Jika dua kuasa didarab (atau dibahagikan), yang mempunyai asas yang berbeza, tetapi eksponen yang sama, maka asasnya boleh didarab (atau dibahagikan), dan eksponen hasilnya boleh dibiarkan sama seperti faktor (atau dividen). dan pembahagi).
Secara umum, dalam bahasa matematik, peraturan ini ditulis seperti berikut:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m
Apabila membahagi, b tidak boleh sama dengan 0, iaitu peraturan kedua mesti ditambah dengan syarat b ≠ 0.
Contoh:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32
Sekarang, menggunakan contoh khusus ini, kami akan membuktikan bahawa peraturan-sifat bagi darjah dengan eksponen yang sama adalah betul. Mari kita selesaikan contoh-contoh ini seolah-olah kita tidak tahu tentang sifat darjah:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Seperti yang dapat kita lihat, jawapannya bertepatan dengan jawapan yang diperolehi apabila peraturan digunakan. Mengetahui peraturan ini membolehkan anda memudahkan pengiraan.
Perhatikan bahawa ungkapan 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 boleh ditulis seperti berikut:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).
Ungkapan ini pula adalah sesuatu selain daripada (2 × 3) 3. iaitu 6 3.
Sifat darjah yang dipertimbangkan dengan penunjuk yang sama boleh digunakan dalam arah yang bertentangan. Sebagai contoh, apakah 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324
Sifat kuasa juga digunakan semasa menyelesaikan contoh:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664
Sifat asas darjah
"Sifat-sifat darjah" ialah pertanyaan yang agak popular dalam enjin carian, yang menunjukkan minat yang tinggi terhadap sifat ijazah. Kami telah mengumpulkan untuk anda semua sifat ijazah (sifat ijazah dengan eksponen semula jadi, sifat ijazah dengan eksponen rasional, sifat ijazah dengan eksponen integer) di satu tempat. Anda boleh memuat turun versi pendek helaian cheat "Sifat-sifat darjah" dalam format .pdf supaya, jika perlu, anda boleh mengingatinya dengan mudah atau membiasakan diri dengannya sifat darjah terus di tapak. Dalam butiran sifat kuasa dengan contoh dibincangkan di bawah.
Muat turun helaian cheat "Properties of degrees" (format.pdf)
Sifat darjah (secara ringkas)
a 0=1 jika a≠0
a 1=a
(−a)n=an, Jika n- walaupun
(−a)n=−an, Jika n- ganjil
(a⋅b)n=an⋅bn
(ab)n=anbn
a−n=1an
(ab)−n=(ba)n
an⋅pagi=an+m
anam=an−m
(an)m=an⋅m
Sifat darjah (dengan contoh)
harta darjah 1 Sebarang nombor selain daripada sifar kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu. a 0=1 jika a≠0 Sebagai contoh: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1
harta darjah 2 Sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan nombor itu sendiri. a 1=a Sebagai contoh: 231=23, (−9,3)1=−9,3
harta darjah 3 Sebarang nombor kepada kuasa genap adalah positif. an=an, Jika n- genap (boleh dibahagi dengan 2) integer (− a)n=an, Jika n- genap (boleh dibahagi dengan 2) integer Sebagai contoh: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1
harta darjah 4 Sebarang nombor kepada kuasa ganjil mengekalkan tandanya. an=an, Jika n- ganjil (tidak boleh dibahagikan dengan 2) integer (− a)n=−an, Jika n- ganjil (tidak boleh dibahagikan dengan 2) integer Sebagai contoh: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1
harta darjah 5 Hasil daripada nombor yang dibangkitkan oh kepada kuasa, boleh diwakili sebagai hasil darab nombor yang dibangkitkan s V ini ijazah (dan sebaliknya). ( a⋅b)n=an⋅bn, di mana a, b, n Sebagai contoh: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5
harta darjah 6 Hasil bagi (bahagian) nombor yang dibangkitkan oh kepada kuasa, boleh diwakili sebagai hasil bagi nombor yang dinaikkan s V ini ijazah (dan sebaliknya). ( ab)n=anbn, di mana a, b, n- sebarang nombor yang sah (tidak semestinya integer). Sebagai contoh: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1
harta darjah 7 Sebarang nombor kepada kuasa negatif adalah sama dengan nombor salingannya dengan kuasa itu. (Salingan nombor ialah nombor yang mana nombor tertentu mesti didarab untuk mendapatkan satu.) a−n=1an, di mana a Dan n- sebarang nombor yang sah (tidak semestinya integer). Sebagai contoh: 7−2=172=149
harta darjah 8 Sebarang pecahan kepada kuasa negatif adalah sama dengan pecahan salingan kuasa itu. ( ab)−n=(ba)n, di mana a, b, n- sebarang nombor yang sah (tidak semestinya integer). Sebagai contoh: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64
harta darjah 9 Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen ditambah, tetapi asasnya tetap sama. an⋅pagi=an+m, di mana a, n, m- sebarang nombor yang sah (tidak semestinya integer). Sebagai contoh: 23⋅25=23+5=28, ambil perhatian bahawa sifat darjah ini dikekalkan untuk nilai negatif darjah 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+( −3)= 47−3=44
harta 10 darjah Apabila membahagikan kuasa dengan asas yang sama, eksponen ditolak, tetapi asasnya tetap sama. anam=an−m, di mana a, n, m- sebarang nombor yang sah (tidak semestinya integer). Sebagai contoh:(1,4)2(1,4)3=1.42+3=1.45, perhatikan bagaimana sifat kuasa ini digunakan pada kuasa negatif3−236=3−2−6=3−8, 474− 3=47−(−3 )=47+3=410
harta darjah 11 Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, kuasa itu berlipat ganda. ( an)m=an⋅m Contohnya: (23)2=23⋅2=26=64
Jadual kuasa sehingga 10
Beberapa orang berjaya mengingati keseluruhan jadual darjah, dan siapa yang memerlukannya apabila ia sangat mudah dicari? Jadual kuasa kami merangkumi kedua-dua jadual petak dan kubus yang popular (dari 1 hingga 10), serta jadual kuasa lain yang kurang biasa. Lajur jadual kuasa menunjukkan asas darjah (nombor yang perlu dinaikkan kepada kuasa), baris menunjukkan eksponen (kuasa yang nombor itu perlu dinaikkan), dan di persimpangan lajur yang diingini dan baris yang dikehendaki adalah hasil daripada menaikkan nombor yang dikehendaki kepada kuasa yang diberikan. Terdapat beberapa jenis masalah yang boleh diselesaikan menggunakan jadual kuasa. Tugas segera adalah untuk mengira n kuasa ke satu nombor. Masalah songsang, yang juga boleh diselesaikan menggunakan jadual kuasa, mungkin berbunyi seperti ini: “kepada kuasa apakah bilangan itu harus dinaikkan? a untuk mendapatkan nombor b ?" atau "Nombor apa kepada kuasa n memberikan nombor b ?".
Jadual kuasa sehingga 10
|
1 n |
2 n |
3 n |
4 n |
5 n |
6 n |
7 n |
8 n |
9 n |
10 n |
|
Cara menggunakan jadual darjah
Mari lihat beberapa contoh penggunaan jadual kuasa.
Contoh 1. Apakah nombor yang terhasil daripada menaikkan nombor 6 kepada kuasa ke-8? Dalam jadual darjah kita mencari lajur 6 n, kerana mengikut syarat masalah nombor 6 dinaikkan kepada kuasa. Kemudian dalam jadual kuasa kita mencari baris 8, kerana nombor yang diberikan mesti dinaikkan kepada kuasa 8. Di persimpangan kita melihat jawapan: 1679616.
Contoh 2. Pada kuasa apakah nombor 9 mesti dinaikkan untuk mendapatkan 729? Dalam jadual darjah kita mencari lajur 9 n dan kita turun ke nombor 729 (baris ketiga jadual darjah kita). Nombor baris ialah darjah yang diperlukan, iaitu jawapan: 3.
Contoh 3. Apakah nombor yang mesti dinaikkan kepada kuasa 7 untuk mendapatkan 2187? Dalam jadual darjah kita mencari baris 7, kemudian bergerak di sepanjangnya ke kanan ke nombor 2187. Daripada nombor yang ditemui kita naik dan mengetahui bahawa tajuk lajur ini ialah 3 n, yang bermaksud jawapannya ialah: 3.
Contoh 4. Pada kuasa apakah nombor 2 mesti dinaikkan untuk mendapat 63? Dalam jadual darjah kita dapati lajur 2 n dan kami turun sehingga kami bertemu 63... Tetapi ini tidak akan berlaku. Kita tidak akan pernah melihat nombor 63 dalam lajur ini atau dalam mana-mana lajur lain jadual kuasa, yang bermaksud tiada integer dari 1 hingga 10 memberikan nombor 63 apabila dinaikkan kepada kuasa integer dari 1 hingga 10. Oleh itu, tidak ada jawab .
Setiap operasi aritmetik kadangkala menjadi terlalu rumit untuk ditulis dan mereka cuba untuk memudahkannya. Ini pernah berlaku dengan operasi tambah. Orang ramai perlu melakukan penambahan berulang jenis yang sama, sebagai contoh, untuk mengira kos seratus permaidani Parsi, yang kosnya ialah 3 syiling emas untuk setiap satu. 3+3+3+…+3 = 300. Oleh kerana sifatnya yang menyusahkan, ia telah memutuskan untuk memendekkan notasi kepada 3 * 100 = 300. Malah, notasi “tiga kali seratus” bermakna anda perlu mengambil satu ratus tiga dan tambahkannya bersama-sama. Pendaraban ditangkap dan mendapat populariti umum. Tetapi dunia tidak berdiam diri, dan pada Zaman Pertengahan keperluan timbul untuk melakukan pendaraban berulang jenis yang sama. Saya masih ingat teka-teki India lama tentang seorang bijak yang meminta bijirin gandum dalam kuantiti berikut sebagai ganjaran untuk kerja yang dilakukan: untuk petak pertama papan catur dia meminta satu biji, untuk yang kedua - dua, untuk yang ketiga - empat, untuk yang kelima - lapan, dan seterusnya. Beginilah cara pendaraban kuasa pertama muncul, kerana bilangan butir adalah sama dengan dua kuasa nombor sel. Sebagai contoh, pada sel terakhir akan terdapat 2*2*2*...*2 = 2^63 butir, yang bersamaan dengan nombor 18 aksara panjang, yang sebenarnya, adalah maksud teka-teki itu.
Operasi pengeksponenan ditangkap dengan agak cepat, dan keperluan untuk menjalankan penambahan, penolakan, pembahagian dan pendaraban kuasa juga timbul dengan cepat. Yang terakhir ini patut dipertimbangkan dengan lebih terperinci. Formula untuk menambah kuasa adalah mudah dan mudah diingati. Di samping itu, sangat mudah untuk memahami dari mana asalnya jika operasi kuasa digantikan dengan pendaraban. Tetapi pertama-tama anda perlu memahami beberapa istilah asas. Ungkapan a^b (dibaca “a kepada kuasa b”) bermaksud bahawa nombor a harus didarab dengan sendirinya b kali, dengan “a” dipanggil asas kuasa, dan “b” pangkat kuasa. Jika asas darjah adalah sama, maka formula diperolehi dengan mudah. Contoh khusus: cari nilai ungkapan 2^3 * 2^4. Untuk mengetahui apa yang perlu berlaku, anda harus mengetahui jawapan pada komputer sebelum memulakan penyelesaian. Memasukkan ungkapan ini ke dalam mana-mana kalkulator dalam talian, enjin carian, menaip "kuasa pendaraban dengan asas yang berbeza dan sama" atau pakej matematik, outputnya ialah 128. Sekarang mari kita tulis ungkapan ini: 2^3 = 2*2*2, dan 2^4 = 2 *2*2*2. Ternyata 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Ternyata hasil darab kuasa dengan asas yang sama adalah sama dengan asas yang dinaikkan kepada kuasa yang sama dengan jumlah dua kuasa sebelumnya.
Anda mungkin berfikir bahawa ini adalah kemalangan, tetapi tidak: mana-mana contoh lain hanya boleh mengesahkan peraturan ini. Oleh itu, secara amnya, formula kelihatan seperti ini: a^n * a^m = a^(n+m) . Terdapat juga peraturan bahawa sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu. Di sini kita harus ingat peraturan kuasa negatif: a^(-n) = 1 / a^n. Iaitu, jika 2^3 = 8, maka 2^(-3) = 1/8. Dengan menggunakan peraturan ini, anda boleh membuktikan kesahihan kesamaan a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n), a^ (n) boleh dikurangkan dan satu kekal. Dari sini peraturan diperoleh bahawa hasil bagi kuasa dengan asas yang sama adalah sama dengan asas ini pada darjah yang sama dengan hasil bagi dividen dan pembahagi: a^n: a^m = a^(n-m) . Contoh: mudahkan ungkapan 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Pendaraban ialah operasi komutatif, oleh itu, anda mesti menambah eksponen pendaraban dahulu: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Seterusnya anda perlu berurusan dengan pembahagian oleh kuasa negatif. Adalah perlu untuk menolak eksponen pembahagi daripada eksponen dividen: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Ternyata operasi bahagi dengan negatif darjah adalah sama dengan operasi pendaraban dengan eksponen positif yang serupa. Jadi jawapan akhir ialah 8.
Terdapat contoh di mana penggandaan kuasa bukan kanonik berlaku. Mendarab kuasa dengan asas yang berbeza selalunya lebih sukar, dan kadangkala mustahil. Beberapa contoh teknik yang berbeza mungkin perlu diberikan. Contoh: mudahkan ungkapan 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Jelas sekali, terdapat pendaraban kuasa dengan asas yang berbeza. Tetapi perlu diperhatikan bahawa semua pangkalan adalah kuasa yang berbeza dari tiga. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. Menggunakan peraturan (a^n) ^m = a^(n*m) , anda harus menulis semula ungkapan dalam bentuk yang lebih mudah: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Jawapan: 3^11. Dalam kes di mana asasnya berbeza, peraturan a^n * b^n = (a*b) ^n berfungsi untuk penunjuk yang sama. Contohnya, 3^3 * 7^3 = 21^3. Jika tidak, apabila asas dan eksponen berbeza, pendaraban lengkap tidak boleh dilakukan. Kadangkala anda sebahagiannya boleh memudahkan atau menggunakan bantuan teknologi komputer.
Penambahan dan penolakan kuasa
Adalah jelas bahawa nombor dengan kuasa boleh ditambah seperti kuantiti lain , dengan menambahkannya satu demi satu dengan tanda-tandanya.
Jadi, hasil tambah a 3 dan b 2 ialah a 3 + b 2.
Hasil tambah a 3 - b n dan h 5 -d 4 ialah a 3 - b n + h 5 - d 4.
Kemungkinan kuasa sama pembolehubah yang sama boleh ditambah atau dikurangkan.
Jadi, hasil tambah 2a 2 dan 3a 2 adalah sama dengan 5a 2.
Ia juga jelas bahawa jika anda mengambil dua petak a, atau tiga petak a, atau lima petak a.
Tetapi ijazah pelbagai pembolehubah Dan pelbagai darjat pembolehubah yang sama, mesti digubah dengan menambahkannya dengan tandanya.
Jadi, hasil tambah a 2 dan a 3 ialah hasil tambah a 2 + a 3.
Adalah jelas bahawa kuasa dua a, dan kubus a, tidak sama dengan dua kali kuasa dua a, tetapi dua kali ganda kubus a.
Hasil tambah a 3 b n dan 3a 5 b 6 ialah a 3 b n + 3a 5 b 6.
Penolakan kuasa dijalankan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali tanda-tanda subtrahend mesti diubah sewajarnya.
Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3j 2 b 6 — 4j 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Melipatgandakan kuasa
Nombor dengan kuasa boleh didarab seperti kuantiti lain dengan menulisnya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda darab di antaranya.
Oleh itu, hasil darab a 3 dengan b 2 ialah a 3 b 2 atau aaabb.
Atau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Hasil dalam contoh terakhir boleh dipesan dengan menambah pembolehubah yang sama.
Ungkapan akan mengambil bentuk: a 5 b 5 y 3.
Dengan membandingkan beberapa nombor (pembolehubah) dengan kuasa, kita dapat melihat bahawa jika mana-mana dua daripadanya didarab, maka hasilnya adalah nombor (pembolehubah) dengan kuasa yang sama dengan jumlah darjah istilah.
Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Di sini 5 ialah kuasa hasil pendaraban, yang bersamaan dengan 2 + 3, jumlah kuasa sebutan.
Jadi, a n .a m = a m+n .
Untuk a n, a diambil sebagai faktor seberapa banyak kuasa n;
Dan a m diambil sebagai faktor seberapa banyak darjah m bersamaan dengan;
sebab itu, kuasa dengan asas yang sama boleh didarab dengan menambah eksponen kuasa.
Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Atau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Darab (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Jawapan: x 4 - y 4.
Darab (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Peraturan ini juga benar untuk nombor yang eksponennya negatif.
1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini boleh ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Jika a + b didarab dengan a - b, hasilnya akan menjadi 2 - b 2: iaitu
Hasil pendaraban jumlah atau perbezaan dua nombor adalah sama dengan jumlah atau perbezaan kuasa duanya.
Jika jumlah dan beza dua nombor dinaikkan kepada segi empat sama, hasilnya akan sama dengan jumlah atau perbezaan nombor ini dalam keempat darjah.
Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Pembahagian darjah
Nombor dengan kuasa boleh dibahagikan seperti nombor lain, dengan menolak dividen, atau dengan meletakkannya dalam bentuk pecahan.
Oleh itu, a 3 b 2 dibahagikan dengan b 2 adalah sama dengan a 3.
Menulis 5 dibahagikan dengan 3 kelihatan seperti $\frac $. Tetapi ini sama dengan 2 . Dalam satu siri nombor
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
sebarang nombor boleh dibahagikan dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan beza penunjuk nombor boleh bahagi.
Apabila membahagikan darjah dengan asas yang sama, eksponen mereka ditolak..
Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Iaitu, $\frac = y$.
Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Iaitu, $\frac = a^n$.
Atau:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Peraturan ini juga benar untuk nombor dengan negatif nilai darjah.
Hasil pembahagian a -5 dengan -3 ialah a -2.
Juga, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Ia adalah perlu untuk menguasai pendaraban dan pembahagian kuasa dengan baik, kerana operasi sedemikian digunakan secara meluas dalam algebra.
Contoh penyelesaian contoh dengan pecahan yang mengandungi nombor dengan kuasa
1. Kurangkan eksponen sebanyak $\frac $ Jawapan: $\frac $.
2. Kurangkan eksponen sebanyak $\frac$. Jawapan: $\frac$ atau 2x.
3. Kurangkan eksponen a 2 /a 3 dan a -3 /a -4 dan bawa kepada penyebut yang sama.
a 2 .a -4 ialah a -2 pengangka pertama.
a 3 .a -3 ialah 0 = 1, pengangka kedua.
a 3 .a -4 ialah a -1 , pengangka sepunya.
Selepas dipermudahkan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .
4. Kurangkan eksponen 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa kepada penyebut yang sama.
Jawapan: 2a 3 /5a 7 dan 5a 5 /5a 7 atau 2a 3 /5a 2 dan 5/5a 2.
5. Darab (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.
6. Darab (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).
7. Darab b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .
8. Bahagikan sebuah 4 /y 3 dengan sebuah 3 /y 2 . Jawapan: a/y.
Sifat ijazah
Kami mengingatkan anda bahawa dalam pelajaran ini kami akan faham sifat darjah dengan penunjuk semula jadi dan sifar. Kuasa dengan eksponen rasional dan sifatnya akan dibincangkan dalam pelajaran untuk gred 8.
Kuasa dengan eksponen semula jadi mempunyai beberapa sifat penting yang membolehkan kita memudahkan pengiraan dalam contoh dengan kuasa.
Harta No. 1
Produk kuasa
Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, asas kekal tidak berubah, dan eksponen ditambah.
a m · a n = a m + n, dengan “a” ialah sebarang nombor, dan “m”, “n” ialah sebarang nombor asli.
Sifat kuasa ini juga terpakai kepada hasil daripada tiga kuasa atau lebih.
- Permudahkan ungkapan.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Hadirkan ia sebagai ijazah.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Hadirkan ia sebagai ijazah.
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15 - Tulis hasil bagi sebagai kuasa
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Kira.
Sila ambil perhatian bahawa dalam harta yang dinyatakan kami hanya bercakap tentang pendaraban kuasa dengan asas yang sama. Ia tidak terpakai untuk penambahan mereka.
Anda tidak boleh menggantikan jumlah (3 3 + 3 2) dengan 3 5. Ini boleh difahami jika
kiraan (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, dan 3 5 = 243
Harta No. 2
darjah separa
Apabila membahagikan kuasa dengan asas yang sama, asas kekal tidak berubah, dan eksponen pembahagi ditolak daripada eksponen dividen.
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Contoh. Selesaikan persamaan. Kami menggunakan sifat kuasa quotient.
3 8: t = 3 4
Jawapan: t = 3 4 = 81
Menggunakan sifat No. 1 dan No. 2, anda boleh memudahkan ungkapan dan melakukan pengiraan dengan mudah.
Contoh. Permudahkan ungkapan.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Contoh. Cari nilai ungkapan menggunakan sifat eksponen.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Sila ambil perhatian bahawa dalam Harta 2 kami hanya bercakap tentang pembahagian kuasa dengan asas yang sama.
Anda tidak boleh menggantikan perbezaan (4 3 −4 2) dengan 4 1. Ini boleh difahami jika anda mengira (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, dan 4 1 = 4
Harta No. 3
Meningkatkan darjat kepada kuasa
Apabila menaikkan darjah kepada kuasa, asas darjah kekal tidak berubah, dan eksponen didarabkan.
(a n) m = a n · m, dengan “a” ialah sebarang nombor, dan “m”, “n” ialah sebarang nombor asli.
Kami mengingatkan anda bahawa hasil bagi boleh diwakili sebagai pecahan. Oleh itu, kita akan membincangkan topik menaikkan pecahan kepada kuasa dengan lebih terperinci pada halaman seterusnya.
Bagaimana untuk melipatgandakan kuasa
Bagaimana untuk melipatgandakan kuasa? Kuasa mana yang boleh digandakan dan yang mana tidak? Bagaimana untuk mendarab nombor dengan kuasa?
Dalam algebra, anda boleh mencari hasil darab kuasa dalam dua kes:
1) jika darjah mempunyai asas yang sama;
2) jika darjah mempunyai penunjuk yang sama.
Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, asas mesti dibiarkan sama, dan eksponen mesti ditambah:
Apabila mendarab darjah dengan penunjuk yang sama, penunjuk keseluruhan boleh dikeluarkan daripada kurungan:
Mari kita lihat cara mendarab kuasa menggunakan contoh khusus.
Unit tidak ditulis dalam eksponen, tetapi apabila mendarab kuasa, mereka mengambil kira:
Apabila mendarab, boleh terdapat sebarang bilangan kuasa. Perlu diingat bahawa anda tidak perlu menulis tanda pendaraban sebelum huruf:
Dalam ungkapan, eksponenisasi dilakukan terlebih dahulu.
Jika anda perlu mendarab nombor dengan kuasa, anda perlu melakukan eksponen dahulu, dan kemudian pendaraban:
Mendarab kuasa dengan asas yang sama
Tutorial video ini tersedia melalui langganan
Sudah mempunyai langganan? Untuk masuk
Dalam pelajaran ini kita akan mengkaji pendaraban kuasa dengan asas yang sama. Mula-mula, mari kita ingat takrif darjah dan rumuskan teorem tentang kesahihan kesamaan . Kemudian kami akan memberikan contoh aplikasinya pada nombor tertentu dan membuktikannya. Kami juga akan menggunakan teorem untuk menyelesaikan pelbagai masalah.
Topik: Kuasa dengan eksponen semula jadi dan sifatnya
Pelajaran: Mendarab kuasa dengan asas yang sama (formula)
1. Definisi asas
Definisi asas:
n- eksponen,
— n kuasa ke satu nombor.
2. Pernyataan Teorem 1
Teorem 1. Untuk sebarang nombor A dan mana-mana semula jadi n Dan k persamaan itu benar:
Dengan kata lain: jika A– sebarang nombor; n Dan k nombor asli, maka:
Oleh itu peraturan 1:
3. Tugas penerangan
Kesimpulan: kes khas mengesahkan ketepatan Teorem No. 1. Mari kita buktikan dalam kes umum, iaitu, untuk mana-mana A dan mana-mana semula jadi n Dan k.
4. Bukti Teorem 1
Diberi nombor A– mana-mana; nombor n Dan k – semula jadi. Buktikan:
Buktinya adalah berdasarkan definisi ijazah.
5. Menyelesaikan contoh menggunakan Teorem 1
Contoh 1: Anggaplah ia sebagai ijazah.
Untuk menyelesaikan contoh berikut, kita akan menggunakan Teorem 1.
dan) 
6. Generalisasi Teorem 1
Generalisasi yang digunakan di sini:
7. Menyelesaikan contoh menggunakan generalisasi Teorem 1
8. Menyelesaikan pelbagai masalah menggunakan Teorem 1
Contoh 2: Kira (anda boleh menggunakan jadual kuasa asas).
A) 
(mengikut jadual)
b) 
Contoh 3: Tulisnya sebagai kuasa dengan asas 2.
A) 
Contoh 4: Tentukan tanda nombor:
, A - negatif, kerana eksponen pada -13 adalah ganjil.
Contoh 5: Gantikan (·) dengan kuasa nombor dengan asas r:
Kami ada, iaitu.
9. Merumuskan
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain. Algebra 7. edisi ke-6. M.: Pencerahan. 2010
1. Pembantu sekolah (Sumber).
1. Hadir sebagai kuasa:
a B C D E) 
3. Tulis sebagai kuasa dengan asas 2:
4. Tentukan tanda nombor:
A) 
5. Gantikan (·) dengan kuasa nombor dengan asas r:
a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6
Pendaraban dan pembahagian kuasa dengan eksponen yang sama
Dalam pelajaran ini kita akan mengkaji pendaraban kuasa dengan eksponen yang sama. Mula-mula, mari kita ingat takrif dan teorem asas tentang mendarab dan membahagi kuasa dengan asas yang sama dan meningkatkan kuasa kepada kuasa. Kemudian kita merumus dan membuktikan teorem tentang pendaraban dan pembahagian kuasa dengan eksponen yang sama. Dan kemudian dengan bantuan mereka, kami akan menyelesaikan beberapa masalah biasa.
Peringatan definisi asas dan teorem
Di sini a- asas ijazah,
— n kuasa ke satu nombor.
Teorem 1. Untuk sebarang nombor A dan mana-mana semula jadi n Dan k persamaan itu benar:
Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen ditambah, asas kekal tidak berubah.
Teorem 2. Untuk sebarang nombor A dan mana-mana semula jadi n Dan k, seperti itu n > k persamaan itu benar:
Apabila membahagikan darjah dengan asas yang sama, eksponen ditolak, tetapi asasnya kekal tidak berubah.
Teorem 3. Untuk sebarang nombor A dan mana-mana semula jadi n Dan k persamaan itu benar:
Semua teorem yang disenaraikan adalah mengenai kuasa yang sama sebab, dalam pelajaran ini kita akan melihat darjah dengan perkara yang sama penunjuk.
Contoh untuk mendarab kuasa dengan eksponen yang sama
Pertimbangkan contoh berikut:
Mari kita tulis ungkapan untuk menentukan darjah.
Kesimpulan: Daripada contoh dapat dilihat bahawa 
, tetapi ini masih perlu dibuktikan. Marilah kita merumuskan teorem dan membuktikannya dalam kes umum, iaitu, untuk mana-mana A Dan b dan mana-mana semula jadi n.
Rumusan dan pembuktian Teorem 4
Untuk sebarang nombor A Dan b dan mana-mana semula jadi n persamaan itu benar:
Bukti Teorem 4 .
Mengikut definisi ijazah:
Jadi kami telah membuktikannya .
Untuk mendarab kuasa dengan eksponen yang sama, cukup untuk mendarabkan asas dan membiarkan eksponen tidak berubah.
Rumusan dan pembuktian Teorem 5
Mari kita rumuskan teorem untuk membahagi kuasa dengan eksponen yang sama.
Untuk sebarang nombor A Dan b() dan mana-mana semula jadi n persamaan itu benar:
Bukti Teorem 5 .
Mari kita tulis definisi ijazah:
Pernyataan teorem dalam perkataan
Jadi, kami telah membuktikannya.
Untuk membahagikan kuasa dengan eksponen yang sama kepada satu sama lain, cukup untuk membahagikan satu pangkalan dengan yang lain, dan membiarkan eksponen tidak berubah.
Menyelesaikan masalah biasa menggunakan Teorem 4
Contoh 1: Hadir sebagai produk kuasa.
Untuk menyelesaikan contoh berikut, kita akan menggunakan Teorem 4.
Untuk menyelesaikan contoh berikut, ingat formula:
Generalisasi Teorem 4
Generalisasi Teorem 4:
Menyelesaikan Contoh Menggunakan Teorem Umum 4
Teruskan menyelesaikan masalah biasa
Contoh 2: Tulisnya sebagai kuasa produk.
Contoh 3: Tuliskannya sebagai kuasa dengan eksponen 2.
Contoh pengiraan
Contoh 4: Kira dengan cara yang paling rasional.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. dan lain-lain Algebra 7.M.: Pencerahan. 2006
2. Pembantu sekolah (Sumber).
1. Hadir sebagai hasil daripada kuasa:
A); b); V); G);
2. Tulis sebagai kuasa produk:
3. Tulis sebagai kuasa dengan eksponen 2:
4. Kira dengan cara yang paling rasional.
Pelajaran matematik mengenai topik "Pendaraban dan pembahagian kuasa"
Bahagian: Matematik
Matlamat pedagogi:
Tugasan:
Unit aktiviti pengajaran: penentuan ijazah dengan penunjuk semula jadi; komponen darjah; definisi persendirian; hukum gabungan pendaraban.
I. Mengadakan demonstrasi penguasaan murid terhadap pengetahuan sedia ada. (langkah 1)
a) Mengemas kini pengetahuan:
2) Merumus definisi darjah dengan eksponen semula jadi.
a n =a a a a … a (n kali)
b k =b b b b a… b (k kali) Wajarkan jawapan.
II. Organisasi penilaian kendiri tahap kecekapan pelajar dalam pengalaman semasa. (langkah 2)
Ujian kendiri: (kerja individu dalam dua versi.)
A1) Bentangkan hasil darab 7 7 7 7 x x x sebagai kuasa:
A2) Wakilkan kuasa (-3) 3 x 2 sebagai hasil darab
A3) Kira: -2 3 2 + 4 5 3
Saya memilih bilangan tugasan dalam ujian mengikut persediaan peringkat kelas.
Saya memberi anda kunci kepada ujian untuk ujian diri. Kriteria: lulus - tiada lulus.
III. Tugasan pendidikan dan praktikal (langkah 3) + langkah 4. (pelajar sendiri akan merumuskan sifat-sifat tersebut)
Semasa menyelesaikan masalah 1) dan 2), pelajar mencadangkan penyelesaian, dan saya, sebagai seorang guru, mengatur kelas untuk mencari cara untuk memudahkan kuasa apabila mendarab dengan asas yang sama.
Guru: cipta satu cara untuk memudahkan kuasa apabila mendarab dengan asas yang sama.
Entri muncul pada kelompok:
Topik pelajaran dirumuskan. Penggandaan kuasa.
Guru: buat peraturan untuk membahagikan kuasa dengan asas yang sama.
Penaakulan: apakah tindakan yang digunakan untuk menyemak pembahagian? a 5: a 3 = ? bahawa a 2 a 3 = a 5
Saya kembali kepada rajah - gugusan dan menambah entri - .. apabila membahagi, kita tolak dan tambah topik pelajaran. ... dan pembahagian darjah.
IV. Menyampaikan kepada pelajar had pengetahuan (sekurang-kurangnya dan maksimum).
Guru: tugas minimum untuk pelajaran hari ini ialah belajar mengaplikasikan sifat pendaraban dan pembahagian kuasa dengan asas yang sama, dan tugas maksimum ialah mengaplikasikan pendaraban dan pembahagian bersama.
Kami menulis di papan : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n
V. Organisasi mempelajari bahan baru. (langkah 5)
a) Mengikut buku teks: No. 403 (a, c, e) tugasan dengan perkataan yang berbeza
No 404 (a, d, f) kerja bebas, maka saya menganjurkan pemeriksaan bersama, memberikan kunci.
b) Untuk nilai m apakah kesamaan itu sah? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Tugasan: tampilkan contoh yang serupa untuk pembahagian.
c) No. 417 (a), No. 418 (a) Perangkap untuk pelajar: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.
VI. Merumuskan apa yang telah dipelajari, menjalankan kerja diagnostik (yang menggalakkan pelajar, dan bukan guru, untuk mempelajari topik ini) (langkah 6)
Kerja diagnostik.
Ujian(letak kunci di belakang doh).
Pilihan tugas: mewakili hasil x 15 sebagai kuasa: x 3; mewakili sebagai kuasa produk (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; untuk m manakah kesamaan a 16 a m = a 32 sah? cari nilai ungkapan h 0: h 2 pada h = 0.2; hitung nilai ungkapan (5 2 5 0) : 5 2 .
Ringkasan pelajaran. Refleksi. Saya membahagikan kelas kepada dua kumpulan.
Cari hujah dalam kumpulan I: memihak kepada mengetahui sifat darjah, dan kumpulan II - hujah yang akan mengatakan bahawa anda boleh lakukan tanpa sifat. Kami mendengar semua jawapan dan membuat kesimpulan. Dalam pelajaran seterusnya, anda boleh menawarkan data statistik dan memanggil rubrik "Ia di luar kepercayaan!"
VII. Kerja rumah.
Rujukan sejarah. Apakah nombor yang dipanggil nombor Fermat.
P.19. No. 403, No. 408, No. 417
Buku Terpakai:
Sifat darjah, rumusan, bukti, contoh.
Selepas kuasa nombor telah ditentukan, adalah logik untuk dibincangkan sifat ijazah. Dalam artikel ini kami akan memberikan sifat asas kuasa nombor, sambil menyentuh semua eksponen yang mungkin. Di sini kami akan memberikan bukti semua sifat darjah, dan juga menunjukkan cara sifat ini digunakan semasa menyelesaikan contoh.
Navigasi halaman.
Sifat darjah dengan eksponen semula jadi
Mengikut takrifan kuasa dengan eksponen semula jadi, kuasa a n ialah hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a. Berdasarkan definisi ini, dan juga menggunakan sifat pendaraban nombor nyata, kita boleh mendapatkan dan mewajarkan perkara berikut sifat darjah dengan eksponen semula jadi:
- jika a>0, maka a n>0 untuk sebarang nombor asli n;
- jika a=0, maka a n =0;
- jika a 2·m >0 , jika a 2·m−1 n ;
- jika m dan n ialah nombor asli seperti m>n, maka untuk 0m n, dan untuk a>0 ketaksamaan a m >a n adalah benar.
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- jika n ialah integer positif, a dan b ialah nombor positif, dan a n n dan a −n >b −n ;
- jika m dan n ialah integer, dan m>n, maka untuk 0m n, dan untuk a>1 ketaksamaan a m >a n dipegang.
Marilah kita segera ambil perhatian bahawa semua kesamaan bertulis adalah sama tertakluk kepada syarat yang ditetapkan, kedua-dua bahagian kanan dan kirinya boleh ditukar. Contohnya, sifat utama bagi pecahan a m ·a n =a m+n dengan memudahkan ungkapan selalunya digunakan dalam bentuk a m+n =a m ·a n .
Sekarang mari kita lihat setiap daripada mereka secara terperinci.
Mari kita mulakan dengan harta hasil darab dua kuasa dengan asas yang sama, yang dipanggil harta utama ijazah: untuk sebarang nombor nyata a dan sebarang nombor asli m dan n, kesamaan a m ·a n =a m+n adalah benar.
Mari kita buktikan harta utama ijazah. Mengikut takrif kuasa dengan eksponen semula jadi, hasil darab kuasa dengan asas yang sama dalam bentuk a m ·a n boleh ditulis sebagai hasil darab 
. Oleh kerana sifat pendaraban, ungkapan yang terhasil boleh ditulis sebagai 
, dan hasil darab ini ialah kuasa nombor a dengan eksponen semula jadi m+n, iaitu, a m+n. Ini melengkapkan bukti.
Mari kita berikan contoh yang mengesahkan harta utama ijazah. Mari kita ambil darjah dengan asas 2 dan kuasa semula jadi 2 dan 3 yang sama, menggunakan sifat asas darjah kita boleh menulis kesamaan 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Mari kita semak kesahihannya dengan mengira nilai ungkapan 2 2 · 2 3 dan 2 5 . Menjalankan eksponen, kita mempunyai 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 dan 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 , kerana kita mendapat nilai yang sama, maka kesamaan 2 2 ·2 3 =2 5 adalah betul, dan ia mengesahkan sifat utama darjah.
Sifat asas darjah, berdasarkan sifat pendaraban, boleh digeneralisasikan kepada hasil darab tiga atau lebih kuasa dengan asas dan eksponen semula jadi yang sama. Jadi untuk sebarang nombor k nombor asli n 1 , n 2 , …, n k kesamaan a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k adalah benar.
Contohnya, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Kita boleh beralih kepada sifat kuasa seterusnya dengan eksponen semula jadi – harta kuasa quotient dengan asas yang sama: untuk sebarang nombor nyata bukan sifar a dan nombor asli arbitrari m dan n yang memenuhi syarat m>n, kesamaan a m:a n =a m−n adalah benar.
Sebelum mengemukakan bukti harta ini, mari kita bincangkan maksud syarat tambahan dalam rumusan. Keadaan a≠0 adalah perlu untuk mengelakkan pembahagian dengan sifar, kerana 0 n =0, dan apabila kita berkenalan dengan pembahagian, kita bersetuju bahawa kita tidak boleh membahagi dengan sifar. Syarat m>n diperkenalkan supaya kita tidak melampaui eksponen semula jadi. Sesungguhnya, untuk m>n eksponen a m−n ialah nombor asli, jika tidak, ia akan menjadi sama ada sifar (yang berlaku untuk m−n) atau nombor negatif (yang berlaku untuk m m−n ·a n =a (m−n) +n =a m Daripada kesamaan yang terhasil a m−n ·a n =a m dan daripada perkaitan antara darab dan bahagi ia mengikuti bahawa a m−n ialah hasil bagi kuasa a m dan a n Ini membuktikan sifat hasil bagi kuasa dengan asas yang sama.
Mari kita beri contoh. Mari kita ambil dua darjah dengan asas π dan eksponen semula jadi 5 dan 2 yang sama, kesamaan π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 sepadan dengan sifat darjah yang dipertimbangkan.
Sekarang mari kita pertimbangkan harta kuasa produk: kuasa semula jadi n hasil darab mana-mana dua nombor nyata a dan b adalah sama dengan hasil darab kuasa a n dan b n , iaitu (a·b) n =a n ·b n .
Sesungguhnya, mengikut definisi ijazah dengan eksponen semula jadi yang kita ada 
. Berdasarkan sifat pendaraban, hasil darab terakhir boleh ditulis semula sebagai 
, yang sama dengan a n · b n .
Berikut ialah contoh: 
.
Sifat ini meluas kepada kuasa produk tiga atau lebih faktor. Iaitu, sifat darjah semula jadi n hasil darab k faktor ditulis sebagai (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Untuk kejelasan, kami akan menunjukkan harta ini dengan contoh. Untuk hasil darab tiga faktor kepada kuasa 7 kita ada .
Sifat berikut ialah harta hasil bagi jenis: hasil bagi nombor nyata a dan b, b≠0 kepada kuasa semula jadi n adalah sama dengan hasil bagi kuasa a n dan b n, iaitu (a:b) n =a n:b n.
Pembuktian boleh dilakukan menggunakan harta sebelumnya. Jadi (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , dan daripada kesamaan (a:b) n ·b n =a n maka (a:b) n ialah hasil bagi pembahagian a n pada bn.
Mari kita tulis sifat ini menggunakan nombor tertentu sebagai contoh: 
.
Sekarang mari kita suarakan harta untuk menaikkan kuasa kepada kuasa: untuk sebarang nombor nyata a dan sebarang nombor asli m dan n, kuasa a m kepada kuasa n adalah sama dengan kuasa nombor a dengan eksponen m·n, iaitu, (a m) n =a m·n.
Contohnya, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.
Bukti sifat kuasa-ke-darjah ialah rantaian kesamaan berikut: 
.
Harta yang dipertimbangkan boleh dilanjutkan ke darjah ke darjah ke darjah, dsb. Contohnya, untuk sebarang nombor asli p, q, r dan s, kesamaan 
. Untuk lebih jelas, mari kita berikan contoh dengan nombor tertentu: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.
Ia kekal untuk memikirkan sifat membandingkan darjah dengan eksponen semula jadi.
Mari kita mulakan dengan membuktikan sifat membandingkan sifar dan kuasa dengan eksponen semula jadi.
Mula-mula, mari kita buktikan bahawa a n >0 untuk sebarang a>0.
Hasil darab dua nombor positif ialah nombor positif, seperti berikut daripada takrifan pendaraban. Fakta ini dan sifat pendaraban mencadangkan bahawa hasil darab sebarang nombor nombor positif juga akan menjadi nombor positif. Dan kuasa nombor a dengan eksponen asli n, mengikut takrifan, ialah hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a. Hujah-hujah ini membolehkan kita menegaskan bahawa untuk sebarang asas positif a, darjah a n ialah nombor positif. Disebabkan oleh sifat terbukti 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 dan 
.
Agak jelas bahawa bagi sebarang nombor asli n dengan a=0 darjah a n ialah sifar. Sesungguhnya, 0 n =0·0·…·0=0 . Contohnya, 0 3 =0 dan 0 762 =0.
Mari kita beralih kepada asas negatif ijazah.
Mari kita mulakan dengan kes apabila eksponen ialah nombor genap, mari kita nyatakan sebagai 2·m, dengan m ialah nombor asli. Kemudian 
. Mengikut peraturan untuk mendarab nombor negatif, setiap hasil darab bentuk a·a adalah sama dengan hasil darab nilai mutlak nombor a dan a, yang bermaksud bahawa ia adalah nombor positif. Oleh itu, produk juga akan menjadi positif 
dan darjah a 2·m. Mari kita berikan contoh: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dan .
Akhir sekali, apabila asas a ialah nombor negatif dan eksponen ialah nombor ganjil 2 m−1, maka 
. Semua hasil darab a·a ialah nombor positif, hasil darab nombor positif ini juga positif, dan pendarabannya dengan baki nombor negatif a menghasilkan nombor negatif. Disebabkan sifat ini (−5) 3 17 n n ialah hasil darab sisi kiri dan kanan n ketaksamaan benar a sifat ketaksamaan, ketaksamaan yang boleh dibuktikan dalam bentuk a n n juga benar. Sebagai contoh, disebabkan oleh sifat ini, ketaksamaan 3 7 7 dan 
.
Ia kekal untuk membuktikan sifat terakhir yang disenaraikan bagi kuasa dengan eksponen semula jadi. Mari kita rumuskan. Daripada dua kuasa dengan eksponen semula jadi dan asas positif yang sama kurang daripada satu, kuasa yang eksponennya lebih kecil adalah lebih besar; dan dua kuasa dengan eksponen semula jadi dan asas yang sama lebih besar daripada satu, kuasa yang eksponennya lebih besar adalah lebih besar. Mari kita teruskan ke bukti harta ini.
Mari kita buktikan bahawa untuk m>n dan 0m n . Untuk melakukan ini, kita tuliskan perbezaan a m − a n dan bandingkan dengan sifar. Perbezaan yang direkodkan, selepas mengambil n daripada kurungan, akan berbentuk a n ·(a m−n−1) . Hasil darab yang terhasil adalah negatif sebagai hasil darab nombor positif a n dan nombor negatif a m−n −1 (a n adalah positif sebagai kuasa semula jadi nombor positif, dan perbezaan a m−n −1 adalah negatif, kerana m−n >0 disebabkan oleh keadaan awal m>n, dari mana ia berikutan apabila 0m−n kurang daripada kesatuan). Oleh itu, a m −a n m n , iaitu apa yang perlu dibuktikan. Sebagai contoh, kami memberikan ketaksamaan yang betul.
Ia kekal untuk membuktikan bahagian kedua harta itu. Mari kita buktikan bahawa untuk m>n dan a>1 a m >a n adalah benar. Perbezaan a m −a n selepas mengambil a n daripada kurungan mengambil bentuk a n ·(a m−n −1) . Hasil darab ini adalah positif, kerana untuk a>1 darjah a n ialah nombor positif, dan perbezaan a m−n −1 ialah nombor positif, kerana m−n>0 disebabkan oleh keadaan awal, dan untuk a>1 darjah a m−n lebih besar daripada satu . Akibatnya, a m −a n >0 dan a m >a n , iaitu apa yang perlu dibuktikan. Sifat ini digambarkan oleh ketaksamaan 3 7 >3 2.
Sifat kuasa dengan eksponen integer
Oleh kerana integer positif ialah nombor asli, maka semua sifat kuasa dengan eksponen integer positif bertepatan tepat dengan sifat kuasa dengan eksponen semula jadi yang disenaraikan dan dibuktikan dalam perenggan sebelumnya.
Kami mentakrifkan darjah dengan eksponen negatif integer, serta darjah dengan eksponen sifar, dengan cara yang semua sifat darjah dengan eksponen semula jadi, yang dinyatakan dengan kesamaan, kekal sah. Oleh itu, semua sifat ini adalah sah untuk kedua-dua eksponen sifar dan eksponen negatif, manakala, sudah tentu, asas kuasa adalah berbeza daripada sifar.
Jadi, untuk sebarang nombor nyata dan bukan sifar a dan b, serta sebarang integer m dan n, yang berikut adalah benar: sifat kuasa dengan eksponen integer:
Apabila a=0, kuasa a m dan a n masuk akal hanya apabila kedua-dua m dan n adalah integer positif, iaitu nombor asli. Oleh itu, sifat yang baru ditulis juga sah untuk kes apabila a=0 dan nombor m dan n ialah integer positif.
Membuktikan setiap sifat ini tidak sukar; untuk melakukan ini, cukup menggunakan takrif darjah dengan eksponen asli dan integer, serta sifat operasi dengan nombor nyata. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahawa sifat kuasa kepada kuasa berlaku untuk kedua-dua integer positif dan integer bukan positif. Untuk melakukan ini, anda perlu menunjukkan bahawa jika p ialah sifar atau nombor asli dan q ialah sifar atau nombor asli, maka kesamaan (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) dan (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Mari lakukannya.
Untuk p dan q positif, kesamaan (a p) q =a p·q telah dibuktikan dalam perenggan sebelumnya. Jika p=0, maka kita mempunyai (a 0) q =1 q =1 dan a 0·q =a 0 =1, dari mana (a 0) q =a 0·q. Begitu juga, jika q=0, maka (a p) 0 =1 dan a p·0 =a 0 =1, dari mana (a p) 0 =a p·0. Jika kedua-dua p=0 dan q=0, maka (a 0) 0 =1 0 =1 dan a 0·0 =a 0 =1, dari mana (a 0) 0 =a 0·0.
Sekarang kita buktikan bahawa (a −p) q =a (−p)·q . Dengan takrif kuasa dengan eksponen integer negatif, maka 
. Dengan harta hasil bagi kuasa yang kita ada 
. Oleh kerana 1 p =1·1·…·1=1 dan , maka . Ungkapan terakhir, mengikut takrifan, ialah kuasa dalam bentuk a −(p·q), yang, disebabkan peraturan pendaraban, boleh ditulis sebagai (−p)·q.
Begitu juga 
.
DAN 
.
Menggunakan prinsip yang sama, anda boleh membuktikan semua sifat ijazah lain dengan eksponen integer, ditulis dalam bentuk kesamaan.
Dalam akhir akhir bagi sifat yang direkodkan, adalah wajar mengingati bukti ketaksamaan a −n >b −n, yang sah untuk sebarang integer negatif −n dan mana-mana positif a dan b yang syarat a dipenuhi . Mari kita tulis dan ubah perbezaan antara sisi kiri dan kanan ketaksamaan ini: 
. Oleh kerana dengan syarat a n n , oleh itu, b n −a n >0 . Hasil darab a n · b n juga positif sebagai hasil darab nombor positif a n dan b n . Maka pecahan yang terhasil adalah positif sebagai hasil bagi nombor positif b n −a n dan a n ·b n . Oleh itu, dari mana a −n >b −n , yang mana yang perlu dibuktikan.
Sifat terakhir kuasa dengan eksponen integer dibuktikan dengan cara yang sama seperti sifat kuasa yang serupa dengan eksponen semula jadi.
Sifat kuasa dengan eksponen rasional
Kami mentakrifkan darjah dengan eksponen pecahan dengan memanjangkan sifat darjah dengan eksponen integer kepadanya. Dalam erti kata lain, kuasa dengan eksponen pecahan mempunyai sifat yang sama seperti kuasa dengan eksponen integer. Iaitu:
- harta hasil darab kuasa dengan asas yang sama
untuk a>0, dan jika dan, maka untuk a≥0; - harta kuasa quotient dengan asas yang sama
untuk a>0 ; - harta produk kepada kuasa pecahan
untuk a>0 dan b>0, dan jika dan, kemudian untuk a≥0 dan (atau) b≥0; - harta hasil bahagi kepada kuasa pecahan
untuk a>0 dan b>0, dan jika , maka untuk a≥0 dan b>0; - harta ijazah kepada ijazah
untuk a>0, dan jika dan, maka untuk a≥0; - sifat membandingkan kuasa dengan eksponen rasional yang sama: untuk sebarang nombor positif a dan b, a 0 ketaksamaan a p p adalah benar, dan untuk p p >b p ;
- sifat membandingkan kuasa dengan eksponen rasional dan asas yang sama: untuk nombor rasional p dan q, p>q untuk 0p q, dan untuk a>0 – ketaksamaan a p >a q.
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- bagi sebarang nombor positif a dan b, a 0 ketaksamaan a p p adalah benar, dan untuk p p >b p ;
- untuk nombor tak rasional p dan q, p>q untuk 0p q, dan untuk a>0 – ketaksamaan a p >a q.
Bukti sifat kuasa dengan eksponen pecahan adalah berdasarkan takrifan kuasa dengan eksponen pecahan, pada sifat punca aritmetik darjah ke-n dan pada sifat kuasa dengan eksponen integer. Biar kami sediakan bukti.
Mengikut takrif kuasa dengan eksponen pecahan dan , kemudian 
. Sifat-sifat punca aritmetik membolehkan kita menulis persamaan berikut. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat ijazah dengan eksponen integer, kita memperoleh , yang daripadanya, mengikut takrifan darjah dengan eksponen pecahan, kita mempunyai 
, dan penunjuk darjah yang diperolehi boleh diubah seperti berikut: . Ini melengkapkan bukti.
Sifat kedua kuasa dengan eksponen pecahan dibuktikan dengan cara yang sama sekali: 
Persamaan yang selebihnya dibuktikan menggunakan prinsip yang sama: 
Mari kita teruskan untuk membuktikan harta seterusnya. Mari kita buktikan bahawa bagi mana-mana a dan b positif, a 0 ketaksamaan a p p adalah benar, dan untuk p p >b p . Mari kita tulis nombor rasional p sebagai m/n, dengan m ialah integer dan n ialah nombor asli. Syarat p 0 dalam kes ini akan bersamaan dengan syarat m 0, masing-masing. Untuk m>0 dan am m . Daripada ketaksamaan ini, dengan sifat punca, kita ada, dan kerana a dan b ialah nombor positif, maka, berdasarkan takrifan darjah dengan eksponen pecahan, ketaksamaan yang terhasil boleh ditulis semula sebagai, iaitu, a p p .
Begitu juga, untuk m m >b m , dari mana, iaitu, a p >b p .
Ia kekal untuk membuktikan sifat terakhir yang disenaraikan. Mari kita buktikan bahawa untuk nombor rasional p dan q, p>q untuk 0p q, dan untuk a>0 – ketaksamaan a p >a q. Kita sentiasa boleh mengurangkan nombor rasional p dan q kepada penyebut sepunya, walaupun kita mendapat pecahan biasa dan , dengan m 1 dan m 2 ialah integer, dan n ialah nombor asli. Dalam kes ini, keadaan p>q akan sepadan dengan keadaan m 1 >m 2, yang mengikuti peraturan untuk membandingkan pecahan biasa dengan penyebut yang sama. Kemudian, dengan sifat membandingkan darjah dengan tapak dan eksponen semula jadi yang sama, untuk 0m 1 m 2, dan untuk a>1, ketaksamaan a m 1 >a m 2. Ketaksamaan dalam sifat akar ini boleh ditulis semula dengan sewajarnya sebagai 
Dan 
. Dan takrif ijazah dengan eksponen yang rasional membolehkan kita beralih kepada ketidaksamaan dan, dengan itu. Dari sini kita membuat kesimpulan akhir: untuk p>q dan 0p q , dan untuk a>0 – ketaksamaan a p >a q .
Sifat kuasa dengan eksponen tidak rasional
Daripada cara darjah dengan eksponen tidak rasional ditakrifkan, kita boleh membuat kesimpulan bahawa ia mempunyai semua sifat darjah dengan eksponen rasional. Jadi untuk sebarang a>0, b>0 dan nombor tak rasional p dan q berikut adalah benar sifat kuasa dengan eksponen tidak rasional:
Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa kuasa dengan sebarang eksponen nyata p dan q untuk a>0 mempunyai sifat yang sama.
- Algebra - gred ke-10. Persamaan trigonometri Pelajaran dan pembentangan mengenai topik: "Menyelesaikan persamaan trigonometri yang paling mudah" Bahan tambahan Pengguna yang dihormati, jangan lupa untuk meninggalkan komen, ulasan, cadangan anda! Semua bahan […]
- Pertandingan telah dibuka untuk jawatan "PENJUAL - PERUNDING": Tanggungjawab: penjualan telefon bimbit dan aksesori untuk komunikasi mudah alih, perkhidmatan pelanggan untuk pelanggan Beeline, Tele2, MTS, sambungan pelan dan perkhidmatan tarif Beeline dan Tele2, perundingan MTS [… ]
- Formula selari Parallelepiped ialah polihedron dengan 6 muka, setiap satunya ialah selari. Kuboid ialah selari yang setiap mukanya adalah segi empat tepat. Mana-mana parallelepiped dicirikan oleh 3 […]
- Mengguna pakai undang-undang mengenai Harta Pusaka Keluarga Mengguna pakai undang-undang persekutuan mengenai peruntukan percuma kepada setiap warganegara Persekutuan Rusia atau keluarga warganegara sebidang tanah untuk pembangunan Estet Keluarga di atasnya dengan syarat berikut: 1. Plot itu adalah diperuntukkan untuk […]
- Persatuan Perlindungan Hak Pengguna Astana Untuk menerima kod pin untuk mengakses dokumen ini di laman web kami, hantar mesej SMS dengan teks zan ke nombor Pelanggan pengendali GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) dengan menghantar SMS ke nombor, […]
- PEMERIKSAAN GOSTEKHNADZOR WILAYAH BRYANSK Resit pembayaran duti negeri (Muat turun-12.2 kb) Permohonan untuk pendaftaran individu (Muat turun-12 kb) Permohonan untuk pendaftaran entiti sah (Muat turun-11.4 kb) 1. Semasa mendaftar kereta baru : 1.permohonan 2.pasport […]
- EJAAN N DAN NN DALAM PELBAGAI BAHAGIAN UCAPAN S.G ZELINSKAYA BAHAN DIDAKTIK Latihan teori 1. Bilakah nn ditulis dalam kata adjektif? 2. Namakan pengecualian kepada peraturan ini. 3. Bagaimana untuk membezakan kata sifat verbal dengan akhiran -n- daripada participle dengan […]
- Pivoev V.M. Falsafah dan metodologi sains: buku teks untuk sarjana dan pelajar siswazah Petrozavodsk: PetrSU Publishing House, 2013. - 320 ms ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Buku teks ditujukan untuk pelajar senior, sarjana dan pelajar siswazah sosial dan […]
Selepas kuasa nombor telah ditentukan, adalah logik untuk dibincangkan sifat ijazah. Dalam artikel ini kami akan memberikan sifat asas kuasa nombor, sambil menyentuh semua eksponen yang mungkin. Di sini kami akan memberikan bukti semua sifat darjah, dan juga menunjukkan cara sifat ini digunakan semasa menyelesaikan contoh.
Navigasi halaman.
Sifat darjah dengan eksponen semula jadi
Mengikut takrifan kuasa dengan eksponen semula jadi, kuasa a n ialah hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a. Berdasarkan definisi ini, dan juga menggunakan sifat pendaraban nombor nyata, kita boleh mendapatkan dan mewajarkan perkara berikut sifat darjah dengan eksponen semula jadi:
- sifat utama darjah a m ·a n =a m+n, generalisasinya;
- sifat kuasa hasil dengan asas yang sama a m:a n =a m−n ;
- sifat kuasa produk (a·b) n =a n ·b n , sambungannya;
- sifat hasil bahagi kepada darjah semula jadi (a:b) n =a n:b n ;
- menaikkan darjah kepada kuasa (a m) n =a m·n, generalisasinya (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
- perbandingan darjah dengan sifar:
- jika a>0, maka a n>0 untuk sebarang nombor asli n;
- jika a=0, maka a n =0;
- sekiranya<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jika a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- jika a dan b ialah nombor positif dan a
- jika m dan n ialah nombor asli seperti m>n , maka pada 0
- jika m dan n ialah nombor asli seperti m>n , maka pada 0
Marilah kita segera ambil perhatian bahawa semua kesamaan bertulis adalah sama tertakluk kepada syarat yang ditetapkan, kedua-dua bahagian kanan dan kirinya boleh ditukar. Contohnya, sifat utama bagi pecahan a m ·a n =a m+n dengan memudahkan ungkapan selalunya digunakan dalam bentuk a m+n =a m ·a n .
Sekarang mari kita lihat setiap daripada mereka secara terperinci.
Mari kita mulakan dengan harta hasil darab dua kuasa dengan asas yang sama, yang dipanggil harta utama ijazah: untuk sebarang nombor nyata a dan sebarang nombor asli m dan n, kesamaan a m ·a n =a m+n adalah benar.
Mari kita buktikan harta utama ijazah. Dengan takrifan kuasa dengan eksponen semula jadi, hasil darab kuasa dengan asas yang sama dalam bentuk a m ·a n boleh ditulis sebagai hasil darab. Oleh kerana sifat pendaraban, ungkapan yang terhasil boleh ditulis sebagai 
, dan hasil darab ini ialah kuasa nombor a dengan eksponen semula jadi m+n, iaitu, a m+n. Ini melengkapkan bukti.
Mari kita berikan contoh yang mengesahkan harta utama ijazah. Mari kita ambil darjah dengan asas 2 dan kuasa semula jadi 2 dan 3 yang sama, menggunakan sifat asas darjah kita boleh menulis kesamaan 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Mari kita semak kesahihannya dengan mengira nilai ungkapan 2 2 · 2 3 dan 2 5 . Menjalankan eksponen, kita ada 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 dan 2 5 =2·2·2·2·2=32, kerana nilai yang sama diperoleh, maka kesamaan 2 2 ·2 3 =2 5 adalah betul, dan ia mengesahkan sifat utama darjah.
Sifat asas darjah, berdasarkan sifat pendaraban, boleh digeneralisasikan kepada hasil darab tiga atau lebih kuasa dengan asas dan eksponen semula jadi yang sama. Jadi untuk sebarang nombor k nombor asli n 1, n 2, …, n k kesamaan berikut adalah benar: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Sebagai contoh, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Kita boleh beralih kepada sifat kuasa seterusnya dengan eksponen semula jadi – harta kuasa quotient dengan asas yang sama: untuk sebarang nombor nyata bukan sifar a dan nombor asli arbitrari m dan n yang memenuhi syarat m>n, kesamaan a m:a n =a m−n adalah benar.
Sebelum mengemukakan bukti harta ini, mari kita bincangkan maksud syarat tambahan dalam rumusan. Keadaan a≠0 adalah perlu untuk mengelakkan pembahagian dengan sifar, kerana 0 n =0, dan apabila kita berkenalan dengan pembahagian, kita bersetuju bahawa kita tidak boleh membahagi dengan sifar. Syarat m>n diperkenalkan supaya kita tidak melampaui eksponen semula jadi. Sesungguhnya, untuk m>n eksponen a m−n ialah nombor asli, jika tidak, ia akan sama ada sifar (yang berlaku untuk m−n ) atau nombor negatif (yang berlaku untuk m Bukti. Sifat utama pecahan membolehkan kita menulis kesamaan a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Daripada kesamaan yang terhasil a m−n ·a n =a m dan ia berikutan bahawa a m−n ialah hasil bagi kuasa a m dan a n . Ini membuktikan sifat kuasa quotient dengan asas yang sama. Mari kita beri contoh. Mari kita ambil dua darjah dengan asas π dan eksponen semula jadi 5 dan 2 yang sama, kesamaan π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 sepadan dengan sifat darjah yang dipertimbangkan. Sekarang mari kita pertimbangkan harta kuasa produk: kuasa semula jadi n hasil darab mana-mana dua nombor nyata a dan b adalah sama dengan hasil darab kuasa a n dan b n , iaitu (a·b) n =a n ·b n . Sesungguhnya, mengikut definisi ijazah dengan eksponen semula jadi yang kita ada Berikut ialah contoh: Sifat ini meluas kepada kuasa produk tiga atau lebih faktor. Iaitu, sifat darjah semula jadi n hasil darab faktor k ditulis sebagai (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. Untuk kejelasan, kami akan menunjukkan harta ini dengan contoh. Untuk hasil darab tiga faktor kepada kuasa 7 kita ada . Sifat berikut ialah harta hasil bagi jenis: hasil bagi nombor nyata a dan b, b≠0 kepada kuasa semula jadi n adalah sama dengan hasil bagi kuasa a n dan b n, iaitu (a:b) n =a n:b n. Pembuktian boleh dilakukan menggunakan harta sebelumnya. Jadi (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, dan daripada kesamaan (a:b) n ·b n =a n maka (a:b) n ialah hasil bagi a n dibahagikan dengan b n . Mari kita tulis sifat ini menggunakan nombor tertentu sebagai contoh: Sekarang mari kita suarakan harta untuk menaikkan kuasa kepada kuasa: untuk sebarang nombor nyata a dan sebarang nombor asli m dan n, kuasa a m kepada kuasa n adalah sama dengan kuasa nombor a dengan eksponen m·n, iaitu, (a m) n =a m·n. Contohnya, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. Bukti sifat kuasa-ke-darjah ialah rantaian kesamaan berikut: Harta yang dipertimbangkan boleh dilanjutkan ke darjah ke darjah ke darjah, dsb. Contohnya, untuk sebarang nombor asli p, q, r dan s, kesamaan Ia kekal untuk memikirkan sifat membandingkan darjah dengan eksponen semula jadi. Mari kita mulakan dengan membuktikan sifat membandingkan sifar dan kuasa dengan eksponen semula jadi. Mula-mula, mari kita buktikan bahawa a n >0 untuk sebarang a>0. Hasil darab dua nombor positif ialah nombor positif, seperti berikut daripada takrifan pendaraban. Fakta ini dan sifat pendaraban mencadangkan bahawa hasil darab sebarang nombor nombor positif juga akan menjadi nombor positif. Dan kuasa nombor a dengan eksponen asli n, mengikut takrifan, ialah hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a. Hujah-hujah ini membolehkan kita menegaskan bahawa untuk sebarang asas positif a, darjah a n ialah nombor positif. Disebabkan oleh sifat terbukti 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 dan Agak jelas bahawa bagi sebarang nombor asli n dengan a=0 darjah a n ialah sifar. Sesungguhnya, 0 n =0·0·…·0=0 . Contohnya, 0 3 =0 dan 0 762 =0. Mari kita beralih kepada asas negatif ijazah. Mari kita mulakan dengan kes apabila eksponen ialah nombor genap, mari kita nyatakan sebagai 2·m, dengan m ialah nombor asli. Kemudian Akhir sekali, apabila asas a ialah nombor negatif dan eksponen ialah nombor ganjil 2 m−1, maka Mari kita beralih kepada sifat membandingkan kuasa dengan eksponen semula jadi yang sama, yang mempunyai rumusan berikut: dua kuasa dengan eksponen semula jadi yang sama, n adalah kurang daripada kuasa yang tapaknya lebih kecil, dan lebih besar ialah kuasa yang tapaknya lebih besar. . Jom buktikan. Ketaksamaan a n sifat ketaksamaan ketaksamaan yang boleh dibuktikan dalam bentuk a n juga benar (2.2) 7 dan Ia kekal untuk membuktikan sifat terakhir yang disenaraikan bagi kuasa dengan eksponen semula jadi. Mari kita rumuskan. Daripada dua kuasa dengan eksponen semula jadi dan asas positif yang sama kurang daripada satu, kuasa yang eksponennya lebih kecil adalah lebih besar; dan dua kuasa dengan eksponen semula jadi dan asas yang sama lebih besar daripada satu, kuasa yang eksponennya lebih besar adalah lebih besar. Mari kita teruskan ke bukti harta ini. Mari kita buktikan bahawa untuk m>n dan 0 Ia kekal untuk membuktikan bahagian kedua harta itu. Mari kita buktikan bahawa untuk m>n dan a>1 a m >a n adalah benar. Perbezaan a m −a n selepas mengambil a n daripada kurungan mengambil bentuk a n ·(a m−n −1) . Hasil darab ini adalah positif, kerana untuk a>1 darjah a n ialah nombor positif, dan perbezaan a m−n −1 ialah nombor positif, kerana m−n>0 disebabkan oleh keadaan awal, dan untuk a>1 darjah a m−n lebih besar daripada satu . Akibatnya, a m −a n >0 dan a m >a n , iaitu apa yang perlu dibuktikan. Sifat ini digambarkan oleh ketaksamaan 3 7 >3 2.
. Berdasarkan sifat pendaraban, hasil darab terakhir boleh ditulis semula sebagai , yang sama dengan a n · b n .
.
..
. Untuk lebih jelas, berikut ialah contoh dengan nombor tertentu: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Bagi setiap hasil darab bentuk a·a adalah sama dengan hasil darab moduli nombor a dan a, yang bermaksud ia adalah nombor positif. Oleh itu, produk juga akan menjadi positif 
dan darjah a 2·m. Mari kita berikan contoh: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dan .. Semua hasil darab a·a ialah nombor positif, hasil darab nombor positif ini juga positif, dan pendarabannya dengan baki nombor negatif a menghasilkan nombor negatif. Disebabkan sifat ini (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Sifat kuasa dengan eksponen integer
Oleh kerana integer positif ialah nombor asli, maka semua sifat kuasa dengan eksponen integer positif bertepatan tepat dengan sifat kuasa dengan eksponen semula jadi yang disenaraikan dan dibuktikan dalam perenggan sebelumnya.
Kami mentakrifkan darjah dengan eksponen negatif integer, serta darjah dengan eksponen sifar, dengan cara yang semua sifat darjah dengan eksponen semula jadi, yang dinyatakan dengan kesamaan, kekal sah. Oleh itu, semua sifat ini adalah sah untuk kedua-dua eksponen sifar dan eksponen negatif, manakala, sudah tentu, asas kuasa adalah berbeza daripada sifar.
Jadi, untuk sebarang nombor nyata dan bukan sifar a dan b, serta sebarang integer m dan n, yang berikut adalah benar: sifat kuasa dengan eksponen integer:
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- jika n ialah integer positif, a dan b ialah nombor positif, dan a b−n ;
- jika m dan n ialah integer, dan m>n , maka pada 0
Apabila a=0, kuasa a m dan a n masuk akal hanya apabila kedua-dua m dan n adalah integer positif, iaitu nombor asli. Oleh itu, sifat yang baru ditulis juga sah untuk kes apabila a=0 dan nombor m dan n ialah integer positif.
Membuktikan setiap sifat ini tidak sukar; untuk melakukan ini, cukup menggunakan takrif darjah dengan eksponen asli dan integer, serta sifat operasi dengan nombor nyata. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahawa sifat kuasa kepada kuasa berlaku untuk kedua-dua integer positif dan integer bukan positif. Untuk melakukan ini, anda perlu menunjukkan bahawa jika p ialah sifar atau nombor asli dan q ialah sifar atau nombor asli, maka kesamaan (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) dan (a −p) −q =a (−p)·(−q). Mari lakukannya.
Untuk p dan q positif, kesamaan (a p) q =a p·q telah dibuktikan dalam perenggan sebelumnya. Jika p=0, maka kita mempunyai (a 0) q =1 q =1 dan a 0·q =a 0 =1, dari mana (a 0) q =a 0·q. Begitu juga, jika q=0, maka (a p) 0 =1 dan a p·0 =a 0 =1, dari mana (a p) 0 =a p·0. Jika kedua-dua p=0 dan q=0, maka (a 0) 0 =1 0 =1 dan a 0·0 =a 0 =1, dari mana (a 0) 0 =a 0·0.
Sekarang kita buktikan bahawa (a −p) q =a (−p)·q . Dengan takrif kuasa dengan eksponen integer negatif, maka . Dengan harta hasil bagi kuasa yang kita ada 
. Oleh kerana 1 p =1·1·…·1=1 dan , maka . Ungkapan terakhir, mengikut takrifan, ialah kuasa dalam bentuk a −(p·q), yang, disebabkan peraturan pendaraban, boleh ditulis sebagai (−p)·q.
Begitu juga 
.
DAN 
.
Menggunakan prinsip yang sama, anda boleh membuktikan semua sifat ijazah lain dengan eksponen integer, ditulis dalam bentuk kesamaan.
Dalam akhir akhir bagi sifat yang direkodkan, adalah wajar mengingati bukti ketaksamaan a −n >b −n, yang sah untuk sebarang integer negatif −n dan mana-mana positif a dan b yang syarat a dipenuhi . Oleh kerana dengan syarat a 0 . Hasil darab a n · b n juga positif sebagai hasil darab nombor positif a n dan b n . Maka pecahan yang terhasil adalah positif sebagai hasil bagi nombor positif b n −a n dan a n ·b n . Oleh itu, dari mana a −n >b −n , yang mana yang perlu dibuktikan.
Sifat terakhir kuasa dengan eksponen integer dibuktikan dengan cara yang sama seperti sifat kuasa yang serupa dengan eksponen semula jadi.
Sifat kuasa dengan eksponen rasional
Kami mentakrifkan darjah dengan eksponen pecahan dengan memanjangkan sifat darjah dengan eksponen integer kepadanya. Dalam erti kata lain, kuasa dengan eksponen pecahan mempunyai sifat yang sama seperti kuasa dengan eksponen integer. Iaitu:
Bukti sifat darjah dengan eksponen pecahan adalah berdasarkan takrifan darjah dengan eksponen pecahan, dan pada sifat darjah dengan eksponen integer. Biar kami sediakan bukti.
Mengikut takrif kuasa dengan eksponen pecahan dan , kemudian 
. Sifat-sifat punca aritmetik membolehkan kita menulis persamaan berikut. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat ijazah dengan eksponen integer, kita memperoleh , yang daripadanya, mengikut takrifan darjah dengan eksponen pecahan, kita mempunyai , dan penunjuk darjah yang diperolehi boleh diubah seperti berikut: . Ini melengkapkan bukti.
Sifat kedua kuasa dengan eksponen pecahan dibuktikan dengan cara yang sama sekali: 
Persamaan yang selebihnya dibuktikan menggunakan prinsip yang sama: 
Mari kita teruskan untuk membuktikan harta seterusnya. Mari kita buktikan bahawa bagi mana-mana a dan b positif, a b p . Mari kita tulis nombor rasional p sebagai m/n, dengan m ialah integer dan n ialah nombor asli. Syarat p<0 и p>0 dalam kes ini keadaan m<0 и m>0 dengan sewajarnya. Untuk m>0 dan a
Begitu juga, untuk m<0 имеем a m >b m , dari mana, iaitu, dan a p >b p .
Ia kekal untuk membuktikan sifat terakhir yang disenaraikan. Mari kita buktikan bahawa untuk nombor rasional p dan q, p>q pada 0 Dan 
. Dan takrif ijazah dengan eksponen yang rasional membolehkan kita beralih kepada ketidaksamaan dan, dengan itu. Dari sini kita membuat kesimpulan akhir: untuk p>q dan 0
Sifat kuasa dengan eksponen tidak rasional
Daripada cara darjah dengan eksponen tidak rasional ditakrifkan, kita boleh membuat kesimpulan bahawa ia mempunyai semua sifat darjah dengan eksponen rasional. Jadi untuk sebarang a>0, b>0 dan nombor tak rasional p dan q berikut adalah benar sifat kuasa dengan eksponen tidak rasional:
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- bagi sebarang nombor positif a dan b, a 0 ketaksamaan a p b p ;
- untuk nombor tak rasional p dan q, p>q pada 0
Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa kuasa dengan sebarang eksponen nyata p dan q untuk a>0 mempunyai sifat yang sama.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematik untuk tingkatan 5. institusi pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk darjah 7. institusi pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk darjah 8. institusi pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk darjah 9. institusi pendidikan.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Algebra dan permulaan analisis: Buku teks untuk gred 10 - 11 institusi pendidikan am.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik).