Dalam bahagian kursus yang ditumpukan kepada konsep asas teori kebarangkalian, kami telah pun memperkenalkan konsep pembolehubah rawak yang amat penting. Di sini kami akan memberikan perkembangan lanjut tentang konsep ini dan menunjukkan cara pembolehubah rawak boleh diterangkan dan dicirikan.
Seperti yang telah disebutkan, pembolehubah rawak ialah kuantiti yang, sebagai hasil percubaan, boleh mengambil satu atau nilai lain, tetapi tidak diketahui terlebih dahulu yang mana satu. Kami juga bersetuju untuk membezakan antara pembolehubah rawak jenis tak selanjar (diskrit) dan selanjar. Kemungkinan nilai kuantiti tak selanjar boleh disenaraikan terlebih dahulu. Kemungkinan nilai kuantiti berterusan tidak boleh disenaraikan terlebih dahulu dan secara berterusan mengisi jurang tertentu.
Contoh pembolehubah rawak tak selanjar:
1) bilangan penampilan jata semasa tiga lambungan syiling (nilai yang mungkin 0, 1, 2, 3);
2) kekerapan penampilan jata dalam eksperimen yang sama (nilai yang mungkin);
3) bilangan elemen gagal dalam peranti yang terdiri daripada lima elemen (nilai yang mungkin ialah 0, 1, 2, 3, 4, 5);
4) bilangan pukulan pada pesawat yang mencukupi untuk melumpuhkannya (nilai yang mungkin 1, 2, 3, ..., n, ...);
5) bilangan pesawat yang ditembak jatuh dalam pertempuran udara (nilai yang mungkin 0, 1, 2, ..., N, di mana jumlah bilangan pesawat yang mengambil bahagian dalam pertempuran).
Contoh pembolehubah rawak selanjar:
1) abscissa (ordinat) titik hentaman apabila ditembak;
2) jarak dari titik hentaman ke pusat sasaran;
3) ralat meter ketinggian;
4) masa operasi bebas kegagalan tiub radio.
Marilah kita bersetuju dalam perkara berikut untuk menandakan pembolehubah rawak dengan huruf besar, dan kemungkinan nilainya dengan huruf kecil yang sepadan. Sebagai contoh, – bilangan pukulan dengan tiga pukulan; nilai yang mungkin: .
Mari kita pertimbangkan pembolehubah rawak tak selanjar dengan nilai yang mungkin. Setiap nilai ini mungkin, tetapi tidak pasti, dan nilai X boleh mengambil setiap daripada mereka dengan beberapa kebarangkalian. Hasil daripada eksperimen, nilai X akan mengambil salah satu daripada nilai ini, i.e. Salah satu kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi akan berlaku:
Mari kita nyatakan kebarangkalian kejadian ini dengan huruf p dengan indeks yang sepadan:
Oleh kerana peristiwa yang tidak serasi (5.1.1) membentuk kumpulan yang lengkap, maka
mereka. jumlah kebarangkalian semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak adalah sama dengan satu. Jumlah kebarangkalian ini entah bagaimana diagihkan antara nilai individu. Pembolehubah rawak akan diterangkan sepenuhnya dari sudut kebarangkalian jika kita menentukan taburan ini, i.e. Mari kita nyatakan dengan tepat kebarangkalian setiap peristiwa (5.1.1). Dengan ini kita akan mewujudkan apa yang dipanggil hukum taburan pembolehubah rawak.
Hukum taburan pembolehubah rawak ialah sebarang hubungan yang mewujudkan hubungan antara nilai kemungkinan pembolehubah rawak dan kebarangkalian yang sepadan. Kami akan mengatakan tentang pembolehubah rawak bahawa ia tertakluk kepada undang-undang pengedaran yang diberikan.
Mari kita wujudkan bentuk di mana hukum taburan pembolehubah rawak tak selanjar boleh ditentukan. Bentuk paling mudah untuk menentukan undang-undang ini ialah jadual yang menyenaraikan kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkalian sepadannya:
Kami akan memanggil jadual sedemikian sebagai siri taburan pembolehubah rawak.
Untuk memberikan siri pengedaran penampilan yang lebih visual, mereka sering menggunakan perwakilan grafiknya: nilai kemungkinan pembolehubah rawak diplot di sepanjang paksi absis, dan kebarangkalian nilai ini diplot di sepanjang paksi ordinat. Untuk kejelasan, titik yang terhasil disambungkan oleh segmen lurus. Angka sedemikian dipanggil poligon pengedaran (Rajah 5.1.1). Poligon pengedaran, seperti siri pengedaran, mencirikan sepenuhnya pembolehubah rawak; ia merupakan salah satu bentuk hukum pengagihan.
Kadang-kadang apa yang dipanggil "mekanikal" tafsiran siri pengedaran adalah mudah. Mari kita bayangkan bahawa jisim tertentu bersamaan dengan satu diagihkan di sepanjang paksi absis dalam cara yang masing-masing jisim tertumpu pada titik individu. Kemudian siri pengedaran ditafsirkan sebagai sistem titik bahan dengan beberapa jisim terletak pada paksi absis.
Mari kita pertimbangkan beberapa contoh pembolehubah rawak tak selanjar dengan undang-undang pengedarannya.
Contoh 1. Satu eksperimen dilakukan di mana peristiwa itu mungkin muncul atau tidak. Kebarangkalian kejadian ialah 0.3. Pembolehubah rawak dipertimbangkan - bilangan kejadian peristiwa dalam eksperimen tertentu (iaitu pembolehubah rawak ciri sesuatu peristiwa, mengambil nilai 1 jika ia muncul dan 0 jika ia tidak muncul). Bina siri taburan dan poligon taburan magnitud.
Penyelesaian. Kuantiti hanya mempunyai dua nilai: 0 dan 1. Siri taburan kuantiti mempunyai bentuk:
Poligon taburan ditunjukkan dalam Rajah. 5.1.2.
Contoh 2. Seorang penembak melepaskan tiga das tembakan ke arah sasaran. Kebarangkalian untuk terkena sasaran dengan setiap pukulan ialah 0.4. Untuk setiap pukulan penembak mendapat 5 mata. Bina satu siri pengedaran untuk bilangan mata yang diperoleh.
Penyelesaian. Mari kita nyatakan bilangan mata yang dijaringkan. Nilai yang mungkin: .
Kami mencari kebarangkalian nilai ini menggunakan teorem pada pengulangan eksperimen:
Siri pengedaran nilai mempunyai bentuk:
Poligon taburan ditunjukkan dalam Rajah. 5.1.3.
Contoh 3. Kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku dalam satu eksperimen adalah sama dengan . Satu siri eksperimen bebas dijalankan, yang berterusan sehingga kejadian pertama kejadian, selepas itu eksperimen dihentikan. Pembolehubah rawak – bilangan eksperimen yang dilakukan. Bina satu siri taburan nilai.
Penyelesaian. Nilai yang mungkin: 1, 2, 3, ... (secara teorinya mereka tidak dihadkan oleh apa-apa). Untuk kuantiti mengambil nilai 1, adalah perlu bahawa peristiwa itu berlaku dalam eksperimen pertama; kebarangkalian ini adalah sama. Agar kuantiti mengambil nilai 2, adalah perlu bahawa peristiwa itu tidak muncul dalam percubaan pertama, tetapi muncul dalam percubaan kedua; kebarangkalian ini adalah sama dengan , di mana , dsb. Siri pengedaran nilai mempunyai bentuk:
Lima ordinat pertama poligon taburan untuk kes ditunjukkan dalam Rajah. 5.1.4.
Contoh 4. Penembak menembak sasaran sehingga terkena pertama, mempunyai 4 butir peluru. Kebarangkalian untuk memukul setiap pukulan ialah 0.6. Bina satu siri pengedaran untuk jumlah peluru yang masih belum digunakan.
Pembolehubah rawak: diskret dan berterusan.
Semasa menjalankan eksperimen stokastik, ruang peristiwa asas terbentuk - kemungkinan hasil eksperimen ini. Adalah dipercayai bahawa pada ruang ini acara asas ada diberikan nilai rawak X, jika undang-undang (peraturan) diberikan mengikut mana setiap peristiwa asas dikaitkan dengan nombor. Oleh itu, pembolehubah rawak X boleh dianggap sebagai fungsi yang ditakrifkan pada ruang peristiwa asas.
■ Pembolehubah rawak- kuantiti yang, semasa setiap ujian, mengambil satu atau satu lagi nilai berangka (tidak diketahui terlebih dahulu yang mana satu), bergantung pada sebab rawak yang tidak boleh diambil kira terlebih dahulu. Pembolehubah rawak dilambangkan dengan huruf besar abjad Latin, dan kemungkinan nilai pembolehubah rawak dilambangkan dengan huruf kecil. Jadi, apabila melontar dadu, satu peristiwa berlaku yang dikaitkan dengan nombor x, di mana x ialah bilangan mata yang digulung. Bilangan mata adalah pembolehubah rawak, dan nombor 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah nilai yang mungkin bagi nilai ini. Jarak yang akan ditempuh oleh peluru apabila ditembak dari pistol juga merupakan pembolehubah rawak (bergantung pada pemasangan penglihatan, kekuatan dan arah angin, suhu dan faktor lain), dan nilai kemungkinan nilai ini tergolong. kepada selang waktu tertentu (a; b).
■ Pembolehubah rawak diskret– pembolehubah rawak yang mengambil nilai yang mungkin berasingan dan terpencil dengan kebarangkalian tertentu. Bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak diskret boleh menjadi terhingga atau tidak terhingga.
■ Pembolehubah rawak berterusan– pembolehubah rawak yang boleh mengambil semua nilai dari beberapa selang terhingga atau tak terhingga. Bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak berterusan adalah tidak terhingga.
Sebagai contoh, bilangan mata yang dibaling semasa membaling dadu, markah untuk ujian adalah pembolehubah rawak diskret; jarak peluru terbang apabila menembak dari pistol, ralat pengukuran penunjuk masa untuk menguasai bahan pendidikan, ketinggian dan berat seseorang adalah pembolehubah rawak berterusan.
Hukum taburan pembolehubah rawak– korespondensi antara kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkaliannya, i.e. Setiap nilai yang mungkin x i dikaitkan dengan kebarangkalian p i yang mana pembolehubah rawak boleh mengambil nilai ini. Hukum taburan pembolehubah rawak boleh ditentukan secara jadual (dalam bentuk jadual), secara analitikal (dalam bentuk formula), dan grafik.
Biarkan pembolehubah rawak diskret X mengambil nilai x 1 , x 2 , …, x n dengan kebarangkalian p 1 , p 2 , …, p n masing-masing, i.e. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Apabila menentukan hukum taburan kuantiti ini dalam jadual, baris pertama jadual mengandungi nilai yang mungkin x 1 , x 2 , ..., x n , dan baris kedua mengandungi kebarangkalian mereka
| X | x 1 | x 2 | … | x n |
| hlm | p 1 | p2 | … | p n |
Hasil daripada ujian, pembolehubah rawak diskret X mengambil satu dan hanya satu daripada nilai yang mungkin, oleh itu peristiwa X=x 1, X=x 2, ..., X=x n membentuk kumpulan lengkap yang tidak serasi berpasangan peristiwa, dan, oleh itu, jumlah kebarangkalian peristiwa ini adalah sama dengan satu , i.e. p 1 + p 2 +… + p n =1.
Hukum taburan pembolehubah rawak diskret. Poligon taburan (poligon).
Seperti yang anda ketahui, pembolehubah rawak ialah pembolehubah yang boleh mengambil nilai tertentu bergantung pada kes itu. Pembolehubah rawak dilambangkan dengan huruf besar abjad Latin (X, Y, Z), dan nilainya dilambangkan dengan huruf kecil yang sepadan (x, y, z). Pembolehubah rawak dibahagikan kepada tak selanjar (discrete) dan selanjar.
Pembolehubah rawak diskret ialah pembolehubah rawak yang hanya mengambil set nilai terhingga atau tak terhingga (boleh dikira) dengan kebarangkalian bukan sifar tertentu.
Hukum taburan pembolehubah rawak diskret ialah fungsi yang menghubungkan nilai pembolehubah rawak dengan kebarangkalian sepadannya. Undang-undang pengedaran boleh dinyatakan dalam salah satu cara berikut.
1. Undang-undang pengedaran boleh diberikan oleh jadual:
di mana λ>0, k = 0, 1, 2, … .
c) menggunakan fungsi taburan F(x), yang menentukan bagi setiap nilai x kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan mengambil nilai kurang daripada x, i.e. F(x) = P(X< x).
 |
Sifat fungsi F(x)
3. Undang-undang pengedaran boleh ditentukan secara grafik - oleh poligon pengedaran (poligon) (lihat tugasan 3).
Ambil perhatian bahawa untuk menyelesaikan beberapa masalah adalah tidak perlu mengetahui undang-undang pengedaran. Dalam sesetengah kes, cukup untuk mengetahui satu atau beberapa nombor yang mencerminkan ciri terpenting undang-undang pengedaran. Ini boleh menjadi nombor yang mempunyai maksud "nilai purata" pembolehubah rawak, atau nombor yang menunjukkan saiz purata sisihan pembolehubah rawak daripada nilai minnya. Nombor jenis ini dipanggil ciri berangka pembolehubah rawak.
Ciri berangka asas pembolehubah rawak diskret:
- Jangkaan matematik (nilai purata) pembolehubah rawak diskret M(X)=Σ x i p i .
Untuk taburan binomial M(X)=np, untuk taburan Poisson M(X)=λ - Serakan pembolehubah rawak diskret D(X)= M 2 atau D(X) = M(X 2)− 2. Perbezaan X–M(X) dipanggil sisihan pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya.
Untuk taburan binomial D(X)=npq, untuk taburan Poisson D(X)=λ - Purata sisihan kuasa dua (sisihan piawai) σ(X)=√D(X).
· Untuk kejelasan persembahan siri variasi, imej grafiknya adalah sangat penting. Secara grafik, siri variasi boleh digambarkan sebagai poligon, histogram dan terkumpul.
· Poligon taburan (secara literal poligon taburan) dipanggil garis putus, yang dibina dalam sistem koordinat segi empat tepat. Nilai atribut diplot pada abscissa, frekuensi yang sepadan (atau frekuensi relatif) - pada ordinat. Titik (atau) disambungkan oleh segmen garis lurus dan poligon taburan diperoleh. Selalunya, poligon digunakan untuk menggambarkan siri variasi diskret, tetapi ia juga boleh digunakan untuk siri selang. Dalam kes ini, titik yang sepadan dengan titik tengah selang ini diplot pada paksi absis.
Contoh yang dibincangkan di atas membolehkan kita membuat kesimpulan bahawa nilai yang digunakan untuk analisis bergantung pada sebab rawak, oleh itu pembolehubah tersebut dipanggil rawak. Dalam kebanyakan kes, ia timbul sebagai hasil daripada pemerhatian atau eksperimen, yang dijadualkan di baris pertama yang mana pelbagai nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak X direkodkan, dan pada yang kedua frekuensi yang sepadan. Itulah sebabnya jadual ini dipanggil taburan empirikal pembolehubah rawak X atau siri variasi. Untuk siri variasi kami menemui min, serakan dan sisihan piawai.
berterusan, jika nilainya mengisi sepenuhnya selang berangka tertentu.
Pembolehubah rawak dipanggil diskret, jika semua nilainya boleh dinomborkan (khususnya, jika ia memerlukan bilangan nilai yang terhad).
Dua perkara yang perlu diperhatikan sifat ciri jadual taburan pembolehubah rawak diskret:
Semua nombor dalam baris kedua jadual adalah positif;
Jumlah mereka adalah sama dengan satu.
Selaras dengan penyelidikan yang dijalankan, boleh diandaikan bahawa dengan peningkatan bilangan pemerhatian, taburan empirikal menghampiri teori, diberikan dalam bentuk jadual.
Satu ciri penting pembolehubah rawak diskret ialah jangkaan matematiknya.
Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret X, mengambil nilai, , …, .dengan kebarangkalian , , …, dipanggil nombor:
Nilai jangkaan juga dipanggil min.
Ciri penting lain pembolehubah rawak termasuk varians (8) dan sisihan piawai (9).
di mana: jangkaan matematik nilai X.
.
(9)
Perwakilan grafik maklumat adalah lebih visual daripada jadual, jadi keupayaan hamparan MS Excel untuk membentangkan data yang terkandung di dalamnya dalam bentuk pelbagai carta, graf dan histogram digunakan dengan kerap. Jadi, sebagai tambahan kepada jadual, taburan pembolehubah rawak juga digambarkan menggunakan poligon pengedaran. Untuk melakukan ini, titik dengan koordinat , , ... dibina pada satah koordinat dan disambungkan oleh segmen lurus.
Untuk mendapatkan segi empat tepat pengedaran menggunakan MS Excel, anda mesti:
1. Pilih tab “Sisipkan” ® “Carta Kawasan” pada bar alat.
2. Aktifkan kawasan carta yang muncul pada helaian MS Excel dengan butang kanan tetikus dan gunakan arahan "Pilih data" dalam menu konteks.
nasi. 6. Memilih sumber data
Mula-mula, mari kita tentukan julat data untuk carta. Untuk melakukan ini, masukkan julat C6:I6 ke dalam kawasan yang sesuai pada kotak dialog "Pilih Sumber Data" (ia membentangkan nilai frekuensi yang dipanggil Siri1, Rajah 7).
nasi. 7. Menambah Baris 1
Untuk menukar nama siri, anda mesti memilih butang tukar kawasan "Unsur legenda (siri)" (lihat Rajah 7) dan namakannya.
Untuk menambah label paksi X, anda mesti menggunakan butang "Edit" dalam kawasan "Label Paksi Mendatar (kategori)".
(Gamb. 8) dan nyatakan nilai siri (julat $C$6:$I$6).
nasi. 8. Paparan akhir kotak dialog "Pilih sumber data".
Memilih butang dalam kotak dialog Pilih Sumber Data
(Gamb. 8) akan membolehkan kita mendapatkan poligon taburan yang diperlukan bagi pembolehubah rawak (Rajah 9).
nasi. 9. Poligon taburan pembolehubah rawak
Mari buat beberapa perubahan pada reka bentuk maklumat grafik yang terhasil:
Mari tambah label untuk paksi X;
Mari edit label paksi Y;
- 
Mari tambahkan tajuk untuk rajah “Poligon taburan”.
Untuk melakukan ini, pilih tab "Bekerja dengan Carta" dalam kawasan bar alat, tab "Susun atur" dan dalam bar alat yang muncul, butang yang sepadan: "Tajuk carta", "Tajuk paksi" (Gamb. 10).
nasi. 10. Pandangan akhir poligon taburan pembolehubah rawak
Jawapan: Pertimbangkan pembolehubah rawak tak selanjar X dengan nilai yang mungkin. Setiap nilai ini mungkin, tetapi tidak pasti, dan nilainya X boleh menerima setiap daripada mereka dengan beberapa kebarangkalian. Hasil daripada eksperimen, nilai X akan mengambil salah satu daripada nilai ini, iaitu salah satu daripada kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi akan berlaku:
Mari kita nyatakan kebarangkalian kejadian ini dengan huruf R dengan indeks yang sepadan:
Iaitu, taburan kebarangkalian pelbagai nilai boleh ditentukan oleh jadual taburan, di mana semua nilai yang diambil oleh pembolehubah rawak diskret yang diberikan ditunjukkan dalam baris atas, dan kebarangkalian nilai yang sepadan ditunjukkan di baris bawah. Oleh kerana peristiwa tidak serasi (3.1) membentuk kumpulan lengkap, maka, iaitu, jumlah kebarangkalian semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak adalah sama dengan satu. Taburan kebarangkalian pembolehubah rawak berterusan tidak boleh dibentangkan dalam bentuk jadual, kerana bilangan nilai pembolehubah rawak tersebut adalah tidak terhingga walaupun dalam selang masa yang terhad. Selain itu, kebarangkalian mendapat sebarang nilai tertentu adalah sifar. Pembolehubah rawak akan diterangkan sepenuhnya dari sudut kebarangkalian jika kita menentukan taburan ini, iaitu, kita menunjukkan dengan tepat kebarangkalian yang ada pada setiap peristiwa. Dengan ini kita akan mewujudkan apa yang dipanggil hukum taburan pembolehubah rawak. Hukum taburan pembolehubah rawak ialah sebarang hubungan yang mewujudkan hubungan antara nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkalian yang sepadan. Kami akan mengatakan tentang pembolehubah rawak bahawa ia tertakluk kepada undang-undang pengedaran yang diberikan. Mari kita wujudkan bentuk di mana hukum taburan pembolehubah rawak tak selanjar boleh ditentukan X. Bentuk paling mudah untuk menentukan undang-undang ini ialah jadual yang menyenaraikan kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkalian sepadannya:
| x i | x 1 | x 2 | × × × | x n |
| p i | hlm 1 | hlm 2 | × × × | p n |
Kami akan memanggil jadual sedemikian satu siri taburan pembolehubah rawak X.
nasi. 3.1
Untuk memberikan siri pengedaran penampilan yang lebih visual, mereka sering menggunakan perwakilan grafiknya: nilai kemungkinan pembolehubah rawak diplot di sepanjang paksi absis, dan kebarangkalian nilai ini diplot di sepanjang paksi ordinat. Untuk kejelasan, titik yang terhasil disambungkan oleh segmen lurus. Angka sedemikian dipanggil poligon pengedaran (Rajah 3.1). Poligon taburan, serta siri taburan, mencirikan pembolehubah rawak sepenuhnya. ia merupakan salah satu bentuk hukum agihan. Kadang-kadang apa yang dipanggil "mekanikal" tafsiran siri pengedaran adalah mudah. Mari kita bayangkan bahawa jisim tertentu sama dengan perpaduan diagihkan di sepanjang paksi absis supaya masuk n jisim tertumpu pada titik individu, masing-masing 
. Kemudian siri pengedaran ditafsirkan sebagai sistem titik bahan dengan beberapa jisim terletak pada paksi absis.
Pengalaman ialah sebarang pelaksanaan syarat dan tindakan tertentu di mana fenomena rawak yang sedang dikaji diperhatikan. Eksperimen boleh dicirikan secara kualitatif dan kuantitatif. Kuantiti rawak ialah kuantiti yang, sebagai hasil percubaan, boleh mengambil satu atau nilai lain, dan tidak diketahui terlebih dahulu yang mana satu.
Pembolehubah rawak biasanya dilambangkan (X,Y,Z), dan nilai yang sepadan (x,y,z)
Diskret ialah pembolehubah rawak yang mengambil nilai individu yang diasingkan antara satu sama lain yang boleh dianggarkan terlalu tinggi. Kuantiti berterusan yang kemungkinan nilainya terus memenuhi julat tertentu. Hukum taburan pembolehubah rawak ialah sebarang hubungan yang mewujudkan hubungan antara kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkalian yang sepadan. Barisan pengedaran dan poligon. Bentuk termudah bagi hukum taburan kuantiti diskret ialah siri taburan. Tafsiran grafik bagi siri pengedaran ialah poligon pengedaran.
Anda juga boleh mendapatkan maklumat yang anda minati dalam enjin carian saintifik Otvety.Online. Gunakan borang carian:
Lebih lanjut mengenai topik 13. Pembolehubah rawak diskret. Poligon pengedaran. Operasi dengan pembolehubah rawak, contoh:
- 13. Pembolehubah rawak diskret dan hukum taburannya. Poligon pengedaran. Operasi dengan pembolehubah rawak. Contoh.
- Konsep "pembolehubah rawak" dan penerangannya. Pembolehubah rawak diskret dan hukumnya (siri) taburan. Pembolehubah rawak bebas. Contoh.
- 14. Pembolehubah rawak, jenisnya. Hukum taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak diskret (DRV). Kaedah untuk membina pembolehubah rawak (SV).
- 16. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret. Ciri berangka pembolehubah rawak diskret: jangkaan matematik, serakan dan sisihan piawai.
- Operasi matematik ke atas pembolehubah rawak diskret dan contoh membina hukum taburan untuk KX, X"1, X + K, XV berdasarkan taburan pembolehubah rawak bebas X dan Y yang diberi.
- Konsep pembolehubah rawak. Undang-undang pengagihan kes diskret. kuantiti. Operasi matematik secara rawak. kuantiti.