Satu bukti dan terbitan formula untuk terbitan sinus - sin(x) dibentangkan. Contoh pengiraan terbitan sin 2x, sinus kuasa dua dan kubus. Terbitan formula untuk terbitan sinus tertib ke-n.
KandunganLihat juga: Sinus dan kosinus - sifat, graf, formula
Terbitan berkenaan dengan pembolehubah x daripada sinus x adalah sama dengan kosinus x:
(sin x)′ = cos x.
Bukti
Untuk mendapatkan formula untuk terbitan sinus, kami akan menggunakan definisi terbitan:
.
Untuk mencari had ini, kita perlu mengubah ungkapan itu sedemikian rupa untuk mengurangkannya kepada undang-undang, sifat dan peraturan yang diketahui. Untuk melakukan ini, kita perlu mengetahui empat sifat.
1)
Maksud had pertama yang luar biasa ialah:
(1)
;
2)
Kesinambungan fungsi kosinus:
(2)
;
3)
Formula trigonometri. Kami memerlukan formula berikut:
(3)
;
4)
Sifat aritmetik had fungsi:
Jika dan , maka
(4)
.
Mari kita gunakan peraturan ini mengikut had kita. Mula-mula kita menukar ungkapan algebra
.
Untuk melakukan ini, kami menggunakan formula
(3)
.
Dalam kes kita
;
;
;
;
.
.
.
Kemudian
.
Sekarang mari kita lakukan penggantian.
.
Pada , . Mari gunakan had pertama yang luar biasa (1):
Mari kita buat penggantian yang sama dan gunakan sifat kesinambungan (2):
Oleh kerana had yang dikira di atas wujud, kami menggunakan sifat (4):
Formula untuk terbitan sinus telah terbukti. Contoh Mari kita lihat contoh mudah mencari derivatif fungsi yang mengandungi sinus. Kami akan mencari derivatif bagi fungsi berikut: y = sin 2x; y=.
dosa 2 x
dan y = dosa 3 x.
Contoh 1
Cari terbitan bagi
dosa 2x
.
Mula-mula, mari kita cari terbitan bahagian termudah:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Kami memohon.
Di sini.
(sin 2x)′ = 2 cos 2x. Contoh.
Contoh 2
.
Cari terbitan sinus kuasa dua:
.
y=
.
Mula-mula, mari kita cari terbitan bahagian termudah:
Mari kita tulis semula fungsi asal dalam bentuk yang lebih mudah difahami:
.
Mari cari terbitan bahagian termudah:
Kami menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks.
(sin 2x)′ = 2 cos 2x. y = sin 2x; y=.
Anda boleh menggunakan salah satu formula trigonometri. Kemudian
Contoh 3 Cari terbitan sinus kubus: Derivatif peringkat tinggi
.
Perhatikan bahawa terbitan daripada
.
Mula-mula, mari kita cari terbitan bahagian termudah:
dosa x Cari terbitan sinus kubus: tertib pertama boleh dinyatakan melalui sinus seperti berikut:
(5)
.
Mari cari terbitan tertib kedua menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks:
Kami telah menyemak bahawa untuk , formula (5) adalah sah.
Mari kita andaikan bahawa formula (5) adalah sah untuk nilai tertentu.
Mari kita buktikan bahawa ia berikutan daripada ini bahawa formula (5) berpuas hati untuk .
.
Mari kita tulis formula (5) di:
.
Mula-mula, mari kita cari terbitan bahagian termudah:
Kami membezakan persamaan ini menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks:
.
Jadi kami mendapati:
Jika kita menggantikan , maka formula ini akan mengambil bentuk (5).
Formulanya terbukti.Lihat juga:
|
Kami membentangkan jadual ringkasan untuk kemudahan dan kejelasan semasa mengkaji topik.berterusan y = C Fungsi kuasa y = x p |
(x p) " = p x p - 1Fungsi eksponen y = a x (a x) " = a x ln aKhususnya, apabilaa = e kita ada y = e x |
|
(e x) " = e x Fungsi logaritma (a x) " = a x ln aKhususnya, apabilaa = e (log a x) " = 1 x ln a y = log x |
(ln x) " = 1 x Fungsi trigonometri |
|
(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x Fungsi trigonometri songsang |
(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 Fungsi hiperbolik |
(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x
Marilah kita menganalisis bagaimana formula jadual yang ditentukan diperolehi atau, dengan kata lain, kita akan membuktikan terbitan formula terbitan untuk setiap jenis fungsi.
Terbitan pemalarBukti 1 Untuk mendapatkan formula ini, kami mengambil sebagai asas takrif terbitan fungsi pada satu titik. Kami menggunakan x 0 = x, di mana x Untuk mendapatkan formula ini, kami mengambil sebagai asas takrif terbitan fungsi pada satu titik. Kami menggunakan x 0 = x, di mana mengambil nilai mana-mana nombor nyata, atau, dengan kata lain,
ialah sebarang nombor daripada domain bagi fungsi f (x) = C. Mari kita tuliskan had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah sebagai ∆ x → 0:
lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0
Sila ambil perhatian bahawa ungkapan 0 ∆ x berada di bawah tanda had. Ia bukan ketidakpastian "sifar dibahagikan dengan sifar," kerana pengangka tidak mengandungi nilai yang sangat kecil, tetapi tepatnya sifar. Dalam erti kata lain, kenaikan fungsi malar sentiasa sifar.
Jadi, terbitan bagi fungsi pemalar f (x) = C adalah sama dengan sifar di seluruh domain takrifan.
Contoh 1
Fungsi malar diberikan:
f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7
Penyelesaian Mari kita terangkan syarat yang diberikan. Dalam fungsi pertama kita melihat terbitan nombor asli 3. Dalam contoh berikut, anda perlu mengambil terbitan daripada A Mari kita terangkan syarat yang diberikan. Dalam fungsi pertama kita melihat terbitan nombor asli 3. Dalam contoh berikut, anda perlu mengambil terbitan daripada- sebarang nombor nyata. Contoh ketiga memberi kita terbitan nombor tidak rasional 4. 13 7 22, yang keempat ialah terbitan sifar (sifar ialah integer). Akhir sekali, dalam kes kelima kita mempunyai terbitan pecahan rasional - 8 7.
Jawapan: terbitan bagi fungsi yang diberi adalah sifar untuk sebarang nyata Untuk mendapatkan formula ini, kami mengambil sebagai asas takrif terbitan fungsi pada satu titik. Kami menggunakan x 0 = x, di mana(di seluruh kawasan definisi)
f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0
Terbitan fungsi kuasa
Mari kita beralih kepada fungsi kuasa dan formula untuk terbitannya, yang mempunyai bentuk: (x p) " = p x p - 1, di mana eksponen hlm ialah sebarang nombor nyata.
Bukti 2
Berikut ialah bukti formula apabila eksponen ialah nombor asli: p = 1, 2, 3, …
Kami sekali lagi bergantung pada takrifan derivatif. Mari kita tuliskan had nisbah pertambahan fungsi kuasa kepada pertambahan hujah:
(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x
Untuk memudahkan ungkapan dalam pengangka, kami menggunakan formula binomial Newton:
(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p
Oleh itu:
(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + 1 + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - . 1 + 0 + .
Oleh itu, kami telah membuktikan formula untuk terbitan fungsi kuasa apabila eksponen ialah nombor asli.
Bukti 3
Untuk memberikan bukti bagi kes apabila p- sebarang nombor nyata selain daripada sifar, kita menggunakan terbitan logaritma (di sini kita harus memahami perbezaan daripada terbitan fungsi logaritma). Untuk mendapatkan pemahaman yang lebih lengkap, adalah dinasihatkan untuk mengkaji terbitan fungsi logaritma dan juga memahami terbitan fungsi tersirat dan terbitan fungsi kompleks.
Mari kita pertimbangkan dua kes: bila Untuk mendapatkan formula ini, kami mengambil sebagai asas takrif terbitan fungsi pada satu titik. Kami menggunakan x 0 = x, di mana positif dan bila Untuk mendapatkan formula ini, kami mengambil sebagai asas takrif terbitan fungsi pada satu titik. Kami menggunakan x 0 = x, di mana negatif.
Jadi x > 0. Kemudian: x p > 0 . Mari kita logaritma kesamaan y = x p kepada asas e dan gunakan sifat logaritma itu:
y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x
Pada peringkat ini, kami telah memperoleh fungsi yang dinyatakan secara tersirat. Mari kita tentukan derivatifnya:
(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1
Sekarang kita mempertimbangkan kes apabila x – nombor negatif.
Jika penunjuk hlm ialah nombor genap, maka fungsi kuasa ditakrifkan untuk x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1
Kemudian x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.
Jika hlm ialah nombor ganjil, maka fungsi kuasa ditakrifkan untuk x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:
y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1
Peralihan terakhir adalah mungkin kerana fakta bahawa jika hlm ialah nombor ganjil, maka p - 1 sama ada nombor genap atau sifar (untuk p = 1), oleh itu, untuk negatif Untuk mendapatkan formula ini, kami mengambil sebagai asas takrif terbitan fungsi pada satu titik. Kami menggunakan x 0 = x, di mana kesamaan (- x) p - 1 = x p - 1 adalah benar.
Jadi, kami telah membuktikan formula untuk terbitan fungsi kuasa untuk sebarang p sebenar.
Contoh 2
Fungsi yang diberikan:
f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12
Tentukan derivatifnya.
f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7
Kami menukar beberapa fungsi yang diberikan kepada bentuk jadual y = x p , berdasarkan sifat darjah, dan kemudian menggunakan formula:
f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84
Terbitan bagi fungsi eksponen
Bukti 4Mari terbitkan formula terbitan menggunakan definisi sebagai asas:
(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0
Kami mendapat ketidakpastian. Untuk mengembangkannya, mari tulis pembolehubah baharu z = a ∆ x - 1 (z → 0 sebagai ∆ x → 0). Dalam kes ini, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Untuk peralihan terakhir, formula peralihan kepada asas logaritma baharu telah digunakan.
Mari kita gantikan ke dalam had asal:
(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z
Mari kita ingat had luar biasa kedua dan kemudian kita dapatkan formula untuk terbitan fungsi eksponen:
(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a
Contoh 3
Fungsi eksponen diberikan:
f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x
Ia adalah perlu untuk mencari derivatif mereka.
f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7
Kami menggunakan formula untuk terbitan fungsi eksponen dan sifat logaritma:
f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x
Terbitan bagi fungsi logaritma
Bukti 5Mari kita sediakan bukti formula untuk terbitan bagi fungsi logaritma untuk sebarang Untuk mendapatkan formula ini, kami mengambil sebagai asas takrif terbitan fungsi pada satu titik. Kami menggunakan x 0 = x, di mana dalam domain takrifan dan sebarang nilai asas a logaritma yang dibenarkan. Berdasarkan definisi derivatif, kita dapat:
(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a
Daripada rantaian kesamaan yang ditunjukkan adalah jelas bahawa transformasi adalah berdasarkan sifat logaritma. Kesamaan lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e adalah benar mengikut had luar biasa kedua.
Contoh 4
Fungsi logaritma diberikan:
f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x
Ia adalah perlu untuk mengira derivatif mereka.
f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7
Mari gunakan formula terbitan:
f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x
Jadi, terbitan logaritma asli ialah satu dibahagikan dengan Untuk mendapatkan formula ini, kami mengambil sebagai asas takrif terbitan fungsi pada satu titik. Kami menggunakan x 0 = x, di mana.
Terbitan fungsi trigonometri
Bukti 6Mari kita gunakan beberapa formula trigonometri dan had indah pertama untuk memperoleh formula bagi terbitan fungsi trigonometri.
Menurut definisi terbitan fungsi sinus, kita dapat:
(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x
Formula untuk perbezaan sinus akan membolehkan kita melakukan tindakan berikut:
(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2
Akhir sekali, kami menggunakan had indah pertama:
sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x
Jadi, terbitan bagi fungsi tersebut dosa x kehendak kerana x.
Kami juga akan membuktikan formula untuk terbitan kosinus:
cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x
Itu. terbitan bagi fungsi cos x ialah – dosa x.
Kami memperoleh formula untuk terbitan tangen dan kotangen berdasarkan peraturan pembezaan:
t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x
Terbitan bagi fungsi trigonometri songsang
Bahagian derivatif bagi fungsi songsang menyediakan maklumat komprehensif tentang bukti formula untuk terbitan arcsine, arccosine, arctangent dan arccotangent, jadi kami tidak akan menduplikasi bahan di sini.
Terbitan fungsi hiperbolik
Bukti 7Kita boleh memperoleh formula untuk terbitan sinus hiperbolik, kosinus, tangen dan kotangen menggunakan peraturan pembezaan dan formula untuk terbitan fungsi eksponen:
s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Apabila memperoleh formula pertama jadual, kita akan meneruskan dari definisi fungsi terbitan pada satu titik. Jom bawa ke mana x– sebarang nombor nyata, iaitu, x– sebarang nombor daripada domain takrifan fungsi. Mari kita tuliskan had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah di : 
Perlu diingatkan bahawa di bawah tanda had ungkapan diperoleh, yang bukan ketidakpastian sifar dibahagikan dengan sifar, kerana pengangka tidak mengandungi nilai yang sangat kecil, tetapi tepatnya sifar. Dalam erti kata lain, kenaikan fungsi malar sentiasa sifar.
Oleh itu, terbitan bagi fungsi malaradalah sama dengan sifar di seluruh domain definisi.
Terbitan fungsi kuasa.
Formula untuk terbitan fungsi kuasa mempunyai bentuk 
, di mana eksponen hlm– sebarang nombor nyata.
Mari kita buktikan dahulu formula untuk eksponen semula jadi, iaitu, untuk p = 1, 2, 3, …
Kami akan menggunakan definisi derivatif. Mari kita tuliskan had nisbah pertambahan fungsi kuasa kepada pertambahan hujah: 
Untuk memudahkan ungkapan dalam pengangka, kita beralih kepada formula binomial Newton: 
Oleh itu, 
Ini membuktikan formula untuk terbitan fungsi kuasa untuk eksponen semula jadi.
Terbitan bagi fungsi eksponen.
Kami membentangkan terbitan formula terbitan berdasarkan definisi:
Kita telah tiba pada ketidakpastian. Untuk mengembangkannya, kami memperkenalkan pembolehubah baharu, dan pada . lepas tu . Dalam peralihan terakhir, kami menggunakan formula untuk beralih kepada asas logaritma baharu.
Mari kita gantikan ke dalam had asal: 
Jika kita mengingati had kedua yang luar biasa, kita sampai pada formula untuk terbitan fungsi eksponen: 
Terbitan bagi fungsi logaritma.
Mari kita buktikan formula untuk terbitan bagi fungsi logaritma untuk semua x dari domain definisi dan semua nilai asas yang sah a logaritma Dengan definisi derivatif kita mempunyai: 
Seperti yang anda perhatikan, semasa pembuktian, transformasi telah dijalankan menggunakan sifat-sifat logaritma. Kesaksamaan 
adalah benar kerana had kedua yang luar biasa.
Terbitan fungsi trigonometri.
Untuk mendapatkan formula bagi derivatif fungsi trigonometri, kita perlu mengingati beberapa formula trigonometri, serta had pertama yang luar biasa.
Dengan takrif terbitan untuk fungsi sinus yang kita ada 
.
Mari kita gunakan formula perbezaan sinus: 
Ia kekal untuk beralih kepada had pertama yang luar biasa: 
Oleh itu, terbitan fungsi dosa x Terdapat kerana x.
Formula untuk terbitan kosinus dibuktikan dengan cara yang sama. 
Oleh itu, terbitan bagi fungsi kerana x Terdapat –dosa x.
Kami akan memperoleh formula untuk jadual terbitan bagi tangen dan kotangen menggunakan kaedah-kaedah pembezaan yang terbukti (terbitan pecahan). 
Terbitan fungsi hiperbolik.
Peraturan pembezaan dan formula untuk terbitan fungsi eksponen daripada jadual terbitan membolehkan kita memperoleh formula untuk terbitan sinus hiperbolik, kosinus, tangen dan kotangen. 
Terbitan bagi fungsi songsang.
Untuk mengelakkan kekeliruan semasa pembentangan, mari kita nyatakan dalam subskrip hujah fungsi yang mana pembezaan dilakukan, iaitu, ia adalah terbitan fungsi f(x) Oleh x.
Sekarang mari kita rumuskan peraturan untuk mencari terbitan bagi fungsi songsang.
Biarkan fungsi y = f(x) Dan x = g(y) saling songsang, ditakrifkan pada selang dan masing-masing. Jika pada satu titik terdapat terbitan bukan sifar terhingga bagi fungsi itu f(x), maka pada titik itu terdapat terbitan terhingga bagi fungsi songsang g(y), dan 
. Dalam catatan lain 
.
Peraturan ini boleh dirumus semula untuk mana-mana x daripada selang , maka kita dapat 
.
Mari kita semak kesahihan formula ini.
Mari kita cari fungsi songsang untuk logaritma asli 
(Di sini y ialah fungsi, dan x- hujah). Setelah menyelesaikan persamaan ini untuk x, kita dapat (di sini x ialah fungsi, dan y– hujahnya). Itu dia, 
dan fungsi saling songsang.
Daripada jadual derivatif kita melihat bahawa 
Dan 
.
Mari kita pastikan bahawa formula untuk mencari derivatif bagi fungsi songsang membawa kita kepada keputusan yang sama: 
Seperti yang anda lihat, kami mendapat keputusan yang sama seperti dalam jadual derivatif.
Kini kita mempunyai pengetahuan untuk membuktikan formula bagi terbitan bagi fungsi trigonometri songsang.
Mari kita mulakan dengan terbitan arcsine.
. Kemudian, menggunakan formula untuk terbitan bagi fungsi songsang, kita dapat
Yang tinggal hanyalah melakukan transformasi.
Oleh kerana julat arcsine ialah selang 
, Itu 
(lihat bahagian tentang fungsi asas asas, sifat dan grafnya). Oleh itu, kami tidak mempertimbangkannya.
Oleh itu, 
. Domain takrifan terbitan arcsine ialah selang (-1;
1)
.
Untuk kosinus arka, semuanya dilakukan dengan cara yang sama: 
Mari kita cari terbitan arkatangen.
Untuk fungsi songsang ialah 
.
Mari kita ungkapkan arctangent dalam sebutan arccosine untuk memudahkan ungkapan yang terhasil.
biarlah arctgx = z, Kemudian 
Oleh itu, 
Terbitan cotangen arka didapati dengan cara yang sama: 
Derivatif
Mengira terbitan fungsi matematik (pembezaan) adalah masalah yang sangat biasa apabila menyelesaikan matematik yang lebih tinggi. Untuk fungsi matematik mudah (asas), ini adalah perkara yang agak mudah, kerana jadual derivatif untuk fungsi asas telah lama disusun dan mudah diakses. Walau bagaimanapun, mencari derivatif fungsi matematik yang kompleks bukanlah tugas yang remeh dan selalunya memerlukan usaha dan masa yang ketara.
Cari derivatif dalam talian
Perkhidmatan dalam talian kami membolehkan anda menyingkirkan pengiraan panjang yang sia-sia dan cari derivatif dalam talian dalam satu ketika. Lebih-lebih lagi, menggunakan perkhidmatan kami yang terdapat di laman web www.site, anda boleh mengira terbitan dalam talian kedua-duanya daripada fungsi asas dan daripada fungsi yang sangat kompleks yang tidak mempunyai penyelesaian analitikal. Kelebihan utama laman web kami berbanding yang lain adalah: 1) tiada syarat ketat untuk kaedah memasukkan fungsi matematik untuk mengira terbitan (contohnya, apabila memasukkan fungsi sinus x, anda boleh memasukkannya sebagai sin x atau sin (x) atau sin[x], dsb. d.); 2) pengiraan terbitan dalam talian berlaku serta-merta dalam dalam talian dan secara mutlak secara percuma; 3) kami membenarkan anda mencari terbitan fungsi sebarang pesanan, menukar susunan derivatif adalah sangat mudah dan boleh difahami; 4) kami membenarkan anda mencari terbitan hampir mana-mana fungsi matematik dalam talian, malah yang sangat kompleks yang tidak dapat diselesaikan oleh perkhidmatan lain. Respons yang diberikan sentiasa tepat dan tidak boleh mengandungi ralat.
Menggunakan pelayan kami akan membolehkan anda 1) mengira derivatif dalam talian untuk anda, menghapuskan pengiraan yang memakan masa dan membosankan semasa anda boleh membuat kesilapan atau kesilapan menaip; 2) jika anda mengira derivatif fungsi matematik sendiri, maka kami memberi anda peluang untuk membandingkan hasil yang diperoleh dengan pengiraan perkhidmatan kami dan memastikan penyelesaiannya betul atau mencari ralat yang telah merayap; 3) gunakan perkhidmatan kami dan bukannya menggunakan jadual derivatif fungsi mudah, di mana ia sering mengambil masa untuk mencari fungsi yang diingini.
Apa yang perlu anda lakukan ialah cari derivatif dalam talian- adalah untuk menggunakan perkhidmatan kami pada