Dalam bahagian ini kita akan membuktikan sifat penyelesaian kepada persamaan haba satu dimensi, yang dipanggil prinsip nilai maksimum. Ia boleh dirumuskan sebagai teorem.
Teorem. Jika fungsi u(x,t), ditakrifkan dan berterusan dalam kawasan tertutup Dan , memenuhi persamaan pengaliran haba di rantau ini
maka nilai maksimum dan minimum bagi fungsi u(x,t)dicapai sama ada pada saat awal masa atau pada titik sempadan x = 0 atau x = l.
Fungsi ini jelas memenuhi persamaan (40) dan mencapai nilai maksimum (minimum) pada sebarang titik. Walau bagaimanapun, ini tidak bercanggah dengan teorem, kerana dari syaratnya ia mengikuti bahawa jika nilai maksimum (minimum) dicapai di dalam wilayah, maka ia juga mesti dicapai atau pada t= 0, atau pada x = 0 orpri x=l.
Makna fizikal teorem ini adalah jelas dan adalah seperti berikut. Jika suhu pada sempadan atau pada saat awal tidak melebihi nilai tertentu M, maka jika tiada sumber haba suhu lebih besar daripada M.
Marilah kita memikirkan bukti teorem untuk nilai maksimum. Ia didorong oleh sebaliknya. Jadi biarlah M– nilai fungsi maksimum u(x,t) pada t = 0 (0 ≤ x≤ l) atau bila x = 0 orpri x = l(0 ≤ t≤ T). Sekarang mari kita andaikan bahawa pada satu ketika di rantau ini ( x 0 ,t 0), sehingga 0< x 0 < l u0< t 0 ≤ T, fungsi u(x,t) mencapai nilai maksimumnya, melebihi M dengan nilai ε, i.e.
Kemudian pada titik ( x 0 ,t 0) hubungan mesti berpuas hati
dan untuk semua nilai tanda yang sama akan dipenuhi.
di mana k – pekali malar. Jelas sekali
Jom pilih supaya kT adalah kurang daripada ε/2, i.e. , maka nilai maksimum v(x,t) pada t = 0 (0 ≤ x≤ l) atau bila x = 0 orpri x = l tidak akan melebihi , i.e.
(pada t = 0 atau x = 0 atau x = l), (44)
kerana untuk hujah ini istilah pertama dalam formula (43) tidak melebihi M, dan yang kedua.
Disebabkan oleh kesinambungan fungsi v(x,t), ia mesti pada satu ketika ( x 1 ,t 1) mencapai nilai maksimumnya, dan
Detik masa t 1 adalah lebih besar daripada sifar dan , kerana untuk atau , atau ketaksamaan (44) dipegang. Pada titik ( x 1 ,t 1), dengan analogi dengan (41) dan (42), sepatutnya ada
Mengingati definisi fungsi v(x,t) (43), kita dapat
Ia berikutan itu
mereka. persamaan (40) pada titik pedalaman ( x 1 ,t 1) tidak berpuas hati. Ini membuktikan bahawa penyelesaian u(x,t) persamaan pengaliran haba (40) di dalam kawasan tidak boleh mengambil nilai melebihi nilai terbesar u(x,t) di sempadan.
Bahagian kedua teorem untuk nilai minimum boleh dibuktikan dengan cara yang sama.
Marilah kita membentangkan dan membuktikan akibat prinsip nilai maksimum:
Akibat 1. Jika dua penyelesaian kepada persamaan (40) dan memenuhi syarat:
,
Bukti. Oleh kerana kelinearan (40), fungsi tersebut adalah penyelesaiannya, oleh itu, ia memenuhi prinsip nilai maksimum. Di mana:
Oleh itu:
jika tidak, ia akan mempunyai nilai minimum negatif. Corollary 1 telah terbukti.
Akibat 2. Jika tiga penyelesaian kepada persamaan (40) dan memenuhi syarat:
untuk , dan , maka ketidaksamaan yang sama berlaku untuk semua 
.
Bukti. Ini dilakukan hanya dengan menggunakan Corollary 1 pada pasangan fungsi dan , dan .
Mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan (1), sepadan dengan keadaan awal dan sempadan bentuk:
Biarkan terdapat penyelesaian kepada persamaan (40) yang sepadan dengan keadaan awal dan sempadan yang terganggu yang ditentukan oleh fungsi , dan , supaya:
Dengan menggunakan Corollary 3, kita boleh membuat kesimpulan bahawa: , yang membayangkan bahawa penyelesaian kepada masalah asal dan bermasalah adalah sedekat mungkin.
Prinsip maksimum menentukan keadaan yang diperlukan untuk kawalan optimum dalam sistem kawalan tak linear. Ia juga diperluaskan kepada kes di mana sekatan dikenakan pada koordinat keadaan sistem. Mari kita pertimbangkan teorem utama prinsip maksimum dan berikan rumusan kawalan optimum yang lebih mudah.
Biarkan kawalan optimum diterangkan oleh sistem persamaan pembezaan tak linear:
(1)
atau dalam bentuk vektor:
-
-vektor dimensi keadaan objek
-
-vektor dimensi tindakan kawalan
- fungsi bahagian kanan persamaan (1)
Kami menganggap bahawa vektor kawalan mengambil nilai dari beberapa kawasan tertutup ruang kawalan Ur-dimensi. Mari kita andaikan bahawa fungsi 
adalah berterusan dalam semua hujah dan mempunyai terbitan berterusan berkenaan dengan pembolehubah keadaan 
. Mari kita panggil kawalan yang boleh diterima sebagai kawalan tersebut 
, yang merupakan fungsi berterusan masa dan mengambil nilai daripada set U.
Masalah utama kawalan optimum dirumuskan seperti berikut: antara semua kawalan yang boleh diterima yang membawa titik mewakili dalam ruang fasa X dari kedudukan awal 
ke final 
, jika kawalan ini wujud. Dan anda perlu mencari kawalan yang mana fungsinya:
(2)
mencapai tahap minimum.
Mari perkenalkan pembolehubah baharu 
, yang ditentukan oleh persamaan pembezaan berikut:
(3)
Di sini 
ialah integrand fungsi (2).
Dengan menambah persamaan (3) kepada sistem persamaan (1), kita memperoleh:
(4)
Mari kita tulis (4) dalam bentuk vektor. Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan kepada pertimbangan (n+1) vektor koordinat keadaan: 
, maka dalam bentuk vektor persamaan ini akan ditulis seperti berikut:
(5)
vektor bahagian kanan sistem (5).
Perhatikan bahawa fungsi vektor 
tidak bergantung pada koordinat 
vektor 
. Mari kita nyatakan dengan 
titik dengan koordinat 
dalam ruang fasa (n+1). 
. biarlah 
- beberapa kawalan yang boleh diterima yang mana trajektori fasa sepadan (1) dilalui 
melalui titik 
. Dan apabila persamaan itu dipenuhi 
melalui titik 
.
Daripada persamaan (2) ia berikutan bahawa koordinat ditentukan oleh kesamaan:
Jika 
, maka kita akan mempunyai:
Oleh itu, di angkasa 
trajektori fasa sistem (5), sepadan dengan kawalan yang sama 
, melepasi pada 
melalui titik 
, dan bila 
melalui titik 
. Ini digambarkan oleh rajah berikut:
Mari kita nyatakan dengan P suatu garis lurus dalam ruang 
, melalui titik itu 
dan selari dengan paksi 
. Kemudian masalah kawalan optimum utama boleh dirumuskan seperti berikut:
Dalam (n+1)-ruang dimensi 
titik permulaan yang ditentukan 
dan garis lurus P, selari dengan paksi 
dan melalui titik itu 
. Antara semua kawalan yang boleh diterima yang mempunyai sifat bahawa penyelesaian sistem (5) dengan keadaan awal 
melalui titik pada garis lurus P, adalah perlu untuk memilih kawalan yang mana koordinat titik itu 
akan mempunyai kepentingan yang minimum.
Masalah yang dirumuskan ialah masalah ekstrem bersyarat Mayer. Walau bagaimanapun, disebabkan oleh sekatan yang dikenakan ke atas kawalan yang dibenarkan oleh kaedah kalkulus variasi klasik, masalah ini tidak dapat diselesaikan.
Perumusan teorem memberikan syarat yang diperlukan untuk ekstrem:
Mari kita perkenalkan pembolehubah tambahan 
, yang memenuhi sistem persamaan berikut:
(6)
Sistem (6) dipanggil konjugat berkenaan dengan sistem persamaan (5). Jika kita memilih beberapa kawalan yang boleh dilaksanakan 
pada segmen 
dan cari penyelesaian yang sepadan 
dengan syarat awal yang diberikan 
, kemudian apabila menggantikan ke dalam sistem persamaan kawalan (6) 
dan penyelesaian 
, kita memperoleh sistem persamaan linear homogen:
(7)
Sistem (7) memenuhi syarat kewujudan dan keunikan penyelesaian kepada sistem persamaan pembezaan. Sistem persamaan (5) dan (6) boleh digabungkan dalam satu bentuk tatatanda untuk melakukan ini, adalah perlu untuk memperkenalkan fungsi H sebagai pertimbangan:
(8)
Kemudian sistem (5) dan (6) akan ditulis seperti berikut:
(9)
(10)
Perhatikan bahawa vektor fungsi 
Dan 
berterusan di mana-mana kecuali titik ketakselanjaran kawalan yang boleh diterima 
. Fungsi vektor ini mempunyai terbitan berterusan. Untuk nilai tetap 
Dan 
fungsi H menjadi fungsi kawalan sahaja 
.
Kekhususan tugas untuk prestasi maksimum mula memberi kesan apabila merekodkan kriteria kualiti. Untuk masalah ini, kriteria kualiti adalah seperti berikut berfungsi (5.1)
Oleh itu, adalah diperlukan untuk mencari kawalan di mana pemindahan objek kawalan dari keadaan awal ke keadaan akhir dilakukan dalam masa yang minimum.
Urutan penyelesaian masalah yang sedang dipertimbangkan tidak berbeza daripada prosedur untuk menyelesaikan masalah lain yang diselesaikan berdasarkan prinsip maksimum:
Kompilasi Hamiltonian;
Penentuan pergantungan tindakan kawalan optimum pada pembolehubah konjugat berdasarkan memaksimumkan Hamiltonian;
Merangka sistem konjugat bagi persamaan pembezaan;
Merangka sistem umum persamaan pembezaan, antara penyelesaian yang mana tindakan kawalan yang diingini ditemui.
Apabila mempertimbangkan objek kawalan yang diterangkan oleh persamaan linear, masalah prestasi maksimum mempunyai keanehan tertentu. Intinya ialah fungsi Hamiltonian yang sepadan dengan masalah ini mengandungi kawalan ke tahap yang tidak lebih tinggi daripada yang pertama dan, oleh itu, penentuan nilai maksimum Hamiltonian tidak boleh dilakukan dengan menyamakan terbitan pertama berkenaan dengan kawalan kepada sifar. Pencarian nilai maksimum Hamiltonian dalam kes ini dijalankan dengan menganalisis kemungkinan kombinasi antara kawalan dan pembolehubah sistem persamaan konjugat. Ternyata kawalan optimum mestilah maksimum dalam modulus dalam selang kawalan dan, pada beberapa titiknya, serta-merta menukar tanda mengikut tanda beberapa fungsi pembolehubah konjugat. Di bawah keadaan pengaruh sistem persamaan konjugat yang begitu lemah pada tindakan kawalan, adalah mungkin untuk meninggalkan sepenuhnya penyelesaian sistem persamaan konjugat dan menganggap momen perubahan tanda kawalan (momen bertukar) sebagai pembolehubah bebas.
Mari kita pertimbangkan dengan lebih terperinci penyelesaian kepada masalah prestasi maksimum menggunakan contoh berikut.
Objek kawalan:
Kriteria kualiti:
Hamiltonian:
Menganalisis kemungkinan gabungan nilai, kita boleh membuat kesimpulan bahawa untuk memastikan nilai maksimum Hamiltonian, bergantung pada kawalan, adalah perlu untuk memenuhi hubungan berikut:
Sistem persamaan konjugat:
Sistem umum persamaan:
Oleh kerana dalam sistem persamaan (5.1) persamaan untuk pembolehubah konjugat tidak bergantung pada keadaan objek kawalan, ungkapan untuk hanya boleh didapati daripada sistem persamaan konjugat tanpa memberi perhatian kepada persamaan untuk keadaan kawalan. objek.
Dalam kes ini:
Menganalisis ungkapan yang diperolehi, kita boleh membuat kesimpulan bahawa tindakan kawalan yang diingini mempunyai bentuk gelombang segi empat tepat, yang menukar tanda tidak lebih daripada sekali. Jelas sekali, momen menukar tanda kawalan (momen beralih) mesti dipilih daripada syarat memastikan syarat sempadan yang ditentukan untuk keadaan objek kawalan. Beberapa kaedah boleh digunakan untuk menentukan titik pertukaran.
Cara pertama untuk menentukan titik pertukaran– analitikal. Apabila menggunakan kaedah ini, adalah perlu untuk mendapatkan ungkapan analitikal untuk tindak balas objek kawalan kepada tindakan kawalan dalam bentuk gelombang segi empat tepat. Kami menggunakan transformasi Laplace untuk tujuan ini. Momen penukaran akan dilambangkan dengan .
Sistem persamaan Laplace bagi objek kawalan, dengan mengambil kira pengaruh gelombang segi empat tepat, mempunyai bentuk:
Daripada sistem persamaan ini kita boleh mendapatkan ungkapan berikut untuk imej-L bagi keadaan objek kawalan:
atau, selepas melakukan transformasi Laplace songsang, ungkapan analitikal sebenar untuk proses sementara dalam masa:
Ungkapan terakhir membolehkan kita mencari nilai momen bertukar dan momen masa apabila objek kawalan dipindahkan ke keadaan yang diperlukan.
Cara kedua untuk menentukan titik pertukaran– cari yang minimum.
Untuk dapat menggunakan algoritma carian minimum untuk menyelesaikan masalah kawalan optimum, kami merumuskan masalah prestasi maksimum seperti berikut:
Mari kita andaikan bahawa tindakan kawalan ialah fungsi masa tetap sekeping, yang menukar tanda pada masa, dan objek kawalan dipindahkan ke keadaan akhir pada masa. Ia diperlukan untuk menentukan nilai parameter sedemikian di mana nilai minimum percanggahan antara nilai sebenar dan nilai yang diperlukan bagi keadaan objek kawalan pada masa ini dicapai. Nilai baki dikira sebagai jumlah perbezaan kuasa dua antara nilai sebenar dan nilai yang ditentukan bagi keadaan objek kawalan pada masa dalam masa.
Pengiraan parameter kawalan optimum menggunakan kaedah carian minimum boleh dilakukan menggunakan program MATLAB berikut:
Fail Utama5.m
%vektor anggaran awal untuk momen pensuisan dan
% daripada akhir selang kawalan
T=fminsearch("fms5",ti0)
fungsi f=fms5(T)
%penyelesaian berangka bagi perbezaan. tahap objek kawalan semasa tindakan
% di atasnya kawalan gelombang persegi
Ode45("odefun5",,);
% pengiraan baki
f=x(panjang(t),1)^2+x(panjang(t),2)^2;
%menjana tatasusunan nilai kawalan untuk merancang
untuk i=1:panjang(t)
plot(t,x(:,1),t,u)
Fail odefun5.m
fungsi f=odefun5(t,x)
Cara ketiga untuk menentukan titik pertukaran– pembinaan grafik bagi talian pensuisan.
Kaedah ini sangat visual, tetapi boleh digunakan untuk objek kawalan tertib kedua, kerana Tingkah laku hanya objek sedemikian diterangkan sepenuhnya oleh potret fasa. Apabila menggunakan kaedah ini, masalah kawalan optimum diselesaikan dengan membina garis pensuisan, lokasi geometri titik dalam ruang fasa objek kawalan, dari mana pemindahan objek ke keadaan akhir adalah mungkin tanpa menukar tanda kawalan. Dalam kes apabila talian pensuisan ditemui, prosedur kawalan objek adalah seperti berikut:
Kawalan tanda tertentu digunakan pada objek dan, di bawah pengaruh kawalan ini, objek bergerak sehingga titik mewakilinya berada pada garis pensuisan
Apabila titik mewakili mencecah garis pensuisan, tanda tindakan kawalan berubah dan titik mewakilinya mula bergerak di sepanjang garis pensuisan ke keadaan sasaran. Oleh itu, jaminan bahawa titik pengimejan akan mencapai keadaan sasaran dipastikan dengan menentukan garis pensuisan.
Cara yang jelas untuk membina garis pensuisan adalah dengan mengimbas keseluruhan satah fasa dan mengingati titik-titik dari mana keadaan sasaran dicapai dengan menggunakan kawalan yang malar dalam magnitud dan tanda.
Walau bagaimanapun, terdapat cara untuk membina keseluruhan talian pensuisan dalam satu langkah. Hakikatnya ialah trajektori fasa objek yang bergerak dalam masa terbalik dari titik sasaran di bawah pengaruh pemalar kawalan dalam magnitud dan tanda mempunyai semua sifat garis pensuisan. Akibatnya, garis pensuisan boleh dibina dengan menyelesaikan persamaan pembezaan objek kawalan yang ditulis dalam masa songsang. Secara matematik, peralihan kepada masa terbalik dilakukan dengan menggantikan dengan dalam persamaan objek. Patut difikirkan. bahawa garis pensuisan mempunyai dua cabang: satu daripadanya sepadan dengan nilai positif tindakan kawalan, dan satu lagi kepada yang negatif.
Perisian untuk menyelesaikan masalah prestasi maksimum terdiri daripada dua bahagian:
Skrip yang membina trajektori fasa objek dengan menyelesaikan persamaannya secara numerik yang ditulis dalam masa songsang dari titik permulaan yang sepadan dengan keadaan sasaran (membina garis pensuisan);
Skrip yang membina trajektori fasa objek dengan menyelesaikan persamaannya secara numerik yang ditulis dalam masa biasa dari titik permulaan yang sepadan dengan keadaan awal (tanda tindakan kawalan adalah bertentangan dengan tanda yang digunakan semasa membina garis pensuisan).
Tempoh trajektori fasa yang dijana oleh skrip kedua mestilah mencukupi untuk ia bersilang dengan garis pensuisan. Momen persilangan ialah momen bertukar yang dikehendaki.
Contoh
Mari kita pertimbangkan pembolehubah rawak
- X bilangan kejayaan dalam dua belas percubaan bebas dengan taburan Bernoulli dengan kebarangkalian kejayaan θ dalam setiap satu daripadanya.
- Y bilangan percubaan bebas dengan taburan Bernoulli yang diperlukan untuk memperoleh tiga kejayaan. Kebarangkalian berjaya dalam setiap percubaan ialah θ.
Kemudian pertimbangan X= 3 akan memberikan fungsi kemungkinan
dan pertimbangan Y= 12 akan memberikan fungsi kemungkinan
Ia adalah setara, kerana satu sama dengan hasil kali kedua dengan nilai skalar. Prinsip kemungkinan maksimum dalam kes ini mengatakan bahawa kesimpulan yang dibuat tentang nilai pembolehubah θ sepatutnya sama dalam kedua-dua kes.
Perbezaan pemerhatian X= 3 dan pemerhatian Y= 12 semata-mata dalam reka bentuk percubaan: dalam satu kes ia pada mulanya memutuskan untuk membuat dua belas percubaan, dan dalam satu lagi untuk terus mencuba sehingga terdapat tiga percubaan yang berjaya. Hasilnya akan sama dalam kedua-dua kes. Oleh itu, prinsip kemungkinan maksimum kadangkala dinyatakan seperti berikut:
Kesimpulan mesti bergantung hanya dari hasil eksperimen, dan bukan dari reka bentuk eksperimen.Undang-undang kemungkinan maksimum
Konsep yang berkaitan dengan prinsip kemungkinan maksimum ialah undang-undang kemungkinan maksimum, mengatakan bahawa nisbah nilai parameter yang lebih sesuai adalah sama dengan nisbah fungsi kemungkinannya. Kemudian sikap
adalah ukuran berapa banyak nilai x menerima parameter a berkenaan dengan b. Oleh itu, jika nisbahnya sama dengan 1, maka tidak ada perbezaan, dan jika ia lebih besar daripada 1, maka a lebih baik b, dan begitu juga sebaliknya.
Daripada prinsip kemungkinan maksimum dan undang-undang kemungkinan maksimum, ia berikutan bahawa parameter yang memaksimumkan fungsi kemungkinan adalah yang terbaik. Ini adalah asas kaedah kemungkinan maksimum yang terkenal.
Rujukan sejarah
Prinsip kemungkinan maksimum pertama kali disebut dalam cetakan dalam. Walau bagaimanapun, asas prinsip dan penggunaannya dalam amalan telah diterbitkan lebih awal dalam karya R. A. Fisher dalam
Hujah menyokong dan menentang prinsip kemungkinan maksimum
Prinsip kemungkinan maksimum tidak diterima oleh semua orang. Beberapa kaedah statistik tradisional yang biasa digunakan, seperti ujian hipotesis statistik, bercanggah dengan prinsip kemungkinan maksimum. Mari kita lihat secara ringkas beberapa kebaikan dan keburukan prinsip ini.
Pergantungan keputusan pada organisasi eksperimen
Peristiwa yang tidak direalisasikan memainkan peranan dalam beberapa kaedah statistik biasa. Sebagai contoh, keputusan ujian hipotesis statistik mungkin bergantung pada kebarangkalian keyakinan sebanyak atau lebih daripada taburan parameter yang tidak diketahui. Dan kebarangkalian keyakinan itu sendiri mungkin bergantung pada organisasi eksperimen.
Beberapa kaedah ujian hipotesis klasik tidak berdasarkan kemungkinan. Contoh yang sering disebut ialah masalah pemberhentian yang optimum. Katakan saya mengatakan bahawa saya melambung duit syiling sebanyak 12 kali dan mendapat 3 kepala. Daripada ini anda boleh membuat beberapa kesimpulan tentang kebarangkalian syiling ini mendarat di atas kepala. Sekarang katakan bahawa saya melambungkan duit syiling itu sehingga ia timbul sebanyak 3 kali, menghasilkan 12 lambungan. Adakah anda akan membuat kesimpulan yang berbeza sekarang?
Fungsi kemungkinan adalah sama dalam kedua-dua kes dan berkadar
.Mengikut prinsip kemungkinan, kesimpulan harus sama dalam kedua-dua kes.
Katakan sekumpulan saintis menentukan kebarangkalian beberapa hasil (yang akan kita panggil "kejayaan") melalui satu siri eksperimen. Akal sehat memberitahu kita bahawa jika tidak ada sebab untuk mempercayai bahawa kejayaan lebih berkemungkinan daripada kegagalan, dan sebaliknya, maka kita harus menetapkan kebarangkalian kejayaan kepada 0.5. Ahli sains Adam membuat 12 ujian, di mana dia menerima 3 kejayaan dan 9 kegagalan, selepas itu dia meninggal dunia.
Rakan sekerja makmalnya Bill meneruskan kerja Adam dan menerbitkan hasil ujian hipotesis. Dia menguji hipotesis bahawa kebarangkalian kejayaan hlm=0.5 lwn hlm < 0.5. Вероятность того, что в 12 испытаниях наступит не более 3 успехов, равна
iaitu 299/4096 = 7.3%. Oleh itu, hipotesis tidak ditolak pada tahap keyakinan 5%.
Charlotte, setelah membaca artikel Bill, menulis surat. Dia percaya bahawa Adam mungkin telah meneruskan ujian sehingga dia meninggal dunia, setelah mencapai 3 kejayaan pada ketika itu. Kebarangkalian bahawa tiga kejayaan memerlukan 12 atau lebih percubaan adalah
iaitu 134/4096 = 3.27%. DAN Sekarang keputusan ditolak pada tahap 5%.
Bagi saintis ini, pergantungan keputusan ujian bergantung pada reka bentuk eksperimen, dan bukan hanya pada kebolehpercayaan keputusan.
Jelas sekali, paradoks seperti ini dianggap oleh sesetengah pihak sebagai hujah menentang prinsip kemungkinan, manakala bagi yang lain ia menggambarkan kepentingan prinsip itu.
kesusasteraan
lihat juga
Pautan
- Anthony W.F. Edwards. "Kemungkinan". http://www.cimat.mx/reportes/enlinea/D-99-10.html
- Jeff Miller. Penggunaan Terawal Beberapa Perkataan Matematik (L)
- John Aldrich. Kemungkinan dan Kebarangkalian dalam Kaedah Statistik R. A. Fisher untuk Pekerja Penyelidik
Yayasan Wikimedia. 2010.
Sekarang marilah kita mengambil kira sekatan (2.2.2) ke atas kawalan. Jika dalam proses kawalan optimum fungsi tidak mencapai sempadan set (2.2.2) (yang bermaksud) maka hubungan (2.2.13), (2.2.14) berpuas hati untuk mereka. Walau bagaimanapun, selalunya kawalan optimum mengambil nilai sempadan atau -, lebih-lebih lagi, kawalan optimum boleh melompat dari satu sempadan ke sempadan yang lain. Kawalan sebegini sudah pun merupakan fungsi berterusan masa.
Apabila kawalan optimum mencecah sempadan set U, hubungan (2.2.13), (2.2.14) dilanggar. Dalam kes ini, kawalan optimum memenuhi prinsip maksimum L. S. Pontryagin, ditubuhkan dan dibuktikan dalam bentuk teorem yang diberikan di bawah.
Beralih kepada teorem ini, mari kita membuat beberapa penjelasan. Marilah kita mengambil kawalan yang boleh diterima secara sewenang-wenangnya dan, dalam keadaan awal, cari penyelesaian kepada sistem (2.2.1): .
Menggantikan penyelesaian dan kawalan ini kepada (2.2.8), kami menentukan, buat masa ini, di bawah beberapa keadaan awal yang sewenang-wenangnya, penyelesaian (2.2.8): . Untuk nilai tetap (malar) vektor, fungsi H menjadi fungsi vektor. Maksimum fungsi ini dengan dan akan dilambangkan dengan:
Maksimum (nilai tertinggi) bagi fungsi berterusan boleh dicapai kedua-duanya pada titik maksimum tempatan fungsi ini, di mana
dan pada sempadan set.
Teorem 2.2.1 (prinsip maksimum L. S. Pontryagin). Biarkan , menjadi kawalan yang boleh diterima supaya penyelesaian yang sepadan kepada persamaan (2.2.11), yang terpancar pada saat dari keadaan (2.2.3), (2.2.7), melalui titik pada saat masa.
Untuk kawalan optimum (yang mana ) mengambil nilai terkecil), adalah perlu wujud fungsi selanjar bukan sifar sedemikian yang memenuhi persamaan (2.2.12) yang mana bagi mana-mana pembolehubah fungsi pembolehubah mencapai maksimum
dalam kes ini, pada saat akhir masa hubungan itu berpuas hati
Jika (2.2.11), (2.2.12) dan (2.2.17) berpuas hati, maka fungsi pembolehubah t adalah malar dan oleh itu pengesahan hubungan (2.2.18) boleh dijalankan tidak semestinya pada masa ini. masa, tetapi pada bila-bila masa.
Bukti teorem adalah agak kompleks, dan oleh itu Lampiran 2 hanya menyediakan terbitan hubungan utama (2.2.17) teorem untuk kes hujung kanan bebas (tidak dinyatakan) dan tetap.
Hubungan (2.2.17) dan (2.2.18) boleh ditulis dalam bentuk yang lebih mudah:
Oleh itu, keadaan pusat dalam Teorem 2.2.1 ialah keadaan maksimum (2.2.19). Ini bermakna bahawa jika adalah kawalan optimum dan trajektori optimum, maka sudah pasti akan wujud pemalar dan penyelesaian sedemikian ) sistem (2.2.12) sehingga fungsi pembolehubahnya untuk semua akan mencapai maksimum pada U tepat di bawah kawalan optimum . Oleh itu, Teorem 2.2.1, yang memberikan syarat yang diperlukan untuk optimum dalam masalah kawalan optimum, biasanya dipanggil prinsip maksimum. Ambil perhatian bahawa pada titik dalaman set U, keadaan (2.2.13), (2.2.14), yang diperlukan untuk (2.2.19), dipenuhi untuk kawalan optimum.
Aplikasi praktikal prinsip maksimum.
Bagaimanakah kita boleh menggunakan keadaan secara praktikal (2.2.19), kerana fungsi dan pemalar yang disertakan dalam keadaan ini tidak diketahui?Di sini mereka meneruskan seperti berikut: mempertimbangkan fungsi ) sebagai fungsi pembolehubah dan mempertimbangkan pembolehubah sebagai parameter, mereka menyelesaikan masalah memaksimumkan fungsi dan mencari fungsi
di mana nilai tertinggi fungsi dicapai.
Dalam sesetengah kes, fungsi (2.2.20) boleh ditulis secara eksplisit. Contohnya, jika bahagian sebelah kanan (2.2.1) mempunyai struktur
dan kamiran dan fungsi (2.2.5)
set diterangkan oleh ketaksamaan U (2.2.2), kemudian
dan fungsi ini mencapai nilai terbesarnya pada U pada titik dengan koordinat
Formula (2.2.22) menyediakan sejumlah besar maklumat tentang struktur kawalan optimum: koordinat kawalan optimum ialah fungsi langkah (pemalar sekeping) dengan nilai, manakala momen penukaran ditentukan oleh keadaan
Jadi, mari kita andaikan bahawa fungsi (2.2.20) diketahui. Pertimbangkan sistem persamaan pembezaan
Fungsi dan termasuk di sebelah kanan persamaan ini diketahui. Penyelesaian umum sistem (2.2.24), (2.2.25) bergantung pada pemalar arbitrari, yang ditentukan daripada syarat sempadan (2.2.3), (2.2.4). Masalah penyepaduan persamaan (2.2.24), (2.2.25) di bawah keadaan sempadan (2.2.3), (2.2.4) dipanggil masalah nilai sempadan (masalah nilai sempadan dua mata).
Oleh itu, prinsip maksimum membolehkan kita mengurangkan penyelesaian masalah kawalan program yang optimum kepada penyelesaian masalah nilai sempadan.
Kesukaran menyelesaikannya ialah menyepadukan persamaan (2.2.24), (2.2.25) dalam "masa langsung" tidak mungkin, kerana keadaan awal tidak diketahui Salah satu pendekatan yang mungkin untuk menyelesaikan masalah nilai sempadan adalah seperti berikut . Memandangkan vektor arbitrari dan penyepaduan (2.2.24), (2.2.25) di bawah keadaan awal yang diketahui, kita akan mencari fungsi dan menyemak pemenuhan kesamaan (2.2.4). Jika ia dilanggar, kami menentukan vektor lain dan, menyepadukan (2.2.24), (2.2.25) di bawah keadaan awal, kami memperoleh untuk vektor .
Jika ia tidak bertepatan dengan yang diberikan, kami meneruskan proses sehingga vektor ditemui supaya keadaan (2.2.4) berpuas hati dengan ketepatan yang boleh diterima. Dengan pendekatan ini, kaedah kecerunan digunakan apabila ia ditentukan daripada keadaan "jarak" minimum dari vektor tertentu.
Dalam matematik pengiraan, beberapa kaedah telah dibangunkan untuk penyelesaian berangka anggaran masalah nilai sempadan: kaedah penangkapan, kaedah sapuan, beberapa kaedah lelaran, . Dalam kebanyakan kes, adalah tidak mungkin untuk mencari daripada syarat (2.2.19) bentuk eksplisit (2.2.22) kawalan optimum. Kemudian persamaan (2.2.1), (2.2.6), sistem bersebelahan (2.2.12) dan keadaan maksimum (2.2.19) membentuk masalah nilai sempadan prinsip maksimum. Masalah ini mempunyai beberapa ciri khusus yang menyukarkan penggunaan kaedah berangka standard untuk menyelesaikan masalah nilai sempadan. Ciri-ciri tersebut termasuk ketakselanjaran fungsi yang memenuhi syarat maksimum (2.2.14), bukan keunikan mereka, dan sifat pergantungan bukan linear (2.2.20) walaupun dalam sistem linear. Di samping itu, ciri masalah nilai sempadan yang dikaitkan dengan prinsip maksimum, walaupun dalam kes di mana adalah mungkin untuk mencari bentuk kawalan yang jelas (2.2.20), adalah penumpuan yang lemah disebabkan oleh ketidakstabilan sistem (2.2.24). ), (2.2.25). Beberapa teknik untuk menyelesaikan masalah nilai sempadan prinsip maksimum digariskan, sebagai contoh, dalam.
Mari kita ambil perhatian sebagai kesimpulan bahawa, walaupun pelbagai kaedah untuk menyelesaikan masalah nilai sempadan prinsip maksimum secara berangka, proses menyelesaikan setiap pengoptimuman berdasarkan prinsip ini adalah masalah kreatif bebas, diselesaikan dalam rangka kerja cabang dinamik tertentu untuk yang mana objek kawalan milik, dengan mengambil kira ciri khususnya, digunakan untuk meningkatkan penumpuan penyelesaian berangka masalah nilai sempadan.
Contoh 2.2.1. Pembinaan kawalan penggunaan bahan api yang optimum.
Mari kita pertimbangkan objek kawalan yang diterangkan oleh persamaan
Biarkan kekangan dikenakan ke atas kawalan
Fungsi pengoptimuman menyatakan penggunaan bahan api mempunyai bentuk
Keadaan awal diberikan
dan keadaan pada masa
Ia diperlukan untuk mencari , di mana objek (2.2.26) pergi dari keadaan (2.2.29) ke keadaan (2.2.30), manakala sekatan (2.2.27) dipenuhi, dan berfungsi (2.2.28) mengambil nilai terkecil.
Bergerak untuk menentukan kawalan optimum berdasarkan prinsip maksimum, kami membentuk fungsi
persamaan untuk pembolehubah bantu
Kawalan yang menyampaikan fungsi maksimum (2.2.31) ditakrifkan sebagai
Persamaan (2.2.26), (2.2.32), (2.2.33) membentuk masalah nilai sempadan. Beralih kepada kajiannya, kami tuliskan penyelesaian kepada sistem (2.2.32):
di manakah nombor yang tidak diketahui yang mesti ditentukan supaya kawalan (2.2.33) membawa objek (2.2.26) untuk menyatakan (2.2.30).
Mari kita cari penyelesaian kepada sistem (2.2.26) untuk dan . Dalam kes pertama, penyelesaian kepada sistem ini mempunyai bentuk . Ia bergantung kepada pemalar R dan p, manakala . Trajektori fasa sistem ini ialah bulatan dengan pusat di tempat asal (Rajah 2.2.1, a). Trajektori fasa sistem (2.2.26) pada dan juga bulatan, pusatnya terletak pada titik masing-masing (Rajah 2.2.1, b, c).