Dalam beberapa kes, adalah perlu untuk mempertimbangkan apa yang dipanggil pembolehubah rawak berbilang dimensi, iaitu, pembolehubah yang nilainya diedarkan dalam ruang dua atau lebih dimensi.

Untuk pembolehubah rawak berbilang dimensi, terdapat juga undang-undang dan fungsi taburan yang boleh digunakan untuk mencari sebarang fungsi pembolehubah rawak ini.

Selalunya fungsi taburan untuk pembolehubah rawak multivariate boleh didapati daripada fungsi taburan untuk pembolehubah rawak komponen.

Kami akan mempertimbangkan untuk mendapatkan fungsi pengedaran sedemikian menggunakan contoh berikut.

Marilah kita berminat dengan kebarangkalian peristiwa yang terdiri dalam penampilan serentak pembolehubah rawak dengan nilai dalam selang dari kepada pembolehubah rawak dengan nilai dalam selang dari y hingga

Apakah kebarangkalian ini?

Jika pembolehubah rawak x dan y adalah bebas, maka menurut teorem pendaraban kebarangkalian, kebarangkalian kejadian serentak dua peristiwa bebas ditentukan oleh hasil darabnya:

Jelas sekali, hasil darab fungsi taburan di sebelah kanan ialah maksud fungsi taburan untuk dua pembolehubah rawak, yang juga mempunyai maksud ketumpatan kebarangkalian dua dimensi, iaitu, kebarangkalian yang berkaitan dengan kawasan.

Begitu juga, kebarangkalian bahawa tiga pembolehubah rawak bebas secara serentak dalam selang yang sepadan diberikan oleh:

Hasil darab tiga fungsi taburan akan menjadi ketumpatan kebarangkalian atau fungsi taburan tiga pembolehubah rawak:

Begitu juga, untuk pembolehubah rawak bebas fungsi taburan multivariate akan ditulis:

Jika terdapat fungsi tertentu pembolehubah rawak ini, maka menggunakan fungsi taburan multivariate anda boleh menentukan nilai puratanya menggunakan formula umum:

Kadangkala masalah sebaliknya timbul; Menggunakan fungsi pengedaran untuk tiga pembolehubah rawak, anda perlu mencari fungsi pengedaran untuk dua atau satu pembolehubah rawak.

Dalam kebanyakan kes, ia ditemui melalui penyepaduan langsung ke atas keseluruhan julat variasi pembolehubah rawak untuk mengambil kira semua nilai yang mungkin:

Begitu juga, daripada fungsi taburan dua pembolehubah rawak, anda boleh mendapatkan fungsi taburan untuk salah satu daripadanya dengan menyepadukan antara satu sama lain:

Menggabungkan formula (2.28) dan (2.29), kita memperoleh kesamaan berikut:

Mengitlak penaakulan kita kepada sebarang bilangan pembolehubah rawak bebas, kita boleh menulis formula berikut:

Dalam kes ini, fungsi taburan ke atas sebarang bilangan pembolehubah rawak mesti memenuhi syarat normalisasi:

Selalunya, apabila mempertimbangkan beberapa pembolehubah rawak, tafsiran geometri digunakan. Nilai satu pembolehubah rawak diplot pada garis atau paksi tertentu. Dalam kes dua pembolehubah rawak x dan y, ia boleh digambarkan sebagai dua paksi koordinat Cartesan. Kemudian "ruang" kewujudan dua pembolehubah rawak akan menjadi satah. Untuk tiga pembolehubah rawak bebas kita mendapat ruang tiga dimensi.

Secara amnya, untuk pembolehubah rawak seseorang boleh memperkenalkan ruang -dimensi jika seseorang mengaitkan paksi ortogon (jumlah paksi) dengan setiap pembolehubah rawak.

Sehubungan itu, fungsi taburan akan ditentukan pada garis lurus, satah, atau dalam ruang dimensi pembolehubah rawak ini.

Kebarangkalian akan ditentukan, sebagai tambahan kepada fungsi taburan, juga oleh elemen ruang, iaitu:

Menandakan semua pembolehubah rawak dengan huruf dengan indeks yang sepadan, i.e.

Adalah lebih mudah untuk menulis elemen ruang dimensi dalam bentuk:

Dalam kes ruang tiga dimensi untuk pembolehubah rawak vektor, elemen ruang selalunya ditulis seperti berikut: untuk koordinat

untuk kelajuan

Perwakilan geometri dalam ruang tiga dimensi pembolehubah rawak vektor adalah amat mudah. Contohnya, dalam ruang halaju, impuls umum atau vektor gelombang.

Selain itu, dalam ruang pembolehubah rawak seseorang boleh menemui perubahan koordinat daripada segi empat tepat kepada kutub atau sfera. Mari kita pertimbangkan bagaimana ungkapan untuk kebarangkalian diubah dalam kes ini.

nasi. 6. Peralihan daripada Cartesian kepada koordinat kutub

Mari kita ambil pengagihan seragam sebagai fungsi pengedaran yang paling mudah. Biarkan kita mempunyai dua pembolehubah rawak x dan y, teragih seragam di sepanjang paksi yang sepadan, i.e.

Taburan dua pembolehubah rawak ini pada satah juga akan seragam:

iaitu, kebarangkalian akan bergantung hanya pada saiz elemen kawasan yang dipilih Semakin besar elemen kawasan, semakin besar kebarangkalian yang sepadan.

taburan, kebarangkalian adalah berkadar dengan unsur yang sepadan bagi kawasan tersebut, kita perolehi:

Tetapi biasanya peralihan kepada koordinat kutub dilakukan jika kita tidak berminat dengan pergantungan pada sudut dan kita hanya berminat dengan nilai modulus Kemudian

Ini sepadan dengan fakta bahawa kawasan cincin dengan jejari dan lebar boleh diambil sebagai elemen kawasan, i.e.

Begitu juga, dalam kes tiga pembolehubah rawak, dengan taburan seragam bagi setiap nilai, taburan dalam isipadu juga akan seragam dan, oleh itu, kebarangkalian akan berkadar dengan unsur isipadu:

Jika kedudukan dalam ruang sedemikian dicirikan oleh pembolehubah rawak dan berkaitan dengan formula koordinat sfera (Rajah 7):

maka elemen volum juga mesti diwakili dalam koordinat sfera, iaitu sebaliknya anda harus menulis:

Oleh itu, kebarangkalian akan ditulis seperti berikut:

Jika taburan dalam ruang adalah seragam, maka ia tidak bergantung pada sudut dan . Dan untuk mencari taburan pada jejari sahaja, anda perlu menyepadukan ke atas sudut.

Biarkan n pembolehubah rawak  1,  2,….,ξ n dikaitkan dengan ujian. Mari kita nyatakan secara ringkas bagaimana konsep yang diperkenalkan dalam bab ini dipindahkan kepada kes ini.

1. Fungsi taburan bersama pembolehubah rawak  1,  2,….,ξ n ialah fungsi

Ketumpatan kebarangkalian bersama pembolehubah rawak  1,  2,….,ξ n ialah fungsi

Ada persamaan

2. Mari kita nyatakan A i , σ j jangkaan matematik dan sisihan piawai pembolehubah rawak ξ i, hingga ij – kovarians pembolehubah rawak ξ i, ξ j:

dipanggil matriks penyebaran pembolehubah rawak  1,  2,….,ξ n. Mari kita perhatikan sifat berikut bagi matriks D.

10 . Unsur pepenjuru utama matriks D – varians pembolehubah rawak  1,  2,….,ξ n:

20 . Matriks D adalah simetri: k ij =k ji .

tiga puluh. Nilai eigen bagi matriks D adalah bukan negatif.

Sifat-sifat 1 0, 2 0 adalah jelas. Kami menjemput pembaca menyemak sifat 3 0 untuk kes khas n=2. Dalam kes ini, matriks D mempunyai bentuk

(28)

di mana r ialah pekali korelasi pembolehubah rawak  1,  2.

3. Dalam §3 bab ini, konsep taburan normal bersama pembolehubah rawak  1,  2 telah diperkenalkan - lihat formula (25). Konsep ini digeneralisasikan seperti berikut. Pembolehubah rawak  1,  2,….,ξ n dikatakan mempunyai taburan normal bersama jika ketumpatan kebarangkalian bersama diberikan oleh formula

di mana - penentu matriks penyebaran D,

dengan ij – unsur matriks C=D -1.

Adalah mudah untuk menyemak bahawa dalam kes khas n=2 takrifan ini bertepatan dengan takrifan (25); Untuk melakukan ini, anda perlu menggunakan formula (28) untuk matriks D dan formula penyongsangan untuk matriks tertib kedua dengan penentu bukan sifar:

(Kami menggalakkan pembaca menyemak sendiri).

Pernyataan berikut adalah benar: jika  1,  2,….,ξ n mempunyai taburan normal bersama, maka setiap satunya secara berasingan juga normal; jika setiap ξ i adalah normal dan pada masa yang sama  1,  2,....,ξ n adalah bebas, maka taburan sendinya juga normal, dan formulanya berlaku

dengan f i (x) ialah ketumpatan kebarangkalian ξ i . Dalam keadaan umum, kenormalan setiap individu ξ i tidak membayangkan kenormalan taburan bersama.

Konsep taburan normal bersama memainkan peranan penting dalam aplikasi teori kebarangkalian.

Bab 5. Hukum nombor besar. Hadkan teorem

Di bawah hukum bilangan besar memahami corak dalam besar-besaran fenomena rawak, apabila interaksi sejumlah besar faktor rawak membawa kepada hasil bukan rawak. Contoh corak jenis ini diberikan dalam pengenalan: perkadaran kejadian rawak dalam siri panjang percubaan serupa bebas boleh dikatakan bukan rawak. Satu lagi contoh yang luar biasa: ternyata dalam beberapa kes, undang-undang pengagihan jumlah sejumlah besar istilah rawak tidak bergantung pada undang-undang pengagihan istilah dan boleh diramalkan! Tujuan teorem had dalam teori kebarangkalian adalah untuk menyediakan rumusan dan justifikasi yang ketat untuk pelbagai bentuk hukum nombor besar. Dalam bab ini kita akan melihat secara ringkas jenis keputusan ini.

§1. Hukum bilangan besar dalam bentuk Chebyshev

Dalam amalan, corak berikut terkenal, yang boleh dirumuskan seperti berikut: min aritmetik nombor besar bebasdaripada jenis yang sama faktor rawak boleh dikatakan bukan kebetulan. Contohnya, min aritmetik bagi sejumlah besar ukuran kuantiti yang sama secara praktikalnya tidak berbeza daripada nilai sebenar kuantiti ini; tenaga kinetik purata sebilangan besar molekul yang bergerak secara huru-hara boleh dikatakan bukan rawak dan mencirikan suhu badan.

Kaedah teori kebarangkalian memungkinkan untuk memberikan rumusan matematik yang ketat bagi undang-undang ini.

Biarkan terdapat urutan tak terhingga pembolehubah rawak

 1 , 2 , … , n , … (29)

Mari kita panggil secara ringkas pembolehubah rawak (29) jenis yang sama jika mereka mempunyai jangkaan matematik yang sama A dan varians yang sama D.

Teorem. Biarkan pembolehubah rawak (29) daripada jenis yang sama dan tidak bersandar, maka perhubungannya kekal

di n, (30)

di mana A=M[ k ],k= 1, 2, …, – sebarang nombor positif yang kecil sewenang-wenangnya.

Ini bermakna: dengan cukup besar n dengan kepastian praktikal (dengan kebarangkalian100%) kesaksamaan

.

Teorem ini pertama kali dibuktikan oleh ahli matematik Rusia P.L. Chebyshev. Bukti teorem adalah berdasarkan tiga lemma.

Lema 1. Biarkan pembolehubah rawak≥ 0. Maka ketaksamaan adalah benar

R(≥) ≤, (31)

di mana  ialah sebarang nombor positif.

Bukti Mari kita lakukan untuk pembolehubah rawak berterusan. Ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak f(X) = 0 pada X< 0, так как≥ 0.

Dengan definisi jangkaan matematik kita mempunyai:

≥
≥

(≥),

dari mana ketidaksamaan (31) berikut.

Lemma 2. Biarkan menjadi pembolehubah rawak dengan ciri berangka ( A,D), maka ketaksamaan berikut adalah benar:

R(|– a| < ) ≥ 1 – .

Bukti. Kami ada

R(|– a| ≥ ) =P ((– a) 2 ≥ 2) ≤
.

Di sini kita menggunakan ketaksamaan (31) dengan  = ( – a) 2 ,  =  2 .

Daripada ketidaksamaan yang terhasil ia mengikuti

R(|– a| < ) = 1 –R(|– a| ≥ ) ≥ 1 – .

Lemma 3. Biarkan 1 , 2 , …, n- pembolehubah rawak bebas daripada jenis yang sama dengan ciri berangka ( A,D). Kemudian untuk sebarang>0 ketidaksamaan adalah benar

≥ 1 – . (32)

di mana  – sebarang nombor positif, a = M[ i ],D = D[ i ],i= 1, 2, …,n..

Ketaksamaan (32) dipanggil Ketaksamaan Chebyshev.

Bukti. Mari kita nyatakan

.

Daripada sifat jangkaan dan serakan matematik untuk pembolehubah rawak bebas ia berikut:

Oleh itu, pembolehubah rawak mempunyai ciri berangka
; Menggunakan Lemma 2 padanya, kita memperoleh ketaksamaan yang diperlukan (32).

Bukti teorem Chebyshev.

Berdasarkan ketidaksamaan Chebyshev (32) kita ada untuk mana-mana n ketaksamaan berganda

1 ≥
≥ 1 – .

Melangkah ke had di ndan mengambil kira teorem perbandingan daripada teori had, kita memperoleh hubungan yang diperlukan (30).

Komen. Mari perkenalkan istilah yang sesuai. Biarkan terdapat urutan pembolehubah rawak

 1 , 2 , …, n , … . (33)

Mereka mengatakan bahawa urutan (33) menumpu dalam kebarangkalian kepada nilai bukan rawak A dan menulis

di n,

jika bagi mana-mana > 0 hubungan itu berpuas hati

R(| n –a| < )1 pada n.

Jelas sekali, teorem Chebyshev boleh dirumuskan seperti berikut: min aritmetik pembolehubah rawak bebas daripada jenis yang sama, dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan sebutan, menumpu dalam kebarangkalian kepada jangkaan matematik biasa mereka.

Contoh. Berapa banyak ukuran kepersisan sama rata bagi kuantiti tertentu mesti dilakukan untuk menjamin, dengan kebarangkalian sekurang-kurangnya 0.95, bahawa min aritmetik bagi ukuran ini menyimpang daripada nilai sebenar kuantiti tidak lebih daripada 1 (dalam nilai mutlak), jika sisihan piawai bagi setiap ukuran tidak melebihi 5?

Penyelesaian. Biarkan i- hasil i dimensi ke ( i= 1,2,…,n),a– nilai sebenar kuantiti yang diukur, iaitu M[ i ] =a pada mana-mana i; mengambil kira ketepatan ukuran yang sama i mempunyai serakan yang sama D≤ 25. Disebabkan oleh kebebasan ukuran i adalah pembolehubah rawak bebas.

Perlu mencari n, di mana

≥ 0,95.

Selaras dengan ketidaksamaan Chebyshev (32), ketidaksamaan ini akan dipenuhi jika

1 – ≥ 1– ≥ 0.95, mudah dicari

n≥500 ukuran.

Fungsi taburan bersama pembolehubah rawak ialah fungsi bergantung pada n pembolehubah nyata seperti Proposisi 4.1 (Tiada bukti) . Mari kita senaraikan beberapa sifat fungsi taburan beberapa pembolehubah rawak: Monotonik bagi setiap pembolehubah, contohnya,

Had pada ``tolak infiniti'': jika dalam fungsi pengedaran bersama kita menetapkan semua pembolehubah kecuali satu, dan mengarahkan pembolehubah yang tinggal ke, maka hadnya adalah sama dengan sifar. Sebagai contoh, untuk Had tetap pada ``tambah infiniti." Jika semua pembolehubah cenderung, dalam had kita mendapat satu. Jika kita membetulkan semua pembolehubah kecuali satu, yang kita cenderung, kita mendapat fungsi pengedaran set yang lebih kecil pembolehubah rawak. Sebagai contoh,

Garis regresi, korelasi

Jika dua pembolehubah rawak X dan Y mempunyai fungsi regresi linear berhubung antara satu sama lain, maka nilai X dan Y dikatakan berkaitan. pergantungan korelasi linear. Teorem. Jika pembolehubah rawak dua dimensi (X, Y) diedarkan secara normal, maka X dan Y dikaitkan dengan korelasi linear.

Taburan "Chi-square". dengan f darjah kebebasan, taburan kebarangkalian jumlah kuasa dua c^2 = X1^2+...+Xf^2, pembolehubah rawak bebas X1,..., Xf, tertakluk kepada taburan normal dengan jangkaan matematik sifar dan varians unit. Fungsi "H.-k." R. dinyatakan oleh kamiran

Tiga momen pertama (varians jangkaan dan momen pusat ketiga) daripada jumlah c2 adalah sama dengan f, 2f, 8f, masing-masing. Jumlah dua pembolehubah rawak bebas c1^2 dan c2^2, dengan f^1 dan f^2 darjah kebebasan, mematuhi "H.-k." R. dengan f^1 + f^2 darjah kebebasan. Contoh "H.-k." R. boleh berfungsi sebagai taburan kuasa dua pembolehubah rawak yang mematuhi taburan Rayleigh dan taburan Maxwell. Dari segi "H.-K." R. dengan bilangan darjah kebebasan genap, taburan Poisson dinyatakan: Jika bilangan sebutan f daripada jumlah c2 bertambah tanpa had, maka, mengikut teorem had pusat, taburan nisbah ternormal menumpu kepada taburan normal piawai : mana

Akibat fakta ini ialah satu lagi hubungan had, mudah untuk mengira Ff (x) untuk nilai besar f:

Pengagihan pelajar

Pengedaran ini mendapat namanya daripada nama samaran Pelajar, yang dengannya saintis Inggeris Gosset menandatangani karyanya mengenai statistik. Biarkan pembolehubah rawak normal piawai bebas. Taburan Pelajar dengan darjah kebebasan ialah taburan pembolehubah rawak berikut: (46) Jika kita ingat pembolehubah rawak yang diperkenalkan oleh formula (44), kita boleh mengatakan bahawa hubungan itu mempunyai taburan Pelajar. Ketumpatan taburan ini ialah fungsi simetri yang diberikan oleh formula Bentuk graf fungsi menyerupai graf ketumpatan hukum normal piawai, tetapi dengan penurunan yang lebih perlahan dalam "ekor". Apabila jujukan fungsi menumpu kepada fungsi iaitu ketumpatan taburan. Untuk memahami mengapa fakta ini berlaku, anda harus memberi perhatian kepada fakta bahawa, menurut undang-undang nombor besar, penyebut ungkapan (46) cenderung kepada

Biarkan ruang hasil asas  eksperimen rawak sedemikian rupa sehingga setiap hasil  i j dikaitkan dengan nilai pembolehubah rawak  sama dengan x i dan nilai pembolehubah rawak  sama dengan y j.

1. Mari kita bayangkan koleksi besar bahagian yang mempunyai bentuk rod. Eksperimen ini terdiri daripada memilih satu rod secara rawak. Rod ini mempunyai panjang, yang akan kami nyatakan dengan , dan ketebalan dengan - (anda boleh menentukan parameter lain - isipadu, berat, kemasan, dinyatakan dalam unit standard).

2. Jika kita mempertimbangkan saham dua syarikat yang berbeza, maka pada hari perdagangan pertukaran tertentu mereka masing-masing dicirikan oleh keuntungan tertentu. Pembolehubah rawak  dan  ialah pulangan ke atas saham syarikat-syarikat ini.

Dalam kes ini, kita boleh bercakap tentang taburan bersama pembolehubah rawak  dan , atau tentang pembolehubah rawak "dua dimensi".

Jika  dan  adalah diskret dan mengambil nombor terhingga nilai ( – n nilai, dan  – k nilai), maka hukum taburan bersama pembolehubah rawak  dan  boleh ditentukan jika setiap pasangan nombor x i , y j (Di mana x i tergolong dalam set nilai , dan y j- set nilai) untuk memadankan kebarangkalian hlm i j, sama dengan kebarangkalian peristiwa yang menggabungkan semua hasil  i j(dan hanya terdiri daripada hasil ini), yang membawa kepada nilai  = xi;  = y j.

Undang-undang pengedaran ini boleh dinyatakan dalam bentuk jadual:

	y 1			y j		y k
				R 1 j		R 1 k
x i	R i 1	R i 2		R i j		R i k	P i
x n	R n 1	R n 2		R n j		R n k	P n
				P j		P k

Jelas sekali

Jika kita rumuskan semuanya R i j V i-baris ke-, maka kita mendapat kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak  akan mengambil nilai x i . Begitu juga jika kita simpulkan semuanya R i j V j-lajur ke-, kita dapat

kebarangkalian bahawa  mengambil nilai y j .

Surat-menyurat x i  P i (i = 1.2,, n) menentukan undang-undang pengedaran , serta surat-menyurat y j  P j (j = 1.2,, k) menentukan hukum taburan pembolehubah rawak .

Jelas sekali,.

Sebelum ini kita mengatakan bahawa pembolehubah rawak  dan  adalah bebas jika

pij=PiP j (i= 1,2, ,n;j= 1,2,, k).

Jika ini tidak benar, maka  dan  adalah bergantung.

Apakah pergantungan pembolehubah rawak  dan  dan bagaimanakah ia boleh dikenal pasti daripada jadual?

Pertimbangkan lajur y 1 . Setiap nombor x i mari padankan nombor

hlm i / 1 = (1)

yang akan kita panggil kebarangkalian bersyarat = x i dengan = y 1 . Sila ambil perhatian bahawa ini bukan kebarangkalian. P i peristiwa = x i, dan bandingkan formula (1) dengan formula kebarangkalian bersyarat yang telah diketahui.

Surat-menyurat

xiRi/ 1 , (i=1,2,, n)

kita akan memanggil taburan bersyarat bagi pembolehubah rawak  dengan = y 1 . Jelas sekali.

Undang-undang bersyarat yang serupa bagi pembolehubah rawak  boleh dibina untuk semua nilai lain  sama dengan y 2 ; y 3 ,, y n, sepadan dengan nombor x i kebarangkalian bersyarat hlm i / j =().

Jadual menunjukkan hukum bersyarat taburan pembolehubah rawak  pada = y j

				x i		x n
hlm i / j

Anda boleh memperkenalkan konsep jangkaan matematik bersyarat  apabila  = y j

Perhatikan bahawa  dan  adalah setara. Anda boleh memperkenalkan taburan bersyarat  dengan = x i pematuhan

(j= 1.2,, k)

Anda juga boleh memperkenalkan konsep jangkaan matematik bersyarat bagi pembolehubah rawak  untuk = x i :

Daripada definisi itu, jika  dan  adalah bebas, maka semua undang-undang pengagihan bersyarat adalah sama dan bertepatan dengan undang-undang pengagihan  (kami mengingatkan anda bahawa undang-undang pengagihan  ditakrifkan dalam jadual (*) oleh yang pertama dan terakhir. kolum). Dalam kes ini, adalah jelas bahawa semua jangkaan matematik bersyarat bertepatan M(/ = y j) pada j = 1.2,, k, yang sama dengan M.

Jika undang-undang taburan bersyarat  untuk nilai berbeza  adalah berbeza, maka mereka mengatakan bahawa terdapat pergantungan statistik antara  dan .

Contoh I. Biarkan hukum taburan bersama dua pembolehubah rawak  dan  diberikan oleh jadual berikut. Di sini, seperti yang dinyatakan sebelum ini, lajur pertama dan terakhir menentukan hukum taburan pembolehubah rawak , dan baris pertama dan terakhir menentukan hukum taburan pembolehubah rawak .

Poligon taburan bersyarat boleh digambarkan pada graf tiga dimensi (Rajah 1).

Di sini pergantungan hukum pengagihan bersyarat  pada nilai  jelas kelihatan.

Contoh II. (Sudah berjumpa).

Biarkan dua pembolehubah rawak bebas  dan  diberikan dengan hukum taburan

Mari bina satu jadual hukum taburan bersama bagi  dan .

Untuk mendapatkan =2 dan =0, adalah perlu untuk  mengambil nilai 0, dan  mengambil nilai 2. Oleh kerana  dan  adalah bebas, maka

Р(=2; =0)= Р(=0; =2)=Р(=0)Р(=2)=1/12.

Jelas sekali juga Р(=3; =0)=0.

Mari kita bina poligon bagi taburan bersyarat. Di sini pergantungan  pada  agak hampir dengan fungsi: nilai =1 sepadan dengan satu-satunya =2, nilai =2 sepadan dengan satu-satunya =3, tetapi untuk =0 kita hanya boleh mengatakan bahawa  dengan kebarangkalian 3/4 mengambil nilai 1 dan dengan kebarangkalian 1/4 – nilai 2.

Contoh III.

Mari kita pertimbangkan hukum taburan bersama  dan , yang diberikan oleh jadual

Dalam kes ini, keadaan P(= x i ; =y j)=P(= x i)P(= y j), i, j =1,2,3

Mari kita bina undang-undang pengagihan bersyarat

R =1 ()= R = 2 ()= R = 3 ()= R = 4 ()

Hukum taburan bersyarat  tidak berbeza antara satu sama lain apabila  = 1,2,3 dan bertepatan dengan hukum taburan pembolehubah rawak . Dalam kes ini,  dan  adalah bebas.

Pergantungan antara pembolehubah rawak  dan  dicirikan oleh jangkaan matematik hasil sisihan  dan  daripada pusat pengedarannya (sebagaimana jangkaan matematik pembolehubah rawak kadangkala dipanggil), yang dipanggil pekali kovarians atau ringkasnya kovarians.

cov(; ) = M((– M)(– M))

Biarkan  =  x 1 , x 2 , x 3 ,, x n ,  =  y 1 , y 2 , y 3 ,, y k. Kemudian

cov(; )=(2)

Formula ini boleh ditafsirkan seperti berikut. Jika untuk nilai besar  nilai besar  lebih berkemungkinan, dan untuk nilai kecil  nilai kecil  lebih berkemungkinan, maka di sebelah kanan formula (2) istilah positif mendominasi , dan kovarians mengambil nilai positif.

Jika produk ( x i – M)( y j – M), yang terdiri daripada faktor tanda yang berbeza, iaitu, hasil eksperimen rawak yang membawa kepada nilai besar  umumnya membawa kepada nilai kecil  dan sebaliknya, maka kovarians mengambil nilai negatif yang besar.

Dalam kes pertama, adalah kebiasaan untuk bercakap tentang sambungan langsung: dengan peningkatan dalam , pembolehubah rawak  cenderung meningkat.

Dalam kes kedua kita bercakap tentang maklum balas : apabila  bertambah, pembolehubah rawak  cenderung menurun atau jatuh.

Jika kira-kira sumbangan yang sama kepada jumlah dibuat oleh kedua-dua produk positif dan negatif ( x i – M)( y j – M)hlm i j, maka kita boleh mengatakan bahawa secara keseluruhan mereka akan "membatalkan" satu sama lain dan kovarians akan hampir kepada sifar. Dalam kes ini, pergantungan satu pembolehubah rawak pada yang lain tidak dapat dilihat.

Ia adalah mudah untuk menunjukkan bahawa jika P(( = x i)∩( = y j)) = P( = x i)P( = y j) (i = 1.2,, n; j = 1.2,, k), maka cov(; )= 0.

Sesungguhnya dari (2) ia mengikuti

Sifat jangkaan matematik yang sangat penting digunakan di sini: jangkaan matematik bagi sisihan pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya ialah sifar.

Bukti (untuk pembolehubah rawak diskret dengan bilangan nilai terhingga).

Ia adalah mudah untuk mewakili kovarians dalam bentuk

cov(; )= M(– M–M+ M M)=M()– M( M)–M(M)+ M(M M)=

=M()– MM– M M+M M=M()– M M

Kovarians dua pembolehubah rawak adalah sama dengan jangkaan matematik produk mereka tolak hasil jangkaan matematik mereka.

Sifat jangkaan matematik berikut mudah dibuktikan: jika  dan  ialah pembolehubah rawak bebas, maka M()= M M. (Buktikan sendiri menggunakan formula M() = )

Oleh itu, bagi pembolehubah rawak bebas  dan  cov(;)=0. Tugasan. 1. Sekeping duit syiling dilambung 5 kali. Pembolehubah rawak  – bilangan barisan yang digugurkan, pembolehubah rawak  – bilangan barisan yang digugurkan dalam dua balingan terakhir. Bina hukum taburan bersama pembolehubah rawak, bina hukum taburan bersyarat  untuk nilai  yang berbeza. Cari jangkaan bersyarat dan kovarians bagi  dan .

2. Dua kad diambil secara rawak daripada dek 32 helaian. Pembolehubah rawak  ialah bilangan ace dalam sampel, pembolehubah rawak  ialah bilangan raja dalam sampel. Bina undang-undang pengagihan bersama untuk  dan , bina undang-undang pengagihan bersyarat untuk  untuk nilai yang berbeza bagi . Cari jangkaan bersyarat dan kovarians bagi  dan .

Poligon taburan CBX – mata yang diperoleh apabila melontar dadu.

3Baris pengedaran, poligon pengedaran

Kaedah atau bentuk mengemukakan hukum taburan SW boleh berbeza.

Bentuk termudah untuk menentukan undang-undang pengedaran DSV X ialah siri pengedaran.

Siri taburan kebarangkalian DSV X ialah jadual yang menyenaraikan semua kemungkinan nilai SV dan kebarangkalian bahawa CB akan mengambil nilai ini.

Oleh kerana peristiwa itu tidak serasi, kerana ia boleh mengambil hanya satu makna sebagai hasil daripada pengalaman, dan membentuk kumpulan peristiwa yang lengkap, maka.

Oleh itu, untuk menyemak ketepatan jadual, adalah perlu untuk merumuskan semua kebarangkalian.

Untuk kejelasan, siri pengedaran dibentangkan secara grafik. Untuk melakukan ini, semua kemungkinan nilai SV diplot di sepanjang paksi 0x, dan sepanjang paksi 0у- kebarangkalian yang sepadan. Bucu ordinat yang terhasil biasanya disambungkan oleh segmen garis lurus.

Sambungan bucu ordinat dilakukan hanya untuk tujuan kejelasan, kerana dalam selang antara dan, dan lain-lain. SV X tidak boleh menerima nilai, oleh itu kebarangkalian penampilannya dalam selang ini adalah sama dengan sifar.

Angka ini dipanggil poligon pengedaran.

Poligon pengedaran, serta siri pengedaran, adalah salah satu bentuk penetapan undang-undang pengedaran DSV X.

Poligon taburan boleh mempunyai pelbagai bentuk.

Contoh- Kebarangkalian bahawa seorang kadet akan lulus peperiksaan semester dalam sesi dalam disiplin A dan B, masing-masing ialah 0.7 dan 0.8. Susun siri pengedaran dan bina poligon untuk taburan bilangan peperiksaan semester yang diambil oleh seorang kadet.

Penyelesaian Nilai yang mungkin C B X - bilangan peperiksaan lulus - 0, I, 2.

Biar acara itu kadet lulus i peperiksaan ke ( i=1, 2).

Dengan mengandaikan dan bebas, kita akan mempunyai kebarangkalian itu

bahawa kadet tidak akan lulus peperiksaan

yang akan lulus satu peperiksaan

bahawa dia akan lulus dua peperiksaan

Siri pengedaran dan poligon pengedaran akan kelihatan seperti

Undang-undang pengedaran TCO boleh dinyatakan dalam pelbagai bentuk. Satu bentuk tugasan ialah jadual agihan SRES.

Biarkan X dan Y ialah DSV, nilai yang mungkin adalah , di mana,. Kemudian taburan sistem SV sedemikian boleh dicirikan dengan menunjukkan kebarangkalian bahawa SV X akan mengambil nilai dan pada masa yang sama SV Y akan mengambil nilai. Kebarangkalian diringkaskan dalam jadual borang

Jadual sedemikian dipanggil jadual pengedaran SRES (matriks) dengan bilangan terhingga nilai yang mungkin. Semua peristiwa yang mungkin membentuk kumpulan lengkap peristiwa yang tidak serasi, jadi

Lajur atau baris yang terhasil daripada jadual pengedaran masing-masing mewakili taburan komponen univariat.

Sesungguhnya, taburan SCV satu dimensi boleh diperolehi dengan mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa sebagai jumlah kebarangkalian peristiwa tidak serasi.

Begitu juga

Justeru Untuk mencari kebarangkalian daripada jadual taburan bahawa SV satu dimensi telah mengambil nilai tertentu, anda perlu merumuskan kebarangkalian daripada baris (lajur) jadual ini yang sepadan dengan nilai ini.

Jika kita menetapkan nilai satu hujah, sebagai contoh, set , maka taburan SVX yang terhasil dipanggil taburan bersyarat X di bawah syarat.

Kebarangkalian taburan ini akan menjadi kebarangkalian bersyarat kejadian, didapati memandangkan peristiwa itu berlaku.

Daripada takrifan kebarangkalian bersyarat

Begitu juga, pengagihan lebih bersyarat VCA di bawah syarat adalah sama dengan

Taburan piawai pembolehubah rawak. Pengedaran seragam dan ciri-cirinya.

Hukum taburan pembolehubah rawak dan vektor rawak

Apabila belajar SV, seseorang tidak boleh menghadkan dirinya hanya kepada pengetahuan tentang set nilai yang mungkin.

Ia juga perlu untuk mengetahui dengan kebarangkalian yang mana SV mengambil nilai-nilai ini, dan secara amnya, apakah kebarangkalian SV yang memukul selang tertentu set titik paksi. 0x. Selang biasanya dipertimbangkan

Jika semua kemungkinan nilai SV diketahui, dan jika mungkin untuk mencari kebarangkalian pelbagai peristiwa yang berkaitan dengan SV, i.e. cari kebarangkalian untuk jatuh ke dalam selang tertentu, kemudian dari sudut kebarangkalian semuanya diketahui tentang SV ini.

Undang-undang pengedaran SV ialah sebarang hubungan yang mewujudkan hubungan antara kemungkinan nilai SV dan kebarangkalian yang sepadan. Mereka mengatakan tentang SV bahawa ia tertakluk kepada undang-undang pengedaran ini. Ia boleh ditentukan secara analitikal, jadual, grafik.

Ciri bagi vektor rawak juga ialah hukum taburannya.

Undang-undang pengedaran TCO ialah hubungan yang mewujudkan hubungan antara kawasan kemungkinan nilai TCO dan kebarangkalian sistem muncul di kawasan ini.

Sama seperti untuk satu SV, undang-undang pengedaran SV boleh ditentukan dalam pelbagai bentuk.

Biarkan ruang hasil asas W eksperimen rawak supaya setiap hasil w i j dikaitkan dengan nilai pembolehubah rawak X sama dengan x i dan nilai pembolehubah rawak Y sama dengan y j.

1. Mari bayangkan pakej bahagian yang dicirikan oleh 2 dimensi keseluruhan. Eksperimen rawak melibatkan pemilihan satu bahagian secara rawak. Bahagian ini mempunyai panjang, yang akan kita nyatakan dengan X, dan ketebalan, Y

2. Jika hasil eksperimen adalah pemilihan pelajar untuk dicalonkan untuk kenaikan biasiswa. Kemudian X dan Y ialah markah purata untuk dua sesi terakhir

Dalam kes ini, kita boleh bercakap tentang taburan bersama pembolehubah rawak X dan Y atau tentang pembolehubah rawak "dua dimensi".

Jika X dan Y adalah diskret dan mengambil bilangan nilai terhingga (X – n nilai, dan Y – m nilai), maka hukum taburan bersama pembolehubah rawak X dan Y boleh ditentukan jika setiap pasangan nombor x i, y j(Di mana x i tergolong dalam set nilai X, dan y j-set nilai Y) untuk sepadan dengan kebarangkalian p ij, sama dengan kebarangkalian peristiwa yang menggabungkan semua hasil w ij(dan hanya terdiri daripada hasil ini), yang membawa kepada nilai X = x i; Y= y j.

Undang-undang pengedaran ini boleh dinyatakan dalam bentuk jadual:

dan baris pertama dan terakhir memberikan siri taburan pembolehubah rawak Y. Jadual ialah hukum taburan bagi pembolehubah rawak diskret dua dimensi jika jumlah kebarangkalian dalam baris terakhir atau dalam lajur terakhir (dan, dengan itu, jumlah kebarangkalian dalam jadual) = 1.

Menggunakan jadual ini, dengan analogi dengan kes satu dimensi, seseorang boleh menentukan fungsi pengedaran bersama. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menjumlahkan p ij ke atas semua i, j yang mana x i< x, y j < y

Mari kita pertimbangkan contoh(“TV” MSTU dinamakan sempena Bauman)

Selaras dengan skema Bernoulli, dengan kebarangkalian kejayaan p dan kebarangkalian kegagalan q =1-p, 2 ujian dijalankan.

Pertimbangkan taburan vektor dua dimensi (X 1, X 2), setiap satunya boleh mengambil 2 nilai: 0 atau 1 (bilangan kejayaan dalam eksperimen yang sepadan). Bilangan kejayaan dalam kedua-dua percubaan ialah 0 apabila 2 kegagalan berlaku, dan ini, disebabkan oleh kebebasan, adalah sama dengan qq. sebab tu

dan di persimpangan lajur "0" kita tulis q 2.

Fungsi pengagihan bersama F (x 1 , x 2) mentakrifkan permukaan dalam ruang tiga dimensi.

Definisi. Undang-undang pengedaran bersyarat(X |Y=y j)(j mengekalkan nilai yang sama untuk semua nilai X) ialah set kebarangkalian bersyarat p(x 1 |y j), p(x 2 |y j),… p(x n |y j) , dan kebarangkalian bersyarat dikira menggunakan formula:

р(X=x i |Y=y j) = р(X=x i ,Y=y j) / р(Y=y j)

Contoh. Kuantiti dua dimensi diskret ditentukan

X
P	0,2	0,32	0,48

р(X=x 1 |Y=y 1) = р(X=x 1,Y=y 1) / р(Y=y 1)= 0.15/0.8 = 3/16

р(X=x 2 |Y=y 1) = р(X=x 2,Y=y 1) / р(Y=y 1)=0.3/0.8 = 3/8

р(X=x 3 |Y=y 1) = р(X=x 3,Y=y 1) / р(Y=y 1) = 0.35/0.8 = 7/16

X
p(X |Y=y 1)	3/16	3/8	7/16

Semak: jumlah kebarangkalian ialah 1.

Komen. Dengan cara ini, adalah mungkin untuk menyemak kebebasan pembolehubah rawak. Sama seperti kes kebebasan peristiwa, kebebasan pembolehubah rawak boleh ditentukan melalui kebarangkalian bersyarat. Yang tinggal hanyalah membandingkan undang-undang pengedaran bersyarat dan tidak bersyarat.

Contoh.

Pertimbangkan kotak yang mengandungi dua kad dengan nombor 1 dan tiga kad dengan nombor 2. Dua kad dikeluarkan satu demi satu. X ialah nombor pada kad pertama. Y – kepada yang kedua. Cari hukum pengagihan bersama (X,Y)

Kami menggunakan formula untuk hasil darab kebarangkalian P((X,Y)=(1,1)) = P(X=1)P(Y=1|X=1)=2/5× ¼ = 1/10

(X,Y)	(1,1)	(1,2)	(2,1)	(2,2)
P	1/10	3/10	3/10	3/10

Jumlah kebarangkalian = 1.