila omboh bergerak, kelajuan puratanya akan berkurangan. Walau bagaimanapun, ini tidak berlaku, kerana dinding kapal berada pada suhu malar. Oleh itu, haba daripada termostat dipindahkan ke molekul, memastikan kelajuannya tetap. Oleh itu, semasa strok kerja, tenaga haba yang dibekalkan daripada termostat ditukar kepada kerja mekanikal yang dilakukan oleh omboh (slaid 6).

6. Membersihkan UE, mengembalikannya ke keadaan "Kosong" (slaid 7). Kitaran selesai (slaid 8 = slaid 1).

Adalah menghairankan bahawa paradoks ini tidak dapat diselesaikan sehingga tahun 1980-an. Pada masa ini, telah ditetapkan bahawa, pada dasarnya, sebarang proses boleh dilakukan dengan cara yang boleh diterbalikkan, i.e. tanpa "pembayaran" oleh entropi. Akhirnya, Bennett pada tahun 1982 mewujudkan hubungan muktamad antara pernyataan ini dan paradoks Maxwell. Dia mencadangkan bahawa syaitan sebenarnya boleh mengetahui di mana molekul berada dalam enjin Szilard tanpa melakukan kerja atau meningkatkan entropi persekitaran (termostat) dan dengan itu melakukan kerja yang berguna dalam satu kitaran enjin. Walau bagaimanapun, maklumat tentang kedudukan molekul mesti kekal dalam ingatan syaitan (rsi.1). Apabila lebih banyak kitaran dilakukan, semakin banyak maklumat terkumpul dalam ingatan. Untuk melengkapkan kitaran termodinamik, syaitan mesti memadamkan maklumat yang disimpan dalam ingatan. Operasi pemadaman maklumat inilah yang mesti diklasifikasikan sebagai proses meningkatkan entropi persekitaran, seperti yang dikehendaki oleh prinsip kedua. Ini melengkapkan bahagian asas fizikal peranti syaitan Maxwell.

Idea ini menerima beberapa perkembangan dalam karya D.D.

Mari kita pertimbangkan gas ideal yang terdiri daripada hanya satu zarah (Kadomtsev, "dinamik dan maklumat"). Ini tidak masuk akal. Jika satu zarah dimasukkan ke dalam bekas isipadu V dengan dinding pada suhu T, maka lambat laun ia akan mencapai keseimbangan dengan dinding ini. Pada setiap saat ia berada pada titik yang sangat spesifik dalam ruang dan pada kelajuan yang sangat spesifik. Kami akan menjalankan semua proses dengan perlahan sehingga zarah akan mempunyai masa, secara purata, untuk mengisi keseluruhan isipadu dan berulang kali menukar magnitud dan arah halaju semasa perlanggaran tak anjal dengan dinding kapal. Oleh itu, zarah itu mengenakan tekanan purata pada dinding dan mempunyai suhu T dan taburan halajunya ialah Maxwellian dengan suhu T. Sistem satu zarah ini boleh dimampatkan secara adiabatik, suhunya boleh diubah, memberikannya peluang untuk mencapai keseimbangan dengan dinding kapal.

Tekanan purata pada dinding pada N = 1 , sama hlm= T/V, dan purata ketumpatan n = 1/ V. Mari kita pertimbangkan kes proses isoterma apabila T =const. Dari permulaan pertama di T =const. Dan hlm= T/V kita dapat

, kerana

Dari sini kita dapati bahawa perubahan dalam entropi tidak bergantung pada suhu, jadi

Di sini pemalar penyepaduan diperkenalkan: "saiz zarah"<

Bekerja dalam proses isoterma

kerja ditentukan oleh perbezaan entropi.

Katakan kita mempunyai sekatan ideal yang boleh digunakan untuk membahagikan kapal kepada bahagian-bahagian tanpa membuang tenaga. Mari bahagikan kapal kita kepada dua bahagian yang sama dengan isipadu V/2 setiap satu. Dalam kes ini, zarah akan berada di salah satu bahagian - tetapi kita tidak tahu yang mana satu. Katakan kita mempunyai peranti yang membolehkan kita menentukan bahagian mana zarah terletak, sebagai contoh, skala ketepatan. Kemudian daripada taburan kebarangkalian simetri 50% hingga 50% berada dalam dua bahagian, kita mendapat kebarangkalian 100% untuk salah satu bahagian - "keruntuhan" taburan kebarangkalian berlaku. Sehubungan itu, entropi baharu akan kurang daripada entropi asal mengikut jumlahnya

Dengan mengurangkan entropi, kerja boleh dilakukan. Untuk melakukan ini, cukup untuk menggerakkan partition ke arah volum kosong sehingga ia hilang. Kerja akan sama dengan Jika tiada apa-apa yang berubah di dunia luar, maka dengan mengulangi kitaran ini, adalah mungkin untuk membina mesin gerakan kekal jenis kedua. Ini adalah syaitan Maxwell dalam versi Szilard. Tetapi undang-undang kedua termodinamik melarang mendapatkan kerja hanya melalui haba. Ini bermakna sesuatu mesti berlaku di dunia luar. Apa ini? Pengesanan zarah dalam salah satu bahagian menukar maklumat tentang zarah - Daripada dua bahagian yang mungkin, hanya satu ditunjukkan, di mana zarah itu terletak. Pengetahuan ini sepadan dengan sedikit maklumat. Proses pengukuran mengurangkan entropi zarah (pemindahan kepada keadaan tidak seimbang) dan meningkatkan maklumat tentang sistem (zarah) dengan jumlah yang sama. Jika anda berulang kali membahagikan separuh bahagian, suku, perlapan, dan lain-lain yang diperoleh sebelum ini, maka entropi akan berkurangan secara konsisten, dan maklumat akan meningkat! Dengan kata lain

Lebih banyak diketahui tentang sistem fizikal, lebih rendah entropinya. Jika segala-galanya diketahui tentang sistem, ini bermakna kita telah memindahkannya ke keadaan sangat tidak seimbang, apabila parameternya sejauh mungkin daripada nilai keseimbangan. Jika dalam model kami zarah boleh diletakkan dalam sel asas isipadu V 0 , kemudian pada masa yang sama S = 0 , dan maklumat mencapai nilai maksimumnya sejak kebarangkalian pmin mencari zarah dalam sel tertentu adalah sama dengan V 0 / V. Jika pada saat-saat berikutnya zarah mula mengisi volum yang lebih besar, maka maklumat akan hilang dan entropi akan meningkat. Kami menekankan bahawa anda perlu membayar untuk maklumat (mengikut undang-undang kedua) dengan meningkatkan entropi S e sistem luaran, dan Sesungguhnya, jika untuk satu bit maklumat peranti (sistem luaran) meningkatkan entropinya dengan jumlah kurang daripada satu bit, maka kita boleh membalikkan enjin haba. Iaitu, dengan mengembangkan isipadu yang diduduki oleh zarah, kita akan meningkatkan entropinya dengan jumlah ln2 mendapat pekerjaan Tln2 , dan jumlah entropi zarah tambah sistem peranti akan berkurangan. Tetapi ini adalah mustahil mengikut prinsip kedua. Secara formal, , oleh itu, penurunan dalam entropi sistem (zarah) disertai dengan peningkatan dalam entropi peranti.

Jadi, entropi maklumat ialah ukuran kekurangan (atau tahap ketidakpastian) maklumat tentang keadaan sebenar sistem fizikal.

Entropi maklumat Shannon:

, di mana (ini merujuk kepada sistem dua peringkat, seperti bit: "0" dan "1". Jika dimensi adalah n, Itu H = log n. Ya, untuk n = 3, N =log 3 dan, = 3.)

Jumlah maklumat saya(atau ringkasnya maklumat) tentang keadaan sistem klasik, yang diperoleh hasil pengukuran oleh peranti luaran yang disambungkan kepada sistem yang sedang dipertimbangkan oleh beberapa saluran komunikasi, ditakrifkan sebagai perbezaan dalam entropi maklumat yang sepadan dengan ketidakpastian awal sistem negeri H 0 , dan entropi maklumat keadaan akhir sistem selepas pengukuran H. Oleh itu,

saya + H = H 0 = const .

Dalam kes yang ideal, apabila tiada bunyi dan gangguan yang dicipta oleh sumber luaran dalam saluran komunikasi, taburan kebarangkalian akhir selepas pengukuran dikurangkan kepada satu nilai tertentu p n= 1, i.e. H = 0, dan nilai maksimum maklumat yang diperoleh semasa pengukuran akan ditentukan: Imax = H 0 . Oleh itu, entropi maklumat Shannon sistem mempunyai maksud maklumat maksimum yang terkandung dalam sistem; ia boleh ditentukan di bawah keadaan ideal untuk mengukur keadaan sistem tanpa ketiadaan bunyi dan gangguan, apabila entropi keadaan akhir adalah sifar:

Mari kita pertimbangkan elemen logik klasik yang boleh berada dalam salah satu daripada dua keadaan logik yang berkemungkinan sama "0" dan "1". Unsur sedemikian, bersama-sama dengan persekitaran - termostat dan isyarat yang dihasilkan oleh objek terlindung haba luaran, membentuk satu sistem tertutup tanpa keseimbangan. Peralihan elemen kepada salah satu keadaan, sebagai contoh, kepada keadaan "0", sepadan dengan penurunan dalam statistik. berat keadaannya berbanding keadaan awal ialah 2 kali (untuk sistem tiga peringkat - 3 kali). Mari kita cari penurunannya entropi maklumat Shannon, yang sepadan dengan peningkatan jumlah maklumat tentang elemen dengan satu, yang dipanggil sedikit:

Oleh itu, entropi maklumat menentukan bilangan bit yang diperlukan untuk mengekod maklumat dalam sistem atau mesej yang berkenaan.

KESUSASTERAAN

1. D. Landau, I. Lifshits. Fizik statistik. Bahagian 1. Sains, M 1976.

2. M.A. Leontovich. Pengenalan kepada termodinamik. Fizik statistik. Moscow, Nauka, 1983. - 416 p.

3. B.B. Kadomtsev. Dinamik dan maklumat. UFN, 164, no 5, 449 (1994).

10. Postulat asas termodinamik statistik

Apabila menerangkan sistem yang terdiri daripada sejumlah besar zarah, dua pendekatan boleh digunakan: mikroskopik dan makroskopik. Dalam pendekatan pertama, berdasarkan mekanik klasik atau kuantum, keadaan mikro sistem dicirikan secara terperinci, contohnya, koordinat dan momenta setiap zarah pada setiap saat dalam masa. Penerangan mikroskopik memerlukan penyelesaian persamaan klasik atau kuantum pergerakan untuk sejumlah besar pembolehubah. Oleh itu, setiap keadaan mikro gas ideal dalam mekanik klasik diterangkan oleh 6 N pembolehubah ( N- bilangan zarah): 3 N koordinat dan 3 N unjuran impuls.

Pendekatan makroskopik, yang digunakan oleh termodinamik klasik, hanya mencirikan keadaan makro sistem dan menggunakan sebilangan kecil pembolehubah untuk ini, contohnya, tiga: suhu, isipadu dan bilangan zarah. Jika sistem berada dalam keadaan keseimbangan, maka parameter makroskopiknya adalah malar, manakala parameter mikroskopiknya berubah mengikut masa. Ini bermakna bagi setiap keadaan makro terdapat beberapa (sebenarnya, banyak tak terhingga) keadaan mikro.

Termodinamik statistik mewujudkan hubungan antara kedua-dua pendekatan ini. Idea asasnya ialah: jika setiap keadaan makro mempunyai banyak keadaan mikro yang dikaitkan dengannya, maka setiap satu daripadanya menyumbang kepada keadaan makro. Kemudian sifat keadaan makro boleh dikira sebagai purata ke atas semua keadaan mikro, i.e. merumuskan sumbangan mereka dengan mengambil kira berat statistik.

Purata ke atas keadaan mikro dijalankan menggunakan konsep ensembel statistik. Ensemble ialah set tak terhingga sistem serupa yang terletak dalam semua keadaan mikro yang mungkin sepadan dengan satu keadaan makro. Setiap sistem ensemble adalah satu keadaan mikro. Keseluruhan ensemble diterangkan oleh sesetengah orang fungsi pengedaran mengikut koordinat dan momen ( hlm, q, t), yang ditakrifkan seperti berikut:

(hlm, q, t) dp dq ialah kebarangkalian bahawa sistem ensemble itu terletak dalam unsur isipadu dp dq titik dekat ( hlm, q) pada masa ini t.

Maksud fungsi taburan ialah ia menentukan berat statistik setiap keadaan mikro dalam keadaan makro.

Daripada takrifan ikuti sifat asas fungsi taburan:

1. Normalisasi

. (10.1)

2. Kepastian positif

(hlm, q, t) i 0 (10.2)

Banyak sifat makroskopik sistem boleh ditakrifkan sebagai nilai purata fungsi koordinat dan momenta f(hlm, q) secara ensembel:

Sebagai contoh, tenaga dalaman ialah purata fungsi Hamilton H(hlm,q):

Kewujudan fungsi pengedaran adalah intipati postulat asas mekanik statistik klasik:

Keadaan makroskopik sistem ditentukan sepenuhnya oleh beberapa fungsi pengedaran yang memenuhi syarat (10.1) dan (10.2).

Untuk sistem keseimbangan dan ensembel keseimbangan, fungsi taburan tidak bergantung secara eksplisit pada masa: = ( hlm,q). Bentuk eksplisit fungsi pengedaran bergantung pada jenis ensemble. Terdapat tiga jenis ensemble utama:

1) Mikrokanonik ensemble menerangkan sistem terpencil dan dicirikan oleh pembolehubah berikut: E(tenaga), V(isipadu), N(bilangan zarah). Dalam sistem terpencil, semua keadaan mikro mempunyai kemungkinan yang sama ( postulat kebarangkalian terdahulu yang sama):

2) Ensemble Canonical menerangkan sistem yang berada dalam keseimbangan terma dengan persekitarannya. Keseimbangan terma dicirikan oleh suhu T. Oleh itu, fungsi pengedaran juga bergantung pada suhu:

(10.6)

(k= 1.38 10 -23 J/K - Pemalar Boltzmann). Nilai pemalar dalam (10.6) ditentukan oleh keadaan normalisasi (lihat (11.2)).

Kes khas taburan kanonik (10.6) ialah Pengedaran Maxwell dengan kelajuan v, yang sah untuk gas:

(10.7)

(m- jisim molekul gas). Ungkapan (v) d v menerangkan kebarangkalian bahawa molekul mempunyai nilai halaju mutlak antara v dan v+ d v. Fungsi maksimum (10.7) memberikan kelajuan molekul yang paling berkemungkinan, dan kamiran

Kelajuan purata molekul.

Jika sistem mempunyai tahap tenaga diskret dan diterangkan kuantum secara mekanikal, maka bukannya fungsi Hamilton H(hlm,q) gunakan operator Hamilton H, dan bukannya fungsi pengedaran - pengendali matriks ketumpatan:

(10.9)

Unsur pepenjuru bagi matriks ketumpatan memberikan kebarangkalian bahawa sistem berada dalam i-keadaan tenaga ke- dan mempunyai tenaga E i:

(10.10)

Nilai pemalar ditentukan oleh keadaan normalisasi: S i = 1:

(10.11)

Penyebut bagi ungkapan ini dipanggil jumlah atas keadaan (lihat Bab 11). Ia adalah penting untuk penilaian statistik sifat termodinamik sistem Dari (10.10) dan (10.11) seseorang boleh mencari bilangan zarah N i mempunyai tenaga E i:

(10.12)

(N- jumlah bilangan zarah). Taburan zarah (10.12) ke atas aras tenaga dipanggil Pengagihan Boltzmann, dan pengangka bagi taburan ini ialah faktor Boltzmann (pengganda). Kadangkala taburan ini ditulis dalam bentuk yang berbeza: jika terdapat beberapa tahap dengan tenaga yang sama E i, kemudian mereka digabungkan menjadi satu kumpulan dengan menjumlahkan faktor Boltzmann:

(10.13)

(g i- bilangan tahap tenaga E i, atau berat statistik).

Banyak parameter makroskopik sistem termodinamik boleh dikira menggunakan taburan Boltzmann. Sebagai contoh, tenaga purata ditakrifkan sebagai purata tahap tenaga dengan mengambil kira berat statistiknya:

, (10.14)

3) Ensemble Kanonik Besar menerangkan sistem terbuka yang berada dalam keseimbangan terma dan mampu menukar jirim dengan persekitaran. Keseimbangan terma dicirikan oleh suhu T, dan keseimbangan dalam bilangan zarah ialah potensi kimia. Oleh itu, fungsi taburan bergantung kepada suhu dan potensi kimia. Kami tidak akan menggunakan ungkapan eksplisit untuk fungsi pengedaran ensembel kanonik besar di sini.

Dalam teori statistik terbukti bahawa untuk sistem dengan bilangan zarah yang besar (~ 10 23) ketiga-tiga jenis ensembel adalah setara antara satu sama lain. Penggunaan mana-mana ensemble membawa kepada sifat termodinamik yang sama, oleh itu pilihan satu atau satu lagi ensemble untuk menerangkan sistem termodinamik hanya ditentukan oleh kemudahan pemprosesan matematik fungsi taburan.

CONTOH

Contoh 10-1. Sebuah molekul boleh berada pada dua aras dengan tenaga 0 dan 300 cm -1. Apakah kebarangkalian bahawa molekul akan berada di paras atas pada 250 o C?

Penyelesaian. Ia adalah perlu untuk menggunakan taburan Boltzmann, dan untuk menukar unit spektroskopi tenaga cm -1 kepada joule, gunakan pengganda. hc (h= 6.63 10 -34 J. s, c= 3 10 10 sm/s): 300 sm -1 = 300 6.63 10 -34 3 10 10 = 5.97 10 -21 J.

Jawab. 0.304.

Contoh 10-2. Molekul boleh berada pada tahap dengan tenaga 0 atau pada satu daripada tiga tahap dengan tenaga E. Pada suhu berapakah a) semua molekul berada pada tahap yang lebih rendah, b) bilangan molekul pada tahap yang lebih rendah akan sama dengan bilangan molekul di peringkat atas, c) bilangan molekul pada tahap yang lebih rendah akan menjadi tiga kali kurang daripada bilangan molekul di peringkat atas?

Penyelesaian. Mari gunakan taburan Boltzmann (10.13):

A) N 0 / N= 1; exp(- E/kT) = 0; T= 0. Apabila suhu menurun, molekul terkumpul pada tahap yang lebih rendah.

b) N 0 / N= 1/2; exp(- E/kT) = 1/3; T = E / [k ln(3)].

V) N 0 / N= 1/4; exp(- E/kT) = 1; T= . Pada suhu tinggi, molekul diagihkan sama rata merentasi tahap tenaga, kerana semua faktor Boltzmann adalah hampir sama dan sama dengan 1.

Jawab. A) T= 0; b) T = E / [k ln(3)]; V) T = .

Contoh 10-3. Apabila mana-mana sistem termodinamik dipanaskan, populasi beberapa peringkat meningkat dan yang lain berkurangan. Dengan menggunakan undang-undang taburan Boltzmann, tentukan apakah tenaga bagi suatu aras supaya populasinya meningkat dengan peningkatan suhu.

Penyelesaian. Pendudukan ialah bahagian molekul yang terletak pada tahap tenaga tertentu. Mengikut keadaan, terbitan kuantiti ini berkenaan dengan suhu mestilah positif:

Dalam baris kedua kami menggunakan definisi tenaga purata (10.14). Oleh itu, populasi meningkat dengan suhu untuk semua peringkat melebihi tenaga purata sistem.

Jawab. .

TUGASAN

10-1. Sebuah molekul boleh berada pada dua aras dengan tenaga 0 dan 100 cm -1. Apakah kebarangkalian bahawa molekul akan berada pada paras terendah pada 25 o C?

10-2. Molekul boleh berada pada dua aras dengan tenaga 0 dan 600 cm -1. Pada suhu manakah terdapat dua kali lebih banyak molekul di aras atas berbanding di aras bawah?

10-3. Molekul boleh berada pada tahap dengan tenaga 0 atau pada satu daripada tiga tahap dengan tenaga E. Cari tenaga purata molekul: a) pada suhu sangat rendah, b) pada suhu sangat tinggi.

10-4. Apabila mana-mana sistem termodinamik menyejuk, populasi beberapa peringkat meningkat dan yang lain berkurangan. Dengan menggunakan undang-undang taburan Boltzmann, tentukan apakah tenaga bagi suatu aras supaya populasinya meningkat dengan penurunan suhu.

10-5. Kirakan kelajuan paling berkemungkinan bagi molekul karbon dioksida pada suhu 300 K.

10-6. Kira kelajuan purata atom helium dalam keadaan biasa.

10-7. Kira kelajuan paling berkemungkinan molekul ozon pada suhu -30 o C.

10-8. Pada suhu berapakah kelajuan purata molekul oksigen bersamaan dengan 500 m/s?

10-9. Di bawah beberapa keadaan, kelajuan purata molekul oksigen ialah 400 m/s. Apakah kelajuan purata molekul hidrogen dalam keadaan yang sama?

10-10. Apakah pecahan molekul yang menimbang m, mempunyai kelajuan melebihi purata pada suhu T? Adakah pecahan ini bergantung kepada jisim molekul dan suhu?

10-11. Dengan menggunakan taburan Maxwell, hitung purata tenaga kinetik pergerakan molekul berjisim m pada suhu T. Adakah tenaga ini sama dengan tenaga kinetik pada kelajuan purata?

Fizik statistik dan termodinamik

Kaedah penyelidikan statistik dan termodinamik . Fizik molekul dan termodinamik adalah cabang fizik di mana mereka belajar proses makroskopik dalam badan, dikaitkan dengan sejumlah besar atom dan molekul yang terkandung dalam badan. Untuk mengkaji proses ini, dua kaedah kualitatif berbeza dan saling melengkapi digunakan: statistik (kinetik molekul) Dan termodinamik. Yang pertama mendasari fizik molekul, yang kedua - termodinamik.

Fizik molekul - cabang fizik yang mengkaji struktur dan sifat jirim berdasarkan konsep kinetik molekul, berdasarkan fakta bahawa semua jasad terdiri daripada molekul dalam gerakan huru-hara berterusan.

Idea struktur atom jirim diungkapkan oleh ahli falsafah Yunani kuno Democritus (460-370 SM). Atomisme dihidupkan semula hanya pada abad ke-17. dan berkembang dalam karya yang pandangannya tentang struktur jirim dan fenomena haba hampir dengan yang moden. Perkembangan ketat teori molekul bermula pada pertengahan abad ke-19. dan dikaitkan dengan karya ahli fizik Jerman R. Clausius (1822-1888), J. Maxwell dan L. Boltzmann.

Proses yang dikaji oleh fizik molekul adalah hasil daripada tindakan gabungan sejumlah besar molekul. Undang-undang tingkah laku sejumlah besar molekul, sebagai undang-undang statistik, dikaji menggunakan kaedah statistik. Kaedah ini adalah berdasarkan fakta bahawa sifat sistem makroskopik akhirnya ditentukan oleh sifat zarah sistem, ciri pergerakannya dan purata nilai ciri dinamik zarah ini (kelajuan, tenaga, dll.). Sebagai contoh, suhu badan ditentukan oleh kelajuan pergerakan molekulnya yang huru-hara, tetapi oleh kerana pada bila-bila masa molekul yang berbeza mempunyai kelajuan yang berbeza, ia hanya boleh dinyatakan melalui nilai purata kelajuan pergerakan. molekul. Anda tidak boleh bercakap tentang suhu satu molekul. Oleh itu, ciri-ciri makroskopik badan mempunyai makna fizikal hanya dalam kes sejumlah besar molekul.

Termodinamik- satu cabang fizik yang mengkaji sifat umum sistem makroskopik dalam keadaan keseimbangan termodinamik dan proses peralihan antara keadaan ini. Termodinamik tidak menganggap mikroproses yang mendasari transformasi ini. ini kaedah termodinamik berbeza dengan statistik. Termodinamik adalah berdasarkan dua prinsip - undang-undang asas yang ditubuhkan sebagai hasil generalisasi data eksperimen.

Skop aplikasi termodinamik adalah lebih luas daripada teori kinetik molekul, kerana tiada bidang fizik dan kimia yang kaedah termodinamik tidak boleh digunakan. Walau bagaimanapun, sebaliknya, kaedah termodinamik agak terhad: termodinamik tidak mengatakan apa-apa tentang struktur mikroskopik jirim, tentang mekanisme fenomena, tetapi hanya mewujudkan hubungan antara sifat makroskopik jirim. Teori kinetik molekul dan termodinamik saling melengkapi, membentuk satu keseluruhan, tetapi berbeza dalam pelbagai kaedah penyelidikan.

Postulat asas teori kinetik molekul (MKT)

1. Semua badan di alam semula jadi terdiri daripada sejumlah besar zarah kecil (atom dan molekul).

2. Zarah-zarah ini berada dalam berterusan huru hara pergerakan (tidak teratur).

3. Pergerakan zarah berkaitan dengan suhu badan, itulah sebabnya ia dipanggil pergerakan haba.

4. Zarah berinteraksi antara satu sama lain.

Bukti kesahihan MCT: resapan bahan, gerakan Brown, kekonduksian terma.

Kuantiti fizik yang digunakan untuk menerangkan proses dalam fizik molekul dibahagikan kepada dua kelas:

mikroparameter– kuantiti yang menerangkan kelakuan zarah individu (jisim atom (molekul), kelajuan, momentum, tenaga kinetik zarah individu);
parameter makro– kuantiti yang tidak boleh dikurangkan kepada zarah individu, tetapi mencirikan sifat bahan secara keseluruhan. Nilai makroparameter ditentukan oleh tindakan serentak sejumlah besar zarah. Parameter makro ialah suhu, tekanan, kepekatan, dsb.

Suhu adalah salah satu konsep asas yang memainkan peranan penting bukan sahaja dalam termodinamik, tetapi juga dalam fizik secara umum. Suhu- kuantiti fizik yang mencirikan keadaan keseimbangan termodinamik sistem makroskopik. Selaras dengan keputusan Persidangan Agung XI mengenai Timbang dan Sukat (1960), hanya dua skala suhu yang boleh digunakan pada masa ini - termodinamik Dan Praktikal antarabangsa, lulus masing-masing dalam kelvin (K) dan darjah Celsius (°C).

Pada skala termodinamik, takat beku air ialah 273.15 K (pada masa yang sama

tekanan seperti dalam Skala Praktikal Antarabangsa), oleh itu, mengikut definisi, suhu termodinamik dan Suhu Praktikal Antarabangsa

skala dikaitkan dengan nisbah

T= 273,15 + t.

Suhu T = 0 K dipanggil sifar kelvin. Analisis pelbagai proses menunjukkan bahawa 0 K tidak boleh dicapai, walaupun mendekatinya sedekat yang dikehendaki adalah mungkin. 0 K ialah suhu di mana secara teorinya semua pergerakan haba zarah sesuatu bahan harus terhenti.

Dalam fizik molekul, hubungan diperoleh antara makroparameter dan mikroparameter. Sebagai contoh, tekanan gas ideal boleh dinyatakan dengan formula:

jawatan:saudara; atas:5.0pt">- jisim satu molekul, - kepekatan, font-size: 10.0pt">Daripada persamaan asas MKT anda boleh mendapatkan persamaan yang sesuai untuk kegunaan praktikal:

font-size: 10.0pt">Gas ideal ialah model gas ideal yang dipercayai bahawa:

1. isipadu intrinsik molekul gas boleh diabaikan berbanding dengan isipadu bekas;

2. tiada daya interaksi antara molekul (tarikan dan tolakan pada jarak;

3. perlanggaran molekul antara satu sama lain dan dengan dinding kapal adalah benar-benar elastik.

Gas ideal ialah model teori gas yang dipermudahkan. Tetapi, keadaan banyak gas dalam keadaan tertentu boleh diterangkan oleh persamaan ini.

Untuk menerangkan keadaan gas sebenar, pembetulan mesti dimasukkan ke dalam persamaan keadaan. Kehadiran daya tolakan yang menghalang penembusan molekul lain ke dalam isipadu yang diduduki oleh molekul bermakna isipadu bebas sebenar di mana molekul gas sebenar boleh bergerak akan menjadi lebih kecil. di manab - isipadu molar yang diduduki oleh molekul itu sendiri.

Tindakan daya gas yang menarik membawa kepada kemunculan tekanan tambahan pada gas, dipanggil tekanan dalaman. Menurut pengiraan Van der Waals, tekanan dalam adalah berkadar songsang dengan kuasa dua isipadu molar, iaitu di mana A - pemalar van der Waals, mencirikan daya tarikan antara molekul,V m - isipadu molar.

Akhirnya kita akan dapat persamaan keadaan gas sebenar atau persamaan van der Waals:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman> Maksud fizikal suhu: suhu ialah ukuran keamatan pergerakan haba zarah bahan. Konsep suhu tidak boleh digunakan untuk molekul individu. Hanya untuk bilangan molekul yang cukup besar mencipta sejumlah bahan, Adalah masuk akal untuk memasukkan istilah suhu.

Untuk gas monatomik yang ideal, kita boleh menulis persamaan:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Penentuan eksperimen pertama bagi kelajuan molekul telah dijalankan oleh ahli fizik Jerman O. Stern (1888-1970). Eksperimennya juga memungkinkan untuk menganggarkan pengagihan molekul mengikut kelajuan.

"Konfrontasi" antara potensi tenaga mengikat molekul dan tenaga gerakan terma molekul (molekul kinetik) membawa kepada kewujudan pelbagai keadaan agregat jirim.

Termodinamik

Dengan mengira bilangan molekul dalam sistem tertentu dan menganggarkan purata tenaga kinetik dan potensi mereka, kita boleh menganggarkan tenaga dalaman sistem tertentu. U.

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Untuk gas monatomik yang ideal.

Tenaga dalaman sistem boleh berubah akibat pelbagai proses, contohnya, melakukan kerja pada sistem atau memberikan haba kepadanya. Oleh itu, dengan menolak omboh ke dalam silinder di mana terdapat gas, kami memampatkan gas ini, akibatnya suhunya meningkat, iaitu, dengan itu mengubah (meningkatkan) tenaga dalaman gas. Sebaliknya, suhu gas dan tenaga dalamannya boleh ditingkatkan dengan memberikan sejumlah haba kepadanya - tenaga dipindahkan ke sistem oleh badan luar melalui pertukaran haba (proses menukar tenaga dalaman apabila badan bersentuhan dengan suhu yang berbeza).

Oleh itu, kita boleh bercakap tentang dua bentuk pemindahan tenaga dari satu badan ke badan yang lain: kerja dan haba. Tenaga gerakan mekanikal boleh ditukar kepada tenaga gerakan haba, dan sebaliknya. Semasa transformasi ini, undang-undang pemuliharaan dan perubahan tenaga diperhatikan; berhubung dengan proses termodinamik hukum ini ialah hukum pertama termodinamik, ditubuhkan sebagai hasil generalisasi data percubaan berabad-abad lamanya:

Dalam gelung tertutup, oleh itu font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Kecekapan enjin haba: .

Daripada undang-undang pertama termodinamik ia mengikuti bahawa kecekapan enjin haba tidak boleh melebihi 100%.

Postulat kewujudan pelbagai bentuk tenaga dan hubungan antara mereka, prinsip pertama TD mengatakan apa-apa tentang arah proses dalam alam semula jadi. Selaras sepenuhnya dengan prinsip pertama, seseorang boleh membina enjin secara mental di mana kerja berguna akan dilakukan dengan mengurangkan tenaga dalaman bahan. Sebagai contoh, bukannya bahan api, enjin haba akan menggunakan air, dan dengan menyejukkan air dan mengubahnya menjadi ais, kerja akan dilakukan. Tetapi proses spontan seperti itu tidak berlaku secara semula jadi.

Semua proses dalam alam semula jadi boleh dibahagikan kepada boleh balik dan tidak boleh balik.

Untuk masa yang lama, salah satu masalah utama dalam sains semula jadi klasik kekal sebagai masalah menjelaskan sifat fizikal ketidakterbalikan proses sebenar. Intipati masalahnya ialah pergerakan titik material, yang diterangkan oleh hukum Newton II (F = ma), boleh diterbalikkan, manakala sebilangan besar titik material berkelakuan tidak dapat dipulihkan.

Jika bilangan zarah yang dikaji adalah kecil (contohnya, dua zarah dalam rajah a)), maka kita tidak akan dapat menentukan sama ada paksi masa diarahkan dari kiri ke kanan atau dari kanan ke kiri, kerana sebarang jujukan bingkai adalah sama mungkin. Ini dia fenomena boleh balik. Keadaan berubah dengan ketara jika bilangan zarah adalah sangat besar (Rajah b)). Dalam kes ini, arah masa ditentukan dengan jelas: dari kiri ke kanan, kerana mustahil untuk membayangkan bahawa zarah yang diedarkan sama rata dengan sendirinya, tanpa sebarang pengaruh luaran, akan berkumpul di sudut "kotak". Tingkah laku ini, apabila keadaan sistem hanya boleh berubah dalam urutan tertentu, dipanggil tidak dapat dipulihkan. Semua proses sebenar tidak dapat dipulihkan.

Contoh proses tak boleh balik: resapan, kekonduksian terma, aliran likat. Hampir semua proses sebenar dalam alam semula jadi tidak dapat dipulihkan: ini adalah redaman bandul, evolusi bintang, dan kehidupan manusia. Ketidakterbalikan proses dalam alam semula jadi, seolah-olah, menetapkan arah pada paksi masa dari masa lalu ke masa depan. Ahli fizik dan astronomi Inggeris A. Eddington secara kiasan menyebut sifat masa ini sebagai "anak panah masa."

Mengapa, di sebalik kebolehterbalikan kelakuan satu zarah, ensembel sebilangan besar zarah tersebut berkelakuan tidak dapat dipulihkan? Apakah sifat ketakterbalikan? Bagaimana untuk mewajarkan ketakterbalikan proses sebenar berdasarkan undang-undang mekanik Newton? Soalan-soalan ini dan lain-lain yang serupa membimbangkan minda saintis paling cemerlang pada abad ke-18–19.

Hukum kedua termodinamik menetapkan hala tuju kemalasan semua proses dalam sistem terpencil. Walaupun jumlah tenaga dalam sistem terpencil dipelihara, komposisi kualitatifnya berubah tidak dapat dipulihkan.

1. Dalam rumusan Kelvin, undang-undang kedua ialah: "Tiada proses yang mungkin yang hasil tunggalnya ialah penyerapan haba daripada pemanas dan penukaran lengkap haba ini kepada kerja."

2. Dalam rumusan lain: "Haba boleh dipindahkan secara spontan hanya dari badan yang lebih panas kepada badan yang kurang panas."

3. Formulasi ketiga: "Entropi dalam sistem tertutup hanya boleh meningkat."

Hukum kedua termodinamik melarang kewujudan mesin gerakan kekal jenis kedua , iaitu mesin yang mampu melakukan kerja dengan memindahkan haba dari badan yang sejuk kepada yang panas. Undang-undang kedua termodinamik menunjukkan kewujudan dua bentuk tenaga yang berbeza - haba sebagai ukuran pergerakan zarah yang huru-hara dan kerja yang berkaitan dengan pergerakan tertib. Kerja sentiasa boleh ditukar kepada haba yang setara, tetapi haba tidak boleh ditukar sepenuhnya kepada kerja. Oleh itu, bentuk tenaga yang tidak teratur tidak boleh diubah menjadi satu yang teratur tanpa sebarang tindakan tambahan.

Kami melengkapkan transformasi kerja mekanikal kepada haba setiap kali kami menekan pedal brek di dalam kereta. Tetapi tanpa sebarang tindakan tambahan dalam kitaran tertutup operasi enjin, adalah mustahil untuk memindahkan semua haba ke dalam kerja. Sebahagian daripada tenaga haba tidak dapat dielakkan dibelanjakan untuk memanaskan enjin, ditambah dengan omboh yang bergerak sentiasa berfungsi melawan daya geseran (ini juga menggunakan bekalan tenaga mekanikal).

Tetapi makna hukum kedua termodinamik ternyata lebih mendalam.

Satu lagi perumusan undang-undang kedua termodinamik ialah pernyataan berikut: entropi sistem tertutup ialah fungsi tidak menurun, iaitu, semasa proses sebenar ia sama ada meningkat atau kekal tidak berubah.

Konsep entropi, yang diperkenalkan ke dalam termodinamik oleh R. Clausius, pada mulanya adalah tiruan. Saintis Perancis yang luar biasa A. Poincaré menulis tentang ini: "Entropi kelihatan agak misteri dalam erti kata bahawa kuantiti ini tidak boleh diakses oleh mana-mana deria kita, walaupun ia mempunyai sifat sebenar kuantiti fizikal, kerana, sekurang-kurangnya pada dasarnya, ia sepenuhnya boleh diukur"

Menurut definisi Clausius, entropi ialah kuantiti fizik yang kenaikannya sama dengan jumlah haba. , diterima oleh sistem, dibahagikan dengan suhu mutlak:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Menurut undang-undang kedua termodinamik, dalam sistem terpencil, iaitu sistem yang tidak menukar tenaga dengan persekitaran, keadaan tidak teratur (huru-hara) tidak boleh berubah secara bebas menjadi perintah Oleh itu, dalam sistem terpencil, entropi hanya boleh meningkat. prinsip peningkatan entropi. Menurut prinsip ini, mana-mana sistem berusaha untuk keadaan keseimbangan termodinamik, yang dikenal pasti dengan huru-hara. Oleh kerana peningkatan dalam entropi mencirikan perubahan dari semasa ke semasa dalam sistem tertutup, entropi bertindak sebagai sejenis anak panah masa.

Kami memanggil keadaan dengan entropi maksimum bercelaru, dan keadaan dengan entropi rendah dipesan. Sistem statistik, jika dibiarkan begitu sahaja, berubah daripada keadaan tertib kepada keadaan tidak teratur dengan entropi maksimum sepadan dengan parameter luaran dan dalaman yang diberikan (tekanan, isipadu, suhu, bilangan zarah, dll.).

Ludwig Boltzmann mengaitkan konsep entropi dengan konsep kebarangkalian termodinamik: font-size:10.0pt;font-family:" times new roman> Oleh itu, mana-mana sistem terpencil, dibiarkan pada perantinya sendiri, dari masa ke masa berlalu daripada keadaan tertib kepada keadaan gangguan maksimum (kekacauan).

Daripada prinsip ini mengikuti hipotesis pesimis tentang kematian panas Alam Semesta, dirumuskan oleh R. Clausius dan W. Kelvin, mengikut mana:

· tenaga Alam Semesta sentiasa malar;

· Entropi Alam Semesta sentiasa meningkat.

Oleh itu, semua proses di Alam Semesta diarahkan ke arah mencapai keadaan keseimbangan termodinamik, sepadan dengan keadaan huru-hara dan kekacauan terbesar. Semua jenis tenaga merosot, bertukar menjadi haba, dan bintang akan menamatkan kewujudannya, melepaskan tenaga ke ruang sekeliling. Suhu malar akan ditetapkan hanya beberapa darjah di atas sifar mutlak. Planet dan bintang yang tidak bernyawa dan sejuk akan bertaburan di ruang ini. Tidak akan ada apa-apa - tiada sumber tenaga, tiada kehidupan.

Prospek suram ini telah diramalkan oleh fizik sehingga tahun 1960-an, walaupun kesimpulan termodinamik bercanggah dengan hasil penyelidikan dalam biologi dan sains sosial. Oleh itu, teori evolusi Darwin membuktikan bahawa alam semula jadi yang hidup berkembang terutamanya ke arah peningkatan dan kerumitan spesies baru tumbuhan dan haiwan. Sejarah, sosiologi, ekonomi, dan sains sosial dan manusia yang lain juga telah menunjukkan bahawa dalam masyarakat, walaupun pembangunan zigzag individu, kemajuan secara amnya diperhatikan.

Pengalaman dan aktiviti praktikal telah menunjukkan bahawa konsep sistem tertutup atau terpencil adalah abstraksi yang agak kasar yang memudahkan realiti, kerana secara semula jadi sukar untuk mencari sistem yang tidak berinteraksi dengan persekitaran. Percanggahan itu mula diselesaikan apabila dalam termodinamik, bukannya konsep sistem terpencil tertutup, konsep asas sistem terbuka diperkenalkan, iaitu sistem menukar bahan, tenaga dan maklumat dengan persekitaran.

Kaedah Pendidikan Mengenai tapak ini Library Mat. forum

Perpustakaan > Buku Fizik > Fizik Statistik

Cari perpustakaan mengikut pengarang dan kata kunci daripada tajuk buku:

Fizik statistik

• Aizenshits R. Teori statistik proses tak boleh balik. M.: Rumah penerbitan. Asing lit., 1963 (djvu)
• Anselm A.I. Asas fizik statistik dan termodinamik. M.: Nauka, 1973 (djvu)
• Akhiezer A.I., Peletminsky S.V. Kaedah fizik statistik. M.: Nauka, 1977 (djvu)
• Bazarov I.P. Masalah metodologi fizik statistik dan termodinamik. M.: Rumah Penerbitan Universiti Negeri Moscow, 1979 (djvu)
• Bogolyubov N.N. Karya terpilih mengenai fizik statistik. M.: Rumah Penerbitan Universiti Negeri Moscow, 1979 (djvu)
• Bogolyubov N.N. (Jr.), Sadovnikov B.I. Beberapa soalan mekanik statistik. M.: Lebih tinggi. sekolah, 1975 (djvu)
• Bonch-Bruevich V.L., Tyablikov S.V. Kaedah fungsi Green dalam mekanik statistik. M.: Fizmatlit, 1961 (djvu, 2.61Mb)
• Vasiliev A.M. Pengenalan kepada fizik statistik. M.: Lebih tinggi. sekolah, 1980 (djvu)
• Vlasov A.A. Mekanik statistik bukan tempatan. M.: Nauka, 1978 (djvu)
• Gibbs J.W. Prinsip asas mekanik statistik (dibentangkan dengan aplikasi khas kepada asas rasional termodinamik). M.-L.: OGIZ, 1946 (djvu)
• Gurov K.P. Asas teori kinetik. Kaedah N.N. Bogolyubova. M.: Nauka, 1966 (djvu)
• Zaslavsky G.M. Ketakterbalikan statistik dalam sistem tak linear. M.: Nauka, 1970 (djvu)
• Zakharov A.Yu. Model kekisi fizik statistik. Veliky Novgorod: NovSU, 2006 (pdf)
• Zakharov A.Yu. Kaedah berfungsi dalam fizik statistik klasik. Veliky Novgorod: NovSU, 2006 (pdf)
• Ios G. Kursus fizik teori. Bahagian 2. Termodinamik. Fizik statistik. Teori kuantum. Fizik nuklear. M.: Pendidikan, 1964 (djvu)
• Ishihara A. Fizik statistik. M.: Mir, 1973 (djvu)
• Kadanov L., Beim G. Mekanik statistik kuantum. Kaedah fungsi Green dalam teori proses keseimbangan dan bukan keseimbangan. M.: Mir, 1964 (djvu)
• Katz M. Kebarangkalian dan isu berkaitan dalam fizik. M.: Mir, 1965 (djvu)
• Katz M. Beberapa masalah kebarangkalian fizik dan matematik. M.: Nauka, 1967 (djvu)
• Kittel Ch. Fizik statistik asas. M.: IL, 1960 (djvu)
• Kittel Ch. Termodinamik statistik. M: Nauka, 1977 (djvu)
• Kozlov V.V. Keseimbangan terma mengikut Gibbs dan Poincaré. Moscow-Izhevsk: Institut Penyelidikan Komputer, 2002 (djvu)
• Kompaneets A.S. Undang-undang statistik fizikal. Gelombang kejutan. Bahan superdense. M.: Nauka, 1976 (djvu)
• Kompaneets A.S. Kursus fizik teori. Jilid 2. Undang-undang statistik. M.: Pendidikan, 1975 (djvu)
• Kotkin G.L. Kuliah mengenai fizik statistik, NSU (pdf)
• Krylov N.S. Bekerja pada pengesahan fizik statistik. M.-L.: Dari Akademi Sains USSR, 1950 (djvu)
• Kubo R. Mekanik statistik. M.: Mir, 1967 (djvu)
• Landsberg P. (ed.) Masalah dalam Termodinamik dan Fizik Statistik. M.: Mir, 1974 (djvu)
• Levich V.G. Pengenalan kepada fizik statistik (edisi ke-2) M.: GITTL, 1954 (djvu)
• Libov R. Pengenalan kepada teori persamaan kinetik. M.: Mir, 1974 (djvu)
• Mayer J., Geppert-Mayer M. Mekanik statistik. M.: Mir, 1980 (djvu)
• Minlos R.A. (ed.) Matematik. Baru dalam sains asing-11. Gibbs menyatakan dalam fizik statistik. Koleksi artikel. M.: Mir, 1978 (djvu)
• Nozdrev V.F., Senkevich A.A. Kursus fizik statistik. M.: Lebih tinggi. sekolah, 1965 (djvu)
• Prigogine I. Nonequilibrium statistik mekanik. M.: Mir, 1964 (djvu)
• Radushkevich L.V. Kursus fizik statistik (edisi ke-2) M.: Pendidikan, 1966 (djvu)
• Kursus fizik Reif F. Berkeley. Jilid 5. Fizik statistik. M.: Nauka, 1972 (djvu)
• Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodinamik, fizik statistik dan kinetik. M.: Nauka, 1972 (djvu)
• Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodinamik, fizik statistik dan kinetik (edisi ke-2). M.: Nauka, 1977 (djvu)
• Ruel D. Mekanik statistik. M.: Mir, 1971 (djvu)
• Savukov V.V. Penjelasan prinsip aksiomatik fizik statistik. SPb.: Balt. negeri teknologi Univ. "Voenmekh", 2006

STATISTIK, bahagian statistik. fizik, khusus untuk peneguhan undang-undang berdasarkan undang-undang interaksi. dan pergerakan zarah yang membentuk sistem. Untuk sistem dalam keadaan keseimbangan, statistik membolehkan seseorang mengira, merekod, fasa dan keadaan kimia. .

Statistik bukan keseimbangan memberikan justifikasi untuk hubungan (persamaan pemindahan tenaga, momentum, jisim dan keadaan sempadannya) dan membolehkan seseorang mengira kinetik yang termasuk dalam persamaan pemindahan. pekali Statistik menetapkan kuantiti. hubungan antara sifat mikro dan makro fizikal. dan kimia. sistem Untuk statistik penerangan makroskopik sistem J. Gibbs (1901) mencadangkan untuk menggunakan konsep statistik. ruang ensembel dan fasa, yang memungkinkan untuk menggunakan kaedah teori kebarangkalian untuk menyelesaikan masalah. Statistik ensemble - koleksi sejumlah besar sistem jamak yang sama. zarah (iaitu, "salinan" sistem yang sedang dipertimbangkan) terletak dalam keadaan makro yang sama, yang ditentukan oleh ; Keadaan mikro sistem mungkin berbeza. asas statistik ensembel - mikrokanonik, kanonik, kanonik besar.

dan isobaric-isothermal.

Mikrokanonik Ensembel Gibbs digunakan apabila mempertimbangkan (tidak menukar tenaga E dengan) mempunyai isipadu tetap V dan bilangan zarah yang sama N (E, V dan N-sistem).

Kanonich. Ensambel Gibbs digunakan untuk menerangkan sistem isipadu malar yang berada dalam terma c (suhu mutlak T) dengan bilangan zarah tetap N (V, T, N). Grand Canon. Ensembel Gibbs digunakan untuk menggambarkan mereka yang terletak dalam terma c (suhu T) dan bahan dengan takungan zarah (semua zarah ditukar melalui "dinding" yang mengelilingi sistem dengan isipadu V). sistem sedemikian - V, T dan m - potensi kimia zarah. Isobaric-isoterma Ensembel Gibbs digunakan untuk menerangkan sistem dalam haba dan bulu. klasik sistem f(p, q) mencirikan ketumpatan kebarangkalian pelaksanaan mikro tertentunyatakan (p, q) dalam unsur isipadu dГ ruang fasa.

Kebarangkalian zarah N berada dalam isipadu tak terhingga ruang fasa adalah sama dengan:

dengan dГ N ialah unsur isipadu fasa sistem dalam unit h 3N, h ialah pemalar Planck; pembahagi N! mengambil kira hakikat bahawa penyusunan semula identiti. zarah tidak mengubah keadaan sistem. Fungsi taburan memenuhi keadaan normalisasi t f(p, q)dГ N = 1, kerana sistem ini boleh dipercayai dalam k.-l. syarat. Untuk sistem kuantum, fungsi taburan menentukan kebarangkalian w i, N mencari sistem N zarah dalam set nombor kuantum i tertentu, dengan tenaga E i, N, tertakluk kepada normalisasiNilai purata pada masa t (iaitu mengikut

selang masa tak terhingga dari t ke t + dt) sebarang fizikal. nilai A(p, q), yang merupakan fungsi koordinat dan momenta semua zarah dalam sistem, dikira menggunakan fungsi taburan mengikut peraturan (termasuk untuk proses bukan keseimbangan):

Penyepaduan ke atas koordinat dijalankan ke atas keseluruhan isipadu sistem, dan penyepaduan ke atas impuls dari - , hingga +, . Keadaan termodinamik sistem harus dianggap sebagai had t: , . Untuk keadaan keseimbangan, fungsi taburan ditentukan tanpa menyelesaikan persamaan gerakan zarah-zarah yang membentuk sistem. Bentuk fungsi ini (sama untuk sistem klasik dan kuantum) telah ditubuhkan oleh J. Gibbs (1901).

Dalam mikrokanon. Dalam ensembel Gibbs, semua keadaan mikro dengan tenaga tertentu E adalah sama berkemungkinan dan fungsi taburan untuk keadaan klasik sistem mempunyai bentuk: f(p,q) = A

d, di mana< Е и E k >d - Fungsi delta Dirac, H(p, q) - Fungsi Hamilton, iaitu hasil tambah kinetik. dan potensi tenaga semua zarah; pemalar A ditentukan daripada keadaan normalisasi fungsi f(p, q). Untuk sistem kuantum, dengan ketepatan spesifikasi yang sama dengan nilai D E, mengikut antara tenaga dan masa (antara momentum dan koordinat zarah), fungsi w (E k) = -1, jika EE k E + D E, dan w (E k ) = 0 jika E k

E + D E. Nilai g(E, N, V)-t. dipanggil statistik , sama dengan nombor dalam tenaga. lapisan D E. Hubungan statistik yang penting ialah hubungan antara sistem dan sistem statistik. :

S(E, N, V) = klng(E, N, V), di mana pemalar k-Boltzmann.Dalam kanun. Dalam ensembel Gibbs, kebarangkalian sistem berada dalam keadaan mikro yang ditentukan oleh koordinat dan momenta semua N zarah atau nilai E i,N mempunyai bentuk: f(p, q) = exp (/kT) ;

w i,N = exp[(F - E i,N)/kT],

di mana Z N -statistik.

jumlah (dalam kes sistem kuantum) atau statistik. kamiran (dalam kes sistem klasik), ditentukan daripada syarat untuk menormalkan fungsi w i,N atau f(p, q): Z N =

t exp[-H(p, q)/kT]dpdq/(N!h 3N)

(jumlah lebih r ke atas semua sistem, dan penyepaduan dijalankan ke atas keseluruhan ruang fasa).

d, Dalam kanun yang hebat. Fungsi taburan ensembel Gibbs f(p, q) dan statistik. jumlah X, ditentukan daripada keadaan normalisasi, mempunyai bentuk:

W - termodinamik

Untuk mengira termodinamik

Sistem yang ideal. Pengiraan statistik jumlah kebanyakan sistem adalah tugas yang sukar. Ia dipermudahkan dengan ketara jika sumbangan potensi. tenaga ke dalam jumlah tenaga sistem boleh diabaikan. Dalam kes ini, fungsi taburan lengkap f(p, q) untuk N zarah sistem ideal dinyatakan melalui hasil darab fungsi taburan zarah tunggal f 1 (p, q):

Taburan zarah antara keadaan mikro bergantung kepada kinetiknya. tenaga dan daripada wali kuantum dalam sistem, disebabkan olehdisebabkan oleh identiti zarah. Semua zarah dibahagikan kepada dua kelas: fermion dan boson. Jenis statistik yang dipatuhi oleh zarah secara unik berkaitan dengan .

Statistik Fermi-Dirac menerangkan taburan dalam sistem identiti. zarah dengan separuh integer 1/2, 3/2,... dalam unit ђ = h/2p. Zarah (atau kuasipartikel) yang mematuhi statistik yang ditentukan dipanggil. fermion. Fermion termasuk dalam, dan, dengan ganjil, dengan perbezaan dan nombor ganjil, kuasipartikel (contohnya, lubang dalam), dsb. Perangkaan ini telah dicadangkan oleh E. Fermi pada tahun 1926; pada tahun yang sama, P. Dirac menemui mekanik kuantumnya.

maksudnya. Fungsi gelombang sistem fermion adalah antisimetri, i.e. menukar tandanya apabila menyusun semula koordinat dan sebarang identiti. zarah. Setiap satu boleh mengandungi tidak lebih daripada satu zarah (lihat). Purata bilangan zarah fermion n i dalam keadaan dengan tenaga E i ditentukan oleh fungsi taburan Fermi-Dirac:

n i =(1+exp[(E i -

m )/kT]) -1 ,

di mana i ialah set nombor kuantum yang mencirikan keadaan zarah. Statistik Bose-Einstein menerangkan sistem identiti. zarah dengan sifar atau integer (0, ђ, 2ђ, ...). Zarah atau kuasipartikel yang mematuhi statistik yang ditentukan dipanggil. boson. Perangkaan ini telah dicadangkan oleh S. Bose (1924) untuk foton dan dibangunkan oleh A. Einstein (1924) berhubung dengan , dianggap sebagai zarah komposit bilangan fermion genap, sebagai contoh. dengan jumlah nombor genap dan (deuteron, 4 He nukleus, dsb.).

Statistik Boltzmann ialah kes khas statistik kuantum, apabila kesan kuantum boleh diabaikan (suhu tinggi). Ia menganggap taburan zarah mengikut momenta dan koordinat dalam ruang fasa satu zarah, dan bukan dalam ruang fasa semua zarah, seperti dalam taburan Gibbs. Sekurang-kurangnya

unit isipadu ruang fasa, yang mempunyai enam dimensi (tiga koordinat dan tiga unjuran momentum zarah), mengikut mekanik kuantum. , anda tidak boleh memilih volum yang lebih kecil daripada h 3 . Purata bilangan zarah n i dalam keadaan dengan tenaga E i diterangkan oleh fungsi taburan Boltzmann: n i =exp[(

m -E i)/kT].Bagi zarah yang bergerak mengikut undang-undang klasik. mekanik dalam luaran potensi medan U(r), fungsi keseimbangan statistik bagi taburan f 1 (p,r) ke atas momenta p dan koordinat r zarah mempunyai bentuk:

f 1 (p,r) = A exp( - [p 2 /2m + U(r)]/kT).

Di sini p 2 /2t-kinetik. tenaga jisim w, pemalar A ditentukan daripada keadaan normalisasi. Ungkapan ini sering dipanggil Taburan Maxwell-Boltzmann, dan taburan Boltzmann dipanggil. fungsi n(r) = n 0 exp[-U(r)]/kT],di mana n(r) =

t f 1 (p, r)dp - ketumpatan bilangan zarah pada titik r (n 0 - ketumpatan bilangan zarah tanpa ketiadaan medan luaran). Taburan Boltzmann menerangkan taburan

sejuk dalam medan graviti (barometrik f-la), dan zarah yang sangat tersebar dalam medan daya emparan, dalam yang tidak merosot, dan juga digunakan untuk mengira taburan dalam cair. p-maks (dalam isipadu dan pada sempadan dengan), dsb. Pada U(r) = 0, taburan Maxwell-Boltzmann mengikuti daripada taburan Maxwell-Boltzmann, yang menerangkan taburan halaju zarah dalam keadaan statistik. (J. Maxwell, 1859). Mengikut taburan ini, nombor kemungkinan per unit isipadu komponen halaju, yang terletak dalam selang dari u i ke u i + du i (i = x, y, z), ditentukan oleh fungsi berikut:

di mana E i ialah tenaga tahap kuantum ke-i (i = O sepadan dengan tahap sifar), g i ialah statistik. peringkat ke-i.

Dalam kes umum, jenis pergerakan individu, dan kumpulan dalam, serta pergerakan secara keseluruhan adalah saling berkaitan, tetapi kira-kira mereka boleh dianggap sebagai bebas. Maka jumlah ke atas negeri mungkin dibentangkan dalam bentuk produk komponen individu yang berkaitan dengan langkah-langkah. pergerakan (Q post) dan dengan intramol. pergerakan (Q int):

d, Q 1 = Q post ·Q int, Q post = l (V/N),

l = (2p mkT/j 2) 3/2.

Untuk Q ext mewakili jumlah keadaan elektronik dan nuklear; untuk Q int - jumlah elektronik, nuklear, ayunan. dan berputar. negeri. Dalam julat suhu dari 10 hingga 10 3 K, penerangan anggaran biasanya digunakan, di mana setiap jenis pergerakan yang ditunjukkan dianggap secara bebas: Q in = Q el · Q racun · Q putaran · Q kiraan /g, di mana g ialah nombor, identiti sama dengan nombor. konfigurasi yang timbul semasa putaran, terdiri daripada seiras atau kumpulan. Jumlah keadaan gerakan elektronik Q el adalah sama dengan statistik. R t bas. keadaan elektronik. Dalam bentuk jamak kes bas. tahap tidak merosot dan dipisahkan daripada tahap teruja terdekat, yang bermaksud. tenaga: (P t = 1). Walau bagaimanapun, dalam beberapa kes, cth. untuk O 2, Р t = з, pada asasnya. nyatakan, momen kuantiti gerakan adalah berbeza daripada sifar dan berlaku, dan tenaga boleh. agak rendah. Jumlah ke atas keadaan racun Q, disebabkan oleh kemerosotan racun nuklear, adalah sama dengan:

di mana s i ialah putaran nukleus i, hasil darab diambil alih semua . Jumlahkan mengikut keadaan ayunan. pergerakan

di mana v i -frekuensiturun naik kecil,

Mengetahui jumlah ke atas keadaan membolehkan seseorang mengira termodinamik. Orang suci dan, termasuk. kimia. , tahap keseimbangan pengionan, dsb.

Penting dalam teori abs. kelajuan r-tions mempunyai keupayaan untuk mengira proses pembentukan pengaktifan. kompleks (keadaan peralihan), yang dibentangkan sebagai pengubahsuaian. zarah, salah satu getaran. darjah kebebasan potongan digantikan dengan darjah kebebasan input. pergerakan. Sistem tidak ideal.

d,

Di sini<2 Dalam interaksi antara satu sama lain. Dalam kes ini, jumlah ke atas keadaan ensemble tidak dikurangkan kepada hasil tambah ke atas keadaan individu. Jika kita mengandaikan bahawa intermol. interaksi tidak menjejaskan dalaman negeri, statistik jumlah sistem dalam klasik anggaran untuk , yang terdiri daripada N identiti. zarah mempunyai bentuk:N-config.

integral dengan mengambil kira interaksi. . Naib, selalunya berpotensi. tenaga U dianggap sebagai jumlah potensi pasangan: U = =di mana U(r ij) ialah potensi pusat. angkatan bergantung kepada

Untuk teori penerangan tentang sifat tumpat, dan penyelesaian bukan elektrolit dan antara muka dalam sistem ini adalah lebih mudah daripada pengiraan terus data statistik.jumlah ialah kaedah fungsi taburan n-zarah. Di dalamnya, bukannya mengira statistik. setiap negeri dengan tetap tenaga menggunakan hubungan antara fungsi taburan f n, yang mencirikan kebarangkalian mencari zarah secara serentak pada titik dalam ruang dengan koordinat r 1,..., r n; untuk n = N f N = b t f(p, r)dp (di sini dan di bawah q i = r i). Fungsi zarah tunggal f 1 (r 1) (n = 1) mencirikan taburan ketumpatan bahan. Untuk berkala ini. f-tion dengan maksimum pada nod kristal. struktur; untuk atau tanpa kehadiran luaran medan ialah nilai malar bersamaan dengan makroskopik.

kepadatan sungai Fungsi taburan dua zarah (n = 2) mencirikan kebarangkalian mencari

Model pemeluwap kekisi.

negeri telah menemui aplikasi yang meluas dalam termodinamik. pertimbangan hampir semua fizikal-kimia. tugasan. Keseluruhan isipadu sistem dibahagikan kepada kawasan tempatan dengan saiz ciri mengikut susunan saiz u 0 . Secara umum, dalam model yang berbeza saiz kawasan tempatan mungkin kedua-duanya lebih besar dan kurang daripada u 0 ;dalam kebanyakan kes mereka adalah sama. Peralihan kepada taburan diskret dalam ruang dengan ketara memudahkan pengiraan beza. . Model kekisi mengambil kira interaksi. antara satu sama lain; interaksi tenaga bertenaga digambarkan. parameter. Dalam beberapa kes, model kekisi membenarkan penyelesaian yang tepat, yang memungkinkan untuk menilai sifat anggaran yang digunakan. Dengan bantuan mereka, adalah mungkin untuk mempertimbangkan berbilang zarah dan yang khusus. interaksi, orientasi kesan, dsb. Model kekisi adalah asas dalam kajian dan pelaksanaan pengiraan gunaan dan sistem yang sangat tidak homogen.Kaedah berangka untuk menentukan termodinamik. St.-in menjadi semakin penting apabila pengkomputeran berkembang.

teknologi. Dalam kaedah Monte Carlo, kamiran berbilang dimensi dikira secara langsung, yang membolehkan seseorang memperoleh data statistik secara langsung. purata diperhatikan

nilai A(r1.....r N) mengikut mana-mana statistik

ensembel

Kinetik fizikal ialah bahagian statistik. fizik, yang memberikan justifikasi untuk perhubungan yang menggambarkan pemindahan tenaga, momentum dan jisim, serta pengaruh pengaruh luar terhadap proses ini. padang. Kinetik. pekali makroskopik ciri-ciri medium berterusan yang menentukan kebergantungan aliran fizikal. kuantiti (haba, momentum, jisim komponen, dll.) daripadaaliran kecerunan yang menyebabkan aliran ini adalah hidrodinamik. kelajuan, dsb. Adalah perlu untuk membezakan pekali Onsager termasuk dalam persamaan yang menghubungkan aliran dengan termodinamik.

daya (persamaan termodinamik gerakan), dan pekali pemindahan (, dsb.) termasuk dalam persamaan pemindahan. M.b pertama. dinyatakan melalui yang terakhir menggunakan hubungan antara makroskopik. ciri-ciri sistem, jadi pada masa hadapan hanya pekali akan dipertimbangkan. pemindahan.

Untuk mengira makroskopik

d, pekali pemindahan, adalah perlu untuk menjalankan purata ke atas kebarangkalian realisasi pemindahan asas menggunakan fungsi taburan bukan keseimbangan. Kesukaran utama adalah bahawa analit. bentuk fungsi taburan f(p, q, t) (masa-t) tidak diketahui (berbeza dengan keadaan keseimbangan sistem, yang diterangkan menggunakan fungsi taburan Gibbs yang diperoleh pada t: , ). Pertimbangkan fungsi taburan n-zarah f n (r, q, t), yang diperoleh daripada fungsi f (p, q, t) dengan purata ke atas koordinat dan momenta zarah yang tinggal (N - n):Bagi mereka, mungkin. satu sistem persamaan telah disusun yang membolehkan seseorang untuk menerangkan keadaan tidak seimbang sewenang-wenangnya. Menyelesaikan sistem persamaan ini sangat sukar. Sebagai peraturan, dalam kinetik teori dan kuasipartikel gas (fermion dan boson), hanya persamaan untuk fungsi taburan zarah tunggal f 1 digunakan. Di bawah andaian bahawa tiada korelasi antara keadaan mana-mana zarah (hipotesis kekacauan molekul), apa yang dipanggil kinetik Persamaan Boltzmann (L. Boltzmann, 1872). Persamaan ini mengambil kira perubahan dalam taburan zarah di bawah pengaruh pengaruh luar. daya F(r, m) dan perlanggaran pasangan antara zarah:selepas perlanggaran; u dan -halaju zarah sebelum perlanggaran, u" dan -halaju zarah yang sama selepas perlanggaran, dan = |u -|-modulus kelajuan relatif zarah berlanggar, q - sudut antara kelajuan relatif bagi u - zarah berlanggar dan garis yang menghubungkan pusatnya , s (u,q )dW -keratan rentas pembezaan penyerakan zarah pada sudut pepejal dW dalam sistem koordinat makmal, bergantung kepada undang-undang zarah Dalam rangka kerja mekanik klasik. keratan rentas pembezaan dinyatakan dalam sebutan parameter perlanggaran b dan e (jarak hentaman sepadan dan sudut azimut garis pusat): s dW = bdbde, dan dianggap sebagai pusat daya dengan potensi bergantung pada jarak .

Jika sistem dalam statistik , kamiran perlanggaran Stf adalah sama dengan sifar dan penyelesaian kinetik. Persamaan Boltzmann akan menjadi taburan Maxwell. Bagi keadaan tiada keseimbangan, penyelesaian kinetik. Persamaan Boltzmann biasanya dicari dalam bentuk pengembangan siri fungsi f 1 (u, r, m) dalam parameter kecil berbanding dengan fungsi taburan Maxwell.

Dalam penghampiran (kelonggaran) paling mudah, kamiran perlanggaran dianggarkan sebagai Stgas; untuk (fungsi taburan satu zarah biasa f 1 molekul dalam cecair tidak mendedahkan spesifik fenomena dan pertimbangan fungsi taburan dua zarah f 2 diperlukan. Walau bagaimanapun, untuk proses yang cukup perlahan dan dalam kes di mana skala ketidakhomogenan spatial adalah jauh lebih kecil daripada skala korelasi antara zarah, anda boleh menggunakan fungsi pengedaran zarah tunggal keseimbangan tempatan dengan t-roy, potensi kimia dan kelajuan hidrodinamik, yang sepadan dengan jumlah kecil yang sedang dipertimbangkan, dan mengira aliran impuls, tenaga dan jirim, dan juga mewajarkan persamaan Navier-Stokes, dan Dalam kes ini, pekali pemindahan ternyata berkadar dengan korelasi ruang-masa bagi aliran tenaga, momentum dan jirim komponen.

Untuk menerangkan jirim pada dan pada antara muka, model pemeluwap kekisi digunakan secara meluas. fasa. keadaan sistem diterangkan secara asas. t f(p,q,t)du- fungsi taburan, purata ke atas impuls (halaju) semua N zarah, menerangkan taburan zarah ke atas nod struktur kekisi (nombornya ialah N y, N< N y), q- номер узла или его координата. В модели "решеточного " частица может находиться в узле (узел занят) или отсутствовать (узел свободен); W(q : q") ialah kebarangkalian sistem beralih per unit masa daripada keadaan q, yang diterangkan oleh set lengkap koordinat zarah, ke keadaan q yang lain". Jumlah pertama menerangkan sumbangan semua proses di mana peralihan kepada keadaan q tertentu dijalankan, jumlah kedua menerangkan keluar dari keadaan ini. Dalam kes taburan zarah keseimbangan (t : , ) P(q) = exp[-H(q)/kT]/Q, di mana Q-statistik. jumlah, H(q) ialah tenaga sistem dalam keadaan q. Kebarangkalian peralihan memenuhi prinsip terperinci: W(q" : q)exp[-H(q")/kT] = W(q : q")exp[-H(q)/kT]. Berdasarkan persamaan untuk fungsi P(q,t), satu persamaan kinetik dibina. persamaan untuk fungsi taburan n-zarah, yang diperolehi dengan purata ke atas lokasi semua zarah (N - n) lain. Untuk yang kecil h dalam sempadan dengan, pertumbuhan, perubahan fasa, dsb. Untuk pemindahan antara fasa, disebabkan oleh perbezaan masa ciri proses penghijrahan zarah asas, jenis keadaan sempadan pada sempadan fasa memainkan peranan penting.

Untuk sistem kecil (bilangan nod N y = 10 2 - 10 5) sistem persamaan relatif kepada fungsi P(q,t) mungkin diselesaikan secara berangka menggunakan kaedah Monte Carlo. Peringkat sistem kepada keadaan keseimbangan membolehkan kita mempertimbangkan perbezaannya. proses sementara dalam kajian kinetik transformasi fasa, pertumbuhan, kinetik tindak balas permukaan, dsb. dan menentukan dinamik mereka. ciri, termasuk pekali. pemindahan.

Untuk mengira pekali. pemindahan dalam fasa gas, cecair dan pepejal, serta pada sempadan fasa, pelbagai varian kaedah mol digunakan secara aktif. dinamik, yang membolehkan kita mengesan secara terperinci sistem dari masa ~10 -15 s hingga ~10 -10 s (pada masa tertib 10 -10 - 10 -9 s dan lebih, persamaan Langevin yang dipanggil ialah digunakan, persamaan ini konsep Newton mengandungi istilah stokastik di sebelah kanan).

Untuk sistem dengan bahan kimia p-tions, sifat taburan zarah sangat dipengaruhi oleh hubungan antara masa pemindahan ciri dan sifat kimianya. transformasi. Jika kelajuan bahan kimia transformasi adalah kecil, taburan zarah tidak banyak berbeza daripada kes apabila tiada penyelesaian. Jika kelajuan pengedaran adalah tinggi, pengaruhnya terhadap sifat pengedaran zarah adalah hebat dan adalah mustahil untuk menggunakan zarah purata (iaitu fungsi pengedaran dengan n = 1), seperti yang dilakukan semasa menggunakan. Adalah perlu untuk menerangkan taburan dengan lebih terperinci menggunakan fungsi taburan f n dengan n > 1. Penting dalam menerangkan tindak balas. zarah mengalir di permukaan dan halaju mempunyai keadaan sempadan (lihat).

Lit.: Kubo R., Mekanik statistik, terj. daripada English, M., 1967; Zubarev D.N., statistik Nonequilibrium, M., 1971; Ishihara A., Fizik Statistik, terj. daripada English, M., 1973; Landau L. D., Lifshits E. M L