Subjek logik matematik. Logik matematik: subjek, struktur dan prinsip asas operasi

pengenalan

Soalan kajian:

Konsep dan definisi logik matematik.

Operasi asas algebra cadangan.

Undang-undang dan akibat algebra Boolean.

Kesimpulan

pengenalan

Asas teori untuk membina komputer adalah disiplin matematik khas. Salah satu daripadanya ialah algebra logik, atau algebra Boolean (J. Boole ialah seorang ahli matematik Inggeris abad ke-19, pengasas disiplin ini). Radasnya digunakan secara meluas untuk menerangkan litar komputer, reka bentuk dan pengoptimumannya.

1. Konsep dan definisi logik matematik.

Logik- sains yang mengkaji undang-undang dan bentuk pemikiran; doktrin kaedah penaakulan dan bukti.

Logik matematik (logik teori, logik simbolik) ialah cabang matematik yang mengkaji bukti dan persoalan asas matematik. "Subjek logik matematik moden adalah pelbagai." Menurut definisi P. S. Poretsky, "logik matematik adalah logik mengikut subjek, matematik mengikut kaedah." Menurut definisi N.I. Kondakov, "logik matematik adalah peringkat kedua, selepas logik tradisional, dalam pembangunan logik formal, menggunakan kaedah matematik dan alat khas simbol dan meneroka pemikiran menggunakan kalkulus (bahasa rasmi)." Takrifan ini sepadan dengan takrifan S. K. Kleene: logik matematik ialah "logik yang dibangunkan menggunakan kaedah matematik." Juga A. A. Markov mentakrifkan logik moden sebagai "sains tepat yang menggunakan kaedah matematik." Semua definisi ini tidak bercanggah, tetapi saling melengkapi.

Penggunaan kaedah matematik dalam logik menjadi mungkin apabila pertimbangan dirumus dalam beberapa bahasa yang tepat. Bahasa yang tepat seperti itu mempunyai dua sisi: sintaks dan semantik. Sintaks ialah satu set peraturan untuk membina objek bahasa (biasanya dipanggil formula). Semantik ialah satu set konvensyen yang menerangkan pemahaman kita tentang formula (atau sebahagian daripadanya) dan membolehkan kita menganggap beberapa formula benar dan yang lain tidak.

Logik matematik mengkaji hubungan logik dan hubungan yang mendasarinya inferens logik (deduktif)., menggunakan bahasa matematik.

Kami mempelajari undang-undang dunia, intipati objek, dan persamaan mereka melalui pemikiran abstrak. Bentuk utama pemikiran abstrak ialah konsep, pertimbangan dan inferens.

Konsep- satu bentuk pemikiran yang mencerminkan ciri-ciri penting objek individu atau kelas objek homogen. Konsep dalam bahasa dinyatakan dalam perkataan.

Skop konsep- satu set objek, setiap satunya mempunyai ciri-ciri yang membentuk kandungan konsep. Terdapat konsep umum dan individu.

Hubungan konsep berikut dibezakan mengikut volum:

identiti atau kebetulan jilid, bermakna isipadu satu konsep adalah sama dengan isipadu konsep yang lain;

subordinasi atau kemasukan jilid: skop salah satu konsep dimasukkan sepenuhnya dalam skop yang lain;

pengecualian jilid - kes di mana tidak ada satu ciri yang terdapat dalam dua jilid;

persimpangan atau separa kebetulan jilid;

subordinasi jilid - kes apabila jilid dua konsep, yang mengecualikan satu sama lain, dimasukkan dalam jilid ketiga.

Penghakiman- ini adalah satu bentuk pemikiran di mana sesuatu diperakui atau dinafikan tentang objek, ciri atau hubungannya.

Inferens- satu bentuk pemikiran yang melaluinya daripada satu atau lebih penghakiman, yang dipanggil premis, kita, mengikut peraturan inferens tertentu, memperoleh kesimpulan penghakiman.

Algebra dalam erti kata yang paling luas, sains operasi am, serupa dengan penambahan dan pendaraban, yang boleh dilakukan bukan sahaja pada nombor, tetapi juga pada objek matematik lain.

Algebra logik (algebra proposisi, algebra Boolean 1 ) - bahagian logik matematik di mana operasi logik pada pernyataan dikaji. Selalunya ia diandaikan (dipanggil logik binari atau binari, berbanding, sebagai contoh, logik ternari) bahawa kenyataan hanya boleh benar atau salah.

Contoh algebra: algebra nombor asli, algebra nombor rasional, algebra polinomial, algebra vektor, algebra matriks, algebra set, dsb. Objek algebra logik atau algebra Boolean ialah proposisi.

Kenyataan- ialah sebarang ayat daripada mana-mana bahasa (pernyataan), yang kandungannya boleh ditentukan sebagai benar atau salah.

Sebarang kenyataan atau benar, atau salah; ia tidak boleh kedua-duanya pada masa yang sama.

Dalam bahasa semula jadi, pernyataan diungkapkan oleh ayat deklaratif. Ayat seruan dan ayat tanya bukan penyataan.

Pernyataan boleh dinyatakan menggunakan tanda matematik, fizikal, kimia dan lain-lain. Anda boleh membuat pernyataan daripada dua ungkapan berangka dengan menghubungkannya dengan tanda sama atau ketaksamaan.

Kenyataan itu dipanggil ringkas(elementary) jika tiada sebahagian daripadanya adalah kenyataan.

Pernyataan yang terdiri daripada pernyataan mudah dipanggil komposit(rumit).

Pernyataan mudah dalam algebra logik dilambangkan dengan huruf Latin besar:

A= (Aristotle - pengasas logik),

DALAM= (Pisang tumbuh di atas pokok epal).

Justifikasi kebenaran atau kepalsuan pernyataan mudah diputuskan di luar algebra logik. Sebagai contoh, kebenaran atau kepalsuan pernyataan: "Jumlah sudut segitiga ialah 180 darjah" ditentukan oleh geometri, dan dalam geometri Euclid pernyataan ini adalah benar, dan dalam geometri Lobachevsky ia adalah palsu.

Pernyataan benar diberikan 1, pernyataan palsu - 0. Oleh itu, A = 1, DALAM = 0.

Algebra logik disarikan daripada kandungan semantik pernyataan. Dia hanya berminat dengan satu fakta - sama ada pernyataan yang diberikan adalah benar atau palsu, yang memungkinkan untuk menentukan kebenaran atau kepalsuan pernyataan majmuk dengan kaedah algebra.

Ia akan ditumpukan kepada asas logik matematik, yang bukan sahaja merupakan cabang matematik yang berasingan, tetapi juga sangat penting dalam kajian keseluruhan menara. (dan bukan sahaja menara). "Ada dan hanya wujud", "dari ini mengikuti ini", "syarat yang diperlukan", "kecukupan", "kemudian dan hanya kemudian" - ini adalah frasa yang biasa, bukan? Dan ini bukan hanya klise "standard" yang boleh diabaikan - ini adalah ungkapan yang stabil rasa ketat, yang akan kita kenali dalam artikel ini. Di samping itu, bahan itu akan berguna untuk pemula untuk mempelajari logik matematik secara langsung - Saya akan mempertimbangkan asasnya: pernyataan dan tindakan pada mereka, formula, undang-undang asas + beberapa masalah praktikal. Dan, sudah tentu, anda akan belajar yang sangat penting, dan di beberapa tempat yang sangat lucu, perbezaan antara logik matematik dan logik "biasa" kami. Mari kita mula meletakkan asas:

Pernyataan dan bentuk ekspresif

Kenyataan- ini adalah cadangan yang boleh dikatakan benar ia atau salah. Pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf Latin huruf kecil, dan kebenaran/kepalsuannya masing-masing dengan satu dan sifar:

- entri ini (jangan dikelirukan dengan modul!) memberitahu kita bahawa kenyataan itu benar;
– dan entri ini adalah mengenai fakta bahawa kenyataan itu salah.

Sebagai contoh:

- penyu tidak terbang;
– Bulan adalah segi empat sama;
- dua kali dua ialah dua;
– lima lebih daripada tiga.

Ia benar-benar jelas bahawa kenyataan dan adalah benar: ,
dan kenyataan dan - salah:

Sudah tentu, tidak semua ayat adalah pernyataan. Ini termasuk, khususnya, ayat tanya dan insentif:

Bolehkah anda memberitahu saya bagaimana untuk pergi ke perpustakaan?
Jom ke rumah mandian!

Jelas sekali, tidak ada persoalan kebenaran atau pembohongan di sini. Sama seperti tiada perbincangan tentang mereka sekiranya terdapat ketidakpastian atau maklumat yang tidak lengkap:

Esok Petya akan mengambil peperiksaan– walaupun dia telah mempelajari segala-galanya, ia bukan fakta bahawa dia akan lulus; dan sebaliknya - jika dia tidak tahu apa-apa, maka dia boleh menghantar "pada bola".

...okay, Petya, jangan risau - anda akan lulus =)

- dan di sini kita tidak tahu apa yang sama dengan "en", jadi ini juga bukan pernyataan.

Walau bagaimanapun, ayat terakhir boleh dilanjutkan kepada pernyataan, atau lebih tepatnya, kepada bentuk ekspresif, memberikan maklumat tambahan tentang "en". Sebagai peraturan, bentuk ekspresif ditulis dengan apa yang dipanggil pengkuantiti. Terdapat dua daripadanya:

– pengkuantiti umum (huruf terbalikA – daripada bahasa Inggeris.Semua) difahami dan dibaca sebagai "untuk semua orang", "untuk mana-mana (s)";

– pengkuantiti kewujudan (surat yang dikembangkanE – daripada bahasa Inggeris.wujud) difahami dan dibaca sebagai "wujud."

- untuk sesiapa nombor asli ketidaksamaan berpuas hati. Bentuk ekspresif ini salah, kerana ia jelas tidak sepadan dengan nombor asli.

- tetapi ini adalah bentuk ekspresif benar, Bagaimana benar dan, sebagai contoh, pernyataan ini:
... betulkah ada nombor asli yang kurang daripada –10?

Saya memberi amaran kepada anda terhadap penggunaan pengkuantiti ini secara melulu, kerana "untuk sesiapa sahaja" sebenarnya boleh menjadi "bukan untuk semua orang."

Perhatian! Jika anda tidak memahami sesuatu dalam notasi, sila kembali ke pelajaran tentang set.

- wujud nombor asli, yang lebih besar daripada dua. betul...dan, yang paling penting, anda tidak boleh membantah =)

– Bohong

Selalunya pengkuantiti "bekerja seiring":

- untuk sesiapa vektor terdapat vektor yang bertentangan. Huruf besar benar, atau sebaliknya, aksiom (kenyataan diterima tanpa bukti) ruang vektor.

Perhatikan bahawa pengkuantiti kewujudan membayangkan hakikat itu sendiri kewujudan objek (sekurang-kurangnya satu) yang memenuhi ciri-ciri tertentu. Mungkin hanya ada satu burung gagak putih di dunia, tetapi ia masih wujud. Selain itu, dalam matematik (kedua-dua sekolah dan lebih tinggi) banyak teorem terbukti kewujudan dan adil keunikan apa sahaja. Bukti teorem sedemikian terdiri daripada dua bahagian:

1) Kewujudan objek yang memenuhi kriteria tertentu. Bahagian ini membuktikan hakikat kewujudannya.

2) Keunikan objek ini. Perkara ini biasanya terbukti secara percanggahan, iaitu diandaikan terdapat objek ke-2 dengan ciri-ciri yang sama dan kemudian andaian ini disangkal.

Kanak-kanak sekolah, bagaimanapun, cuba untuk tidak takut dengan istilah tersebut, dan teorem sering dibentangkan dalam bentuk terselubung, sebagai contoh:

Anda boleh menulis bulatan ke dalam mana-mana segi tiga dan, lebih-lebih lagi, hanya satu

By the way, apakah teorem itu? Kami akan mempelajari intipati logik perkataan yang mengerikan ini tidak lama lagi...

Operasi logik (tindakan ke atas pernyataan)

Sama seperti anda boleh melakukan operasi aritmetik dengan nombor (tambah, darab, dsb.), operasi anda sendiri juga boleh digunakan pada penyata. Terdapat tiga operasi logik asas:

Penafian kenyataan;

kata hubung atau pendaraban logik pernyataan;

perpecahan atau penambahan logik pernyataan.

mengikut urutan:

1) Penafian kenyataan

TIDAK dan simbol

Penafian pernyataan dipanggil pernyataan (baca "bukan a"), yang salah, jika benar, dan benar– jika palsu:

Jadi, sebagai contoh, kenyataan - penyu tidak terbang benar:,
dan penafiannya - penyu terbang jika anda menendangnya dengan baik- salah: ;

kenyataan - dua kali dua adalah dua salah: ,
dan penafiannya – tidak benar bahawa dua tambah dua sama dengan dua– benar: .

By the way, tak payah gelak contoh dengan penyu;) sadis

Model fizikal yang baik untuk operasi ini ialah mentol dan suis lampu biasa:

lampu menyala - logik atau benar,
lampu dimatikan - sifar logik atau palsu.

2) Kata Hubung (pendaraban logik pernyataan)

Operasi ini sepadan dengan penghubung logik DAN dan simbolnya adalah sama ada

Kata Hubung (baca "a dan jadi"), yang benar jika dan hanya jika benar kedua-duanya kenyataan dan:

Operasi ini juga berlaku sepanjang masa. Mari kita kembali kepada wira kita dari meja pertama: anggap Petya menerima kemasukan ke peperiksaan dalam matematik yang lebih tinggi jika dia lulus kerja kursusnya Dan laporan mengenai topik tersebut. Pertimbangkan pernyataan berikut:
– Petya lulus kerja kursusnya;
– Petya lulus ujian.

Perhatikan bahawa, berbeza dengan perumusan “Petya akan lulus esok” di sini pada bila-bila masa anda boleh mengatakan sama ada ia benar atau salah.

Kenyataan (intipati - Petya dimasukkan ke dalam peperiksaan) akan menjadi benar jika dan hanya jika dia lulus kerja kursus Dan kredit untuk . Jika sekurang-kurangnya ada yang tidak disampaikan (lihat tiga baris bawah jadual), maka kata hubungnya adalah palsu.

Dan tepat pada masanya contoh matematik yang sangat baik datang ke fikiran saya: tanda sistem menghubungkan persamaan/ketaksamaan yang disertakan di dalamnya dengan tepat mengikut peraturan DAN. Jadi, sebagai contoh, menulis dua persamaan linear dalam sistem membayangkan bahawa kita mesti mencari akar TERSEBUT (jika ada), yang memuaskan kedua-dua yang pertama Dan persamaan kedua.

Operasi logik yang sedang dipertimbangkan meluas kepada bilangan pernyataan yang lebih besar. Secara relatifnya, jika terdapat 5 persamaan dalam suatu sistem, maka punca-puncanya ( jika mereka wujud) mesti memuaskan 1st Dan ke-2 Dan ke-3 Dan ke-4 Dan Persamaan ke-5 sistem ini.

Dan untuk menyimpulkan perkara ini, mari kita sekali lagi beralih kepada kejuruteraan elektrik buatan sendiri: peraturan konjunktif memodelkan dengan baik suis di dalam bilik dan suis pada panel elektrik di pintu masuk (sambungan siri). Mari kita lihat kenyataan:

– suis di dalam bilik dihidupkan;

– suis di pintu masuk dihidupkan.

Mungkin semua orang telah memahami bahawa kata hubung itu boleh dibaca dengan cara yang paling semula jadi:
– suis di dalam bilik dihidupkan Dan Suis di pintu masuk dihidupkan.

Jelas sekali, jika dan hanya jika . Dalam tiga kes lain (analisis yang mana satu) litar akan terbuka dan lampu akan padam: .

Mari tambah satu lagi kenyataan:
– suis di pencawang dihidupkan.

Begitu juga: kata hubung akan menjadi benar jika dan hanya jika . Di sini, by the way, sudah ada 7 pilihan berbeza untuk memutuskan rantaian.

3) Disjungsi (penambahan logik pernyataan)

Operasi ini sepadan dengan penghubung logik ATAU dan simbol

Disjunction pernyataan dan memanggil pernyataan (baca "a atau bae"), yang salah jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan dan palsu:

Katakan bahawa terdapat 2 soalan pada kertas peperiksaan dalam matematik yang lebih tinggi dan pelajar itu lulus peperiksaan jika dia menjawab sekurang-kurangnya satu soalan. Pertimbangkan pernyataan berikut:
– Petya menjawab soalan pertama;
– Petya menjawab soalan ke-2.

Entri disjungtif dibaca dengan mudah dan jelas: Petya membalas 1st atau soalan ke-2 dan membayangkan tiga hasil yang benar (lihat jadual). Pada masa yang sama, Peter tidak akan lulus peperiksaan dalam satu-satunya kes - jika dia mengacaukan kedua-dua soalan:

Perlu diingatkan bahawa kita sering memahami kata hubung "atau" sebagai "eksklusif atau", dan, lebih-lebih lagi, ia sering perlu difahami dengan cara itu! Daripada frasa yang sama tentang lulus peperiksaan, seseorang kemungkinan besar akan membuat kesimpulan bahawa Petya hanya menjawab soalan pertama atau hanya soalan ke-2. Walau bagaimanapun, OR yang dimaksudkan bukanlah "atau" biasa.

Operasi tambah logik juga boleh digunakan untuk tiga atau lebih pernyataan. Sesetengah guru setia bertanya 10-15 soalan dan memberikan peperiksaan jika pelajar mengetahui sekurang-kurangnya sesuatu =) Dengan kata lain, logik ATAU menyembunyikan penghubung "sekurang-kurangnya untuk satu"(dan ia tidak bermakna sama sekali bahawa ia adalah satu STRICT!).

Baiklah, mari kita berehat dari elektrik isi rumah: sebahagian besar tapak Internet terletak pada pelayan profesional, yang biasanya dibekalkan dengan dua bekalan kuasa. Dalam kejuruteraan elektrik, ini dipanggil sambungan selari, yang memodelkan peraturan OR dengan tepat - pelayan berfungsi jika ia berfungsi dengan betul sekurang-kurangnya satu Unit kuasa. Peralatan, dengan cara itu, menyokong penggantian "panas", i.e. Bekalan kuasa yang habis boleh diganti tanpa mematikan pelayan. Cerita yang sama dengan cakera keras - mereka diduplikasi dalam apa yang dipanggil Tatasusunan RAID, dan lebih-lebih lagi, Pusat Data itu sendiri, di mana pelayan terletak, biasanya dikuasakan oleh dua talian kuasa bebas + penjana diesel, untuk berjaga-jaga. Langkah-langkah ini membolehkan anda memastikan masa aktif tapak web maksimum.

Dan kerana kita bercakap tentang komputer, mereka... adalah berdasarkan operasi logik yang dianggap! Ini nampaknya luar biasa, tetapi mari kita fikirkan - apakah "kepingan perkakasan" ini boleh "faham"? Dan mereka boleh memahami perkara berikut:

terdapat arus dalam wayar - ini unit logik;
wayar dinyahtenagakan - ini sifar logik.

Fakta inilah yang menjadi sebab utama bahawa kuasa dua adalah asas untuk mengukur jumlah maklumat:
dan lain-lain.

"Komputer" yang paling mudah ialah... suis biasa - ia menyimpan maklumat dalam 1 bit (benar atau salah dalam erti kata di atas). Pemproses pusat komputer moden mempunyai ratusan juta (!) transistor, dan perisian yang paling kompleks, "permainan yang paling canggih" diuraikan kepada banyak sifar dan satu, yang diproses menggunakan operasi logik asas!

Dan dua operasi seterusnya yang akan kami pertimbangkan ialah tidak berdikari, iaitu, boleh dinyatakan melalui penolakan, kata hubung dan disjungsi:

Implikasi dan akibat logik.
Syarat yang perlu. Keadaan yang mencukupi

Giliran frasa yang sangat menyakitkan: "oleh itu", "dari ini mengikuti ini", "jika, maka", dll.

Secara tersirat kenyataan (pakej) Dan (akibat) mereka memanggil pernyataan yang palsu dalam satu-satunya kes - apabila ia benar, dan - palsu:

Maksud asas operasi adalah ini (baca dan lihat jadual dari atas ke bawah):

hanya kebenaran boleh mengikuti dari kebenaran dan tidak boleh mengikuti pembohongan;

Apa sahaja boleh mengikuti dari pembohongan (dua baris bawah), di mana:

kebenaran premis itu ialah keadaan yang mencukupi untuk kebenaran kesimpulan,

dan kebenaran kesimpulannya ialah syarat yang perlu untuk kebenaran premis.

Mari lihat contoh khusus:

Mari kita buat implikasi daripada kenyataan - sedang hujan Dan - ia lembap di luar:

Jika kedua-dua pernyataan adalah benar, maka implikasinya juga benar. – jika hujan di luar, maka ia lembap di luar. Pada masa yang sama, ia tidak boleh begitu masa tu hujan, A ia kering di luar :

Jika tiada hujan, Itu ia boleh kering di luar :

jadi lembap :
(contohnya, kerana salji telah cair).

Dan sekarang MARI RENUNGKAN kata-kata "dicap" ini keperluan Dan kecukupan:

Hujan ni mencukupi keadaan untuk ia lembap di luar, dan sebaliknya, kelembapan di luar perlu untuk mencadangkan bahawa hujan telah turun (kerana jika ia kering, maka ia pasti tidak hujan).

Implikasi sebaliknya adalah menyalahi undang-undang: – masih terdapat kelembapan di jalan tidak cukup untuk mewajarkan fakta hujan, dan, di samping itu, hujan bukanlah punca kelembapan yang DIPERLUKAN (kerana, sebagai contoh, hujan batu boleh berlalu dan cair).

Nampaknya ia sepatutnya jelas, tetapi untuk berjaga-jaga, beberapa lagi contoh:

- Untuk belajar bagaimana untuk melaksanakan operasi dengan matriks, perlu boleh menambah dan mendarab nombor. Tetapi ini, seperti yang anda jangkakan dengan betul, tidak cukup.

– Untuk mempelajari cara melakukan operasi aritmetik cukup tamat darjah 9. Tetapi ini tidak syarat perlu"Malah nenek kamu boleh mengajar kamu mengira, walaupun di tadika."

– Untuk mencari luas segi tiga cukup ketahui sisinya dan ketinggian yang ditarik ke sisi ini. Walau bagaimanapun, sekali lagi, ini tidak keperluan, luas segi tiga juga boleh didapati menggunakan tiga sisi (rumus Heron) atau, sebagai contoh, menggunakan produk vektor.

– Untuk kemasukan ke peperiksaan dalam matematik tinggi Pete perlu laporan kerja kursus. Tetapi ini tidak cukup- kerana anda masih perlu lulus ujian.

– Agar seluruh kumpulan menerima kredit cukup bawa sekotak cognac kepada guru. Dan di sini, kerana ia mudah untuk diandaikan, tidak ada keperluan keperluan belajar sesuatu =) Tapi, harap maklum, persiapan tidak dilarang sama sekali;)

Adakah terdapat syarat yang perlu dan pada masa yang sama mencukupi? Sudah tentu! Dan tidak lama lagi kita akan sampai kepada mereka. Dan sekarang tentang satu prinsip penting matematik:

Logik matematik adalah formal

Dia berminat dengan kebenaran atau kepalsuan kenyataan, tetapi bukan kandungannya! Jadi, jika kita membuat implikasinya Jika penyu tidak terbang, maka dua dan dua sama dengan empat., maka ia akan menjadi benar! Dengan kata lain, mana-mana kenyataan yang benar boleh dibenarkan oleh mana-mana kebenaran (baris pertama jadual), dan dari sudut pandangan logik formal ia akan menjadi benar!

Tetapi situasi dengan premis palsu adalah lebih menarik: sebarang pembohongan boleh membenarkan apa sahaja - kedua-dua kebenaran dan kepalsuan:

– jika Bulan adalah segi empat sama, maka;
– jika penguin memakai but felt, maka penyu memakai selipar.

Dan apa? – mengikut jadual, kedua-dua pernyataan adalah benar!

Fakta ini dipanggil paradoks implikasi, tetapi pada hakikatnya, sudah tentu, kami sedang mempertimbangkan contoh yang masuk akal dari sudut pandangan logik kandungan kami.

Dan satu lagi perkara yang sangat penting: implikasi selalunya ditunjukkan oleh ikon (juga baca "oleh itu", "ia mengikuti daripada ini"), yang juga kami gunakan semasa menyelesaikan masalah, membuktikan teorem, dsb. Dan di sini kita bercakap tentang kebetulan penamaan– apa yang kita gunakan dalam pengiraan matematik "biasa", secara tegasnya, bukanlah implikasi. Apakah perbezaannya? Apabila kita menyelesaikan masalah dan menulisnya (“dari yang berikut menjadi”), maka kami menganggap pernyataan itu diketahui kebenarannya, dan lebih-lebih lagi, kami menyimpulkan kebenaran lain daripadanya. Dalam logik matematik ini dipanggil akibat logik. Biasanya, akibatnya tertakluk kepada justifikasi, dan oleh itu, semasa menyediakan kerja, sentiasa cuba menerangkan aksiom, teorem, masalah yang diselesaikan, dll. anda gunakan untuk output ini atau itu.

Teorem, pada terasnya, juga merupakan akibat logik: keadaannya berdasarkan benar bungkusan (aksiom, teorem yang telah terbukti sebelumnya, dsb.). Bukti membuktikan kebenaran akibatnya, dan penaakulan palsu tidak boleh digunakan dalam proses ini.

Teorem yang tidak terbukti dipanggil hipotesis, dan terdapat dua pilihan: sama ada ia menyimpulkan kebenaran daripada kebenaran dan mewakili teorem, atau hipotesis tidak betul, i.e. dari banyak premis yang benar diikuti dengan "tidak menjadi": . Dalam kes penyangkalan, kesimpulan remeh seperti " Hipotesis Ivan Petrov tidak betul", tetapi kadangkala ini juga memerlukan kos yang tinggi - berusaha untuk mendapatkannya, pembaca yang dikasihi!

Mari kita pertimbangkan sebagai contoh, sudah tentu, bukan megatheorem, tetapi pernyataan yang memerlukan, walaupun mudah, justifikasi. Walaupun dia juga tidak akan berada di sana =) =):

– nombor boleh dibahagi dengan 4;
– nombor boleh dibahagi dengan 2.

Ia adalah jelas bahawa akibatnya benar, iaitu, daripada fakta bahawa suatu nombor boleh dibahagi dengan 4, ia mengikuti bahawa ia boleh dibahagikan dengan 2. Dan, oleh itu, kesimpulan yang bertentangan ialah pembohongan:

Pada masa yang sama, saya ingin menarik perhatian anda sekali lagi kepada fakta bahawa premis itu pada mulanya didalilkan sebagai kebenaran (tidak seperti implikasi, di mana ia boleh palsu).

Untuk akibat logik, konsep juga digunakan keperluan Dan kecukupan, saya akan menyalin beberapa baris dari atas:

kebenaran premis itu ialah keadaan yang mencukupi untuk kebenaran kesimpulan,

kebenaran kesimpulannya ialah syarat yang perlu untuk kebenaran premis.

Dalam kes kami:

Kebolehbahagiaan nombor dengan 4 ialah mencukupi syarat untuknya boleh dibahagi dengan 2. Dan sebaliknya, kebolehbahagi nombor dengan 2 ialah perlu keadaan boleh bahagi sebanyak 4.

Perlu diingatkan bahawa contoh yang dipertimbangkan juga boleh ditulis dalam bentuk implikasi:
(menggunakan jadual, analisa sendiri semua susun atur)

Namun begitu secara umum, "pemindahan konsep" adalah tidak betul! Maksudnya, jika kita bercakap tentang fakta bahawa , ini tidak bermakna bahawa implikasinya akan menjadi benar. Dan saya akan memberikan contoh sedemikian dalam perenggan akhir. dan anda perlu lulus 3 peperiksaan (jika tidak sesi tidak akan lulus) dan pada masa yang sama ini cukup (kerana anda tidak perlu melakukan apa-apa lagi).

Keistimewaan kesetaraan adalah sama ada kedua-duanya, atau tiada apa, Sebagai contoh:

Petya mengangkat barbel jika dan hanya jika Masha menari di atas meja

Ini bermakna sama ada Petya sedang melakukan bebanan dan Masha menari di atas meja, atau mereka berdua berbaring di atas sofa, anda layak mendapatnya! =) Petya dan Masha sangat mesra. Sekarang nampaknya terdapat frasa yang sama tanpa "ketika itu dan hanya kemudian":

Petya sedang mengangkat berat manakala Masha menari di atas meja

Tetapi maknanya agak berubah: di sini kita boleh mengandaikan bahawa Petya kadang-kadang mengangkat barbel tanpa Masha, dan sebaliknya, Masha "tidak peduli" sama ada Petya berayun semasa tariannya.

Ini adalah kuasa syarat yang perlu dan mencukupi! – ia menyatukan dan mendisiplinkan =)

...Saya ingin mengedarkan peranan sebaliknya untuk keseronokan, tetapi kemudian saya mengubah fikiran saya... tetap, anda tidak boleh mempromosikan sesuatu seperti itu =)

Bercakap tentang disiplin, pendekatan yang rasional mengandaikan keperluan dan kecukupan - apabila seseorang melakukan seberapa banyak yang perlu dan tidak lebih untuk mencapai matlamat. Ini, tentu saja, boleh membosankan dalam kehidupan seharian, tetapi ia sangat dialu-alukan dalam penaakulan matematik, yang kita sudah bosan:

Segitiga adalah sama sisi jika dan hanya jika sudutnya sama

Kenyataan – segi tiga sama sisi Dan - ia mempunyai sudut yang sama boleh dikaitkan dengan yang setara, tetapi dalam amalan kita hampir selalu mengaitkannya dengan simbol bermata dua akibat logik dipanggil hipotenus

Titik ini sebenarnya adalah teorem Pythagoras, yang rumusannya sudah biasa kepada kita dari sekolah: "Jika segitiga itu bersudut tegak, maka."

2) Pada langkah kedua ia adalah wajar kecukupan:
– di sini adalah perlu untuk membuktikan bahawa kesahihan kesaksamaan mencukupi supaya segi tiga itu adalah segi empat tepat.

Pelajar, sekali lagi, tidak gentar dengan perkataan sedemikian, dan titik kedua dirumuskan dalam bentuk teorem Pythagoras songsang: "Jika , maka segitiga itu bersudut tegak."

Terdapat banyak sambungan "jika dan hanya kemudian" dalam matematik, dan saya baru sahaja memberikan skema standard untuk membuktikannya. Dan, sudah tentu, sentiasa menganalisis apa yang mereka maksudkan "perlu"

Saya sedang menunggu anda di bahagian kedua pelajaran menarik kami, di mana kita akan berkenalan dengan yang utama formula dan undang-undang logik, dan juga menyelesaikan masalah praktikal. Untuk menyelesaikan masalah anda memerlukan lima tablet dari halaman ini, jadi saya cadangkan untuk segera menyalinnya ke atas sekeping kertas supaya ia berada di hadapan mata anda.

Di samping itu, saya akan memberitahu anda rahsia untuk berjaya mempelajari logik matematik;)

Idea utama logik matematik ialah pemformalan pengetahuan dan penaakulan. Adalah diketahui bahawa pengetahuan yang paling mudah diformalkan adalah matematik. Oleh itu, logik matematik, pada dasarnya, adalah sains matematik, atau metamatematik. Konsep utama logik matematik ialah ``bukti matematik''. Sesungguhnya, penaakulan "bukti" (dalam erti kata lain, deduktif) adalah satu-satunya jenis penaakulan yang diiktiraf dalam matematik. Penaakulan dalam logik matematik dikaji dari sudut bentuk, bukan makna. Pada asasnya, penaakulan dimodelkan oleh proses ``mekanikal'' penulisan semula teks (formula) semata-mata. Proses ini dipanggil inferens. Mereka juga mengatakan bahawa logik matematik hanya beroperasi dengan konsep sintaksis. Walau bagaimanapun, selalunya masih penting bagaimana penaakulan itu berkaitan dengan realiti (atau idea kita). Oleh itu, seseorang masih perlu mengingati beberapa maksud formula dan kesimpulan. Dalam kes ini, istilah semantik digunakan (sinonim dengan perkataan ``maksud'') dan memisahkan sintaks dan semantik dengan jelas. Apabila orang benar-benar hanya berminat dengan sintaks, istilah "sistem formal" sering digunakan. Kami akan menggunakan sinonim untuk istilah ini - ``kalkulus'' (istilah ``teori formal'' dan ``aksiomatik'' juga digunakan). Objek sistem formal ialah baris teks (urutan aksara) yang dengannya formula ditulis.

Sistem formal ditakrifkan jika:

Abjad ditentukan (satu set simbol yang digunakan untuk membina formula).

Terdapat banyak formula yang dipanggil aksiom. Ini adalah titik permulaan dalam kesimpulan.

Satu set peraturan inferens ditentukan yang membolehkan seseorang memperoleh formula baharu daripada formula tertentu (atau set formula).

Prinsip asas operasi

Penafian

Penafian pernyataan logik ialah pernyataan logik yang mengambil nilai "benar" jika pernyataan asal adalah palsu, dan sebaliknya. Ini adalah operasi logik khas. Bergantung pada lokasi, perbezaan dibuat antara penolakan luaran dan dalaman, sifat dan peranannya berbeza dengan ketara.

1. Penafian luaran (propositional) berfungsi untuk membentuk pernyataan kompleks daripada pernyataan lain (tidak semestinya mudah). Ia menegaskan ketiadaan keadaan yang diterangkan dalam kenyataan yang dinafikan itu. Secara tradisinya, pernyataan negatif dianggap benar jika, dan hanya jika, pernyataan yang dinafikan itu palsu. Dalam bahasa semula jadi, penolakan biasanya dinyatakan dengan frasa "tidak benar bahawa" diikuti dengan pernyataan yang dinafikan.

Dalam bahasa-bahasa teori formal, penolakan ialah penghubung proposisi unari khas yang digunakan untuk membentuk satu formula menjadi formula yang lain, yang lebih kompleks. Untuk menunjukkan penolakan, simbol "penolakan", "-" atau "--1" biasanya digunakan. Dalam logik proposisi klasik, formula -A adalah benar jika dan hanya jika formula A adalah palsu.

Walau bagaimanapun, dalam logik bukan klasik, penolakan mungkin tidak mempunyai semua sifat penolakan klasik. Dalam hal ini, persoalan logik sepenuhnya timbul tentang set sifat minimum yang mesti dipenuhi oleh beberapa operasi unari untuk dianggap sebagai penolakan, serta tentang prinsip untuk mengklasifikasikan pelbagai penolakan dalam teori formal bukan klasik (lihat: Dunn J.M. dan Hardegree G.M. Kaedah Algebra dalam Logik Falsafah Oxford, 2001).

Malah, pemahaman tradisional di atas tentang penolakan luaran (proposisional) boleh dinyatakan melalui sistem keperluan berikut: (I) Jika A adalah benar (salah), maka bukan-A adalah palsu (benar); (II) Jika tidak-A adalah benar (salah), maka A adalah palsu (benar). Secara formal, keperluan (I) dan (II) boleh dinyatakan melalui keadaan (1) A p--iB=>B (= --, A, dipanggil "kontraposisi membina". Penolakan yang memenuhi syarat (1) biasanya dipanggil penolakan minimum Walau bagaimanapun, ternyata keadaan (1) boleh diuraikan kepada dua keadaan yang lebih lemah: (2) A (= B => -, B p-Au (3) A (= - 1 - A, diketahui, masing-masing, sebagai “kontraposisi” dan “pengenalan penolakan berganda”. Penafian minimum (iaitu, syarat yang memuaskan (1) atau syarat (2) dan (3) bersama-sama), yang mana syarat (4) dipenuhi, dipanggil penolakan de Morgan yang memenuhi sifat tambahan (5): Jika A -. * B, maka bagi mana-mana C adalah benar bahawa A p C (“sifat tidak masuk akal”) dipanggil penafian intuisi. Kita boleh merumuskan prinsip (6), iaitu dua kepada prinsip tidak masuk akal: Jika B |=Au--S p A, maka bagi mana-mana C adalah benar bahawa C p A. Memuaskan prinsip penafian ini. adalah sejenis penafian dalam logik parakonsisten. Akhir sekali, penolakan de Morgan (sifat (2), (3), (4)), yang (5) atau (6) dipegang, dipanggil penolakan orto Jika dalam kalkulus yang sepadan aksiom pengagihan untuk konjungsi dan disjungsi diterima, maka penolakan orto-negasi dipanggil penolakan Boole, atau penolakan klasik.

2. Penafian dalaman adalah sebahagian daripada kenyataan mudah. Perbezaan dibuat antara penolakan sebagai sebahagian daripada kopula (kopula negatif) dan penafian istilah.

Penolakan sebagai sebahagian daripada kopula dinyatakan menggunakan partikel "tidak" berdiri sebelum kata kerja penghubung (jika ada) atau sebelum kata kerja semantik. Ia berfungsi untuk menyatakan pertimbangan tentang ketiadaan beberapa perhubungan (“Ivan tidak mengenali Peter”), atau membentuk penghubung predikatif negatif sebagai sebahagian daripada pertimbangan atribut kategori.

Penafian istilah digunakan untuk membentuk istilah negatif. Ia dinyatakan melalui awalan "bukan" atau makna yang serupa ("Semua epal yang belum masak berwarna hijau").

Kata Hubung

Konjungsi dua pernyataan logik adalah pernyataan logik yang benar hanya apabila ia serentak benar (dari bahasa Latin conjunctio - kesatuan, sambungan), dalam erti kata yang luas - pernyataan kompleks yang dibentuk dengan bantuan kata hubung "dan". Pada dasarnya, seseorang boleh bercakap tentang konjungsi bilangan penyataan yang tidak terhingga (contohnya, tentang konjungsi semua ayat sebenar matematik). Dalam logik, kata hubung ialah penghubung logik (operasi, fungsi; dilambangkan dengan: &,); pernyataan kompleks yang dibentuk dengan bantuannya adalah benar hanya jika komponennya adalah sama benar. Dalam logik proposisi klasik, konjungsi bersama dengan penafian membentuk sistem penghubung proposisi yang berfungsi lengkap. Ini bermakna bahawa sebarang penghubung proposisi lain boleh ditakrifkan melaluinya. Salah satu sifat kata hubung ialah komutatif (iaitu, kesetaraan A & B dan B & A). Walau bagaimanapun, kadangkala mereka bercakap tentang kata hubung tidak komutatif, iaitu kata hubung tertib (contoh pernyataan dengan kata hubung sedemikian ialah: "Pengawal bersiul dan kuda berlari").

Disjunction

Pemisahan dua pernyataan logik ialah pernyataan logik yang benar hanya jika sekurang-kurangnya satu daripadanya adalah benar

(dari bahasa Latin disjunctio - disunion, pengasingan), dalam erti kata yang luas - pernyataan kompleks yang terbentuk daripada dua atau lebih ayat menggunakan kata hubung "atau", menyatakan alternatif, atau pilihan.

Dalam logik simbolik, disjungsi ialah penghubung logik (operasi, fungsi) yang membentuk daripada ayat A dan B pernyataan kompleks, biasanya dilambangkan sebagai A V B, yang benar jika sekurang-kurangnya satu daripada dua ahli disjungtif adalah benar: A atau dalam.

Dalam logik klasik, pemisahan bersama-sama dengan penafian membentuk sistem penghubung proposisi yang berfungsi lengkap, yang memungkinkan untuk mentakrifkan penghubung proposisi lain melaluinya.

Adalah tradisi untuk membezakan disjungsi yang dipertimbangkan (tidak ketat) daripada disjungsi ketat (pemisahan), yang dicirikan oleh fakta bahawa pernyataan yang sepadan adalah benar di bawah syarat bahawa satu dan hanya satu istilah disjungtif adalah benar.

Implikasi

Implikasi dua pernyataan logik A dan B ialah pernyataan logik yang palsu hanya apabila B adalah palsu dan A adalah benar (daripada bahasa Latin implicatio - jalinan, daripada implico - penghubung rapat) - penghubung logik yang sepadan dengan pembinaan tatabahasa "jika . ., kemudian...”, dengan bantuan pernyataan kompleks dibentuk daripada dua pernyataan mudah. Dalam pernyataan implikatif, terdapat anteseden (tanah) - pernyataan yang datang selepas perkataan "jika", dan akibat (akibat) - pernyataan yang mengikuti perkataan "kemudian". Pernyataan implikatif mewakili dalam bahasa logik pernyataan bersyarat bagi bahasa biasa. Yang terakhir ini memainkan peranan khas dalam penaakulan harian dan saintifik fungsi utamanya adalah untuk membenarkan satu perkara dengan merujuk kepada sesuatu yang lain.

Hubungan antara pembumian dan pembumian yang dinyatakan oleh pernyataan bersyarat sukar untuk dicirikan secara umum, dan hanya kadangkala sifatnya agak jelas. Sambungan ini mungkin, khususnya, hubungan akibat logik yang berlaku di antara premis dan kesimpulan inferens yang betul ("Jika semua makhluk multisel yang hidup adalah fana dan obor-obor adalah makhluk sedemikian, maka ia adalah fana"). Sambungan itu mungkin undang-undang alam semula jadi (“Jika jasad mengalami geseran, ia akan mula menjadi panas”) atau hubungan sebab akibat (“Jika Bulan berada di nod orbitnya pada bulan baharu, gerhana matahari berlaku"). Hubungan yang dipertimbangkan juga mungkin mempunyai sifat corak sosial, peraturan, tradisi, dll. (“Jika ekonomi berubah, politik juga berubah”, “Jika janji dibuat, ia mesti ditepati”).

Kaitan yang dinyatakan oleh pernyataan bersyarat mengandaikan bahawa akibat "mengikut" dengan keperluan tertentu dari anteseden dan bahawa terdapat beberapa undang-undang umum, setelah dapat merumuskan yang mana, kita boleh secara logik menyimpulkan akibat daripada anteseden. Sebagai contoh, pernyataan bersyarat "Jika bismut ialah logam, ia mulur" mengandaikan undang-undang am "Semua logam adalah mulur," menjadikan akibat daripada pernyataan ini akibat logik dari antesedennya.

Baik dalam bahasa biasa dan dalam bahasa sains, pernyataan bersyarat, sebagai tambahan kepada fungsi justifikasi, juga boleh melakukan beberapa tugas lain. Ia boleh merumuskan keadaan yang tidak berkaitan dengan s.l. undang-undang atau peraturan am yang tersirat ("Jika saya mahu, saya akan memotong jubah saya"), menetapkan beberapa urutan ("Jika musim panas lepas kering, maka tahun ini akan hujan"), nyatakan ketidakpercayaan dalam bentuk yang aneh (" Jika anda menyelesaikan masalah itu, saya akan membuktikan teorem Fermat yang hebat"), kontras ("Jika kubis tumbuh di taman, maka pokok epal tumbuh di taman"), dsb. Kepelbagaian dan kepelbagaian fungsi pernyataan bersyarat merumitkan analisisnya dengan ketara.

Dalam sistem logik, mereka abstrak daripada ciri-ciri penggunaan biasa pernyataan bersyarat, yang membawa kepada pelbagai implikasi. Yang paling terkenal ialah implikasi material, implikasi ketat dan implikasi yang relevan.

Implikasi material adalah salah satu sambungan utama logik klasik. Ia ditakrifkan seperti berikut: implikasi adalah palsu hanya jika anteseden adalah benar dan akibatnya adalah palsu, dan benar dalam semua kes lain. Pernyataan bersyarat "Jika A, maka B" mengandaikan beberapa hubungan sebenar antara apa yang dikatakan dalam A dan B; ungkapan "A secara material membayangkan B" tidak membayangkan hubungan sedemikian.

Implikasi ketat ditakrifkan melalui konsep modal kemustahilan (logik): "A secara tegas membayangkan B" bermaksud "Adalah mustahil untuk A adalah benar dan B adalah palsu."

Dalam logik yang relevan, implikasi difahami sebagai kata hubung bersyarat dalam pengertian biasa. Dalam kes implikasi yang berkaitan, ia tidak boleh dikatakan bahawa pernyataan yang benar boleh dibenarkan dengan merujuk kepada mana-mana pernyataan dan bahawa mana-mana pernyataan boleh dibenarkan dengan merujuk kepada pernyataan palsu.

Kesetaraan

Persamaan dua pernyataan logik ialah pernyataan logik yang benar hanya apabila ia serentak benar atau salah (daripada Late Latin equivalens - equivalent) - nama generik untuk semua jenis hubungan seperti kesamaan, i.e. perhubungan perduaan refleksif, simetri dan transitif. Contoh: kesetaraan (kebetulan dalam makna, kepentingan, kandungan, ekspresif dan (atau) keupayaan deduktif antara konsep, konsep, teori saintifik atau sistem formal yang memformalkannya) kekongruenan atau persamaan geometri, angka; isomorfisme; kesetaraan set dan kesetaraan lain mana-mana objek bermakna kesamaan (identiti) mereka dalam beberapa hal

(sebagai contoh, set isomorfik tidak dapat dibezakan dalam "struktur" mereka, jika dengan "struktur" kita maksudkan keseluruhan sifat tersebut yang berkenaan dengan set ini adalah isomorfik). Sebarang hubungan kesetaraan menjana pembahagian set yang mana set itu ditakrifkan ke dalam "kelas kesetaraan" berpasangan berpisah yang merangkumi elemen set tertentu yang setara antara satu sama lain ke dalam satu kelas.

Pertimbangan kelas kesetaraan sebagai objek baharu adalah salah satu cara utama untuk menjana (memperkenalkan) konsep abstrak dalam teori logik-matematik (dan secara amnya sains semula jadi). Oleh itu, mempertimbangkan pecahan a/b dan c/d dengan pengangka integer dan penyebut yang setara, jika ad=bc, nombor rasional dimasukkan ke dalam pertimbangan sebagai kelas pecahan setara; mempertimbangkan set sebagai setara, antara yang mana surat-menyurat satu dengan satu boleh diwujudkan, konsep kardinaliti (nombor kardinal) sesuatu set diperkenalkan (sebagai kelas set yang setara antara satu sama lain); mempertimbangkan dua keping bahan yang setara, yang memasuki tindak balas kimia yang sama dalam keadaan yang sama, seseorang sampai pada konsep abstrak komposisi kimia, dsb.

Istilah "kesetaraan" sering digunakan bukan (sahaja) sebagai satu generik, tetapi sebagai sinonim untuk beberapa makna tertentu ("kesetaraan teori" dan bukannya "kesetaraan", "kesetaraan set" dan bukannya "kesetaraan", “persamaan perkataan” dalam algebra abstrak dan bukannya “identiti” " dan sebagainya.).

Pernyataan pengkuantiti

Pengkuantiti dengan pengkuantiti universal.

Pernyataan logik pengkuantiti dengan pengkuantiti universal (“xA(x)) ialah pernyataan logik yang benar hanya jika bagi setiap objek x daripada populasi tertentu pernyataan A(x) adalah benar.

Pengkuantiti dengan pengkuantiti kewujudan.

Pernyataan logik pengkuantiti dengan pengkuantiti wujud ($xA(x)) ialah pernyataan logik yang benar hanya jika dalam koleksi tertentu wujud objek x supaya pernyataan A(x) adalah benar.

Struktur logik matematik

Bahagian "logik matematik" terdiri daripada tiga bahagian: pada kaedah aksiomatik tidak formal, pada logik proposisi dan pada logik predikat (perintah pertama). Kaedah pembinaan aksiomatik adalah langkah pertama ke arah memformalkan teori. Kebanyakan masalah yang dipertimbangkan dalam logik matematik terdiri daripada membuktikan pernyataan tertentu. Logik matematik mempunyai banyak kesan. Ia menggunakan binaan jadual logik proposisi, menggunakan bahasa simbol khas dan formula logik proposisi.

Kaedah aksiomatik tidak formal

Kaedah aksiomatik yang tidak menetapkan bahasa yang digunakan secara tegar dan dengan itu tidak menetapkan sempadan pemahaman bermakna subjek, tetapi memerlukan takrifan aksiomatik bagi semua konsep khas untuk subjek kajian yang diberikan. Istilah ini tidak mempunyai tafsiran yang diterima umum.

Sejarah perkembangan kaedah aksiomatik dicirikan oleh tahap formalisasi yang semakin meningkat. Kaedah aksiomatik tidak formal adalah langkah tertentu dalam proses ini.

Pembinaan aksiomatik asal geometri, yang diberikan oleh Euclid, dibezakan oleh sifat deduktif pembentangannya, yang berdasarkan definisi (penjelasan) dan aksiom (pernyataan yang jelas). Daripada mereka, berdasarkan akal dan bukti, akibat telah diambil. Pada masa yang sama, kesimpulan kadangkala secara tersirat menggunakan andaian geometri dan watak yang tidak tetap dalam aksiom, terutamanya yang berkaitan dengan pergerakan dalam ruang dan kedudukan relatif garis dan titik. Selepas itu, geometri, konsep dan aksiom yang mengawal penggunaannya dikenal pasti, secara tersirat digunakan oleh Euclid dan pengikutnya. Pada masa yang sama, persoalan timbul: adakah semua aksiom benar-benar dikenal pasti? Prinsip panduan untuk menyelesaikan isu ini telah dirumuskan oleh D. Hilbert: "Harus dicapai bahawa kita boleh sama-sama bercakap tentang meja, kerusi dan cawan bir bukannya mata, garisan dan satah." Jika bukti tidak kehilangan daya pembuktiannya selepas penggantian sedemikian, maka sesungguhnya semua andaian khas yang digunakan dalam bukti ini ditetapkan dalam aksiom. Tahap pemformalan yang dicapai dengan pendekatan ini mewakili tahap ciri pemformalan kaedah aksiomatik tidak formal. Piawaian di sini boleh menjadi karya klasik D. Hilbert "Asas Geometri".

Kaedah aksiomatik tidak formal digunakan bukan sahaja untuk memberikan kesempurnaan tertentu kepada teori konkrit yang dinyatakan secara aksiomatik. Ia adalah alat yang berkesan untuk penyelidikan matematik. Memandangkan apabila mengkaji sistem objek menggunakan kaedah ini, kekhususannya, atau "sifat" tidak digunakan, pernyataan terbukti dipindahkan ke mana-mana sistem objek yang memenuhi aksiom yang sedang dipertimbangkan. Menurut kaedah aksiomatik tidak formal, aksiom ialah takrifan tersirat bagi konsep asal (bukan kebenaran yang jelas). Tidak kira apa objek yang dikaji. Semua yang anda perlu tahu tentang mereka dirumuskan dalam aksiom. Subjek kajian teori aksiomatik ialah sebarang tafsiran mengenainya.

Kaedah aksiomatik tidak formal, sebagai tambahan kepada definisi aksiomatik yang sangat diperlukan untuk semua konsep khas, mempunyai ciri ciri lain. Ia adalah penggunaan idea dan konsep berasaskan kandungan yang bebas, bebas aksiom, yang boleh digunakan untuk sebarang tafsiran yang boleh difikirkan, tanpa mengira kandungannya. Khususnya, konsep dan prinsip set-teoretik dan logik digunakan secara meluas, serta konsep yang berkaitan dengan idea mengira, dll. Penembusan ke dalam kaedah penaakulan aksiomatik berdasarkan pemahaman yang bermakna dan akal sehat, dan bukan pada aksiom , tidak dijelaskan oleh sifat tetap bahasa, di mana sifat-sifat sistem objek yang diberikan secara aksiomatik dirumus dan dibuktikan. Memperbaiki bahasa membawa kepada konsep sistem aksiomatik formal dan mewujudkan asas material untuk mengenal pasti dan menerangkan dengan jelas prinsip logik yang boleh diterima, untuk penggunaan terkawal set-teoretik dan konsep umum atau bukan khusus lain untuk bidang yang dikaji. Jika sesuatu bahasa tidak mempunyai cara (perkataan) untuk menyampaikan konsep set-teoretik, maka semua bukti berdasarkan penggunaan cara tersebut dihapuskan. Jika bahasa mempunyai cara untuk menyatakan konsep set-teoretik tertentu, maka penggunaannya dalam pembuktian boleh dihadkan oleh peraturan atau aksiom tertentu.

Dengan membetulkan bahasa dengan cara yang berbeza, teori yang berbeza tentang objek pertimbangan utama diperolehi. Sebagai contoh, mempertimbangkan bahasa kalkulus predikat sempit untuk teori kumpulan, seseorang memperoleh teori asas kumpulan di mana adalah mustahil untuk merumuskan sebarang pernyataan tentang subkumpulan. Jika kita beralih kepada bahasa kalkulus predikat peringkat kedua, maka menjadi mungkin untuk mempertimbangkan sifat di mana konsep subkumpulan muncul. Formalisasi kaedah aksiomatik tidak formal dalam teori kumpulan adalah peralihan kepada bahasa sistem Zermelo-Frenkel dengan aksiomatiknya.

Kaedah aksiomatik

Kaedah aksiomatik ialah satu cara untuk membina teori saintifik, di mana ia berdasarkan kedudukan awal tertentu (penghakiman) - aksiom, atau postulat, dari mana semua pernyataan lain teori ini mesti disimpulkan dengan cara yang logik semata-mata, melalui bukti. Pembinaan sains berdasarkan kaedah aksiomatik biasanya dipanggil deduktif. Semua konsep teori deduktif (kecuali bilangan awal yang tetap) diperkenalkan melalui takrifan yang menyatakannya melalui konsep yang diperkenalkan sebelum ini. Untuk satu darjah atau yang lain, bukti deduktif, ciri kaedah aksiomatik, digunakan dalam banyak sains, tetapi bidang utama aplikasinya ialah matematik, logik, dan juga beberapa cabang fizik.

Idea kaedah aksiomatik pertama kali dinyatakan berkaitan dengan pembinaan geometri di Yunani Purba (Pythagoras, Plato, Aristotle, Euclid). Tahap moden pembangunan kaedah aksiomatik dicirikan oleh konsep kaedah aksiomatik formal yang dikemukakan oleh Hilbert, yang menimbulkan tugas untuk menerangkan dengan tepat cara logik untuk mendapatkan teorem daripada aksiom. Idea utama Hilbert ialah pemformalan lengkap bahasa sains, di mana pertimbangannya dianggap sebagai urutan tanda (rumus) yang memperoleh makna hanya dengan beberapa tafsiran tertentu. Untuk mendapatkan teorem daripada aksiom (dan secara amnya beberapa formula daripada yang lain), formula khas dirumuskan. peraturan inferens. Bukti dalam teori sedemikian (kalkulus, atau sistem formal) ialah urutan formula tertentu, setiap satunya adalah sama ada aksiom atau diperoleh daripada formula sebelumnya dalam urutan mengikut beberapa peraturan inferens. Berbeza dengan pembuktian formal tersebut, sifat-sifat sistem formal itu sendiri secara keseluruhannya dikaji. melalui metateori. Keperluan utama untuk sistem formal aksiomatik ialah ketekalan, kesempurnaan, dan kebebasan aksiom. Program Hilbert, yang menganggap kemungkinan membuktikan ketekalan dan kesempurnaan semua matematik klasik, ternyata secara amnya tidak boleh dilaksanakan. Pada tahun 1931, Gödel membuktikan kemustahilan pengaksiomatan lengkap teori saintifik yang cukup maju (contohnya, aritmetik nombor asli), yang menunjukkan batasan kaedah aksiomatik. Prinsip asas kaedah aksiomatik telah dikritik oleh penyokong intuisi dan arah yang membina.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN SAINS PERSEKUTUAN RUSIA

UNIVERSITI NEGERI MOSCOW

KEJURUTERAAN INSTRUMEN DAN SAINS MAKLUMAT

Jabatan: "FALSAFAH"

Disiplin: "LOGIK"

Topik No. 31: "Logik matematik: subjek, struktur dan prinsip asas operasi"

Selesai:

pelajar tahun 1

fakulti sepenuh masa IT-7

kod rekod 120177IT

Prytkov Yuri Sergeevich

Disemak:

Profesor Madya, Ph.D.

Blazhko Nikolay Ilyich

Moscow - 2012

pengenalan

Logik matematik

Subjek logik matematik

Prinsip asas operasi

Penafian

Kata Hubung

Disjunction

Implikasi

Kesetaraan

Pernyataan pengkuantiti

Pengkuantiti dengan pengkuantiti universal

Pengkuantiti dengan pengkuantiti wujud

Kaedah aksiomatik

Kesimpulan

pengenalan

Logik berasal dari budaya Yunani Purba. Karya pertama tentang logik yang telah sampai kepada kita ialah "Analitik" Aristotle (384-322 SM). Logik formal wujud tanpa perubahan besar selama lebih daripada dua puluh abad. BOOL atau BUL, juga BUUL, George (1815-1864) - Ahli matematik Inggeris yang dianggap sebagai pengasas logik matematik.

Perkembangan matematik mendedahkan ketidakcukupan logik Aristotelian dan memerlukan perkembangan selanjutnya. Logik Buddha berkembang secara bebas, tetapi ia baru-baru ini menjadi hak milik sains Eropah, jadi logik matematik berasal daripada logik Aristotle. Logik matematik ialah sains tentang hukum pemikiran matematik. Subjek logik matematik ialah teori matematik secara umum, yang dipelajari menggunakan bahasa matematik. Pada masa yang sama, mereka terutamanya berminat dalam soalan tentang ketekalan teori matematik, kebebasan dan kesempurnaan mereka.

Logik matematik dibezakan oleh fakta bahawa ia menggunakan bahasa simbol matematik dan logik, berdasarkan fakta bahawa, pada dasarnya, mereka dapat sepenuhnya menggantikan kata-kata bahasa biasa dan kaedah menggabungkan perkataan ke dalam ayat yang diterima dalam bahasa hidup biasa. Ciri-ciri pemikiran matematik dijelaskan oleh ciri-ciri abstraksi matematik dan kepelbagaian hubungannya. Mereka dicerminkan dalam sistematisasi logik matematik, dalam pembuktian teorem matematik. Dalam hal ini, logik matematik moden ditakrifkan sebagai satu cabang matematik yang ditumpukan kepada kajian pembuktian matematik dan persoalan asas matematik.

Logik matematik

Dalam pembinaan aksiomatik teori matematik, sistem tertentu konsep yang tidak ditentukan dan hubungan antara mereka dipilih secara awal. Konsep dan hubungan ini dipanggil asas. Selanjutnya, peruntukan utama teori yang sedang dipertimbangkan - aksiom - diterima tanpa bukti. Semua kandungan lanjut teori ini secara logik diperoleh daripada aksiom. Buat pertama kalinya, pembinaan aksiomatik bagi teori matematik telah dilakukan oleh Euclid dalam pembinaan geometri. Pembentangan teori ini dalam Permulaan tidak sempurna. Euclid di sini cuba mentakrifkan konsep awal (titik, garis lurus, satah). Dalam pembuktian teorem, peruntukan yang tidak dirumuskan secara eksplisit digunakan dan dianggap jelas. Oleh itu, pembinaan ini tidak mempunyai ketegasan logik yang diperlukan, walaupun kebenaran semua peruntukan teori itu tidak dapat diragui.

Mari kita ambil perhatian bahawa pendekatan kepada pembinaan aksiomatik teori ini kekal sebagai satu-satunya sehingga abad ke-19. Karya N. I. Lobachevsky (1792-1856) memainkan peranan utama dalam mengubah pendekatan ini. Lobachevsky adalah orang pertama yang secara eksplisit menyatakan kepercayaannya tentang kemustahilan membuktikan postulat kelima Euclid dan mengukuhkan kepercayaan ini dengan penciptaan geometri baharu. Kemudian, ahli matematik Jerman F. Klein (1849-1925) membuktikan ketekalan geometri Lobachevsky, yang sebenarnya membuktikan kemustahilan untuk membuktikan postulat kelima Euclid. Ini adalah bagaimana masalah ketidakmungkinan pembuktian dan konsistensi dalam teori aksiomatik timbul dan diselesaikan dalam karya N. I. Lobachevsky dan F. Klein buat kali pertama dalam sejarah matematik. Ketekalan teori aksiomatik adalah salah satu keperluan utama untuk sistem aksiom teori ini. Ini bermakna daripada sistem aksiom ini adalah mustahil untuk membuat kesimpulan secara logik dua pernyataan yang bercanggah.

Bukti ketekalan teori aksiomatik boleh dijalankan menggunakan pelbagai kaedah. Salah satunya ialah MODELING atau KAEDAH INTERPRETASI. Di sini, unsur-unsur set tertentu dan hubungan antara mereka dipilih sebagai konsep dan hubungan utama, dan kemudiannya diperiksa sama ada aksiom teori tertentu akan berpuas hati untuk konsep dan hubungan yang dipilih, iaitu model untuk teori ini dibina. Oleh itu, geometri analitik ialah tafsiran aritmetik bagi geometri Euclid. Jelaslah bahawa kaedah pemodelan mengurangkan persoalan ketekalan satu teori kepada masalah ketekalan teori yang lain. Kebanyakan tafsiran untuk teori matematik (dan, khususnya, untuk aritmetik) adalah berdasarkan teori set. Walau bagaimanapun, pada akhir abad ke-19, percanggahan ditemui dalam teori set (paradoks teori set). Contoh yang menarik bagi paradoks sedemikian ialah paradoks B. Russell. Mari kita bahagikan semua set yang boleh difikirkan kepada dua kelas. Jom panggil set biasa , jika ia tidak mengandungi dirinya sebagai unsurnya dan tidak normal sebaliknya. Sebagai contoh, set semua buku - biasa banyak orang, dan banyaknya semua perkara yang dapat dibayangkan - tidak normal sekumpulan. Biarkan L menjadi set semua biasa set. Set L tergolong dalam kelas apakah? Jika L - biasa ditetapkan, kemudian L Î L, iaitu terkandung di dalam bilik darjah biasa set, tetapi kemudian ia mengandungi dirinya sebagai elemennya, dan oleh itu tidak normal . Jika L - tidak normal ditetapkan, kemudian L Ï L, iaitu tidak termasuk dalam kalangan biasa set, tetapi kemudian L tidak mengandungi dirinya sebagai elemennya, dan oleh itu ia baiklah . Justeru, konsep biasa set membawa kepada percanggahan.

Percubaan untuk menghapuskan percanggahan dalam teori set menyebabkan ZERMELO kepada keperluan untuk membina teori set aksiomatik. Pengubahsuaian dan penambahbaikan seterusnya kepada teori ini membawa kepada penciptaan teori set moden. Walau bagaimanapun, cara teori aksiomatik ini tidak membenarkan kita membuktikan ketekalannya. Kaedah lain untuk menyokong matematik telah dibangunkan oleh D. GILBERT (1862-1943) dan sekolahnya. Mereka adalah berdasarkan pembinaan teori matematik sebagai teori sintaksis, di mana semua aksiom ditulis oleh formula dalam abjad tertentu dan peraturan untuk mendapatkan beberapa formula daripada yang lain ditunjukkan dengan tepat, i.e. Teori ini merangkumi logik matematik sebagai bahagian penting.

Oleh itu, teori matematik yang konsistensinya perlu dibuktikan menjadi subjek teori matematik lain, yang Gilbert panggil METHAMATHEMATICS, atau THE THEORY OF PROOF. Dalam hal ini, tugas membina sintaksis timbul, i.e. memformalkan teori aksiomatik logik matematik itu sendiri. Dengan memilih sistem aksiom dan peraturan yang berbeza untuk mendapatkan beberapa formula daripada yang lain, kita memperoleh teori logik sintaksis yang berbeza. Setiap daripada mereka dipanggil KALKULUS LOGIK.

Subjek logik matematik

Sistem formal ditakrifkan jika:

Abjad ditentukan (satu set simbol yang digunakan untuk membina formula).

Terdapat banyak formula yang dipanggil aksiom. Ini adalah titik permulaan dalam kesimpulan.

Satu set peraturan inferens ditentukan yang membolehkan seseorang memperoleh formula baharu daripada formula tertentu (atau set formula).

Prinsip asas operasi

Penafian

Penafian luaran (propositional) berfungsi untuk membentuk pernyataan kompleks daripada pernyataan lain (tidak semestinya mudah). Ia menegaskan ketiadaan keadaan yang diterangkan dalam kenyataan yang dinafikan itu. Secara tradisinya, pernyataan negatif dianggap benar jika, dan hanya jika, pernyataan yang dinafikan itu palsu. Dalam bahasa semula jadi, penolakan biasanya dinyatakan dengan frasa "tidak benar bahawa" diikuti dengan pernyataan yang dinafikan.

Dalam bahasa-bahasa teori formal, penolakan ialah penghubung proposisi unari khas yang digunakan untuk membentuk satu formula menjadi formula yang lain, yang lebih kompleks. Untuk menunjukkan penolakan, simbol "\negation", "-" atau "-1" biasanya digunakan. Dalam logik proposisi klasik, formula -A adalah benar jika dan hanya jika formula A adalah palsu.

Malah, pemahaman tradisional di atas tentang penolakan luaran (proposisional) boleh dinyatakan melalui sistem keperluan berikut: (I) Jika A adalah benar (salah), maka bukan-A adalah palsu (benar); (II) Jika tidak-A adalah benar (salah), maka A adalah palsu (benar). Secara formal, keperluan (I) dan (II) boleh dinyatakan melalui keadaan (1) A p-iB => B (= -, A, dipanggil "kontraposisi membina". Penolakan yang memenuhi syarat (1) biasanya dipanggil a penafian minimum Walau bagaimanapun ternyata keadaan (1) boleh diuraikan kepada dua keadaan yang lebih lemah: (2) A (= B => -,B p-Au(3)A(= - 1 - A, diketahui, masing-masing, sebagai "kontraposisi" dan "pengenalan penolakan berganda." Akibatnya, ia menjadi mungkin untuk mengenal pasti penolakan subminimal yang memenuhi syarat (2), tetapi tidak memenuhi syarat (3) Adalah wajar untuk merumuskan keadaan songsang kepada (). 3) dan memformalkan prinsip "menghapuskan penafian berganda": (4) - A = A. Penafian minimum (iaitu, syarat yang memuaskan (1) atau syarat (2) dan (3) bersama-sama), untuk syarat (4) berpuas hati, dipanggil penafian de Morgan, memuaskan harta tambahan (5. ): Jika A - B, maka bagi mana-mana C adalah benar bahawa A p C (“harta tidak masuk akal”) - dipanggil penafian intuisi. Kita boleh merumuskan prinsip (6), iaitu dwi kepada prinsip tidak masuk akal: Jika B |=Au-S p A, maka bagi mana-mana C adalah benar bahawa C p A. Memuaskan prinsip penafian ini. adalah sejenis penafian dalam logik parakonsisten. Akhir sekali, penolakan de Morgan (sifat (2), (3), (4)), yang (5) atau (6) dipegang, dipanggil penolakan orto Jika dalam kalkulus yang sepadan aksiom pengagihan untuk konjungsi dan disjungsi diterima, maka penolakan orto-negasi dipanggil penolakan Boole, atau penolakan klasik.

Penafian dalaman adalah sebahagian daripada kenyataan mudah. Perbezaan dibuat antara penolakan sebagai sebahagian daripada kopula (kopula negatif) dan penafian istilah.

Penafian istilah digunakan untuk membentuk istilah negatif. Ia dinyatakan melalui awalan "bukan" atau makna yang serupa ("Semua epal yang belum masak berwarna hijau").

Kata Hubung

Disjunction

Pembahagian dua pernyataan logik - pernyataan logik yang benar hanya jika sekurang-kurangnya satu daripadanya adalah benar

Implikasi dua pernyataan logik A dan B ialah pernyataan logik yang palsu hanya apabila B adalah palsu dan A adalah benar (daripada bahasa Latin implicatio - jalinan, daripada implico - penghubung rapat) - penghubung logik yang sepadan dengan pembinaan tatabahasa "jika .., kemudian ..”, dengan bantuan pernyataan kompleks terbentuk daripada dua pernyataan mudah. Dalam pernyataan implikatif, terdapat anteseden (tanah) - pernyataan yang datang selepas perkataan "jika", dan akibat (akibat) - pernyataan yang mengikuti perkataan "kemudian". Pernyataan implikatif mewakili dalam bahasa logik pernyataan bersyarat bagi bahasa biasa. Yang terakhir ini memainkan peranan khas dalam penaakulan harian dan saintifik fungsi utamanya adalah untuk membenarkan satu perkara dengan merujuk kepada sesuatu yang lain.

Implikasi ketat ditakrifkan melalui konsep modal kemustahilan (logik): "A secara tegas membayangkan B" bermaksud "Adalah mustahil untuk A adalah benar dan B adalah palsu."

Kesetaraan

Pernyataan pengkuantiti

Pengkuantiti dengan pengkuantiti universal.

Pernyataan logik pengkuantiti dengan pengkuantiti universal (“xA(x)”) ialah pernyataan logik yang benar hanya jika bagi setiap objek x daripada populasi tertentu pernyataan A(x) adalah benar.

Pengkuantiti dengan pengkuantiti kewujudan.

Pernyataan logik pengkuantiti dengan pengkuantiti wujud ($xA(x)) ialah pernyataan logik yang benar hanya jika dalam koleksi tertentu wujud objek x supaya pernyataan A(x) adalah benar.

Struktur logik matematik

Kaedah aksiomatik tidak formal

Sejarah perkembangan kaedah aksiomatik dicirikan oleh tahap formalisasi yang semakin meningkat. Kaedah aksiomatik tidak formal adalah langkah tertentu dalam proses ini.

Kaedah aksiomatik

Kaedah aksiomatik ialah satu cara untuk membina teori saintifik, di mana ia berdasarkan kedudukan awal tertentu (penghakiman) - aksiom, atau postulat, dari mana semua pernyataan lain teori ini mesti disimpulkan dengan cara yang logik semata-mata, melalui bukti. Pembinaan sains berdasarkan kaedah aksiomatik biasanya dipanggil deduktif. Semua konsep teori deduktif (kecuali bilangan awal yang tetap) diperkenalkan melalui takrifan yang menyatakannya melalui konsep yang diperkenalkan sebelum ini. Untuk satu darjah atau yang lain, bukti deduktif, ciri kaedah aksiomatik, digunakan dalam banyak sains, tetapi bidang utama penerapannya ialah matematik, logik, dan beberapa cabang fizik.

Kesimpulan

Logik matematik ialah sains tentang hukum pemikiran matematik. Aplikasi matematik kepada logik memungkinkan untuk membentangkan teori logik dalam bentuk baru yang mudah dan menggunakan alat pengkomputeran untuk menyelesaikan masalah yang tidak dapat diakses oleh pemikiran manusia, dan ini, sudah tentu, memperluaskan bidang penyelidikan logik. Skop aplikasi logik matematik sangat luas. Setiap tahun penembusan mendalam idea dan kaedah logik matematik ke dalam sains komputer, matematik pengiraan, linguistik, dan falsafah semakin berkembang. Dorongan yang kuat untuk pembangunan dan pengembangan bidang aplikasi logik matematik ialah kemunculan komputer elektronik. Ternyata dalam rangka logik matematik sudah ada alat siap sedia untuk mereka bentuk teknologi komputer. Kaedah dan konsep logik matematik adalah asas, teras sistem maklumat pintar. Alat logik matematik telah menjadi alat kerja yang berkesan untuk pakar dalam banyak cabang sains dan teknologi. Semua pakar perlu mengetahui logik matematik, tanpa mengira persekitaran mereka bekerja (sama ada jurutera, guru, peguam atau hanya doktor).

Bibliografi

kata hubung penyataan logik matematik

Sumber Internet: #"justify">1.

Bimbingan

Perlukan bantuan mempelajari topik?

Pakar kami akan menasihati atau menyediakan perkhidmatan tunjuk ajar mengenai topik yang menarik minat anda.
Hantar permohonan anda menunjukkan topik sekarang untuk mengetahui tentang kemungkinan mendapatkan perundingan.

Bahagian lain

LOGIK MATEMATIK, logik deduktif, termasuk kaedah matematik untuk mengkaji kaedah penaakulan (kesimpulan); teori matematik penaakulan deduktif. Logik matematik juga dipanggil logik yang digunakan dalam matematik.

Konsep teori deduktif dan kalkulus memainkan peranan penting dalam logik matematik.Kalkulus ialah satu set peraturan inferens yang membenarkan beberapa formula dianggap boleh diterbitkan. Peraturan inferens dibahagikan kepada dua kelas. Sebahagian daripada mereka secara langsung melayakkan beberapa formula sebagai terbitan. Peraturan inferens sedemikian biasanya dipanggil aksiom . Yang lain membenarkan formula dianggap boleh diterbitkan jika ia berkaitan secara sintaksis dalam beberapa cara yang telah ditetapkan kepada set terhingga formula boleh deduksi. Peraturan jenis kedua yang digunakan secara meluas ialah peraturan modus ponens: jika formula dan boleh disimpulkan, maka begitu juga formulanya.

Hubungan kalkulus dengan semantik dinyatakan oleh konsep kesesuaian semantik dan kesempurnaan semantik kalkulus. Kalkulus I dikatakan sesuai secara semantik untuk bahasa I jika mana-mana formula bahasa yang boleh saya terbitkan dalam I adalah betul. Begitu juga, kalkulus I dikatakan lengkap secara semantik dalam bahasa I jika ada formula yang betul dalam bahasa I boleh disimpulkan dalam I.

Logik matematik mengkaji hubungan logik dan hubungan yang mendasari inferens logik (deduktif) menggunakan bahasa matematik.

Banyak bahasa yang dipertimbangkan dalam logik matematik mempunyai kalkulus yang lengkap secara semantik dan boleh digunakan secara semantik. Khususnya, keputusan K. Gödel diketahui bahawa apa yang dipanggil kalkulus predikat klasik adalah lengkap dari segi semantik dan sesuai secara semantik untuk bahasa logik predikat urutan pertama klasik. Sebaliknya, terdapat banyak bahasa yang mustahil untuk membina kalkulus yang lengkap secara semantik dan sesuai secara semantik. Dalam bidang ini, hasil klasik ialah teorem ketidaklengkapan Gödel, yang menegaskan kemustahilan kalkulus lengkap semantik dan boleh guna secara semantik untuk bahasa aritmetik formal.

Perlu diingat bahawa dalam praktiknya, banyak operasi logik asas adalah bahagian wajib set arahan semua mikropemproses moden dan, dengan itu, dimasukkan ke dalam bahasa pengaturcaraan. Ini adalah salah satu aplikasi praktikal yang paling penting bagi kaedah logik matematik yang dipelajari dalam buku teks sains komputer moden.

Bahagian logik matematik

Algebra logik

Logik cadangan

Teori bukti

Teori model

Logik cadangan (atau logik proposisi daripada logik proposisi Inggeris, atau kalkulus proposisi) ialah teori formal, objek utamanya ialah konsep pernyataan logik. Dari segi ekspresif, ia boleh dicirikan sebagai logik tertib sifar klasik.

Walaupun kepentingan dan skop aplikasinya yang luas, logik proposisi adalah logik yang paling mudah dan mempunyai cara yang sangat terhad untuk mengkaji pertimbangan.

Algebra logik (algebra proposisi) - bahagian logik matematik di mana operasi logik pada pernyataan dikaji. Selalunya diandaikan bahawa kenyataan hanya boleh benar atau salah.

Elemen asas yang algebra logik beroperasi ialah pernyataan. Penyata dibina di atas satu set pada elemen yang tiga operasi ditakrifkan:

Negasi (operasi biasa),

Kata Hubung (perduaan),

Disjunction (perduaan),

serta pemalar - sifar logik 0 dan satu logik 1.

Teori kebarangkalian ialah satu cabang matematik yang mengkaji peristiwa rawak, sifat dan operasinya ke atasnya.

Dalam teori kebarangkalian, peristiwa rawak tersebut dikaji yang boleh dihasilkan semula di bawah keadaan yang sama dan mempunyai sifat berikut: hasil daripada eksperimen, di bawah keadaan S, peristiwa A boleh berlaku dengan kebarangkalian p tertentu.

Konsep asas teori kebarangkalian ialah: peristiwa, kebarangkalian, peristiwa rawak, fenomena rawak, jangkaan matematik, serakan, fungsi taburan, ruang kebarangkalian.

Sebagai sains, teori kebarangkalian muncul pada pertengahan abad ke-17. Kerja pertama muncul berkaitan dengan pengiraan kebarangkalian dalam perjudian. Menyiasat ramalan kemenangan semasa membaling dadu,Blaise Pascal dan Pierre Fermat, dalam surat-menyurat mereka pada 1654, menemui undang-undang kebarangkalian pertama. Khususnya, dalam surat-menyurat ini mereka datang kepada konsep jangkaan matematik dan teorem pendaraban dan penambahan kebarangkalian. Pada tahun 1657, keputusan ini dibentangkan dalam buku H. Huygens "Mengenai Pengiraan dalam Perjudian," yang merupakan risalah pertama mengenai teori kebarangkalian.

Mencapai kejayaan besar dalam teori kebarangkalian Jacob Bernoulli : dia menubuhkan undang-undang nombor besar dalam kes paling mudah, merumuskan banyak konsep teori kebarangkalian moden. Dia menulis monograf mengenai teori kebarangkalian, yang diterbitkan secara anumerta pada tahun 1713, bertajuk "Seni Andaian."

Pada separuh pertama abad ke-19, teori kebarangkalian mula digunakan untuk teori kesilapan pemerhatian. Pada masa ini ia terbuktiTeorem Moivre-Laplace (1812) dan teorem Poisson(1837), yang merupakan teorem had pertama. Laplace mengembangkan dan mensistematisasikan asas matematik bagi teori kebarangkalian. Gauss dan Legendre membangunkan kaedah kuasa dua terkecil.

Pada separuh kedua abad ke-19, kebanyakan penemuan dalam teori kebarangkalian dibuat oleh saintis RusiaP. L. Chebyshev dan pelajarnya dan A. M. Lyapunov dan A. A Markov.Pada tahun 1867, Chebyshev merumuskan dan secara ringkas membuktikan undang-undang bilangan besar dalam keadaan yang sangat umum. Pada tahun 1887, beliau mula-mula merumus dan mencadangkan kaedah untuk menyelesaikan teorem had pusat bagi jumlah pembolehubah rawak bebas. Pada tahun 1901, teorem ini telah dibuktikan oleh Lyapunov dalam keadaan yang lebih umum. Markov pada tahun 1907 mula-mula menganggap skim ujian yang disambungkan dalam rantai, dengan itu meletakkan asas untuk teori rantai Markov. Beliau juga membuat sumbangan besar kepada penyelidikan mengenai teori nombor besar dan teorem had pusat.

Pada awal abad ke-20, julat aplikasi teori kebarangkalian berkembang, sistem justifikasi matematik yang ketat dan kaedah baru teori kebarangkalian telah dicipta. Dalam tempoh ini, berkat usahaAndrey Nikolaevich Kolmogorovteori kebarangkalian mengambil bentuk moden.

Pada tahun 1926, sebagai pelajar siswazah, Kolmogorov memperoleh syarat yang diperlukan dan mencukupi di mana undang-undang bilangan besar dipegang. Pada tahun 1933, dalam karyanya "Konsep Asas Teori Kebarangkalian," Kolmogorov memperkenalkan aksiomatik teori kebarangkalian, yang secara amnya diiktiraf sebagai yang terbaik.

Alat matematik bagi teori kebarangkalian digunakan secara meluas dalam sains dan teknologi. Khususnya, dalam astronomi, kaedah kuasa dua terkecil digunakan untuk mengira orbit komet. Dalam bidang perubatan, teori kebarangkalian juga digunakan apabila menilai keberkesanan kaedah rawatan.

/ BDE Mathematics /

Potongan

Ingat bagaimana Sherlock Holmes sentiasa bercakap tentang kebolehan deduktifnya? Jadi apakah potongan?

POTONGAN (lat. deductio - potongan)- bentuk pemikiran ini apabila sesuatu pemikiran baru disimpulkan dengan cara yang logik semata-matadaripada pemikiran sebelumnya. Urutan pemikiran ini dipanggil kesimpulan, dan setiap komponen kesimpulan ini sama ada pemikiran yang telah terbukti sebelumnya, aksiom, atau hipotesis. Pemikiran terakhir dari kesimpulan yang diberikan dipanggil kesimpulan.

Inferens deduktif, yang merupakan subjek logik tradisional, digunakan oleh kita apabila kita perlu mempertimbangkan fenomena berdasarkan kedudukan umum yang telah kita ketahui dan membuat kesimpulan yang diperlukan mengenai fenomena ini. Kita tahu, sebagai contoh, fakta konkrit berikut - "satah tertentu bersilang dengan bola" dan peraturan umum mengenai semua satah yang bersilang dengan bola - "setiap bahagian bola oleh satah ialah bulatan." Menggunakan peraturan am ini pada fakta khusus, setiap orang yang berfikiran betul semestinya akan membuat kesimpulan yang sama: "ini bermakna pesawat ini adalah bulatan."

Struktur penaakulan deduktif dan sifat paksaan peraturannyamenggambarkan hubungan yang paling biasa antara objek dunia material: hubungan genus, spesies dan individu, iaitu umum, khusus dan individu: apa yang wujud dalam semua spesies genus tertentu juga wujud dalam mana-mana spesies; apa yang wujud dalam semua individu genus juga wujud dalam setiap individu.

Teori deduksi pertama kali dikembangkan secara terperinci oleh Aristotle. Beliau menjelaskan keperluan yang mesti dipenuhi oleh pemikiran individu yang membentuk inferens deduktif, mentakrifkan maksud istilah, dan mendedahkan peraturan untuk jenis inferens deduktif tertentu. Sisi positif doktrin deduksi Aristotle ialah ia mencerminkan undang-undang sebenar dunia objektif.

Istilah "potongan" dalam erti kata yang sempit juga bermaksud yang berikut:
1) Kaedah penyelidikan terdiri daripada yang berikut: untuk untuk mendapatkan pengetahuan baru tentang objek atau sekumpulan objek homogen, adalah perlu, pertama, untuk mencari genus yang paling dekat dengan objek ini, dan, kedua, untuk memohon kepada mereka undang-undang yang sepadan yang wujud dalam keseluruhan genus objek yang diberikan.. Kaedah deduktif memainkan peranan yang besar dalam matematik. Adalah diketahui bahawa semua teorem diperoleh secara logik menggunakan potongan daripada bilangan terhingga kecil prinsip awal yang dipanggil aksiom.
2) Bentuk penyampaian bahan dalam buku, kuliah, laporan, percakapan, apabila ia beralih dari ketentuan umum, peraturan, undang-undang kepada ketentuan, peraturan, undang-undang yang kurang umum.
Kaedah ini membolehkan anda menetapkan teori aksiomatik formal.
2. Menentukan hanya aksiom
Dalam kes ini, peraturan inferens dianggap sebagai diketahui umum, jadi hanya aksiom yang ditentukan. Oleh itu, dengan pembinaan teorem ini, mereka mengatakan bahawa teori aksiomatik separuh formal.
3. Menentukan peraturan inferens sahaja
Kaedah membina teorem ini adalah berdasarkan hanya menentukan peraturan inferens, kerana set aksiom adalah kosong. Berdasarkan ini, teori yang ditakrifkan dengan cara ini adalah kes khas teori formal. Kemudian varieti ini dikenali sebagai teori inferens semula jadi.

Ciri-ciri utama teori deduktif termasuk:
1. Kontroversi
Teori di mana set teorem meliputi keseluruhan set formula dipanggil bercanggah.
2. Kesempurnaan
Teori dipanggil lengkap di mana, untuk sebarang formula, F boleh disimpulkan sama ada F, atau penolakannya -F.
3. Kebebasan aksiom
Apabila aksiom tertentu teori tidak dapat disimpulkan daripada aksiom lain, ia dipanggil bebas. Sistem aksiom dipanggil bebas hanya jika setiap aksiom di dalamnya adalah bebas.
4. Kebolehlarutan
Apabila teori mempunyai algoritma yang cekap yang membolehkan seseorang menentukan bilangan langkah untuk membuktikan teorem, teori itu dipanggil boleh diputuskan. Contohnya, logik proposisi, logik peringkat pertama (kalkulus predikat), aritmetik formal (teori S).

Subjek logik matematik. Logik matematik: subjek, struktur dan prinsip asas operasi

1. Konsep dan definisi logik matematik.

Pernyataan dan bentuk ekspresif

Operasi logik (tindakan ke atas pernyataan)

1) Penafian kenyataan

2) Kata Hubung (pendaraban logik pernyataan)

3) Disjungsi (penambahan logik pernyataan)

Implikasi dan akibat logik.Syarat yang perlu. Keadaan yang mencukupi

Bimbingan

Implikasi dan akibat logik.
Syarat yang perlu. Keadaan yang mencukupi