Memerlukan pengetahuan tentang formula asas trigonometri - jumlah kuasa dua sinus dan kosinus, ungkapan tangen melalui sinus dan kosinus, dan lain-lain. Bagi mereka yang telah melupakannya atau tidak mengenali mereka, kami mengesyorkan membaca artikel "".
Jadi, kita tahu formula trigonometri asas, sudah tiba masanya untuk menggunakannya dalam amalan. Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan pendekatan yang betul, ia merupakan satu aktiviti yang menarik, seperti, contohnya, menyelesaikan kubus Rubik.
Berdasarkan nama itu sendiri, jelas bahawa persamaan trigonometri ialah persamaan di mana yang tidak diketahui berada di bawah tanda fungsi trigonometri.
Terdapat apa yang dipanggil persamaan trigonometri termudah. Inilah rupanya: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Mari kita pertimbangkan bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut, untuk kejelasan kita akan menggunakan bulatan trigonometri yang sudah biasa.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
katil bayi x = a
Mana-mana persamaan trigonometri diselesaikan dalam dua peringkat: kita mengurangkan persamaan kepada bentuk termudah dan kemudian menyelesaikannya sebagai persamaan trigonometri mudah.
Terdapat 7 kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
Kaedah penggantian dan penggantian boleh ubah
Menyelesaikan persamaan trigonometri melalui pemfaktoran
Pengurangan kepada persamaan homogen
Menyelesaikan persamaan melalui peralihan kepada setengah sudut
Pengenalan sudut bantu
Selesaikan persamaan 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Menggunakan formula pengurangan yang kita dapat:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Gantikan cos(x + /6) dengan y untuk memudahkan dan mendapatkan persamaan kuadratik biasa:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Punca-puncanya ialah y 1 = 1, y 2 = 1/2
Sekarang mari kita pergi dalam urutan terbalik
Kami menggantikan nilai y yang ditemui dan mendapat dua pilihan jawapan:
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan sin x + cos x = 1?
Mari kita gerakkan semuanya ke kiri supaya 0 kekal di sebelah kanan:
sin x + cos x – 1 = 0
Mari kita gunakan identiti yang dibincangkan di atas untuk memudahkan persamaan:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Mari kita faktorkan:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Kami mendapat dua persamaan
Persamaan adalah homogen berkenaan dengan sinus dan kosinus jika semua sebutannya adalah relatif kepada sinus dan kosinus darjah yang sama bagi sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, teruskan seperti berikut:
a) memindahkan semua ahlinya ke sebelah kiri;
b) keluarkan semua faktor sepunya daripada kurungan;
c) samakan semua faktor dan kurungan kepada 0;
d) persamaan homogen darjah yang lebih rendah diperolehi dalam kurungan, yang seterusnya dibahagikan kepada sinus atau kosinus darjah yang lebih tinggi;
e) selesaikan persamaan yang terhasil untuk tg.
Selesaikan persamaan 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Mari kita gunakan formula sin 2 x + cos 2 x = 1 dan buang dua terbuka di sebelah kanan:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Bahagikan dengan cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Gantikan tan x dengan y dan dapatkan persamaan kuadratik:
y 2 + 4y +3 = 0, yang puncanya ialah y 1 =1, y 2 = 3
Dari sini kita dapati dua penyelesaian kepada persamaan asal:
x 2 = arctan 3 + k
Selesaikan persamaan 3sin x – 5cos x = 7
Mari kita beralih kepada x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Mari kita gerakkan semuanya ke kiri:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Bahagikan dengan cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Sebagai pertimbangan, mari kita ambil persamaan bentuk: a sin x + b cos x = c,
di mana a, b, c ialah beberapa pekali arbitrari, dan x adalah tidak diketahui.
Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan:
Sekarang pekali persamaan, mengikut formula trigonometri, mempunyai sifat sin dan cos, iaitu: modulus mereka tidak lebih daripada 1 dan jumlah kuasa dua = 1. Mari kita nyatakan masing-masing sebagai cos dan sin, di mana - ini adalah sudut bantu yang dipanggil. Kemudian persamaan akan mengambil bentuk:
cos * sin x + sin * cos x = C
atau sin(x + ) = C
Penyelesaian kepada persamaan trigonometri termudah ini ialah
x = (-1) k * arcsin C - + k, di mana
Perlu diingatkan bahawa notasi cos dan sin boleh ditukar ganti.
Selesaikan persamaan sin 3x – cos 3x = 1
Pekali dalam persamaan ini ialah:
a = , b = -1, jadi bahagikan kedua-dua belah dengan = 2
Apabila menyelesaikan banyak masalah matematik, terutamanya yang berlaku sebelum darjah 10, susunan tindakan yang dilakukan yang akan membawa kepada matlamat ditakrifkan dengan jelas. Masalah tersebut termasuk, sebagai contoh, persamaan linear dan kuadratik, ketaksamaan linear dan kuadratik, persamaan pecahan dan persamaan yang berkurang kepada kuadratik. Prinsip berjaya menyelesaikan setiap masalah yang disebutkan adalah seperti berikut: anda perlu menentukan jenis masalah yang anda selesaikan, ingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan membawa kepada hasil yang diinginkan, i.e. jawab dan ikuti langkah ini.
Adalah jelas bahawa kejayaan atau kegagalan dalam menyelesaikan masalah tertentu bergantung terutamanya pada bagaimana betul jenis persamaan yang diselesaikan ditentukan, seberapa betul urutan semua peringkat penyelesaiannya dihasilkan semula. Sudah tentu, dalam kes ini adalah perlu untuk mempunyai kemahiran untuk melakukan transformasi dan pengiraan yang sama.
Keadaan berbeza dengan persamaan trigonometri. Ia sama sekali tidak sukar untuk menetapkan fakta bahawa persamaan itu adalah trigonometri. Kesukaran timbul apabila menentukan urutan tindakan yang akan membawa kepada jawapan yang betul.
Kadangkala sukar untuk menentukan jenisnya berdasarkan rupa persamaan. Dan tanpa mengetahui jenis persamaan, hampir mustahil untuk memilih yang betul daripada beberapa dozen formula trigonometri.
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, anda perlu mencuba:
1. membawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan kepada "sudut yang sama";
2. bawa persamaan kepada "fungsi yang serupa";
3. faktorkan bahagian kiri persamaan, dsb.
Mari kita pertimbangkan kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
I. Pengurangan kepada persamaan trigonometri termudah
Gambar rajah penyelesaian
Langkah 1. Menyatakan fungsi trigonometri dari segi komponen yang diketahui.
Langkah 2. Cari hujah fungsi menggunakan formula:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
dosa x = a; x = (-1) n lengkok a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Langkah 3. Cari pembolehubah yang tidak diketahui.
Contoh.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Penyelesaian.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Jawapan: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Penggantian boleh ubah
Gambar rajah penyelesaian
Langkah 1. Kurangkan persamaan kepada bentuk algebra berkenaan dengan salah satu fungsi trigonometri.
Langkah 2. Nyatakan fungsi yang terhasil oleh pembolehubah t (jika perlu, masukkan sekatan pada t).
Langkah 3. Tulis dan selesaikan persamaan algebra yang terhasil.
Langkah 4. Buat penggantian terbalik.
Langkah 5. Selesaikan persamaan trigonometri termudah.
Contoh.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Penyelesaian.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Biarkan sin (x/2) = t, dengan |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 atau e = -3/2, tidak memenuhi syarat |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Jawapan: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Kaedah pengurangan susunan persamaan
Gambar rajah penyelesaian
Langkah 1. Gantikan persamaan ini dengan persamaan linear, menggunakan formula untuk mengurangkan darjah:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Langkah 2. Selesaikan persamaan yang terhasil menggunakan kaedah I dan II.
Contoh.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Penyelesaian.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Jawapan: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Persamaan homogen
Gambar rajah penyelesaian
Langkah 1. Kurangkan persamaan ini kepada bentuk
a) a sin x + b cos x = 0 (persamaan homogen darjah pertama)
atau ke pandangan
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen darjah kedua).
Langkah 2. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
dan dapatkan persamaan untuk tan x:
a) tan x + b = 0;
b) tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Langkah 3. Selesaikan persamaan menggunakan kaedah yang diketahui.
Contoh.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Penyelesaian.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Biarkan tg x = t, kemudian
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 atau t = -4, yang bermaksud
tg x = 1 atau tg x = -4.
Daripada persamaan pertama x = π/4 + πn, n Є Z; daripada persamaan kedua x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Jawapan: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Kaedah mengubah persamaan menggunakan formula trigonometri
Gambar rajah penyelesaian
Langkah 1. Dengan menggunakan semua formula trigonometri yang mungkin, kurangkan persamaan ini kepada persamaan yang diselesaikan dengan kaedah I, II, III, IV.
Langkah 2. Selesaikan persamaan yang terhasil menggunakan kaedah yang diketahui.
Contoh.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Penyelesaian.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;
Daripada persamaan pertama 2x = π/2 + πn, n Є Z; daripada persamaan kedua cos x = -1/2.
Kami mempunyai x = π/4 + πn/2, n Є Z; daripada persamaan kedua x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Akibatnya, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Jawapan: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Keupayaan dan kemahiran menyelesaikan persamaan trigonometri adalah sangat 
yang penting, perkembangan mereka memerlukan usaha yang besar, baik di pihak murid mahupun di pihak guru.
Banyak masalah stereometri, fizik, dan lain-lain dikaitkan dengan penyelesaian persamaan trigonometri Proses penyelesaian masalah tersebut merangkumi banyak pengetahuan dan kemahiran yang diperoleh dengan mempelajari unsur-unsur trigonometri.
Persamaan trigonometri menduduki tempat penting dalam proses pembelajaran matematik dan pembangunan peribadi secara umum.
Masih ada soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor, daftar.
Pelajaran pertama adalah percuma!
laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri
Pengenalan 2
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri 5
Algebra 5
Menyelesaikan persamaan menggunakan syarat kesamaan fungsi trigonometri dengan nama yang sama 7
Pemfaktoran 8
Pengurangan kepada persamaan homogen 10
Pengenalan sudut bantu 11
Tukar produk kepada jumlah 14
Penggantian sejagat 14
Kesimpulan 17
pengenalan
Sehingga gred kesepuluh, susunan tindakan banyak latihan yang membawa kepada matlamat, sebagai peraturan, ditakrifkan dengan jelas. Contohnya, persamaan dan ketaksamaan linear dan kuadratik, persamaan pecahan dan persamaan boleh dikurangkan kepada kuadratik, dsb. Tanpa mengkaji secara terperinci prinsip menyelesaikan setiap contoh yang disebutkan, kami perhatikan perkara umum yang diperlukan untuk penyelesaian yang berjaya.
Dalam kebanyakan kes, anda perlu menetapkan jenis tugas tugasan itu, ingat urutan tindakan yang membawa kepada matlamat, dan lakukan tindakan ini. Jelas sekali, kejayaan atau kegagalan seseorang pelajar dalam menguasai teknik untuk menyelesaikan persamaan bergantung terutamanya pada sejauh mana dia dapat menentukan jenis persamaan dengan betul dan mengingati urutan semua peringkat penyelesaiannya. Sudah tentu, diandaikan bahawa pelajar mempunyai kemahiran untuk melakukan transformasi dan pengiraan yang sama.
Situasi yang sama sekali berbeza timbul apabila seorang pelajar sekolah menghadapi persamaan trigonometri. Lebih-lebih lagi, tidak sukar untuk menetapkan fakta bahawa persamaan itu adalah trigonometri. Kesukaran timbul apabila mencari tindakan yang akan membawa kepada hasil yang positif. Dan di sini pelajar menghadapi dua masalah. Sukar untuk menentukan jenis dengan penampilan persamaan. Dan tanpa mengetahui jenisnya, hampir mustahil untuk memilih formula yang dikehendaki daripada beberapa dozen yang ada.
Untuk membantu pelajar mencari jalan mereka melalui labirin kompleks persamaan trigonometri, mereka mula-mula diperkenalkan kepada persamaan yang dikurangkan kepada persamaan kuadratik apabila pembolehubah baharu diperkenalkan. Kemudian mereka menyelesaikan persamaan homogen dan yang boleh dikurangkan kepada mereka. Segala-galanya berakhir, sebagai peraturan, dengan persamaan, untuk menyelesaikan yang mana perlu untuk memfaktorkan bahagian kiri, kemudian menyamakan setiap faktor kepada sifar.
Menyedari bahawa sedozen setengah persamaan yang dibincangkan dalam pelajaran jelas tidak mencukupi untuk menetapkan pelajar dalam pelayaran bebas melalui "laut" trigonometrik, guru menambah beberapa lagi cadangannya sendiri.
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, anda perlu mencuba:
Bawa semua fungsi yang disertakan dalam persamaan kepada "sudut yang sama";
Kurangkan persamaan kepada "fungsi yang serupa";
Faktorkan bahagian kiri persamaan, dsb.
Tetapi walaupun mengetahui jenis asas persamaan trigonometri dan beberapa prinsip untuk mencari penyelesaian mereka, ramai pelajar masih mendapati diri mereka buntu dengan setiap persamaan yang berbeza sedikit daripada yang diselesaikan sebelum ini. Masih tidak jelas apa yang harus diusahakan apabila mempunyai persamaan ini atau itu, mengapa dalam satu kes perlu menggunakan rumus sudut berganda, dalam sudut lain - separuh, dan dalam formula tambahan ketiga, dsb.
Definisi 1. Persamaan trigonometri ialah persamaan di mana yang tidak diketahui terkandung di bawah tanda fungsi trigonometri.
Definisi 2. Persamaan trigonometri dikatakan mempunyai sudut yang sama jika semua fungsi trigonometri yang disertakan di dalamnya mempunyai hujah yang sama. Persamaan trigonometri dikatakan mempunyai fungsi yang sama jika ia mengandungi hanya satu daripada fungsi trigonometri.
Definisi 3. Kuasa monomial yang mengandungi fungsi trigonometri ialah jumlah eksponen bagi kuasa fungsi trigonometri yang termasuk di dalamnya.
Definisi 4. Suatu persamaan dipanggil homogen jika semua monomial yang termasuk di dalamnya mempunyai darjah yang sama. Darjah ini dipanggil susunan persamaan.
Definisi 5. Persamaan trigonometri yang mengandungi hanya fungsi dosa Dan cos, dipanggil homogen jika semua monomial berkenaan dengan fungsi trigonometri mempunyai darjah yang sama, dan fungsi trigonometri itu sendiri mempunyai sudut yang sama dan bilangan monomial adalah 1 lebih besar daripada susunan persamaan.
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
Menyelesaikan persamaan trigonometri terdiri daripada dua peringkat: mengubah persamaan untuk mendapatkan bentuk termudah dan menyelesaikan persamaan trigonometri termudah yang terhasil. Terdapat tujuh kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
saya. Kaedah algebra. Kaedah ini terkenal dari algebra. (Kaedah penggantian dan penggantian berubah).
Selesaikan persamaan.
1)
Mari kita perkenalkan notasi x=2 dosa3 t, kita mendapatkan
Menyelesaikan persamaan ini, kita dapat: 
atau 
mereka. boleh ditulis
Apabila merekodkan penyelesaian yang terhasil kerana kehadiran tanda-tanda 
ijazah 
tiada gunanya menulisnya.
Jawapan: 
Mari kita nyatakan 
Kami mendapat persamaan kuadratik 
. Akarnya adalah nombor 
Dan 
. Oleh itu, persamaan ini dikurangkan kepada persamaan trigonometri yang paling mudah 
Dan 
. Menyelesaikan mereka, kita dapati itu 
atau 
.
Jawapan: 
; 
.
Mari kita nyatakan 
tidak memenuhi syarat 
Bermakna 
Jawapan: 
Mari kita ubah bahagian kiri persamaan:
Oleh itu, persamaan awal ini boleh ditulis sebagai:
, iaitu
Setelah ditetapkan 
, kita mendapatkan 
Menyelesaikan persamaan kuadratik ini kita ada:
tidak memenuhi syarat 
Kami menulis penyelesaian kepada persamaan asal:
Jawapan: 
Penggantian 
mengurangkan persamaan ini kepada persamaan kuadratik 
. Akarnya adalah nombor 
Dan 
. Kerana 
, maka persamaan yang diberikan tidak mempunyai punca.
Jawapan: tiada akar.
II. Menyelesaikan persamaan menggunakan syarat kesamaan fungsi trigonometri dengan nama yang sama.
A) 
, Jika
b) 
, Jika
V) 
, Jika 
Dengan menggunakan syarat ini, pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan berikut:
6) 
Menggunakan apa yang dikatakan dalam bahagian a) kita dapati bahawa persamaan mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika 
.
Menyelesaikan persamaan ini, kita dapati 
.
Kami mempunyai dua kumpulan penyelesaian: 
.
7) Selesaikan persamaan: 
.
Dengan menggunakan keadaan item b) kita simpulkan bahawa 
.
Menyelesaikan persamaan kuadratik ini, kita dapat:
.
8) Selesaikan persamaan 
.
Daripada persamaan ini kita simpulkan bahawa . Menyelesaikan persamaan kuadratik ini, kita dapati itu 
.
III. Pemfaktoran.
Kami menganggap kaedah ini dengan contoh.
9) Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian. Mari kita alihkan semua sebutan persamaan ke kiri: .
Mari tukar dan memfaktorkan ungkapan di sebelah kiri persamaan: 
.
.
.
1)
2) 
Kerana 
Dan 
tidak menerima nilai sifar
pada masa yang sama, kemudian kita bahagikan kedua-dua bahagian
persamaan untuk 
, 
Jawapan: 
10) Selesaikan persamaan:
Penyelesaian.
atau 
Jawapan: 
11) Selesaikan persamaan
Penyelesaian:
1)
2)
3)
, 
Jawapan: 
IV. Pengurangan kepada persamaan homogen.
Untuk menyelesaikan persamaan homogen yang anda perlukan:
Gerakkan semua ahlinya ke sebelah kiri;
Letakkan semua faktor sepunya daripada kurungan;
Samakan semua faktor dan kurungan kepada sifar;
Tanda kurung sama dengan sifar memberikan persamaan homogen darjah yang lebih rendah, yang harus dibahagikan dengan 
(atau 
) dalam ijazah senior;
Selesaikan persamaan algebra yang terhasil untuk 
.
Mari lihat contoh:
12) Selesaikan persamaan:
Penyelesaian.
Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 
, 
Memperkenalkan sebutan 
, nama
punca persamaan ini: 
oleh itu 1) 
2) 
Jawapan: 
13) Selesaikan persamaan:
Penyelesaian. Dengan menggunakan rumus sudut berganda dan identiti trigonometri asas, kami mengurangkan persamaan ini kepada separuh hujah:
Selepas mengurangkan istilah yang sama, kami mempunyai:
Membahagikan persamaan terakhir homogen dengan 
, kita mendapatkan
Saya akan menunjukkan 
, kita mendapat persamaan kuadratik 
, yang puncanya ialah nombor 
Justeru 
Ungkapan 
pergi ke sifar pada 
, iaitu di 
, 
.
Penyelesaian kepada persamaan yang kami perolehi tidak termasuk nombor ini.
Jawapan: 
, .
V. Pengenalan sudut bantu.
Pertimbangkan persamaan bentuk
di mana a, b, c- pekali, x- tidak diketahui.
Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan 
Sekarang pekali persamaan mempunyai sifat sinus dan kosinus, iaitu: modulus setiap daripada mereka tidak melebihi satu, dan jumlah kuasa duanya adalah sama dengan 1.
Kemudian kita boleh menetapkan mereka dengan sewajarnya 
(Di sini 
- sudut tambahan) dan persamaan kami mengambil bentuk: .
Kemudian 
Dan keputusannya
Ambil perhatian bahawa notasi yang diperkenalkan boleh ditukar ganti.
14) Selesaikan persamaan: 
Penyelesaian. Di sini 
, jadi kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 
Jawapan: 
15) Selesaikan persamaan
Penyelesaian. Kerana 
, maka persamaan ini adalah bersamaan dengan persamaan
Kerana 
, maka wujudlah sudut sedemikian 
, 
(mereka. 
).
Kami ada 
Kerana 
, maka akhirnya kita dapat:
.
Perhatikan bahawa persamaan bentuk mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika 
16) Selesaikan persamaan:
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kami mengumpulkan fungsi trigonometri dengan hujah yang sama
Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan dua
Mari kita ubah jumlah fungsi trigonometri kepada produk:
Jawapan: 
VI. Menukar produk kepada jumlah.
Formula yang sepadan digunakan di sini.
17) Selesaikan persamaan:
Penyelesaian. Mari kita ubah bahagian kiri menjadi jumlah:
VII.Penggantian sejagat.
, 
formula ini adalah benar untuk semua orang 
Penggantian 
dipanggil universal.
18) Selesaikan persamaan: 
Penyelesaian: Gantikan dan 
kepada ekspresi mereka melalui 
dan menandakan 
.
Kami mendapat persamaan rasional 
, yang bertukar kepada segi empat sama 
.
Punca-punca persamaan ini ialah nombor 
.
Oleh itu, masalah dikurangkan kepada menyelesaikan dua persamaan 
.
Kami dapati itu 
.
Lihat nilai 
tidak memenuhi persamaan asal, yang disahkan dengan menyemak - menggantikan nilai yang diberikan t ke dalam persamaan asal.
Jawapan: 
.
Komen. Persamaan 18 boleh diselesaikan dengan cara lain.
Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan 5 (iaitu dengan 
): 
.
Kerana 
, maka terdapat nombor sedemikian 
, Apa 
Dan 
. Oleh itu persamaan mengambil bentuk: 
atau 
. Dari sini kita dapati itu 
di mana 
.
19) Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian. Sejak fungsi 
Dan 
mempunyai nilai terbesar bersamaan dengan 1, maka jumlahnya adalah sama dengan 2 jika 
Dan 
, serentak, iaitu 
.
Jawapan: 
.
Apabila menyelesaikan persamaan ini, sempadan fungsi dan telah digunakan.
Kesimpulan.
Apabila mengerjakan topik "Menyelesaikan persamaan trigonometri," adalah berguna untuk setiap guru mengikuti cadangan berikut:
Sistematisasi kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
Pilih sendiri langkah-langkah untuk melakukan analisis persamaan dan tanda-tanda kesesuaian menggunakan kaedah penyelesaian tertentu.
Fikirkan cara untuk memantau sendiri aktiviti anda dalam melaksanakan kaedah tersebut.
Belajar untuk mengarang persamaan "anda sendiri" untuk setiap kaedah yang sedang dikaji.
Lampiran No 1
Selesaikan persamaan homogen atau boleh dikurangkan kepada persamaan homogen.
1. | Rep. |
Rep. |
|
Rep. |
|
5. | Rep. |
Rep. |
|
7. | Rep. |
Rep. |
|
Kursus video "Dapatkan A" merangkumi semua topik yang diperlukan untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik dengan 60-65 mata. Selesaikan semua tugasan 1-13 Profile Unified State Exam dalam matematik. Juga sesuai untuk lulus Peperiksaan Asas Negeri Bersepadu dalam matematik. Jika anda ingin lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan 90-100 mata, anda perlu menyelesaikan bahagian 1 dalam 30 minit dan tanpa kesilapan!
Kursus persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu untuk gred 10-11, dan juga untuk guru. Semua yang anda perlukan untuk menyelesaikan Bahagian 1 Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (12 masalah pertama) dan Masalah 13 (trigonometri). Dan ini adalah lebih daripada 70 mata pada Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan pelajar 100 mata mahupun pelajar kemanusiaan tidak boleh melakukannya tanpanya.
Semua teori yang diperlukan. Penyelesaian pantas, perangkap dan rahsia Peperiksaan Negeri Bersatu. Semua tugas semasa bahagian 1 dari Bank Petugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini mematuhi sepenuhnya keperluan Peperiksaan Negeri Bersepadu 2018.
Kursus ini mengandungi 5 topik besar, 2.5 jam setiap satu. Setiap topik diberikan dari awal, ringkas dan jelas.
Beratus-ratus tugas Peperiksaan Negeri Bersatu. Masalah perkataan dan teori kebarangkalian. Algoritma yang ringkas dan mudah diingati untuk menyelesaikan masalah. Geometri. Teori, bahan rujukan, analisis semua jenis tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu. Stereometri. Penyelesaian rumit, helaian cheat berguna, pembangunan imaginasi spatial. Trigonometri dari awal kepada masalah 13. Memahami bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Algebra. Akar, kuasa dan logaritma, fungsi dan terbitan. Asas untuk menyelesaikan masalah kompleks Bahagian 2 Peperiksaan Negeri Bersatu.
Satu pengajaran dalam aplikasi bersepadu pengetahuan.
Objektif pelajaran.
- Semak pelbagai kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
- Membangunkan kebolehan kreatif pelajar dengan menyelesaikan persamaan.
- Menggalakkan pelajar mengawal diri, mengawal bersama, dan menganalisis kendiri aktiviti pendidikan mereka.
Peralatan: skrin, projektor, bahan rujukan.
Semasa kelas
Perbualan pengenalan.
Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri ialah mengurangkannya kepada bentuk yang paling mudah. Dalam kes ini, kaedah biasa digunakan, contohnya, pemfaktoran, serta teknik yang digunakan hanya untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Terdapat banyak teknik ini, contohnya, pelbagai penggantian trigonometri, transformasi sudut, transformasi fungsi trigonometri. Penggunaan sembarangan bagi sebarang transformasi trigonometri biasanya tidak memudahkan persamaan, tetapi merumitkannya secara besar-besaran. Untuk membangunkan rancangan am untuk menyelesaikan persamaan, untuk menggariskan cara untuk mengurangkan persamaan kepada yang paling mudah, anda mesti terlebih dahulu menganalisis sudut - hujah fungsi trigonometri yang termasuk dalam persamaan.
Hari ini kita akan bercakap tentang kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Kaedah yang dipilih dengan betul selalunya boleh memudahkan penyelesaian dengan ketara, jadi semua kaedah yang telah kita pelajari harus sentiasa diingat untuk menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan kaedah yang paling sesuai.
II. (Dengan menggunakan projektor, kami mengulangi kaedah untuk menyelesaikan persamaan.)
1. Kaedah mengurangkan persamaan trigonometri kepada persamaan algebra.
Ia adalah perlu untuk menyatakan semua fungsi trigonometri melalui satu, dengan hujah yang sama. Ini boleh dilakukan dengan menggunakan identiti trigonometri asas dan akibatnya. Kami memperoleh persamaan dengan satu fungsi trigonometri. Mengambilnya sebagai tidak diketahui baru, kami memperoleh persamaan algebra. Kami mencari akarnya dan kembali kepada yang lama tidak diketahui, menyelesaikan persamaan trigonometri yang paling mudah.
2. Kaedah pemfaktoran.
Untuk menukar sudut, formula pengurangan, jumlah dan perbezaan argumen selalunya berguna, serta formula untuk menukar jumlah (perbezaan) fungsi trigonometri kepada produk dan sebaliknya.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. Kaedah memperkenalkan sudut tambahan.
4. Kaedah menggunakan penggantian universal.
Persamaan bentuk F(sinx, cosx, tanx) = 0 dikurangkan kepada algebra menggunakan penggantian trigonometri universal
Menyatakan sinus, kosinus dan tangen dari segi tangen separuh sudut. Teknik ini boleh membawa kepada persamaan tertib yang lebih tinggi. Penyelesaian yang sukar.