Nilai min kuasa dua min dan punca dibentangkan. Pecahan semula jadi dan perpuluhan

Purata kuasa dua bagi dua nombor bukan negatif a, b ialah nombor bukan negatif yang kuasa duanya ialah min aritmetik bagi kuasa dua nombor a dan b, iaitu nombor

Masalah 351. Definisi berkenaan dengan min aritmetik. Apakah yang berlaku jika anda menggantikannya dengan min geometri?

Masalah 352. Buktikan bahawa min kuasa dua dua nombor lebih besar daripada atau sama dengan min aritmetiknya:

(Sebagai contoh, min kuasa dua bagi nombor 0 dan a adalah sama dengan , dan min aritmetik adalah sama dengan )

Penyelesaian. Mari kita bandingkan petak dan buktikan itu

Darab dengan 4 dan buka kurungan

Sekali lagi bahagian kiri ialah segi empat sama dan oleh itu bukan negatif.

Masalah 353. Untuk apakah a dan b ialah min kuasa dua sama dengan min aritmetik?

Masalah 354. Buktikan bahawa min geometri tidak melebihi min kuadratik.

Ilustrasi geometri ditunjukkan dalam Rajah. 31. Mari kita lukis graf. Mari sambungkan titik dengan koordinat yang terletak di atasnya dengan segmen. Bahagian tengah segmen ini akan mempunyai koordinat yang merupakan min aritmetik bagi koordinat hujung, i.e.

Di bawahnya pada graf adalah satu titik

Oleh itu, ketaksamaan tentang min aritmetik dan min kuasa dua bermakna graf adalah cembung ke bawah (lengkung terletak di bawah kord.

Masalah 355. Dengan menukar paksi x dan y, daripada graf kita memperoleh graf fungsi, yang terletak di atas mana-mana kordnya (lihat Rajah 32). Apakah ketidaksamaan ini sepadan?

Kita kini tahu bahawa untuk mana-mana a dan b bukan negatif

Bagi setiap tiga jenis purata ini, kita akan menarik mata (a, b), yang mana puratanya tidak melebihi 1 (lihat Rajah 33 a-c).

Menggabungkan mereka dalam satu angka (Rajah 34), kita melihat bahawa semakin besar purata, semakin kecil kawasan yang sepadan.

Masalah 356. Buktikan ketaksamaan tentang min aritmetik dan min kuasa dua bagi tiga nombor:

Masalah 357. (a) Jumlah dua nombor positif ialah 2. Berapakah nilai minimum hasil tambah kuasa duanya?

(b) Soalan yang sama untuk jumlah kuasa dua bagi tiga nombor positif yang jumlahnya ialah 3.

Ditakrifkan sebagai ciri umum saiz variasi sifat dalam agregat. Ia sama dengan punca kuasa dua sisihan kuasa dua purata nilai individu atribut daripada min aritmetik, i.e. Akar dan boleh didapati seperti ini:

1. Untuk baris utama:

2. Untuk siri variasi:

Transformasi formula sisihan piawai membawanya kepada bentuk yang lebih mudah untuk pengiraan praktikal:

Sisihan piawai menentukan berapa banyak secara purata pilihan tertentu menyimpang daripada nilai puratanya, dan juga merupakan ukuran mutlak kebolehubahan sesuatu ciri dan dinyatakan dalam unit yang sama dengan pilihan, dan oleh itu ditafsirkan dengan baik.

Contoh mencari sisihan piawai: ,

Untuk ciri alternatif, formula sisihan piawai kelihatan seperti ini:

di mana p ialah bahagian unit dalam populasi yang mempunyai ciri tertentu;

q ialah bahagian unit yang tidak mempunyai ciri ini.

Konsep sisihan linear purata

Sisihan linear purata ditakrifkan sebagai min aritmetik bagi nilai mutlak sisihan pilihan individu daripada .

1. Untuk baris utama:

2. Untuk siri variasi:

di mana jumlah n adalah jumlah frekuensi siri variasi.

Contoh mencari sisihan linear purata:

Kelebihan sisihan mutlak min sebagai ukuran serakan ke atas julat variasi adalah jelas, kerana ukuran ini berdasarkan mengambil kira semua sisihan yang mungkin. Tetapi penunjuk ini mempunyai kelemahan yang ketara. Penolakan sewenang-wenangnya tanda-tanda sisihan algebra boleh membawa kepada fakta bahawa sifat matematik penunjuk ini jauh dari asas. Ini menjadikannya sangat sukar untuk menggunakan sisihan mutlak min apabila menyelesaikan masalah yang melibatkan pengiraan kebarangkalian.

Oleh itu, sisihan linear purata sebagai ukuran variasi ciri jarang digunakan dalam amalan statistik, iaitu apabila merumuskan penunjuk tanpa mengambil kira tanda yang masuk akal ekonomi. Dengan bantuannya, sebagai contoh, perolehan perdagangan asing, komposisi pekerja, irama pengeluaran, dan lain-lain dianalisis.

Min segi empat sama

Purata segi empat sama digunakan, sebagai contoh, untuk mengira saiz purata sisi n bahagian persegi, diameter purata batang, paip, dll. Ia dibahagikan kepada dua jenis.

Kuasa dua min ringkas. Jika, apabila menggantikan nilai individu ciri dengan nilai purata, adalah perlu untuk mengekalkan jumlah kuasa dua nilai asal tidak berubah, maka purata akan menjadi nilai purata kuadratik.

Ia adalah punca kuasa dua hasil bagi membahagikan jumlah kuasa dua nilai atribut individu dengan nombor mereka:

Purata purata berwajaran dikira menggunakan formula:

di mana f ialah tanda berat.

Purata kubik

Purata kubik terpakai, sebagai contoh, apabila menentukan purata panjang sisi dan kubus. Ia terbahagi kepada dua jenis.
Purata kubik ringkas:

Apabila mengira nilai purata dan serakan dalam siri taburan selang, nilai sebenar atribut digantikan dengan nilai pusat selang, yang berbeza daripada min aritmetik bagi nilai yang disertakan dalam selang. Ini membawa kepada ralat sistematik semasa mengira varians. V.F. Sheppard menentukannya ralat dalam pengiraan varians, disebabkan oleh penggunaan data terkumpul, ialah 1/12 kuasa dua selang dalam kedua-dua arah ke atas dan ke bawah bagi varians.

Pindaan Sheppard harus digunakan jika taburan hampir kepada normal, berkaitan dengan ciri dengan sifat variasi berterusan, dan berdasarkan jumlah data awal yang ketara (n > 500). Walau bagaimanapun, berdasarkan fakta bahawa dalam beberapa kes kedua-dua kesilapan, bertindak dalam arah yang berbeza, mengimbangi satu sama lain, kadang-kadang mungkin untuk menolak untuk memperkenalkan pembetulan.

Lebih kecil varians dan sisihan piawai, lebih homogen populasi dan lebih tipikal puratanya.
Dalam amalan statistik, selalunya terdapat keperluan untuk membandingkan variasi pelbagai ciri. Sebagai contoh, adalah sangat menarik untuk membandingkan variasi dalam umur pekerja dan kelayakan mereka, tempoh perkhidmatan dan gaji, kos dan keuntungan, tempoh perkhidmatan dan produktiviti buruh, dsb. Untuk perbandingan sedemikian, penunjuk kebolehubahan mutlak ciri adalah tidak sesuai: adalah mustahil untuk membandingkan kebolehubahan pengalaman kerja, dinyatakan dalam tahun, dengan variasi upah, dinyatakan dalam rubel.

Untuk menjalankan perbandingan sedemikian, serta perbandingan kebolehubahan ciri yang sama dalam beberapa populasi dengan purata aritmetik yang berbeza, penunjuk relatif variasi digunakan - pekali variasi.

Purata struktur

Untuk mencirikan kecenderungan memusat dalam taburan statistik, selalunya rasional untuk digunakan, bersama-sama dengan min aritmetik, nilai tertentu bagi ciri X, yang, disebabkan ciri tertentu lokasinya dalam siri pengedaran, boleh mencirikan tahapnya.

Ini amat penting apabila dalam siri pengedaran nilai ekstrem sesuatu ciri mempunyai sempadan yang tidak jelas. Dalam hal ini, penentuan tepat bagi min aritmetik biasanya mustahil atau sangat sukar. Dalam kes sedemikian, tahap purata boleh ditentukan dengan mengambil, sebagai contoh, nilai ciri yang terletak di tengah-tengah siri frekuensi atau yang paling kerap berlaku dalam siri semasa.

Nilai sedemikian hanya bergantung pada sifat frekuensi, iaitu, pada struktur taburan. Mereka adalah tipikal di lokasi dalam satu siri frekuensi, oleh itu nilai tersebut dianggap sebagai ciri pusat pengedaran dan oleh itu menerima takrifan purata struktur. Ia digunakan untuk mengkaji struktur dalaman dan struktur siri pengedaran nilai atribut. Penunjuk sedemikian termasuk:

Ciri variasi yang paling sempurna ialah sisihan kuasa dua min, yang dipanggil piawai (atau sisihan piawai). Sisihan piawai() adalah sama dengan punca kuasa dua sisihan kuasa dua purata bagi nilai individu atribut daripada min aritmetik:

Sisihan piawai adalah mudah:

Sisihan piawai berwajaran digunakan pada data terkumpul:

Antara punca purata kuasa dua dan min sisihan linear dalam keadaan taburan normal nisbah berikut berlaku: ~ 1.25.

Sisihan piawai, sebagai ukuran mutlak utama variasi, digunakan dalam menentukan nilai ordinat lengkung taburan normal, dalam pengiraan yang berkaitan dengan organisasi pemerhatian sampel dan mewujudkan ketepatan ciri sampel, serta dalam menilai had variasi ciri dalam populasi homogen.

Penyerakan, jenisnya, sisihan piawai.

Varians pembolehubah rawak— ukuran sebaran pembolehubah rawak yang diberikan, iaitu sisihan daripada jangkaan matematik. Dalam statistik, notasi atau sering digunakan. Punca kuasa dua varians dipanggil sisihan piawai, sisihan piawai, atau sebaran piawai.

Jumlah varians (σ 2) mengukur variasi sifat secara keseluruhannya di bawah pengaruh semua faktor yang menyebabkan variasi ini. Pada masa yang sama, terima kasih kepada kaedah pengelompokan, adalah mungkin untuk mengenal pasti dan mengukur variasi disebabkan oleh ciri kumpulan dan variasi yang timbul di bawah pengaruh faktor yang tidak diambil kira.

Varians antara kumpulan (σ 2 m.gr) mencirikan variasi sistematik, iaitu perbezaan nilai ciri yang dikaji yang timbul di bawah pengaruh ciri - faktor yang membentuk asas kumpulan.

Sisihan piawai(sinonim: sisihan piawai, sisihan piawai, sisihan segi empat sama; istilah berkaitan: sisihan piawai, sebaran piawai) - dalam teori dan statistik kebarangkalian, penunjuk paling biasa bagi serakan nilai pembolehubah rawak berbanding jangkaan matematiknya. Dengan tatasusunan sampel nilai yang terhad, bukannya jangkaan matematik, min aritmetik bagi set sampel digunakan.

Sisihan piawai diukur dalam unit pembolehubah rawak itu sendiri dan digunakan apabila mengira ralat piawai min aritmetik, semasa membina selang keyakinan, apabila menguji hipotesis secara statistik, apabila mengukur hubungan linear antara pembolehubah rawak. Ditakrifkan sebagai punca kuasa dua bagi varians pembolehubah rawak.

Sisihan piawai:

Sisihan piawai(anggaran sisihan piawai pembolehubah rawak x relatif kepada jangkaan matematiknya berdasarkan anggaran tidak berat sebelah variansnya):

di manakah penyebaran; — i elemen pilihan ke-; - saiz sampel; — min aritmetik sampel:

Perlu diingatkan bahawa kedua-dua anggaran adalah berat sebelah. Dalam kes umum, adalah mustahil untuk membina anggaran yang tidak berat sebelah. Walau bagaimanapun, anggaran berdasarkan anggaran varians tidak berat sebelah adalah konsisten.

Intipati, skop dan prosedur untuk menentukan mod dan median.

Sebagai tambahan kepada purata kuasa dalam statistik, untuk pencirian relatif nilai ciri yang berbeza-beza dan struktur dalaman siri pengedaran, purata struktur digunakan, yang diwakili terutamanya oleh fesyen dan median.

Fesyen- Ini ialah varian yang paling biasa bagi siri ini. Fesyen digunakan, contohnya, dalam menentukan saiz pakaian dan kasut yang paling diminati dalam kalangan pelanggan. Mod untuk siri diskret ialah mod yang mempunyai kekerapan tertinggi. Apabila mengira mod untuk siri variasi selang, anda mesti terlebih dahulu menentukan selang modal (berdasarkan kekerapan maksimum), dan kemudian nilai nilai modal atribut menggunakan formula:

- - nilai fesyen

- — had bawah selang modal

- — nilai selang

- — kekerapan selang modal

- — kekerapan selang sebelum modal

- — kekerapan selang mengikut modal

Median - ini ialah nilai atribut yang mendasari siri kedudukan dan membahagikan siri ini kepada dua bahagian yang sama.

Untuk menentukan median dalam siri diskret dengan kehadiran frekuensi, mula-mula hitung separuh jumlah frekuensi dan kemudian tentukan nilai varian yang jatuh padanya. (Jika siri yang diisih mengandungi bilangan ciri ganjil, maka nombor median dikira menggunakan formula:

M e = (n (jumlah ciri dalam jumlah) + 1)/2,

dalam kes bilangan ciri genap, median akan sama dengan purata dua ciri di tengah baris).

Apabila mengira median untuk siri variasi selang, mula-mula tentukan selang median di mana median terletak, dan kemudian tentukan nilai median menggunakan formula:

- — median yang diperlukan

- - had bawah selang yang mengandungi median

- — nilai selang

- — jumlah frekuensi atau bilangan sebutan siri

Jumlah kekerapan terkumpul selang sebelum median

- — kekerapan selang median

Contoh. Cari mod dan median.

Penyelesaian:
Dalam contoh ini, selang modal adalah dalam kumpulan umur 25-30 tahun, kerana selang ini mempunyai kekerapan tertinggi (1054).

Mari kita hitung magnitud mod:

Ini bermakna umur mod pelajar ialah 27 tahun.

Mari kita mengira median. Selang median adalah dalam kumpulan umur 25-30 tahun, kerana dalam selang ini terdapat pilihan yang membahagikan populasi kepada dua bahagian yang sama (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Seterusnya, kami menggantikan data berangka yang diperlukan ke dalam formula dan mendapatkan nilai median:

Ini bermakna separuh daripada pelajar berumur di bawah 27.4 tahun, dan separuh lagi berumur lebih daripada 27.4 tahun.

Sebagai tambahan kepada mod dan median, penunjuk seperti kuartil boleh digunakan, membahagikan siri kedudukan kepada 4 bahagian yang sama, desil- 10 bahagian dan persentil - setiap 100 bahagian.

Konsep pemerhatian terpilih dan skopnya.

Pemerhatian terpilih terpakai apabila penggunaan pengawasan berterusan mustahil secara fizikal disebabkan oleh sejumlah besar data atau tidak boleh dilaksanakan secara ekonomi. Ketidakmungkinan fizikal berlaku, contohnya, apabila mengkaji aliran penumpang, harga pasaran dan belanjawan keluarga. Ketidakupayaan ekonomi berlaku apabila menilai kualiti barangan yang berkaitan dengan kemusnahannya, contohnya, mengecap, menguji kekuatan batu bata, dsb.

Unit statistik yang dipilih untuk pemerhatian membentuk bingkai persampelan atau sampel, dan keseluruhan tatasusunan mereka membentuk populasi umum (GS). Dalam kes ini, bilangan unit dalam sampel dilambangkan dengan n, dan dalam keseluruhan HS - N. Sikap n/N dipanggil saiz relatif atau bahagian sampel.

Kualiti hasil pemerhatian sampel bergantung kepada keterwakilan sampel, iaitu, sejauh mana perwakilannya dalam HS. Untuk memastikan keterwakilan sampel, adalah perlu untuk mematuhi prinsip pemilihan unit secara rawak, yang menganggap bahawa kemasukan unit HS dalam sampel tidak boleh dipengaruhi oleh sebarang faktor selain daripada peluang.

wujud 4 cara pemilihan rawak untuk sampel:

Sebenarnya rawak pemilihan atau "kaedah lotto", apabila kuantiti statistik diberikan nombor siri, direkodkan pada objek tertentu (contohnya, tong), yang kemudiannya dicampur dalam beberapa bekas (contohnya, dalam beg) dan dipilih secara rawak. Dalam amalan, kaedah ini dijalankan menggunakan penjana nombor rawak atau jadual matematik nombor rawak.
mekanikal pemilihan mengikut mana setiap ( N/n)-nilai populasi umum. Sebagai contoh, jika ia mengandungi 100,000 nilai, dan anda perlu memilih 1,000, maka setiap 100,000 / 1000 = nilai ke-100 akan dimasukkan ke dalam sampel. Lebih-lebih lagi, jika mereka tidak disenaraikan, maka yang pertama dipilih secara rawak daripada seratus pertama, dan bilangan yang lain akan menjadi seratus lebih tinggi. Sebagai contoh, jika unit pertama ialah No. 19, maka yang seterusnya hendaklah No. 119, kemudian No. 219, kemudian No. 319, dsb. Jika unit populasi diberi kedudukan, maka No. 50 dipilih dahulu, kemudian No. 150, kemudian No. 250, dan seterusnya.
Pemilihan nilai daripada tatasusunan data heterogen dijalankan berstrata(berstrata), apabila populasi mula-mula dibahagikan kepada kumpulan homogen yang mana pemilihan rawak atau mekanikal digunakan.
Kaedah persampelan khas ialah bersiri pemilihan, di mana mereka secara rawak atau mekanikal memilih bukan nilai individu, tetapi siri mereka (jujukan dari beberapa nombor ke beberapa nombor berturut-turut), di mana pemerhatian berterusan dijalankan.

Kualiti pemerhatian sampel juga bergantung kepada jenis sampel: berulang atau tidak boleh berulang.

Pada pemilihan semula Nilai statistik atau siri mereka yang dimasukkan ke dalam sampel dikembalikan kepada populasi umum selepas digunakan, mempunyai peluang untuk dimasukkan ke dalam sampel baharu. Selain itu, semua nilai dalam populasi mempunyai kebarangkalian yang sama untuk dimasukkan dalam sampel.

Pemilihan tidak berulang bermakna bahawa nilai statistik atau siri mereka yang termasuk dalam sampel tidak kembali kepada populasi umum selepas digunakan, dan oleh itu untuk nilai baki yang terakhir kebarangkalian untuk dimasukkan ke dalam sampel seterusnya meningkat.

Persampelan tidak berulang memberikan hasil yang lebih tepat, jadi ia digunakan lebih kerap. Tetapi terdapat situasi apabila ia tidak boleh digunakan (mengkaji aliran penumpang, permintaan pengguna, dll.) dan kemudian pemilihan berulang dijalankan.

Ralat pensampelan pemerhatian maksimum, ralat pensampelan purata, prosedur untuk pengiraannya.

Mari kita pertimbangkan secara terperinci kaedah membentuk populasi sampel yang disenaraikan di atas dan ralat yang timbul apabila berbuat demikian. keterwakilan .
Rambang betul persampelan adalah berdasarkan pemilihan unit daripada populasi secara rawak tanpa sebarang unsur sistematik. Secara teknikal, pemilihan rawak sebenar dijalankan dengan membuat undian (contohnya, loteri) atau menggunakan jadual nombor rawak.

Pemilihan rawak yang betul "dalam bentuk tulennya" jarang digunakan dalam amalan pemerhatian terpilih, tetapi ia adalah asal antara jenis pemilihan lain, ia melaksanakan prinsip asas pemerhatian terpilih. Mari kita pertimbangkan beberapa soalan tentang teori kaedah persampelan dan formula ralat untuk sampel rawak mudah.

Bias pensampelan ialah perbezaan antara nilai parameter dalam populasi umum dan nilainya yang dikira daripada hasil pemerhatian sampel. Untuk ciri kuantitatif purata, ralat pensampelan ditentukan oleh

Penunjuk dipanggil ralat pensampelan marginal.
Min sampel ialah pembolehubah rawak yang boleh mengambil nilai yang berbeza bergantung pada unit mana yang dimasukkan ke dalam sampel. Oleh itu, ralat pensampelan juga merupakan pembolehubah rawak dan boleh mengambil nilai yang berbeza. Oleh itu, purata kesilapan yang mungkin ditentukan - ralat pensampelan purata, yang bergantung kepada:

Saiz sampel: semakin besar bilangannya, semakin kecil ralat purata;

Tahap perubahan dalam ciri yang sedang dikaji: semakin kecil variasi ciri, dan, akibatnya, serakan, semakin kecil ralat pensampelan purata.

Pada pemilihan semula rawak ralat purata dikira:
.
Dalam amalan, varians am tidak diketahui dengan tepat, tetapi dalam teori kebarangkalian itu telah terbukti
.
Oleh kerana nilai untuk n yang cukup besar adalah hampir kepada 1, kita boleh mengandaikan bahawa . Kemudian ralat pensampelan purata boleh dikira:
.
Tetapi dalam kes sampel kecil (dengan n<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

Pada persampelan rawak tidak berulang formula yang diberikan diselaraskan dengan nilai . Kemudian purata ralat pensampelan tidak berulang ialah:
Dan .
Kerana sentiasa kurang, maka pengganda () sentiasa kurang daripada 1. Ini bermakna ralat purata semasa pemilihan tidak berulang sentiasa kurang daripada semasa pemilihan berulang.
Persampelan mekanikal digunakan apabila populasi umum disusun dalam beberapa cara (contohnya, senarai pemilih mengikut abjad, nombor telefon, nombor rumah, nombor pangsapuri). Pemilihan unit dijalankan pada selang waktu tertentu, yang sama dengan songsangan peratusan pensampelan. Jadi, dengan sampel 2%, setiap 50 unit = 1/0.02 dipilih, dengan sampel 5%, setiap 1/0.05 = 20 unit populasi umum.

Titik rujukan dipilih dengan cara yang berbeza: secara rawak, dari tengah selang, dengan perubahan dalam titik rujukan. Perkara utama adalah untuk mengelakkan ralat sistematik. Sebagai contoh, dengan sampel 5%, jika ke-13 dipilih sebagai unit pertama, maka yang seterusnya ialah 33, 53, 73, dsb.

Dari segi ketepatan, pemilihan mekanikal adalah hampir dengan persampelan rawak sebenar. Oleh itu, untuk menentukan ralat purata persampelan mekanikal, formula pemilihan rawak yang betul digunakan.

Pada pemilihan tipikal populasi yang dikaji terlebih dahulu dibahagikan kepada kumpulan yang homogen dan serupa. Sebagai contoh, apabila meninjau perusahaan, ini boleh menjadi industri, subsektor apabila mengkaji populasi, ini boleh menjadi wilayah, sosial atau kumpulan umur. Kemudian pemilihan bebas daripada setiap kumpulan dibuat secara mekanikal atau rawak semata-mata.

Persampelan biasa menghasilkan keputusan yang lebih tepat daripada kaedah lain. Menaip populasi umum memastikan setiap kumpulan tipologi diwakili dalam sampel, yang menghapuskan pengaruh varians antara kumpulan pada ralat pensampelan purata. Akibatnya, apabila mencari ralat sampel biasa mengikut peraturan menambah varians (), adalah perlu untuk mengambil kira purata varians kumpulan sahaja. Kemudian ralat pensampelan purata ialah:
selepas pemilihan semula
,
dengan pemilihan tidak berulang
,
di mana - purata varians dalam kumpulan dalam sampel.

Pemilihan bersiri (atau sarang). digunakan apabila populasi dibahagikan kepada siri atau kumpulan sebelum permulaan tinjauan sampel. Siri ini boleh menjadi pembungkusan produk siap, kumpulan pelajar, pasukan. Siri untuk peperiksaan dipilih secara mekanikal atau rawak semata-mata, dan dalam siri pemeriksaan berterusan unit dijalankan. Oleh itu, ralat pensampelan purata hanya bergantung pada varians antara kumpulan (interseri), yang dikira dengan formula:

di mana r ialah bilangan siri yang dipilih;
- purata siri ke-i.

Ralat pensampelan bersiri purata dikira:

selepas pemilihan semula:
,
dengan pemilihan tidak berulang:
,
di mana R ialah jumlah bilangan episod.

digabungkan pemilihan adalah gabungan kaedah pemilihan yang dipertimbangkan.

Ralat persampelan purata untuk mana-mana kaedah persampelan bergantung terutamanya pada saiz mutlak sampel dan, pada tahap yang lebih rendah, pada peratusan sampel. Mari kita andaikan bahawa 225 pemerhatian dibuat dalam kes pertama daripada populasi 4,500 unit dan dalam kedua daripada populasi 225,000 unit. Varians dalam kedua-dua kes adalah sama dengan 25. Kemudian dalam kes pertama, dengan pemilihan 5%, ralat pensampelan ialah:

Dalam kes kedua, dengan pemilihan 0.1%, ia akan sama dengan:

Justeru, dengan penurunan peratusan pensampelan sebanyak 50 kali, ralat pensampelan meningkat sedikit, kerana saiz sampel tidak berubah.
Mari kita andaikan bahawa saiz sampel ditambah kepada 625 cerapan. Dalam kes ini, ralat pensampelan ialah:

Menambahkan sampel sebanyak 2.8 kali dengan saiz populasi yang sama mengurangkan saiz ralat pensampelan sebanyak lebih daripada 1.6 kali.

Kaedah dan teknik untuk membentuk populasi sampel.

Dalam statistik, pelbagai kaedah membentuk populasi sampel digunakan, yang ditentukan oleh objektif kajian dan bergantung kepada spesifik objek kajian.

Syarat utama untuk menjalankan tinjauan sampel adalah untuk mengelakkan berlakunya ralat sistematik yang timbul daripada pelanggaran prinsip peluang sama rata bagi setiap unit populasi umum untuk dimasukkan ke dalam sampel. Pencegahan kesilapan sistematik dicapai melalui penggunaan kaedah berasaskan saintifik untuk membentuk populasi sampel.

Terdapat kaedah berikut untuk memilih unit daripada populasi:

1) pemilihan individu - unit individu dipilih untuk sampel;

2) pemilihan kumpulan - sampel termasuk kumpulan homogen secara kualitatif atau siri unit yang sedang dikaji;

3) pemilihan gabungan adalah gabungan pemilihan individu dan kumpulan.
Kaedah pemilihan ditentukan oleh peraturan untuk membentuk populasi sampel.

Sampel boleh jadi:

sebenarnya rawak terdiri daripada fakta bahawa populasi sampel terbentuk hasil daripada pemilihan unit individu secara rawak (tidak disengajakan) daripada populasi umum. Dalam kes ini, bilangan unit yang dipilih dalam populasi sampel biasanya ditentukan berdasarkan perkadaran sampel yang diterima. Perkadaran sampel ialah nisbah bilangan unit dalam populasi sampel n kepada bilangan unit dalam populasi umum N, i.e.

mekanikal terdiri daripada fakta bahawa pemilihan unit dalam populasi sampel dibuat daripada populasi umum, dibahagikan kepada selang yang sama (kumpulan). Dalam kes ini, saiz selang dalam populasi adalah sama dengan songsangan perkadaran sampel. Jadi, dengan sampel 2%, setiap unit ke-50 dipilih (1:0.02), dengan sampel 5%, setiap unit ke-20 (1:0.05), dsb. Oleh itu, mengikut perkadaran pemilihan yang diterima, populasi umum, seolah-olah, dibahagikan secara mekanikal kepada kumpulan yang sama saiz. Daripada setiap kumpulan, hanya satu unit dipilih untuk sampel.
tipikal - di mana populasi umum mula-mula dibahagikan kepada kumpulan tipikal homogen. Kemudian, daripada setiap kumpulan biasa, sampel rawak atau mekanikal semata-mata digunakan untuk memilih unit secara individu ke dalam populasi sampel. Ciri penting bagi sampel biasa ialah ia memberikan hasil yang lebih tepat berbanding kaedah lain untuk memilih unit dalam populasi sampel;
bersiri- di mana populasi umum dibahagikan kepada kumpulan yang sama saiz - siri. Siri dipilih ke dalam populasi sampel. Dalam siri, pemerhatian berterusan unit yang termasuk dalam siri dijalankan;
digabungkan- persampelan boleh menjadi dua peringkat. Dalam kes ini, penduduk mula-mula dibahagikan kepada kumpulan. Kemudian kumpulan dipilih, dan dalam kumpulan yang terakhir dipilih unit individu.

Dalam statistik, kaedah berikut dibezakan untuk memilih unit dalam populasi sampel::

satu peringkat persampelan - setiap unit yang dipilih serta-merta tertakluk kepada kajian mengikut kriteria yang diberikan (persampelan rawak dan bersiri yang betul);
pelbagai peringkat persampelan - pemilihan dibuat daripada populasi umum kumpulan individu, dan unit individu dipilih daripada kumpulan (persampelan tipikal dengan kaedah mekanikal untuk memilih unit ke dalam populasi sampel).

Selain itu, terdapat:

pemilihan semula- mengikut skema bola yang dikembalikan. Dalam kes ini, setiap unit atau siri yang termasuk dalam sampel dikembalikan kepada populasi umum dan oleh itu mempunyai peluang untuk dimasukkan ke dalam sampel semula;
pemilihan tidak berulang- mengikut skema bola yang tidak dipulangkan. Ia mempunyai hasil yang lebih tepat dengan saiz sampel yang sama.

Menentukan saiz sampel yang diperlukan (menggunakan t-jadual Pelajar).

Salah satu prinsip saintifik dalam teori persampelan ialah memastikan bilangan unit yang mencukupi dipilih. Secara teorinya, keperluan untuk mematuhi prinsip ini dibentangkan dalam pembuktian teorem had dalam teori kebarangkalian, yang memungkinkan untuk menentukan jumlah unit yang harus dipilih daripada populasi supaya ia mencukupi dan memastikan keterwakilan sampel.

Pengurangan dalam ralat pensampelan standard, dan oleh itu peningkatan dalam ketepatan anggaran, sentiasa dikaitkan dengan peningkatan dalam saiz sampel, oleh itu, sudah pada peringkat penganjuran pemerhatian sampel, adalah perlu untuk menentukan saiz sampel. populasi sampel hendaklah bagi memastikan ketepatan keputusan pemerhatian yang diperlukan. Pengiraan saiz sampel yang diperlukan dibina menggunakan formula yang diperoleh daripada formula untuk ralat pensampelan maksimum (A), sepadan dengan jenis dan kaedah pemilihan tertentu. Jadi, untuk saiz sampel berulang rawak (n) kita ada:

Intipati formula ini ialah dengan pemilihan berulang secara rawak bagi nombor yang diperlukan, saiz sampel adalah berkadar terus dengan kuasa dua pekali keyakinan (t2) dan varians ciri variasi (?2) dan berkadar songsang dengan kuasa dua ralat pensampelan maksimum (?2). Khususnya, dengan peningkatan ralat maksimum dengan faktor dua, saiz sampel yang diperlukan boleh dikurangkan dengan faktor empat. Daripada tiga parameter tersebut, dua (t dan?) ditetapkan oleh pengkaji.

Pada masa yang sama, penyelidik, berdasarkan Daripada tujuan dan objektif tinjauan sampel, persoalan mesti diselesaikan: dalam kombinasi kuantitatif apakah lebih baik untuk memasukkan parameter ini untuk memastikan pilihan yang optimum? Dalam satu kes, dia mungkin lebih berpuas hati dengan kebolehpercayaan keputusan yang diperolehi (t) berbanding dengan ukuran ketepatan (?), dalam yang lain - sebaliknya. Adalah lebih sukar untuk menyelesaikan isu mengenai nilai ralat pensampelan maksimum, kerana penyelidik tidak mempunyai penunjuk ini pada peringkat mereka bentuk pemerhatian sampel, oleh itu dalam amalan adalah lazim untuk menetapkan nilai ralat pensampelan maksimum, biasanya dalam 10% daripada tahap purata yang dijangkakan bagi atribut. Mewujudkan anggaran purata boleh didekati dengan cara yang berbeza: menggunakan data daripada tinjauan sebelumnya yang serupa, atau menggunakan data daripada bingkai persampelan dan menjalankan sampel perintis kecil.

Perkara yang paling sukar untuk ditetapkan semasa mereka bentuk pemerhatian sampel ialah parameter ketiga dalam formula (5.2) - serakan populasi sampel. Dalam kes ini, adalah perlu untuk menggunakan semua maklumat yang boleh digunakan oleh penyelidik, yang diperolehi dalam tinjauan yang serupa dan perintis yang dijalankan sebelum ini.

Soalan tentang definisi saiz sampel yang diperlukan menjadi lebih rumit jika tinjauan persampelan melibatkan kajian beberapa ciri unit persampelan. Dalam kes ini, tahap purata bagi setiap ciri dan variasinya, sebagai peraturan, adalah berbeza, dan oleh itu, memutuskan varians yang mana satu ciri untuk diberi keutamaan adalah mungkin hanya dengan mengambil kira tujuan dan objektif tinjauan.

Semasa mereka bentuk pemerhatian sampel, nilai yang telah ditetapkan bagi ralat persampelan yang dibenarkan diandaikan selaras dengan objektif kajian tertentu dan kebarangkalian kesimpulan berdasarkan hasil pemerhatian.

Secara umum, formula untuk ralat maksimum purata sampel membolehkan kita menentukan:

Magnitud kemungkinan sisihan penunjuk populasi umum daripada petunjuk populasi sampel;

Saiz sampel yang diperlukan, memastikan ketepatan yang diperlukan, di mana had kemungkinan ralat tidak akan melebihi nilai tertentu yang ditentukan;

Kebarangkalian bahawa ralat dalam sampel akan mempunyai had yang ditentukan.

Pengagihan pelajar dalam teori kebarangkalian, ia adalah keluarga satu parameter bagi taburan berterusan mutlak.

Siri dinamik (selang waktu, momen), siri dinamik penutup.

Siri dinamik- ini adalah nilai penunjuk statistik yang dibentangkan dalam urutan kronologi tertentu.

Setiap siri masa mengandungi dua komponen:

1) penunjuk tempoh masa (tahun, suku tahun, bulan, hari atau tarikh);

2) penunjuk mencirikan objek yang dikaji untuk tempoh masa atau pada tarikh yang sepadan, yang dipanggil tahap siri.

Tahap siri ini dinyatakan kedua-dua nilai mutlak dan purata atau relatif. Bergantung pada sifat penunjuk, siri masa nilai mutlak, relatif dan purata dibina. Siri dinamik daripada nilai relatif dan purata dibina berdasarkan siri terbitan nilai mutlak. Terdapat siri dinamik selang dan momen.

Siri selang dinamik mengandungi nilai penunjuk untuk tempoh masa tertentu. Dalam siri selang waktu, tahap boleh disimpulkan untuk mendapatkan isipadu fenomena dalam tempoh yang lebih lama, atau yang dipanggil jumlah terkumpul.

Siri detik dinamik mencerminkan nilai penunjuk pada titik masa tertentu (tarikh masa). Dalam siri detik, penyelidik mungkin hanya berminat dengan perbezaan dalam fenomena yang mencerminkan perubahan dalam tahap siri antara tarikh tertentu, memandangkan jumlah tahap di sini tidak mempunyai kandungan sebenar. Jumlah kumulatif tidak dikira di sini.

Syarat yang paling penting untuk pembinaan siri masa yang betul ialah kebolehbandingan tahap siri yang dimiliki oleh tempoh yang berbeza. Tahap mesti dibentangkan dalam kuantiti yang homogen, dan mesti ada kesempurnaan liputan yang sama bagi bahagian-bahagian fenomena yang berlainan.

Untuk Untuk mengelakkan herotan dinamik sebenar, dalam kajian statistik pengiraan awal dijalankan (menutup siri dinamik), yang mendahului analisis statistik siri masa. Penutupan siri dinamik difahamkan sebagai gabungan ke dalam satu siri dua atau lebih siri, tahap yang dikira menggunakan metodologi berbeza atau tidak sepadan dengan sempadan wilayah, dsb. Menutup siri dinamik juga mungkin membayangkan membawa tahap mutlak siri dinamik kepada asas yang sama, yang meneutralkan ketidaksetaraan tahap siri dinamik.

Konsep kebolehbandingan siri dinamik, pekali, pertumbuhan dan kadar pertumbuhan.

Siri dinamik— ini adalah satu siri penunjuk statistik yang mencirikan perkembangan fenomena semula jadi dan sosial dari semasa ke semasa. Koleksi statistik yang diterbitkan oleh Jawatankuasa Statistik Negeri Rusia mengandungi sejumlah besar siri dinamik dalam bentuk jadual. Siri dinamik membolehkan untuk mengenal pasti corak perkembangan fenomena yang dikaji.

Siri Dinamik mengandungi dua jenis penunjuk. Penunjuk masa(tahun, suku tahun, bulan, dsb.) atau titik masa (pada awal tahun, pada awal setiap bulan, dsb.). Penunjuk aras baris. Penunjuk tahap siri dinamik boleh dinyatakan dalam nilai mutlak (pengeluaran produk dalam tan atau rubel), nilai relatif (bahagian penduduk bandar dalam %) dan nilai purata (gaji purata pekerja industri mengikut tahun , dan lain-lain.). Dalam bentuk jadual, siri masa mengandungi dua lajur atau dua baris.

Pembinaan siri masa yang betul memerlukan pemenuhan beberapa keperluan:

semua penunjuk bagi satu siri dinamik mestilah berasaskan saintifik dan boleh dipercayai;
penunjuk bagi satu siri dinamik mestilah setanding dari semasa ke semasa, i.e. mesti dikira untuk tempoh masa yang sama atau pada tarikh yang sama;
penunjuk beberapa dinamik mesti setanding di seluruh wilayah;
penunjuk bagi satu siri dinamik mestilah setanding dalam kandungan, i.e. dikira mengikut metodologi tunggal, dengan cara yang sama;
penunjuk beberapa dinamik hendaklah setanding merentas julat ladang yang diambil kira. Semua penunjuk bagi satu siri dinamik mesti diberikan dalam unit ukuran yang sama.

Penunjuk statistik boleh mencirikan sama ada hasil proses yang dikaji dalam tempoh masa, atau keadaan fenomena yang dikaji pada masa tertentu, i.e. penunjuk boleh selang (berkala) dan seketika. Oleh itu, pada mulanya siri dinamik boleh sama ada selang atau momen. Siri dinamik momen pula boleh dengan selang masa yang sama atau tidak sama.

Siri dinamik asal boleh diubah menjadi satu siri nilai purata dan satu siri nilai relatif (rantai dan asas). Siri masa sedemikian dipanggil siri masa terbitan.

Metodologi untuk mengira tahap purata dalam siri masa adalah berbeza, bergantung pada jenis siri masa. Menggunakan contoh, kami akan mempertimbangkan jenis siri dinamik dan formula untuk mengira tahap purata.

Keuntungan mutlak (Δy) menunjukkan berapa banyak unit tahap berikutnya siri telah berubah berbanding sebelumnya (gr. 3. - rantaian meningkat mutlak) atau dibandingkan dengan tahap awal (gr. 4. - asas mutlak meningkat). Formula pengiraan boleh ditulis seperti berikut:

Apabila nilai mutlak siri menurun, akan terdapat "penurunan" atau "penurunan", masing-masing.

Petunjuk pertumbuhan mutlak menunjukkan bahawa, sebagai contoh, pada tahun 1998, pengeluaran produk "A" meningkat sebanyak 4 ribu tan berbanding tahun 1997, dan sebanyak 34 ribu tan berbanding tahun 1994; untuk tahun-tahun lain, lihat jadual. 11.5 gr. 3 dan 4.

Kadar pertumbuhan menunjukkan berapa kali tahap siri telah berubah berbanding sebelumnya (gr. 5 - pekali rantai pertumbuhan atau penurunan) atau dibandingkan dengan tahap awal (gr. 6 - pekali asas pertumbuhan atau penurunan). Formula pengiraan boleh ditulis seperti berikut:

Kadar pertumbuhan tunjukkan berapa peratusan tahap seterusnya siri dibandingkan dengan yang sebelumnya (gr. 7 - kadar pertumbuhan rantai) atau dibandingkan dengan tahap awal (gr. 8 - kadar pertumbuhan asas). Formula pengiraan boleh ditulis seperti berikut:

Jadi, sebagai contoh, pada tahun 1997, jumlah pengeluaran produk "A" berbanding tahun 1996 ialah 105.5% (

Kadar pertumbuhan tunjukkan dengan berapa peratus tahap tempoh pelaporan meningkat berbanding sebelumnya (lajur 9 - kadar pertumbuhan rantai) atau dibandingkan dengan tahap awal (lajur 10 - kadar pertumbuhan asas). Formula pengiraan boleh ditulis seperti berikut:

T pr = T r - 100% atau T pr = pertumbuhan mutlak / tahap tempoh sebelumnya * 100%

Jadi, sebagai contoh, pada tahun 1996, berbanding tahun 1995, produk "A" telah dihasilkan sebanyak 3.8% (103.8% - 100%) atau (8:210)x100% lebih, dan berbanding tahun 1994 - sebanyak 9% (109% - 100%).

Jika tahap mutlak dalam siri menurun, maka kadarnya akan kurang daripada 100% dan, dengan itu, akan ada kadar penurunan (kadar pertumbuhan dengan tanda tolak).

Nilai mutlak peningkatan 1%.(lajur 11) menunjukkan berapa banyak unit mesti dihasilkan dalam tempoh tertentu supaya tahap tempoh sebelumnya meningkat sebanyak 1%. Dalam contoh kami, pada tahun 1995 adalah perlu untuk menghasilkan 2.0 ribu tan, dan pada tahun 1998 - 2.3 ribu tan, i.e. lebih besar.

Nilai mutlak pertumbuhan 1% boleh ditentukan dengan dua cara:

Tahap tempoh sebelumnya dibahagikan dengan 100;

Peningkatan mutlak rantaian dibahagikan dengan kadar pertumbuhan rantaian yang sepadan.

Nilai mutlak peningkatan 1% =

Dalam dinamik, terutamanya dalam tempoh yang panjang, analisis bersama kadar pertumbuhan dengan kandungan setiap peningkatan atau penurunan peratusan adalah penting.

Ambil perhatian bahawa metodologi yang dipertimbangkan untuk menganalisis siri masa boleh digunakan untuk siri masa, tahap yang dinyatakan dalam nilai mutlak (t, ribu rubel, bilangan pekerja, dll.), dan untuk siri masa, tahap yang dinyatakan dalam penunjuk relatif (% daripada kecacatan , % kandungan abu arang batu, dsb.) atau nilai purata (purata hasil dalam c/ha, purata upah, dsb.).

Bersama-sama dengan penunjuk analisis yang dipertimbangkan, dikira untuk setiap tahun berbanding dengan tahap sebelumnya atau awal, apabila menganalisis siri dinamik, adalah perlu untuk mengira purata penunjuk analisis untuk tempoh tersebut: tahap purata siri, purata peningkatan mutlak tahunan (penurunan) dan purata kadar pertumbuhan tahunan dan kadar pertumbuhan.

Kaedah untuk mengira tahap purata bagi satu siri dinamik telah dibincangkan di atas. Dalam siri dinamik selang yang sedang kita pertimbangkan, tahap purata siri dikira menggunakan formula min aritmetik mudah:

Purata volum pengeluaran tahunan produk untuk 1994-1998. berjumlah 218.4 ribu tan.

Purata pertumbuhan mutlak tahunan juga dikira menggunakan formula purata aritmetik mudah:

Peningkatan mutlak tahunan berubah-ubah sepanjang tahun dari 4 hingga 12 ribu tan (lihat lajur 3), dan purata peningkatan tahunan dalam pengeluaran untuk tempoh 1995 - 1998. berjumlah 8.5 ribu tan.

Kaedah untuk mengira kadar pertumbuhan purata dan kadar pertumbuhan purata memerlukan pertimbangan yang lebih terperinci. Mari kita pertimbangkan mereka menggunakan contoh penunjuk tahap siri tahunan yang diberikan dalam jadual.

Tahap purata siri dinamik.

Siri dinamik (atau siri masa)- ini ialah nilai berangka penunjuk statistik tertentu pada momen atau tempoh masa berturut-turut (iaitu, disusun dalam susunan kronologi).

Nilai berangka satu atau penunjuk statistik lain yang membentuk siri dinamik dipanggil peringkat siri dan biasanya dilambangkan dengan huruf y. Penggal pertama siri ini y 1 dipanggil awal atau peringkat asas, dan yang terakhir y n - muktamad. Detik atau tempoh masa yang berkaitan dengan tahap ditentukan oleh t.

Siri dinamik biasanya dibentangkan dalam bentuk jadual atau graf, dan skala masa dibina di sepanjang paksi absis. t, dan sepanjang ordinat - skala tahap siri y.

Penunjuk purata siri dinamik

Setiap siri dinamik boleh dianggap sebagai set tertentu n penunjuk perubahan masa yang boleh diringkaskan sebagai purata. Penunjuk umum (purata) sedemikian amat diperlukan apabila membandingkan perubahan dalam penunjuk tertentu dalam tempoh yang berbeza, di negara yang berbeza, dsb.

Ciri umum siri dinamik boleh berfungsi, pertama sekali, peringkat barisan tengah. Kaedah untuk mengira aras purata bergantung kepada sama ada siri momen atau siri selang (berkala).

Bila selang waktu bagi suatu siri, tahap puratanya ditentukan oleh formula purata aritmetik mudah tahap siri, i.e.

=
Jika ada seketika baris yang mengandungi n peringkat ( y1, y2, …, yn) dengan selang yang sama antara tarikh (masa), maka siri sedemikian boleh ditukar dengan mudah kepada satu siri nilai purata. Dalam kes ini, penunjuk (tahap) pada permulaan setiap tempoh adalah serentak penunjuk pada akhir tempoh sebelumnya. Kemudian nilai purata penunjuk untuk setiap tempoh (selang antara tarikh) boleh dikira sebagai separuh daripada jumlah nilai di pada awal dan akhir tempoh, i.e. Bagaimana . Bilangan purata tersebut ialah . Seperti yang dinyatakan sebelum ini, untuk siri nilai purata, tahap purata dikira menggunakan min aritmetik.

Oleh itu, kita boleh menulis:
.
Selepas mengubah pengangka kita dapat:
,

di mana Y1 Dan Yn— peringkat pertama dan terakhir baris; Yi- peringkat pertengahan.

Purata ini dikenali dalam statistik sebagai kronologi purata untuk siri detik. Ia menerima namanya daripada perkataan "cronos" (masa, Latin), kerana ia dikira daripada penunjuk yang berubah dari semasa ke semasa.

Dalam kes tidak sama rata selang antara tarikh, purata kronologi untuk siri momen boleh dikira sebagai min aritmetik bagi nilai purata tahap untuk setiap pasangan momen, ditimbang dengan jarak (selang masa) antara tarikh, i.e.
.
Dalam kes ini diandaikan bahawa dalam selang antara tarikh tahap mengambil nilai yang berbeza, dan kami adalah salah satu daripada dua yang diketahui ( yi Dan yi+1) kami menentukan purata, daripada mana kami kemudian mengira purata keseluruhan untuk keseluruhan tempoh yang dianalisis.
Jika diandaikan bahawa setiap nilai yi kekal tidak berubah sehingga seterusnya (i+ 1)- detik ke-, i.e. Jika tarikh sebenar perubahan tahap diketahui, maka pengiraan boleh dijalankan menggunakan formula purata aritmetik berwajaran:
,

di manakah masa di mana tahap kekal tidak berubah.

Sebagai tambahan kepada tahap purata dalam siri dinamik, penunjuk purata lain dikira - purata perubahan dalam tahap siri (kaedah asas dan rantai), kadar purata perubahan.

Garis asas bermaksud perubahan mutlak ialah hasil bagi perubahan mutlak asas terakhir dibahagikan dengan bilangan perubahan. Itu dia

Rantai bermaksud perubahan mutlak peringkat siri ialah hasil bagi membahagikan jumlah semua perubahan mutlak rantai dengan bilangan perubahan, iaitu

Tanda purata perubahan mutlak juga digunakan untuk menilai sifat perubahan dalam fenomena secara purata: pertumbuhan, penurunan atau kestabilan.

Daripada peraturan untuk mengawal perubahan mutlak asas dan rantaian, ia menunjukkan bahawa perubahan asas dan purata rantaian mestilah sama.

Bersama-sama dengan purata perubahan mutlak, purata relatif juga dikira menggunakan kaedah asas dan rantaian.

Perubahan relatif purata garis dasar ditentukan oleh formula:

Purata perubahan relatif rantai ditentukan oleh formula:

Sememangnya, perubahan relatif asas dan purata rantaian mestilah sama, dan dengan membandingkannya dengan nilai kriteria 1, kesimpulan dibuat tentang sifat perubahan dalam fenomena secara purata: pertumbuhan, penurunan atau kestabilan.
Dengan menolak 1 daripada asas atau purata rantaian perubahan relatif, yang sepadan kadar purata perubahan, dengan tanda yang mana seseorang juga boleh menilai sifat perubahan dalam fenomena yang dikaji, yang dicerminkan oleh siri dinamik ini.

Turun naik bermusim dan indeks bermusim.

Turun naik bermusim ialah turun naik intra tahunan yang stabil.

Prinsip asas pengurusan untuk mendapatkan kesan maksimum ialah memaksimumkan pendapatan dan meminimumkan kos. Dengan mengkaji turun naik bermusim, masalah persamaan maksimum diselesaikan pada setiap peringkat tahun.

Apabila mengkaji turun naik bermusim, dua masalah yang saling berkaitan diselesaikan:

1. Pengenalpastian spesifik perkembangan fenomena dalam dinamik intra-tahunan;

2. Mengukur turun naik bermusim dengan membina model gelombang bermusim;

Untuk mengukur variasi bermusim, ayam belanda bermusim biasanya dikira. Secara umum, ia ditentukan oleh nisbah persamaan awal siri dinamik kepada persamaan teori, yang bertindak sebagai asas untuk perbandingan.

Oleh kerana sisihan rawak ditindih pada turun naik bermusim, indeks bermusim dipuratakan untuk menghapuskannya.

Dalam kes ini, untuk setiap tempoh kitaran tahunan, penunjuk umum ditentukan dalam bentuk indeks bermusim purata:

Purata indeks turun naik bermusim adalah bebas daripada pengaruh sisihan rawak arah aliran pembangunan utama.

Bergantung pada sifat arah aliran, formula untuk indeks kemusim purata boleh mengambil bentuk berikut:

1.Untuk siri dinamik intra-tahunan dengan arah aliran utama pembangunan yang dinyatakan dengan jelas:

2. Untuk siri dinamik intra-tahunan di mana tiada aliran meningkat atau menurun atau tidak ketara:

Di manakah purata keseluruhan;

Kaedah untuk menganalisis arah aliran utama.

Perkembangan fenomena dari semasa ke semasa dipengaruhi oleh faktor sifat dan kekuatan pengaruh yang berbeza. Sebahagian daripada mereka adalah secara rawak, yang lain mempunyai kesan yang hampir berterusan dan membentuk trend pembangunan tertentu dalam dinamik.

Tugas penting statistik adalah untuk mengenal pasti dinamik arah aliran dalam siri, dibebaskan daripada pengaruh pelbagai faktor rawak. Untuk tujuan ini, siri masa diproses dengan kaedah pembesaran selang, purata bergerak dan perataan analitik, dsb.

Kaedah pembesaran selang adalah berdasarkan pembesaran tempoh masa, yang merangkumi tahap satu siri dinamik, i.e. ialah penggantian data yang berkaitan dengan tempoh masa yang kecil dengan data untuk tempoh yang lebih besar. Ia amat berkesan apabila tahap awal siri berkaitan dengan tempoh masa yang singkat. Contohnya, siri penunjuk yang berkaitan dengan acara harian digantikan dengan siri yang berkaitan dengan mingguan, bulanan, dsb. Ini akan menunjukkan dengan lebih jelas "paksi perkembangan fenomena". Purata, dikira dalam selang yang diperbesarkan, membolehkan kami mengenal pasti arah dan sifat (pecutan atau kelembapan pertumbuhan) arah aliran pembangunan utama.

Kaedah purata bergerak serupa dengan yang sebelumnya, tetapi dalam kes ini tahap sebenar digantikan dengan tahap purata yang dikira untuk selang pembesaran bergerak secara berurutan (gelongsor) meliputi m peringkat siri.

Sebagai contoh, jika kita terima m=3, maka mula-mula purata tiga peringkat pertama siri dikira, kemudian - dari bilangan tahap yang sama, tetapi bermula dari yang kedua, kemudian - bermula dari yang ketiga, dsb. Oleh itu, purata "slaid" sepanjang siri dinamik, bergerak dengan satu sebutan. Dikira daripada m ahli, purata bergerak merujuk kepada pertengahan (tengah) setiap selang.

Kaedah ini hanya menghapuskan turun naik rawak. Jika siri ini mempunyai gelombang bermusim, maka ia akan berterusan walaupun selepas melicinkan menggunakan kaedah purata bergerak.

Penjajaran analitikal. Untuk menghapuskan turun naik rawak dan mengenal pasti arah aliran, perataan tahap siri menggunakan formula analisis (atau perataan analitik) digunakan. Intipatinya adalah untuk menggantikan tahap empirikal (sebenar) dengan tahap teori, yang dikira menggunakan persamaan tertentu yang diterima pakai sebagai model aliran matematik, di mana tahap teori dianggap sebagai fungsi masa: . Dalam kes ini, setiap tahap sebenar dianggap sebagai jumlah dua komponen: , di mana ialah komponen sistematik dan dinyatakan oleh persamaan tertentu, dan merupakan pembolehubah rawak yang menyebabkan turun naik di sekitar arah aliran.

Tugas penjajaran analitik adalah seperti berikut:

1. Penentuan, berdasarkan data sebenar, jenis fungsi hipotetikal yang paling mencukupi mencerminkan arah aliran pembangunan penunjuk yang dikaji.

2. Mencari parameter fungsi tertentu (persamaan) daripada data empirikal

3. Pengiraan menggunakan persamaan tahap teori (sejajar) yang ditemui.

Pilihan fungsi tertentu dijalankan, sebagai peraturan, berdasarkan perwakilan grafik data empirikal.

Model-model tersebut ialah persamaan regresi, yang parameternya dikira menggunakan kaedah kuasa dua terkecil

Di bawah ialah persamaan regresi yang paling biasa digunakan untuk menjajarkan siri masa, menunjukkan arah aliran pembangunan tertentu yang paling sesuai untuk dicerminkan.

Untuk mencari parameter persamaan di atas, terdapat algoritma khas dan program komputer. Khususnya, untuk mencari parameter persamaan garis lurus, algoritma berikut boleh digunakan:

Jika tempoh atau detik masa dinomborkan supaya St = 0, maka algoritma di atas akan dipermudahkan dengan ketara dan bertukar menjadi

Tahap yang dijajarkan pada carta akan terletak pada satu garis lurus, melepasi pada jarak terdekat daripada tahap sebenar siri dinamik ini. Jumlah sisihan kuasa dua adalah pantulan pengaruh faktor rawak.

Menggunakannya, kami mengira ralat purata (standard) persamaan:

Di sini n ialah bilangan cerapan, dan m ialah bilangan parameter dalam persamaan (kita mempunyai dua daripadanya - b 1 dan b 0).

Kecenderungan utama (trend) menunjukkan bagaimana faktor sistematik mempengaruhi tahap satu siri dinamik, dan turun naik tahap di sekeliling trend () berfungsi sebagai ukuran pengaruh faktor baki.

Untuk menilai kualiti model siri masa yang digunakan, ia juga digunakan Ujian F Fisher. Ia adalah nisbah dua varians, iaitu nisbah varians yang disebabkan oleh regresi, i.e. faktor yang dikaji, kepada varians yang disebabkan oleh sebab rawak, i.e. serakan sisa:

Dalam bentuk yang diperluaskan, formula untuk kriteria ini boleh dibentangkan seperti berikut:

di mana n ialah bilangan cerapan, i.e. bilangan peringkat baris,

m ialah bilangan parameter dalam persamaan, y ialah tahap sebenar siri,

Aras baris sejajar - aras baris tengah.

Model yang lebih berjaya daripada yang lain mungkin tidak semestinya cukup memuaskan. Ia boleh diiktiraf sedemikian hanya dalam kes apabila kriteria Fnya melepasi had kritikal yang diketahui. Sempadan ini diwujudkan menggunakan jadual taburan F.

Intipati dan klasifikasi indeks.

Dalam statistik, indeks difahami sebagai penunjuk relatif yang mencirikan perubahan dalam magnitud fenomena dalam masa, ruang, atau perbandingan dengan mana-mana standard.

Elemen utama perhubungan indeks ialah nilai yang diindeks. Nilai diindeks difahami sebagai nilai ciri populasi statistik, yang mana perubahannya adalah objek kajian.

Menggunakan indeks, tiga tugas utama diselesaikan:

1) penilaian perubahan dalam fenomena yang kompleks;

2) menentukan pengaruh faktor individu terhadap perubahan dalam fenomena yang kompleks;

3) perbandingan magnitud fenomena dengan magnitud tempoh lalu, magnitud wilayah lain, serta dengan piawaian, rancangan, ramalan.

Indeks dikelaskan mengikut 3 kriteria:

2) mengikut tahap liputan unsur-unsur populasi;

3) mengikut kaedah untuk mengira indeks umum.

Mengikut kandungan kuantiti diindeks, indeks dibahagikan kepada indeks penunjuk kuantitatif (isipadu) dan indeks penunjuk kualitatif. Indeks penunjuk kuantitatif - indeks volum fizikal produk perindustrian, volum fizikal jualan, jumlah pekerja, dsb. Indeks penunjuk kualitatif - indeks harga, kos, produktiviti buruh, gaji purata, dsb.

Mengikut tahap liputan unit populasi, indeks dibahagikan kepada dua kelas: individu dan umum. Untuk mencirikan mereka, kami memperkenalkan konvensyen berikut yang diterima pakai dalam amalan menggunakan kaedah indeks:

q- kuantiti (isipadu) mana-mana produk dari segi fizikal ; R- harga seunit; z- kos seunit pengeluaran; t— masa yang dibelanjakan untuk menghasilkan satu unit produk (intensiti buruh) ; w- pengeluaran produk dari segi nilai setiap unit masa; v- keluaran pengeluaran dari segi fizikal setiap unit masa; T— jumlah masa yang dibelanjakan atau bilangan pekerja.

Untuk membezakan tempoh atau objek yang dimiliki oleh kuantiti yang diindeks, adalah kebiasaan untuk meletakkan subskrip di bahagian bawah sebelah kanan simbol yang sepadan. Jadi, sebagai contoh, dalam indeks dinamik, sebagai peraturan, subskrip 1 digunakan untuk tempoh yang dibandingkan (semasa, pelaporan) dan untuk tempoh perbandingan dibuat,

Indeks individu berfungsi untuk mencirikan perubahan dalam elemen individu fenomena kompleks (contohnya, perubahan dalam jumlah keluaran satu jenis produk). Mereka mewakili nilai relatif dinamik, pemenuhan kewajipan, perbandingan nilai yang diindeks.

Indeks individu volum fizikal produk ditentukan

Dari sudut analisis, indeks dinamik individu yang diberikan adalah serupa dengan pekali pertumbuhan (kadar) dan mencirikan perubahan dalam nilai yang diindeks dalam tempoh semasa berbanding dengan tempoh asas, iaitu menunjukkan berapa kali ia telah meningkat (menurun) atau berapa peratuskah pertumbuhan (penurunan). Nilai indeks dinyatakan dalam pekali atau peratusan.

Indeks umum (komposit). mencerminkan perubahan dalam semua elemen fenomena kompleks.

Indeks agregat ialah bentuk asas indeks. Ia dipanggil agregat kerana pengangka dan penyebutnya ialah satu set "agregat"

Indeks purata, definisi mereka.

Sebagai tambahan kepada indeks agregat, bentuk lain daripadanya digunakan dalam statistik - indeks purata wajaran. Pengiraan mereka digunakan apabila maklumat yang ada tidak membenarkan pengiraan indeks agregat am. Oleh itu, jika tiada data mengenai harga, tetapi terdapat maklumat mengenai kos produk dalam tempoh semasa dan indeks harga individu untuk setiap produk diketahui, maka indeks harga umum tidak boleh ditentukan sebagai satu agregat, tetapi mungkin untuk mengiranya sebagai purata bagi setiap individu. Dengan cara yang sama, jika kuantiti jenis produk individu yang dihasilkan tidak diketahui, tetapi indeks individu dan kos pengeluaran tempoh asas diketahui, maka indeks umum volum fizikal pengeluaran boleh ditentukan sebagai purata wajaran. nilai.

Indeks purata - ini indeks yang dikira sebagai purata indeks individu. Indeks agregat ialah bentuk asas indeks umum, jadi indeks purata mestilah sama dengan indeks agregat. Apabila mengira indeks purata, dua bentuk purata digunakan: aritmetik dan harmonik.

Indeks purata aritmetik adalah sama dengan indeks agregat jika berat indeks individu adalah sebutan penyebut indeks agregat. Hanya dalam kes ini, nilai indeks yang dikira menggunakan formula purata aritmetik akan sama dengan indeks agregat.

Dalam artikel ini saya akan bercakap tentang bagaimana untuk mencari sisihan piawai. Bahan ini sangat penting untuk pemahaman penuh matematik, jadi tutor matematik harus menumpukan pelajaran yang berasingan atau bahkan beberapa untuk mempelajarinya. Dalam artikel ini, anda akan menemui pautan ke tutorial video terperinci dan boleh difahami yang menerangkan apa itu sisihan piawai dan cara mencarinya.

Sisihan piawai memungkinkan untuk menilai penyebaran nilai yang diperoleh hasil daripada mengukur parameter tertentu. Ditunjukkan oleh simbol (huruf Yunani "sigma").

Formula untuk pengiraan agak mudah. Untuk mencari sisihan piawai, anda perlu mengambil punca kuasa dua varians. Jadi sekarang anda perlu bertanya, "Apakah varians?"

Apakah varians

Takrif varians berjalan seperti ini. Serakan ialah min aritmetik bagi sisihan kuasa dua nilai daripada min.

Untuk mencari varians, lakukan pengiraan berikut secara berurutan:

Tentukan purata (purata aritmetik mudah bagi satu siri nilai).
Kemudian tolak purata daripada setiap nilai dan kuasa duakan perbezaan yang terhasil (anda dapat perbezaan kuasa dua).
Langkah seterusnya ialah mengira min aritmetik bagi perbezaan kuasa dua yang terhasil (Anda boleh mengetahui mengapa betul-betul kuasa dua di bawah).

Mari kita lihat contoh. Katakan anda dan rakan anda memutuskan untuk mengukur ketinggian anjing anda (dalam milimeter). Hasil daripada pengukuran, anda menerima ukuran ketinggian berikut (pada layu): 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm dan 300 mm.

Mari kita hitung min, varians dan sisihan piawai.

Mula-mula mari cari nilai purata. Seperti yang anda sedia maklum, untuk melakukan ini, anda perlu menambah semua nilai yang diukur dan membahagikan dengan bilangan ukuran. Kemajuan pengiraan:

Purata mm.

Jadi, purata (min aritmetik) ialah 394 mm.

Sekarang kita perlu tentukan sisihan ketinggian setiap anjing daripada purata:

Akhirnya, untuk mengira varians, kita kuasai setiap perbezaan yang terhasil, dan kemudian cari min aritmetik keputusan yang diperoleh:

Penyerakan mm 2 .

Oleh itu, serakan ialah 21704 mm 2.

Bagaimana untuk mencari sisihan piawai

Jadi bagaimana kita boleh mengira sisihan piawai, mengetahui varians? Seperti yang kita ingat, ambil punca kuasa duanya. Iaitu, sisihan piawai adalah sama dengan:

Mm (dibundarkan kepada nombor bulat terdekat dalam mm).

Menggunakan kaedah ini, kami mendapati bahawa sesetengah anjing (contohnya, Rottweiler) adalah anjing yang sangat besar. Tetapi terdapat juga anjing yang sangat kecil (contohnya, dachshunds, tetapi anda tidak sepatutnya memberitahu mereka itu).

Perkara yang paling menarik ialah sisihan piawai membawa maklumat yang berguna. Sekarang kita boleh menunjukkan hasil pengukuran ketinggian yang diperolehi berada dalam selang yang kita dapat jika kita memplot sisihan piawai daripada purata (ke kedua-dua belahnya).

Iaitu, menggunakan sisihan piawai, kita memperoleh kaedah "standard" yang membolehkan kita mengetahui nilai mana yang normal (purata statistik), dan yang luar biasa besar atau, sebaliknya, kecil.

Apakah sisihan piawai

Tetapi... semuanya akan menjadi sedikit berbeza jika kita menganalisis sampel data. Dalam contoh kami, kami mempertimbangkan Populasi umum. Iaitu, 5 anjing kami adalah satu-satunya anjing di dunia yang menarik minat kami.

Tetapi jika data adalah sampel (nilai yang dipilih daripada populasi yang besar), maka pengiraan perlu dilakukan secara berbeza.

Jika terdapat nilai, maka:

Semua pengiraan lain dilakukan dengan cara yang sama, termasuk penentuan purata.

Sebagai contoh, jika lima ekor anjing kita hanyalah sampel populasi anjing (semua anjing di planet ini), kita mesti membahagikan dengan 4, bukan 5, iaitu:

Varians sampel = mm 2.

Dalam kes ini, sisihan piawai untuk sampel adalah sama dengan mm (dibundarkan kepada nombor bulat terdekat).

Kita boleh mengatakan bahawa kita telah membuat beberapa "pembetulan" dalam kes di mana nilai kita hanyalah sampel kecil.

Catatan. Mengapa betul-betul perbezaan kuasa dua?

Tetapi mengapa kita mengambil betul-betul perbezaan kuasa dua apabila mengira varians? Katakan apabila mengukur beberapa parameter, anda menerima set nilai berikut: 4; 4; -4; -4. Jika kita hanya menambah sisihan mutlak daripada min (perbezaan) bersama-sama... nilai negatif dibatalkan dengan yang positif:

Ternyata pilihan ini tidak berguna. Maka mungkin patut mencuba nilai mutlak penyimpangan (iaitu, modul nilai ini)?

Pada pandangan pertama, ternyata baik (nilai yang terhasil, dengan cara itu, dipanggil sisihan mutlak min), tetapi tidak dalam semua kes. Mari cuba contoh lain. Biarkan pengukuran menghasilkan set nilai berikut: 7; 1; -6; -2. Maka sisihan mutlak purata ialah:

Wah! Sekali lagi kami mendapat keputusan 4, walaupun perbezaannya mempunyai penyebaran yang lebih besar.

Sekarang mari kita lihat apa yang berlaku jika kita kuasa duakan perbezaan (dan kemudian ambil punca kuasa dua jumlahnya).

Untuk contoh pertama ia akan menjadi:

Untuk contoh kedua ia akan menjadi:

Sekarang ia adalah perkara yang sama sekali berbeza! Lebih besar sebaran perbezaan, lebih besar sisihan piawai... yang kami sasarkan.

Malah, kaedah ini menggunakan idea yang sama seperti semasa mengira jarak antara titik, hanya digunakan dengan cara yang berbeza.

Dan dari sudut pandangan matematik, menggunakan kuasa dua dan punca kuasa dua memberikan lebih banyak faedah daripada yang kita dapat daripada nilai sisihan mutlak, menjadikan sisihan piawai terpakai kepada masalah matematik lain.

Sergey Valerievich memberitahu anda cara mencari sisihan piawai

Apabila memilih unit pemerhatian, ralat bias adalah mungkin, i.e. peristiwa sedemikian, yang kejadiannya tidak dapat diramalkan dengan tepat. Kesilapan ini adalah objektif dan semula jadi. Apabila menentukan tahap ketepatan kajian pensampelan, jumlah ralat yang boleh berlaku semasa proses pensampelan dinilai. Ralat sedemikian dipanggil rawak kesilapan R e dan lain-lain tanpa secara entatif Dengan awak(m),

Dalam amalan, untuk menentukan ralat pensampelan purata semasa menjalankan kajian statistik, Formula berikut digunakan:

1) untuk mengira ralat purata (m m) nilai purata (M):

, dengan σ ialah sisihan piawai;

n - saiz sampel.

Ini adalah untuk sampel yang besar, dan untuk n-1 yang kecil

92 Sisihan piawai. Kaedah pengiraan, aplikasi dalam kerja doktor.

Kaedah anggaran untuk menilai kebolehubahan siri variasi adalah untuk menentukan had, i.e. nilai minimum dan maksimum bagi ciri kuantitatif, dan amplitud - i.e. perbezaan antara pilihan nilai terbesar dan terkecil (Vmax - Vmin). Walau bagaimanapun, had dan amplitud tidak mengambil kira nilai varian dalam siri.

Ukuran utama yang diterima umum bagi kebolehubahan ciri kuantitatif dalam siri variasi ialah σ - sigma).

Tempoh purata rawatan di kedua-dua hospital adalah sama , bagaimanapun, variasi lebih besar di hospital kedua.

Kaedah untuk mengira sisihan piawai termasuk langkah-langkah berikut:

2. Tentukan sisihan pilihan individu daripada min aritmetik (V-M=d). Dalam statistik perubatan, sisihan daripada purata ditetapkan sebagai d (menyimpang). Jumlah semua sisihan adalah sama dengan sifar (lajur 3 . meja 5).

3. Kuadratkan setiap sisihan (lajur 4 . meja 5).

4. Darabkan kuasa dua sisihan dengan frekuensi yang sepadan d2*p (lajur 5, jadual 5).

5. Kira sisihan piawai menggunakan formula:

apabila n lebih besar daripada 30, atau
. apabila n kurang daripada atau sama dengan 30, di mana n ialah bilangan semua pilihan

Kaedah untuk mengira sisihan piawai diberikan dalam Jadual 5.

Sisihan piawai membolehkan anda menetapkan tahap tipikal purata , had taburan julat, bandingkan kebolehubahan beberapa baris pengedaran. , pekali variasi (Cv)

Jadual 5

Bilangan hari V	Bilangan pesakit Ρ

M=20 n=95 Σ=252

Contoh: menurut kajian khas, purata ketinggian budak lelaki berumur 7 tahun di bandar N ialah 117.7 cm (σ=5 . 1 cm) , dan purata berat ialah 21.7 kg (σ = 2.4 kg). Adalah mustahil untuk menilai kebolehubahan ketinggian dan berat dengan membandingkan sisihan piawai, kerana berat dan tinggi dinamakan kuantiti. Oleh itu, nilai relatif digunakan - pekali variasi:

Perbandingan pekali variasi untuk ketinggian (4.3%) dan berat (11.2%) menunjukkan , berat itu mempunyai pekali variasi yang lebih tinggi, oleh itu, adalah ciri yang kurang stabil.

Semakin tinggi pekali variasi ,

Nilai purata digunakan secara meluas dalam kerja harian pekerja penjagaan kesihatan. Mereka digunakan untuk mencirikan Perkembangan Fizikal , ciri antropometrik utama: tinggi, berat . ukurlilit dada , dinamometri, dsb. Nilai purata digunakan untuk menilai keadaan pesakit dengan menganalisis fisiologi , perubahan biokimia dalam badan: tahap tekanan darah , kadar degupan jantung . suhu badan, tahap penunjuk biokimia , kandungan hormon, dsb. Nilai purata digunakan secara meluas dalam menganalisis aktiviti institusi perubatan, contohnya: semasa menganalisis kerja hospital, penunjuk purata penghunian katil tahunan, purata tempoh penginapan pesakit di atas katil, dll dikira.

sisihan piawai (σ - sigma)

1. Cari min aritmetik (M).

Nilai sisihan piawai biasanya digunakan untuk membandingkan kebolehubahan siri jenis yang sama. Jika dua siri dengan ciri yang berbeza dibandingkan (ketinggian dan berat, purata tempoh rawatan hospital dan kematian hospital, dsb.), maka perbandingan langsung saiz sigma adalah mustahil. , kerana sisihan piawai ialah nilai bernama yang dinyatakan dalam nombor mutlak. Dalam kes ini, gunakan pekali variasi (CV) , yang merupakan nilai relatif: nisbah peratusan sisihan piawai kepada min aritmetik.

Pekali variasi dikira menggunakan formula:

Semakin tinggi pekali variasi , semakin besar kebolehubahan siri ini. Adalah dipercayai bahawa pekali variasi lebih daripada 30% menunjukkan heterogeniti kualitatif populasi.

81. Sisihan piawai, kaedah pengiraan, aplikasi.

Kaedah anggaran untuk menilai kebolehubahan siri variasi adalah untuk menentukan had dan amplitud, tetapi nilai varian dalam siri tidak diambil kira. Ukuran utama yang diterima umum bagi kebolehubahan ciri kuantitatif dalam siri variasi ialah sisihan piawai (σ - sigma). Lebih besar sisihan piawai, lebih tinggi tahap turun naik siri ini.

Kaedah untuk mengira sisihan piawai termasuk langkah-langkah berikut:

1. Cari min aritmetik (M).

2. Tentukan sisihan pilihan individu daripada min aritmetik (d=V-M). Dalam statistik perubatan, sisihan daripada purata ditetapkan sebagai d (menyimpang). Jumlah semua sisihan ialah sifar.

3. Kuadratkan setiap sisihan d2.

4. Darabkan kuasa dua sisihan dengan frekuensi yang sepadan d2*p.

5. Cari hasil tambah (d2*p)

6. Kira sisihan piawai menggunakan formula:

Apabila n lebih besar daripada 30, atau apabila n kurang daripada atau sama dengan 30, di mana n ialah bilangan semua pilihan.

Nilai sisihan piawai:

1. Sisihan piawai mencirikan sebaran varian berbanding dengan nilai purata (iaitu, kebolehubahan siri variasi). Semakin besar sigma, semakin tinggi tahap kepelbagaian siri ini.

2. Sisihan piawai digunakan untuk penilaian perbandingan darjah kesesuaian min aritmetik dengan siri variasi yang mana ia dikira.

Variasi fenomena jisim mematuhi hukum taburan normal. Lengkung yang mewakili taburan ini kelihatan seperti lengkung simetri berbentuk loceng licin (lengkung Gaussian). Menurut teori kebarangkalian, dalam fenomena yang mematuhi undang-undang taburan normal, terdapat hubungan matematik yang ketat antara nilai min aritmetik dan sisihan piawai. Taburan teori bagi varian dalam siri variasi homogen mematuhi peraturan tiga sigma.

Jika dalam sistem koordinat segi empat tepat nilai ciri kuantitatif (varian) diplot pada paksi absis, dan kekerapan kejadian varian dalam siri variasi diplot pada paksi ordinat, maka varian dengan lebih besar dan lebih kecil nilai terletak sama rata pada sisi min aritmetik.

Telah ditetapkan bahawa dengan taburan normal sifat:

68.3% daripada nilai pilihan berada dalam M1

95.5% daripada nilai pilihan berada dalam M2

99.7% daripada nilai pilihan berada dalam M3

3. Sisihan piawai membolehkan anda menetapkan nilai normal untuk parameter klinikal dan biologi. Dalam bidang perubatan, selang M1 biasanya diambil sebagai julat normal untuk fenomena yang dikaji. Sisihan nilai anggaran daripada min aritmetik lebih daripada 1 menunjukkan sisihan parameter yang dikaji daripada norma.

4. Dalam bidang perubatan, peraturan tiga sigma digunakan dalam pediatrik untuk penilaian individu tahap perkembangan fizikal kanak-kanak (kaedah sisihan sigma), untuk pembangunan piawaian untuk pakaian kanak-kanak

5. Sisihan piawai adalah perlu untuk mencirikan darjah kepelbagaian ciri yang sedang dikaji dan untuk mengira ralat min aritmetik.

Pekali variasi dikira menggunakan formula:

Semakin tinggi pekali variasi , semakin besar kebolehubahan siri ini. Adalah dipercayai bahawa pekali variasi lebih daripada 30% menunjukkan heterogeniti kualitatif populasi.

Min aritmetik dan min harmonik

Intipati dan makna nilai purata, jenisnya

Bentuk penunjuk statistik yang paling biasa ialah purata magnitud. Penunjuk dalam bentuk nilai purata menyatakan tahap tipikal ciri dalam agregat. Penggunaan meluas nilai purata dijelaskan oleh fakta bahawa mereka membenarkan seseorang membandingkan nilai ciri antara unit yang dimiliki oleh populasi yang berbeza. Sebagai contoh, anda boleh membandingkan purata tempoh hari bekerja, kategori gaji purata pekerja dan tahap gaji purata untuk perusahaan yang berbeza.

Intipati nilai purata ialah mereka membatalkan penyimpangan dalam nilai ciri dalam unit individu populasi, yang disebabkan oleh tindakan faktor rawak. Oleh itu, purata mesti dikira untuk populasi yang cukup besar (mengikut undang-undang bilangan besar). Kebolehpercayaan nilai purata juga bergantung pada kebolehubahan nilai atribut dalam agregat. Secara umum, lebih kecil variasi ciri dan lebih besar populasi dari mana nilai purata ditentukan, lebih boleh dipercayai.

Kebiasaan nilai purata juga berkaitan secara langsung dengan kehomogenan populasi statistik. Nilai purata hanya akan mencerminkan tahap tipikal atribut apabila ia dikira daripada populasi homogen secara kualitatif. Jika tidak, kaedah purata digunakan dalam kombinasi dengan kaedah kumpulan. Jika populasi adalah heterogen, maka purata am digantikan atau ditambah dengan purata kumpulan yang dikira untuk kumpulan homogen secara kualitatif.

Memilih jenis purata ditentukan oleh kandungan ekonomi penunjuk yang dikaji dan data sumber. Jenis purata berikut paling kerap digunakan dalam statistik: purata kuasa (aritmetik, harmonik, geometri, kuadratik, kubik, dll.), purata kronologi dan purata struktur (mod dan median).

Aritmetik min paling kerap ditemui dalam penyelidikan sosio-ekonomi. Min aritmetik digunakan dalam bentuk purata mudah dan purata wajaran.

Dikira daripada data tidak terkumpul berdasarkan formula (4.1):

di mana x- nilai individu ciri (pilihan);

n- bilangan unit dalam populasi.

Contoh. Ia dikehendaki mencari purata keluaran pekerja dalam satu pasukan yang terdiri daripada 15 orang, jika bilangan produk yang dihasilkan oleh seorang pekerja (kepingan) diketahui: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Min aritmetik mudah dikira daripada data tidak terkumpul berdasarkan formula (4.2):

di mana f ialah kekerapan pengulangan nilai yang sepadan bagi atribut (varian);

∑f ialah jumlah bilangan unit populasi (∑f = n).

Contoh. Berdasarkan data yang ada mengenai pengagihan pekerja dalam satu pasukan mengikut bilangan produk yang mereka hasilkan, adalah perlu untuk mencari purata output pekerja dalam pasukan.

Nota 1. Nilai purata ciri dalam agregat boleh dikira berdasarkan nilai individu ciri dan berdasarkan purata kumpulan (swasta) yang dikira untuk bahagian individu populasi. Dalam kes ini, formula purata wajaran aritmetik digunakan, dan purata kumpulan (separa) ( x j).

Contoh. Terdapat data mengenai purata tempoh perkhidmatan pekerja di bengkel kilang. Ia diperlukan untuk menentukan purata tempoh perkhidmatan pekerja untuk kilang secara keseluruhan.

Nota 2. Dalam kes apabila nilai ciri yang dipuratakan dinyatakan dalam bentuk selang, apabila mengira nilai min aritmetik, nilai purata selang ini diambil sebagai nilai ciri dalam kumpulan ( X’). Oleh itu, siri selang ditukar kepada siri diskret. Dalam kes ini, nilai selang terbuka, jika ada (sebagai peraturan, ini adalah yang pertama dan terakhir), secara bersyarat disamakan dengan nilai selang yang bersebelahan dengannya.

Contoh. Terdapat data mengenai pengagihan pekerja perusahaan mengikut tahap upah.

Nilai min harmonik ialah pengubahsuaian min aritmetik. Ia digunakan dalam kes di mana nilai individu bagi sesuatu ciri diketahui, iaitu varian ( x), dan hasil darab varian dan kekerapan (xf = M), tetapi frekuensi itu sendiri tidak diketahui ( f).

Min harmonik berwajaran dikira menggunakan formula (4.3):

Contoh. Ia dikehendaki menentukan gaji purata pekerja persatuan yang terdiri daripada tiga perusahaan, jika kumpulan wang gaji dan gaji purata pekerja bagi setiap perusahaan diketahui.

Min harmonik, yang mudah dalam amalan statistik, digunakan sangat jarang. Dalam kes di mana xf = Mm = const, min harmonik berwajaran bertukar menjadi min harmonik mudah (4.4):

Contoh. Dua buah kereta melalui laluan yang sama. Pada masa yang sama, salah seorang daripada mereka bergerak pada kelajuan 60 km/j, yang kedua - pada kelajuan 80 km/j. Ia diperlukan untuk menentukan kelajuan purata kereta di sepanjang jalan.

Jenis purata kuasa lain. Purata kronologi

Nilai min geometri digunakan semasa mengira penunjuk dinamik purata. Purata geometri digunakan dalam bentuk purata mudah (untuk data tidak terkumpul) dan purata wajaran (untuk data terkumpul).

Purata geometri mudah (4.5):

di mana n ialah bilangan nilai atribut;

P - tanda produk.

Min geometri berwajaran (4.6):

Nilai kuasa dua akar purata digunakan semasa mengira indeks variasi. Ia digunakan dalam bentuk yang mudah dan berwajaran.

Purata min kuasa dua mudah (4.7):

Purata purata berwajaran (4.8):

Purata padu digunakan untuk mengira kecondongan dan kurtosis. Ia digunakan dalam bentuk timbangan mudah.

Purata padu mudah (4.9): mod ditentukan dengan agak mudah - dengan kekerapan maksimum. Dalam siri variasi selang, mod lebih kurang sepadan dengan pusat selang modal, iaitu selang yang mempunyai frekuensi tinggi (frekuensi). kekerapan selang berikutan modal.

Median (Me) ialah nilai atribut yang terletak di tengah-tengah siri kedudukan. Dengan kedudukan yang kami maksudkan adalah siri yang disusun dalam susunan nilai atribut menaik atau menurun. Median membahagikan siri kedudukan kepada dua bahagian, satu daripadanya mempunyai nilai atribut tidak lebih besar daripada median, dan satu lagi tidak kurang.

Untuk siri berperingkat dengan bilangan istilah ganjil, median ialah pilihan yang terletak di tengah-tengah siri. Kedudukan median ditentukan oleh nombor siri unit siri mengikut formula (4.13):

di mana n ialah bilangan ahli siri kedudukan.

Untuk siri berperingkat dengan bilangan ahli genap, median ialah min aritmetik bagi dua nilai bersebelahan yang terletak di tengah siri.

Kekerapan selang median.

Contoh. Pasukan kerja yang terdiri daripada 9 pers., mempunyai tarif berikut digit: 4; 3; 4; 5; 3; 3; 6; 2;6. Ia diperlukan untuk menentukan nilai modal dan median kategori tarif.

Memandangkan briged ini mempunyai pekerja paling ramai dalam kategori ke-3, kategori ini akan menjadi modal, iaitu Mo = 3.

Untuk menentukan median Mari kita peringkatkan siri asal dalam tertib menaik bagi nilai atribut:

2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.

Nilai kelima atribut adalah pusat dalam siri ini. Oleh itu, Saya = 4.

Contoh. Ia diperlukan untuk menentukan kategori tarif modal dan median pekerja kilang berdasarkan data daripada siri pengedaran berikut.

Oleh kerana siri pengedaran asal adalah diskret, nilai modal ditentukan oleh penunjuk frekuensi maksimum. Dalam contoh ini, kilang itu mempunyai pekerja paling ramai dalam kategori ke-3 (f max = 30), i.e. nyahcas ini adalah modal (Mo = 3).

Mari kita tentukan kedudukan median. Siri pengedaran awal dibina berdasarkan siri kedudukan, disusun mengikut peningkatan nilai atribut. Bahagian tengah siri adalah antara nombor siri ke-50 dan ke-51 bagi nilai atribut. Mari kita ketahui kumpulan mana pekerja yang mempunyai nombor siri ini. Untuk melakukan ini, kami mengira frekuensi terkumpul. Frekuensi terkumpul menunjukkan bahawa nilai median kategori tarif adalah sama dengan tiga (Me = 3), kerana nilai ciri dengan nombor siri dari 39 hingga 68, termasuk 50 dan 51, adalah sama dengan 3.

Contoh. Ia diperlukan untuk menentukan gaji modal dan median pekerja kilang berdasarkan data daripada siri pengedaran berikut.

Oleh kerana siri pengedaran asal ialah selang, nilai modal upah dikira menggunakan formula. Dalam kes ini, selang modal ialah 360-420 dengan kekerapan maksimum 30.

Nilai gaji median juga dikira menggunakan formula. Dalam kes ini, median ialah selang 360-420, kekerapan terkumpulnya ialah 70, manakala kekerapan terkumpul selang sebelumnya hanya 40 dengan jumlah unit bersamaan dengan 100.