Transformasi ungkapan yang sama adalah salah satu baris kandungan kursus matematik sekolah. Transformasi yang sama digunakan secara meluas dalam menyelesaikan persamaan, ketaksamaan, sistem persamaan dan ketaksamaan. Di samping itu, transformasi ekspresi yang sama menyumbang kepada perkembangan kecerdasan, fleksibiliti dan rasional pemikiran.
Bahan yang dicadangkan bertujuan untuk pelajar gred 8 dan termasuk asas teori transformasi yang sama bagi ungkapan rasional dan tidak rasional, jenis tugas untuk mengubah ungkapan tersebut dan teks ujian.
1. Asas teori transformasi identiti
Ungkapan dalam algebra ialah rekod yang terdiri daripada nombor dan huruf yang dihubungkan dengan tanda tindakan.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – ungkapan algebra.
Bergantung pada operasi, ungkapan rasional dan tidak rasional dibezakan.
Ungkapan algebra dipanggil rasional jika relatif kepada huruf yang termasuk di dalamnya A, b, Dengan, ... tiada operasi lain dilakukan kecuali tambah, darab, tolak, bahagi dan eksponen.
Ungkapan algebra yang mengandungi operasi mengekstrak punca pembolehubah atau menaikkan pembolehubah kepada kuasa rasional yang bukan integer dipanggil tidak rasional berkenaan dengan pembolehubah ini.
Transformasi identiti bagi ungkapan tertentu ialah penggantian satu ungkapan dengan ungkapan lain yang sama dengannya pada set tertentu.
Fakta teori berikut mendasari transformasi yang sama bagi ungkapan rasional dan tidak rasional.
1. Sifat darjah dengan eksponen integer:
, n HIDUP; A 1=A;
, n HIDUP, A¹0; A 0=1, A¹0;
, A¹0;
, A¹0;
, A¹0;
, A¹0, b¹0;
, A¹0, b¹0.
2. Formula pendaraban diringkaskan:
di mana A, b, Dengan– sebarang nombor nyata;
di mana A¹0, X 1 dan X 2 – punca persamaan 
.
3. Sifat utama pecahan dan tindakan pada pecahan:
, Di mana b¹0, Dengan¹0;
; 
;
4. Definisi punca aritmetik dan sifatnya:
; , b#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; 
,
di mana A, b- nombor bukan negatif, n HIDUP, n³2, m HIDUP, m³2.
1. Jenis Latihan Penukaran Ungkapan
Terdapat pelbagai jenis latihan tentang transformasi identiti ekspresi. Jenis pertama: Penukaran yang perlu dilakukan dinyatakan secara eksplisit.
Sebagai contoh.
1. Wakilkannya sebagai polinomial.
Semasa melakukan penjelmaan ini, kami menggunakan peraturan pendaraban dan penolakan polinomial, formula untuk pendaraban singkatan dan pengurangan sebutan yang serupa.
2. Faktorkan ke dalam: 
.
Semasa melakukan penjelmaan, kami menggunakan peraturan meletakkan faktor sepunya daripada kurungan dan 2 formula pendaraban yang disingkatkan.
3. Kurangkan pecahan:
.
Semasa melakukan penjelmaan, kami menggunakan penyingkiran faktor sepunya daripada kurungan, undang-undang komutatif dan kontraktil, 2 formula pendaraban yang disingkatkan dan operasi pada kuasa.
4. Keluarkan faktor dari bawah tanda akar jika A³0, b³0, Dengan³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">
Kami menggunakan peraturan untuk tindakan pada akar dan definisi modulus nombor.
5. Menghapuskan ketidakrasionalan dalam penyebut pecahan. 
.
Jenis kedua latihan adalah latihan di mana transformasi utama yang perlu dilakukan ditunjukkan dengan jelas. Dalam latihan sedemikian, keperluan biasanya dirumuskan dalam salah satu bentuk berikut: permudahkan ungkapan, kira. Apabila melakukan latihan sedemikian, pertama sekali adalah perlu untuk mengenal pasti yang mana dan dalam susunan apa transformasi yang perlu dilakukan supaya ekspresi mengambil bentuk yang lebih padat daripada yang diberikan, atau hasil berangka diperolehi.
Sebagai contoh
6. Permudahkan ungkapan:
Penyelesaian:
.
Peraturan yang digunakan untuk mengendalikan pecahan algebra dan formula pendaraban yang disingkatkan.
7. Permudahkan ungkapan:
.
Jika A³0, b³0, A¹ b.
Kami menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan, peraturan untuk menambah pecahan dan mendarab ungkapan tidak rasional, identiti https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.
Kami menggunakan operasi memilih segi empat sama lengkap, identiti https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, jika .
Bukti:
Sejak , kemudian dan atau atau atau , iaitu.
Kami menggunakan syarat dan formula untuk jumlah kubus.
Perlu diingat bahawa keadaan yang menghubungkan pembolehubah juga boleh dinyatakan dalam latihan dua jenis pertama.
Sebagai contoh.
10. Cari jika .
Pelajaran ini akan merangkumi maklumat asas tentang ungkapan rasional dan transformasinya, serta contoh transformasi ungkapan rasional. Topik ini meringkaskan topik yang telah kami pelajari setakat ini. Transformasi ungkapan rasional melibatkan penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian, pengeksponenan pecahan algebra, pengurangan, pemfaktoran, dll. Sebagai sebahagian daripada pelajaran, kita akan melihat apa itu ungkapan rasional, dan juga menganalisis contoh transformasinya.
Subjek:Pecahan algebra. Operasi aritmetik pada pecahan algebra
Pelajaran:Maklumat asas tentang ungkapan rasional dan transformasinya
Definisi
Ungkapan rasional ialah ungkapan yang terdiri daripada nombor, pembolehubah, operasi aritmetik dan operasi eksponen.
Mari kita lihat contoh ungkapan rasional:
Kes khas ungkapan rasional:
ijazah pertama: 
;
2. monomial: ;
3. pecahan: .
Menukarkan ungkapan rasional adalah penyederhanaan ungkapan rasional. Susunan tindakan apabila mengubah ungkapan rasional: mula-mula terdapat operasi dalam kurungan, kemudian operasi darab (bahagi), dan kemudian operasi tambah (tolak).
Mari kita lihat beberapa contoh mengubah ungkapan rasional.
Contoh 1
Penyelesaian:
Mari selesaikan contoh ini langkah demi langkah. Tindakan dalam kurungan dilaksanakan terlebih dahulu.
Jawapan:
Contoh 2
Penyelesaian:
Jawapan:
Contoh 3
Penyelesaian:
Jawapan: .
Catatan: Mungkin, apabila anda melihat contoh ini, idea timbul: kurangkan pecahan sebelum mengurangkannya kepada penyebut biasa. Sesungguhnya, ia betul-betul betul: mula-mula adalah dinasihatkan untuk memudahkan ungkapan itu sebanyak mungkin, dan kemudian mengubahnya. Mari cuba selesaikan contoh yang sama ini dengan cara kedua.
Seperti yang anda lihat, jawapannya ternyata sama, tetapi penyelesaiannya ternyata agak mudah.
Dalam pelajaran ini kita melihat ungkapan rasional dan transformasinya, serta beberapa contoh khusus transformasi ini.
Bibliografi
1. Bashmakov M.I. Algebra darjah 8. - M.: Pendidikan, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain. Algebra 8. - 5th ed. - M.: Pendidikan, 2010.
Ungkapan rasional dan pecahan adalah asas bagi keseluruhan kursus algebra. Mereka yang belajar untuk bekerja dengan ungkapan sedemikian, memudahkannya dan memfaktorkannya, pada asasnya akan dapat menyelesaikan sebarang masalah, kerana mengubah ungkapan adalah bahagian penting dalam sebarang persamaan yang serius, ketidaksamaan, atau masalah perkataan.
Dalam tutorial video ini kita akan melihat cara menggunakan formula pendaraban singkatan dengan betul untuk memudahkan ungkapan rasional dan pecahan. Mari belajar melihat formula ini di mana, pada pandangan pertama, tidak ada apa-apa. Pada masa yang sama, kami akan mengulangi teknik mudah seperti memfaktorkan trinomial kuadratik melalui diskriminasi.
Seperti yang anda mungkin sudah meneka dari formula di belakang saya, hari ini kita akan mengkaji formula pendaraban yang disingkatkan, atau, lebih tepat lagi, bukan formula itu sendiri, tetapi penggunaannya untuk memudahkan dan mengurangkan ungkapan rasional yang kompleks. Tetapi, sebelum beralih kepada menyelesaikan contoh, mari kita lihat dengan lebih dekat formula ini atau ingat mereka:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\kiri(a-b \kanan)\kiri(a+b \kanan)$ — perbezaan segi empat sama;
- $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ ialah kuasa dua hasil tambah;
- $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — perbezaan kuasa dua;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\kiri(a+b \kanan)\kiri(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ ialah hasil tambah kubus;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\kiri(a-b \kanan)\kiri(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ ialah beza kubus.
Saya juga ingin ambil perhatian bahawa sistem pendidikan sekolah kita disusun sedemikian rupa sehingga dengan kajian topik ini, i.e. ungkapan rasional, serta akar, modul, semua pelajar mempunyai masalah yang sama, yang sekarang saya akan terangkan.
Hakikatnya ialah pada permulaan mempelajari formula pendaraban yang disingkatkan dan, oleh itu, tindakan untuk mengurangkan pecahan (ini adalah di suatu tempat di gred 8), guru mengatakan sesuatu seperti berikut: "Jika ada sesuatu yang tidak jelas kepada anda, maka jangan ' Jangan risau, kami akan membantu anda.” Kami akan kembali kepada topik ini lebih daripada sekali, di sekolah menengah pastinya. Kami akan meneliti perkara ini kemudian." Jadi, pada giliran 9-10 gred, guru yang sama menerangkan kepada pelajar yang sama yang masih tidak tahu cara menyelesaikan pecahan rasional, seperti ini: "Di manakah anda dua tahun sebelumnya? Ini dipelajari dalam algebra dalam gred 8! Apa yang tidak jelas di sini? Ia sangat jelas!”
Walau bagaimanapun, penjelasan sedemikian tidak memudahkan pelajar biasa: mereka masih mempunyai kekacauan di kepala mereka, jadi sekarang kita akan melihat dua contoh mudah, yang berdasarkannya kita akan melihat bagaimana untuk mengasingkan ungkapan ini dalam masalah sebenar , yang akan membawa kita kepada formula pendaraban yang disingkatkan dan cara menggunakannya kemudian untuk mengubah ungkapan rasional yang kompleks.
Mengurangkan pecahan rasional mudah
Tugasan No 1
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]
Perkara pertama yang perlu kita pelajari ialah mengenal pasti kuasa dua tepat dan kuasa yang lebih tinggi dalam ungkapan asal, yang berdasarkannya kita boleh menggunakan formula. Mari lihat:
Mari kita tulis semula ungkapan kita dengan mengambil kira fakta ini:
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\kiri(3((y)^(2)) \kanan))^(2))-((\kiri(4x) \kanan))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\kiri(3((y)^(2))-4x \kanan)\kiri(3 ((y)^(2))+4x \kanan))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]
Jawapan: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.
Masalah No 2
Mari kita beralih kepada tugas kedua:
\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]
Tiada apa-apa untuk dipermudahkan di sini, kerana pengangka mengandungi pemalar, tetapi saya mencadangkan masalah ini dengan tepat supaya anda belajar cara memfaktorkan polinomial yang mengandungi dua pembolehubah. Jika sebaliknya kita mempunyai polinomial di bawah, bagaimana kita akan mengembangkannya?
\[((x)^(2))+5x-6=\kiri(x-... \kanan)\kiri(x-... \kanan)\]
Mari kita selesaikan persamaan dan cari $x$ yang boleh kita letakkan sebagai ganti titik:
\[((x)^(2))+5x-6=0\]
\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]
\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]
Kita boleh menulis semula trinomial seperti berikut:
\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+6 \kanan)\]
Kami belajar cara bekerja dengan trinomial kuadratik - itulah sebabnya kami perlu merakam pelajaran video ini. Tetapi bagaimana jika, sebagai tambahan kepada $x$ dan pemalar, terdapat juga $y$? Mari kita anggap mereka sebagai satu lagi elemen pekali, i.e. Mari kita tulis semula ungkapan kita seperti berikut:
\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]
\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]
\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]
Mari kita tulis pengembangan pembinaan persegi kita:
\[\kiri(x-y \kanan)\kiri(x+6y \kanan)\]
Jadi, jika kita kembali kepada ungkapan asal dan menulis semula dengan mengambil kira perubahan, kita akan mendapat yang berikut:
\[\frac(8)(\kiri(x-y \kanan)\kiri(x+6y \kanan))\]
Apa yang diberikan oleh rekod sedemikian kepada kita? Tidak ada, kerana ia tidak boleh dikurangkan, ia tidak didarab atau dibahagikan dengan apa-apa. Walau bagaimanapun, sebaik sahaja pecahan ini menjadi sebahagian daripada ungkapan yang lebih kompleks, pengembangan sedemikian akan berguna. Oleh itu, sebaik sahaja anda melihat trinomial kuadratik (tidak kira sama ada ia dibebani dengan parameter tambahan atau tidak), sentiasa cuba memfaktorkannya.
Nuansa penyelesaian
Ingat peraturan asas untuk menukar ungkapan rasional:
- Semua penyebut dan pengangka mesti difaktorkan sama ada melalui rumus pendaraban yang disingkatkan atau melalui diskriminasi.
- Anda perlu bekerja mengikut algoritma berikut: apabila kami melihat dan cuba mengasingkan formula untuk pendaraban singkatan, maka, pertama sekali, kami cuba menukar segala-galanya ke tahap yang paling tinggi. Selepas ini, kami mengambil jumlah darjah daripada kurungan.
- Selalunya anda akan menemui ungkapan dengan parameter: pembolehubah lain akan muncul sebagai pekali. Kami mendapati mereka menggunakan formula pengembangan kuadratik.
Jadi, sebaik sahaja anda melihat pecahan rasional, perkara pertama yang perlu dilakukan ialah memfaktorkan kedua-dua pengangka dan penyebut ke dalam ungkapan linear, menggunakan rumus pendaraban atau diskriminasi yang disingkatkan.
Mari kita lihat beberapa ungkapan rasional ini dan cuba faktorkannya.
Menyelesaikan contoh yang lebih kompleks
Tugasan No 1
\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]
Kami menulis semula dan cuba menguraikan setiap istilah:
Mari kita tulis semula keseluruhan ungkapan rasional kita dengan mengambil kira fakta ini:
\[\frac(((\kiri(2x \kanan)))^(2))-2x\cdot 3y+((\kiri(3y \kanan))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\kiri(3y \kanan))^(2))-((\kiri(2x \kanan))^(2)))(((\kiri(2x \kanan))^(3))+ ((\kiri(3y \kanan))^(3)))=\]
\[=\frac(((\kiri(2x \kanan)))^(2))-2x\cdot 3y+((\kiri(3y \kanan))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\kiri(3y-2x \kanan)\kiri(3y+2x \kanan))(\kiri(2x+3y \kanan)\kiri(((\kiri(2x \kanan)))^(2))- 2x\cdot 3y+((\kiri(3y \kanan))^(2)) \kanan))=-1\]
Jawapan: $-1$.
Masalah No 2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
Mari kita lihat semua pecahan.
\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\kiri(x-2 \kanan))^(2))\]
Mari kita tulis semula keseluruhan struktur dengan mengambil kira perubahan:
\[\frac(3\kiri(1-2x \kanan))(2\kiri(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))\cdot \frac( 2x+1)(((\kiri(x-2 \kanan))^(2)))\cdot \frac(\kiri(2-x \kanan)\kiri(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \kanan))(\kiri(2x-1 \kanan)\kiri(2x+1 \kanan))=\]
\[=\frac(3\cdot \kiri(-1 \kanan))(2\cdot \kiri(x-2 \kanan)\cdot \kiri(-1 \kanan))=\frac(3)(2 \kiri(x-2 \kanan))\]
Jawapan: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.
Nuansa penyelesaian
Jadi apa yang baru kami pelajari:
- Bukan setiap trinomial segi empat sama boleh difaktorkan, khususnya, ini terpakai kepada kuasa dua tidak lengkap jumlah atau perbezaan, yang sering dijumpai sebagai bahagian jumlah atau kiub perbezaan.
- Pemalar, i.e. nombor biasa yang tidak mempunyai pembolehubah juga boleh bertindak sebagai elemen aktif dalam proses pengembangan. Pertama, ia boleh dikeluarkan dari kurungan, dan kedua, pemalar itu sendiri boleh diwakili dalam bentuk kuasa.
- Selalunya, selepas memfaktorkan semua elemen, pembinaan bertentangan timbul. Pecahan ini mesti dikurangkan dengan sangat berhati-hati, kerana apabila memotongnya sama ada di atas atau di bawah, faktor tambahan $-1$ muncul - ini adalah akibat daripada fakta bahawa ia adalah bertentangan.
Menyelesaikan masalah yang kompleks
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
Mari kita pertimbangkan setiap istilah secara berasingan.
pecahan pertama:
\[((\kiri(3a \kanan))^(3))-((\kiri(4b \kanan))^(3))=\kiri(3a-4b \kanan)\kiri(((\kiri (3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kiri(4b \kanan))^(2)) \kanan)\]
\[((b)^(2))-((2)^(2))=\kiri(b-2 \kanan)\kiri(b+2 \kanan)\]
Kita boleh menulis semula keseluruhan pengangka bagi pecahan kedua seperti berikut:
\[((\kiri(3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kiri(4b \kanan))^(2))\]
Sekarang mari kita lihat penyebutnya:
\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\kiri(b+2 \kanan ))^(2))\]
Mari kita tulis semula keseluruhan ungkapan rasional dengan mengambil kira fakta di atas:
\[\frac(\kiri(3a-4b \kanan)\kiri(((\kiri(3a \kanan)))^(2))+3a\cdot 4b+((\kiri(4b \kanan))^(2 )) \kanan))(\kiri(b-2 \kanan)\kiri(b+2 \kanan))\cdot \frac(((\kiri(b+2 \kanan))^(2)))( ((\kiri(3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kiri(4b \kanan))^(2)))=\]
\[=\frac(\kiri(3a-4b \kanan)\kiri(b+2 \kanan))(\kiri(b-2 \kanan))\]
Jawapan: $\frac(\kiri(3a-4b \kanan)\kiri(b+2 \kanan))(\kiri(b-2 \kanan))$.
Nuansa penyelesaian
Seperti yang telah kita lihat sekali lagi, kuasa dua tidak lengkap jumlah atau kuasa dua tidak lengkap perbezaan, yang sering dijumpai dalam ungkapan rasional sebenar, bagaimanapun, jangan takut kepada mereka, kerana selepas mengubah setiap elemen mereka hampir selalu dibatalkan. Di samping itu, anda tidak perlu takut dengan pembinaan besar dalam jawapan akhir - agak mungkin ini bukan kesilapan anda (terutamanya jika semuanya difaktorkan), tetapi penulis bermaksud jawapan sedemikian.
Sebagai kesimpulan, saya ingin melihat satu lagi contoh kompleks, yang tidak lagi berkaitan secara langsung dengan pecahan rasional, tetapi ia mengandungi segala-galanya yang menanti anda pada ujian dan peperiksaan sebenar, iaitu: pemfaktoran, pengurangan kepada penyebut biasa, pengurangan istilah yang serupa. Inilah yang akan kita lakukan sekarang.
Menyelesaikan masalah kompleks untuk memudahkan dan mengubah ungkapan rasional
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \kanan)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]
Mula-mula, mari kita lihat dan buka kurungan pertama: di dalamnya kita melihat tiga pecahan berasingan dengan penyebut yang berbeza, jadi perkara pertama yang perlu kita lakukan ialah membawa ketiga-tiga pecahan kepada penyebut yang sama, dan untuk melakukan ini, setiap pecahan hendaklah difaktorkan:
\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]
\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan)\]
Mari kita tulis semula keseluruhan pembinaan kita seperti berikut:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\kiri(x-2 \kanan)+((x)^(3))+8-\kiri(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \kanan))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\kiri(x-2) \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))=\]
\[=\frac(((\kiri(x-2 \kanan)))^(2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \kanan))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Ini adalah hasil pengiraan dari kurungan pertama.
Mari kita berurusan dengan kurungan kedua:
\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \ betul)\]
Mari kita tulis semula kurungan kedua dengan mengambil kira perubahan:
\[\frac(((x)^(2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\kiri(x+2 \kanan))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))\]
Sekarang mari kita tuliskan keseluruhan pembinaan asal:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]
Jawapan: $\frac(1)(x+2)$.
Nuansa penyelesaian
Seperti yang anda lihat, jawapannya ternyata agak munasabah. Walau bagaimanapun, sila ambil perhatian: selalunya semasa pengiraan berskala besar sedemikian, apabila satu-satunya pembolehubah muncul hanya dalam penyebut, pelajar lupa bahawa ini ialah penyebut dan ia sepatutnya berada di bahagian bawah pecahan dan tulis ungkapan ini dalam pengangka - ini adalah satu kesilapan besar.
Di samping itu, saya ingin menarik perhatian khusus anda tentang bagaimana tugasan tersebut diformalkan. Dalam mana-mana pengiraan yang rumit, semua langkah dilakukan satu demi satu: pertama kita mengira kurungan pertama secara berasingan, kemudian yang kedua secara berasingan, dan hanya pada akhirnya kita menggabungkan semua bahagian dan mengira hasilnya. Dengan cara ini, kami menginsuranskan diri kami terhadap kesilapan bodoh, berhati-hati menulis semua pengiraan dan pada masa yang sama tidak membuang masa tambahan, kerana ia mungkin kelihatan pada pandangan pertama.
Artikel itu membincangkan tentang transformasi ungkapan rasional. Mari kita pertimbangkan jenis ungkapan rasional, transformasinya, pengelompokan dan pendakapan faktor sepunya. Mari belajar mewakili ungkapan rasional pecahan dalam bentuk pecahan rasional.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Definisi dan contoh ungkapan rasional
Definisi 1Ungkapan yang terdiri daripada nombor, pembolehubah, kurungan, kuasa dengan operasi tambah, tolak, darab, bahagi dengan kehadiran garis pecahan dipanggil. ungkapan rasional.
Sebagai contoh, kita mempunyai 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
Iaitu, ini adalah ungkapan yang tidak dibahagikan kepada ungkapan dengan pembolehubah. Kajian tentang ungkapan rasional bermula pada gred 8, di mana ia dipanggil ungkapan rasional pecahan Perhatian khusus diberikan kepada pecahan dalam pengangka, yang diubah menggunakan peraturan transformasi.
Ini membolehkan kita meneruskan kepada transformasi pecahan rasional bentuk arbitrari. Ungkapan sedemikian boleh dianggap sebagai ungkapan dengan kehadiran pecahan rasional dan ungkapan integer dengan tanda tindakan.
Jenis utama transformasi ungkapan rasional
Ungkapan rasional digunakan untuk melakukan transformasi yang sama, pengelompokan, membawa yang serupa, dan melakukan operasi lain dengan nombor. Tujuan ungkapan sedemikian adalah penyederhanaan.
Contoh 1
Ubah ungkapan rasional 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Penyelesaian
Dapat dilihat bahawa ungkapan rasional tersebut ialah perbezaan antara 3 x x y - 1 dan 2 x x y - 1. Kami perhatikan bahawa penyebut mereka adalah sama. Ini bermakna pengurangan istilah yang serupa akan berlaku
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
Jawapan: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Contoh 2
Tukarkan 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .
Penyelesaian
Pada mulanya, kami melakukan tindakan dalam kurungan 3 · x − x = 2 · x. Kami mewakili ungkapan ini dalam bentuk 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Kami tiba pada ungkapan yang mengandungi operasi dengan satu langkah, iaitu, ia mempunyai penambahan dan penolakan.
Kami menyingkirkan tanda kurung dengan menggunakan harta bahagian. Kemudian kita mendapat bahawa 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.
Kami mengumpulkan faktor berangka dengan pembolehubah x, selepas itu kami boleh melakukan operasi dengan kuasa. Kami dapat itu
2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4
Jawapan: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.
Contoh 3
Ubah ungkapan bentuk x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Penyelesaian
Pertama, kita menukar pengangka dan penyebut. Kemudian kita mendapat ungkapan bentuk (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2, dan tindakan dalam kurungan dilakukan terlebih dahulu. Dalam pengangka, operasi dilakukan dan faktor dikumpulkan. Kemudian kita mendapat ungkapan bentuk x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .
Kami menukar perbezaan formula kuasa dua dalam pengangka, kemudian kami mendapatnya
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
Jawab: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Perwakilan pecahan rasional
Pecahan algebra paling kerap dipermudahkan apabila diselesaikan. Setiap rasional dibawa ke ini dengan cara yang berbeza. Ia adalah perlu untuk melaksanakan semua operasi yang diperlukan dengan polinomial supaya ungkapan rasional akhirnya boleh memberikan pecahan rasional.
Contoh 4
Hadirkan sebagai pecahan rasional a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.
Penyelesaian
Ungkapan ini boleh diwakili sebagai 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Pendaraban dilakukan terutamanya mengikut peraturan.
Kita harus mulakan dengan pendaraban, kemudian kita dapat itu
a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a
Kami membentangkan hasil yang diperoleh dengan yang asal. Kami dapat itu
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Sekarang mari kita lakukan penolakan:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9
Selepas itu jelas bahawa ungkapan asal akan mengambil bentuk 16 a 2 - 9.
Jawapan: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Contoh 5
Ungkapkan x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x sebagai pecahan rasional.
Penyelesaian
Ungkapan yang diberikan ditulis sebagai pecahan, pengangkanya mempunyai x x + 1 + 1, dan penyebutnya 2 x - 1 1 + x. Ia adalah perlu untuk membuat transformasi x x + 1 + 1 . Untuk melakukan ini, anda perlu menambah pecahan dan nombor. Kami mendapat bahawa x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1
Ia berikutan bahawa x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
Pecahan yang terhasil boleh ditulis sebagai 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.
Selepas pembahagian kita tiba pada pecahan rasional bentuk
2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
Anda boleh menyelesaikannya secara berbeza.
Daripada membahagi dengan 2 x - 1 1 + x, kita darabkan dengan songsangnya 1 + x 2 x - 1. Marilah kita gunakan harta pengedaran dan dapatkannya
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
Jawapan: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter